William Moebs; Samuel J. Ling; Jeff Sanny

Resumen

5.1 Invariancia de las leyes físicas

La relatividad es el estudio de cómo observadores en diferentes marcos de referencia miden el mismo evento.
La relatividad moderna se divide en dos partes. La relatividad especial trata de observadores en movimiento uniforme (no acelerado), mientras que la relatividad general incluye el movimiento relativo acelerado y la gravedad. La relatividad moderna es coherente con toda la evidencia empírica existente hasta el momento y, en el límite de baja velocidad y gravedad débil, da una estrecha concordancia con las predicciones de la relatividad clásica (galileana).
Un marco de referencia inercial es un marco de referencia en el que un cuerpo en reposo permanece en reposo y un cuerpo en movimiento se mueve a una velocidad constante en línea recta a menos que actúe una fuerza exterior.
La relatividad moderna se basa en los dos postulados de Einstein. El primer postulado de la relatividad especial es que las leyes de la física son las mismas en todos los marcos de referencia inerciales. El segundo postulado de la relatividad especial es que la velocidad de la luz c es la misma en todos los marcos de referencia inerciales, independientemente del movimiento relativo del observador y de la fuente de luz.
El experimento de Michelson-Morley demostró que la velocidad de la luz en el vacío es independiente del movimiento de la Tierra alrededor del Sol.

5.2 Relatividad de la simultaneidad

Dos acontecimientos se definen como simultáneos si un observador los mide como si ocurrieran al mismo tiempo (por ejemplo, al recibir la luz de los acontecimientos).
Dos sucesos situados a una distancia que son simultáneos para un observador en reposo en un marco de referencia no son necesariamente simultáneos para un observador en reposo en un marco de referencia diferente.

5.3 Dilatación del tiempo

Dos sucesos se definen como simultáneos si un observador los mide como si ocurrieran al mismo tiempo. No son necesariamente simultáneos para todos los observadores: la simultaneidad no es absoluta.
La dilatación del tiempo es el alargamiento del intervalo de tiempo entre dos eventos cuando se ven en un marco inercial en movimiento en lugar del marco de reposo de los eventos (en el que los eventos ocurren en el mismo lugar).
Los observadores que se mueven a una velocidad relativa v no miden el mismo tiempo transcurrido entre dos eventos. Tiempo propio $Δ τ$ es el tiempo medido en el marco de referencia en el que el inicio y el final del intervalo de tiempo ocurren en el mismo lugar. El intervalo de tiempo $Δ t$ medido por un observador que ve el marco de eventos moviéndose a la velocidad v está relacionado con el tiempo propio $Δ τ$ de los eventos por la ecuación:
$Δ t = \frac{Δ τ}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}} = γ Δ τ,$
donde
$γ = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}} .$
La premisa de la paradoja de los gemelos es defectuosa porque el gemelo que viaja se acelera. El viaje no es simétrico para los dos gemelos.
La dilatación del tiempo suele ser despreciable a bajas velocidades relativas, pero se produce y se ha comprobado experimentalmente.
El tiempo propio es la medida más corta de cualquier intervalo de tiempo. Cualquier observador que se mueva con respecto al sistema observado mide un intervalo mayor que el tiempo propio.

5.4 Contracción de longitud

Todos los observadores están de acuerdo con la velocidad relativa.
La distancia depende del movimiento del observador. Longitud propia $L_{0}$ es la distancia entre dos puntos medida por un observador que está en reposo respecto a ambos puntos.
La contracción de longitud es la disminución de la longitud observada de un objeto a partir de su longitud propia $L_{0}$ a la longitud L cuando su longitud se observa en un marco de referencia en el que viaja a la velocidad v.
La longitud propia es la medida más larga de cualquier intervalo de longitud. Cualquier observador que se mueva con respecto al sistema observado mide una longitud inferior a la longitud propia.

