Gilbert Strang; Edwin “Jed” Herman

Objetivos de aprendizaje

4.1.1 Reconocer una función de dos variables e identificar su dominio y rango.
4.1.2 Dibujar el gráfico de una función de dos variables.
4.1.3 Trazar varias trazas o curvas de nivel de una función de dos variables.
4.1.4 Reconocer una función de tres o más variables e identificar sus superficies de nivel.

Nuestro primer paso es explicar qué es una función de más de una variable, empezando por las funciones de dos variables independientes. Este paso incluye identificar el dominio y el rango de dichas funciones y aprender a graficarlas. También examinamos las formas de relacionar los gráficos de las funciones en tres dimensiones con los gráficos de las funciones planas más conocidas.

Funciones de dos variables

La definición de una función de dos variables es muy similar a la de una función de una variable. La principal diferencia es que, en vez de aplicar valores de una variable a valores de otra variable, asignamos pares ordenados de variables a otra variable.

Definición

Una función de dos variables $z = f (x, y)$ aplica cada par ordenado $(x, y)$ en un subconjunto $D$ del plano real $ℝ^{2}$ a un único número real $z .$ El conjunto $D$ se llama el dominio de la función. El rango de $f$ es el conjunto de todos los números reales $z$ que tiene al menos un par ordenado $(x, y) \in D$ de manera que $f (x, y) = z$ como se muestra en la siguiente figura.

Se marca como dominio una forma bulbosa que contiene el punto (x, y). Desde este punto, hay una flecha marcada como f que apunta a un punto z en una línea recta marcada como rango.

Figura 4.2 El dominio de una función de dos variables está formado por pares ordenados

(x, y) .

La determinación del dominio de una función de dos variables implica tener en cuenta las restricciones de dominio que puedan existir. Echemos un vistazo.

Ejemplo 4.1

Dominios y rangos para funciones de dos variables

Halle el dominio y el rango de cada una de las siguientes funciones:

$f (x, y) = 3 x + 5 y + 2$
$g (x, y) = \sqrt{9 - x^{2} - y^{2}}$

Solución

Este es un ejemplo de función lineal en dos variables. No hay valores ni combinaciones de $x$ como $y$ que causan que $f (x, y)$ sea indefinido, por lo que el dominio de $f$ ¿es $ℝ^{2} .$ Para determinar el rango, primero hay que elegir un valor para $z .$ Necesitamos hallar una solución a la ecuación $f (x, y) = z,$ o $3 x + 5 y + 2 = z .$ Una de estas soluciones puede obtenerse estableciendo primero $y = 0,$ que da lugar a la ecuación $3 x + 2 = z .$ La solución de esta ecuación es $x = \frac{z - 2}{3},$ que da el par ordenado $(\frac{z - 2}{3}, 0)$ como solución a la ecuación $f (x, y) = z$ para cualquier valor de $z .$ Por lo tanto, el rango de la función son todos los números reales, o $ℝ .$
Para que la función $g (x, y)$ tenga un valor real, la cantidad bajo la raíz cuadrada no debe ser negativa

$9 - x^{2} - y^{2} \geq 0 .$

Esta desigualdad se puede escribir de la forma

$x^{2} + y^{2} \leq 9 .$

Por lo tanto, el dominio de $g (x, y)$ ¿es ${(x, y) \in ℝ^{2} | x^{2} + y^{2} \leq 9} .$ El gráfico de este conjunto de puntos puede describirse como un disco de radio $3$ centrado en el origen. El dominio incluye el círculo límite como se muestra en el siguiente gráfico.

Figura 4.3 El dominio de la función $g (x, y) = \sqrt{9 - x^{2} - y^{2}}$ es un disco cerrado de radio 3.

Para determinar el rango de $g (x, y) = \sqrt{9 - x^{2} - y^{2}}$ comenzamos con un punto $(x_{0}, y_{0})$ en el borde del dominio, que se define por la relación $x^{2} + y^{2} = 9 .$ Se deduce que $x_{0}^{2} + y_{0}^{2} = 9$ y

$g (x_{0}, y_{0}) = \sqrt{9 - x_{0}^{2} - y_{0}^{2}} = \sqrt{9 - (x_{0}^{2} + y_{0}^{2})} = \sqrt{9 - 9} = 0 .$

Si $x_{0}^{2} + y_{0}^{2} = 0$ (en otras palabras, $x_{0} = y_{0} = 0),$ entonces

