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Física Universitaria Volumen 3

9.5 Teoría de bandas de los sólidos

Física Universitaria Volumen 39.5 Teoría de bandas de los sólidos
  1. Prefacio
  2. Óptica
    1. 1 La naturaleza de la luz
      1. Introducción
      2. 1.1 La propagación de la luz
      3. 1.2 La ley de reflexión
      4. 1.3 Refracción
      5. 1.4 Reflexión interna total
      6. 1.5 Dispersión
      7. 1.6 Principio de Huygens
      8. 1.7 Polarización
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    2. 2 Óptica geométrica y formación de imágenes
      1. Introducción
      2. 2.1 Imágenes formadas por espejos planos
      3. 2.2 Espejos esféricos
      4. 2.3 Imágenes formadas por refracción
      5. 2.4 Lentes delgadas
      6. 2.5 El ojo
      7. 2.6 La cámara
      8. 2.7 La lupa simple
      9. 2.8 Microscopios y telescopios
      10. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
    3. 3 Interferencias
      1. Introducción
      2. 3.1 Interferencia de doble rendija de Young
      3. 3.2 Matemáticas de la interferencia
      4. 3.3 Interferencias de rendijas múltiples
      5. 3.4 Interferencia de película delgada
      6. 3.5 El interferómetro de Michelson
      7. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    4. 4 Difracción
      1. Introducción
      2. 4.1 Difracción de una rendija
      3. 4.2 Intensidad en la difracción de una rendija
      4. 4.3 Difracción de doble rendija
      5. 4.4 Rejillas de difracción
      6. 4.5 Aberturas circulares y resolución
      7. 4.6 Difracción de rayos X
      8. 4.7 Holografía
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  3. Física moderna
    1. 5 Relatividad
      1. Introducción
      2. 5.1 Invariancia de las leyes físicas
      3. 5.2 Relatividad de la simultaneidad
      4. 5.3 Dilatación del tiempo
      5. 5.4 Contracción de longitud
      6. 5.5 La transformación de Lorentz
      7. 5.6 Transformación relativista de la velocidad
      8. 5.7 Efecto Doppler para la luz
      9. 5.8 Momento relativista
      10. 5.9 Energía relativista
      11. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
    2. 6 Fotones y ondas de materia
      1. Introducción
      2. 6.1 Radiación de cuerpo negro
      3. 6.2 Efecto fotoeléctrico
      4. 6.3 El efecto Compton
      5. 6.4 Modelo de Bohr del átomo de hidrógeno
      6. 6.5 Las ondas de materia de De Broglie
      7. 6.6 Dualidad onda-partícula
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
    3. 7 Mecánica cuántica
      1. Introducción
      2. 7.1 Funciones de onda
      3. 7.2 El principio de incertidumbre de Heisenberg
      4. 7.3 La ecuación de Schrӧdinger
      5. 7.4 La partícula cuántica en una caja
      6. 7.5 El oscilador armónico cuántico
      7. 7.6 El efecto túnel de las partículas a través de las barreras de potencial
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    4. 8 Estructura atómica
      1. Introducción
      2. 8.1 El átomo de hidrógeno
      3. 8.2 Momento dipolar magnético orbital del electrón
      4. 8.3 Espín del electrón
      5. 8.4 El principio de exclusión y la tabla periódica
      6. 8.5 Espectros atómicos y rayos X
      7. 8.6 Láseres
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
    5. 9 Física de la materia condensada
      1. Introducción
      2. 9.1 Tipos de enlaces moleculares
      3. 9.2 Espectros moleculares
      4. 9.3 Enlaces en los sólidos cristalinos
      5. 9.4 Modelo de electrones libres de los metales
      6. 9.5 Teoría de bandas de los sólidos
      7. 9.6 Semiconductores y dopaje
      8. 9.7 Dispositivos semiconductores
      9. 9.8 Superconductividad
      10. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    6. 10 Física nuclear
      1. Introducción
      2. 10.1 Propiedades de los núcleos
      3. 10.2 Energía de enlace nuclear
      4. 10.3 Decaimiento radioactivo
      5. 10.4 Reacciones nucleares
      6. 10.5 Fisión
      7. 10.6 Fusión nuclear
      8. 10.7 Usos médicos y efectos biológicos de la radiación nuclear
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    7. 11 Física de partículas y cosmología
      1. Introducción
      2. 11.1 Introducción a la física de partículas
      3. 11.2 Leyes de conservación de las partículas
      4. 11.3 Cuarks
      5. 11.4 Aceleradores y detectores de partículas
      6. 11.5 El modelo estándar
      7. 11.6 El Big Bang
      8. 11.7 Evolución del universo primigenio
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  4. A Unidades
  5. B Factores de conversión
  6. C Constantes fundamentales
  7. D Datos astronómicos
  8. E Fórmulas matemáticas
  9. F Química
  10. G El alfabeto griego
  11. Clave de Respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
    8. Capítulo 8
    9. Capítulo 9
    10. Capítulo 10
    11. Capítulo 11
  12. Índice

