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Cálculo volumen 3

4.2 Límites y continuidad

Cálculo volumen 34.2 Límites y continuidad

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Índice
  1. Prefacio
  2. 1 Ecuaciones paramétricas y coordenadas polares
    1. Introducción
    2. 1.1 Ecuaciones paramétricas
    3. 1.2 Cálculo de curvas paramétricas
    4. 1.3 Coordenadas polares
    5. 1.4 Área y longitud de arco en coordenadas polares
    6. 1.5 Secciones cónicas
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  3. 2 Vectores en el espacio
    1. Introducción
    2. 2.1 Vectores en el plano
    3. 2.2 Vectores en tres dimensiones
    4. 2.3 El producto escalar
    5. 2.4 El producto vectorial
    6. 2.5 Ecuaciones de líneas y planos en el espacio
    7. 2.6 Superficies cuádricas
    8. 2.7 Coordenadas cilíndricas y esféricas
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  4. 3 Funciones de valores factoriales
    1. Introducción
    2. 3.1 Funciones de valores vectoriales y curvas en el espacio
    3. 3.2 Cálculo de funciones de valor vectorial
    4. 3.3 Longitud de arco y curvatura
    5. 3.4 Movimiento en el espacio
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  5. 4 Diferenciación de funciones de varias variables
    1. Introducción
    2. 4.1 Funciones de varias variables
    3. 4.2 Límites y continuidad
    4. 4.3 Derivadas parciales
    5. 4.4 Planos tangentes y aproximaciones lineales
    6. 4.5 La regla de la cadena
    7. 4.6 Derivadas direccionales y el gradiente
    8. 4.7 Problemas con máximos/mínimos
    9. 4.8 Multiplicadores de Lagrange
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  6. 5 Integración múltiple
    1. Introducción
    2. 5.1 Integrales dobles sobre regiones rectangulares
    3. 5.2 Integrales dobles sobre regiones generales
    4. 5.3 Integrales dobles en coordenadas polares
    5. 5.4 Integrales triples
    6. 5.5 Integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas
    7. 5.6 Cálculo de centros de masa y momentos de inercia
    8. 5.7 Cambio de variables en integrales múltiples
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  7. 6 Cálculo vectorial
    1. Introducción
    2. 6.1 Campos vectoriales
    3. 6.2 Integrales de línea
    4. 6.3 Campos vectoriales conservativos
    5. 6.4 Teorema de Green
    6. 6.5 Divergencia y rizo
    7. 6.6 Integrales de superficie
    8. 6.7 Teorema de Stokes
    9. 6.8 El teorema de la divergencia
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  8. 7 Ecuaciones diferenciales de segundo orden
    1. Introducción
    2. 7.1 Ecuaciones lineales de segundo orden
    3. 7.2 Ecuaciones lineales no homogéneas
    4. 7.3 Aplicaciones
    5. 7.4 Soluciones de ecuaciones diferenciales mediante series
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  9. A Tabla de integrales
  10. B Tabla de derivadas
  11. C Repaso de Precálculo
  12. Clave de respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
  13. Índice

Objetivos de aprendizaje

  • 4.2.1 Calcular el límite de una función de dos variables.
  • 4.2.2 Aprender cómo una función de dos variables puede aproximarse a diferentes valores en un punto límite, dependiendo del camino de aproximación.
  • 4.2.3 Indicar las condiciones de continuidad de una función de dos variables.
  • 4.2.4 Comprobar la continuidad de una función de dos variables en un punto.
  • 4.2.5 Calcular el límite de una función de tres o más variables y verificar la continuidad de la función en un punto.

Ya hemos examinado las funciones de más de una variable y hemos visto cómo graficarlas. En este apartado vemos cómo tomar el límite de una función de más de una variable, y qué significa que una función de más de una variable sea continua en un punto de su dominio. Resulta que estos conceptos tienen aspectos que simplemente no se dan con funciones de una variable.

Límite de una función de dos variables

Recuerde de El límite de una función la definición de límite de una función de una variable:

Supongamos que f(x)f(x) se define para todos los xaxa en un intervalo abierto que contiene a.a. Supongamos que LL es un número real. Entonces

límxaf(x)=Llímxaf(x)=L

si para cada ε>0,ε>0, existe un δ>0,δ>0, tal que si 0<|xa|<δ0<|xa|<δ para todas las xx en el dominio de f,f, entonces

|f(x)L|<ε.|f(x)L|<ε.

