En la mecánica cuántica, el estado de un sistema físico se representa mediante una función de onda.
En la interpretación de Born, el cuadrado de la función de onda de la partícula representa la densidad de probabilidad de encontrar la partícula alrededor de un lugar específico en el espacio.
Las funciones de onda deben normalizarse primero antes de utilizarlas para hacer predicciones.
El valor esperado es el valor promedio de una cantidad que requiere una función de onda y una integración.

El principio de incertidumbre de Heisenberg establece que es imposible medir simultáneamente los componentes x de la posición y del momento de una partícula con una alta precisión arbitraria. El producto de las incertidumbres experimentales es siempre mayor o igual a $ℏ / 2 .$
Las limitaciones de este principio no tienen nada que ver con la calidad del aparato experimental, sino que se originan en la naturaleza ondulatoria de la materia.
El principio de incertidumbre energía-tiempo expresa la observación experimental de que un estado cuántico que solo existe durante un corto período de tiempo no puede tener una energía definida.

La ecuación de Schrӧdinger es la ecuación fundamental de la mecánica cuántica de ondas. Nos permite hacer predicciones sobre las funciones de onda.
Cuando una partícula se mueve en un potencial independiente del tiempo, la solución de la ecuación de Schrӧdinger dependiente del tiempo es producto de una función de onda independiente del tiempo y de un factor de modulación del tiempo.
La ecuación de Schrӧdinger puede aplicarse a muchas situaciones físicas.

Los estados energéticos de una partícula cuántica en una caja se encuentran resolviendo la ecuación de Schrӧdinger independiente del tiempo.
Para resolver la ecuación de Schrӧdinger independiente del tiempo para una partícula en una caja y encontrar los estados estacionarios y las energías permitidas, es necesario que la función de onda termine en la pared de la caja.
Los estados energéticos de una partícula en una caja están cuantizados e indexados por el número cuántico principal.
La imagen cuántica difiere significativamente de la imagen clásica cuando una partícula se encuentra en un estado de baja energía de un número cuántico bajo.
En el límite de números cuánticos elevados, cuando la partícula cuántica está en un estado altamente excitado, la descripción cuántica de una partícula en una caja coincide con la descripción clásica, conforme al principio de correspondencia de Bohr.

El oscilador armónico cuántico es un modelo construido por analogía con el modelo de un oscilador armónico clásico que modela el comportamiento de muchos sistemas físicos, como las vibraciones moleculares o los paquetes de ondas en la óptica cuántica.
Las energías permitidas de un oscilador cuántico son discretas y uniformemente espaciadas. El espaciado de energía es igual al cuanto de energía de Planck.
La energía del estado fundamental es mayor que cero. Esto significa que, a diferencia de un oscilador clásico, un oscilador cuántico nunca está en reposo, ni siquiera en el fondo de un pozo de potencial, y sufre fluctuaciones cuánticas.
Los estados estacionarios (estados de energía definida) tienen valores diferentes a cero también en regiones más allá de los puntos de inflexión clásicos. Cuando un oscilador cuántico se encuentra en el estado fundamental, es más probable que esté alrededor de la posición del mínimo del pozo de potencial, que es la posición menos probable para un oscilador clásico.
Para números cuánticos elevados, el movimiento de un oscilador cuántico se asemeja más al movimiento de un oscilador clásico, de acuerdo con el principio de correspondencia de Bohr.

Una partícula cuántica que incide en una barrera de potencial de ancho y altura finitas puede atravesar la barrera y aparecer en su otro lado. Este fenómeno se llama "efecto túnel". No tiene un análogo clásico.
Para encontrar la probabilidad de efecto túnel, suponemos la energía de una partícula incidente y resolvemos la ecuación estacionaria de Schrӧdinger para encontrar las funciones de onda dentro y fuera de la barrera. La probabilidad de tunelización es una relación entre las amplitudes al cuadrado de la onda que pasa por la barrera y la onda incidente.
La probabilidad de tunelización depende de la energía de la partícula incidente en relación con la altura y ancho de la barrera. Se ve fuertemente afectada por el ancho de la barrera de forma no lineal y exponencial, de modo que un pequeño cambio en el ancho de la barrera provoca un cambio desproporcionadamente grande en la probabilidad de transmisión.
Los fenómenos de túnel cuántico rigen los decaimientos nucleares radiactivos. Se utilizan en muchas tecnologías modernas, como en el STM y la nanoelectrónica. El STM nos permite ver átomos individuales en las superficies metálicas. Los dispositivos de túnel de electrones han revolucionado la electrónica y nos permiten construir dispositivos electrónicos rápidos de tamaños miniaturizados.