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Física Universitaria Volumen 3

9.4 Modelo de electrones libres de los metales

Física Universitaria Volumen 39.4 Modelo de electrones libres de los metales
  1. Prefacio
  2. Óptica
    1. 1 La naturaleza de la luz
      1. Introducción
      2. 1.1 La propagación de la luz
      3. 1.2 La ley de reflexión
      4. 1.3 Refracción
      5. 1.4 Reflexión interna total
      6. 1.5 Dispersión
      7. 1.6 Principio de Huygens
      8. 1.7 Polarización
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    2. 2 Óptica geométrica y formación de imágenes
      1. Introducción
      2. 2.1 Imágenes formadas por espejos planos
      3. 2.2 Espejos esféricos
      4. 2.3 Imágenes formadas por refracción
      5. 2.4 Lentes delgadas
      6. 2.5 El ojo
      7. 2.6 La cámara
      8. 2.7 La lupa simple
      9. 2.8 Microscopios y telescopios
      10. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
    3. 3 Interferencias
      1. Introducción
      2. 3.1 Interferencia de doble rendija de Young
      3. 3.2 Matemáticas de la interferencia
      4. 3.3 Interferencias de rendijas múltiples
      5. 3.4 Interferencia de película delgada
      6. 3.5 El interferómetro de Michelson
      7. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    4. 4 Difracción
      1. Introducción
      2. 4.1 Difracción de una rendija
      3. 4.2 Intensidad en la difracción de una rendija
      4. 4.3 Difracción de doble rendija
      5. 4.4 Rejillas de difracción
      6. 4.5 Aberturas circulares y resolución
      7. 4.6 Difracción de rayos X
      8. 4.7 Holografía
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  3. Física moderna
    1. 5 Relatividad
      1. Introducción
      2. 5.1 Invariancia de las leyes físicas
      3. 5.2 Relatividad de la simultaneidad
      4. 5.3 Dilatación del tiempo
      5. 5.4 Contracción de longitud
      6. 5.5 La transformación de Lorentz
      7. 5.6 Transformación relativista de la velocidad
      8. 5.7 Efecto Doppler para la luz
      9. 5.8 Momento relativista
      10. 5.9 Energía relativista
      11. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
    2. 6 Fotones y ondas de materia
      1. Introducción
      2. 6.1 Radiación de cuerpo negro
      3. 6.2 Efecto fotoeléctrico
      4. 6.3 El efecto Compton
      5. 6.4 Modelo de Bohr del átomo de hidrógeno
      6. 6.5 Las ondas de materia de De Broglie
      7. 6.6 Dualidad onda-partícula
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
    3. 7 Mecánica cuántica
      1. Introducción
      2. 7.1 Funciones de onda
      3. 7.2 El principio de incertidumbre de Heisenberg
      4. 7.3 La ecuación de Schrӧdinger
      5. 7.4 La partícula cuántica en una caja
      6. 7.5 El oscilador armónico cuántico
      7. 7.6 El efecto túnel de las partículas a través de las barreras de potencial
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    4. 8 Estructura atómica
      1. Introducción
      2. 8.1 El átomo de hidrógeno
      3. 8.2 Momento dipolar magnético orbital del electrón
      4. 8.3 Espín del electrón
      5. 8.4 El principio de exclusión y la tabla periódica
      6. 8.5 Espectros atómicos y rayos X
      7. 8.6 Láseres
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
    5. 9 Física de la materia condensada
      1. Introducción
      2. 9.1 Tipos de enlaces moleculares
      3. 9.2 Espectros moleculares
      4. 9.3 Enlaces en los sólidos cristalinos
      5. 9.4 Modelo de electrones libres de los metales
      6. 9.5 Teoría de bandas de los sólidos
      7. 9.6 Semiconductores y dopaje
      8. 9.7 Dispositivos semiconductores
      9. 9.8 Superconductividad
      10. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    6. 10 Física nuclear
      1. Introducción
      2. 10.1 Propiedades de los núcleos
      3. 10.2 Energía de enlace nuclear
      4. 10.3 Decaimiento radioactivo
      5. 10.4 Reacciones nucleares
      6. 10.5 Fisión
      7. 10.6 Fusión nuclear
      8. 10.7 Usos médicos y efectos biológicos de la radiación nuclear
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    7. 11 Física de partículas y cosmología
      1. Introducción
      2. 11.1 Introducción a la física de partículas
      3. 11.2 Leyes de conservación de las partículas
      4. 11.3 Cuarks
      5. 11.4 Aceleradores y detectores de partículas
      6. 11.5 El modelo estándar
      7. 11.6 El Big Bang
      8. 11.7 Evolución del universo primigenio
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  4. A Unidades
  5. B Factores de conversión
  6. C Constantes fundamentales
  7. D Datos astronómicos
  8. E Fórmulas matemáticas
  9. F Química
  10. G El alfabeto griego
  11. Clave de Respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
    8. Capítulo 8
    9. Capítulo 9
    10. Capítulo 10
    11. Capítulo 11
  12. Índice