$g (x_{0}, y_{0}) = \sqrt{9 - x_{0}^{2} - y_{0}^{2}} = \sqrt{9 - (x_{0}^{2} + y_{0}^{2})} = \sqrt{9 - 0} = 3 .$

Este es el valor máximo de la función. Dado cualquier valor c entre $0 y 3,$ podemos hallar un conjunto completo de puntos dentro del dominio de $g$ de manera que $g (x, y) = c :$

$\begin{matrix} \sqrt{9 - x^{2} - y^{2}} & = & c \\ 9 - x^{2} - y^{2} & = & c^{2} \\ x^{2} + y^{2} & = & 9 - c^{2} . \end{matrix}$

Dado que $9 - c^{2} > 0,$ esto describe un círculo de radio $\sqrt{9 - c^{2}}$ centrado en el origen. Cualquier punto de este círculo satisface la ecuación $g (x, y) = c .$ Por lo tanto, el rango de esta función se puede escribir en notación de intervalo como $[0, 3] .$

Punto de control 4.1

Calcule el dominio y el rango de la función $f (x, y) = \sqrt{36 - 9 x^{2} - 9 y^{2}} .$

Graficar funciones de dos variables

Supongamos que deseamos graficar la función $z = (x, y) .$ Esta función tiene dos variables independientes $(x y y)$ y una variable dependiente $(z) .$ Al graficar una función $y = f (x)$ de una variable, utilizamos el plano cartesiano. Podemos graficar cualquier par ordenado $(x, y)$ en el plano, y cada punto del plano tiene un par ordenado $(x, y)$ asociado a él. Con una función de dos variables, cada par ordenado $(x, y)$ en el dominio de la función se asigna a un número real $z .$ Por lo tanto, el gráfico de la función $f$ se compone de triples ordenados $(x, y, z) .$ El gráfico de una función $z = (x, y)$ de dos variables se llama superficie.

Para entender mejor el concepto de trazar un conjunto de triples ordenadas para obtener una superficie en el espacio tridimensional, imagine el sistema de coordenadas $(x, y)$ en plano. Entonces, cada punto del dominio de la función $f$ tiene un único valor $z$ asociado a él. Si los valores de $z$ es positivo, entonces el punto graficado se encuentra por encima del plano $xy,$ si $z$ es negativo, entonces el punto graficado se encuentra por debajo del plano $xy .$ El conjunto de todos los puntos graficados se convierte en la superficie bidimensional que es el gráfico de la función $f .$

Ejemplo 4.2

Graficar funciones de dos variables

Cree un gráfico de cada una de las siguientes funciones:

$g (x, y) = \sqrt{9 - x^{2} - y^{2}}$
$f (x, y) = x^{2} + y^{2}$

Solución

En el Ejemplo 4.1, determinamos que el dominio de $g (x, y) = \sqrt{9 - x^{2} - y^{2}}$ ¿es ${(x, y) \in ℝ^{2} | x^{2} + y^{2} \leq 9}$ y el rango es ${z \in ℝ^{2} | 0 \leq z \leq 3} .$ Cuando $x^{2} + y^{2} = 9$ tenemos $g (x, y) = 0 .$ Por lo tanto, cualquier punto del círculo de radio $3$ centrado en el origen en el plano $x, y$ se aplica a $z = 0$ en $ℝ^{3} .$ Si $x^{2} + y^{2} = 8,$ entonces $g (x, y) = 1,$ por lo que cualquier punto del círculo de radio $2 \sqrt{2}$ centrado en el origen en el plano $x, y$ se aplica a $z = 1$ en $ℝ^{3} .$ Dado que $x^{2} + y^{2}$ se acerca a cero, el valor de z se aproxima a 3. Cuando $x^{2} + y^{2} = 0,$ entonces $g (x, y) = 3 .$ Este es el origen en el plano $x, y .$ Si $x^{2} + y^{2}$ es igual a cualquier otro valor entre $0 y 9,$ entonces $g (x, y)$ es igual a alguna otra constante entre $0 y 3 .$ La superficie descrita por esta función es una semiesfera centrada en el origen con radio $3$ como se muestra en el siguiente gráfico.

