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Cálculo volumen 3

4.1 Funciones de varias variables

Cálculo volumen 34.1 Funciones de varias variables
  1. Prefacio
  2. 1 Ecuaciones paramétricas y coordenadas polares
    1. Introducción
    2. 1.1 Ecuaciones paramétricas
    3. 1.2 Cálculo de curvas paramétricas
    4. 1.3 Coordenadas polares
    5. 1.4 Área y longitud de arco en coordenadas polares
    6. 1.5 Secciones cónicas
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  3. 2 Vectores en el espacio
    1. Introducción
    2. 2.1 Vectores en el plano
    3. 2.2 Vectores en tres dimensiones
    4. 2.3 El producto escalar
    5. 2.4 El producto vectorial
    6. 2.5 Ecuaciones de líneas y planos en el espacio
    7. 2.6 Superficies cuádricas
    8. 2.7 Coordenadas cilíndricas y esféricas
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  4. 3 Funciones de valores factoriales
    1. Introducción
    2. 3.1 Funciones de valores vectoriales y curvas en el espacio
    3. 3.2 Cálculo de funciones de valor vectorial
    4. 3.3 Longitud de arco y curvatura
    5. 3.4 Movimiento en el espacio
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  5. 4 Diferenciación de funciones de varias variables
    1. Introducción
    2. 4.1 Funciones de varias variables
    3. 4.2 Límites y continuidad
    4. 4.3 Derivadas parciales
    5. 4.4 Planos tangentes y aproximaciones lineales
    6. 4.5 La regla de la cadena
    7. 4.6 Derivadas direccionales y el gradiente
    8. 4.7 Problemas con máximos/mínimos
    9. 4.8 Multiplicadores de Lagrange
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  6. 5 Integración múltiple
    1. Introducción
    2. 5.1 Integrales dobles sobre regiones rectangulares
    3. 5.2 Integrales dobles sobre regiones generales
    4. 5.3 Integrales dobles en coordenadas polares
    5. 5.4 Integrales triples
    6. 5.5 Integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas
    7. 5.6 Cálculo de centros de masa y momentos de inercia
    8. 5.7 Cambio de variables en integrales múltiples
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  7. 6 Cálculo vectorial
    1. Introducción
    2. 6.1 Campos vectoriales
    3. 6.2 Integrales de línea
    4. 6.3 Campos vectoriales conservativos
    5. 6.4 Teorema de Green
    6. 6.5 Divergencia y rizo
    7. 6.6 Integrales de superficie
    8. 6.7 Teorema de Stokes
    9. 6.8 El teorema de la divergencia
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  8. 7 Ecuaciones diferenciales de segundo orden
    1. Introducción
    2. 7.1 Ecuaciones lineales de segundo orden
    3. 7.2 Ecuaciones lineales no homogéneas
    4. 7.3 Aplicaciones
    5. 7.4 Soluciones de ecuaciones diferenciales mediante series
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  9. A Tabla de integrales
  10. B Tabla de derivadas
  11. C Repaso de Precálculo
  12. Clave de respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
  13. Índice

Objetivos de aprendizaje

  • 4.1.1 Reconocer una función de dos variables e identificar su dominio y rango.
  • 4.1.2 Dibujar el gráfico de una función de dos variables.
  • 4.1.3 Trazar varias trazas o curvas de nivel de una función de dos variables.
  • 4.1.4 Reconocer una función de tres o más variables e identificar sus superficies de nivel.

Nuestro primer paso es explicar qué es una función de más de una variable, empezando por las funciones de dos variables independientes. Este paso incluye identificar el dominio y el rango de dichas funciones y aprender a graficarlas. También examinamos las formas de relacionar los gráficos de las funciones en tres dimensiones con los gráficos de las funciones planas más conocidas.

Funciones de dos variables

La definición de una función de dos variables es muy similar a la de una función de una variable. La principal diferencia es que, en vez de aplicar valores de una variable a valores de otra variable, asignamos pares ordenados de variables a otra variable.