Objetivos De Aprendizaje

Al final de esta sección podrá:

  • Describir el modelo clásico de electrones libres de los metales en términos del concepto de la densidad numérica del electrón.
  • Explicar el modelo cuántico de electrones libres de los metales en términos del principio de exclusión de Pauli.
  • Calcular los niveles de energía y el espaciado entre niveles de energía de un electrón libre en un metal.

Los metales, como el cobre y el aluminio, se mantienen unidos por enlaces muy diferentes a los de las moléculas. En lugar de compartir e intercambiar electrones, un metal se mantiene esencialmente unido por un sistema de electrones libres que vagan por el sólido. El modelo más simple de un metal es el modelo de electrones libres. Este modelo considera a los electrones como un gas. Primero consideramos el caso simple de una dimensión en la que los electrones se mueven libremente a lo largo de una línea, como por ejemplo a través de una varilla metálica muy delgada. La función potencial U(x) para este caso es un pozo potencial infinito unidimensional donde las paredes del pozo corresponden a los bordes de la varilla. Este modelo ignora las interacciones entre los electrones pero respeta el principio de exclusión. Para el caso especial de T=0 KT=0K, electrones N completan los niveles de energía, de menor a mayor, de dos en dos (con espín hacia arriba y espín hacia abajo), hasta llenar el nivel de energía más alto. La energía más alta que se llena se llama energía de Fermi.

El modelo unidimensional de electrones libres puede mejorarse considerando el caso tridimensional: electrones moviéndose libremente en un bloque metálico tridimensional. Este sistema se modela mediante un pozo potencial infinito tridimensional. Para determinar los estados energéticos permitidos es necesario que resolvamos la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo.

h22me(2x2+2y2+2z2)ψ(x,y,z)=Eψ(x,y,z),h22me(2x2+2y2+2z2)ψ(x,y,z)=Eψ(x,y,z),
9.26

donde suponemos que la energía potencial dentro de la caja es cero e infinita en caso contrario. Las funciones de onda permitidas que describen los estados cuánticos del electrón pueden escribirse como

ψ(x,y,z)=(2LxsennxπxLx)(2LysennyπyLy)(2LzsennzπzLz),ψ(x,y,z)=(2LxsennxπxLx)(2LysennyπyLy)(2LzsennzπzLz),
9.27

donde nx,ny,nx,ny, y nznz son números enteros positivos que representan los números cuánticos correspondientes al movimiento en las direcciones de la x, la yy la z, respectivamente, y Lx,Ly,yLzLx,Ly,yLz son las dimensiones de la caja en esas direcciones. La Ecuación 9.27 es simplemente el producto de tres funciones de onda unidimensionales. Las energías permitidas de un electrón en un cubo (L=Lx=Ly=Lz)(L=Lx=Ly=Lz) son