Figura 4.4 Gráfico de la semiesfera representada por la función dada de dos variables.
Esta función también contiene la expresión $x^{2} + y^{2} .$ Al igualar esta expresión a varios valores que empiezan en cero obtenemos círculos de radio creciente. El valor mínimo de $f (x, y) = x^{2} + y^{2}$ es cero (se alcanza cuando $x = y = 0 .) .$ Cuando $x = 0,$ la función se convierte en $z = y^{2},$ y cuando $y = 0,$ entonces la función se convierte en $z = x^{2} .$ Son secciones transversales del gráfico, y son parábolas. Recordemos de Introducción a vectores en el espacio que el nombre del gráfico de $f (x, y) = x^{2} + y^{2}$ es un paraboloide. El gráfico de $f$ aparece en el siguiente gráfico.

Figura 4.5 Un paraboloide es el gráfico de la función dada de dos variables.

Ejemplo 4.3

Tuercas y tornillos

Una función de ganancias para un fabricante de herramientas viene dada por

f (x, y) = 16 - {(x - 3)}^{2} - {(y - 2)}^{2},

donde $x$ es el número de tuercas vendidas al mes (medido en miles) y $y$ representa el número de tornillos vendidos por mes (medido en miles). La ganancia se mide en miles de dólares. Dibuje un gráfico de esta función.

Solución

Esta es una función polinómica en dos variables. El dominio de $f$ se compone de pares de coordenadas $(x, y)$ que producen una ganancia no negativa:

\begin{matrix} 16 - {(x - 3)}^{2} - {(y - 2)}^{2} \geq 0 \\ {(x - 3)}^{2} + {(y - 2)}^{2} \leq 16. \end{matrix}

Se trata de un disco de radio $4$ centrado en $(3, 2) .$ Otra restricción es que ambos, $x y y$ deben ser no negativos. Cuando $x = 3$ y $y = 2,$ $f (x, y) = 16 .$ Observe que es posible que alguno de los dos valores no sea un número entero; por ejemplo, es posible vender $2,5$ mil tuercas en un mes. El dominio, por tanto, contiene miles de puntos, por lo que podemos considerar todos los puntos dentro del disco. para cualquier $z < 16,$ podemos resolver la ecuación $f (x, y) = z :$

\begin{matrix} 16 - {(x - 3)}^{2} - {(y - 2)}^{2} & = & z \\ {(x - 3)}^{2} + {(y - 2)}^{2} & = & 16 - z . \end{matrix}

Dado que $z < 16,$ sabemos que $16 - z > 0,$ por lo que la ecuación anterior describe un círculo de radio $\sqrt{16 - z}$ centrado en el punto $(3, 2) .$ Por lo tanto, el rango de $f (x, y)$ ¿es ${z \in ℝ | z \leq 16} .$ El gráfico de $f (x, y)$ es también un paraboloide, y este paraboloide apunta hacia abajo como se muestra.

Un centro de paraboloide que parece estar en el eje z positivo. Se da la ecuación z = f(x, y) = 16 - (x - 3)2 - (y - 2)2.

Figura 4.6 El gráfico de la función dada de dos variables es también un paraboloide.

Curvas de nivel

Si los excursionistas caminan por senderos escarpados, pueden utilizar un mapa topográfico que muestre la inclinación de los senderos. Un mapa topográfico contiene líneas curvas llamadas curvas de nivel. Cada línea de contorno corresponde a los puntos del mapa que tienen igual elevación (Figura 4.7). La curva de nivel de una función de dos variables $f (x, y)$ es completamente análoga a una línea de contorno en un mapa topográfico.

Esta figura está formada por dos figuras marcadas como a y b. La figura a muestra un mapa topográfico de la Torre del Diablo, que tiene sus líneas muy juntas para indicar lo escarpado del terreno. La figura b muestra una imagen de la Torre del Diablo, que tiene lados muy escarpados.

Figura 4.7 (a) Un mapa topográfico de la Torre del Diablo, Wyoming. Las líneas que están muy juntas indican un terreno muy escarpado. (b) Una foto en perspectiva de la Torre del Diablo muestra lo escarpados que son sus lados. Observe que la parte superior de la torre tiene la misma forma que el centro del mapa topográfico.