Definición

Una función de dos variables z=f(x,y)z=f(x,y) aplica cada par ordenado (x,y)(x,y) en un subconjunto DD del plano real 2 2 a un único número real z.z. El conjunto DD se llama el dominio de la función. El rango de ff es el conjunto de todos los números reales zz que tiene al menos un par ordenado (x,y)D(x,y)D de manera que f(x,y)=zf(x,y)=z como se muestra en la siguiente figura.

Se marca como dominio una forma bulbosa que contiene el punto (x, y). Desde este punto, hay una flecha marcada como f que apunta a un punto z en una línea recta marcada como rango.
Figura 4.2 El dominio de una función de dos variables está formado por pares ordenados ( x , y ) . ( x , y ) .

La determinación del dominio de una función de dos variables implica tener en cuenta las restricciones de dominio que puedan existir. Echemos un vistazo.

Ejemplo 4.1

Dominios y rangos para funciones de dos variables

Halle el dominio y el rango de cada una de las siguientes funciones:

  1. f(x,y)=3x+5y+2 f(x,y)=3x+5y+2
  2. g(x,y)=9x2 y2 g(x,y)=9x2 y2

Punto de control 4.1

Calcule el dominio y el rango de la función f(x,y)=369x2 9y2 .f(x,y)=369x2 9y2 .

Graficar funciones de dos variables

Supongamos que deseamos graficar la función z=(x,y).z=(x,y). Esta función tiene dos variables independientes (xyy)(xyy) y una variable dependiente (z).(z). Al graficar una función y=f(x)y=f(x) de una variable, utilizamos el plano cartesiano. Podemos graficar cualquier par ordenado (x,y)(x,y) en el plano, y cada punto del plano tiene un par ordenado (x,y)(x,y) asociado a él. Con una función de dos variables, cada par ordenado (x,y)(x,y) en el dominio de la función se asigna a un número real z.z. Por lo tanto, el gráfico de la función ff se compone de triples ordenados (x,y,z).(x,y,z). El gráfico de una función z=(x,y)z=(x,y) de dos variables se llama superficie.

Para entender mejor el concepto de trazar un conjunto de triples ordenadas para obtener una superficie en el espacio tridimensional, imagine el sistema de coordenadas (x,y)(x,y) en plano. Entonces, cada punto del dominio de la función ff tiene un único valor z z asociado a él. Si los valores de zz es positivo, entonces el punto graficado se encuentra por encima del plano xy,xy, si zz es negativo, entonces el punto graficado se encuentra por debajo del plano xy .xy . El conjunto de todos los puntos graficados se convierte en la superficie bidimensional que es el gráfico de la función f.f.

Ejemplo 4.2

Graficar funciones de dos variables

Cree un gráfico de cada una de las siguientes funciones:

  1. g(x,y)=9x2 y2 g(x,y)=9x2 y2
  2. f(x,y)=x2 +y2 f(x,y)=x2 +y2

Ejemplo 4.3

Tuercas y tornillos

Una función de ganancias para un fabricante de herramientas viene dada por

f(x,y)=16(x3)2 (y2 )2 ,f(x,y)=16(x3)2 (y2 )2 ,

donde xx es el número de tuercas vendidas al mes (medido en miles) y yy representa el número de tornillos vendidos por mes (medido en miles). La ganancia se mide en miles de dólares. Dibuje un gráfico de esta función.

Curvas de nivel

Si los excursionistas caminan por senderos escarpados, pueden utilizar un mapa topográfico que muestre la inclinación de los senderos. Un mapa topográfico contiene líneas curvas llamadas curvas de nivel. Cada línea de contorno corresponde a los puntos del mapa que tienen igual elevación (Figura 4.7). La curva de nivel de una función de dos variables f(x,y)f(x,y) es completamente análoga a una línea de contorno en un mapa topográfico.

Esta figura está formada por dos figuras marcadas como a y b. La figura a muestra un mapa topográfico de la Torre del Diablo, que tiene sus líneas muy juntas para indicar lo escarpado del terreno. La figura b muestra una imagen de la Torre del Diablo, que tiene lados muy escarpados.
Figura 4.7 (a) Un mapa topográfico de la Torre del Diablo, Wyoming. Las líneas que están muy juntas indican un terreno muy escarpado. (b) Una foto en perspectiva de la Torre del Diablo muestra lo escarpados que son sus lados. Observe que la parte superior de la torre tiene la misma forma que el centro del mapa topográfico.

