Gilbert Strang; Edwin “Jed” Herman

Objetivos de aprendizaje

4.4.1 Determinar la ecuación de un plano tangente a una superficie dada en un punto.
4.4.2 Utilizar el plano tangente para aproximar una función de dos variables en un punto.
4.4.3 Explicar cuándo una función de dos variables es diferenciable.
4.4.4 Utilizar la diferencial total para aproximar el cambio de una función de dos variables.

En esta sección consideramos el problema de hallar el plano tangente a una superficie, que es análogo a hallar la ecuación de una línea tangente a una curva cuando esta está definida por el gráfico de una función de una variable, $y = f (x) .$ La pendiente de la línea tangente en el punto $x = a$ viene dada por $m = f' (a);$ ¿cuál es la pendiente de un plano tangente? Aprendimos sobre la ecuación de un plano en Ecuaciones de líneas y planos en el espacio; en esta sección, vemos cómo se puede aplicar al problema que nos ocupa.

Planos tangentes

Intuitivamente, parece claro que, en un plano, solo una línea puede ser tangente a una curva en un punto. Sin embargo, en el espacio tridimensional, muchas líneas pueden ser tangentes a un punto determinado. Si estas líneas se encuentran en el mismo plano, determinan el plano tangente en ese punto. Un plano tangente a un punto regular contiene todas las líneas tangentes a ese punto. Una forma más intuitiva de pensar en un plano tangente es suponer que la superficie es lisa en ese punto (sin esquinas). Entonces, una línea tangente a la superficie en ese punto en cualquier dirección no tiene cambios bruscos de pendiente porque la dirección cambia suavemente.

Definición

Supongamos que $P_{0} = (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ es un punto de una superficie $S,$ y supongamos que $C$ es cualquier curva que pase por $P_{0}$ y que se encuentra totalmente en $S .$ Si las líneas tangentes a todas esas curvas $C$ a las $P_{0}$ se encuentran en el mismo plano, entonces este plano se llama plano tangente a $S$ a las $P_{0}$ (Figura 4.27).

Se muestra una superficie S con un punto P0 = (x0, y0, z0). En S se muestran dos curvas que se intersecan que pasan por P0. Para cada una de estas curvas se trazan tangentes en P0, y estas líneas tangentes crean un plano, a saber, el plano tangente en P0.

Figura 4.27 El plano tangente a una superficie

S

en un punto

P_{0}

contiene todas las líneas tangentes a las curvas en

S

que pasan por

P_{0} .

Para que exista un plano tangente a una superficie en un punto de la misma, basta con que la función que define la superficie sea diferenciable en ese punto, definido más adelante en esta sección. Definimos aquí el término plano tangente y luego exploramos la idea de forma intuitiva.

Definición

Supongamos que $S$ es una superficie definida por una función diferenciable $z = f (x, y),$ y supongamos que $P_{0} = (x_{0}, y_{0})$ es un punto en el dominio de $f .$ Entonces, la ecuación del plano tangente a $S$ a las $P_{0}$ está dada por

z = f (x_{0}, y_{0}) + f_{x} (x_{0}, y_{0}) (x - x_{0}) + f_{y} (x_{0}, y_{0}) (y - y_{0}) .

(4.24)

Para ver por qué esta fórmula es correcta, hallemos primero dos líneas tangentes a la superficie $S .$ La ecuación de la línea tangente a la curva que está representada por la intersección de $S$ con la traza vertical dada por $x = x_{0}$ ¿es $z = f (x_{0}, y_{0}) + f_{y} (x_{0}, y_{0}) (y - y_{0}) .$ Igualmente, la ecuación de la línea tangente a la curva que está representada por la intersección de $S$ con la traza vertical dada por $y = y_{0}$ ¿es $z = f (x_{0}, y_{0}) + f_{x} (x_{0}, y_{0}) (x - x_{0}) .$ Un vector paralelo a la primera línea tangente es $a = j + f_{y} (x_{0}, y_{0}) k;$ un vector paralelo a la segunda línea tangente es $b = i + f_{x} (x_{0}, y_{0}) k .$ Podemos tomar el producto vectorial de estos dos vectores:

\begin{matrix} a \times b & = (j + f_{y} (x_{0}, y_{0}) k) \times (i + f_{x} (x_{0}, y_{0}) k) \\ = | \begin{matrix} i & j & k \\ 0 & 1 & f_{y} (x_{0}, y_{0}) \\ 1 & 0 & f_{x} (x_{0}, y_{0}) \end{matrix} | \\ = f_{x} (x_{0}, y_{0}) i + f_{y} (x_{0}, y_{0}) j - k . \end{matrix}