5.5 La transformación de Lorentz

Las ecuaciones de la transformación galileana describen cómo, en la mecánica clásica no relativista, la posición, la velocidad y las aceleraciones medidas en un marco aparecen en otro. Las longitudes permanecen inalteradas y se supone que una única escala de tiempo universal se aplica a todos los marcos inerciales.
Las leyes mecánicas de Newton obedecen al principio de tener la misma forma en todos los marcos inerciales bajo una transformación galileana, dada por
$x = x' + v t, y = y', z = z', t = t' .$
Sin embargo, el concepto de que los tiempos y las distancias son los mismos en todos los marcos inerciales en la transformación galileana es inconsistente con los postulados de la relatividad especial.
Las ecuaciones de transformación de Lorentz relativistamente correctas son
$\begin{matrix} Transformación de Lorentz & Transformación inversa de Lorentz \\ t = \frac{t' + v x' / c^{2}}{\sqrt{1 - v^{2} / c^{2}}} & t' = \frac{t - v x / c^{2}}{\sqrt{1 - v^{2} / c^{2}}} \\ x = \frac{x' + v t'}{\sqrt{1 - v^{2} / c^{2}}} & x' = \frac{x - v t}{\sqrt{1 - v^{2} / c^{2}}} \\ y = y' & y' = y \\ z = z' & z' = z \end{matrix}$
Podemos obtener estas ecuaciones haciendo que una señal luminosa esférica en expansión tenga la misma forma y velocidad de crecimiento, c, en ambos marcos de referencia.
Los fenómenos relativistas pueden explicarse en términos de las propiedades geométricas del espacio-tiempo de cuatro dimensiones, en el que las transformaciones de Lorentz corresponden a rotaciones de ejes.
La transformación de Lorentz corresponde a una rotación de los ejes del espacio-tiempo, similar en cierto modo a una rotación de los ejes del espacio, pero en la que la separación espacial invariante viene dada por $Δ s$ en lugar de las distancias $Δ r,$ y que la transformación de Lorentz que involucra el eje del tiempo no preserva la perpendicularidad de los ejes o las escalas a lo largo de los ejes.
El análisis de los fenómenos relativistas en términos de diagramas espacio-temporales apoya la conclusión de que estos fenómenos resultan de las propiedades del espacio y el tiempo en sí, y no de las leyes del electromagnetismo.

5.6 Transformación relativista de la velocidad

Con la suma clásica de la velocidad, las velocidades se suman como números regulares en el movimiento unidimensional: $u = v + u',$ donde v es la velocidad entre dos observadores, u es la velocidad de un objeto respecto a un observador, y $u'$ es la velocidad relativa al otro observador.
Las velocidades no pueden sumarse para ser mayores que la velocidad de la luz.
La suma de velocidades relativistas describe las velocidades de un objeto que se mueve a una velocidad relativista.

5.7 Efecto Doppler para la luz

Un observador de la radiación electromagnética ve los efectos Doppler relativistas si la fuente de la radiación se mueve con respecto al observador. La longitud de onda de la radiación es más larga (lo que se denomina corrimiento al rojo) que la emitida por la fuente cuando ésta se aleja del observador y más corta (lo que se denomina corrimiento al azul) cuando la fuente se acerca al observador. La longitud de onda desplazada se describe mediante la ecuación:
$λ_{obs} = λ_{s} \sqrt{\frac{1 + \frac{v}{c}}{1 - \frac{v}{c}}} .$
donde $λ_{obs}$ es la longitud de onda observada, $λ_{s}$ es la longitud de onda de la fuente, y v es la velocidad relativa de la fuente respecto al observador.

5.8 Momento relativista

La ley de conservación del momento es válida para el momento relativista siempre que la fuerza externa neta sea cero. El momento relativista es $p = γ m u,$ donde m es la masa en reposo del objeto, u es su velocidad relativa a un observador, y el factor relativista es $γ = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}}} .$
A bajas velocidades, el momento relativista es equivalente al momento clásico.
El momento relativista se aproxima al infinito cuando u se aproxima a c. Esto implica que un objeto con masa no puede alcanzar la velocidad de la luz.

5.9 Energía relativista

El teorema de trabajo-energía relativista es $W_{neto} = E - E_{0} = γ m c^{2} - m c^{2} = (γ - 1) m c^{2} .$
Desde el punto de vista relativista, $W_{neto} = K_{rel}$ donde $K_{rel}$ es la energía cinética relativista.
Un objeto de masa m a velocidad u tiene energía cinética $K_{rel} = (γ - 1) m c^{2},$ donde $γ = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}}} .$
A bajas velocidades, la energía cinética relativista se reduce a energía cinética clásica.
Ningún objeto con masa puede alcanzar la velocidad de la luz, porque se requiere una cantidad infinita de trabajo y una cantidad infinita de aporte de energía para acelerar una masa hasta la velocidad de la luz.
La energía relativista se conserva siempre que la definamos incluyendo la posibilidad de que la masa se transforme en energía.
La energía total de una partícula con masa m que viaja a la velocidad u se define como $E = γ m c^{2},$ donde $γ = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}}}$ y u denota la velocidad de la partícula.
La energía en reposo de un objeto de masa m es $E_{0} = m c^{2},$ lo que significa que la masa es una forma de energía. Si se almacena energía en un objeto, su masa aumenta. La masa puede destruirse para liberar energía.
Normalmente no notamos el aumento o la disminución de la masa de un objeto porque el cambio de masa es muy pequeño para un gran aumento de energía. La ecuación $E^{2} = {(p c)}^{2} + {(m c^{2})}^{2}$ relaciona la energía total relativista E y el momento relativista p. A velocidades extremadamente altas, la energía en reposo $m c^{2}$ se vuelve insignificante, y $E = p c .$