Definición

Dada una función f(x,y)f(x,y) y un número cc en el rango de f,af,a curva de nivel de una función de dos variables para el valor cc se define como el conjunto de puntos que satisfacen la ecuación f(x,y)=c.f(x,y)=c.

Volviendo a la función g(x,y)=9x2 y2 ,g(x,y)=9x2 y2 , podemos determinar las curvas de nivel de esta función. El rango de gg es el intervalo cerrado [0,3].[0,3]. En primer lugar, elegimos un número cualquiera en este intervalo cerrado, por ejemplo, c=2 .c=2 . La curva de nivel correspondiente a c=2 c=2 se describe mediante la ecuación

9x2 y2 =2 .9x2 y2 =2 .

Para simplificar, eleve al cuadrado ambos lados de esta ecuación:

9x2 y2 =4.9x2 y2 =4.

Ahora, multiplique ambos lados de la ecuación por –1–1 y añada 99 a cada lado:

x2 +y2 =5.x2 +y2 =5.

Esta ecuación describe un círculo centrado en el origen con radio 5.5. Utilizando los valores de cc entre 0y30y3 da lugar a otros círculos también centrados en el origen. Si los valores de c=3,c=3, entonces el círculo tiene radio 0,0, por lo que consiste únicamente en el origen. La Figura 4.8 es un gráfico de las curvas de nivel de esta función correspondiente a c=0,1,2 ,y3.c=0,1,2 ,y3. Observe que en la derivación anterior es posible que hayamos introducido soluciones adicionales al elevar al cuadrado ambos lados. Este no es el caso porque el rango de la función de raíz cuadrada es no negativo.

Tres círculos concéntricos con centro en el origen. El círculo más grande, marcado con c = 0, tiene un radio de 3. El círculo mediano, marcado con c = 1, tiene un radio ligeramente inferior a 3. El círculo más pequeño, marcado con c = 2, tiene un radio ligeramente superior a 2.
Figura 4.8 Curvas de nivel de la función g ( x , y ) = 9 x 2 y 2 , g ( x , y ) = 9 x 2 y 2 , utilizando c = 0 , 1 , 2 , c = 0 , 1 , 2 , y 3 3 ( c = 3 ( c = 3 corresponde al origen).

El gráfico de las distintas curvas de nivel de una función se denomina líneas de contorno.

Ejemplo 4.4

Hacer un mapa de líneas de contorno

Dada la función f(x,y)=8+8x4y4x2 y2 ,f(x,y)=8+8x4y4x2 y2 , halle la curva de nivel correspondiente a c=0.c=0. A continuación, cree un mapa de líneas de contorno para esta función. ¿Cuáles son el dominio y el rango de f?f?

Punto de control 4.2

Halle y grafique la curva de nivel de la función g(x,y)=x2 +y2 6x+2 yg(x,y)=x2 +y2 6x+2 y correspondiente a c=15.c=15.

Otra herramienta útil para entender el gráfico de una función de dos variables se llama traza vertical. Las curvas de nivel siempre se grafican en el plano xy,xy, pero como su nombre indica, las trazas verticales se grafican en los planos xzxz o yz.yz.

Definición

Considere una función z=f(x,y)z=f(x,y) con dominio D2 .D2 . Una traza vertical de la función puede ser el conjunto de puntos que resuelve la ecuación f(a,y)=zf(a,y)=z para una constante dada x=ax=a o f(x,b)=zf(x,b)=z para una constante dada y=b.y=b.

Ejemplo 4.5

Hallar trazas verticales

Halle las trazas verticales de la función f(x,y)=senxcosyf(x,y)=senxcosy correspondiente a x=π4,0,yπ4,x=π4,0,yπ4, y y=π4,0,yπ4.y=π4,0,yπ4.

Punto de control 4.3

Determine la ecuación de la traza vertical de la función g(x,y)=x2 y2 +2 x+4y1g(x,y)=x2 y2 +2 x+4y1 correspondiente a y=3,y=3, y describa su gráfico.

Las funciones de dos variables pueden producir algunas superficies de aspecto llamativo. La siguiente figura muestra dos ejemplos.

