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Cálculo volumen 3

4.3 Derivadas parciales

Cálculo volumen 34.3 Derivadas parciales

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Índice
  1. Prefacio
  2. 1 Ecuaciones paramétricas y coordenadas polares
    1. Introducción
    2. 1.1 Ecuaciones paramétricas
    3. 1.2 Cálculo de curvas paramétricas
    4. 1.3 Coordenadas polares
    5. 1.4 Área y longitud de arco en coordenadas polares
    6. 1.5 Secciones cónicas
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  3. 2 Vectores en el espacio
    1. Introducción
    2. 2.1 Vectores en el plano
    3. 2.2 Vectores en tres dimensiones
    4. 2.3 El producto escalar
    5. 2.4 El producto vectorial
    6. 2.5 Ecuaciones de líneas y planos en el espacio
    7. 2.6 Superficies cuádricas
    8. 2.7 Coordenadas cilíndricas y esféricas
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  4. 3 Funciones de valores factoriales
    1. Introducción
    2. 3.1 Funciones de valores vectoriales y curvas en el espacio
    3. 3.2 Cálculo de funciones de valor vectorial
    4. 3.3 Longitud de arco y curvatura
    5. 3.4 Movimiento en el espacio
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  5. 4 Diferenciación de funciones de varias variables
    1. Introducción
    2. 4.1 Funciones de varias variables
    3. 4.2 Límites y continuidad
    4. 4.3 Derivadas parciales
    5. 4.4 Planos tangentes y aproximaciones lineales
    6. 4.5 La regla de la cadena
    7. 4.6 Derivadas direccionales y el gradiente
    8. 4.7 Problemas con máximos/mínimos
    9. 4.8 Multiplicadores de Lagrange
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  6. 5 Integración múltiple
    1. Introducción
    2. 5.1 Integrales dobles sobre regiones rectangulares
    3. 5.2 Integrales dobles sobre regiones generales
    4. 5.3 Integrales dobles en coordenadas polares
    5. 5.4 Integrales triples
    6. 5.5 Integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas
    7. 5.6 Cálculo de centros de masa y momentos de inercia
    8. 5.7 Cambio de variables en integrales múltiples
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  7. 6 Cálculo vectorial
    1. Introducción
    2. 6.1 Campos vectoriales
    3. 6.2 Integrales de línea
    4. 6.3 Campos vectoriales conservativos
    5. 6.4 Teorema de Green
    6. 6.5 Divergencia y rizo
    7. 6.6 Integrales de superficie
    8. 6.7 Teorema de Stokes
    9. 6.8 El teorema de la divergencia
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  8. 7 Ecuaciones diferenciales de segundo orden
    1. Introducción
    2. 7.1 Ecuaciones lineales de segundo orden
    3. 7.2 Ecuaciones lineales no homogéneas
    4. 7.3 Aplicaciones
    5. 7.4 Soluciones de ecuaciones diferenciales mediante series
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  9. A Tabla de integrales
  10. B Tabla de derivadas
  11. C Repaso de Precálculo
  12. Clave de respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
  13. Índice

Objetivos de aprendizaje

  • 4.3.1 Calcular las derivadas parciales de una función de dos variables.
  • 4.3.2 Calcular las derivadas parciales de una función de más de dos variables.
  • 4.3.3 Determinar las derivadas de orden superior de una función de dos variables.
  • 4.3.4 Explicar el significado de una ecuación diferencial parcial y dar un ejemplo.

Ahora que hemos examinado los límites y la continuidad de las funciones de dos variables, podemos pasar a estudiar las derivadas. Calcular derivadas de funciones de dos variables es el concepto clave de este capítulo, con tantas aplicaciones en matemáticas, ciencia e ingeniería como la diferenciación de funciones de una sola variable. Sin embargo, ya hemos visto que los límites y la continuidad de las funciones multivariables presentan nuevos problemas y requieren una nueva terminología e ideas para tratarlos. Esto se traslada también a la diferenciación.

Derivadas de una función de dos variables

Al estudiar las derivadas de funciones de una variable, hallamos que una interpretación de la derivada es una tasa instantánea de cambio de yy en función de x.x. La notación de Leibniz para la derivada es dy/dx,dy/dx, lo que implica que yy es la variable dependiente y xx es la variable independiente. Para una función z=f(x,y)z=f(x,y) de dos variables, xx como yy son las variables independientes y zz es la variable dependiente. Esto plantea de inmediato dos preguntas: ¿Cómo adaptamos la notación de Leibniz a las funciones de dos variables? Además, ¿qué es una interpretación de la derivada? La respuesta está en las derivadas parciales.

Definición

Supongamos que f(x,y)f(x,y) es una función de dos variables. Entonces la derivada parcial de ff con respecto a x,x, escrita como f/x,f/x, o fx,fx, se define como

fx=límh0f(x+h,y)f(x,y)h.fx=límh0f(x+h,y)f(x,y)h.
(4.12)

La derivada parcial de ff con respecto a y,y, escrita como f/y,f/y, o fy,fy, se define como

fy=límk0f(x,y+k)f(x,y)k.fy=límk0f(x,y+k)f(x,y)k.
(4.13)

Esta definición muestra ya dos diferencias. Primero, la notación cambia, en el sentido de que seguimos utilizando una versión de la notación de Leibniz, pero la dd en la notación original se sustituye por el símbolo .. (Esta “d”“d” redondeada suele llamarse "parcial", por lo que f/xf/x se expresa como el "parcial de ff con respecto a x“.)x“.) Este es el primer indicio de que se trata de derivadas parciales. En segundo lugar, ahora tenemos dos derivadas diferentes que podemos tomar, ya que hay dos variables independientes diferentes. Dependiendo de la variable que elijamos, podemos obtener diferentes derivadas parciales en conjunto, y a menudo lo hacemos.