Definición

Dada una función $f (x, y)$ y un número $c$ en el rango de $f, a$ curva de nivel de una función de dos variables para el valor $c$ se define como el conjunto de puntos que satisfacen la ecuación $f (x, y) = c .$

Volviendo a la función $g (x, y) = \sqrt{9 - x^{2} - y^{2}},$ podemos determinar las curvas de nivel de esta función. El rango de $g$ es el intervalo cerrado $[0, 3] .$ En primer lugar, elegimos un número cualquiera en este intervalo cerrado, por ejemplo, $c = 2 .$ La curva de nivel correspondiente a $c = 2$ se describe mediante la ecuación

\sqrt{9 - x^{2} - y^{2}} = 2 .

Para simplificar, eleve al cuadrado ambos lados de esta ecuación:

9 - x^{2} - y^{2} = 4 .

Ahora, multiplique ambos lados de la ecuación por $–1$ y añada $9$ a cada lado:

x^{2} + y^{2} = 5 .

Esta ecuación describe un círculo centrado en el origen con radio $\sqrt{5} .$ Utilizando los valores de $c$ entre $0 y 3$ da lugar a otros círculos también centrados en el origen. Si los valores de $c = 3,$ entonces el círculo tiene radio $0,$ por lo que consiste únicamente en el origen. La Figura 4.8 es un gráfico de las curvas de nivel de esta función correspondiente a $c = 0, 1, 2, y 3 .$ Observe que en la derivación anterior es posible que hayamos introducido soluciones adicionales al elevar al cuadrado ambos lados. Este no es el caso porque el rango de la función de raíz cuadrada es no negativo.

Tres círculos concéntricos con centro en el origen. El círculo más grande, marcado con c = 0, tiene un radio de 3. El círculo mediano, marcado con c = 1, tiene un radio ligeramente inferior a 3. El círculo más pequeño, marcado con c = 2, tiene un radio ligeramente superior a 2.

Figura 4.8 Curvas de nivel de la función

g (x, y) = \sqrt{9 - x^{2} - y^{2}},

utilizando

c = 0, 1, 2,

y

3

(c = 3

corresponde al origen).

El gráfico de las distintas curvas de nivel de una función se denomina líneas de contorno.

Ejemplo 4.4

Hacer un mapa de líneas de contorno

Dada la función $f (x, y) = \sqrt{8 + 8 x - 4 y - 4 x^{2} - y^{2}},$ halle la curva de nivel correspondiente a $c = 0 .$ A continuación, cree un mapa de líneas de contorno para esta función. ¿Cuáles son el dominio y el rango de $f ?$

Solución

Para hallar la curva de nivel para $c = 0,$ establecemos $f (x, y) = 0$ y resolvemos. Esto da

0 = \sqrt{8 + 8 x - 4 y - 4 x^{2} - y^{2}} .

A continuación, elevamos al cuadrado ambos lados y multiplicamos ambos lados de la ecuación por $−1 :$

4 x^{2} + y^{2} - 8 x + 4 y - 8 = 0 .

Ahora, reordenamos los términos, poniendo los términos $x$ juntos y los términos $y$ juntos, y añadimos $8$ a cada lado:

4 x^{2} - 8 x + y^{2} + 4 y = 8 .

A continuación, agrupamos los pares de términos que contienen la misma variable entre paréntesis, y factorizamos $4$ del primer par:

4 (x^{2} - 2 x) + (y^{2} + 4 y) = 8 .

A continuación, completamos el cuadrado en cada par de paréntesis y añadimos el valor correcto al lado derecho:

4 (x^{2} - 2 x + 1) + (y^{2} + 4 y + 4) = 8 + 4 (1) + 4 .

A continuación, factorizamos el lado izquierdo y simplificamos el lado derecho:

4 {(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 16 .

Por último, dividimos ambos lados entre $16 :$

\frac{{(x - 1)}^{2}}{4} + \frac{{(y + 2)}^{2}}{16} = 1 .

(4.1)

Esta ecuación describe una elipse centrada en $(1, –2) .$ El gráfico de esta elipse aparece en el siguiente gráfico.

Una elipse con centro (1, -2), eje mayor vertical y de longitud 8, y eje menor horizontal de longitud 4.

Figura 4.9 Curva de nivel de la función

f (x, y) = \sqrt{8 + 8 x - 4 y - 4 x^{2} - y^{2}}

correspondiente a

c = 0 .

