Capítulo 8

No. El número cuántico $m=\text{−}l,\text{−}l+1\text{,…},0\text{,…},l-1,l.$ Por lo tanto, la magnitud de $L_z$ es siempre menor que L porque $<\sqrt{l\left(l+1\right)}$

$s=3\text{/}2<$

la frecuencia se cuadruplica

n (número cuántico principal) $\to$ energía total
$l$ (número cuántico angular orbital) $\to$ magnitud absoluta total del momento angular orbital m (número cuántico de proyección angular orbital) $\to$ componente z del momento angular orbital.

El modelo de Bohr describe al electrón como una partícula que se mueve alrededor del protón en órbitas bien definidas. El modelo de Schrödinger describe el electrón como una onda, y el conocimiento de la posición del electrón se limita a las declaraciones de probabilidad. La energía total del electrón en el estado fundamental (y en todos los estados excitados) es la misma para ambos modelos. Sin embargo, el momento angular orbital del estado fundamental es diferente para estos modelos. En el modelo de Bohr, $L\left(\text{estado fundamental}\right)=1$, y en el modelo de Schrödinger, $L\left(\text{estado fundamental}\right)=0$.

a, c, d; La energía total se modifica (división Zeeman). El trabajo realizado sobre el átomo de hidrógeno lo hace girar, por lo que el componente z del momento angular y el ángulo polar se ven afectados. Sin embargo, el momento angular no se ve afectado.

Incluso en el estado fundamental ($l=0$), un átomo de hidrógeno tiene propiedades magnéticas debido al espín electrónico intrínseco (interno). El momento magnético de un electrón es proporcional a su espín.

Para todos los electrones, $s=\text{½}$ y $m_s=\pm \text{½}.$ Como veremos, no todas las partículas tienen el mismo número cuántico de espín. Por ejemplo, un fotón tiene un espín 1 ($s=1$), y un bosón de Higgs tiene un espín 0 ($s=0$).

Un electrón tiene un momento magnético asociado a su espín intrínseco (interno). El acoplamiento espín-órbita se produce cuando éste interactúa con el campo magnético producido por el momento angular orbital del electrón.

Los elementos que pertenecen a la misma columna en la tabla periódica de los elementos tienen los mismos rellenos de sus capas exteriores y, por tanto, el mismo número de electrones de valencia. Por ejemplo:
Li $1s^{2}2s^1$ (un electrón de valencia en la capa $n=2$)
Na: $1s^{2}2s2p^{6}3s^1$ (un electrón de valencia en la capa $n=2$)
Tanto el Li como el Na pertenecen a la primera columna.

Se dice que los espectros atómicos y moleculares son "discretos", porque solo se observan determinadas líneas espectrales. En cambio, los espectros de una fuente de luz blanca (formada por muchas frecuencias de fotones) son continuos porque se observa un arcoíris continuo de colores.

La luz ultravioleta está formada por fotones de frecuencia relativamente alta (longitud de onda corta). Así, la energía del fotón absorbido y la transición energética ($\text{Δ}E$) en el átomo es relativamente grande. En comparación, la luz visible está formada por fotones de frecuencia relativamente baja. Por lo tanto, la transición energética en el átomo y la energía del fotón emitido es relativamente pequeña.

En los sistemas macroscópicos, los números cuánticos son muy grandes, por lo que la diferencia de energía ($\text{Δ}E$) entre niveles de energía adyacentes (órbitas) es muy pequeño. La energía liberada en las transiciones entre estos niveles de energía estrechamente cercanas es demasiado pequeña para ser detectada.

La luz láser se basa en el proceso de emisión estimulada. En este proceso, los electrones deben estar preparados en un estado metaestable excitado (superior) de tal manera que el paso de la luz a través del sistema produzca disminución del estado excitado y, por tanto, luz adicional.

