Gilbert Strang; Edwin “Jed” Herman

Objetivos de aprendizaje

4.2.1 Calcular el límite de una función de dos variables.
4.2.2 Aprender cómo una función de dos variables puede aproximarse a diferentes valores en un punto límite, dependiendo del camino de aproximación.
4.2.3 Indicar las condiciones de continuidad de una función de dos variables.
4.2.4 Comprobar la continuidad de una función de dos variables en un punto.
4.2.5 Calcular el límite de una función de tres o más variables y verificar la continuidad de la función en un punto.

Ya hemos examinado las funciones de más de una variable y hemos visto cómo graficarlas. En este apartado vemos cómo tomar el límite de una función de más de una variable, y qué significa que una función de más de una variable sea continua en un punto de su dominio. Resulta que estos conceptos tienen aspectos que simplemente no se dan con funciones de una variable.

Límite de una función de dos variables

Recuerde de El límite de una función la definición de límite de una función de una variable:

Supongamos que $f (x)$ se define para todos los $x \neq a$ en un intervalo abierto que contiene $a .$ Supongamos que $L$ es un número real. Entonces

\underset{x \to a}{lím} f (x) = L

si para cada $ε > 0,$ existe un $δ > 0,$ tal que si $0 < | x - a | < δ$ para todas las $x$ en el dominio de $f,$ entonces

| f (x) - L | < ε .

Antes de poder adaptar esta definición para definir un límite de una función de dos variables, tenemos que ver primero cómo extender la idea de un intervalo abierto en una variable a un intervalo abierto en dos variables.

Definición

Considere un punto $(a, b) \in ℝ^{2} .$ Un disco $δ$ , centrado en el punto $(a, b)$ , se define como un disco abierto de radio $δ$ centrado en el punto $(a, b)$ , es decir,

{(x, y) \in ℝ^{2} | {(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} < δ^{2}}

como se muestra en el siguiente gráfico.

En el plano xy se muestra el punto (2, 1), que es el centro de un círculo de radio δ.

Figura 4.14 Un disco

δ

centrado alrededor del punto

(2, 1) .

La idea de un disco $δ$ aparece en la definición del límite de una función de dos variables. Si los valores de $δ$ es pequeño, entonces todos los puntos $(x, y)$ en el disco $δ$ están cerca de $(a, b) .$ Esto es completamente análogo a $x$ estando cerca de $a$ en la definición de límite de una función de una variable. En una dimensión, expresamos esta restricción como

a - δ < x < a + δ .

En más de una dimensión, utilizamos un disco $δ$ .

Definición

Supongamos que $f$ es una función de dos variables, $x$ como $y .$ El límite de $f (x, y)$ cuando $(x, y)$ se aproxima a $(a, b)$ ¿es $L,$ escrito

\underset{(x, y) \to (a, b)}{lím} f (x, y) = L

si para cada $ε > 0$ existe una cantidad suficientemente pequeña $δ > 0$ tal que para todos los puntos $(x, y)$ en un disco $δ$ alrededor de $(a, b),$ excepto posiblemente para $(a, b)$ mismo, el valor de $f (x, y)$ no es más que $ε$ lejos de $L$ (Figura 4.15). Utilizando símbolos, escribimos lo siguiente: para cualquier $ε > 0,$ existe un número $δ > 0$ tal que

| f (x, y) - L | < ε siempre que 0 < \sqrt{{(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2}} < δ .

En el espacio xyz, se dibuja una función con el punto L. Este punto L es el centro de un círculo de radio ॉ, con los puntos L ± ॉ marcados. En el plano xy se dibuja un punto (a, b) con un círculo de radio δ a su alrededor. Esto se denomina disco δ. Hay líneas discontinuas hacia arriba desde el disco δ para hacer un disco en la función, que se llama la imagen del disco delta. A continuación, hay líneas discontinuas desde este disco hasta el círculo que rodea el punto L, que se llama el ॉ-zona de L.

Figura 4.15 El límite de una función con dos variables requiere que

f (x, y)

esté dentro de

ε

de

L

siempre que

(x, y)

esté dentro de

δ

de

(a, b) .

Cuanto menor sea el valor de

ε,

menor será el valor de

δ .

Demostrar que existe un límite utilizando la definición de límite de una función de dos variables puede ser un reto. En su lugar, utilizamos el siguiente teorema, que nos da atajos para hallar los límites. Las fórmulas de este teorema son una extensión de las fórmulas del teorema de las leyes de límites en Las leyes de límite.

Teorema 4.1

Leyes de límite para funciones de dos variables

Supongamos que $f (x, y)$ y $g (x, y)$ se definen para todos los $(x, y) \neq (a, b)$ en una zona alrededor de $(a, b),$ y asumamos que la zona está contenida completamente dentro del dominio de $f .$ Supongamos que $L$ y $M$ son números reales de modo que $\underset{(x, y) \to (a, b)}{lím} f (x, y) = L$ y $\underset{(x, y) \to (a, b)}{lím} g (x, y) = M,$ y supongamos que $c$ es una constante. Entonces cada una de las siguientes afirmaciones es válida:

Ley de constante:

\underset{(x, y) \to (a, b)}{lím} c = c

(4.2)

Leyes de identidad:

\underset{(x, y) \to (a, b)}{lím} x = a

(4.3)