Este vector es perpendicular a ambas líneas y, por tanto, es perpendicular al plano tangente. Podemos utilizar este vector como vector normal al plano tangente, junto con el punto $P_{0} = (x_{0}, y_{0}, f (x_{0}, y_{0}))$ en la ecuación de un plano:

\begin{matrix} n . ((x - x_{0}) i + (y - y_{0}) j + (z - f (x_{0}, y_{0})) k) & = & 0 \\ (f_{x} (x_{0}, y_{0}) i + f_{y} (x_{0}, y_{0}) j – k) . ((x - x_{0}) i + (y - y_{0}) j + (z - f (x_{0}, y_{0})) k) & = & 0 \\ f_{x} (x_{0}, y_{0}) (x - x_{0}) + f_{y} (x_{0}, y_{0}) (y - y_{0}) - (z - f (x_{0}, y_{0})) & = & 0 . \end{matrix}

Resolviendo esta ecuación para $z$ nos da la Ecuación 4.24.

Ejemplo 4.21

Hallar un plano tangente

Halle la ecuación del plano tangente a la superficie definida por la función $f (x, y) = 2 x^{2} - 3 x y + 8 y^{2} + 2 x - 4 y + 4$ en el punto $(2, –1) .$

Solución

En primer lugar, debemos calcular $f_{x} (x, y)$ y $f_{y} (x, y),$ y luego utilice la Ecuación 4.24 con $x_{0} = 2$ y $y_{0} = −1 :$

\begin{matrix} f_{x} (x, y) & = & 4 x - 3 y + 2 \\ f_{y} (x, y) & = & −3 x + 16 y - 4 \\ f (2, –1) & = & 2 {(2)}^{2} - 3 (2) (–1) + 8 {(–1)}^{2} + 2 (2) - 4 (–1) + 4 = 34. \\ f_{x} (2, –1) & = & 4 (2) - 3 (–1) + 2 = 13 \\ f_{y} (2, –1) & = & −3 (2) + 16 (–1) - 4 = −26. \end{matrix}

Entonces la Ecuación 4.24 se convierte en

\begin{matrix} z = f (x_{0}, y_{0}) + f_{x} (x_{0}, y_{0}) (x - x_{0}) + f_{y} (x_{0}, y_{0}) (y - y_{0}) \\ z = 34 + 13 (x - 2) - 26 (y - (–1)) \\ z = 34 + 13 x - 26 - 26 y - 26 \\ z = 13 x - 26 y - 18. \end{matrix}

(Vea la siguiente figura).

Una superficie curva f(x, y) = 2x2 - 3xy + 8y2 + 2x + 4y + 4 con un plano tangente z = 13x - 26y - 18 en el punto (2, -1, 34).

Figura 4.28 Calculando la ecuación de un plano tangente a una superficie dada en un punto determinado.

Punto de control 4.19

Halle la ecuación del plano tangente a la superficie definida por la función $f (x, y) = x^{3} - x^{2} y + y^{2} - 2 x + 3 y - 2$ en el punto $(–1, 3) .$

Ejemplo 4.22

Hallar otro plano tangente

Halle la ecuación del plano tangente a la superficie definida por la función $f (x, y) = sen (2 x) cos (3 y)$ en el punto $(π / 3, π / 4) .$