Esta figura está formada por dos figuras marcadas como a y b. En la figura a, se da la función f(x, y) = x2 sen y; tiene algunas propiedades sinusoidales al aumentar como el cuadrado a lo largo de los máximos de la función de seno. En la figura b, la función f(x, y) = sen(ex) cos(ln y) está dada en tres dimensiones; disminuye suavemente desde la esquina más cercana a (–2, 20), pero luego parece agruparse en una serie de pliegues paralelos a los ejes x y y.
Figura 4.12 Ejemplos de superficies que representan funciones de dos variables: (a) una combinación de una función potencia y una función de seno y (b) una combinación de funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas.

Funciones de más de dos variables

Hasta ahora, solo hemos examinado funciones de dos variables. Sin embargo, es útil echar un breve vistazo a las funciones de más de dos variables. Dos de estos ejemplos son

f(x,y,z)=x2 2 xy+y2 +3yzz2 +4x2 y+3x6(un polinomio en tres variables)f(x,y,z)=x2 2 xy+y2 +3yzz2 +4x2 y+3x6(un polinomio en tres variables)

y

g(x,y,t)=(x2 4xy+y2 )sent(3x+5y)cost.g(x,y,t)=(x2 4xy+y2 )sent(3x+5y)cost.

En la primera función, (x,y,z)(x,y,z) representa un punto en el espacio, y la función ff aplica a cada punto del espacio a una cuarta cantidad, como la temperatura o la velocidad del viento. En la segunda función, (x,y)(x,y) puede representar un punto en el plano, y tt puede representar el tiempo. La función podría asignar un punto del plano a una tercera cantidad (por ejemplo, la presión) en un tiempo determinado t.t. El método para hallar el dominio de una función de más de dos variables es análogo al método para funciones de una o dos variables.

Ejemplo 4.6

Dominios de funciones de tres variables

Halle el dominio de cada una de las siguientes funciones:

  1. f(x,y,z)=3x4y+2 z9x2 y2 z2 f(x,y,z)=3x4y+2 z9x2 y2 z2
  2. g(x,y,t)=2 t4x2 y2 g(x,y,t)=2 t4x2 y2

Punto de control 4.4

Calcule el dominio de la función h(x,y,t)=(3t6)y4x2 +4.h(x,y,t)=(3t6)y4x2 +4.

Las funciones de dos variables tienen curvas de nivel, que se muestran como curvas en el plano xy.xy. Sin embargo, cuando la función tiene tres variables, las curvas se convierten en superficies, por lo que podemos definir superficies de nivel para funciones de tres variables.

Definición

Dada una función f(x,y,z)f(x,y,z) y un número cc en el rango de f,f, una superficie de nivel de una función de tres variables se define como el conjunto de puntos que satisfacen la ecuación f(x,y,z)=c.f(x,y,z)=c.

Ejemplo 4.7

Hallar una superficie de nivel

Halle la superficie de nivel para la función f(x,y,z)=4x2 +9y2 z2 f(x,y,z)=4x2 +9y2 z2 correspondiente a c=1.c=1.

Punto de control 4.5

Halle la ecuación de la superficie de nivel de la función

g(x,y,z)=x2 +y2 +z2 2 x+4y6zg(x,y,z)=x2 +y2 +z2 2 x+4y6z

correspondiente a c=2 ,c=2 , y describa la superficie, si es posible.

Sección 4.1 ejercicios

En los siguientes ejercicios, evalúe cada función en los valores indicados.

1.

W(x,y)=4x2 +y2 .W(x,y)=4x2 +y2 . Calcule W(2 ,–1),W(2 ,–1), W(−3,6).W(−3,6).

2.

W(x,y)=4x2 +y2 .W(x,y)=4x2 +y2 . Calcule W(2 +h,3+h).W(2 +h,3+h).

3.

El volumen de un cilindro circular recto se calcula mediante una función de dos variables, V(x,y)=πx2 y,V(x,y)=πx2 y, donde xx es el radio del cilindro circular recto e yy representa la altura del cilindro. Evalúe V(2 ,5)V(2 ,5) y explique lo que significa.

4.