Antes de poder adaptar esta definición para definir un límite de una función de dos variables, tenemos que ver primero cómo extender la idea de un intervalo abierto en una variable a un intervalo abierto en dos variables.

Definición

Considere un punto (a,b)2 .(a,b)2 . Un disco δδ, centrado en el punto (a,b)(a,b), se define como un disco abierto de radio δδ centrado en el punto (a,b)(a,b), es decir,

{(x,y)2 |(xa)2 +(yb)2 <δ2 }{(x,y)2 |(xa)2 +(yb)2 <δ2 }

como se muestra en el siguiente gráfico.

En el plano xy se muestra el punto (2, 1), que es el centro de un círculo de radio δ.
Figura 4.14 Un disco δ δ centrado alrededor del punto ( 2 , 1 ) . ( 2 , 1 ) .

La idea de un disco δδ aparece en la definición del límite de una función de dos variables. Si los valores de δδ es pequeño, entonces todos los puntos (x,y)(x,y) en el disco δδ están cerca de (a,b).(a,b). Esto es completamente análogo a xx estando cerca de aa en la definición de límite de una función de una variable. En una dimensión, expresamos esta restricción como

aδ<x<a+δ.aδ<x<a+δ.

En más de una dimensión, utilizamos un disco δδ.

Definición

Supongamos que ff es una función de dos variables, xx como y.y. El límite de f(x,y)f(x,y) cuando (x,y)(x,y) se aproxima a (a,b)(a,b) ¿es L,L, escrito

lím(x,y)(a,b)f(x,y)=Llím(x,y)(a,b)f(x,y)=L

si para cada ε>0ε>0 existe una cantidad suficientemente pequeña δ>0δ>0 tal que para todos los puntos (x,y)(x,y) en un disco δδ alrededor de (a,b),(a,b), excepto posiblemente para (a,b)(a,b) mismo, el valor de f(x,y)f(x,y) no es más que εε lejos de LL (Figura 4.15). Utilizando símbolos, escribimos lo siguiente: para cualquier ε>0,ε>0, existe un número δ>0δ>0 tal que

|f(x,y)L|<εsiempre que0<(xa)2 +(yb)2 <δ.|f(x,y)L|<εsiempre que0<(xa)2 +(yb)2 <δ.
En el espacio xyz, se dibuja una función con el punto L. Este punto L es el centro de un círculo de radio ॉ, con los puntos L ± ॉ marcados. En el plano xy se dibuja un punto (a, b) con un círculo de radio δ a su alrededor. Esto se denomina disco δ. Hay líneas discontinuas hacia arriba desde el disco δ para hacer un disco en la función, que se llama la imagen del disco delta. A continuación, hay líneas discontinuas desde este disco hasta el círculo que rodea el punto L, que se llama el ॉ-zona de L.
Figura 4.15 El límite de una función con dos variables requiere que f ( x , y ) f ( x , y ) esté dentro de ε ε de L L siempre que ( x , y ) ( x , y ) esté dentro de δ δ de ( a , b ) . ( a , b ) . Cuanto menor sea el valor de ε , ε , menor será el valor de δ . δ .

Demostrar que existe un límite utilizando la definición de límite de una función de dos variables puede ser un reto. En su lugar, utilizamos el siguiente teorema, que nos da atajos para hallar los límites. Las fórmulas de este teorema son una extensión de las fórmulas del teorema de las leyes de límites en Las leyes de límite.