Ejemplo 4.14

Calcular las derivadas parciales a partir de la definición

Utilice la definición de la derivada parcial como límite para calcular f/xf/x y f/yf/y para la función

f(x,y)=x2 3xy+2 y2 4x+5y12.f(x,y)=x2 3xy+2 y2 4x+5y12.

Punto de control 4.12

Utilice la definición de la derivada parcial como límite para calcular f/xf/x y f/yf/y para la función

f(x,y)=4x2 +2 xyy2 +3x2 y+5.f(x,y)=4x2 +2 xyy2 +3x2 y+5.

La idea que se debe tener en cuenta cuando se calculan derivadas parciales es tratar todas las variables independientes, distintas de la variable con respecto a la cual estamos diferenciando, como constantes. Luego se procede a diferenciar como con una función de una sola variable. Para ver por qué esto es cierto, primero hay que fijar yy y definir g(x)=f(x,y)g(x)=f(x,y) en función de x.x. Entonces

g(x)=límh0g(x+h)g(x)h=límh0f(x+h,y)f(x,y)h=fx.g(x)=límh0g(x+h)g(x)h=límh0f(x+h,y)f(x,y)h=fx.

Lo mismo ocurre con el cálculo de la derivada parcial de ff con respecto a y.y. Esta vez, fije xx y definir h(y)=f(x,y)h(y)=f(x,y) en función de y.y. Entonces

h(x)=límk0h(x+k)h(x)k=límk0f(x,y+k)f(x,y)k=fy.h(x)=límk0h(x+k)h(x)k=límk0f(x,y+k)f(x,y)k=fy.

Se aplican todas las reglas de diferenciación de Introducción a las derivadas.

Ejemplo 4.15

Calcular derivadas parciales

Calcule f/xf/x y f/yf/y para las siguientes funciones manteniendo constante la variable opuesta y luego diferenciando:

  1. f(x,y)=x2 3xy+2 y2 4x+5y12f(x,y)=x2 3xy+2 y2 4x+5y12
  2. g(x,y)=sen(x2 y2 x+4)g(x,y)=sen(x2 y2 x+4)

Punto de control 4.13

Calcule f/xf/x y f/yf/y para la función f(x,y)=tan(x33x2 y2 +2 y4)f(x,y)=tan(x33x2 y2 +2 y4) manteniendo constante la variable opuesta, y luego diferenciando.

¿Cómo podemos interpretar estas derivadas parciales? Recordemos que el gráfico de una función de dos variables es una superficie en 3.3. Si eliminamos el límite de la definición de la derivada parcial con respecto a x,x, el cociente de diferencia se mantiene:

f(x+h,y)f(x,y)h.f(x+h,y)f(x,y)h.

Se parece al cociente de diferencia para la derivada de una función de una variable, excepto por la presencia de la variable yy. La Figura 4.21 ilustra una superficie descrita por una función arbitraria z=f(x,y).z=f(x,y).

Una curva complicada en el espacio xyz con una línea secante que pasa por los puntos (x, y, f(x, y)) y (x + h, y, f(x + h, y)).
Figura 4.21 Línea secante que pasa por los puntos ( x , y , f ( x , y ) ) ( x , y , f ( x , y ) ) y ( x + h , y , f ( x + h , y ) ) . ( x + h , y , f ( x + h , y ) ) .

En la Figura 4.21, el valor de hh es positivo. Si graficamos f(x,y)f(x,y) y f(x+h,y)f(x+h,y) para un punto arbitrario (x,y),(x,y), entonces la pendiente de la línea secante que pasa por estos dos puntos está dada por

f(x+h,y)f(x,y)h.f(x+h,y)f(x,y)h.

Esta línea es paralela al eje x.x. Por lo tanto, la pendiente de la línea secante representa una tasa media de cambio de la función ff mientras nos trasladamos en paralelo al eje x.x. A medida que hh se acerca a cero, la pendiente de la línea secante se acerca a la pendiente de la línea tangente.

Si elegimos cambiar yy en vez de xx por el mismo valor progresivo h,h, entonces la línea secante es paralela al eje y y y también lo es la línea tangente. Por lo tanto, f/xf/x representa la pendiente de la línea tangente que pasa por el punto (x,y,f(x,y))(x,y,f(x,y)) paralelo al eje x x y f/yf/y representa la pendiente de la línea tangente que pasa por el punto (x,y,f(x,y))(x,y,f(x,y)) paralelo al eje y .y . Si deseamos calcular la pendiente de una línea tangente que pasa por el mismo punto en cualquier otra dirección, entonces necesitamos lo que se llama derivadas direccionales, lo cual estudiamos en la sección Derivadas direccionales y el gradiente.