\underset{(x, y) \to (a, b)}{lím} y = b

(4.4)

Ley de la suma:

\underset{(x, y) \to (a, b)}{lím} (f (x, y) + g (x, y)) = L + M

(4.5)

Ley de la diferencia:

\underset{(x, y) \to (a, b)}{lím} (f (x, y) - g (x, y)) = L - M

(4.6)

Ley de múltiple constante:

\underset{(x, y) \to (a, b)}{lím} (c f (x, y)) = c L

(4.7)

Ley de productos:

\underset{(x, y) \to (a, b)}{lím} (f (x, y) g (x, y)) = L M

(4.8)

Ley del cociente:

\underset{(x, y) \to (a, b)}{lím} \frac{f (x, y)}{g (x, y)} = \frac{L}{M} para M \neq 0

(4.9)

Ley de potencia:

\underset{(x, y) \to (a, b)}{lím} {(f (x, y))}^{n} = L^{n}

(4.10)

para cualquier número entero positivo $n .$

Ley de raíces:

\underset{(x, y) \to (a, b)}{lím} \sqrt[n]{f (x, y)} = \sqrt[n]{L}

(4.11)

para todos los $L$ si $n$ es impar y positivo, y para los $L \geq 0$ si $n$ es par y positivo.

Las pruebas de estas propiedades son similares a las de los límites de las funciones de una variable. Podemos aplicar estas leyes para hallar los límites de varias funciones.

Ejemplo 4.8

Hallar el límite de una función de dos variables

Halle cada uno de los siguientes límites:

$\underset{(x, y) \to (2, –1)}{lím} (x^{2} - 2 x y + 3 y^{2} - 4 x + 3 y - 6)$ grandes.
$\underset{(x, y) \to (2, –1)}{lím} \frac{2 x + 3 y}{4 x - 3 y}$

Solución

Primero utilice las leyes de la suma y la diferencia para separar los términos

$\begin{matrix} \underset{(x, y) \to (2, –1)}{lím} (x^{2} - 2 x y + 3 y^{2} - 4 x + 3 y - 6) \\ = (\underset{(x, y) \to (2, –1)}{lím} x^{2}) - (\underset{(x, y) \to (2, –1)}{lím} 2 x y) + (\underset{(x, y) \to (2, –1)}{lím} 3 y^{2}) - (\underset{(x, y) \to (2, –1)}{lím} 4 x) \\ + (\underset{(x, y) \to (2, –1)}{lím} 3 y) - (\underset{(x, y) \to (2, –1)}{lím} 6) . \end{matrix}$

A continuación, utilice la ley de múltiplo constante en los límites segundo, tercero, cuarto y quinto

$\begin{matrix} = (\underset{(x, y) \to (2, –1)}{lím} x^{2}) - 2 (\underset{(x, y) \to (2, –1)}{lím} x y) + 3 (\underset{(x, y) \to (2, –1)}{lím} y^{2}) - 4 (\underset{(x, y) \to (2, –1)}{lím} x) \\ + 3 (\underset{(x, y) \to (2, –1)}{lím} y) - \underset{(x, y) \to (2, –1)}{lím} 6 . \end{matrix}$

Ahora, utilice la ley de potencia en el primer y tercer límite y la ley de producto en el segundo límite:

$\begin{matrix} = {(\underset{(x, y) \to (2, –1)}{lím} x)}^{2} - 2 (\underset{(x, y) \to (2, –1)}{lím} x) (\underset{(x, y) \to (2, –1)}{lím} y) + 3 {(\underset{(x, y) \to (2, –1)}{lím} y)}^{2} \\ - 4 (\underset{(x, y) \to (2, –1)}{lím} x) + 3 (\underset{(x, y) \to (2, –1)}{lím} y) - \underset{(x, y) \to (2, –1)}{lím} 6 . \end{matrix}$

Por último, utilice las leyes de identidad en los seis primeros límites y la ley de constante en el último límite
$\begin{matrix} \underset{(x, y) \to (2, –1)}{lím} (x^{2} - 2 x y + 3 y^{2} - 4 x + 3 y - 6) & = {(2)}^{2} - 2 (2) (–1) + 3 {(–1)}^{2} - 4 (2) + 3 (–1) - 6 \\ = −6. \end{matrix}$
Antes de aplicar la ley del cociente, debemos comprobar que el límite del denominador es distinto de cero. Utilizando la ley de la diferencia, la ley del múltiplo constante y la ley de la identidad,

$\begin{matrix} \underset{(x, y) \to (2, –1)}{lím} (4 x - 3 y) & = \underset{(x, y) \to (2, –1)}{lím} 4 x - \underset{(x, y) \to (2, –1)}{lím} 3 y \\ = 4 (\underset{(x, y) \to (2, –1)}{lím} x) - 3 (\underset{(x, y) \to (2, –1)}{lím} y) \\ = 4 (2) - 3 (–1) = 11. \end{matrix}$

Como el límite del denominador es distinto de cero, se aplica la ley del cociente. Ahora calculamos el límite del numerador utilizando la ley de la diferencia, la ley del múltiplo constante y la ley de la identidad

$\begin{matrix} \underset{(x, y) \to (2, –1)}{lím} (2 x + 3 y) & = \underset{(x, y) \to (2, –1)}{lím} 2 x + \underset{(x, y) \to (2, –1)}{lím} 3 y \\ = 2 (\underset{(x, y) \to (2, –1)}{lím} x) + 3 (\underset{(x, y) \to (2, –1)}{lím} y) \\ = 2 (2) + 3 (–1) \\ = 1 \end{matrix}$