Podemos repetir la misma derivación para valores de $c$ menos de $4 .$ Entonces, la Ecuación 4.1 se convierte en

\frac{4 {(x - 1)}^{2}}{16 - c^{2}} + \frac{{(y + 2)}^{2}}{16 - c^{2}} = 1

para un valor arbitrario de $c .$ La Figura 4.10 muestra un mapa de línea de contorno para $f (x, y)$ utilizando los valores $c = 0, 1, 2, y 3 .$ Cuando $c = 4,$ la curva de nivel es el punto $(–1, 2) .$

Una serie de cuatro elipses concéntricas con centro (1, -2). La más grande está marcada como c = 0 y tiene el eje mayor vertical y de longitud 8 y el eje menor horizontal de longitud 4. El siguiente más pequeño está marcado con c = 1 y es solo ligeramente más pequeño. Los dos siguientes están marcados como c = 2 y c = 3 y son cada vez más pequeños. Finalmente, hay un punto marcado con c = 4 en el centro (1, -2).

Figura 4.10 Mapa de línea de contorno de la función

f (x, y) = \sqrt{8 + 8 x - 4 y - 4 x^{2} - y^{2}}

utilizando los valores

c = 0, 1, 2, 3, y 4 .

Punto de control 4.2

Halle y grafique la curva de nivel de la función $g (x, y) = x^{2} + y^{2} - 6 x + 2 y$ correspondiente a $c = 15 .$

Otra herramienta útil para entender el gráfico de una función de dos variables se llama traza vertical. Las curvas de nivel siempre se grafican en el plano $x y,$ pero como su nombre indica, las trazas verticales se grafican en los planos $x z$ o $y z .$

Definición

Considere una función $z = f (x, y)$ con dominio $D \subseteq ℝ^{2} .$ Una traza vertical de la función puede ser el conjunto de puntos que resuelve la ecuación $f (a, y) = z$ para una constante dada $x = a$ o $f (x, b) = z$ para una constante dada $y = b .$

Ejemplo 4.5

Hallar trazas verticales

Halle las trazas verticales de la función $f (x, y) = sen x cos y$ correspondiente a $x = - \frac{π}{4}, 0, y \frac{π}{4},$ y $y = - \frac{π}{4}, 0, y \frac{π}{4} .$

Solución

Primero establezca $x = - \frac{π}{4}$ en la ecuación $z = sen x cos y :$

z = sen (- \frac{π}{4}) cos y = - \frac{\sqrt{2} cos y}{2} \approx –0,7071 cos y .

Esto describe un gráfico del coseno en el plano $x = - \frac{π}{4} .$ Los demás valores de $z$ aparecen en la siguiente tabla.

$c$	Traza vertical para $x = c$
$- \frac{π}{4}$	$z = - \frac{\sqrt{2} cos y}{2}$
$0$	$z = 0$
$\frac{π}{4}$	$z = \frac{\sqrt{2} cos y}{2}$

Tabla 4.1 Trazas verticales paralelas al plano

x z,

para la función

f (x, y) = sen x cos y

De forma similar, podemos sustituir los valores de $y$ en la ecuación $f (x, y)$ para obtener las trazas en el plano $y z,$ como se indica en la siguiente tabla.

$d$	Traza vertical para $y = d$
$- \frac{π}{4}$	$z = \frac{\sqrt{2} sen x}{2}$
$0$	$z = sen x$
$\frac{π}{4}$	$z = \frac{\sqrt{2} sen x}{2}$

Tabla 4.2 Trazas verticales paralelas al plano

y z,

para la función

f (x, y) = sen x cos y

Las tres trazas en el plano $x z$ son funciones de coseno; las tres trazas en el plano $y z$ son funciones de seno. Estas curvas aparecen en las intersecciones de la superficie con los planos $x = - \frac{π}{4}, x = 0, x = \frac{π}{4}$ en tanto que $y = - \frac{π}{4}, y = 0, y = \frac{π}{4}$ como se muestra en la siguiente figura.

Esta figura está formada por dos figuras marcadas como a y b. En la figura a, se da una función en tres dimensiones y es intersecada por tres planos paralelos x-z en y = ±π/4 y 0. En la figura b, se da una función en tres dimensiones y es intersecada por tres planos paralelos y-z en x = ±π/4 y 0.

Figura 4.11 Trazas verticales de la función

f (x, y)

son curvas de coseno en el plano

x z

(a) y las curvas de seno en el plano

y z

(b).

Punto de control 4.3

Determine la ecuación de la traza vertical de la función $g (x, y) = − x^{2} - y^{2} + 2 x + 4 y - 1$ correspondiente a $y = 3,$ y describa su gráfico.

