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Física Universitaria Volumen 3

10.3 Decaimiento radioactivo

Física Universitaria Volumen 310.3 Decaimiento radioactivo
  1. Prefacio
  2. Óptica
    1. 1 La naturaleza de la luz
      1. Introducción
      2. 1.1 La propagación de la luz
      3. 1.2 La ley de reflexión
      4. 1.3 Refracción
      5. 1.4 Reflexión interna total
      6. 1.5 Dispersión
      7. 1.6 Principio de Huygens
      8. 1.7 Polarización
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    2. 2 Óptica geométrica y formación de imágenes
      1. Introducción
      2. 2.1 Imágenes formadas por espejos planos
      3. 2.2 Espejos esféricos
      4. 2.3 Imágenes formadas por refracción
      5. 2.4 Lentes delgadas
      6. 2.5 El ojo
      7. 2.6 La cámara
      8. 2.7 La lupa simple
      9. 2.8 Microscopios y telescopios
      10. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
    3. 3 Interferencias
      1. Introducción
      2. 3.1 Interferencia de doble rendija de Young
      3. 3.2 Matemáticas de la interferencia
      4. 3.3 Interferencias de rendijas múltiples
      5. 3.4 Interferencia de película delgada
      6. 3.5 El interferómetro de Michelson
      7. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    4. 4 Difracción
      1. Introducción
      2. 4.1 Difracción de una rendija
      3. 4.2 Intensidad en la difracción de una rendija
      4. 4.3 Difracción de doble rendija
      5. 4.4 Rejillas de difracción
      6. 4.5 Aberturas circulares y resolución
      7. 4.6 Difracción de rayos X
      8. 4.7 Holografía
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  3. Física moderna
    1. 5 Relatividad
      1. Introducción
      2. 5.1 Invariancia de las leyes físicas
      3. 5.2 Relatividad de la simultaneidad
      4. 5.3 Dilatación del tiempo
      5. 5.4 Contracción de longitud
      6. 5.5 La transformación de Lorentz
      7. 5.6 Transformación relativista de la velocidad
      8. 5.7 Efecto Doppler para la luz
      9. 5.8 Momento relativista
      10. 5.9 Energía relativista
      11. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
    2. 6 Fotones y ondas de materia
      1. Introducción
      2. 6.1 Radiación de cuerpo negro
      3. 6.2 Efecto fotoeléctrico
      4. 6.3 El efecto Compton
      5. 6.4 Modelo de Bohr del átomo de hidrógeno
      6. 6.5 Las ondas de materia de De Broglie
      7. 6.6 Dualidad onda-partícula
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
    3. 7 Mecánica cuántica
      1. Introducción
      2. 7.1 Funciones de onda
      3. 7.2 El principio de incertidumbre de Heisenberg
      4. 7.3 La ecuación de Schrӧdinger
      5. 7.4 La partícula cuántica en una caja
      6. 7.5 El oscilador armónico cuántico
      7. 7.6 El efecto túnel de las partículas a través de las barreras de potencial
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    4. 8 Estructura atómica
      1. Introducción
      2. 8.1 El átomo de hidrógeno
      3. 8.2 Momento dipolar magnético orbital del electrón
      4. 8.3 Espín del electrón
      5. 8.4 El principio de exclusión y la tabla periódica
      6. 8.5 Espectros atómicos y rayos X
      7. 8.6 Láseres
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
    5. 9 Física de la materia condensada
      1. Introducción
      2. 9.1 Tipos de enlaces moleculares
      3. 9.2 Espectros moleculares
      4. 9.3 Enlaces en los sólidos cristalinos
      5. 9.4 Modelo de electrones libres de los metales
      6. 9.5 Teoría de bandas de los sólidos
      7. 9.6 Semiconductores y dopaje
      8. 9.7 Dispositivos semiconductores
      9. 9.8 Superconductividad
      10. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    6. 10 Física nuclear
      1. Introducción
      2. 10.1 Propiedades de los núcleos
      3. 10.2 Energía de enlace nuclear
      4. 10.3 Decaimiento radioactivo
      5. 10.4 Reacciones nucleares
      6. 10.5 Fisión
      7. 10.6 Fusión nuclear
      8. 10.7 Usos médicos y efectos biológicos de la radiación nuclear
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    7. 11 Física de partículas y cosmología
      1. Introducción
      2. 11.1 Introducción a la física de partículas
      3. 11.2 Leyes de conservación de las partículas
      4. 11.3 Cuarks
      5. 11.4 Aceleradores y detectores de partículas
      6. 11.5 El modelo estándar
      7. 11.6 El Big Bang
      8. 11.7 Evolución del universo primigenio
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  4. A Unidades
  5. B Factores de conversión
  6. C Constantes fundamentales
  7. D Datos astronómicos
  8. E Fórmulas matemáticas
  9. F Química
  10. G El alfabeto griego
  11. Clave de Respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
    8. Capítulo 8
    9. Capítulo 9
    10. Capítulo 10
    11. Capítulo 11
  12. Índice