Por lo tanto, según la ley del cociente tenemos

$\underset{(x, y) \to (2, –1)}{lím} \frac{2 x + 3 y}{4 x - 3 y} = \frac{\underset{(x, y) \to (2, –1)}{lím} (2 x + 3 y)}{\underset{(x, y) \to (2, –1)}{lím} (4 x - 3 y)} = \frac{1}{11} .$

Punto de control 4.6

Evalúe el siguiente límite:

\underset{(x, y) \to (5, –2)}{lím} \sqrt[3]{\frac{x^{2} - y}{y^{2} + x - 1}} .

Como estamos tomando el límite de una función de dos variables, el punto $(a, b)$ está en $ℝ^{2},$ y es posible acercarse a este punto desde un número infinito de direcciones. A veces, al calcular un límite, la respuesta varía según la trayectoria que se tome hacia $(a, b) .$ Si este es el caso, entonces el límite no existe. En otras palabras, el límite debe ser único, independientemente de la trayectoria que se tome.

Ejemplo 4.9

Límites que no existen

Demuestre que no existe ninguno de los siguientes límites:

$\underset{(x, y) \to (0, 0)}{lím} \frac{2 x y}{3 x^{2} + y^{2}}$
$\underset{(x, y) \to (0, 0)}{lím} \frac{4 x y^{2}}{x^{2} + 3 y^{4}}$

Solución

El dominio de la función $f (x, y) = \frac{2 x y}{3 x^{2} + y^{2}}$ consiste en todos los puntos del plano $x y$ excepto el punto $(0, 0)$ (Figura 4.16). Para demostrar que el límite no existe cuando $(x, y)$ se aproxima a $(0, 0),$ observamos que es imposible satisfacer la definición de límite de una función de dos variables por el hecho de que la función toma diferentes valores a lo largo de diferentes líneas que pasan por el punto $(0, 0) .$ Primero, considere la línea $y = 0$ en el plano $x y .$ Al sustituir $y = 0$ en $f (x, y)$ da

$f (x, 0) = \frac{2 x (0)}{3 x^{2} + 0^{2}} = 0$

para cualquier valor de $x .$ Por lo tanto, el valor de $f$ permanece constante para cualquier punto del eje $x,$ y dado que $y$ se acerca a cero, la función se mantiene fija en cero.
A continuación, considere la línea $y = x .$ Al sustituir $y = x$ en $f (x, y)$ da

$f (x, x) = \frac{2 x (x)}{3 x^{2} + x^{2}} = \frac{2 x^{2}}{4 x^{2}} = \frac{1}{2} .$

Esto es cierto para cualquier punto de la línea $y = x .$ Si dejamos que $x$ se acerque a cero mientras se mantiene en esta línea, el valor de la función se mantiene fijo en $\frac{1}{2},$ independientemente de cuán pequeño es $x$ .
Elija un valor para $ε$ que es menor que $1 / 2$ —digamos, $1 / 4 —.$ Entonces, por muy pequeño que sea un disco $δ$ que dibujamos alrededor de $(0, 0),$ los valores de $f (x, y)$ por puntos dentro de ese disco $δ$ incluirán tanto $0$ y $\frac{1}{2} .$ Por lo tanto, la definición de límite en un punto nunca se satisface y el límite no existe.

Figura 4.16 Gráfico de la función $f (x, y) = (2 x y) / (3 x^{2} + y^{2}) .$ A lo largo de la línea $y = 0,$ la función es igual a cero; a lo largo de la línea $y = x,$ la función es igual a $\frac{1}{2} .$

De forma similar al apartado a., podemos acercarnos al origen a lo largo de cualquier línea recta que pase por el origen. Si probamos el eje $x$ (es decir, $y = 0),$ entonces la función permanece fija en cero. Lo mismo ocurre con el eje $y .$ Supongamos que nos acercamos al origen a lo largo de una línea recta de pendiente $k .$ La ecuación de esta línea es $y = k x .$ Entonces el límite se convierte en

$\begin{matrix} \underset{(x, y) \to (0, 0)}{lím} \frac{4 x y^{2}}{x^{2} + 3 y^{4}} & = \underset{(x, y) \to (0, 0)}{lím} \frac{4 x {(k x)}^{2}}{x^{2} + 3 {(k x)}^{4}} \\ = \underset{(x, y) \to (0, 0)}{lím} \frac{4 k^{2} x^{3}}{x^{2} + 3 k^{4} x^{4}} \\ = \underset{(x, y) \to (0, 0)}{lím} \frac{4 k^{2} x}{1 + 3 k^{4} x^{2}} \\ = \frac{\underset{(x, y) \to (0, 0)}{lím} (4 k^{2} x)}{\underset{(x, y) \to (0, 0)}{lím} (1 + 3 k^{4} x^{2})} \\ = 0 \end{matrix}$

independientemente del valor de $k .$ Parece que el límite es igual a cero. ¿Y si elegimos una curva que pase por el origen? Por ejemplo, podemos considerar la parábola dada por la ecuación $x = y^{2} .$ Al sustituir $y^{2}$ en vez de $x$ en $f (x, y)$ da