Las funciones de dos variables pueden producir algunas superficies de aspecto llamativo. La siguiente figura muestra dos ejemplos.

Esta figura está formada por dos figuras marcadas como a y b. En la figura a, se da la función f(x, y) = x2 sen y; tiene algunas propiedades sinusoidales al aumentar como el cuadrado a lo largo de los máximos de la función de seno. En la figura b, la función f(x, y) = sen(ex) cos(ln y) está dada en tres dimensiones; disminuye suavemente desde la esquina más cercana a (–2, 20), pero luego parece agruparse en una serie de pliegues paralelos a los ejes x y y.

Figura 4.12 Ejemplos de superficies que representan funciones de dos variables: (a) una combinación de una función potencia y una función de seno y (b) una combinación de funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas.

Funciones de más de dos variables

Hasta ahora, solo hemos examinado funciones de dos variables. Sin embargo, es útil echar un breve vistazo a las funciones de más de dos variables. Dos de estos ejemplos son

f (x, y, z) = x^{2} - 2 x y + y^{2} + 3 y z - z^{2} + 4 x - 2 y + 3 x - 6 (un polinomio en tres variables)

y

g (x, y, t) = (x^{2} - 4 x y + y^{2}) sen t - (3 x + 5 y) cos t .

En la primera función, $(x, y, z)$ representa un punto en el espacio, y la función $f$ aplica a cada punto del espacio a una cuarta cantidad, como la temperatura o la velocidad del viento. En la segunda función, $(x, y)$ puede representar un punto en el plano, y $t$ puede representar el tiempo. La función podría asignar un punto del plano a una tercera cantidad (por ejemplo, la presión) en un tiempo determinado $t .$ El método para hallar el dominio de una función de más de dos variables es análogo al método para funciones de una o dos variables.

Ejemplo 4.6

Dominios de funciones de tres variables

Halle el dominio de cada una de las siguientes funciones:

$f (x, y, z) = \frac{3 x - 4 y + 2 z}{\sqrt{9 - x^{2} - y^{2} - z^{2}}}$
$g (x, y, t) = \frac{\sqrt{2 t - 4}}{x^{2} - y^{2}}$

Solución

Para que la función f(x,y,z)=3x−4y+2 z9−x2 −y2 −z2 f(x,y,z)=3x−4y+2 z9−x2 −y2 −z2 ser defina (y tenga un valor real), deben cumplirse dos condiciones:
1. El denominador no puede ser cero.
2. El radicando no puede ser negativo.
La combinación de estas condiciones conduce a la inecuación

$9 - x^{2} - y^{2} - z^{2} > 0 .$

Moviendo las variables al otro lado e invirtiendo la inecuación se obtiene el dominio como

$dominio (f) = {(x, y, z) \in ℝ^{3} | x^{2} + y^{2} + z^{2} < 9},$

que describe una bola de radio 33 centrado en el origen. (Nota: La superficie de la bola no está incluida en este dominio).
Para que la función g(x,y,t)=2 t−4x2 −y2 g(x,y,t)=2 t−4x2 −y2 ser defina (y tenga un valor real), deben cumplirse dos condiciones:
1. El radicando no puede ser negativo.
2. El denominador no puede ser cero.
Como el radicando no puede ser negativo, esto implica 2 t−4≥0,2 t−4≥0, y por lo tanto que t≥2 .t≥2 . Ya que el denominador no puede ser cero, x2 −y2 ≠0,x2 −y2 ≠0, o x2 ≠y2 ,x2 ≠y2 , Que se puede reescribir como y≠±xy≠±x, que son las ecuaciones de dos rectas que pasan por el origen. Por lo tanto, el dominio de gg es

$dominio (g) = {(x, y, t) | y \neq ± x, t \geq 2} .$

Punto de control 4.4

Calcule el dominio de la función $h (x, y, t) = (3 t - 6) \sqrt{y - 4 x^{2} + 4} .$

Las funciones de dos variables tienen curvas de nivel, que se muestran como curvas en el plano $x y .$ Sin embargo, cuando la función tiene tres variables, las curvas se convierten en superficies, por lo que podemos definir superficies de nivel para funciones de tres variables.