Objetivos De Aprendizaje

Al final de esta sección podrá:

  • Describir dos enfoques principales para determinar los niveles de energía de un electrón en un cristal.
  • Explicar la presencia de bandas de energía y brechas en la estructura energética de un cristal.
  • Explicar por qué algunos materiales son buenos conductores y otros son buenos aislantes.
  • Diferenciar entre un aislante y un semiconductor.

El modelo de electrones libres explica muchas propiedades importantes de los conductores, pero es débil en al menos dos áreas. En primer lugar, asume una energía potencial constante dentro del sólido. (Recordemos que una energía potencial constante está asociada a la ausencia de fuerzas). La Figura 9.14 compara la suposición de una energía potencial constante (línea punteada) con el potencial periódico de Coulomb, que cae como −1/r−1/r en cada punto de la red, donde r es la distancia al núcleo de iones (línea sólida). En segundo lugar, el modelo de electrones libres supone una barrera impenetrable en la superficie. Esta suposición no es válida, porque en determinadas condiciones, los electrones pueden escapar de la superficie, como en el efecto fotoeléctrico. Además de estas suposiciones, el modelo de electrones libres no explica las dramáticas diferencias en las propiedades electrónicas de los conductores, semiconductores y aislantes. Por lo tanto, se necesita un modelo más completo.

La figura muestra tres estructuras en forma de U invertida en una fila y dos incompletas a cada lado de la fila. Hay puntos rojos en la parte inferior entre dos cifras consecutivas, con signos de suma debajo. La distancia entre dos puntos consecutivos es a. Las formas se marcan como menos 1 por r. Hay un punto justo encima de las formas. Está marcado como energía potencial constante aproximada.
Figura 9.14 El potencial periódico utilizado para modelar los electrones en un conductor. Cada ion en el sólido es la fuente de un potencial de Coulomb. Observe que el modelo de electrones libres es productivo porque la media de este campo es aproximadamente constante.

Podemos producir un modelo mejorado resolviendo la ecuación de Schrödinger para el potencial periódico que se muestra en la Figura 9.14. Sin embargo, la solución requiere una matemática técnica que está fuera de nuestro alcance. Volvemos a buscar un argumento cualitativo con base en la mecánica cuántica para encontrar una vía.

En primer lugar, repasamos el argumento utilizado para explicar la estructura energética de un enlace covalente. Considere dos átomos de hidrógeno idénticos tan alejados que no existe interacción alguna entre ellos. Supongamos además que el electrón de cada átomo se encuentra en el mismo estado fundamental: un electrón 1s con una energía de −13,6eV−13,6eV (ignore el espín). Cuando los átomos de hidrógeno se acercan, las funciones de onda individuales de los electrones se superponen y, por el principio de exclusión, ya no pueden estar en el mismo estado cuántico, lo que divide los niveles de energía equivalentes originales en dos niveles de energía diferentes. Las energías de estos niveles dependen de la distancia interatómica, αα (Figura 9.15).

Si se juntan cuatro átomos de hidrógeno, se forman cuatro niveles a partir de las cuatro simetrías posibles: una sola "joroba" de onda sinusoidal en cada pozo, alternando arriba y abajo, y así sucesivamente. En el límite de un número muy grande N de átomos, esperamos una propagación de bandas casi continuas de niveles de energía electrónica en un sólido (vea la Figura 9.15(c)). Cada una de estas bandas se conoce como banda de energía. (Los estados permitidos de energía y número de onda siguen siendo técnicamente cuantizados, pero en un gran número de átomos estos estados están tan cerca entre sí que se consideran continuos o "en el continuo").

Las bandas de energía se diferencian por el número de electrones que contienen. En las bandas de energía 1s y 2s, cada nivel de energía contiene hasta dos electrones (espín arriba y espín abajo), por lo que esta banda tiene una ocupación máxima de 2N electrones. En la banda de energía 2p, cada nivel de energía tiene hasta seis electrones, por lo que esta banda tiene una ocupación máxima de 6N electrones (Figura 9.16).