$\begin{matrix} \underset{(x, y) \to (0, 0)}{lím} \frac{4 x y^{2}}{x^{2} + 3 y^{4}} & = \underset{(x, y) \to (0, 0)}{lím} \frac{4 (y^{2}) y^{2}}{{(y^{2})}^{2} + 3 y^{4}} \\ = \underset{(x, y) \to (0, 0)}{lím} \frac{4 y^{4}}{y^{4} + 3 y^{4}} \\ = \underset{(x, y) \to (0, 0)}{lím} 1 \\ = 1 \end{matrix}$

Por la misma lógica en el apartado a., es imposible encontrar un disco $δ$ alrededor del origen que satisfaga la definición del límite para cualquier valor de $ε < 1 .$ Por lo tanto, $\underset{(x, y) \to (0, 0)}{lím} \frac{4 x y^{2}}{x^{2} + 3 y^{4}}$ no existe.

Punto de control 4.7

Demuestre que

\underset{(x, y) \to (2, 1)}{lím} \frac{(x - 2) (y - 1)}{{(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2}}

no existe.

Puntos interiores y puntos límite

Para estudiar la continuidad y la diferenciabilidad de una función de dos o más variables, primero tenemos que aprender algo de terminología nueva.

Definición

Supongamos que S es un subconjunto de $ℝ^{2}$ (Figura 4.17).

Un punto $P_{0}$ se llama punto interior de $S$ si hay un disco $δ$ centrado en $P_{0}$ contenido completamente en $S .$
Un punto $P_{0}$ se llama punto límite de $S$ si cada disco $δ$ centrado en $P_{0}$ contiene puntos tanto dentro como fuera de $S .$

En el plano xy se dibuja una forma cerrada. Hay un punto (–1, 1) dibujado en el interior de la forma, y hay un punto (2, 3) dibujado en el borde. Ambos puntos son los centros de pequeños círculos.

Figura 4.17 En el conjunto

S

mostrado,

(–1, 1)

es un punto interior y

(2, 3)

es un punto límite.

Definición

Supongamos que S es un subconjunto de $ℝ^{2}$ (Figura 4.17).

$S$ se llama conjunto abierto si cada punto de $S$ es un punto interior.
$S$ se llama conjunto cerrado si contiene todos sus puntos límite.

Un ejemplo de conjunto abierto es un disco $δ$ . Si incluimos el borde del disco, entonces se convierte en un conjunto cerrado. Un conjunto que contiene algunos de sus puntos límite, pero no todos, no es ni abierto ni cerrado. Por ejemplo, si incluimos la mitad del borde de un disco $δ$ pero no la otra mitad, entonces el conjunto no está ni abierto ni cerrado.

Definición

Supongamos que S es un subconjunto de $ℝ^{2}$ (Figura 4.17).

Un conjunto abierto $S$ es un conjunto conectado si no puede representarse como la unión de dos o más subconjuntos abiertos no vacíos.
Un conjunto $S$ es una región si es abierto, conectado y no vacío.

La definición de un límite de una función de dos variables requiere el disco $δ$ que debe estar contenido dentro del dominio de la función. Sin embargo, si queremos calcular el límite de una función en un punto límite del dominio, el disco $δ$ no se encuentra dentro del dominio. Por definición, algunos de los puntos del disco $δ$ están dentro del dominio y otros están fuera. Por lo tanto, solo tenemos que considerar los puntos que están, tanto dentro del disco $δ$ como del dominio de la función. Esto nos lleva a la definición del límite de una función en un punto límite.

Definición

Supongamos que $f$ es una función de dos variables, $x$ como $y,$ y supongamos que $(a, b)$ está en la frontera del dominio de $f .$ Entonces, el límite de $f (x, y)$ cuando $(x, y)$ se aproxima a $(a, b)$ ¿es $L,$ escrito

\underset{(x, y) \to (a, b)}{lím} f (x, y) = L,

si para cualquier $ε > 0,$ existe un número $δ > 0$ tal que para cualquier punto $(x, y)$ dentro del dominio de $f$ y dentro de una distancia convenientemente pequeña positiva $δ$ de $(a, b),$ el valor de $f (x, y)$ no es más que $ε$ lejos de $L$ (Figura 4.15). Usando símbolos, podemos escribir: para cualquier $ε > 0,$ existe un número $δ > 0$ tal que

| f (x, y) - L | < ε siempre que 0 < \sqrt{{(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2}} < δ .

Ejemplo 4.10

Límite de una función en un punto límite

Pruebe que $\underset{(x, y) \to (4, 3)}{lím} \sqrt{25 - x^{2} - y^{2}} = 0 .$

Solución

El dominio de la función $f (x, y) = \sqrt{25 - x^{2} - y^{2}}$ ¿es ${(x, y) \in ℝ^{2} | x^{2} + y^{2} \leq 25},$ que es un círculo de radio $5$ centrado en el origen, junto con su interior como se muestra en el siguiente gráfico.

Un círculo de radio 5 centrado en el origen con su interior relleno.

Figura 4.18 Dominio de la función

f (x, y) = \sqrt{25 - x^{2} - y^{2}} .