E=π222mL2(n12+n22+n32).E=π222mL2(n12+n22+n32).
9.28

Asociado a cada conjunto de números cuánticos (nx,ny,nz)(nx,ny,nz) son dos estados cuánticos, con espín hacia arriba y espín hacia abajo. En un material real, el número de estados llenos es enorme. Por ejemplo, en un centímetro cúbico de metal, este número es del orden de 1022.1022. Contar cuántas partículas están en cada estado es un trabajo difícil, que a menudo requiere la ayuda de un potente ordenador. Sin embargo, el esfuerzo merece la pena, porque esta información suele ser una forma eficaz de comprobar el modelo.

Ejemplo 9.4

Energía de un cubo metálico

Considere un cubo metálico sólido de longitud de arista 2,0 cm. (a) ¿Cuál es el nivel de energía más bajo para un electrón dentro del metal? (b) ¿Cuál es el espacio entre este nivel y el siguiente nivel de energía?

Estrategia

Un electrón en un metal puede modelarse como una onda. La energía más baja corresponde a la mayor longitud de onda y al menor número cuántico nx,ny,nz=(1,1,1).nx,ny,nz=(1,1,1). La Ecuación 9.28 proporciona este valor de energía del "estado fundamental". Dado que la energía del electrón aumenta con el número cuántico, el siguiente nivel más alto implica el menor aumento de los números cuánticos, o (nx,ny,nz)=(2,1,1),(1,2,1),(nx,ny,nz)=(2,1,1),(1,2,1), o (1, 1, 2).

Solución

El nivel de energía más bajo corresponde a los números cuánticos nx=ny=nz=1.nx=ny=nz=1. A partir de la Ecuación 9.28, la energía de este nivel es
E(1,1,1)=π2h22meL2(12+12+12)=3π2(1,05×1034J·s)22(9,11×10−31kg)(2,00×10−2m)2=4,48×10−34J=2,80×10−15eV.E(1,1,1)=π2h22meL2(12+12+12)=3π2(1,05×1034J·s)22(9,11×10−31kg)(2,00×10−2m)2=4,48×10−34J=2,80×10−15eV.

El siguiente nivel de energía más alto se alcanza aumentando en 1 cualquiera de los tres números cuánticos. Por lo tanto, en realidad hay tres estados cuánticos con la misma energía. Supongamos que aumentamos nxnx por 1. Entonces la energía se convierte en

E(2,1,1)=π2h22meL2(22+12+12)=6π2(1,05×1034J·s)22(9,11×10−31kg)(2,00×10−2m)2=8,96×10−34J=5,60×10−15eV.E(2,1,1)=π2h22meL2(22+12+12)=6π2(1,05×1034J·s)22(9,11×10−31kg)(2,00×10−2m)2=8,96×10−34J=5,60×10−15eV.

Por lo tanto, el espacio energético entre el estado de menor energía y el siguiente estado de mayor energía es

E(2,1,1)E(1,1,1)=2,80×10−15eV.E(2,1,1)E(1,1,1)=2,80×10−15eV.

Importancia

Se trata de una diferencia energética muy pequeña. Compare este valor con la energía cinética media de una partícula, kBTkBT, donde kBkB es la constante de Boltzmann y T es la temperatura. El producto kBTkBT es unas 1000 veces mayor que el espacio de energía.

Compruebe Lo Aprendido 9.4

¿Qué ocurre con la energía del estado fundamental de un electrón si las dimensiones del sólido aumentan?