Volvemos ahora a la idea de las líneas de contorno, que introdujimos en la sección Funciones de varias variables. Podemos utilizar líneas de contorno para estimar las derivadas parciales de una función g(x,y).g(x,y).

Ejemplo 4.16

Derivadas parciales a partir de líneas de contorno

Utilice líneas de contorno para estimar g/xg/x en el punto (5,0)(5,0) para la función g(x,y)=9x2 y2 .g(x,y)=9x2 y2 .

Punto de control 4.14

Utilice líneas de contorno para estimar f/yf/y en el punto (0,2 )(0,2 ) para la función

f(x,y)=x2 y2 .f(x,y)=x2 y2 .

Compare esto con la respuesta exacta.

Funciones de más de dos variables

Supongamos que tenemos una función de tres variables, como w=f(x,y,z).w=f(x,y,z). Podemos calcular las derivadas parciales de ww con respecto a cualquiera de las variables independientes, simplemente como extensiones de las definiciones de las derivadas parciales de funciones de dos variables.

Definición

Supongamos que f(x,y,z)f(x,y,z) sea una función de tres variables. Entonces, la derivada parcial de ff con respecto a x, escrita como f/x,f/x, o fx,fx, se define como

fx=límh0f(x+h,y,z)f(x,y,z)h.fx=límh0f(x+h,y,z)f(x,y,z)h.
(4.14)

La derivada parcial de ff con respecto a y,y, escrita como f/y,f/y, o fy,fy, se define como

fy=límk0f(x,y+k,z)f(x,y,z)k.fy=límk0f(x,y+k,z)f(x,y,z)k.
(4.15)

La derivada parcial de ff con respecto a z,z, escrita como f/z,f/z, o fz,fz, se define como

fz=límm0f(x,y,z+m)f(x,y,z)m.fz=límm0f(x,y,z+m)f(x,y,z)m.
(4.16)

Podemos calcular una derivada parcial de una función de tres variables usando la misma idea que usamos para una función de dos variables. Por ejemplo, si tenemos una función ff de x,y,yz,x,y,yz, y queremos calcular f/x,f/x, entonces tratamos las otras dos variables independientes como si fueran constantes, luego diferenciamos con respecto a x.x.

Ejemplo 4.17

Calcular las derivadas parciales de una función de tres variables

Utilice la definición de límite de las derivadas parciales para calcular f/xf/x para la función

f(x,y,z)=x2 3xy+2 y2 4xz+5yz2 12x+4y3z.f(x,y,z)=x2 3xy+2 y2 4xz+5yz2 12x+4y3z.

Luego, calcule f/yf/y y f/zf/z estableciendo las otras dos variables constantes y diferenciando como corresponda.

Punto de control 4.15

Utilice la definición de límite de las derivadas parciales para calcular f/xf/x para la función

f(x,y,z)=2 x2 4x2 y+2 y2 +5xz2 6x+3z8.f(x,y,z)=2 x2 4x2 y+2 y2 +5xz2 6x+3z8.

Luego calcule f/yf/y y f/zf/z estableciendo las otras dos variables constantes y diferenciando como corresponda.

Ejemplo 4.18

Calcular las derivadas parciales de una función de tres variables

Calcule las tres derivadas parciales de las siguientes funciones.

  1. f(x,y,z)=x2 y4xz+y2 x3yzf(x,y,z)=x2 y4xz+y2 x3yz
  2. g(x,y,z)=sen(x2 yz)+cos(x2 yz)g(x,y,z)=sen(x2 yz)+cos(x2 yz)

Punto de control 4.16

Calcule f/x,f/x, f/y,f/y, y f/zf/z para la función f(x,y,z)=sec(x2 y)tan(x3yz2 ).f(x,y,z)=sec(x2 y)tan(x3yz2 ).

Derivadas parciales de orden superior

Considere la función

f(x,y)=2 x34xy2 +5y36xy+5x4y+12.f(x,y)=2 x34xy2 +5y36xy+5x4y+12.

Sus derivadas parciales son

fx=6x2 4y2 6y+5yfy=−8xy+15y2 6x4.fx=6x2 4y2 6y+5yfy=−8xy+15y2 6x4.

Cada una de estas derivadas parciales es una función de dos variables, por lo que podemos calcular las derivadas parciales de estas funciones. Al igual que con las derivadas de funciones de una sola variable, podemos llamarlas derivadas de segundo orden, de tercer orden, etc. En general, se denominan derivadas parciales de orden superior. Hay cuatro derivadas parciales de segundo orden para cualquier función (siempre que existan todas):

2 fx2 =x[fx], 2 fxy= x[fy], 2 fyx=y[fx],2 fy2 =y[fy].2 fx2 =x[fx], 2 fxy= x[fy], 2 fyx=y[fx],2 fy2 =y[fy].

Una notación alternativa para cada una es fxx,fyx,fxy,fxx,fyx,fxy, y fyy,fyy, respectivamente. Las derivadas parciales de orden superior calculadas con respecto a diferentes variables, como fxyfxy y fyx,fyx, se denominan comúnmente derivadas parciales mixtas.

Ejemplo 4.19

Calcular derivadas parciales de segundo orden

Calcule las cuatro derivadas parciales de segundo orden de la función

f(x,y)=xe−3y+sen(2 x5y).f(x,y)=xe−3y+sen(2 x5y).

