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Física Universitaria Volumen 3

3.2 Matemáticas de la interferencia

Física Universitaria Volumen 33.2 Matemáticas de la interferencia
  1. Prefacio
  2. Óptica
    1. 1 La naturaleza de la luz
      1. Introducción
      2. 1.1 La propagación de la luz
      3. 1.2 La ley de reflexión
      4. 1.3 Refracción
      5. 1.4 Reflexión interna total
      6. 1.5 Dispersión
      7. 1.6 Principio de Huygens
      8. 1.7 Polarización
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    2. 2 Óptica geométrica y formación de imágenes
      1. Introducción
      2. 2.1 Imágenes formadas por espejos planos
      3. 2.2 Espejos esféricos
      4. 2.3 Imágenes formadas por refracción
      5. 2.4 Lentes delgadas
      6. 2.5 El ojo
      7. 2.6 La cámara
      8. 2.7 La lupa simple
      9. 2.8 Microscopios y telescopios
      10. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
    3. 3 Interferencias
      1. Introducción
      2. 3.1 Interferencia de doble rendija de Young
      3. 3.2 Matemáticas de la interferencia
      4. 3.3 Interferencias de rendijas múltiples
      5. 3.4 Interferencia de película delgada
      6. 3.5 El interferómetro de Michelson
      7. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    4. 4 Difracción
      1. Introducción
      2. 4.1 Difracción de una rendija
      3. 4.2 Intensidad en la difracción de una rendija
      4. 4.3 Difracción de doble rendija
      5. 4.4 Rejillas de difracción
      6. 4.5 Aberturas circulares y resolución
      7. 4.6 Difracción de rayos X
      8. 4.7 Holografía
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  3. Física moderna
    1. 5 Relatividad
      1. Introducción
      2. 5.1 Invariancia de las leyes físicas
      3. 5.2 Relatividad de la simultaneidad
      4. 5.3 Dilatación del tiempo
      5. 5.4 Contracción de longitud
      6. 5.5 La transformación de Lorentz
      7. 5.6 Transformación relativista de la velocidad
      8. 5.7 Efecto Doppler para la luz
      9. 5.8 Momento relativista
      10. 5.9 Energía relativista
      11. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
    2. 6 Fotones y ondas de materia
      1. Introducción
      2. 6.1 Radiación de cuerpo negro
      3. 6.2 Efecto fotoeléctrico
      4. 6.3 El efecto Compton
      5. 6.4 Modelo de Bohr del átomo de hidrógeno
      6. 6.5 Las ondas de materia de De Broglie
      7. 6.6 Dualidad onda-partícula
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
    3. 7 Mecánica cuántica
      1. Introducción
      2. 7.1 Funciones de onda
      3. 7.2 El principio de incertidumbre de Heisenberg
      4. 7.3 La ecuación de Schrӧdinger
      5. 7.4 La partícula cuántica en una caja
      6. 7.5 El oscilador armónico cuántico
      7. 7.6 El efecto túnel de las partículas a través de las barreras de potencial
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    4. 8 Estructura atómica
      1. Introducción
      2. 8.1 El átomo de hidrógeno
      3. 8.2 Momento dipolar magnético orbital del electrón
      4. 8.3 Espín del electrón
      5. 8.4 El principio de exclusión y la tabla periódica
      6. 8.5 Espectros atómicos y rayos X
      7. 8.6 Láseres
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
    5. 9 Física de la materia condensada
      1. Introducción
      2. 9.1 Tipos de enlaces moleculares
      3. 9.2 Espectros moleculares
      4. 9.3 Enlaces en los sólidos cristalinos
      5. 9.4 Modelo de electrones libres de los metales
      6. 9.5 Teoría de bandas de los sólidos
      7. 9.6 Semiconductores y dopaje
      8. 9.7 Dispositivos semiconductores
      9. 9.8 Superconductividad
      10. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    6. 10 Física nuclear
      1. Introducción
      2. 10.1 Propiedades de los núcleos
      3. 10.2 Energía de enlace nuclear
      4. 10.3 Decaimiento radioactivo
      5. 10.4 Reacciones nucleares
      6. 10.5 Fisión
      7. 10.6 Fusión nuclear
      8. 10.7 Usos médicos y efectos biológicos de la radiación nuclear
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    7. 11 Física de partículas y cosmología
      1. Introducción
      2. 11.1 Introducción a la física de partículas
      3. 11.2 Leyes de conservación de las partículas
      4. 11.3 Cuarks
      5. 11.4 Aceleradores y detectores de partículas
      6. 11.5 El modelo estándar
      7. 11.6 El Big Bang
      8. 11.7 Evolución del universo primigenio
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  4. A Unidades
  5. B Factores de conversión
  6. C Constantes fundamentales
  7. D Datos astronómicos
  8. E Fórmulas matemáticas
  9. F Química
  10. G El alfabeto griego
  11. Clave de Respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
    8. Capítulo 8
    9. Capítulo 9
    10. Capítulo 10
    11. Capítulo 11
  12. Índice