Teorema 4.1

Leyes de límite para funciones de dos variables

Supongamos que f(x,y)f(x,y) y g(x,y)g(x,y) se definen para todos los (x,y)(a,b)(x,y)(a,b) en una zona alrededor de (a,b),(a,b), y asumamos que la zona está contenida completamente dentro del dominio de f.f. Supongamos que LL y MM son números reales de modo que lím(x,y)(a,b)f(x,y)=Llím(x,y)(a,b)f(x,y)=L y lím(x,y)(a,b)g(x,y)=M,lím(x,y)(a,b)g(x,y)=M, y supongamos que cc es una constante. Entonces cada una de las siguientes afirmaciones es válida:

Ley de constante:

lím(x,y)(a,b)c=clím(x,y)(a,b)c=c
(4.2)

Leyes de identidad:

lím(x,y)(a,b)x=alím(x,y)(a,b)x=a
(4.3)
lím(x,y)(a,b)y=blím(x,y)(a,b)y=b
(4.4)

Ley de la suma:

lím(x,y)(a,b)(f(x,y)+g(x,y))=L+Mlím(x,y)(a,b)(f(x,y)+g(x,y))=L+M
(4.5)

Ley de la diferencia:

lím(x,y)(a,b)(f(x,y)g(x,y))=LMlím(x,y)(a,b)(f(x,y)g(x,y))=LM
(4.6)

Ley de múltiple constante:

lím(x,y)(a,b)(cf(x,y))=cLlím(x,y)(a,b)(cf(x,y))=cL
(4.7)

Ley de productos:

lím(x,y)(a,b)(f(x,y)g(x,y))=LMlím(x,y)(a,b)(f(x,y)g(x,y))=LM
(4.8)

Ley del cociente:

lím(x,y)(a,b)f(x,y)g(x,y)=LMparaM0lím(x,y)(a,b)f(x,y)g(x,y)=LMparaM0
(4.9)

Ley de potencia:

lím(x,y)(a,b)(f(x,y))n=Lnlím(x,y)(a,b)(f(x,y))n=Ln
(4.10)

para cualquier número entero positivo n.n.

Ley de raíces:

lím(x,y)(a,b)f(x,y)n=Lnlím(x,y)(a,b)f(x,y)n=Ln
(4.11)

para todos los LL si nn es impar y positivo, y para los L0L0 si nn es par y positivo.

Las pruebas de estas propiedades son similares a las de los límites de las funciones de una variable. Podemos aplicar estas leyes para hallar los límites de varias funciones.

Ejemplo 4.8

Hallar el límite de una función de dos variables

Halle cada uno de los siguientes límites:

  1. lím(x,y)(2 ,–1)(x2 2 xy+3y2 4x+3y6)lím(x,y)(2 ,–1)(x2 2 xy+3y2 4x+3y6) grandes.
  2. lím(x,y)(2 ,–1)2 x+3y4x3ylím(x,y)(2 ,–1)2 x+3y4x3y

Punto de control 4.6

Evalúe el siguiente límite:

lím(x,y)(5,–2)x2 yy2 +x13.lím(x,y)(5,–2)x2 yy2 +x13.

Como estamos tomando el límite de una función de dos variables, el punto (a,b)(a,b) está en 2 ,2 , y es posible acercarse a este punto desde un número infinito de direcciones. A veces, al calcular un límite, la respuesta varía según la trayectoria que se tome hacia (a,b).(a,b). Si este es el caso, entonces el límite no existe. En otras palabras, el límite debe ser único, independientemente de la trayectoria que se tome.

Ejemplo 4.9

Límites que no existen

Demuestre que no existe ninguno de los siguientes límites:

  1. lím(x,y)(0,0)2 xy3x2 +y2 lím(x,y)(0,0)2 xy3x2 +y2
  2. lím(x,y)(0,0)4xy2 x2 +3y4lím(x,y)(0,0)4xy2 x2 +3y4

Punto de control 4.7

Demuestre que

lím(x,y)(2 ,1)(x2 )(y1)(x2 )2 +(y1)2 lím(x,y)(2 ,1)(x2 )(y1)(x2 )2 +(y1)2

no existe.

Puntos interiores y puntos límite

Para estudiar la continuidad y la diferenciabilidad de una función de dos o más variables, primero tenemos que aprender algo de terminología nueva.

Definición

Supongamos que S es un subconjunto de 2 2 (Figura 4.17).

  1. Un punto P0P0 se llama punto interior de SS si hay un disco δδ centrado en P0P0 contenido completamente en S.S.
  2. Un punto P0P0 se llama punto límite de SS si cada disco δδ centrado en P0P0 contiene puntos tanto dentro como fuera de S.S.
En el plano xy se dibuja una forma cerrada. Hay un punto (–1, 1) dibujado en el interior de la forma, y hay un punto (2, 3) dibujado en el borde. Ambos puntos son los centros de pequeños círculos.
Figura 4.17 En el conjunto S S mostrado, ( –1 , 1 ) ( –1 , 1 ) es un punto interior y ( 2 , 3 ) ( 2 , 3 ) es un punto límite.