Punto de control 4.17

Calcule las cuatro derivadas parciales de segundo orden de la función

f(x,y)=sen(3x2 y)+cos(x+4y).f(x,y)=sen(3x2 y)+cos(x+4y).

En este punto debemos observar que, tanto en el Ejemplo 4.19 como en el punto de control, era cierto que 2 f/xy=2 f/yx.2 f/xy=2 f/yx. En ciertas condiciones, esto es siempre cierto. De hecho, es una consecuencia directa del siguiente teorema.

Teorema 4.5

Igualdad de las derivadas parciales mixtas (teorema de Clairaut)

Supongamos que f(x,y)f(x,y) se define en un disco abierto DD que contiene el punto (a,b).(a,b). Si las funciones fxyfxy y fyxfyx son continuas en D,D, entonces fxy=fyx.fxy=fyx.

El teorema de Clairaut garantiza que mientras las derivadas mixtas de segundo orden sean continuas, no importa el orden en el que elijamos diferenciar las funciones (es decir, qué variable va primero, luego de segunda, y así sucesivamente). También puede extenderse a las derivadas de orden superior. La demostración del teorema de Clairaut se puede encontrar en la mayoría de los libros de cálculo avanzado.

Se pueden calcular otras dos derivadas parciales de segundo orden para cualquier función f(x,y).f(x,y). La derivada parcial fxxfxx es igual a la derivada parcial de fxfx con respecto a x,x, y fyyfyy es igual a la derivada parcial de fyfy con respecto a y.y.

Ecuaciones diferenciales parciales

En Introducción a las ecuaciones diferenciales, estudiamos las ecuaciones diferenciales en las que la función desconocida tenía una variable independiente. Una ecuación diferencial parcial es una ecuación que implica una función desconocida de más de una variable independiente y una o más de sus derivadas parciales. Algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales parciales son

ut=c2 (uxx+uyy)ut=c2 (uxx+uyy)
(4.17)

(ecuación del calor en dos dimensiones)

utt=c2 (uxx+uyy)utt=c2 (uxx+uyy)
(4.18)

(ecuación de onda en dos dimensiones)

uxx+uyy=0uxx+uyy=0
(4.19)

(ecuación de Laplace en dos dimensiones)

En las dos primeras ecuaciones, la función desconocida uu tiene tres variables independientes,t,x,yyt,x,yy, y cc es una constante arbitraria. Las variables independientes xyyxyy se consideran variables espaciales, y la variable tt representa el tiempo. En la ecuación de Laplace, la función desconocida uu tiene dos variables independientes xyy.xyy.

Ejemplo 4.20

Una solución a la ecuación de onda

Verifique que

u(x,y,t)=5sen(3πx)sen(4πy)cos(10πt)u(x,y,t)=5sen(3πx)sen(4πy)cos(10πt)

es una solución a la ecuación de onda

utt=4(uxx+uyy).utt=4(uxx+uyy).
(4.20)

Punto de control 4.18

Verifique que u(x,y,t)=2 sen(x3)sen(y4)e−25t/16u(x,y,t)=2 sen(x3)sen(y4)e−25t/16 es una solución a la ecuación del calor

ut=9(uxx+uyy).ut=9(uxx+uyy).
(4.21)

Dado que la solución de la ecuación del calor bidimensional es una función de tres variables, no es fácil crear una representación visual de la solución. Podemos graficar la solución para valores fijos de t, lo que equivale a cantidades de imágenes instantáneas de las distribuciones de calor en tiempos fijos. Estas imágenes instantáneas muestran cómo se distribuye el calor en una superficie bidimensional a medida que avanza el tiempo. El gráfico de la solución anterior en el tiempo t=0t=0 aparece en la siguiente figura. A medida que avanza el tiempo, los extremos se nivelan, acercándose a cero cuando t se acerca al infinito.

Una curva complicada en el espacio xyz con muchos máximos y mínimos locales alternados sinusoidalmente.
Figura 4.23

Si consideramos la ecuación del calor en una dimensión, es posible graficar la solución en el tiempo. La ecuación del calor en una dimensión se convierte en

ut=c2 uxx,ut=c2 uxx,

donde c2 c2 representa la difusividad térmica del material en cuestión. La solución de esta ecuación diferencial se puede escribir de la forma

uma(x,t)=eπ2 m2 c2 tsen(mπx)uma(x,t)=eπ2 m2 c2 tsen(mπx)
(4.22)

donde mm es cualquier número entero positivo. Un gráfico de esta solución utilizando m=1m=1 aparece en la Figura 4.24, donde la distribución inicial de la temperatura sobre un cable de longitud 11 viene dada por u(x,0)=senπx.u(x,0)=senπx. Observe que, a medida que avanza el tiempo, el cable se enfría. Esto se ve porque, de izquierda a derecha, la temperatura más alta (que se produce en el centro del cable) disminuye y cambia de color de rojo a azul.

Una curva en el espacio xtu con un máximo en (0,5, 0, 12). A partir de este máximo, los valores disminuyen al aumentar t y para cualquier valor de x.
Figura 4.24 Gráfico de una solución de la ecuación del calor en una dimensión a lo largo del tiempo.