Objetivos De Aprendizaje

Al final de esta sección, podrá:

  • Determinar los ángulos de las franjas brillantes y oscuras para la interferencia de doble rendija
  • Calcular las posiciones de las franjas brillantes en una pantalla

La Figura 3.7(a) muestra cómo determinar la diferencia de longitud de la trayectoria ΔlΔl para las ondas que viajan desde dos rendijas hasta un punto común en una pantalla. Si la pantalla está a una gran distancia en comparación con la distancia entre las rendijas, entonces el ángulo θθ entre la trayectoria y una línea desde las rendijas a la pantalla [parte (b)] es casi el mismo para cada trayectoria. En otras palabras, r1r1 y r2r2 son esencialmente paralelos. Las longitudes de r1r1 y r2r2 se diferencian por ΔlΔl, como indican las dos líneas discontinuas de la figura. La trigonometría simple muestra

Δl=dsenθΔl=dsenθ
3.3

donde d es la distancia entre las rendijas. Al combinar este resultado con la Ecuación 3.1, obtenemos la interferencia constructiva para una doble rendija cuando la diferencia de la longitud del recorrido es un múltiplo integral de la longitud de onda, o

dsenθ=mλ,param=0,±1,±2,±3,…(interferencia constructiva).dsenθ=mλ,param=0,±1,±2,±3,…(interferencia constructiva).
3.4

Del mismo modo, para obtener una interferencia destructiva para una doble rendija, la diferencia de la longitud del recorrido debe ser un múltiplo del semientero de la longitud de onda, o

dsenθ=(m+12)λ,param=0,±1,±2,±3,…(interferencia destructiva)dsenθ=(m+12)λ,param=0,±1,±2,±3,…(interferencia destructiva)
3.5

donde λλ es la longitud de onda de la luz, d es la distancia entre las rendijas y θθ es el ángulo con respecto a la dirección original del rayo, tal y como se ha comentado anteriormente. Llamamos m al orden de la interferencia. Por ejemplo, m=4m=4 es una interferencia de cuarto orden.

La imagen de la izquierda es un dibujo esquemático que muestra las ondas r1 y r2 pasando por las dos rendijas S1 y S2. Las ondas se encuentran en un punto común P en una pantalla. La distancia entre los puntos S1 y S2 es d; la distancia entre la pantalla con las dos rendijas y la pantalla con el punto P es D. El punto P está más alto que el punto medio entre S1 y S2 por la distancia y. La línea imaginaria trazada desde el punto P hasta el punto medio entre las rendijas forma un ángulo theta con el eje x. La imagen de la derecha es un dibujo esquemático de dos rendijas separadas por la distancia d. Las ondas pasan a través de las rendijas y viajan hasta la pantalla P. El ángulo theta está formado por la onda viajera y el eje x.
Figura 3.7 (a) Para llegar a P, las ondas de luz procedentes de S 1 S 1 y S 2 S 2 deben recorrer distancias diferentes. (b) La diferencia del recorrido entre los dos rayos es Δ l Δ l .

Las ecuaciones de la interferencia de doble rendija implican que se forma una serie de líneas brillantes y oscuras. En el caso de las rendijas verticales, la luz se propaga horizontalmente a ambos lados del haz incidente en un patrón llamado franjas de interferencia (Figura 3.8). Cuanto más cerca estén las rendijas, más se separan las franjas brillantes. Podemos ver esto examinando la ecuación

dsenθ=mλ,param=0,±1,±2,±3dsenθ=mλ,param=0,±1,±2,±3. Para los λλ y m fijos, cuanto menor sea d, mayor debe ser θθ, ya que senθ=mλ/dsenθ=mλ/d. Esto es coherente con nuestra afirmación de que los efectos de las ondas son más notables cuando el objeto con el que se encuentra la onda (en este caso, las rendijas a una distancia d) es pequeño. Una d pequeña da un gran θθ, por lo tanto, un gran efecto.