Definición

Supongamos que S es un subconjunto de 2 2 (Figura 4.17).

  1. SS se llama conjunto abierto si cada punto de SS es un punto interior.
  2. SS se llama conjunto cerrado si contiene todos sus puntos límite.

Un ejemplo de conjunto abierto es un disco δδ. Si incluimos el borde del disco, entonces se convierte en un conjunto cerrado. Un conjunto que contiene algunos de sus puntos límite, pero no todos, no es ni abierto ni cerrado. Por ejemplo, si incluimos la mitad del borde de un disco δδ pero no la otra mitad, entonces el conjunto no está ni abierto ni cerrado.

Definición

Supongamos que S es un subconjunto de 2 2 (Figura 4.17).

  1. Un conjunto abierto SS es un conjunto conectado si no puede representarse como la unión de dos o más subconjuntos abiertos no vacíos.
  2. Un conjunto SS es una región si es abierto, conectado y no vacío.

La definición de un límite de una función de dos variables requiere el disco δδ que debe estar contenido dentro del dominio de la función. Sin embargo, si queremos calcular el límite de una función en un punto límite del dominio, el disco δ δ no se encuentra dentro del dominio. Por definición, algunos de los puntos del disco δ δ están dentro del dominio y otros están fuera. Por lo tanto, solo tenemos que considerar los puntos que están, tanto dentro del disco δδ como del dominio de la función. Esto nos lleva a la definición del límite de una función en un punto límite.

Definición

Supongamos que ff es una función de dos variables, xx como y,y, y supongamos que (a,b)(a,b) está en la frontera del dominio de f.f. Entonces, el límite de f(x,y)f(x,y) cuando (x,y)(x,y) se aproxima a (a,b)(a,b) ¿es L,L, escrito

lím(x,y)(a,b)f(x,y)=L,lím(x,y)(a,b)f(x,y)=L,

si para cualquier ε>0,ε>0, existe un número δ>0δ>0 tal que para cualquier punto (x,y)(x,y) dentro del dominio de ff y dentro de una distancia convenientemente pequeña positiva δδ de (a,b),(a,b), el valor de f(x,y)f(x,y) no es más que εε lejos de LL (Figura 4.15). Usando símbolos, podemos escribir: para cualquier ε>0,ε>0, existe un número δ>0δ>0 tal que

|f(x,y)L|<εsiempre que0<(xa)2 +(yb)2 <δ.|f(x,y)L|<εsiempre que0<(xa)2 +(yb)2 <δ.

Ejemplo 4.10

Límite de una función en un punto límite

Pruebe que lím(x,y)(4,3)25x2 y2 =0.lím(x,y)(4,3)25x2 y2 =0.

Punto de control 4.8

Evalúe el siguiente límite:

lím(x,y)(5,–2)29x2 y2 .lím(x,y)(5,–2)29x2 y2 .

Continuidad de funciones de dos variables

En Continuidad, definimos la continuidad de una función de una variable y vimos cómo se basaba en el límite de una función de una variable. En particular, son necesarias tres condiciones para que f(x)f(x) sea continua en el punto x=a:x=a:

  1. f(a)f(a).
  2. límxaf(x)límxaf(x).
  3. límxaf(x)=f(a).límxaf(x)=f(a).

Estas tres condiciones son necesarias también para la continuidad de una función de dos variables.

Definición

Una función f(x,y)f(x,y) es continua en un punto (a,b)(a,b) en su dominio si se cumplen las siguientes condiciones:

  1. f(a,b)f(a,b).
  2. lím(x,y)(a,b)f(x,y)lím(x,y)(a,b)f(x,y).
  3. lím(x,y)(a,b)f(x,y)=f(a,b).lím(x,y)(a,b)f(x,y)=f(a,b).

Ejemplo 4.11

Demostrar continuidad de una función de dos variables

Demuestre que la función f(x,y)=3x+2 yx+y+1f(x,y)=3x+2 yx+y+1 es continua en el punto (5,−3).(5,−3).

