3.2 Matemáticas de la interferencia - Física universitaria volumen 3

Objetivos de aprendizaje

Al final de esta sección, podrá:

Determinar los ángulos de las franjas brillantes y oscuras para la interferencia de doble rendija
Calcular las posiciones de las franjas brillantes en una pantalla

La Figura 3.7(a) muestra cómo determinar la diferencia de longitud de la trayectoria $Δ l$ para las ondas que viajan desde dos rendijas hasta un punto común en una pantalla. Si la pantalla está a una gran distancia en comparación con la distancia entre las rendijas, entonces el ángulo $θ$ entre la trayectoria y una línea desde las rendijas a la pantalla [parte (b)] es casi el mismo para cada trayectoria. En otras palabras, $r_{1}$ y $r_{2}$ son esencialmente paralelos. Las longitudes de $r_{1}$ y $r_{2}$ se diferencian por $Δ l$ , como indican las dos líneas discontinuas de la figura. La trigonometría simple muestra

Δ l = d sen θ

3.3

donde d es la distancia entre las rendijas. Al combinar este resultado con la Ecuación 3.1, obtenemos la interferencia constructiva para una doble rendija cuando la diferencia de la longitud del recorrido es un múltiplo integral de la longitud de onda, o

d sen θ = m λ, para m = 0, ± 1, ± 2, ± 3,… (interferencia constructiva) .

3.4

Del mismo modo, para obtener una interferencia destructiva para una doble rendija, la diferencia de la longitud del recorrido debe ser un múltiplo del semientero de la longitud de onda, o

d sen θ = (m + \frac{1}{2}) λ, para m = 0, ± 1, ± 2, ± 3,… (interferencia destructiva)

3.5

donde $λ$ es la longitud de onda de la luz, d es la distancia entre las rendijas y $θ$ es el ángulo con respecto a la dirección original del rayo, tal y como se ha comentado anteriormente. Llamamos m al orden de la interferencia. Por ejemplo, $m = 4$ es una interferencia de cuarto orden.

La imagen de la izquierda es un dibujo esquemático que muestra las ondas r1 y r2 pasando por las dos rendijas S1 y S2. Las ondas se encuentran en un punto común P en una pantalla. La distancia entre los puntos S1 y S2 es d; la distancia entre la pantalla con las dos rendijas y la pantalla con el punto P es D. El punto P está más alto que el punto medio entre S1 y S2 por la distancia y. La línea imaginaria trazada desde el punto P hasta el punto medio entre las rendijas forma un ángulo theta con el eje x. La imagen de la derecha es un dibujo esquemático de dos rendijas separadas por la distancia d. Las ondas pasan a través de las rendijas y viajan hasta la pantalla P. El ángulo theta está formado por la onda viajera y el eje x.

Figura 3.7 (a) Para llegar a P, las ondas de luz procedentes de

S_{1}

S_{2}

deben recorrer distancias diferentes. (b) La diferencia del recorrido entre los dos rayos es

Δ l

Las ecuaciones de la interferencia de doble rendija implican que se forma una serie de líneas brillantes y oscuras. En el caso de las rendijas verticales, la luz se propaga horizontalmente a ambos lados del haz incidente en un patrón llamado franjas de interferencia (Figura 3.8). Cuanto más cerca estén las rendijas, más se separan las franjas brillantes. Podemos ver esto examinando la ecuación

$d sen θ = m λ, para m = 0, ± 1, ± 2, ± 3 …$ . Para los $λ$ y m fijos, cuanto menor sea d, mayor debe ser $θ$ , ya que $sen θ = m λ / d$ . Esto es coherente con nuestra afirmación de que los efectos de las ondas son más notables cuando el objeto con el que se encuentra la onda (en este caso, las rendijas a una distancia d) es pequeño. Una d pequeña da un gran $θ$ , por lo tanto, un gran efecto.

Si volvemos a la parte (a) de la figura, vemos que $θ$ suele ser lo suficientemente pequeño como para que $sen θ \approx tan θ \approx y_{m} / D$ , donde $y_{m}$ es la distancia del máximo central a la menésima franja brillante y D es distancia entre la rendija y la pantalla. Ecuación 3.4 puede escribirse entonces como

d \frac{y_{m}}{D} = m λ

y_{m} = \frac{m λ D}{d} .