Podemos utilizar las leyes de límite, que se aplican tanto a los límites en el borde de los dominios como a los puntos interiores:

\begin{matrix} \underset{(x, y) \to (4, 3)}{lím} \sqrt{25 - x^{2} - y^{2}} & = \sqrt{\underset{(x, y) \to (4, 3)}{lím} (25 - x^{2} - y^{2})} \\ = \sqrt{\underset{(x, y) \to (4, 3)}{lím} 25 - \underset{(x, y) \to (4, 3)}{lím} x^{2} - \underset{(x, y) \to (4, 3)}{lím} y^{2}} \\ = \sqrt{25 - 4^{2} - 3^{2}} \\ = 0, \end{matrix}

Vea el siguiente gráfico.

La semiesfera superior en el espacio xyz con radio 5 y centro el origen.

Figura 4.19 Gráfico de la función

f (x, y) = \sqrt{25 - x^{2} - y^{2}} .

Punto de control 4.8

Evalúe el siguiente límite:

\underset{(x, y) \to (5, –2)}{lím} \sqrt{29 - x^{2} - y^{2}} .

Continuidad de funciones de dos variables

En Continuidad, definimos la continuidad de una función de una variable y vimos cómo se basaba en el límite de una función de una variable. En particular, son necesarias tres condiciones para que $f (x)$ sea continua en el punto $x = a :$

$f (a)$ .
$\underset{x \to a}{lím} f (x)$ .
$\underset{x \to a}{lím} f (x) = f (a) .$

Estas tres condiciones son necesarias también para la continuidad de una función de dos variables.

Definición

Una función $f (x, y)$ es continua en un punto $(a, b)$ en su dominio si se cumplen las siguientes condiciones:

$f (a, b)$ .
$\underset{(x, y) \to (a, b)}{lím} f (x, y)$ .
$\underset{(x, y) \to (a, b)}{lím} f (x, y) = f (a, b) .$

Ejemplo 4.11

Demostrar continuidad de una función de dos variables

Demuestre que la función $f (x, y) = \frac{3 x + 2 y}{x + y + 1}$ es continua en el punto $(5, −3) .$

Solución

Hay tres condiciones que deben cumplirse, según la definición de continuidad. En este ejemplo, $a = 5$ y $b = −3 .$

$f (a, b)$ . Esto es cierto porque el dominio de la función $f$ consiste en aquellos pares ordenados para los que el denominador es distinto de cero (es decir, $x + y + 1 \neq 0) .$ El punto $(5, −3)$ satisface esta condición. Además,

$f (a, b) = f (5, −3) = \frac{3 (5) + 2 (−3)}{5 + (−3) + 1} = \frac{15 - 6}{2 + 1} = 3 .$
$\underset{(x, y) \to (a, b)}{lím} f (x, y)$ . Esto también es cierto:

$\begin{matrix} \underset{(x, y) \to (a, b)}{lím} f (x, y) & = \underset{(x, y) \to (5, −3)}{lím} \frac{3 x + 2 y}{x + y + 1} \\ = \frac{\underset{(x, y) \to (5, −3)}{lím} (3 x + 2 y)}{\underset{(x, y) \to (5, −3)}{lím} (x + y + 1)} \\ = \frac{15 - 6}{5 - 3 + 1} \\ = 3. \end{matrix}$
$\underset{(x, y) \to (a, b)}{lím} f (x, y) = f (a, b) .$ Esto es cierto porque acabamos de demostrar que ambos lados de esta ecuación son iguales a tres.

Punto de control 4.9

Demuestre que la función $f (x, y) = \sqrt{26 - 2 x^{2} - y^{2}}$ es continua en el punto $(2, −3) .$

La continuidad de una función de cualquier número de variables también puede definirse en términos de delta y épsilon. Una función de dos variables es continua en un punto $(x_{0}, y_{0})$ en su dominio si para cada $ε > 0$ existe un $δ > 0$ de manera que, siempre que $\sqrt{{(x - x_{0})}^{2} + {(y - y_{0})}^{2}} < δ$ sea cierto, $| f (x, y) - f (a, b) | < ε .$ Esta definición puede combinarse con la definición formal (es decir, la definición épsilon-delta) de continuidad de una función de una variable para demostrar los siguientes teoremas:

Teorema 4.2

La suma de funciones continuas es continua

Si los valores de $f (x, y)$ es continua en $(x_{0}, y_{0}),$ y $g (x, y)$ es continua en $(x_{0}, y_{0}),$ entonces $f (x, y) + g (x, y)$ es continua en $(x_{0}, y_{0}) .$

Teorema 4.3

El producto de funciones continuas es continuo

Si los valores de $g (x)$ es continua en $x_{0}$ y $h (y)$ es continua en $y_{0},$ entonces $f (x, y) = g (x) h (y)$ es continua en $(x_{0}, y_{0}) .$

Teorema 4.4

La composición de funciones continuas es continua

Supongamos que $g$ es una función de dos variables de un dominio $D \subseteq ℝ^{2}$ a un rango $R \subseteq ℝ .$ Supongamos que $g$ es continua en algún punto $(x_{0}, y_{0}) \in D$ y define $z_{0} = g (x_{0}, y_{0}) .$ Supongamos que $f$ es una función que aplica a $ℝ$ al $ℝ$ de manera que $z_{0}$ está en el dominio de $f .$ Por último, asuma que $f$ es continua en $z_{0} .$ Entonces $f \circ g$ es continua en $(x_{0}, y_{0})$ como se muestra en la siguiente figura.

