4.4 Rejillas de difracción

Rejillas de difracción: Un número infinito de rendijas

El análisis de la interferencia de múltiples rendijas en interferencia nos permite considerar lo que ocurre cuando el número de rendijas N se aproxima al infinito. Recordemos que $N–2$ aparecen máximos secundarios entre los máximos principales. Podemos ver que habrá un número infinito de máximos secundarios que aparecen, y un número infinito de franjas oscuras entre ellos. Esto hace que el espacio entre las franjas, y por tanto el ancho de los máximos, sea infinitesimal. Además, como la intensidad de los máximos secundarios es proporcional a $1\text{/}{N}^2$, se aproxima a cero de manera que los máximos secundarios ya no se ven. Lo que queda son solo los máximos principales, ahora muy brillantes y muy estrechos (Figura 4.12).

Figura 4.12 (a) Intensidad de la luz transmitida a través de un gran número de rendijas. Cuando N se aproxima al infinito, solo los máximos principales permanecen como líneas muy brillantes y muy estrechas. (b) Un rayo láser pasado por una rejilla de difracción. (crédito b: modificación del trabajo de Sebastian Stapelberg)

En realidad, el número de rendijas no es infinito, pero puede ser muy grande, lo suficiente para producir el efecto equivalente. Un ejemplo excelente es un elemento óptico llamado rejilla de difracción. Una rejilla de difracción se puede fabricar tallando el vidrio con una herramienta afilada en un gran número de líneas paralelas colocadas con precisión, con regiones sin tocar que actúan como rendijas (Figura 4.13). Este tipo de rejilla se puede producir fotográficamente en masa de forma bastante barata. Dado que puede haber más de 1000 líneas por milímetro a través de la rejilla, cuando una sección tan pequeña como unos pocos milímetros es iluminada por un rayo entrante, el número de rendijas iluminadas es efectivamente infinito, proporcionando máximos principales muy nítidos.

Figura 4.13 Una rejilla de difracción puede fabricarse tallando el vidrio con una herramienta afilada en un gran número de líneas paralelas colocadas con precisión.

Las rejillas de difracción funcionan tanto para la transmisión de la luz, como en la Figura 4.14, como para la reflexión de la luz, como en las alas de las mariposas y el ópalo australiano en la Figura 4.15. Las rejillas de difracción naturales también se dan en las plumas de algunas aves, como el colibrí. Unas diminutas estructuras en forma de dedos en patrones regulares actúan como rejillas de reflexión, produciendo una interferencia constructiva que da a las plumas colores que no se deben únicamente a su pigmentación. Esto se llama iridiscencia.

Figura 4.14 (a) La luz que pasa a través de una rejilla de difracción se difracta en un patrón similar al de una doble rendija, con regiones brillantes en varios ángulos. (b) El patrón obtenido para la luz blanca que incide en una rejilla. El máximo central es blanco, y los máximos de orden superior dispersan la luz blanca en un arcoíris de colores.

Figura 4.15 (a) Este ópalo australiano y (b) las alas de mariposa tienen filas de reflectores que actúan como rejillas de reflexión, reflejando diferentes colores en diferentes ángulos. (crédito a: modificación de la obra de "Opals-On-Black"/Flickr; crédito b: modificación de la obra de "whologwhy"/Flickr)

Aplicaciones de las rejillas de difracción

¿En qué aplicaciones se utilizan las rejillas de difracción? Las rejillas de difracción se utilizan habitualmente para la dispersión espectroscópica y el análisis de la luz. Lo que las hace especialmente útiles es el hecho de que forman un patrón más nítido que las rendijas dobles. Es decir, sus franjas luminosas son más estrechas y brillantes, mientras que sus regiones oscuras son más oscuras. Las rejillas de difracción son componentes clave de los monocromadores utilizados, por ejemplo, en la obtención de imágenes ópticas de determinadas longitudes de onda de muestras biológicas o médicas. Se puede elegir una rejilla de difracción para analizar específicamente una longitud de onda emitida por las moléculas de las células enfermas de una muestra de biopsia o para ayudar a excitar moléculas estratégicas de la muestra con una longitud de onda de luz seleccionada. Otro uso vital es el de las tecnologías de fibra óptica, donde las fibras se diseñan para ofrecer un rendimiento óptimo en longitudes de onda específicas. Existe una gama de rejillas de difracción para seleccionar las longitudes de onda para este uso.

Ejemplo 4.5

Cálculo de los efectos típicos de las rejillas de difracción

Las rejillas de difracción con 10 000 líneas por centímetro son fáciles de conseguir. Supongamos que tiene una y envía un haz de luz blanca a través de ella a una pantalla situada a 2,00 m. (a) Calcule los ángulos para la difracción de primer orden de las longitudes de onda más cortas y más largas de la luz visible (380 y 760 nm, respectivamente). (b) ¿Cuál es la distancia entre los extremos del arcoíris de luz visible producido en la pantalla para la interferencia de primer orden? (Consulte la Figura 4.16.)