Proyecto de estudiante

Lord Kelvin y la edad de la Tierra

Esta figura está formada por dos figuras marcadas como a y b. La figura a muestra a Lord Kelvin, bien vestido y con barba. La figura b muestra una imagen del planeta Tierra tomada desde el espacio.
Figura 4.25 (a) William Thomson (Lord Kelvin), 1824-1907, fue un físico e ingeniero eléctrico británico; (b) Kelvin utilizó la ecuación de difusión del calor para estimar la edad de la Tierra (créditos: modificación del trabajo de la NASA).

A finales del siglo XIX, los científicos del nuevo campo de la geología llegaron a la conclusión de que la Tierra debía tener "millones y millones" de años. Más o menos al mismo tiempo, Charles Darwin había publicado su tratado sobre la evolución. La opinión de Darwin era que la evolución necesitaba muchos millones de años para producirse, e hizo la audaz afirmación de que los campos de tiza del Weald, donde se encontraron importantes fósiles, eran el resultado de 300300 millones de años de erosión.

En aquella época, el eminente físico William Thomson (Lord Kelvin) utilizó una importante ecuación diferencial parcial, conocida como ecuación de difusión del calor, para estimar la edad de la Tierra determinando el tiempo que tardaría la Tierra en enfriarse desde la roca fundida hasta lo que teníamos en ese momento. Su conclusión fue un rango de 20para40020para400 millones de años, pero lo más probable es que 5050 millones de años. Durante muchas décadas, las proclamas de este ícono irrefutable de la ciencia no sentaron bien a los geólogos ni a Darwin.

Medios

Lea el artículo de Kelvin sobre la estimación de la edad de la Tierra.

Kelvin hizo suposiciones razonables basadas en lo que se sabía en su época, pero también hizo varias suposiciones que resultaron ser erróneas. Una de las suposiciones incorrectas era que la Tierra es sólida y que, por tanto, el enfriamiento se producía únicamente por conducción, lo que justificaba el uso de la ecuación de difusión. Pero el error más grave fue uno perdonable: la omisión del hecho de que la Tierra contiene elementos radioactivos que suministran continuamente calor bajo el manto terrestre. El descubrimiento de la radioactividad llegó casi al final de la vida de Kelvin y este reconoció que su cálculo tendría que ser modificado.

Kelvin utilizó el sencillo modelo unidimensional aplicado solo a la capa exterior de la Tierra, y derivó la edad a partir de gráficos y del gradiente de temperatura aproximadamente conocido cerca de la superficie terrestre. Veamos una versión más adecuada de la ecuación de difusión en coordenadas radiales, que tiene la forma

Tt=K[2 T2 r+2 rTr].Tt=K[2 T2 r+2 rTr].
(4.23)

Aquí, T(r,t)T(r,t) es la temperatura como una función de rr (medido desde el centro de la Tierra) y el tiempo t.t. KK es la conductividad térmica, en este caso de la roca fundida. El método estándar para resolver una ecuación diferencial parcial de este tipo es por separación de variables, donde expresamos la solución como el producto de funciones que contienen cada variable por separado. En este caso, escribiríamos la temperatura como

T(r,t)=R(r)f(t).T(r,t)=R(r)f(t).
  1. Sustituya esta forma en la Ecuación 4.13 y, observando que f(t)f(t) es constante con respecto a la distancia (r)(r) y R(r)R(r) es constante con respecto al tiempo (t),(t), demuestre que
    1fft=KR[2 Rr2 +2 rRr].1fft=KR[2 Rr2 +2 rRr].
  2. Esta ecuación representa la separación de variables que queremos. El lado izquierdo es solo una función de tt y el lado derecho es solo una función de r,r, y deben ser iguales para todos los valores de ryt.ryt. Por lo tanto, ambos deben ser iguales a una constante. Llamemos a esa constante λ2 .λ2 . (La conveniencia de esta elección se ve en la sustitución). Por lo tanto, tenemos
    1fft=λ2 yKR[2 Rr2 +2 rRr]=λ2 .1fft=λ2 yKR[2 Rr2 +2 rRr]=λ2 .