Punto de control 4.9

Demuestre que la función f(x,y)=262 x2 y2 f(x,y)=262 x2 y2 es continua en el punto (2 ,−3).(2 ,−3).

La continuidad de una función de cualquier número de variables también puede definirse en términos de delta y épsilon. Una función de dos variables es continua en un punto (x0,y0)(x0,y0) en su dominio si para cada ε>0ε>0 existe un δ>0δ>0 de manera que, siempre que (xx0)2 +(yy0)2 <δ(xx0)2 +(yy0)2 <δ sea cierto, |f(x,y)f(a,b)|<ε.|f(x,y)f(a,b)|<ε. Esta definición puede combinarse con la definición formal (es decir, la definición épsilon-delta) de continuidad de una función de una variable para demostrar los siguientes teoremas:

Teorema 4.2

La suma de funciones continuas es continua

Si los valores de f(x,y)f(x,y) es continua en (x0,y0),(x0,y0), y g(x,y)g(x,y) es continua en (x0,y0),(x0,y0), entonces f(x,y)+g(x,y)f(x,y)+g(x,y) es continua en (x0,y0).(x0,y0).

Teorema 4.3

El producto de funciones continuas es continuo

Si los valores de g(x)g(x) es continua en x0x0 y h(y)h(y) es continua en y0,y0, entonces f(x,y)=g(x)h(y)f(x,y)=g(x)h(y) es continua en (x0,y0).(x0,y0).

Teorema 4.4

La composición de funciones continuas es continua

Supongamos que gg es una función de dos variables de un dominio D2 D2 a un rango R.R. Supongamos que gg es continua en algún punto (x0,y0)D(x0,y0)D y define z0=g(x0,y0).z0=g(x0,y0). Supongamos que ff es una función que aplica a al de manera que z0z0 está en el dominio de f.f. Por último, asuma que ff es continua en z0.z0. Entonces fgfg es continua en (x0,y0)(x0,y0) como se muestra en la siguiente figura.

Se muestra una forma marcada como el dominio de g con el punto (x, y) dentro de ella. Desde el dominio de g hay una flecha marcada g que apunta al rango de g, que es una línea recta con el punto z en ella. El rango de g también está marcado como el dominio de f. Luego hay otra flecha marcada como f desde esta forma hasta una línea marcada como rango de f.
Figura 4.20 La composición de dos funciones continuas es continua.

Utilicemos ahora los teoremas anteriores para demostrar la continuidad de las funciones en los siguientes ejemplos.

Ejemplo 4.12

Más ejemplos de continuidad de una función de dos variables

Demuestre que las funciones f(x,y)=4x3y2 f(x,y)=4x3y2 y g(x,y)=cos(4x3y2 )g(x,y)=cos(4x3y2 ) son continuas en todas partes.

Punto de control 4.10

Demuestre que las funciones f(x,y)=2 x2 y3+3f(x,y)=2 x2 y3+3 y g(x,y)=(2 x2 y3+3)4g(x,y)=(2 x2 y3+3)4 son continuas en todas partes.

Funciones de tres o más variables

El límite de una función de tres o más variables se da fácilmente en las aplicaciones. Por ejemplo, supongamos que tenemos una función f(x,y,z)f(x,y,z) que da la temperatura en un lugar físico (x,y,z)(x,y,z) en tres dimensiones. O quizás una función g(x,y,z,t)g(x,y,z,t) puede indicar la presión del aire en un lugar (x,y,z)(x,y,z) en el momento t.t. ¿Cómo podemos tomar un límite en un punto de 3?3? ¿Qué significa ser continuo en un punto en cuatro dimensiones?

Las respuestas de estas preguntas se basan en la ampliación del concepto del disco δδ en más de dos dimensiones. Entonces, las ideas de límite de una función de tres o más variables y de continuidad de una función de tres o más variables son muy similares a las definiciones dadas anteriormente para una función de dos variables.