Un reproductor de Blu-Ray utiliza luz láser azul para sondear las protuberancias y las fosas del disco y un reproductor de CD utiliza luz láser roja. La luz azul de longitud de onda relativamente corta es necesaria para sondear las fosas y protuberancias más pequeñas de un disco Blu-ray; las fosas y protuberancias más pequeñas corresponden a densidades de almacenamiento más altas.

$\left(r,\theta ,\varphi \right)=\left(\sqrt{6,}66\text{°},27\text{°}\right).$

$\pm 3,\pm 2,\pm 1,0$ son posibles

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$F=\text{−}k\frac{Qq}{r^2}$

(1, 1, 1)

Para el número cuántico del momento angular orbital, l, los valores permitidos de
$m=\text{−}l,\text{−}l+1\text{,...}0\text{,...}l-1,l$.
Con la excepción de $m=0$, el número total es solo 2l porque el número de estados a cada lado de $m=0$ es solo l. Incluyendo $m=0$, el número total de estados de momento angular orbital para el número cuántico de momento angular orbital, l, es $2l+1.$ (Más adelante, cuando consideremos el espín del electrón, el número total de estados de momento angular se encontrará al doble de este valor porque cada estado de momento angular orbital está asociado a dos estados de espín del electrón: espín arriba y espín abajo).

La probabilidad de que el electrón 1s de un átomo de hidrógeno se encuentre fuera del radio de Bohr es ${\displaystyle {\int }_{a_0}^{\infty }P\left(r\right)dr\approx \mathrm{0,68}}$

Para $n=2$, $l=0$ (1 estado), y $l=1$ (3 estados). El total es de 4.

El estado 3p corresponde a $n=3$, $l=2$. Por lo tanto, $\mu ={\mu }_{\text{B}}\sqrt{6}$

La relación de sus masas es 1/207, por lo que la relación de sus momentos magnéticos es 207. El momento magnético del electrón es más de 200 veces mayor que el del muon.

a. El estado 3d corresponde a $n=3$, $l=2$. Así que,
$I=\mathrm{4,43}\times {10}^{\mathrm{-7}}\text{A}.$
b. El torque máximo se produce cuando los vectores momento magnético y campo magnético externo están en ángulo recto ($\text{sen}\theta =1)$. En este caso:
$\left|\overrightarrow{\mathit{\text{τ}}}\right|=\mu B.$
$\tau =\mathrm{5,70}\times {10}^{\mathrm{-26}}\text{N}·\text{m}.$

Un electrón 3p está en el estado $n=3$ y $l=1$. La magnitud mínima del torque se produce cuando los vectores del momento magnético y del campo magnético externo son los más paralelos (antiparalelos). Esto ocurre cuando $m=\pm 1$. La magnitud del torque viene dada por
$\left|\overrightarrow{\mathit{\text{τ}}}\right|=\mu B\text{sen}\theta ,$
Donde
$\mu =(\mathrm{1,31}\times {10}^{\mathrm{-24}}\text{J/T}).$
Para $m=\pm 1,$ tenemos:
$\left|\overrightarrow{\mathit{\text{τ}}}\right|=\mathrm{2,32}\times {10}^{21}\text{N}·\text{m}.$

Un trabajo infinitesimal dW realizado por un torque magnético $\tau$ para hacer poner en rotación el momento magnético en un ángulo $-d\theta$
$dW=\tau \left(\text{−}d\theta \right)$,
donde $\tau =|\overrightarrow{\mathit{\text{μ}}}\times \overrightarrow{B}|$. El trabajo realizado se interpreta como una disminución de la energía potencial U, por lo que
$dW=\text{−}dU.$
El cambio de energía total se determina sumando los cambios infinitesimales de la energía potencial:
$U=\text{−}\mu Bcos\theta$
$U=\text{−}\overrightarrow{\mathit{\text{μ}}}·\overrightarrow{B}.$