    Ahora, podemos verificar mediante la sustitución directa de cada ecuación que las soluciones son f(t)=Aeλ2 tf(t)=Aeλ2 t y R(r)=B(senαrr)+C(cosαrr),R(r)=B(senαrr)+C(cosαrr), donde α=λ/K.α=λ/K. Observe que f(t)=Ae+λn2 tf(t)=Ae+λn2 t también es una solución válida, por lo que podríamos elegir +λ2 +λ2 para nuestra constante. ¿Puede ver por qué no sería válido para este caso al aumentar el tiempo?
  3. Apliquemos ahora las condiciones de frontera.
    1. La temperatura debe ser finita en el centro de la Tierra, r=0.r=0. ¿Cuál de las dos constantes, BB o C,C, debe ser, por tanto, cero para mantener RR finito en r=0?r=0? (Recordemos que sen(αr)/rα=sen(αr)/rα= a medida que r0,r0, pero cos(αr)/rcos(αr)/r se comporta de manera muy diferente).
    2. Kelvin argumentó que cuando el magma llega a la superficie de la Tierra, se enfría muy rápidamente. A menudo, una persona puede tocar la superficie a las pocas semanas del flujo. Por lo tanto, la superficie alcanzó una temperatura moderada muy pronto y se mantuvo casi constante a una temperatura superficial Ts.Ts. Para simplificar, supongamos que T=0ar=RET=0ar=RE y halle αα de tal manera que esta es la temperatura allí para todo el tiempo t.t. (Kelvin tomó el valor como 300K80 °F.300K80 °F. Podemos añadir esta constante de 300K300K a nuestra solución más adelante). Para que esto sea cierto, el argumento del seno debe ser cero en r=RE.r=RE. Observe que αα tiene una serie infinita de valores que satisfacen esta condición. Cada valor de αα representa una solución válida (cada una con su propio valor para A).A). La solución total o general es la suma de todas estas soluciones.
    3. A t=0,t=0, suponemos que toda la Tierra estaba a una temperatura inicial caliente T0T0 (Kelvin consideró que se trataba de 7.000K.)7.000K.) La aplicación de esta condición de frontera implica la aplicación más avanzada de los coeficientes de Fourier. Como se indica en la parte b. cada valor de αnαn representa una solución válida, y la solución general es una suma de todas estas soluciones. El resultado es una solución en serie:
      T(r,t)=(T0REπ)n(–1)n1neλn2 tsen(αnr)r,dondeαn=nπ/RE.T(r,t)=(T0REπ)n(–1)n1neλn2 tsen(αnr)r,dondeαn=nπ/RE.

Observe cómo los valores de αnαn provienen de la condición de frontera aplicada en la parte b. El término 1n1n1n1n es la constante AnAn para cada término de la serie, determinado a partir de la aplicación del método de Fourier. Suponiendo que β=πRE,β=πRE, examine los primeros términos de esta solución que se muestra aquí y observe cómo λ2 λ2 en la exponencial hace que los términos superiores disminuyan rápidamente a medida que avanza el tiempo:

T(r,t)=T0REπr(eKβ2 t(senβr)12 e−4Kβ2 t(sen2 βr)+13e−9Kβ2 t(sen3βr)14e−16Kβ2 t(sen4βr)+15e−25Kβ2 t(sen5βr)...).T(r,t)=T0REπr(eKβ2 t(senβr)12 e−4Kβ2 t(sen2 βr)+13e−9Kβ2 t(sen3βr)14e−16Kβ2 t(sen4βr)+15e−25Kβ2 t(sen5βr)...).

Cerca al tiempo t=0,t=0, muchos términos de la solución son necesarios para la exactitud. Insertar los valores de la conductividad KK y β=π/REβ=π/RE para el tiempo que se aproxima meramente a los miles de años, solo los primeros términos hacen una contribución significativa. Kelvin solo tuvo que observar la solución cerca de la superficie de la Tierra (Figura 4.26) y, después de mucho tiempo, determinar qué tiempo daba mejor resultado que el gradiente de temperatura estimado conocido durante su época (1°F(1°F por 50pies).50pies). Simplemente eligió un rango de tiempos con un gradiente cercano a este valor. En la Figura 4.26, las soluciones se trazan y escalan, con 300K300K, la temperatura de la superficie añadida. Observe que el centro de la Tierra estaría relativamente frío. En ese momento, se pensaba que la Tierra debía ser sólida.

Esta figura se compone de dos figuras marcadas como a y b. La figura a muestra tres curvas marcadas como 20, 50 y 200 millones de años en un gráfico que muestra la fracción del radio de la Tierra versus temperatura (K). La curva más alta es la de 20 millones, luego la de 50 millones y después la de 200 millones, y todas ellas comienzan con una pendiente ligeramente decreciente hasta que la pendiente disminuye de forma más pronunciada alrededor de x = 0,2 y luego todas se intersecan aproximadamente en (1, 315). La figura b muestra un acercamiento cerca de (1, 315) con el eje x marcado a 4,0 millas por debajo de la superficie de la Tierra; las curvas parecen todas lineales en este acercamiento, con las pendientes aumentando a medida que lo hace el valor de la curva.
Figura 4.26 Temperatura versus distancia radial desde el centro de la Tierra. (a) Resultados de Kelvin, trazados a escala. (b) Un acercamiento de los resultados a una profundidad de 4,0 mi 4,0 mi debajo de la superficie de la Tierra.

Epílogo

El 20de mayo de1904,20de mayo de1904, el físico Ernest Rutherford habló en la Royal Institution para anunciar un cálculo revisado que incluía la contribución de la radioactividad como fuente de calor de la Tierra. En palabras del propio Rutherford:

"Entré en la sala, que estaba medio oscura, y enseguida vi a Lord Kelvin entre el público, y me di cuenta de que me iba a meter en un lío en la última parte de mi discurso sobre la edad de la Tierra, en la que mis opiniones entraban en conflicto con las suyas. Para mi alivio, Kelvin se quedó profundamente dormido, pero cuando llegué al punto importante, vi que el viejo pájaro se incorporaba, abría un ojo y me lanzaba una mirada funesta.

Entonces llegó una inspiración repentina y dije que Lord Kelvin había limitado la edad de la Tierra, siempre que no se descubriera una nueva fuente [de calor]. Esa expresión profética se refería a lo que estamos considerando esta noche, ¡el radio! ¡Contemplen! El anciano me sonrió".