Definición

Supongamos que (x0,y0,z0)(x0,y0,z0) es un punto en 3.3. Entonces, una bola δδ en tres dimensiones consiste en todos los puntos en 33 que se encuentran a una distancia inferior a δδ a partir de (x0,y0,z0)(x0,y0,z0), es decir,

{(x,y,z)3|(xx0)2 +(yy0)2 +(zz0)2 <δ}.{(x,y,z)3|(xx0)2 +(yy0)2 +(zz0)2 <δ}.

Para definir una bola δδ en dimensiones superiores, añadimos términos adicionales bajo el radical para corresponder a cada dimensión adicional. Por ejemplo, dado un punto P=(w0,x0,y0,z0)P=(w0,x0,y0,z0) en 4,4, una bola δδ alrededor de PP puede describirse por

{(w,x,y,z)4|(ww0)2 +(xx0)2 +(yy0)2 +(zz0)2 <δ}.{(w,x,y,z)4|(ww0)2 +(xx0)2 +(yy0)2 +(zz0)2 <δ}.

Para demostrar que existe un límite de una función de tres variables en un punto (x0,y0,z0),(x0,y0,z0), basta con demostrar que para cualquier punto de una bola δδ centrada en (x0,y0,z0),(x0,y0,z0), el valor de la función en ese punto se acerca arbitrariamente a un valor fijo (el valor límite). Todas las leyes de los límites de las funciones de dos variables son válidas también para las funciones de más de dos variables.

Ejemplo 4.13

Hallar el límite de una función de tres variables

Halle lím(x,y,z)(4,1,−3)x2 y3z2 x+5yz.lím(x,y,z)(4,1,−3)x2 y3z2 x+5yz.

Punto de control 4.11

Halle lím(x,y,z)(4,–1,3)13x2 2 y2 +z2 .lím(x,y,z)(4,–1,3)13x2 2 y2 +z2 .

Sección 4.2 ejercicios

En los siguientes ejercicios, halle el límite de la función.

60.

lím ( x , y ) ( 1 , 2 ) x lím ( x , y ) ( 1 , 2 ) x

61.

lím ( x , y ) ( 1 , 2 ) 5 x 2 y x 2 + y 2 lím ( x , y ) ( 1 , 2 ) 5 x 2 y x 2 + y 2

62.

Demuestre que el límite lím(x,y)(0,0)5x2 yx2 +y2 lím(x,y)(0,0)5x2 yx2 +y2 existe y es el mismo a lo largo de las trayectorias: eje y y y eje x−eje,x−eje, y a lo largo de y=x.y=x.

En los siguientes ejercicios, evalúe los límites en los valores indicados de xyy.xyy. Si el límite no existe, indíquelo y explique por qué no existe.

63.

lím ( x , y ) ( 0 , 0 ) 4 x 2 + 10 y 2 + 4 4 x 2 10 y 2 + 6 lím ( x , y ) ( 0 , 0 ) 4 x 2 + 10 y 2 + 4 4 x 2 10 y 2 + 6

64.

lím ( x , y ) ( 11 , 13 ) 1 x y lím ( x , y ) ( 11 , 13 ) 1 x y

65.

lím ( x , y ) ( 0 , 1 ) y 2 sen x x lím ( x , y ) ( 0 , 1 ) y 2 sen x x

66.

lím(x,y)(0,0)sen(x8+y7xy+10)lím(x,y)(0,0)sen(x8+y7xy+10) grandes.

67.

lím ( x , y ) ( π / 4 , 1 ) y tan x y + 1 lím ( x , y ) ( π / 4 , 1 ) y tan x y + 1

68.

lím ( x , y ) ( 0 , π / 4 ) sec x + 2 3 x tan y lím ( x , y ) ( 0 , π / 4 ) sec x + 2 3 x tan y

69.

lím(x,y)(2 ,5)(1x5y)lím(x,y)(2 ,5)(1x5y) grandes.

70.

lím ( x , y ) ( 4 , 4 ) x ln y lím ( x , y ) ( 4 , 4 ) x ln y

71.

lím ( x , y ) ( 4 , 4 ) e x 2 y 2 lím ( x , y ) ( 4 , 4 ) e x 2 y 2

72.

lím ( x , y ) ( 0 , 0 ) 9 x 2 y 2 lím ( x , y ) ( 0 , 0 ) 9 x 2 y 2

73.

lím(x,y)(1,2 )(x2 y3x3y2 +3x+2 y)lím(x,y)(1,2 )(x2 y3x3y2 +3x+2 y) grandes.