Espín ascendente (relativo al eje de la zpositiva)
$\theta =55\text{°}.$
Espín descendente (respecto al eje de la zpositiva)
$\theta ={\text{cos}}^{\mathrm{-1}}\left(\frac{S_z}{\text{S}}\right)={\text{cos}}^{\mathrm{-1}}\left(\frac{-\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\right)={\text{cos}}^{\mathrm{-1}}\left(\frac{\mathrm{-1}}{\sqrt{3}}\right)=125\text{°}.$

El número cuántico de proyección del espín es $m_s=\pm \text{½}$, por lo que el componente z del momento magnético es
${\mu }_z=\pm {\mu }_{\text{B}}.$
La energía potencial asociada a la interacción entre el electrón y el campo magnético externo es
$U=\mp {\mu }_{\text{B}}B.$
La diferencia de energía entre estos estados es $\text{Δ}E=2{\mu }_{\text{B}}B$, por lo que la longitud de onda de la luz producida es
$\lambda =\mathrm{8,38}\times {10}^{\mathrm{-5}}\text{m}\approx 84\mu \text{m}$

Se incrementa en un factor de 2.

a. 32; b.
$\begin{array}{c}\hfill \underset{\text{\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_}}{\begin{array}{ccccccc}\underset{\_}{\ell }\hfill & & & & 2(2\ell +1)\hfill & & \\ 0\hfill & & s\hfill & & 2(0+1)\hfill & =\hfill & 2\hfill \\ 1\hfill & & p\hfill & & 2\left(2+1\right)\hfill & =\hfill & 6\hfill \\ 2\hfill & & d\hfill & & 2(4+1)\hfill & =\hfill & 10\hfill \\ 3\hfill & & f\hfill & & 2(6+1)\hfill & =\hfill & 14\hfill \end{array}}\\ \hfill 32\end{array}$

a. y e. están permitidas; las otras no.
b. $l=3$ no está permitida para $n=1,l\le (n-1).$
c. No puede tener tres electrones en la subcapa s porque $3>2\left(2l+1\right)=2.$
d. No puede haber siete electrones en la subcapa p (máximo 6) $2\left(2l+1\right)=2\left(2+1\right)=6.$

$[\text{Ar}]4s^{2}3d^6$

a. El valor mínimo de $\ell$ es $l=2$ para tener nueve electrones.
b. $3d^9.$

$\left[\text{He}\right]2s^{2}2p^2$

En ${\text{He}}^{+}$, un electrón "orbita" un núcleo con dos protones y dos neutrones ($Z=2$). La energía de ionización se refiere a la energía necesaria para eliminar el electrón del átomo. La energía necesaria para eliminar el electrón en el estado fundamental de un ion de ${\text{He}}^{+}$ hasta el infinito el valor de la energía del estado fundamental es negativo, escrito
$E=\mathrm{-54,4}\text{eV}.$
Por lo tanto, la energía para ionizar el electrón es $\text{+54,4}\text{eV.}$
Del mismo modo, la energía necesaria para eliminar un electrón en el primer estado excitado de un ion ${\text{Li}}^{\text{2+}}$ al infinito, el valor de la energía del primer estado excitado es negativo, y se escribe:
$E=\mathrm{-30,6}\text{eV}.$
La energía para ionizar el electrón es de 30,6 eV.

La longitud de onda del láser viene dada por
$\lambda =\frac{hc}{\text{−}\text{Δ}E},$
donde $E_{\gamma }$ es la energía del fotón y $\text{Δ}E$ es la magnitud de la diferencia de energía. Resolviendo esto último, obtenemos
$\text{Δ}E=\mathrm{-2,795}\text{eV}.$
El signo negativo indica que el electrón perdió energía en la transición.