Definición

Dada una función $f (x, y, z)$ y un número $c$ en el rango de $f,$ una superficie de nivel de una función de tres variables se define como el conjunto de puntos que satisfacen la ecuación $f (x, y, z) = c .$

Ejemplo 4.7

Hallar una superficie de nivel

Halle la superficie de nivel para la función $f (x, y, z) = 4 x^{2} + 9 y^{2} - z^{2}$ correspondiente a $c = 1 .$

Solución

La superficie de nivel se define por la ecuación $4 x^{2} + 9 y^{2} - z^{2} = 1 .$ Esta ecuación describe un hiperboloide de una hoja como se muestra en la siguiente figura.

Esta imagen está formada por cuatro figuras. La primera está marcada como c = 0 y consiste en un doble cono (es decir, dos nappes [hojas]) con su vértice en el origen. La segunda está marcada como c = 1 y se parece mucho a la primera, salvo que no hay un vértice en el que se junten los conos: en su lugar, las dos nappes están conectadas. Del mismo modo, en la siguiente figura, marcada con c = 2, las dos nappes se conectan, pero esta vez su conexión es mayor (es decir, el radio de su conexión es mayor). La figura final, marcada con c = 3, también tiene las dos nappes conectadas de forma aún más grande.

Figura 4.13 Un hiperboloide de una hoja con algunas de sus superficies de nivel.

Punto de control 4.5

Halle la ecuación de la superficie de nivel de la función

g (x, y, z) = x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x + 4 y - 6 z

correspondiente a $c = 2,$ y describa la superficie, si es posible.

Sección 4.1 ejercicios

En los siguientes ejercicios, evalúe cada función en los valores indicados.

1.

$W (x, y) = 4 x^{2} + y^{2} .$ Calcule $W (2, –1),$ $W (−3, 6) .$

2.

$W (x, y) = 4 x^{2} + y^{2} .$ Calcule $W (2 + h, 3 + h) .$

3.

El volumen de un cilindro circular recto se calcula mediante una función de dos variables, $V (x, y) = π x^{2} y,$ donde $x$ es el radio del cilindro circular recto e $y$ representa la altura del cilindro. Evalúe $V (2, 5)$ y explique lo que significa.

4.

Un tanque de oxígeno está construido con un cilindro recto de altura $y$ , y el radio $x$ con dos hemisferios de radio $x$ montado en la parte superior e inferior del cilindro. Exprese el volumen del tanque como una función de dos variables, $x y y,$ halle $V (10, 2),$ y explique lo que significa.

En los siguientes ejercicios, halle el dominio de la función.

5.

$V (x, y) = 4 x^{2} + y^{2}$

6.

$f (x, y) = \sqrt{x^{2} + y^{2} - 4}$

7.

$f (x, y) = 4 ln (y^{2} - x)$ grandes.

8.

$g (x, y) = \sqrt{16 - 4 x^{2} - y^{2}}$

9.

$z (x, y) = y^{2} - x^{2}$

10.

$f (x, y) = \frac{y + 2}{x^{2}}$

Halle el rango de las funciones.

11.

$g (x, y) = \sqrt{16 - 4 x^{2} - y^{2}}$

12.

$V (x, y) = 4 x^{2} + y^{2}$

13.

$z = y^{2} - x^{2}$

En los siguientes ejercicios, halle las curvas de nivel de cada función en el valor indicado de $c$ para visualizar la función dada.

14.

$z (x, y) = y^{2} - x^{2},$ $c = 1$

15.

$z (x, y) = y^{2} - x^{2},$ $c = 4$

16.

$g (x, y) = x^{2} + y^{2}; c = 4, c = 9$

17.

$g (x, y) = 4 - x - y; c = 0, 4$

18.

$f (x, y) = x y; c = 1; c = –1$

19.

$h (x, y) = 2 x - y; c = 0, –2, 2$

20.

$f (x, y) = x^{2} - y; c = 1, 2$

21.

$g (x, y) = \frac{x}{x + y}; c = −1, 0, 2$

22.

$g (x, y) = x^{3} - y; c = −1, 0, 2$

23.

$g (x, y) = e_{}^{x y}; c = \frac{1}{2}, 3$

24.

$f (x, y) = x^{2}; c = 4, 9$

25.

$f (x, y) = x y - x; c = –2, 0, 2$

26.

$h (x, y) = ln (x^{2} + y^{2}); c = −1, 0, 1$

27.

$g (x, y) = ln (\frac{y}{x^{2}}); c = –2, 0, 2$

28.

