Capítulo 7

$\left(3+4i\right)\left(3-4i\right)=9-16i^2=25$

$A=\sqrt{2\text{/}L}$

$(1\text{/}2-1\text{/}\text{π})\text{/}2=9\text{\%}$

$\mathrm{4,1}\times {10}^{\mathrm{-8}}\text{eV}$; $\mathrm{1,1}\times {10}^{\mathrm{-5}}\text{nm}$

$\mathrm{0,5}m{\omega }^2{x}^2\psi {\left(x\right)}^{*}\psi \left(x\right)$

Ninguna. La primera función tiene una discontinuidad; la segunda función es de doble valor; y la tercera función diverge, por lo que no es normalizable.

a. 9,1 %; b. 25 %

a. 295 N/m; b. 0,277 eV

$\langle x\rangle =0$

$L_{\text{protón}}\text{/}{L}_{\text{electrón}}=\sqrt{m_e\text{/}{m}_p}=\mathrm{2,3}\text{\%}$

$1\text{/}\sqrt{L},$ donde $L=\text{longitud}$; 1/L, donde $L=\text{longitud}$

La función de onda no se corresponde directamente con ninguna cantidad medida. Es una herramienta para predecir los valores de las cantidades físicas.

El valor medio de la cantidad física para un gran número de partículas con la misma función de onda.

Sí, si su posición es completamente desconocida. Sí, si su momento es completamente desconocido.

No. Según el principio de incertidumbre, si la incertidumbre sobre la posición de la partícula es pequeña, la incertidumbre sobre su momento es grande. Del mismo modo, si la incertidumbre sobre la posición de la partícula es grande, la incertidumbre sobre su momento es pequeña.

No, significa que las predicciones sobre la partícula (expresadas en términos de probabilidades) son independientes del tiempo.

No, porque la probabilidad de que la partícula exista en un intervalo estrecho (infinitesimalmente pequeño) en la discontinuidad es indefinida.

No. En un pozo cuadrado infinito, el espacio entre los niveles de energía aumenta con el número cuántico n. La energía más pequeña medida corresponde a la transición de n = 2 a 1, que es tres veces la energía del estado fundamental. La mayor energía medida corresponde a una transición de $n=\infty$ a 1, que es infinito. (Nota: Incluso las partículas con energías extremadamente grandes permanecen ligadas a un pozo potencial infinito: nunca pueden "escapar").

No. Esta energía corresponde a $n=\mathrm{0,25}$, pero n debe ser un número entero.

Porque el menor valor permitido del número cuántico n para un oscilador armónico simple es 0. No, porque la mecánica cuántica y la mecánica clásica solo coinciden en el límite de grandes $n$.

Sí, dentro de las limitaciones del principio de incertidumbre. Si la partícula oscilante está localizada, el momento y por tanto la energía del oscilador están distribuidos.

duplicar el ancho de la barrera

No, la fuerza restauradora sobre la partícula en las paredes de un pozo potencial infinito es infinita.

$|\psi (x){|}^2{\text{sen}}^2\omega t$

(a) y (e), se pueden normalizar

a. $A=\sqrt{2\alpha \text{/}\pi }$; b. $\text{probabilidad}=\mathrm{29,3}\text{\%}$; c. $\langle x\rangle =0$; d. $\langle p\rangle =0$; e. $\langle K\rangle ={\alpha }^2{\hslash }^2\text{/}2m$

a. $\text{Δ}p\ge \mathrm{2,11}\times {10}^{\mathrm{-34}}\text{N}·\text{s}$; b. $\text{Δ}v\ge \mathrm{6,31}\times {10}^{\mathrm{-8}}\text{m}$; c. $\text{Δ}v\text{/}\sqrt{k_{\text{B}}T\text{/}{m}_{\alpha }}=\mathrm{5,94}\times {10}^{\mathrm{-11}}$

$\text{Δ}\tau \ge \mathrm{1,6}\times {10}^{\mathrm{-25}}\text{s}$

a. $\text{Δ}f\ge \mathrm{1,59}\text{MHz}$; b. $\text{Δ}\omega \text{/}{\omega }_0=\mathrm{3,135}\times {10}^{\mathrm{-9}}$

La realización de las derivadas produce $k^2=\frac{{\omega }^2}{c^2}.$

Al realizar las derivadas (como en el caso anterior) para la función seno se obtiene un coseno en el lado derecho de la ecuación, por lo que la igualdad falla. Lo mismo ocurre con la solución del coseno.

$E={\hslash }^2{k}^2\text{/}2m$

${\hslash }^2{k}^2$; La partícula tiene un momento definido y por tanto un momento definido al cuadrado.

9,4 eV, 64 %

0,38 nm

1,82 MeV

24,7 nm

$\mathrm{6,03}\text{Å}$

a.

;
b. ${\lambda }_{5\to 3}=\mathrm{12,9}\text{nm,}{\lambda }_{3\to 1}=\mathrm{25,8}\text{nm,}{\lambda }_{4\to 3}=\mathrm{29,4}\text{nm}$

prueba

$\mathrm{6,662}\times {10}^{14}\text{Hz}$

$n\approx \mathrm{2,037}\times {10}^{30}$

$\langle x\rangle =\mathrm{0,5}m{\omega }^2\langle x^2\rangle =\hslash \omega \text{/}4$; $\langle K\rangle =\langle E\rangle -\langle U\rangle =\hslash \omega \text{/}4$

prueba

Una función compleja de la forma $A{e}^{i\varphi }$, satisface la ecuación de Schrӧdinger independiente del tiempo. Los operadores de energía cinética y total son lineales, por lo que cualquier combinación lineal de dichas funciones de onda es también una solución válida de la ecuación de Schrӧdinger. Por lo tanto, concluimos que la Ecuación 7.68 satisface la Ecuación 7.61, y la Ecuación 7.69 satisface la Ecuación 7.63.

a. 4,21 %; b. 0,84 %; c. 0,06 %

a. 0,13 %; b. cerca del 0 %

0,38 nm

prueba

a. 4,0 %; b. 1,4 %; c. 4,0 %; d. 1,4 %

a. $t=m{L}^2\text{/}h=\mathrm{2,15}\times {10}^{26}\text{años}$; b. $E_1=\mathrm{1,46}\times {10}^{-66}\text{J,}K=\mathrm{0,4}\text{J}$

prueba

1,2 N/m

0

$\mathrm{19,2}\mu \text{m;}\mathrm{11,5}\mu \text{m}$

3,92 %

prueba