Objetivos De Aprendizaje

Al final de esta sección podrá:

  • Describir el decaimiento de una sustancia radioactiva en términos de su constante de decaimiento y su vida media.
  • Utilizar la ley de decaimiento radioactivo para estimar la edad de una sustancia.
  • Explicar los procesos naturales que permiten la datación de tejidos vivos mediante 14C14C (carbono 14).

En 1896, Antoine Becquerel descubrió que una roca rica en uranio emite rayos invisibles capaces de oscurecer una placa fotográfica en un recipiente cerrado. Los científicos exponen tres argumentos para el origen nuclear de estos rayos. En primer lugar, los efectos de la radiación no varían con el estado químico, es decir, si el material emisor está en forma de elemento o compuesto. En segundo lugar, la radiación no varía con los cambios de temperatura o presión, factores que en grado suficiente pueden afectar a los electrones de un átomo. En tercer lugar, la gran energía de los rayos invisibles (hasta cientos de eV) no coincide con las transiciones de los electrones atómicos (solo unos pocos eV). Hoy en día, esta radiación se explica por la conversión de masa en energía en lo más profundo del núcleo de un átomo. La emisión espontánea de radiación de los núcleos se denomina radioactividad nuclear (Figura 10.8).

Se muestra un triángulo amarillo con un contorno negro, que encierra una estructura en forma de abanico. El "ventilador" es negro y tiene tres aspas.
Figura 10.8 El símbolo internacional de las radiaciones ionizantes es universalmente reconocido como el símbolo de advertencia de las radiaciones nucleares.

Ley de decaimiento radioactivo

Cuando un núcleo individual se transforma en otro con la emisión de radiación, se dice que el núcleo decae. El decaimiento radioactivo se produce en todos los núcleos con Z>82,Z>82, y también para algunos isótopos inestables con Z<83.Z<83. La tasa de decaimiento es proporcional al número de núcleos originales N (no decaídos) en una sustancia. El número de núcleos perdidos por el decaimiento, dNdN en el intervalo de tiempo dt, se escribe

dNdt=λNdNdt=λN
10.7

donde λλ se denomina la constante de decaimiento. (El signo menos indica que el número de núcleos originales disminuye con el tiempo). En otras palabras, cuantos más núcleos estén disponibles para decaer, más decaerán (en el tiempo dt). Esta ecuación puede reescribirse como

dNN=λdt.dNN=λdt.
10.8

Integrando ambos lados de la ecuación, y definiendo N0N0 para que sea el número de núcleos en t=0t=0, obtenemos

N0NdNN=0tλdt.N0NdNN=0tλdt.
10.9

Esto nos da

lnNN0=λt.lnNN0=λt.
10.10

Tomando los lados izquierdo y derecho de la ecuación como una potencia de e, tenemos la ley de decaimiento radioactivo.

Ley de decaimiento radioactivo

El número total N de núcleos radioactivos que quedan después del tiempo t es

N=N0eλtN=N0eλt
10.11

donde λλ es la constante de decaimiento del núcleo en cuestión.

El número total de núcleos desciende muy rápidamente al principio, y luego más lentamente (Figura 10.9).