Un tanque de oxígeno está construido con un cilindro recto de altura yy, y el radio xx con dos hemisferios de radio xx montado en la parte superior e inferior del cilindro. Exprese el volumen del tanque como una función de dos variables, xyy,xyy, halle V(10,2 ),V(10,2 ), y explique lo que significa.

En los siguientes ejercicios, halle el dominio de la función.

5.

V ( x , y ) = 4 x 2 + y 2 V ( x , y ) = 4 x 2 + y 2

6.

f ( x , y ) = x 2 + y 2 4 f ( x , y ) = x 2 + y 2 4

7.

f(x,y)=4ln(y2 x)f(x,y)=4ln(y2 x) grandes.

8.

g ( x , y ) = 16 4 x 2 y 2 g ( x , y ) = 16 4 x 2 y 2

9.

z ( x , y ) = y 2 x 2 z ( x , y ) = y 2 x 2

10.

f ( x , y ) = y + 2 x 2 f ( x , y ) = y + 2 x 2

Halle el rango de las funciones.

11.

g ( x , y ) = 16 4 x 2 y 2 g ( x , y ) = 16 4 x 2 y 2

12.

V ( x , y ) = 4 x 2 + y 2 V ( x , y ) = 4 x 2 + y 2

13.

z = y 2 x 2 z = y 2 x 2

En los siguientes ejercicios, halle las curvas de nivel de cada función en el valor indicado de cc para visualizar la función dada.

14.

z(x,y)=y2 x2 ,z(x,y)=y2 x2 , c=1c=1

15.

z(x,y)=y2 x2 ,z(x,y)=y2 x2 , c=4c=4

16.

g ( x , y ) = x 2 + y 2 ; c = 4 , c = 9 g ( x , y ) = x 2 + y 2 ; c = 4 , c = 9

17.

g ( x , y ) = 4 x y ; c = 0 , 4 g ( x , y ) = 4 x y ; c = 0 , 4

18.

f ( x , y ) = x y ; c = 1 ; c = –1 f ( x , y ) = x y ; c = 1 ; c = –1

19.

h ( x , y ) = 2 x y ; c = 0 , –2 , 2 h ( x , y ) = 2 x y ; c = 0 , –2 , 2

20.

f ( x , y ) = x 2 y ; c = 1 , 2 f ( x , y ) = x 2 y ; c = 1 , 2

21.

g ( x , y ) = x x + y ; c = −1 , 0 , 2 g ( x , y ) = x x + y ; c = −1 , 0 , 2

22.

g ( x , y ) = x 3 y ; c = −1 , 0 , 2 g ( x , y ) = x 3 y ; c = −1 , 0 , 2

23.

g ( x , y ) = e x y ; c = 1 2 , 3 g ( x , y ) = e x y ; c = 1 2 , 3

24.

f ( x , y ) = x 2 ; c = 4 , 9 f ( x , y ) = x 2 ; c = 4 , 9

25.

f ( x , y ) = x y x ; c = –2 , 0 , 2 f ( x , y ) = x y x ; c = –2 , 0 , 2

26.

h ( x , y ) = ln ( x 2 + y 2 ) ; c = −1 , 0 , 1 h ( x , y ) = ln ( x 2 + y 2 ) ; c = −1 , 0 , 1

27.

g ( x , y ) = ln ( y x 2 ) ; c = –2 , 0 , 2 g ( x , y ) = ln ( y x 2 ) ; c = –2 , 0 , 2

28.

z=f(x,y)=x2 +y2 ,z=f(x,y)=x2 +y2 , c=3c=3

29.

f(x,y)=y+2 x2 ,f(x,y)=y+2 x2 , c=c= cualquier constante

En los siguientes ejercicios, halle las trazas verticales de las funciones en los valores indicados de xx y y, y trace las trazas.

30.

z = 4 x y ; x = 2 z = 4 x y ; x = 2

31.

f ( x , y ) = 3 x + y 3 , x = 1 f ( x , y ) = 3 x + y 3 , x = 1

32.

z=cosx2 +y2 z=cosx2 +y2 x=1x=1

Halle el dominio de las siguientes funciones.

33.

z = 100 4 x 2 25 y 2 z = 100 4 x 2 25 y 2

34.

z=ln(xy2 )z=ln(xy2 ) grandes.