Se muestra una forma marcada como el dominio de g con el punto (x, y) dentro de ella. Desde el dominio de g hay una flecha marcada g que apunta al rango de g, que es una línea recta con el punto z en ella. El rango de g también está marcado como el dominio de f. Luego hay otra flecha marcada como f desde esta forma hasta una línea marcada como rango de f.

Figura 4.20 La composición de dos funciones continuas es continua.

Utilicemos ahora los teoremas anteriores para demostrar la continuidad de las funciones en los siguientes ejemplos.

Ejemplo 4.12

Más ejemplos de continuidad de una función de dos variables

Demuestre que las funciones $f (x, y) = 4 x^{3} y^{2}$ y $g (x, y) = cos (4 x^{3} y^{2})$ son continuas en todas partes.

Solución

Los polinomios $g (x) = 4 x^{3}$ y $h (y) = y^{2}$ son continuos en todo número real, y por tanto por el teorema del producto de funciones continuas, $f (x, y) = 4 x^{3} y^{2}$ es continua en cada punto $(x, y)$ en el plano $x y .$ Dado que $f (x, y) = 4 x^{3} y^{2}$ es continua en cada punto $(x, y)$ en el plano $x y$ y $g (x) = cos x$ es continua en todo número real $x,$ la continuidad de la composición de funciones nos dice que $g (x, y) = cos (4 x^{3} y^{2})$ es continua en cada punto $(x, y)$ en el plano $x y .$

Punto de control 4.10

Demuestre que las funciones $f (x, y) = 2 x^{2} y^{3} + 3$ y $g (x, y) = {(2 x^{2} y^{3} + 3)}^{4}$ son continuas en todas partes.

Funciones de tres o más variables

El límite de una función de tres o más variables se da fácilmente en las aplicaciones. Por ejemplo, supongamos que tenemos una función $f (x, y, z)$ que da la temperatura en un lugar físico $(x, y, z)$ en tres dimensiones. O quizás una función $g (x, y, z, t)$ puede indicar la presión del aire en un lugar $(x, y, z)$ en el momento $t .$ ¿Cómo podemos tomar un límite en un punto de $ℝ^{3} ?$ ¿Qué significa ser continuo en un punto en cuatro dimensiones?

Las respuestas de estas preguntas se basan en la ampliación del concepto del disco $δ$ en más de dos dimensiones. Entonces, las ideas de límite de una función de tres o más variables y de continuidad de una función de tres o más variables son muy similares a las definiciones dadas anteriormente para una función de dos variables.

Definición

Supongamos que $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ es un punto en $ℝ^{3} .$ Entonces, una bola $δ$ en tres dimensiones consiste en todos los puntos en $ℝ^{3}$ que se encuentran a una distancia inferior a $δ$ a partir de $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ , es decir,

{(x, y, z) \in ℝ^{3} | \sqrt{{(x - x_{0})}^{2} + {(y - y_{0})}^{2} + {(z - z_{0})}^{2}} < δ} .

Para definir una bola $δ$ en dimensiones superiores, añadimos términos adicionales bajo el radical para corresponder a cada dimensión adicional. Por ejemplo, dado un punto $P = (w_{0}, x_{0}, y_{0}, z_{0})$ en $ℝ^{4},$ una bola $δ$ alrededor de $P$ puede describirse por

{(w, x, y, z) \in ℝ^{4} | \sqrt{{(w - w_{0})}^{2} + {(x - x_{0})}^{2} + {(y - y_{0})}^{2} + {(z - z_{0})}^{2}} < δ} .

Para demostrar que existe un límite de una función de tres variables en un punto $(x_{0}, y_{0}, z_{0}),$ basta con demostrar que para cualquier punto de una bola $δ$ centrada en $(x_{0}, y_{0}, z_{0}),$ el valor de la función en ese punto se acerca arbitrariamente a un valor fijo (el valor límite). Todas las leyes de los límites de las funciones de dos variables son válidas también para las funciones de más de dos variables.

Ejemplo 4.13

Hallar el límite de una función de tres variables

Halle $\underset{(x, y, z) \to (4, 1, −3)}{lím} \frac{x^{2} y - 3 z}{2 x + 5 y - z} .$

Solución

Antes de poder aplicar la ley del cociente, tenemos que verificar que el límite del denominador es distinto de cero. Utilizando la ley de la diferencia, la ley de la identidad y la ley de constante,

\begin{matrix} \underset{(x, y, z) \to (4, 1, −3)}{lím} (2 x + 5 y - z) & = 2 (\underset{(x, y, z) \to (4, 1, −3)}{lím} x) + 5 (\underset{(x, y, z) \to (4, 1, −3)}{lím} y) - (\underset{(x, y, z) \to (4, 1, −3)}{lím} z) \\ = 2 (4) + 5 (1) - (−3) \\ = 16. \end{matrix}

Como esto es distinto de cero, a continuación hallamos el límite del numerador. Utilizando la ley del producto, la ley de la diferencia, la ley del múltiplo constante y la ley de la identidad,

\begin{matrix} \underset{(x, y, z) \to (4, 1, −3)}{lím} (x^{2} y - 3 z) & = {(\underset{(x, y, z) \to (4, 1, −3)}{lím} x)}^{2} (\underset{(x, y, z) \to (4, 1, −3)}{lím} y) - 3 \underset{(x, y, z) \to (4, 1, −3)}{lím} z \\ = (4^{2}) (1) - 3 (−3) \\ = 16 + 9 \\ = 25 . \end{matrix}

