5.9 Energía relativista

La energía cinética y el límite de velocidad final.

El primer postulado de la relatividad afirma que las leyes de la física son las mismas en todos los marcos inerciales. Einstein demostró que la ley de conservación de la energía de una partícula es válida de manera relativista, pero con respecto a la energía expresada en términos de velocidad y masa de forma coherente con la relatividad.

Consideremos primero la expresión relativista de la energía cinética. Volvemos a utilizar u para la velocidad para distinguirla de la velocidad relativa v entre observadores. Clásicamente, la energía cinética se relaciona con la masa y la velocidad mediante la conocida expresión $K=\frac{1}{2}m{u}^2.$ La expresión relativista correspondiente para la energía cinética puede obtenerse a partir del teorema de trabajo-energía. Este teorema establece que el trabajo neto de un sistema se convierte en energía cinética. En concreto, si una fuerza, expresada como $\overrightarrow{F}=\frac{d\overrightarrow{p}}{dt}=m\frac{d\left(\gamma \overrightarrow{u}\right)}{dt},$ acelera una partícula desde el reposo hasta su velocidad final, el trabajo realizado sobre la partícula debe ser igual a su energía cinética final. En forma matemática, para el movimiento unidimensional:

Integre esto por partes para obtener

Cuando un objeto está inmóvil, su velocidad es $u=0$ y

para que $K_{\text{rel}}=0$ en reposo, como era de esperar. Pero la expresión de la energía cinética relativista (como la energía total y la energía en reposo) no se parece mucho a la clásica $\frac{1}{2}m{u}^2.$ Para demostrar que la expresión para $K_{\text{rel}}$ se reduce a la expresión clásica de la energía cinética a bajas velocidades, utilizamos la expansión binomial para obtener una aproximación para ${\left(1+\epsilon \right)}^n$ válida para una pequeña $\epsilon$:

ignorando los términos muy pequeños en ${\epsilon }^2$ y las potencias superiores de $\epsilon .$ Eligiendo $\epsilon =-u^2\text{/}{c}^2$ y $n=-\frac{1}{2}$ lleva a la conclusión de que γ a velocidades no relativistas, donde $\epsilon =u\text{/}c$ es pequeña, satisface

Una expansión binomial es una forma de expresar una cantidad algebraica como la suma de una serie infinita de términos. En algunos casos, como en el límite de velocidad pequeña aquí, la mayoría de los términos son muy pequeños. Por lo tanto, la expresión derivada aquí para $\gamma$ no es exacta, pero es una aproximación muy exacta. Por lo tanto, a baja velocidad:

Al introducir esto en la expresión de la energía cinética relativista se obtiene

Es decir, la energía cinética relativista se convierte en la misma que la energía cinética clásica (Classic, class) cuando $u\text{<}\text{<}c.$

Es aún más interesante investigar qué ocurre con la energía cinética cuando la velocidad de un objeto se acerca a la de la luz. Sabemos que $\gamma$ se convierte en infinito a medida que u se acerca a c, por lo que $K_{\text{rel}}$ también se vuelve infinita a medida que la velocidad se acerca a la velocidad de la luz (Figura 5.26). El aumento de $K_{\text{rel}}$ es mucho mayor que en $K_{\text{class}}$ a medida que v se acerca a c. Se necesita una cantidad infinita de trabajo (y, por tanto, una cantidad infinita de aporte de energía) para acelerar una masa hasta la velocidad de la luz.

La velocidad de la luz es el límite máximo de velocidad para cualquier partícula que tenga masa. Todo esto es coherente con el hecho de que las velocidades menores que c siempre suman menos que c. Tanto la forma relativista de la energía cinética como el hecho de que la velocidad límite sea c han sido confirmados en detalle en numerosos experimentos. Por mucha energía que se ponga para acelerar una masa, su velocidad solo puede aproximarse (no alcanzar) a la de la luz.

Figura 5.26 Este gráfico de $K_{\text{rel}}$ en función de la velocidad muestra cómo la energía cinética aumenta sin límites a medida que la velocidad se acerca a la de la luz. También se muestra $K_{\text{class}},$ la energía cinética clásica.

¿Tiene sentido que v se acerque un poco más a c que el 99,0 % o el 99,9 %? La respuesta es sí. Aprendemos mucho haciendo esto. La energía que entra en una masa de alta velocidad puede convertirse en cualquier otra forma, incluso en partículas totalmente nuevas. En el Gran Colisionador de Hadrones, en la Figura 5.27, las partículas cargadas se aceleran antes de entrar en la estructura anular. Allí, dos haces de partículas se aceleran hasta su velocidad final de aproximadamente el 99,7 % de la velocidad de la luz en direcciones opuestas, y se les hace colisionar, produciendo especies de partículas totalmente nuevas. La mayor parte de lo que sabemos sobre la subestructura de la materia y el conjunto de partículas exóticas de vida corta en la naturaleza se ha aprendido de esta manera. Los patrones de las características de estas partículas, hasta ahora desconocidas, apuntan a una subestructura básica de toda la materia. Estas partículas y algunas de sus características se tratarán en un capítulo posterior sobre la física de partículas.

Figura 5.27 La Organización Europea para la Investigación Nuclear (Conseil Européen pour la Recherche Nucléaire, CERN) opera el mayor acelerador de partículas del mundo entre las fronteras de Francia y Suiza (crédito: modificación de un trabajo de la NASA).