$z = f (x, y) = \sqrt{x^{2} + y^{2}},$ $c = 3$

29.

$f (x, y) = \frac{y + 2}{x^{2}},$ $c =$ cualquier constante

En los siguientes ejercicios, halle las trazas verticales de las funciones en los valores indicados de $x$ y y, y trace las trazas.

30.

$z = 4 - x - y; x = 2$

31.

$f (x, y) = 3 x + y^{3}, x = 1$

32.

$z = cos \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ $x = 1$

Halle el dominio de las siguientes funciones.

33.

$z = \sqrt{100 - 4 x^{2} - 25 y^{2}}$

34.

$z = ln (x - y^{2})$ grandes.

35.

$f (x, y, z) = \frac{1}{\sqrt{36 - 4 x^{2} - 9 y^{2} - z^{2}}}$

36.

$f (x, y, z) = \sqrt{49 - x^{2} - y^{2} - z^{2}}$

37.

$f (x, y, z) = \sqrt[3]{16 - x^{2} - y^{2} - z^{2}}$

38.

$f (x, y) = cos \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

En los siguientes ejercicios, trace un gráfico de la función.

39.

$z = f (x, y) = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

40.

$z = x^{2} + y^{2}$

41.

Utilice la tecnología para graficar $z = x^{2} y .$

Dibuje lo siguiente encontrando las curvas de nivel. Verifique el gráfico mediante tecnología.

42.

$f (x, y) = \sqrt{4 - x^{2} - y^{2}}$

43.

$f (x, y) = 2 - \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

44.

$z = 1 + e^{– x^{2} - y^{2}}$

45.

$z = cos \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

46.

$z = y^{2} - x^{2}$

47.

Describa las curvas de nivel para varios valores de $c$ por $z = x^{2} + y^{2} - 2 x - 2 y .$

Halle la superficie de nivel de las funciones de tres variables y descríbala.

48.

$w (x, y, z) = x - 2 y + z, c = 4$

49.

$w (x, y, z) = x^{2} + y^{2} + z^{2}, c = 9$

50.

$w (x, y, z) = x^{2} + y^{2} - z^{2}, c = –4$

51.

$w (x, y, z) = x^{2} + y^{2} - z^{2}, c = 4$

52.

$w (x, y, z) = 9 x^{2} - 4 y^{2} + 36 z^{2}, c = 0$

En los siguientes ejercicios, halle una ecuación de la curva de nivel de $f$ que contiene el punto $P .$

53.

$f (x, y) = 1 - 4 x^{2} - y^{2}, P (0, 1)$ grandes.

54.

$g (x, y) = y^{2} arctan x, P (1, 2)$ grandes.

55.

$g (x, y) = e^{x y} (x^{2} + y^{2}), P (1, 0)$ grandes.

56.

La fuerza $E$ de un campo eléctrico en un punto $(x, y, z)$ resultante de un cable cargado de longitud infinita tendido a lo largo del eje $y$ viene dada por $E (x, y, z) = k / \sqrt{x^{2} + y^{2}},$ donde $k$ es una constante positiva. Para simplificar, supongamos que $k = 1$ y hallemos las ecuaciones de las superficies de nivel para $E = 10 y E = 100 .$

57.

Una fina placa de hierro se encuentra en el plano $x y .$ La temperatura $T$ en grados Celsius en un punto $P (x, y)$ es inversamente proporcional al cuadrado de su distancia al origen. Exprese $T$ en función de $x y y .$

58.

Consulte el problema anterior. Utilizando la función de temperatura encontrada, determine la constante de proporcionalidad si la temperatura en el punto $P (1, 2) e s 50 ° C .$ Utilice esta constante para determinar la temperatura en el punto $Q (3, 4) .$

59.

Consulte el problema anterior. Halle las curvas de nivel para $T = 40 ° C y T = 100 ° C,$ y describa lo que representan las curvas de nivel.

4.1 Funciones de varias variables

Funciones de dos variables

Dominios y rangos para funciones de dos variables

Solución

Graficar funciones de dos variables

Graficar funciones de dos variables

Solución

Tuercas y tornillos

Solución

Curvas de nivel

Hacer un mapa de líneas de contorno

Solución

Hallar trazas verticales

Solución

Funciones de más de dos variables

Dominios de funciones de tres variables

Solución

Hallar una superficie de nivel

Solución

Sección 4.1 ejercicios