Se muestra un gráfico de N en función de t. Se marca N igual a N subíndice 0 e a la potencia menos lambda t. El valor de N es máximo, N subíndice 0, en t =0 y se reduce con el tiempo hasta llegar a 0. A t = T subíndice medio, N = N subíndice 0 por 2 y a t = 2T subíndice a la mitad, N = N subíndice 0 por 4.
Figura 10.9 Un gráfico de la ley de decaimiento radioactivo demuestra que el número de núcleos que quedan en una muestra de decaimiento disminuye drásticamente durante los primeros momentos del decaimiento.

La vida media (T1/2)(T1/2) de una sustancia radioactiva se define como el tiempo que tarda en decaer la mitad de los núcleos originales (o el tiempo en el que queda la mitad de los núcleos originales). La vida media de los isótopos inestables se muestra en la tabla de nucleídos en la Figura 10.4. Por lo tanto, el número de núcleos radioactivos que quedan después de un número entero (n) de vidas medias es

N=N02nN=N02n
10.12

Si la constante de decaimiento (λλ) es grande, la vida media es pequeña, y viceversa. Para determinar la relación entre estas cantidades, observe que cuando t=T1/2t=T1/2, entonces N=N0/2N=N0/2. Por lo tanto, la Ecuación 10.10 puede reescribirse como

N02=N0eλT1/2.N02=N0eλT1/2.
10.13

Dividiendo ambos lados entre N0N0 y tomando el logaritmo natural se produce

ln12=lneλT1/2ln12=lneλT1/2
10.14

lo que se reduce a

λ=0,693T1/2.λ=0,693T1/2.
10.15

Así, si conocemos la vida media T1/2 de una sustancia radioactiva, podemos hallar su constante de decaimiento. El tiempo de vida TT de una sustancia radioactiva se define como la cantidad media de existencia de un núcleo antes de decaer. El tiempo de vida de una sustancia no es más que el recíproco de la constante de decaimiento, escrito como

T=1λ.T=1λ.
10.16

La actividad A se define como la magnitud de la tasa de decaimiento, o

A=dNdt=λN=λN0eλt.A=dNdt=λN=λN0eλt.
10.17

El cambio infinitesimal dN en el intervalo de tiempo dt es negativo porque el número de partículas progenitoras (que no han decaído) disminuye, por lo que la actividad(A) es positiva. Definiendo la actividad inicial como A0=λN0A0=λN0, tenemos

A=A0eλt.A=A0eλt.
10.18

Así, la actividad A de una sustancia radioactiva disminuye exponencialmente con el tiempo (Figura 10.10).

La figura a muestra un gráfico de A en función de t. Comienza en el punto A subíndice 0 y se reduce con el tiempo. La tasa de reducción disminuye lentamente hasta que A está muy cerca de 0, formando una curva en el gráfico. El gráfico está marcado como A = A subíndice 0 e a la potencia menos lambda t. La figura b muestra un gráfico de ln A en función de t. Comienza en ln A subíndice 0 y tiene una pendiente descendente en línea recta. La pendiente de la línea está marcada como menos lambda t.
Figura 10.10 (a) Un gráfico de la actividad en función del tiempo (b) Si medimos la actividad en diferentes momentos, podemos trazar ln A en función de t, y obtener una línea recta.

Ejemplo 10.4

Constante de decaimiento y actividad del estroncio 90

La vida media del estroncio-90, 3890Sr3890Sr, es de 28,8 años. Halle (a) su constante de decaimiento y (b) la actividad inicial de 1,00 g del material.

Estrategia

Podemos hallar la constante de decaimiento directamente a partir de la Ecuación 10.15. Para determinar la actividad, primero tenemos que hallar el número de núcleos presentes.

Solución

  1. La constante de decaimiento es de
    λ=0,693T1/2=(0,693T1/2)(1yr3,16×107s)=7,61×10−10s1.λ=0,693T1/2=(0,693T1/2)(1yr3,16×107s)=7,61×10−10s1.
  2. La masa atómica de 3890Sr3890Sr es de 89,91 g. Usando el número de Avogadro NA=6,022×1023NA=6,022×1023 átomos/mol, calculamos el número inicial de núcleos en 1,00 g del material:
    N0=1,00g89,91g(NA)=6,70×1021núcleos.N0=1,00g89,91g(NA)=6,70×1021núcleos.
    A partir de esto, hallamos que la actividad A0A0 en t=0t=0 para 1,00 g de estroncio-90 es
    A0=λN0=(7,61×10−10s−1)(6,70×1021núcleos)=5,10×1012decays/s.A0=λN0=(7,61×10−10s−1)(6,70×1021núcleos)=5,10×1012decays/s.