74.

lím(x,y)(π,π)xsen(x+y4)lím(x,y)(π,π)xsen(x+y4) grandes.

75.

lím ( x , y ) ( 0 , 0 ) x y + 1 x 2 + y 2 + 1 lím ( x , y ) ( 0 , 0 ) x y + 1 x 2 + y 2 + 1

76.

lím ( x , y ) ( 0 , 0 ) x 2 + y 2 x 2 + y 2 + 1 1 lím ( x , y ) ( 0 , 0 ) x 2 + y 2 x 2 + y 2 + 1 1

77.

lím ( x , y ) ( 0 , 0 ) ln ( x 2 + y 2 ) lím ( x , y ) ( 0 , 0 ) ln ( x 2 + y 2 )

En los siguientes ejercicios, complete el enunciado.

78.

Un punto (x0,y0)(x0,y0) en la región de un plano RR es un punto interior de RR si _________________.

79.

Un punto (x0,y0)(x0,y0) en la región de un plano RR se llama punto límite de RR si ___________.

En los siguientes ejercicios, utilice técnicas algebraicas para evaluar el límite.

80.

lím ( x , y ) ( 2 , 1 ) x y 1 x y 1 lím ( x , y ) ( 2 , 1 ) x y 1 x y 1

81.

lím ( x , y ) ( 0 , 0 ) x 4 4 y 4 x 2 + 2 y 2 lím ( x , y ) ( 0 , 0 ) x 4 4 y 4 x 2 + 2 y 2

82.

lím ( x , y ) ( 0 , 0 ) x 3 y 3 x y lím ( x , y ) ( 0 , 0 ) x 3 y 3 x y

83.

lím ( x , y ) ( 0 , 0 ) x 2 x y x y lím ( x , y ) ( 0 , 0 ) x 2 x y x y

En los siguientes ejercicios, evalúe los límites de las funciones de tres variables.

84.

lím ( x , y , z ) ( 1 , 2 , 3 ) x z 2 y 2 z x y z 1 lím ( x , y , z ) ( 1 , 2 , 3 ) x z 2 y 2 z x y z 1

85.

lím ( x , y , z ) ( 0 , 0 , 0 ) x 2 y 2 z 2 x 2 + y 2 z 2 lím ( x , y , z ) ( 0 , 0 , 0 ) x 2 y 2 z 2 x 2 + y 2 z 2

En los siguientes ejercicios, evalúe el límite de la función determinando el valor al que se aproxima la función a lo largo de los trayectorias indicadas. Si el límite no existe, explique por qué no.

86.

lím ( x , y ) ( 0 , 0 ) x y + y 3 x 2 + y 2 lím ( x , y ) ( 0 , 0 ) x y + y 3 x 2 + y 2

  1. A lo largo del eje x x (y=0)(y=0)
  2. A lo largo del eje y y (x=0)(x=0)
  3. A lo largo de la trayectoria y=2 xy=2 x
87.

Evalúe lím(x,y)(0,0)xy+y3x2 +y2 lím(x,y)(0,0)xy+y3x2 +y2 utilizando los resultados del problema anterior.

88.

lím ( x , y ) ( 0 , 0 ) x 2 y x 4 + y 2 lím ( x , y ) ( 0 , 0 ) x 2 y x 4 + y 2

  1. A lo largo del eje x (y=0)(y=0)
  2. A lo largo del eje y (x=0)(x=0)
  3. A lo largo de la trayectoria y=x2 y=x2
89.

Evalúe lím(x,y)(0,0)x2 yx4+y2 lím(x,y)(0,0)x2 yx4+y2 utilizando los resultados del problema anterior.

Discuta la continuidad de las siguientes funciones. Halle la región más grande del plano xy xy en la que las siguientes funciones son continuas.

90.

f(x,y)=sen(xy)f(x,y)=sen(xy) grandes.

91.

f ( x , y ) = ln ( x + y ) f ( x , y ) = ln ( x + y )

92.

f ( x , y ) = e 3 x y f ( x , y ) = e 3 x y

93.

f ( x , y ) = 1 x y f ( x , y ) = 1 x y

En los siguientes ejercicios, determine la región en la que la función es continua. Explique su respuesta.