Por último, aplicando la ley del cociente:

\begin{matrix} \underset{(x, y, z) \to (4, 1, −3)}{lím} \frac{x^{2} y - 3 z}{2 x + 5 y - z} & = \frac{\underset{(x, y, z) \to (4, 1, −3)}{lím} (x^{2} y - 3 z)}{\underset{(x, y, z) \to (4, 1, −3)}{lím} (2 x + 5 y - z)} \\ = \frac{25}{16} . \end{matrix}

Punto de control 4.11

Halle $\underset{(x, y, z) \to (4, –1, 3)}{lím} \sqrt{13 - x^{2} - 2 y^{2} + z^{2}} .$

Sección 4.2 ejercicios

En los siguientes ejercicios, halle el límite de la función.

60.

$\underset{(x, y) \to (1, 2)}{lím} x$

61.

$\underset{(x, y) \to (1, 2)}{lím} \frac{5 x^{2} y}{x^{2} + y^{2}}$

62.

Demuestre que el límite $\underset{(x, y) \to (0, 0)}{lím} \frac{5 x^{2} y}{x^{2} + y^{2}}$ existe y es el mismo a lo largo de las trayectorias: eje $y$ y eje $x −eje,$ y a lo largo de $y = x .$

En los siguientes ejercicios, evalúe los límites en los valores indicados de $x y y .$ Si el límite no existe, indíquelo y explique por qué no existe.

63.

$\underset{(x, y) \to (0, 0)}{lím} \frac{4 x^{2} + 10 y^{2} + 4}{4 x^{2} - 10 y^{2} + 6}$

64.

$\underset{(x, y) \to (11, 13)}{lím} \sqrt{\frac{1}{x y}}$

65.

$\underset{(x, y) \to (0, 1)}{lím} \frac{y^{2} sen x}{x}$

66.

$\underset{(x, y) \to (0, 0)}{lím} sen (\frac{x^{8} + y^{7}}{x - y + 10})$ grandes.

67.

$\underset{(x, y) \to (π / 4, 1)}{lím} \frac{y tan x}{y + 1}$

68.

$\underset{(x, y) \to (0, π / 4)}{lím} \frac{sec x + 2}{3 x - tan y}$

69.

$\underset{(x, y) \to (2, 5)}{lím} (\frac{1}{x} - \frac{5}{y})$ grandes.

70.

$\underset{(x, y) \to (4, 4)}{lím} x ln y$

71.

$\underset{(x, y) \to (4, 4)}{lím} e^{– x^{2} - y^{2}}$

72.

$\underset{(x, y) \to (0, 0)}{lím} \sqrt{9 - x^{2} - y^{2}}$

73.

$\underset{(x, y) \to (1, 2)}{lím} (x^{2} y^{3} - x^{3} y^{2} + 3 x + 2 y)$ grandes.

74.

$\underset{(x, y) \to (π, π)}{lím} x sen (\frac{x + y}{4})$ grandes.

75.

$\underset{(x, y) \to (0, 0)}{lím} \frac{x y + 1}{x^{2} + y^{2} + 1}$

76.

$\underset{(x, y) \to (0, 0)}{lím} \frac{x^{2} + y^{2}}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + 1} - 1}$

77.

$\underset{(x, y) \to (0, 0)}{lím} ln (x^{2} + y^{2})$

En los siguientes ejercicios, complete el enunciado.

78.

Un punto $(x_{0}, y_{0})$ en la región de un plano $R$ es un punto interior de $R$ si _________________.

79.

Un punto $(x_{0}, y_{0})$ en la región de un plano $R$ se llama punto límite de $R$ si ___________.

En los siguientes ejercicios, utilice técnicas algebraicas para evaluar el límite.

80.

$\underset{(x, y) \to (2, 1)}{lím} \frac{x - y - 1}{\sqrt{x - y} - 1}$

81.

$\underset{(x, y) \to (0, 0)}{lím} \frac{x^{4} - 4 y^{4}}{x^{2} + 2 y^{2}}$

82.

$\underset{(x, y) \to (0, 0)}{lím} \frac{x^{3} - y^{3}}{x - y}$

83.

$\underset{(x, y) \to (0, 0)}{lím} \frac{x^{2} - x y}{\sqrt{x} - \sqrt{y}}$

En los siguientes ejercicios, evalúe los límites de las funciones de tres variables.

84.

$\underset{(x, y, z) \to (1, 2, 3)}{lím} \frac{x z^{2} - y^{2} z}{x y z - 1}$

85.

$\underset{(x, y, z) \to (0, 0, 0)}{lím} \frac{x^{2} - y^{2} - z^{2}}{x^{2} + y^{2} - z^{2}}$

En los siguientes ejercicios, evalúe el límite de la función determinando el valor al que se aproxima la función a lo largo de los trayectorias indicadas. Si el límite no existe, explique por qué no.

86.

$\underset{(x, y) \to (0, 0)}{lím} \frac{x y + y^{3}}{x^{2} + y^{2}}$

A lo largo del eje $x$ $(y = 0)$
A lo largo del eje $y$ $(x = 0)$
A lo largo de la trayectoria $y = 2 x$

87.