Solución

En primer lugar, calcule $f_{x} (x, y)$ y $f_{y} (x, y),$ y luego utilice la Ecuación 4.24 con $x_{0} = π / 3$ y $y_{0} = π / 4 :$

\begin{matrix} f_{x} (x, y) & = & 2 cos (2 x) cos (3 y) \\ f_{y} (x, y) & = & −3 sen (2 x) sen (3 y) \\ f (\frac{π}{3}, \frac{π}{4}) & = & sen (2 (\frac{π}{3})) cos (3 (\frac{π}{4})) = (\frac{\sqrt{3}}{2}) (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{\sqrt{6}}{4} \\ f_{x} (\frac{π}{3}, \frac{π}{4}) & = & 2 cos (2 (\frac{π}{3})) cos (3 (\frac{π}{4})) = 2 (- \frac{1}{2}) (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \\ f_{y} (\frac{π}{3}, \frac{π}{4}) & = & −3 sen (2 (\frac{π}{3})) sen (3 (\frac{π}{4})) = −3 (\frac{\sqrt{3}}{2}) (\frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{6}}{4} . \end{matrix}

Entonces la Ecuación 4.24 se convierte en

\begin{matrix} z = f (x_{0}, y_{0}) + f_{x} (x_{0}, y_{0}) (x - x_{0}) + f_{y} (x_{0}, y_{0}) (y - y_{0}) \\ z = - \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} (x - \frac{π}{3}) - \frac{3 \sqrt{6}}{4} (y - \frac{π}{4}) \\ z = \frac{\sqrt{2}}{2} x - \frac{3 \sqrt{6}}{4} y - \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{π \sqrt{2}}{6} + \frac{3 π \sqrt{6}}{16} . \end{matrix}

Un plano tangente a una superficie no siempre existe en todos los puntos de la superficie. Considere la función

f (x, y) = {\begin{matrix} \frac{x y}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} & (x, y) \neq (0, 0) \\ 0 & (x, y) = (0, 0) . \end{matrix}

A continuación se muestra el gráfico de esta función.

Una superficie curva que pasa por (0, 0, 0) y que se pliega a ambos lados del eje z.

Figura 4.29 Gráfico de una función que no tiene plano tangente en el origen.

Si $x = 0$ o $y = 0,$ entonces $f (x, y) = 0,$ para que el valor de la función no cambie ni en el eje x ni en el eje y. Por lo tanto, $f_{x} (x, 0) = f_{y} (0, y) = 0,$ así como $x i y$ se acercan a cero, estas derivadas parciales se mantienen iguales a cero. Sustituyéndolas en la Ecuación 4.24 se obtiene $z = 0$ como la ecuación de la línea tangente. Sin embargo, si nos acercamos el origen desde una dirección diferente, obtenemos una historia distinta. Por ejemplo, supongamos que nos acercamos al origen por la línea $y = x .$ Si ponemos $y = x$ en la función original, se convierte en

f (x, x) = \frac{x (x)}{\sqrt{x^{2} + {(x)}^{2}}} = \frac{x^{2}}{\sqrt{2 x^{2}}} = \frac{| x |}{\sqrt{2}} .

Cuando $x > 0,$ la pendiente de esta curva es igual a $\sqrt{2} / 2;$ cuando $x < 0,$ la pendiente de esta curva es igual a $− (\sqrt{2} / 2) .$ Esto plantea un problema. En la definición de plano tangente, hemos supuesto que todas las líneas tangentes que pasan por el punto $P$ (en este caso, el origen) estaban en el mismo plano. Es evidente que este no es el caso. Cuando estudiemos las funciones diferenciables, veremos que esta función no es diferenciable en el origen.

Aproximaciones lineales

Recordemos que en Aproximaciones lineales y diferenciales la fórmula para la aproximación lineal de una función $f (x)$ en el punto $x = a$ viene dada por

y \approx f (a) + f' (a) (x - a) .

El diagrama para la aproximación lineal de una función de una variable aparece en el siguiente gráfico.

Una curva en el plano xy con un punto y una tangente a ese punto. La figura está marcada como aproximación a la línea tangente.

Figura 4.30 Aproximación lineal de una función en una variable.