Con frecuencia no nos interesa el número total de partículas en todos los estados, sino el número de partículas dN con energías en un estrecho intervalo de energía. Este valor puede expresarse mediante

dN=n(E)dE=g(E)dE·FdN=n(E)dE=g(E)dE·F

donde n(E) es la densidad numérica de los electrones, o el número de electrones por unidad de volumen, g(E) es la densidad de estados, o el número de estados cuánticos permitidos por unidad de energía, dE es el tamaño del intervalo de energía, y F es el factor de Fermi. El factor de Fermi es la probabilidad de que el estado se llene. Por ejemplo, si g(E)dE tiene 100 estados disponibles, pero F solo tiene 5 %5 %, entonces el número de partículas en este estrecho intervalo de energía es de solo cinco. Hallar g(E) requiere resolver la ecuación de Schrödinger (en tres dimensiones) para los niveles de energía permitidos. El cálculo es complicado incluso para un modelo rudimentario, pero el resultado es sencillo:

g(E)=πV2(8meh2)3/2E1/2,g(E)=πV2(8meh2)3/2E1/2,
9.29

donde V es el volumen del sólido, meme es la masa del electrón y E es la energía del estado. Observe que la densidad de estados aumenta con la raíz cuadrada de la energía. Hay más estados disponibles a alta energía que a baja energía. Esta expresión no proporciona información de la densidad de los electrones en el espacio físico, sino de la densidad de los niveles de energía en el "espacio energético". Por ejemplo, en nuestro estudio de la estructura atómica, aprendimos que los niveles de energía de un átomo de hidrógeno están mucho más espaciados para valores de energía pequeños (cercanos al estado fundamental) que para valores mayores.

Esta ecuación nos dice cuántos estados de los electrones están disponibles en un sólido metálico tridimensional. Sin embargo, no nos dice la probabilidad de que estos estados se llenen. Por lo tanto, necesitamos determinar el factor de Fermi, F. Consideremos el caso simple de T=0KT=0K. Desde la física clásica, esperamos que todos los electrones (1022/cm3)(1022/cm3) simplemente pasarían al estado fundamental para alcanzar la menor energía posible. Sin embargo, esto viola el principio de exclusión de Pauli, que establece que no puede haber dos electrones en el mismo estado cuántico. Por lo tanto, cuando empezamos a llenar los estados con electrones, los estados con menor energía se ocupan primero, y luego los estados con energías progresivamente más altas. El último electrón que ponemos tiene la mayor energía. Esta energía es la energía de Fermi EFEF del gas de electrones libres. Un estado con energía E<EFE<EF está ocupado por un solo electrón, y un estado con energía E>EFE>EF está desocupado. Para describir esto en términos de una probabilidad F(E) de que un estado de energía E esté ocupado, escribimos para T=0KT=0K:

F(E)=1(E<EF)F(E)=0(E>EF).F(E)=1(E<EF)F(E)=0(E>EF).
9.30

La densidad de estados, el factor de Fermi y la densidad numérica de los electrones se representan en función de la energía en la Figura 9.12.

La figura a es un gráfico de g entre paréntesis E en función de E. La curva empieza en cero y va hacia arriba y hacia la derecha. Se etiqueta g E entre paréntesis es proporcional a E elevada a la mitad. La figura b es una gráfica de f entre paréntesis E en función de E. Hay una línea horizontal en el valor I de la y y una línea vertical en el valor E subíndice F en la x. Estas, junto con los ejes forman un rectángulo en el primer cuadrante. La figura c es un gráfico de g entre paréntesis E, f entre paréntesis E en función de E. Aquí se superponen las curvas de las figuras a y b. El punto de la curva con un valor de la x de E subíndice F tiene un valor y de g entre paréntesis E subíndice F.
Figura 9.12 (a) Densidad de estados para un gas de electrones libres; (b) probabilidad de que un estado esté ocupado en T = 0 K T = 0 K ; (c) densidad de estados ocupados en T = 0 K T = 0 K .

Conviene hacer algunas observaciones. En primer lugar, la distribución de la densidad numérica de electrones (última fila) cae bruscamente en la energía de Fermi. Según la teoría, esta energía viene dada por

EF=h28me(3NπV)2/3.EF=h28me(3NπV)2/3.
9.31

Las energías de Fermi de los materiales seleccionados se enumeran en la siguiente tabla.