Evalúe $\underset{(x, y) \to (0, 0)}{lím} \frac{x y + y^{3}}{x^{2} + y^{2}}$ utilizando los resultados del problema anterior.

88.

$\underset{(x, y) \to (0, 0)}{lím} \frac{x^{2} y}{x^{4} + y^{2}}$

A lo largo del eje x $(y = 0)$
A lo largo del eje y $(x = 0)$
A lo largo de la trayectoria $y = x^{2}$

89.

Evalúe $\underset{(x, y) \to (0, 0)}{lím} \frac{x^{2} y}{x^{4} + y^{2}}$ utilizando los resultados del problema anterior.

Discuta la continuidad de las siguientes funciones. Halle la región más grande del plano $x y$ en la que las siguientes funciones son continuas.

90.

$f (x, y) = sen (x y)$ grandes.

91.

$f (x, y) = ln (x + y)$

92.

$f (x, y) = e^{3 x y}$

93.

$f (x, y) = \frac{1}{x y}$

En los siguientes ejercicios, determine la región en la que la función es continua. Explique su respuesta.

94.

$f (x, y) = \frac{x^{2} y}{x^{2} + y^{2}}$

95.

$f (x, y) = {\begin{matrix} \frac{x^{2} y}{x^{2} + y^{2}} & si (x, y) \neq (0, 0) \\ 0 & si (x, y) = (0, 0) \end{matrix}}$

(Pista: Demuestra que la función se acerca a valores diferentes por dos trayectorias distintas).

96.

$f (x, y) = \frac{sen (x^{2} + y^{2})}{x^{2} + y^{2}}$

97.

Determine si $g (x, y) = \frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2} + y^{2}}$ es continua en $(0, 0) .$

98.

Cree un gráfico utilizando un programa de gráficos para determinar dónde no existe el límite. Halle en qué punto del plano de coordenadas $f (x, y) = \frac{1}{x^{2} - y}$ es continuo.

99.

Determine la región del plano $x y$ en la que la función compuesta $g (x, y) = arctan (\frac{x y^{2}}{x + y})$ es continuo. Utilice la tecnología para respaldar su conclusión.

100.

Determine la región del plano $x y$ en la que $f (x, y) = ln (x^{2} + y^{2} - 1)$ es continuo. Utilice la tecnología para respaldar su conclusión. (Pista: Elija el rango de valores para $x y y$ con cuidado).

101.

¿En qué puntos del espacio $g (x, y, z) = x^{2} + y^{2} - 2 z^{2}$ es continua?

102.

¿En qué puntos del espacio $g (x, y, z) = \frac{1}{x^{2} + z^{2} - 1}$ es continua?

103.

Demuestre que $\underset{(x, y) \to (0, 0)}{lím} \frac{1}{x^{2} + y^{2}}$ no existe en $(0, 0)$ trazando el gráfico de la función.

104.

[T] Evalúe $\underset{(x, y) \to (0, 0)}{lím} \frac{− x y^{2}}{x^{2} + y^{4}}$ trazando la función mediante un CAS. Determine de forma analítica el límite a lo largo de la trayectoria $x = y^{2} .$

105.

[T]

Utilice un CAS para dibujar un mapa de líneas de contorno de $z = \sqrt{9 - x^{2} - y^{2}} .$
¿Cómo se llama la forma geométrica de las curvas de nivel?
Dé la ecuación general de las curvas de nivel.
¿Cuál es el valor máximo de $z ?$
¿Cuál es el dominio de la función?
¿Cuál es el rango de la función?

106.

Verdadero o falso: Si evaluamos $\underset{(x, y) \to (0, 0)}{lím} f (x)$ a lo largo de varias trayectorias y cada vez que el límite es $1,$ podemos concluir que $\underset{(x, y) \to (0, 0)}{lím} f (x) = 1 .$

107.

Utilice las coordenadas polares para hallar $\underset{(x, y) \to (0, 0)}{lím} \frac{sen \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} .$ También se puede calcular el límite utilizando la regla de L'Hôpital.

108.

Utilice las coordenadas polares para hallar $\underset{(x, y) \to (0, 0)}{lím} cos (x^{2} + y^{2}) .$

109.

Discuta la continuidad de $f (g (x, y))$ donde $f (t) = 1 / t$ y $g (x, y) = 2 x - 5 y .$

110.

Dado que $f (x, y) = x^{2} - 4 y,$ calcule $\underset{h \to 0}{lím} \frac{f (x + h, y) - f (x, y)}{h} .$

111.

Dado que $f (x, y) = x^{2} - 4 y,$ calcule $\underset{h \to 0}{lím} \frac{f (1 + h, y) - f (1, y)}{h} .$

4.2 Límites y continuidad

Límite de una función de dos variables

Leyes de límite para funciones de dos variables

Hallar el límite de una función de dos variables

Solución

Límites que no existen

Solución

Puntos interiores y puntos límite

Límite de una función en un punto límite

Solución

Continuidad de funciones de dos variables

Demostrar continuidad de una función de dos variables

Solución

La suma de funciones continuas es continua

El producto de funciones continuas es continuo

La composición de funciones continuas es continua

Más ejemplos de continuidad de una función de dos variables

Solución

Funciones de tres o más variables

Hallar el límite de una función de tres variables

Solución

Sección 4.2 ejercicios