La línea tangente puede utilizarse como una aproximación a la función $f (x)$ para los valores de $x$ razonablemente cerca de $x = a .$ Cuando se trabaja con una función de dos variables, la línea tangente se sustituye por un plano tangente, pero la idea de aproximación es muy parecida.

Definición

Dada una función $z = f (x, y)$ con derivadas parciales continuas que existen en el punto $(x_{0}, y_{0}),$ la aproximación lineal de $f$ en el punto $(x_{0}, y_{0})$ está dada por la ecuación

L (x, y) = f (x_{0}, y_{0}) + f_{x} (x_{0}, y_{0}) (x - x_{0}) + f_{y} (x_{0}, y_{0}) (y - y_{0}) .

(4.25)

Observe que esta ecuación también representa el plano tangente a la superficie definida por $z = f (x, y)$ en el punto $(x_{0}, y_{0}) .$ La idea de utilizar una aproximación lineal es que, si hay un punto $(x_{0}, y_{0})$ en el que el valor preciso de $f (x, y)$ es conocido, entonces para valores de $(x, y)$ razonablemente cerca de $(x_{0}, y_{0}),$ la aproximación lineal (es decir, el plano tangente) arroja un valor que también se aproxima razonablemente al valor exacto de $f (x, y)$ (Figura 4.31). Además el plano que se utiliza para hallar la aproximación lineal es también el plano tangente a la superficie en el punto $(x_{0}, y_{0}) .$

Un paraboloide con superficie z = f(x, y). Hay un punto dado en el paraboloide P (x0, y0) con un plano tangente en ese punto. Hay un punto en el plano que está marcado como la aproximación lineal L(x, y) a f(x0, y0), que está cerca del punto correspondiente en el paraboloide.

Figura 4.31 Uso de un plano tangente para la aproximación lineal en un punto.

Ejemplo 4.23

Usar una aproximación al plano tangente

Dada la función $f (x, y) = \sqrt{41 - 4 x^{2} - y^{2}},$ aproxime $f (2,1, 2,9)$ utilizando el punto $(2, 3)$ por $(x_{0}, y_{0}) .$ ¿Cuál es el valor aproximado de $f (2,1, 2,9)$ con cuatro decimales?

Solución

Para aplicar la Ecuación 4.25, primero debemos calcular $f (x_{0}, y_{0}),$ $f_{x} (x_{0}, y_{0}),$ y $f_{y} (x_{0}, y_{0})$ utilizando $x_{0} = 2$ y $y_{0} = 3 :$

\begin{matrix} f (x_{0}, y_{0}) & = & f (2, 3) = \sqrt{41 - 4 {(2)}^{2} - {(3)}^{2}} = \sqrt{41 - 16 - 9} = \sqrt{16} = 4 \\ f_{x} (x, y) & = & - \frac{4 x}{\sqrt{41 - 4 x^{2} - y^{2}}} por lo que f_{x} (x_{0}, y_{0}) = - \frac{4 (2)}{\sqrt{41 - 4 {(2)}^{2} - {(3)}^{2}}} = −2 \\ f_{y} (x, y) & = & - \frac{y}{\sqrt{41 - 4 x^{2} - y^{2}}} por lo que f_{y} (x_{0}, y_{0}) = - \frac{3}{\sqrt{41 - 4 {(2)}^{2} - {(3)}^{2}}} = - \frac{3}{4} . \end{matrix}

Ahora sustituimos estos valores en la Ecuación 4.25:

\begin{matrix} L (x, y) & = f (x_{0}, y_{0}) + f_{x} (x_{0}, y_{0}) (x - x_{0}) + f_{y} (x_{0}, y_{0}) (y - y_{0}) \\ = 4 - 2 (x - 2) - \frac{3}{4} (y - 3) \\ = \frac{41}{4} - 2 x - \frac{3}{4} y . \end{matrix}

Por último, sustituimos $x = 2,1$ y $y = 2,9$ en $L (x, y) :$

L (2,1, 2,9) = \frac{41}{4} - 2 (2,1) - \frac{3}{4} (2,9) = 10,25 - 4,2 - 2,175 = 3,875 .