Elemento Densidad de electrones en la banda de conducción (1028m−3)(1028m−3) Modelo de electrones libres de la energía de Fermi (eV)(eV)
AlAl 18,118,1 11,711,7
BaBa 3,153,15 3,643,64
CuCu 8,478,47 7,007,00
AuAu 5,905,90 5,535,53
FeFe 17,017,0 11,111,1
AgAg 5,865,86 5,495,49
Tabla 9.3 Densidades de electrones de conducción y energías de Fermi para algunos metales

Observe también que solo el gráfico en la parte (c) de la figura, que responde a la pregunta "¿cuántas partículas se encuentran en el rango de energía?" se comprueba mediante el experimento. La temperatura de Fermi o "temperatura" efectiva de un electrón en la energía de Fermi es

TF=EFkB.TF=EFkB.
9.32

Ejemplo 9.5

Energía de Fermi de la plata

La plata metálica es un excelente conductor. Tiene 5,86×10285,86×1028 electrones de conducción por metro cúbico. (a) Calcule su energía de Fermi. (b) Compare esta energía con la energía térmica kBTkBT de los electrones a una temperatura ambiente de 300 K.

Solución

  1. A partir de la Ecuación 9.31, la energía de Fermi es
    EF=h22me(3π2ne)2/3=(1,05×10−34J·s)22(9,11×10−31kg)×[(3π2(5,86×1028m−3)]2/3=8,79×10−19J=5,49eV.EF=h22me(3π2ne)2/3=(1,05×10−34J·s)22(9,11×10−31kg)×[(3π2(5,86×1028m−3)]2/3=8,79×10−19J=5,49eV.
    Este es un valor típico de la energía de Fermi para los metales, como puede verse en la Tabla 9.3.
  2. Podemos asociar una temperatura de Fermi TFTF con la energía de Fermi escribiendo kBTF=EF.kBTF=EF. Hallamos entonces para la temperatura de Fermi
    TF=8,79×10−19J1,38×10−23J/K=6,37×104K,TF=8,79×10−19J1,38×10−23J/K=6,37×104K,
    que es muy superior a la temperatura ambiente y también al punto de fusión típico (103K)(103K) de un metal. La relación entre la energía de Fermi de la plata y la energía térmica a temperatura ambiente es
    EFkBT=TFT210.EFkBT=TFT210.

Para visualizar cómo se llenan los estados cuánticos, podemos imaginar que se vierte agua lentamente en una copa, como la de la Figura 9.13. Las primeras gotas de agua (los electrones) ocupan el fondo de la copa (los estados con menor energía). A medida que el nivel sube, se ocupan estados de energía cada vez más altos. Además, como la copa tiene una abertura amplia y un tallo estrecho, ocupa más agua en la parte superior de la copa que en la inferior. Esto refleja el hecho de que la densidad de estados g(E) es proporcional a E1/2E1/2, por lo que hay un número relativamente grande de electrones de mayor energía en un gas de electrones libres. Por último, el nivel al que se llena la copa corresponde a la energía de Fermi.

Fotografía de una copa de martini llena de agua a la mitad. El agua está marcada como gas de electrones y la línea de agua está marcada como energía de Fermi E subíndice F.
Figura 9.13 Una analogía de cómo los electrones llenan los estados de energía en un metal. A medida que los electrones llenan los estados de energía, de menor a mayor, el número de estados disponibles aumenta. El estado de mayor energía (correspondiente a la línea de agua) es la energía de Fermi (crédito: modificación del trabajo de "Didriks"/ Flickr).

Supongamos que en T=0KT=0K, el número de electrones de conducción por unidad de volumen en nuestra muestra es nene. Como cada estado de campo tiene un electrón, el número de estados llenos por unidad de volumen es el mismo que el número de electrones por unidad de volumen.

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