35.

f ( x , y , z ) = 1 36 4 x 2 9 y 2 z 2 f ( x , y , z ) = 1 36 4 x 2 9 y 2 z 2

36.

f ( x , y , z ) = 49 x 2 y 2 z 2 f ( x , y , z ) = 49 x 2 y 2 z 2

37.

f ( x , y , z ) = 16 x 2 y 2 z 2 3 f ( x , y , z ) = 16 x 2 y 2 z 2 3

38.

f ( x , y ) = cos x 2 + y 2 f ( x , y ) = cos x 2 + y 2

En los siguientes ejercicios, trace un gráfico de la función.

39.

z = f ( x , y ) = x 2 + y 2 z = f ( x , y ) = x 2 + y 2

40.

z = x 2 + y 2 z = x 2 + y 2

41.

Utilice la tecnología para graficar z=x2 y.z=x2 y.

Dibuje lo siguiente encontrando las curvas de nivel. Verifique el gráfico mediante tecnología.

42.

f ( x , y ) = 4 x 2 y 2 f ( x , y ) = 4 x 2 y 2

43.

f ( x , y ) = 2 x 2 + y 2 f ( x , y ) = 2 x 2 + y 2

44.

z = 1 + e x 2 y 2 z = 1 + e x 2 y 2

45.

z = cos x 2 + y 2 z = cos x 2 + y 2

46.

z = y 2 x 2 z = y 2 x 2

47.

Describa las curvas de nivel para varios valores de cc por z=x2 +y2 2 x2 y.z=x2 +y2 2 x2 y.

Halle la superficie de nivel de las funciones de tres variables y descríbala.

48.

w ( x , y , z ) = x 2 y + z , c = 4 w ( x , y , z ) = x 2 y + z , c = 4

49.

w ( x , y , z ) = x 2 + y 2 + z 2 , c = 9 w ( x , y , z ) = x 2 + y 2 + z 2 , c = 9

50.

w ( x , y , z ) = x 2 + y 2 z 2 , c = –4 w ( x , y , z ) = x 2 + y 2 z 2 , c = –4

51.

w ( x , y , z ) = x 2 + y 2 z 2 , c = 4 w ( x , y , z ) = x 2 + y 2 z 2 , c = 4

52.

w ( x , y , z ) = 9 x 2 4 y 2 + 36 z 2 , c = 0 w ( x , y , z ) = 9 x 2 4 y 2 + 36 z 2 , c = 0

En los siguientes ejercicios, halle una ecuación de la curva de nivel de ff que contiene el punto P.P.

53.

f(x,y)=14x2 y2 ,P(0,1)f(x,y)=14x2 y2 ,P(0,1) grandes.

54.

g(x,y)=y2 arctanx,P(1,2 )g(x,y)=y2 arctanx,P(1,2 ) grandes.

55.

g(x,y)=exy(x2 +y2 ),P(1,0)g(x,y)=exy(x2 +y2 ),P(1,0) grandes.

56.

La fuerza EE de un campo eléctrico en un punto (x,y,z)(x,y,z) resultante de un cable cargado de longitud infinita tendido a lo largo del eje y y viene dada por E(x,y,z)=k/x2 +y2 ,E(x,y,z)=k/x2 +y2 , donde kk es una constante positiva. Para simplificar, supongamos que k=1k=1 y hallemos las ecuaciones de las superficies de nivel para E=10yE=100.E=10yE=100.

57.

Una fina placa de hierro se encuentra en el plano xy.xy. La temperatura TT en grados Celsius en un punto P(x,y)P(x,y) es inversamente proporcional al cuadrado de su distancia al origen. Exprese TT en función de xyy.xyy.

58.

Consulte el problema anterior. Utilizando la función de temperatura encontrada, determine la constante de proporcionalidad si la temperatura en el punto P(1,2 )es50 °C.P(1,2 )es50 °C. Utilice esta constante para determinar la temperatura en el punto Q(3,4).Q(3,4).

59.

Consulte el problema anterior. Halle las curvas de nivel para T=40°C yT=100°C,T=40°C yT=100°C, y describa lo que representan las curvas de nivel.

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