3.2 Matemáticas de la interferencia

La Figura 3.7(a) muestra cómo determinar la diferencia de longitud de la trayectoria $\text{Δ}l$ para las ondas que viajan desde dos rendijas hasta un punto común en una pantalla. Si la pantalla está a una gran distancia en comparación con la distancia entre las rendijas, entonces el ángulo $\theta$ entre la trayectoria y una línea desde las rendijas a la pantalla [parte (b)] es casi el mismo para cada trayectoria. En otras palabras, $r_1$ y $r_2$ son esencialmente paralelos. Las longitudes de $r_1$ y $r_2$ se diferencian por $\text{Δ}l$, como indican las dos líneas discontinuas de la figura. La trigonometría simple muestra

donde d es la distancia entre las rendijas. Al combinar este resultado con la Ecuación 3.1, obtenemos la interferencia constructiva para una doble rendija cuando la diferencia de la longitud del recorrido es un múltiplo integral de la longitud de onda, o

Del mismo modo, para obtener una interferencia destructiva para una doble rendija, la diferencia de la longitud del recorrido debe ser un múltiplo del semientero de la longitud de onda, o

donde $\lambda$ es la longitud de onda de la luz, d es la distancia entre las rendijas y $\theta$ es el ángulo con respecto a la dirección original del rayo, tal y como se ha comentado anteriormente. Llamamos m al orden de la interferencia. Por ejemplo, $m=4$ es una interferencia de cuarto orden.

Figura 3.7 (a) Para llegar a P, las ondas de luz procedentes de ${\text{S}}_1$ y ${\text{S}}_2$ deben recorrer distancias diferentes. (b) La diferencia del recorrido entre los dos rayos es $\text{Δ}l$.

Las ecuaciones de la interferencia de doble rendija implican que se forma una serie de líneas brillantes y oscuras. En el caso de las rendijas verticales, la luz se propaga horizontalmente a ambos lados del haz incidente en un patrón llamado franjas de interferencia (Figura 3.8). Cuanto más cerca estén las rendijas, más se separan las franjas brillantes. Podemos ver esto examinando la ecuación

$d\text{sen}\theta =m\lambda ,\text{para}m=0,\text{±}1,\text{±}2,\text{±}3\text{…}$. Para los $\lambda$ y m fijos, cuanto menor sea d, mayor debe ser $\theta$, ya que $\text{sen}\theta =m\lambda \text{/}d$. Esto es coherente con nuestra afirmación de que los efectos de las ondas son más notables cuando el objeto con el que se encuentra la onda (en este caso, las rendijas a una distancia d) es pequeño. Una d pequeña da un gran $\theta$, por lo tanto, un gran efecto.

Si volvemos a la parte (a) de la figura, vemos que $\theta$ suele ser lo suficientemente pequeño como para que $\text{sen}\theta \approx \text{tan}\theta \approx y_m\text{/}D$, donde $y_m$ es la distancia del máximo central a la menésima franja brillante y D es distancia entre la rendija y la pantalla. Ecuación 3.4 puede escribirse entonces como

o

Figura 3.8 El patrón de interferencia para una doble rendija tiene una intensidad que decae con el ángulo. La imagen muestra múltiples líneas o franjas brillantes y oscuras, formadas por la luz que pasa a través de una doble rendija.