Rutherford calculó una edad para la Tierra de aproximadamente 500500 millones de años. El valor aceptado hoy en día de la edad de la Tierra es de aproximadamente 4,64,6 mil millones de años.

Sección 4.3 ejercicios

En los siguientes ejercicios, calcule la derivada parcial utilizando únicamente las definiciones de límite.

112.

zxzx por z=x2 3xy+y2 z=x2 3xy+y2

113.

zyzy por z=x2 3xy+y2 z=x2 3xy+y2

En los siguientes ejercicios, calcule el signo de la derivada parcial utilizando el gráfico de la superficie.

Un paraboloide parcial con vértice en el origen y apuntando hacia arriba.
114.

fx(1,1)fx(1,1) grandes.

115.

f x ( –1 , 1 ) f x ( –1 , 1 )

116.

fy(1,1)fy(1,1) grandes.

117.

f x ( 0 , 0 ) f x ( 0 , 0 )

En los siguientes ejercicios, calcule las derivadas parciales.

118.

zxzx por z=sen(3x)cos(3y)z=sen(3x)cos(3y) grandes.

119.

zyzy por z=sen(3x)cos(3y)z=sen(3x)cos(3y) grandes.

120.

zxzx y zyzy por z=x8e3yz=x8e3y

121.

zxzx y zyzy por z=ln(x6+y4)z=ln(x6+y4) grandes.

122.

Calcule fy(x,y)fy(x,y) por f(x,y)=exycos(x)sen(y).f(x,y)=exycos(x)sen(y).

123.

Supongamos que z=exy.z=exy. Calcule zxzx y zy.zy.

124.

Supongamos que z=ln(xy).z=ln(xy). Calcule zxzx y zy.zy.

125.

Supongamos que z=tan(2 xy).z=tan(2 xy). Calcule zxzx y zy.zy.

126.

Supongamos que z=senoh(2 x+3y).z=senoh(2 x+3y). Calcule zxzx y zy.zy.

127.

Supongamos que f(x,y)=arctan(yx).f(x,y)=arctan(yx). Evalúe fx(2 ,–2)fx(2 ,–2) y fy(2 ,–2).fy(2 ,–2).

128.

Supongamos que f(x,y)=xyxy.f(x,y)=xyxy. Calcule fx(2 ,–2)fx(2 ,–2) y fy(2 ,–2).fy(2 ,–2).

Evalúe las derivadas parciales en el punto P(0,1).P(0,1).

129.

Calcule zxzx a las (0,1)(0,1) por z=excos(y).z=excos(y).

130.

Dado que f(x,y,z)=x3yz2 ,f(x,y,z)=x3yz2 , calcule 2 fxy2 fxy y fz(1,1,1).fz(1,1,1).

131.

Dado que f(x,y,z)=2 sen(x+y),f(x,y,z)=2 sen(x+y), calcule fx(0,π2 ,–4),fx(0,π2 ,–4), fy(0,π2 ,–4),fy(0,π2 ,–4), y fz(0,π2 ,–4).fz(0,π2 ,–4).

132.

El área de un paralelogramo con longitudes laterales adyacentes que son ayb,ayb, y en el que el ángulo entre estos dos lados es θ,θ, viene dada por la función A(a,b,θ)=basen(θ).A(a,b,θ)=basen(θ). Calcule la tasa de cambio del área del paralelogramo con respecto a lo siguiente:

  1. Lado a
  2. Lado b
  3. ÁnguloθÁnguloθ
133.

Exprese el volumen de un cilindro circular recto en función de dos variables:

  1. su radio rr y su altura h.h.
  2. Demuestre que la tasa de cambio del volumen del cilindro con respecto a su radio es el producto de su circunferencia por su altura.
  3. Demuestre que la tasa de cambio del volumen del cilindro con respecto a su altura es igual al área de la base circular.
134.

Calcule wzwz por w=zsen(xy2 +2 z).w=zsen(xy2 +2 z).

Halle las derivadas parciales de orden superior indicadas.

135.

fxyfxy por z=ln(xy)z=ln(xy) grandes.

136.

fyxfyx por z=ln(xy)z=ln(xy)

137.

Supongamos que z=x2 +3xy+2 y2 .z=x2 +3xy+2 y2 . Calcule 2 zx2 2 zx2 y 2 zy2 .2 zy2 .

138.

Dados z=extany,z=extany, calcule 2 zxy2 zxy y 2 zyx.2 zyx.

139.

Dado que f(x,y,z)=xyz,f(x,y,z)=xyz, calcule fxyy,fyxy,fxyy,fyxy, y fyyx.fyyx.

140.

Dado que f(x,y,z)=e−2xsen(z2 y),f(x,y,z)=e−2xsen(z2 y), demuestre que fxyy=fyxy.fxyy=fyxy.

141.

Demuestre que z=12 (eyey)senxz=12 (eyey)senx es una solución de la ecuación diferencial 2 zx2 +2 zy2 =0.2 zx2 +2 zy2 =0.

142.

Calcule fxx(x,y)fxx(x,y) por f(x,y)=4x2 y+y2 2 x.f(x,y)=4x2 y+y2 2 x.

143.

Supongamos que f(x,y,z)=x2 y3z3xy2 z3+5x2 zy3z.f(x,y,z)=x2 y3z3xy2 z3+5x2 zy3z. Calcule fxyz.fxyz.