Energía relativista total

La expresión de la energía cinética se puede reordenar a:

Einstein argumentó en otro artículo, también publicado posteriormente en 1905, que si la energía de una partícula cambia por $\Delta E,$ su masa cambia por $\text{Δ}m=\text{Δ}E\text{/}{c}^2.$ Las abundantes pruebas experimentales que se han realizado desde entonces confirman que $m{c}^2$ corresponde a la energía que tiene la partícula de masa m cuando está en reposo. Por ejemplo, cuando un pion neutro de masa m en reposo decae en dos fotones, los fotones tienen masa cero pero se observa que tienen una energía total correspondiente a $m{c}^2$ para el pion. Del mismo modo, cuando una partícula de masa m decae en dos o más partículas con una masa total menor, la energía cinética observada impartida a los productos de la desintegración corresponde a la disminución de la masa. Así, E es la energía relativista total de la partícula, y $m{c}^2$ es su energía de reposo.

Esta es la forma correcta de la ecuación más famosa de Einstein, que por primera vez demostró que la energía está relacionada con la masa de un objeto en reposo. Por ejemplo, si se almacena energía en el objeto, su masa en reposo aumenta. Esto también implica que la masa puede ser destruida para liberar energía. Las implicaciones de estas dos primeras ecuaciones relativas a la energía relativista son tan amplias que no se reconocieron por completo hasta algunos años después de que Einstein las publicara en 1905, y la prueba experimental de que son correctas tampoco fue ampliamente reconocida al principio. Hay que señalar que Einstein comprendió y describió los significados e implicaciones de su teoría.

Hoy en día, las aplicaciones prácticas de la conversión de masa en otra forma de energía, como en las armas nucleares y las plantas de energía nuclear, son bien conocidas. Pero los ejemplos también existían cuando Einstein propuso por primera vez la forma correcta de la energía relativista, y describió algunos de ellos. La radiación nuclear se había descubierto en la década anterior, y había sido un misterio el origen de su energía. La explicación era que, en algunos procesos nucleares, se destruye una pequeña cantidad de masa y se libera energía que es transportada por la radiación nuclear. Pero la cantidad de masa destruida es tan pequeña que es difícil detectar que falta alguna. Aunque Einstein propuso esto como fuente de energía en las sales radiactivas que se estudiaban entonces, pasaron muchos años antes de que se reconociera ampliamente que la masa podía ser convertida, y de hecho lo es comúnmente, en energía (Figura 5.28).

Figura 5.28 (a) El sol y (b) la Estación Eléctrica de Vapor de Susquehanna convierten la masa en energía: el sol a través de la fusión nuclear, y la estación eléctrica a través de la fisión nuclear. (crédito: modificación del trabajo de la NASA / Observatorio de Dinámica Solar [Solar Dynamics Observatory, SDO] (Ensamblaje de Imágenes Atmosféricas [Atmospheric Imaging Assembly, AIA])).

Debido a la relación de la energía en reposo con la masa, ahora consideramos que la masa es una forma de energía y no algo separado. Antes del trabajo de Einstein no había ni siquiera un indicio de esto. Ahora se sabe que la equivalencia energía-masa es la fuente de energía del sol, la energía del decaimiento nuclear e incluso una de las fuentes de energía que mantiene caliente el interior de la Tierra.

Energía almacenada y energía potencial

¿Qué ocurre con la energía almacenada en un objeto en reposo, como la energía que se pone en una batería al cargarla, o la energía almacenada en el resorte comprimido de una pistola de juguete? El aporte de energía pasa a formar parte de la energía total del objeto y, por tanto, aumenta su masa en reposo. Toda la energía almacenada y potencial se convierte en masa en un sistema. En aparente contradicción, el principio de conservación de la masa (que significa que la masa total es constante) fue una de las grandes leyes verificadas por la ciencia del siglo XIX. ¿Por qué no se advirtió que era incorrecto? El siguiente ejemplo ayuda a responder a esta pregunta.

Energía y momento relativistas

Sabemos clásicamente que la energía cinética y el momento están relacionados entre sí, porque:

De manera relativista, podemos obtener una relación entre la energía y el momento manipulando algebraicamente sus ecuaciones de definición. Así se produce:

donde E es la energía total relativista, $E=m{c}^2\text{/}\sqrt{1-u^2\text{/}{c}^2},$ y p es el momento relativista. Esta relación entre la energía relativista y el momento relativista es más complicada que en la versión clásica, pero podemos obtener algunas ideas nuevas e interesantes al examinarla. En primer lugar, la energía total está relacionada con el momento y la masa en reposo. En reposo, el momento es cero, y el resultado de la ecuación expresa que la energía total es la energía en reposo $m{c}^2$ (por lo que esta ecuación es coherente con la discusión de la energía en reposo anterior). Sin embargo, a medida que la masa se acelera, su momento p aumenta, incrementando así la energía total. A velocidades suficientemente altas, el término de energía en reposo ${(m{c}^2)}^2$ se vuelve insignificante en comparación con el término de momento ${(pc)}^2;$ por lo tanto, $E=pc$ a velocidades extremadamente relativistas.

Si consideramos que el momento p es distinto de la masa, podemos determinar las implicaciones de la ecuación $E^2={(pc)}^2+{(m{c}^2)}^2,$ para una partícula que no tiene masa. Si tomamos m como cero en esta ecuación, entonces $E=pc,\text{o}p=E\text{/}c.$ Las partículas sin masa tienen este momento. En la naturaleza existen varias partículas sin masa, entre ellas los fotones (que son paquetes de radiación electromagnética). Otra implicación es que una partícula sin masa debe viajar a la velocidad c y solo a la velocidad c. Está fuera del alcance de este texto examinar la relación en la ecuación $E^2={(pc)}^2+{(m{c}^2)}^2$ en detalle, pero se puede ver que la relación tiene importantes implicaciones en la relatividad especial.