94.

f ( x , y ) = x 2 y x 2 + y 2 f ( x , y ) = x 2 y x 2 + y 2

95.

f ( x , y ) = { x 2 y x 2 + y 2 si ( x , y ) ( 0 , 0 ) 0 si ( x , y ) = ( 0 , 0 ) } f ( x , y ) = { x 2 y x 2 + y 2 si ( x , y ) ( 0 , 0 ) 0 si ( x , y ) = ( 0 , 0 ) }

(Pista: Demuestra que la función se acerca a valores diferentes por dos trayectorias distintas).

96.

f ( x , y ) = sen ( x 2 + y 2 ) x 2 + y 2 f ( x , y ) = sen ( x 2 + y 2 ) x 2 + y 2

97.

Determine si g(x,y)=x2 y2 x2 +y2 g(x,y)=x2 y2 x2 +y2 es continua en (0,0).(0,0).

98.

Cree un gráfico utilizando un programa de gráficos para determinar dónde no existe el límite. Halle en qué punto del plano de coordenadas f(x,y)=1x2 yf(x,y)=1x2 y es continuo.

99.

Determine la región del plano xy xy en la que la función compuesta g(x,y)=arctan(xy2 x+y)g(x,y)=arctan(xy2 x+y) es continuo. Utilice la tecnología para respaldar su conclusión.

100.

Determine la región del plano xy xy en la que f(x,y)=ln(x2 +y2 1)f(x,y)=ln(x2 +y2 1) es continuo. Utilice la tecnología para respaldar su conclusión. (Pista: Elija el rango de valores para xyyxyy con cuidado).

101.

¿En qué puntos del espacio g(x,y,z)=x2 +y2 2 z2 g(x,y,z)=x2 +y2 2 z2 es continua?

102.

¿En qué puntos del espacio g(x,y,z)=1x2 +z2 1g(x,y,z)=1x2 +z2 1 es continua?

103.

Demuestre que lím(x,y)(0,0)1x2 +y2 lím(x,y)(0,0)1x2 +y2 no existe en (0,0)(0,0) trazando el gráfico de la función.

104.

[T] Evalúe lím(x,y)(0,0)xy2 x2 +y4lím(x,y)(0,0)xy2 x2 +y4 trazando la función mediante un CAS. Determine de forma analítica el límite a lo largo de la trayectoria x=y2 .x=y2 .

105.

[T]

  1. Utilice un CAS para dibujar un mapa de líneas de contorno de z=9x2 y2 .z=9x2 y2 .
  2. ¿Cómo se llama la forma geométrica de las curvas de nivel?
  3. Dé la ecuación general de las curvas de nivel.
  4. ¿Cuál es el valor máximo de z?z?
  5. ¿Cuál es el dominio de la función?
  6. ¿Cuál es el rango de la función?
106.

Verdadero o falso: Si evaluamos lím(x,y)(0,0)f(x)lím(x,y)(0,0)f(x) a lo largo de varias trayectorias y cada vez que el límite es 1,1, podemos concluir que lím(x,y)(0,0)f(x)=1.lím(x,y)(0,0)f(x)=1.

107.

Utilice las coordenadas polares para hallar lím(x,y)(0,0)senx2 +y2 x2 +y2 .lím(x,y)(0,0)senx2 +y2 x2 +y2 . También se puede calcular el límite utilizando la regla de L'Hôpital.

108.

Utilice las coordenadas polares para hallar lím(x,y)(0,0)cos(x2 +y2 ).lím(x,y)(0,0)cos(x2 +y2 ).

109.

Discuta la continuidad de f(g(x,y))f(g(x,y)) donde f(t)=1/tf(t)=1/t y g(x,y)=2 x5y.g(x,y)=2 x5y.

110.

Dado que f(x,y)=x2 4y,f(x,y)=x2 4y, calcule límh0f(x+h,y)f(x,y)h.límh0f(x+h,y)f(x,y)h.

111.

Dado que f(x,y)=x2 4y,f(x,y)=x2 4y, calcule límh0f(1+h,y)f(1,y)h.límh0f(1+h,y)f(1,y)h.

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