144.

Supongamos que F(x,y,z)=x3yz2 2 x2 yz+3xz2 y3z.F(x,y,z)=x3yz2 2 x2 yz+3xz2 y3z. Calcule Fxyz.Fxyz.

145.

Dado que f(x,y)=x2 +x3xy+y35,f(x,y)=x2 +x3xy+y35, calcule todos los puntos en los que fx=fy=0fx=fy=0 simultáneamente.

146.

Dado que f(x,y)=2 x2 +2 xy+y2 +2 x3,f(x,y)=2 x2 +2 xy+y2 +2 x3, calcule todos los puntos en los que fx=0fx=0 y fy=0fy=0 simultáneamente.

147.

Dados f(x,y)=y33yx2 3y2 3x2 +1,f(x,y)=y33yx2 3y2 3x2 +1, calcule todos los puntos en ff en los que fx=fy=0fx=fy=0 simultáneamente.

148.

Dado que f(x,y)=15x33xy+15y3,f(x,y)=15x33xy+15y3, calcule todos los puntos en los que fx(x,y)=fy(x,y)=0fx(x,y)=fy(x,y)=0 simultáneamente.

149.

Demuestre que z=exsenyz=exseny satisface la ecuación 2 zx2 +2 zy2 =0.2 zx2 +2 zy2 =0.

150.

Demuestre que f(x,y)=ln(x2 +y2 )f(x,y)=ln(x2 +y2 ) resuelve la ecuación de Laplace 2 zx2 +2 zy2 =0.2 zx2 +2 zy2 =0.

151.

Demuestre que z=etcos(xc)z=etcos(xc) satisface la ecuación del calor zt=etcos(xc).zt=etcos(xc).

152.

Halle límΔx0f(x+Δx)f(x,y)ΔxlímΔx0f(x+Δx)f(x,y)Δx por f(x,y)=−7x2 xy+7y.f(x,y)=−7x2 xy+7y.

153.

Halle límΔy0f(x,y+Δy)f(x,y)ΔylímΔy0f(x,y+Δy)f(x,y)Δy por f(x,y)=−7x2 xy+7y.f(x,y)=−7x2 xy+7y.

154.

Halle límΔx0ΔfΔx=límΔx0f(x+Δx,y)f(x,y)ΔxlímΔx0ΔfΔx=límΔx0f(x+Δx,y)f(x,y)Δx por f(x,y)=x2 y2 +xy+y.f(x,y)=x2 y2 +xy+y.

155.

Halle límΔx0ΔfΔx=límΔx0f(x+Δx,y)f(x,y)ΔxlímΔx0ΔfΔx=límΔx0f(x+Δx,y)f(x,y)Δx por f(x,y)=sen(xy).f(x,y)=sen(xy).

156.

La función P(T,V)=nRTVP(T,V)=nRTV da la presión en un punto de un gas en función de la temperatura TT y el volumen V.V. Las letras nyRnyR son constantes. Calcule PVPV y PT,PT, y explique lo que representan estas cantidades.

157.

La ecuación del flujo de calor en el plano xy xy es ft=2 fx2 +2 fy2 .ft=2 fx2 +2 fy2 . Demuestre que f(x,y,t)=e−2tsenxsenyf(x,y,t)=e−2tsenxseny es una solución.

158.

La ecuación de onda básica es ftt=fxx.ftt=fxx. Verifique que f(x,t)=sen(x+t)f(x,t)=sen(x+t) y f(x,t)=sen(xt)f(x,t)=sen(xt) son soluciones.

159.

La ley de los cosenos se puede considerar como una función de tres variables. Supongamos que x,y,x,y, y θθ sean dos lados de cualquier triángulo en el que el ángulo θθ es el ángulo incluido entre los dos lados. Entonces, F(x,y,θ)=x2 +y2 2 xycosθF(x,y,θ)=x2 +y2 2 xycosθ da el cuadrado del tercer lado del triángulo. Calcule FθFθ y FxFx cuando x=2 ,y=3,x=2 ,y=3, y θ=π6.θ=π6.

160.

Supongamos que los lados de un rectángulo cambian con respecto al tiempo. El primer lado está cambiando a un ritmo de 2 2 in/s mientras que el segundo lado está cambiando a la velocidad de 44 in/s. ¿Qué tan rápido cambia la diagonal del rectángulo cuando el primer lado mide 1616 in y el segundo lado mide 2020 in? (Redondee la respuesta a tres decimales).

161.

Una función de producción Cobb-Douglas es f(x,y)=200x0,7y0,3,f(x,y)=200x0,7y0,3, donde xyyxyy representan la cantidad de mano de obra y capital disponibles. Supongamos que x=500x=500 y y=1.000.y=1.000. Calcule δfδxδfδx y δfδyδfδy para estos valores, que representan la productividad marginal del trabajo y del capital, respectivamente.

162.

El índice de temperatura aparente es una medida de cómo se siente la temperatura, y se basa en dos variables h,h, que es la humedad relativa y t,t, que es la temperatura del aire.

A=0,885t22,4h+1,20th0,544.A=0,885t22,4h+1,20th0,544. Calcule AtAt y AhAh cuando t=20 °Ft=20 °F y h=0,90.h=0,90.

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