10.3 Decaimiento radioactivo

Ley de decaimiento radioactivo

Cuando un núcleo individual se transforma en otro con la emisión de radiación, se dice que el núcleo decae. El decaimiento radioactivo se produce en todos los núcleos con $Z>82,$ y también para algunos isótopos inestables con $Z<83.$ La tasa de decaimiento es proporcional al número de núcleos originales N (no decaídos) en una sustancia. El número de núcleos perdidos por el decaimiento, $\text{−}dN$ en el intervalo de tiempo dt, se escribe

donde $\lambda$ se denomina la constante de decaimiento. (El signo menos indica que el número de núcleos originales disminuye con el tiempo). En otras palabras, cuantos más núcleos estén disponibles para decaer, más decaerán (en el tiempo dt). Esta ecuación puede reescribirse como

Integrando ambos lados de la ecuación, y definiendo $N_0$ para que sea el número de núcleos en $t=0$, obtenemos

Esto nos da

Tomando los lados izquierdo y derecho de la ecuación como una potencia de e, tenemos la ley de decaimiento radioactivo.

El número total de núcleos desciende muy rápidamente al principio, y luego más lentamente (Figura 10.9).

Figura 10.9 Un gráfico de la ley de decaimiento radioactivo demuestra que el número de núcleos que quedan en una muestra de decaimiento disminuye drásticamente durante los primeros momentos del decaimiento.

La vida media $\left(T_{1\text{/}2}\right)$ de una sustancia radioactiva se define como el tiempo que tarda en decaer la mitad de los núcleos originales (o el tiempo en el que queda la mitad de los núcleos originales). La vida media de los isótopos inestables se muestra en la tabla de nucleídos en la Figura 10.4. Por lo tanto, el número de núcleos radioactivos que quedan después de un número entero (n) de vidas medias es

Si la constante de decaimiento ($\lambda$) es grande, la vida media es pequeña, y viceversa. Para determinar la relación entre estas cantidades, observe que cuando $t=T_{1\text{/}2}$, entonces $N=N_0\text{/}2$. Por lo tanto, la Ecuación 10.10 puede reescribirse como

Dividiendo ambos lados entre $N_0$ y tomando el logaritmo natural se produce

lo que se reduce a

Así, si conocemos la vida media T_1/2 de una sustancia radioactiva, podemos hallar su constante de decaimiento. El tiempo de vida $\bar{T}$ de una sustancia radioactiva se define como la cantidad media de existencia de un núcleo antes de decaer. El tiempo de vida de una sustancia no es más que el recíproco de la constante de decaimiento, escrito como

La actividad A se define como la magnitud de la tasa de decaimiento, o

El cambio infinitesimal dN en el intervalo de tiempo dt es negativo porque el número de partículas progenitoras (que no han decaído) disminuye, por lo que la actividad(A) es positiva. Definiendo la actividad inicial como $A_0=\lambda N_0$, tenemos

Así, la actividad A de una sustancia radioactiva disminuye exponencialmente con el tiempo (Figura 10.10).

Figura 10.10 (a) Un gráfico de la actividad en función del tiempo (b) Si medimos la actividad en diferentes momentos, podemos trazar ln A en función de t, y obtener una línea recta.

Expresando $\lambda$ en términos de la vida media de la sustancia, obtenemos

Por lo tanto, la actividad se reduce a la mitad después de la vida media. Podemos determinar la constante de decaimiento $\lambda$ midiendo la actividad en función del tiempo. Tomando el logaritmo natural de los lados izquierdo y derecho de Ecuación 10.17, obtenemos

Esta ecuación sigue la forma lineal $y=mx+b$. Si representamos ln A en función de t, esperamos una línea recta con pendiente $\text{−}\lambda$ y la intersección y $\text{ln}{A}_0$ (Figura 10.10(b)). La actividad A se expresa en unidades de becquerelios (Bq), donde un $1\text{Bq}=1\text{decaimiento por segundo}$. Esta cantidad también puede expresarse en decaimientos por minuto o decaimientos por año. Una de las unidades más comunes para la actividad es el curie (Ci), que se define como la actividad de 1 g de ${}^{226}\text{Ra}$. La relación entre el Bq y el Ci es

Datación radiométrica

Ladatación radiométrica es una técnica que utiliza la radioactividad natural para determinar la edad de un material, como una roca o un artefacto antiguo. El enfoque básico consiste en estimar el número original de núcleos en un material y el número actual de núcleos en el material (después del decaimiento), y luego utilizar el valor conocido de la constante de decaimiento $\lambda$ y la Ecuación 10.10 para calcular el tiempo total del decaimiento, t.

Un método importante de datación radiométrica es la datación por carbono 14. Los núcleos de carbono 14 se producen cuando la radiación solar de alta energía incide en los núcleos de ${}^{14}\text{N}$ en la atmósfera superior y posteriormente decaen con una vida media de 5730 años. El carbono radioactivo tiene la misma química que el carbono estable, por lo que se combina con la ecósfera y acaba formando parte de todo organismo vivo. El carbono 14 tiene una abundancia de 1,3 partes por billón de carbono normal. Por lo tanto, si se conoce el número de núcleos de carbono en un objeto, se multiplica ese número por $\mathrm{1,3}\times {10}^{\mathrm{-12}}$ para calcular el número de núcleos de ${}^{14}\text{C}$ en ese objeto. Cuando un organismo muere, el intercambio de carbono con el medio ambiente cesa, y el ${}^{14}\text{C}$ no se repone a medida que decae.

Al comparar la abundancia de ${}^{14}\text{C}$ en un artefacto, como las envolturas de las momias, con la abundancia normal en los tejidos vivos, es posible determinar la edad de la momia (o el tiempo transcurrido desde la muerte de la persona). La datación por carbono 14 puede utilizarse para tejidos biológicos de hasta 50.000 años de antigüedad, pero generalmente es más precisa para muestras más jóvenes, ya que la abundancia de núcleos de ${}^{14}\text{C}$ en ellos es mayor. Los materiales biológicos muy antiguos no contienen ${}^{14}\text{C}$ en absoluto. La validez de la datación por carbono puede comprobarse a través de otros medios, como el conocimiento histórico o el recuento de los anillos de los árboles.