Expresando λλ en términos de la vida media de la sustancia, obtenemos

A=A0e(0,693/T1/2)T1/2=A0e-0,693=A0/2.A=A0e(0,693/T1/2)T1/2=A0e-0,693=A0/2.
10.19

Por lo tanto, la actividad se reduce a la mitad después de la vida media. Podemos determinar la constante de decaimiento λλ midiendo la actividad en función del tiempo. Tomando el logaritmo natural de los lados izquierdo y derecho de Ecuación 10.17, obtenemos

lnA=λt+lnA0.lnA=λt+lnA0.
10.20

Esta ecuación sigue la forma lineal y=mx+by=mx+b. Si representamos ln A en función de t, esperamos una línea recta con pendiente λλ y la intersección y lnA0lnA0 (Figura 10.10(b)). La actividad A se expresa en unidades de becquerelios (Bq), donde un 1Bq=1decaimiento por segundo1Bq=1decaimiento por segundo. Esta cantidad también puede expresarse en decaimientos por minuto o decaimientos por año. Una de las unidades más comunes para la actividad es el curie (Ci), que se define como la actividad de 1 g de 226Ra226Ra. La relación entre el Bq y el Ci es

1Ci=3,70×1010Bq.1Ci=3,70×1010Bq.

Ejemplo 10.5

¿Qué es la actividad del 14C14C (carbono 14) en los tejidos vivos?

Aproximadamente 20 %20 % de la masa del cuerpo humano es carbono. Calcule la actividad debida a 14C14C (carbono 14) en 1,00 kg de carbono que posee un organismo vivo. Exprese la actividad en unidades de Bq y Ci.

Estrategia

La actividad del 14C14C se determina mediante la ecuación A0=λN0A0=λN0, donde λ es la constante de decaimiento y N0N0 es el número de núcleos radioactivos. El número de núcleos de 14C14C en una muestra de 1,00 kg se determina en dos pasos. En primer lugar, determinamos el número de núcleos de 12C12C (carbono 12) utilizando el concepto de mol. En segundo lugar, multiplicamos este valor por 1,3×10−121,3×10−12 (la abundancia conocida de 14C14C en una muestra de carbono de un organismo vivo) para determinar el número de núcleos de 14C14C en un organismo vivo. La constante de decaimiento se determina a partir de la vida media conocida del 14C14C (disponible en la Figura 10.4).

Solución

Un mol de carbono tiene una masa de 12,0 g, ya que es 12C12C casi puro. Así, el número de núcleos de carbono en un kilogramo es de
N(12C)=6,02×1023mol−112,0g/mol×(1.000g)=5,02×1025.N(12C)=6,02×1023mol−112,0g/mol×(1.000g)=5,02×1025.

El número de núcleos de 14C14C en 1 kg de carbono es por lo tanto

N(14C)=(5,02×1025)(1,3×10−12)=6,52×1013.N(14C)=(5,02×1025)(1,3×10−12)=6,52×1013.

Ahora podemos hallar la actividad A mediante la ecuación A=0,693Nt1/2.A=0,693Nt1/2. Introduciendo valores conocidos obtenemos

A=0,693(6,52×1013)5730y=7,89×109y1A=0,693(6,52×1013)5730y=7,89×109y1

o 7,89×1097,89×109 decaimientos por año. Para hacer la conversión a la unidad Bq, simplemente transformamos los años en segundos. Por lo tanto,

A=(7,89×109y1)1,00y3,16×107s=250Bq,A=(7,89×109y1)1,00y3,16×107s=250Bq,

o 250 decaimientos por segundo. Para expresar A en curies, utilizamos la definición de curie,

A=250Bq3,7×1010Bq/Ci=6,76×10−9Ci.A=250Bq3,7×1010Bq/Ci=6,76×10−9Ci.

Por lo tanto,

A=6,76nCi.A=6,76nCi.