Si volvemos a la parte (a) de la figura, vemos que θθ suele ser lo suficientemente pequeño como para que senθtanθym/Dsenθtanθym/D, donde ymym es la distancia del máximo central a la menésima franja brillante y D es distancia entre la rendija y la pantalla. Ecuación 3.4 puede escribirse entonces como

dymD=mλdymD=mλ

o

ym=mλDd.ym=mλDd.
3.6
La imagen de la izquierda muestra una doble rendija situada a una distancia D de una pantalla, con la distancia entre las rendijas dada como d. La imagen de la derecha es una fotografía del patrón de franjas que muestra las líneas brillantes en las posiciones donde las ondas interfieren constructivamente.
Figura 3.8 El patrón de interferencia para una doble rendija tiene una intensidad que decae con el ángulo. La imagen muestra múltiples líneas o franjas brillantes y oscuras, formadas por la luz que pasa a través de una doble rendija.

Ejemplo 3.1

Cálculo de una longitud de onda a partir de un patrón de interferencia

Supongamos que se hace pasar la luz de un láser de helio (He) y neón (Ne) a través de dos rendijas separadas por 0,0100 mm y se encuentra que la tercera línea brillante en una pantalla se forma con un ángulo de 10,95°10,95° con respecto al rayo incidente. ¿Cuál es la longitud de onda de la luz?

Estrategia

El fenómeno es una interferencia de dos rendijas como se ilustra en la Figura 3.8 y la tercera línea brillante se debe a una interferencia constructiva de tercer orden, lo que significa que m=3m=3. Se nos da d=0,0100mmd=0,0100mm y θ=10,95°θ=10,95°. Por lo tanto, la longitud de onda se puede encontrar utilizando la ecuación dsenθ=mλdsenθ=mλ para la interferencia constructiva.

Solución

Al resolver dsenθ=mλdsenθ=mλ para la longitud de onda λλ se obtiene
λ=dsenθm.λ=dsenθm.

Al sustituir los valores conocidos se obtiene

λ=(0,0100mm)(sen10,95°)3=6,33×10−4mm=633nm.λ=(0,0100mm)(sen10,95°)3=6,33×10−4mm=633nm.

Importancia

Es la longitud de onda de luz, de tres dígitos, emitida por el láser común de He-Ne. No por casualidad, este color rojo es similar al que emiten las luces de neón. Sin embargo, lo más importante es que los patrones de interferencia pueden utilizarse para medir la longitud de onda. Young hizo esto para las longitudes de onda visibles. Esta técnica analítica se sigue utilizando ampliamente para medir los espectros electromagnéticos. Para un orden determinado, el ángulo de interferencia constructiva aumenta con λλ, de modo que se pueden obtener espectros (mediciones de la intensidad en función de la longitud de onda).

Ejemplo 3.2

Cálculo del mayor orden posible

Los patrones de interferencia no tienen un número infinito de líneas, ya que hay un límite en el tamaño de m. ¿Cuál es la interferencia constructiva de mayor orden posible con el sistema descrito en el ejemplo anterior?

Estrategia

La ecuación dsenθ=mλdsenθ=mλ (para m=0,±1,±2,±3m=0,±1,±2,±3) describe la interferencia constructiva de dos rendijas. Para valores fijos de dyλdyλ, cuanto mayor sea m, mayor será senθsenθ. Sin embargo, el valor máximo que senθsenθ puede tener es 1, para un ángulo de 90°90°. (Los ángulos mayores implican que la luz va hacia atrás y no llega a la pantalla) Busquemos qué valor de m corresponde a este ángulo máximo de difracción.

Solución

Al resolver la ecuación dsenθ=mλdsenθ=mλ para m se obtiene
m=dsenθλ.m=dsenθλ.

Si tomamos senθ=1senθ=1 y sustituimos los valores de dyλdyλ del ejemplo anterior da

m=(0,0100mm)(1)633nm15,8.m=(0,0100mm)(1)633nm15,8.

Por lo tanto, el mayor número entero que puede ser m es 15, o m=15m=15.

Importancia

El número de franjas depende de la longitud de onda y de la separación de las rendijas. El número de franjas es muy grande para grandes separaciones de rendijas. Sin embargo, recordemos (consulte la sección La propagación de la luz y la introducción de este capítulo) que la interferencia de las ondas solo es prominente cuando la onda interactúa con objetos que no son grandes en comparación con la longitud de onda. Por lo tanto, si la separación de las rendijas y los tamaños de las mismas son mucho mayores que la longitud de onda, el patrón de intensidad de la luz en la pantalla cambia, por lo que simplemente hay dos líneas brillantes proyectadas por las rendijas, como se espera, cuando la luz se comporta como rayos. También observamos que las franjas se hacen más tenues cuanto más se alejan del centro. Por lo tanto, es posible que no se puedan observar las 15 franjas.

Compruebe Lo Aprendido 3.1

En el sistema utilizado en los ejemplos anteriores, ¿con qué ángulos se forman la primera y la segunda franja brillante?

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