3.6

La imagen de la izquierda muestra una doble rendija situada a una distancia D de una pantalla, con la distancia entre las rendijas dada como d. La imagen de la derecha es una fotografía del patrón de franjas que muestra las líneas brillantes en las posiciones donde las ondas interfieren constructivamente.

Figura 3.8 El patrón de interferencia para una doble rendija tiene una intensidad que decae con el ángulo. La imagen muestra múltiples líneas o franjas brillantes y oscuras, formadas por la luz que pasa a través de una doble rendija.

Ejemplo 3.1

Cálculo de una longitud de onda a partir de un patrón de interferencia

Supongamos que se hace pasar la luz de un láser de helio (He) y neón (Ne) a través de dos rendijas separadas por 0,0100 mm y se encuentra que la tercera línea brillante en una pantalla se forma con un ángulo de

10,95 °

con respecto al rayo incidente. ¿Cuál es la longitud de onda de la luz?

Estrategia

El fenómeno es una interferencia de dos rendijas como se ilustra en la Figura 3.8 y la tercera línea brillante se debe a una interferencia constructiva de tercer orden, lo que significa que

m = 3

. Se nos da

d = 0,0100 mm

θ = 10,95 °

. Por lo tanto, la longitud de onda se puede encontrar utilizando la ecuación

d sen θ = m λ

para la interferencia constructiva.

Solución

Al resolver

d sen θ = m λ

para la longitud de onda

λ

se obtiene

λ = \frac{d sen θ}{m} .

Al sustituir los valores conocidos se obtiene

λ = \frac{(0,0100 mm) (sen 10,95 °)}{3} = 6,33 \times 10^{−4} mm = 633 nm .

Importancia

Es la longitud de onda de luz, de tres dígitos, emitida por el láser común de He-Ne. No por casualidad, este color rojo es similar al que emiten las luces de neón. Sin embargo, lo más importante es que los patrones de interferencia pueden utilizarse para medir la longitud de onda. Young hizo esto para las longitudes de onda visibles. Esta técnica analítica se sigue utilizando ampliamente para medir los espectros electromagnéticos. Para un orden determinado, el ángulo de interferencia constructiva aumenta con

λ

, de modo que se pueden obtener espectros (mediciones de la intensidad en función de la longitud de onda).

Ejemplo 3.2

Cálculo del mayor orden posible

Los patrones de interferencia no tienen un número infinito de líneas, ya que hay un límite en el tamaño de m. ¿Cuál es la interferencia constructiva de mayor orden posible con el sistema descrito en el ejemplo anterior?

Estrategia

La ecuación

d sen θ = m λ

(para

m = 0, ± 1, ± 2, ± 3 …

) describe la interferencia constructiva de dos rendijas. Para valores fijos de

d y λ

, cuanto mayor sea m, mayor será

sen θ

. Sin embargo, el valor máximo que

sen θ

puede tener es 1, para un ángulo de

90 °

. (Los ángulos mayores implican que la luz va hacia atrás y no llega a la pantalla) Busquemos qué valor de m corresponde a este ángulo máximo de difracción.

Solución

Al resolver la ecuación

d sen θ = m λ

para m se obtiene

m = \frac{d sen θ}{λ} .

Si tomamos $sen θ = 1$ y sustituimos los valores de $d y λ$ del ejemplo anterior da

m = \frac{(0,0100 mm) (1)}{633 nm} \approx 15,8 .

Por lo tanto, el mayor número entero que puede ser m es 15, o $m = 15$ .

Importancia

El número de franjas depende de la longitud de onda y de la separación de las rendijas. El número de franjas es muy grande para grandes separaciones de rendijas. Sin embargo, recordemos (consulte la sección La propagación de la luz y la introducción de este capítulo) que la interferencia de las ondas solo es prominente cuando la onda interactúa con objetos que no son grandes en comparación con la longitud de onda. Por lo tanto, si la separación de las rendijas y los tamaños de las mismas son mucho mayores que la longitud de onda, el patrón de intensidad de la luz en la pantalla cambia, por lo que simplemente hay dos líneas brillantes proyectadas por las rendijas, como se espera, cuando la luz se comporta como rayos. También observamos que las franjas se hacen más tenues cuanto más se alejan del centro. Por lo tanto, es posible que no se puedan observar las 15 franjas.

Compruebe Lo Aprendido 3.1

En el sistema utilizado en los ejemplos anteriores, ¿con qué ángulos se forman la primera y la segunda franja brillante?