Figura 4.16 (a) La rejilla de difracción considerada en este ejemplo produce un arcoíris de colores en una pantalla a una distancia $x=\mathrm{2,00}\text{m}$ de la rejilla. Las distancias a lo largo de la pantalla se miden perpendicularmente a la dirección x. En otras palabras, el patrón del arcoíris se extiende fuera de la página.
(b) En una vista de pájaro, el patrón del arcoíris se puede ver en una mesa donde se coloca el equipo.

Estrategia

Una vez que se ha determinado el valor de la separación d de la rejilla de difracción, se pueden hallar los ángulos de las líneas nítidas mediante la ecuación

$$d\text{sen}\theta =m\lambda \text{para}m=0,\pm 1,\pm 2,\mathrm{...}.$$

Como hay 10 000 líneas por centímetro, cada línea está separada por 1/10 000 de centímetro. Una vez que conozcamos los ángulos, podemos hallar las distancias a lo largo de la pantalla utilizando trigonometría simple.

Solución

1. La distancia entre las rendijas es $d=(1\text{cm})\text{/}10,000=\mathrm{1,00}\times {10}^{\mathrm{-4}}\text{cm o}\mathrm{1,00}\times {10}^{\mathrm{-6}}\text{m}.$ Llamemos a los dos ángulos ${\theta }_{\text{V}}$ para el violeta (380 nm) y ${\theta }_{\text{R}}$ para el rojo (760 nm). Al resolver la ecuación $d\text{sen}{\theta }_{\text{V}}=m\lambda \text{para}\text{sen}{\theta }_{\text{V}},$
   
   $$\text{sen}{\theta }_{\text{V}}=\frac{m{\lambda }_{\text{V}}}{d},$$
   
   donde $m=1$ para el primer orden y ${\lambda }_{\text{V}}=380\text{nm}=\mathrm{3,80}\times {10}^{\mathrm{-7}}\text{m}.$ Al sustituir estos valores se obtiene
   
   $$\text{sen}{\theta }_{\text{V}}=\frac{\mathrm{3,80}\times {10}^{\mathrm{-7}}\text{m}}{\mathrm{1,00}\times {10}^{\mathrm{-6}}\text{m}}=\mathrm{0,380}.$$
   
   Así, el ángulo ${\theta }_{\text{V}}$ es
   
   $${\theta }_{\text{V}}={\text{sen}}^{\mathrm{-1}}\mathrm{0,380}=\mathrm{22,33}\text{°}.$$
   
   Igualmente,
   
   $$\text{sen}{\theta }_{\text{R}}=\frac{\mathrm{7,60}\times {10}^{\mathrm{-7}}\text{m}}{\mathrm{1,00}\times {10}^{\mathrm{-6}}\text{m}}=\mathrm{0,760}.$$
   
   Así, el ángulo ${\theta }_{\text{R}}$ es
   
   $${\theta }_{\text{R}}={\text{sen}}^{\mathrm{-1}}\mathrm{0,760}=\mathrm{49,46}\text{°}.$$
   
   Observe que en ambas ecuaciones informamos de los resultados de estos cálculos intermedios de cuatro cifras significativas para utilizarlos en el cálculo de la parte (b).
2. Las distancias en pantalla están marcadas $y_{\text{V}}\text{y}{y}_{\text{R}}$ en Figura 4.16. Observe que $\text{tan}\theta =y\text{/}x.$ Podemos resolver para $y_{\text{V}}\text{y}{y}_{\text{R}}.$ Eso es,
   
   $$y_{\text{V}}=x\text{tan}{\theta }_V=(\mathrm{2,00}\text{m})(\text{tan}\mathrm{22,33}\text{°})=\mathrm{0,815}\text{m}$$
   
   y
   
   $$y_{\text{R}}=x\text{tan}{\theta }_R=(\mathrm{2,00}\text{m})(\text{tan}\mathrm{49,46}\text{°})=\mathrm{2,338}\text{m}.$$
   
   Por lo tanto, la distancia entre ellos es
   
   $$y_{\text{R}}-y_{\text{V}}=\mathrm{1,523}\text{m}.$$

Importancia

La gran distancia entre los extremos rojo y violeta del arcoíris producido por la luz blanca indica el potencial que tiene esta rejilla de difracción como herramienta espectroscópica. Cuanto más se puedan extender las longitudes de onda (mayor dispersión), más detalles se podrán ver en un espectro. Esto depende de la calidad de la rejilla de difracción, las cuales debe estar hecha con mucha precisión, además de tener líneas espaciadas de forma muy estrecha.