Se muestran tres gráficos de E en función de R. La figura a tiene una curva formada por dos líneas casi verticales que bajan, giran a la derecha y se vuelven casi horizontales. Convergen para formar una sola línea. La figura b tiene una curva similar, pero hay dos líneas adicionales entre las líneas presentes en la figura a. La figura c es similar a la figura a con un área sombreada entre las líneas.
Figura 9.15 La dependencia de la división del nivel de energía en la distancia media entre (a) dos átomos, (b) cuatro átomos, y (c) un gran número de átomos. Para un gran número de electrones, se produce una banda continua de energías.
La figura muestra tres rectángulos sombreados, uno encima de otro, separados por espacios. El más bajo está etiquetado como 1s, el del medio como 2s y el de arriba como 2p. 1s y 2s tienen la misma altura, 2p es más alto. Todos tienen el mismo ancho. A la izquierda de los rectángulos hay una flecha etiquetada como energía que apunta hacia arriba.
Figura 9.16 Una representación sencilla de la estructura energética de un sólido. Los electrones pertenecen a bandas de energía separadas por brechas energéticas.

Cada banda de energía está separada de la otra por una brecha energética. Las propiedades eléctricas de los conductores y los aislantes pueden entenderse en términos de bandas y brechas de energía. La banda de mayor energía que se llena se conoce como banda de valencia. La siguiente banda disponible en la estructura energética se conoce como banda de conducción. En un conductor, la banda de energía más alta que contiene electrones está parcialmente llena, mientras que en un aislante, la banda de energía más alta que contiene electrones está completamente llena. La diferencia entre un conductor y un aislante se ilustra en la Figura 9.17.

Un conductor se diferencia de un aislante en la forma en que sus electrones responden a un campo eléctrico aplicado. Si un número significativo de electrones se pone en movimiento por el campo, el material es un conductor. En términos del modelo de banda, los electrones en la banda de conducción parcialmente llena ganan energía cinética del campo eléctrico llenando estados de mayor energía en la banda de conducción. Por el contrario, en un aislante, los electrones pertenecen a las bandas completamente llenas. Cuando se aplica el campo, los electrones no pueden realizar dichas transiciones (adquirir energía cinética del campo eléctrico) debido al principio de exclusión. Como resultado, el material no conduce la electricidad.

Dos figuras tienen un rectángulo en la parte inferior marcado como banda de valencia, un espacio en el medio marcado como brecha energética y un rectángulo en la parte superior marcado como banda de conducción. En la figura a, marcada como conductor: banda de valencia rellena, banda de conducción sin rellenar, el rectángulo inferior está sombreado y el superior solo en la mitad inferior. En la figura b, marcada como aislante: banda de valencia llena, banda de conducción llena, ambos rectángulos están totalmente sombreados.
Figura 9.17 Comparación de un conductor y un aislante. La banda de energía más alta está parcialmente llena en un conductor, pero completamente llena en un aislante.

Interactivo

Visite esta simulación para conocer el origen de las bandas de energía en los cristales de los átomos y cómo la estructura de las bandas determina la forma en que un material conduce la electricidad. Explore cómo la estructura de bandas crea una red de muchos pozos.

Un semiconductor tiene una estructura energética similar a la de un aislante, salvo que tiene una brecha energética relativamente pequeña entre la banda más baja completamente llena y la siguiente banda disponible sin llenar. Este tipo de material constituye la base de la electrónica moderna. En T=0KT=0K, el semiconductor y el aislante tienen bandas completamente llenas. La única diferencia está en el tamaño de la brecha energética (o brecha de banda) Eg entre la banda de energía más alta que se llena (la banda de valencia) y la banda vacía inmediatamente superior (la banda de conducción). En un semiconductor, este hueco es lo suficientemente pequeño como para que un número importante de electrones de la banda de valencia se excite térmicamente hacia la banda de conducción a temperatura ambiente. Estos electrones se encuentran entonces en una banda casi vacía y pueden responder a un campo aplicado. Como regla general, la brecha de banda de un semiconductor es de aproximadamente 1 eV. (Vea la Tabla 9.4 para la silicona). Una brecha de banda superior a aproximadamente 1 eV se considera un aislante. A modo de comparación, la brecha energética del diamante (un aislante) es de varios electronvoltios.

Material Brecha energética Eg(eV)Eg(eV)
SiSi 1,141,14
GeGe 0,670,67
GaAsGaAs 1,431,43
GaPGaP 2,262,26
GaSbGaSb 0,690,69
InAsInAs 0,350,35
InPInP 1,351,35
InSbInSb 0,160,16
C(diamante)C(diamante) 5,485,48
Tabla 9.4 Brecha energética de varios materiales a 300 K Nota: A excepción del diamante, todos los materiales mencionados son semiconductores.
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