Importancia

Aproximadamente 20 %20 % del peso del cuerpo humano es carbono. Cientos de decaimientos de 14C14C ocurren cada segundo en el cuerpo humano. El carbono 14 y otras sustancias radioactivas naturales del cuerpo componen la exposición de fondo de una persona a la radiación nuclear. Como veremos más adelante en este capítulo, este nivel de actividad está muy por debajo de las dosis máximas recomendadas.

Datación radiométrica

Ladatación radiométrica es una técnica que utiliza la radioactividad natural para determinar la edad de un material, como una roca o un artefacto antiguo. El enfoque básico consiste en estimar el número original de núcleos en un material y el número actual de núcleos en el material (después del decaimiento), y luego utilizar el valor conocido de la constante de decaimiento λλ y la Ecuación 10.10 para calcular el tiempo total del decaimiento, t.

Un método importante de datación radiométrica es la datación por carbono 14. Los núcleos de carbono 14 se producen cuando la radiación solar de alta energía incide en los núcleos de 14N14N en la atmósfera superior y posteriormente decaen con una vida media de 5730 años. El carbono radioactivo tiene la misma química que el carbono estable, por lo que se combina con la ecósfera y acaba formando parte de todo organismo vivo. El carbono 14 tiene una abundancia de 1,3 partes por billón de carbono normal. Por lo tanto, si se conoce el número de núcleos de carbono en un objeto, se multiplica ese número por 1,3×10−121,3×10−12 para calcular el número de núcleos de 14C14C en ese objeto. Cuando un organismo muere, el intercambio de carbono con el medio ambiente cesa, y el 14C14C no se repone a medida que decae.

Al comparar la abundancia de 14C14C en un artefacto, como las envolturas de las momias, con la abundancia normal en los tejidos vivos, es posible determinar la edad de la momia (o el tiempo transcurrido desde la muerte de la persona). La datación por carbono 14 puede utilizarse para tejidos biológicos de hasta 50.000 años de antigüedad, pero generalmente es más precisa para muestras más jóvenes, ya que la abundancia de núcleos de 14C14C en ellos es mayor. Los materiales biológicos muy antiguos no contienen 14C14C en absoluto. La validez de la datación por carbono puede comprobarse a través de otros medios, como el conocimiento histórico o el recuento de los anillos de los árboles.

Ejemplo 10.6

Una cueva funeraria antigua

En una cueva funeraria antigua, usted y su equipo de arqueólogos descubren un antiguo mobiliario de madera. Solo el 80 %80 % del 14C14C original permanece en la madera. ¿Cuántos años tienen los muebles?

Estrategia

El planteamiento del problema implica que N/N0=0,80.N/N0=0,80. Por lo tanto, la ecuación N=N0eλtN=N0eλt se puede utilizar para hallar el producto, λtλt. Sabemos que la vida media del 14C14C es 5730 años, por lo que también conocemos su constante de decaimiento, y por lo tanto el tiempo t total de decaimiento.

Solución

Resolviendo la ecuación N=N0eλtN=N0eλt para N/N0N/N0 nos da
NN0=eλt.NN0=eλt.

Por lo tanto,

0,80=eλt.0,80=eλt.

Tomando el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación se obtiene

ln0,80=λt,ln0,80=λt,

para que

-0,223=λt.-0,223=λt.

Reordenando la ecuación para aislar t nos da

t=0,223λ,t=0,223λ,

donde

λ=0,693t1/2=0,6935730y.λ=0,693t1/2=0,6935730y.

Al combinar esta información se produce

t=0,223(0,6935730y)=1.844y.t=0,223(0,6935730y)=1.844y.

Importancia

Los muebles tienen casi 2000 años de antigüedad, lo que significa un descubrimiento impresionante. La incertidumbre típica en la datación por carbono 14 es de aproximadamente 5 %5 %, por lo que los muebles tienen entre 1750 y 1950 años. Este rango de fechas debe ser confirmado por otras pruebas, como los registros históricos.

Compruebe Lo Aprendido 10.3

Un nucleído radioactivo tiene una alta tasa de decaimiento. ¿Qué significado tiene esto para su vida media y su actividad?

Interactivo

Visite el Radioactive Dating Game (juego de datación radiométrica) para conocer los tipos de datación radiométrica y hacer el intento de datar algunos objetos antiguos.

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