$\text{Δ}{E}_{L\to K}\approx {(Z-1)}^2\left(\mathrm{10,2}\text{eV}\right)=\mathrm{3,68}\times {10}^3\text{eV}.$

Según la conservación de la energía, la energía potencial del electrón se convierte completamente en energía cinética. La energía cinética inicial del electrón es cero (el electrón comienza en reposo). Por lo tanto, la energía cinética del electrón justo antes de golpear el objetivo es:
$K=e\text{Δ}V.$
Si toda esta energía se convierte en radiación de frenado, la frecuencia de la radiación emitida es máxima, por tanto
$f_{\text{max}}=\frac{e\text{Δ}V}{h}.$
Cuando la frecuencia emitida es un máximo, entonces la longitud de onda emitida es un mínimo, por lo que
${\lambda }_{\text{min}}=\mathrm{0,1293}\text{nm}.$

Un muon es 200 veces más pesado que un electrón, pero la longitud de onda mínima no depende de la masa, por lo que el resultado no cambia.

$\mathrm{4,13}\times {10}^{\mathrm{-11}}\text{m}$

72,5 keV

Los números atómicos del Cu y del Au son $Z=29$ y 79, respectivamente. La frecuencia de los fotones de los rayos X en el oro es mayor que en el cobre por un factor
${\left(\frac{f_{\text{Au}}}{f_{\text{Cu}}}\right)}^2={\left(\frac{79-1}{29-1}\right)}^2\approx 8.$
Por lo tanto, la longitud de onda de los rayos X del Au es unas ocho veces más corta que la del cobre.

a. Si la carne tiene la misma densidad que el agua, entonces usamos ^{$\mathrm{1,34}\times {10}^{23}$} fotones. b. 2,52 MW

El ángulo más pequeño corresponde a $l=n-1$ y $m=l=n-1$. Por lo tanto, $\theta ={\text{cos}}^{\mathrm{-1}}\left(\sqrt{\frac{n-1}{n}}\right).$

a. Según la Ecuación 8.1, cuando $r=0$, $U\left(r\right)=\text{−}\infty$, y cuando $r=+\infty ,U\left(r\right)=0.$ b. El resultado anterior sugiere que el electrón puede tener una energía potencial negativa infinita. El modelo cuántico del átomo de hidrógeno evita esta posibilidad porque la densidad de probabilidad en $r=0$ es cero.

Una solución formal mediante sumas es algo complicada. Sin embargo, la respuesta se encuentra fácilmente estudiando el patrón matemático entre el número cuántico principal y el número total de estados de momento angular orbital.
Para $n=1$, el número total de estados de momento angular orbital es 1; para $n=2$, el número total es 4; y cuando $n=3$, el número total es 9, y así sucesivamente. El patrón sugiere que el número total de estados de momento angular orbital para la enésima capa es $n^2$.
(Más adelante, cuando consideremos el espín del electrón, el número total de estados de momento angular resultará ser $2n^2$, porque cada estado de momento angular orbital está asociado a dos estados de espín del electrón; espín ascendente y espín descendente).

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El número máximo de estados de momento angular orbital de los electrones en la enésima capa de un átomo es $n^2$. Cada uno de estos estados puede ser llenado por un electrón de con espín ascendente y descendente. Por lo tanto, el número máximo de estados de los electrones en la enésima capa es $2n^2$.

a., c. y e. están permitidas; las demás no. b $l>n$ no está permitido.
d. $7>2(2l+1)$

$f=\mathrm{1,8}\times {10}^9\text{Hz}$

Los números atómicos del Cu y la Ag son $Z=29$ y 47, respectivamente. La frecuencia de los fotones de rayos X para la plata es mayor que la del cobre por el siguiente factor:
${\left(\frac{f_{\text{Ag}}}{f_{\text{Cu}}}\right)}^2=\mathrm{2,7}.$
Por lo tanto, la longitud de onda de los rayos X de la Ag es aproximadamente tres veces más corta que la del cobre.

a. 3,24; b. $n_i$ no es un número entero. c. La longitud de onda no debe ser la correcta. Dado que $n_i>2,$ la suposición de que la línea pertenecía a las series de Balmer es posible, pero la longitud de onda de la luz no produjo un valor entero para $n_i$. Si la longitud de onda es correcta, entonces la suposición de que el gas es hidrógeno es incorrecta; en su lugar podría ser sodio.