El valor aproximado de $f (2,1, 2,9)$ con cuatro decimales es

f (2,1, 2,9) = \sqrt{41 - 4 {(2,1)}^{2} - {(2,9)}^{2}} = \sqrt{14,95} \approx 3,8665,

que corresponde a un $0,2 %$ de error de aproximación.

Punto de control 4.20

Dada la función $f (x, y) = e^{5 - 2 x + 3 y},$ aproxime $f (4,1, 0,9)$ utilizando el punto $(4, 1)$ por $(x_{0}, y_{0}) .$ ¿Cuál es el valor aproximado de $f (4,1, 0,9)$ con cuatro decimales?

Diferenciabilidad

Cuando se trabaja con una función $y = f (x)$ de una variable, se dice que la función es diferenciable en un punto $x = a$ si $f^{'} (a)$ . Además, si una función de una variable es diferenciable en un punto, el gráfico es “regular" en ese punto (es decir, no existen vértices) y una línea tangente está bien definida en ese punto.

La idea de diferenciabilidad de una función de dos variables está relacionada con la idea de regularidad en ese punto. En este caso, se considera que una superficie es regular en el punto $P$ si existe un plano tangente a la superficie en ese punto. Si una función es diferenciable en un punto, entonces existe un plano tangente a la superficie en ese punto. Recordemos que la fórmula de un plano tangente en un punto $(x_{0}, y_{0})$ está dada por

z = f (x_{0}, y_{0}) + f_{x} (x_{0}, y_{0}) (x - x_{0}) + f_{y} (x_{0}, y_{0}) (y - y_{0}),

Para que exista un plano tangente en el punto $(x_{0}, y_{0}),$ las derivadas parciales deben, por tanto, existir en ese punto. Sin embargo, esta no es una condición suficiente para la regularidad, como se ilustró en la Figura 4.29. En ese caso, las derivadas parciales existían en el origen, pero la función también tenía una esquina en el gráfico en el origen.

Definición

Una función $f (x, y)$ es diferenciable en un punto $P (x_{0}, y_{0})$ si, para todos los puntos $(x, y)$ en un disco $δ$ alrededor de $P,$ podemos escribir

f (x, y, z) = f (x_{0}, y_{0}) + f_{x} (x_{0}, y_{0}) (x - x_{0}) + f_{y} (x_{0}, y_{0}) (y - y_{0}) + E (x, y),

(4.26)

donde el término de error $E$ satisface

\underset{(x, y) \to (x_{0}, y_{0})}{lím} \frac{E (x, y)}{\sqrt{{(x - x_{0})}^{2} + {(y - y_{0})}^{2}}} = 0 .

El último término en la Ecuación 4.26 se denomina término de error y representa la proximidad del plano tangente a la superficie en una pequeña zona $(δ$ ) del punto $P .$ Para que la función $f$ sea diferenciable en $P,$ la función debe ser regular, es decir, el gráfico de $f$ debe estar cerca del plano tangente para los puntos cercanos a $P .$

Ejemplo 4.24

Demostrar la diferenciación

Demuestre que la función $f (x, y) = 2 x^{2} - 4 y$ es diferenciable en el punto $(2, −3) .$

Solución

En primer lugar, calculamos $f (x_{0}, y_{0}), f_{x} (x_{0}, y_{0}), y f_{y} (x_{0}, y_{0})$ utilizando $x_{0} = 2$ y $y_{0} = −3,$ entonces utilizamos la Ecuación 4.26:

\begin{matrix} f (2, −3) & = & 2 {(2)}^{2} - 4 (−3) = 8 + 12 = 20 \\ f_{x} (2, −3) & = & 4 (2) = 8 \\ f_{y} (2, −3) & = & −4. \end{matrix}

Por lo tanto, $m_{1} = 8$ y $m_{2} = −4,$ y la Ecuación 4.26 se convierte en

\begin{matrix} f (x, y) & = & f (2, −3) + f_{x} (2, −3) (x - 2) + f_{y} (2, −3) (y + 3) + E (x, y) \\ 2 x^{2} - 4 y & = & 20 + 8 (x - 2) - 4 (y + 3) + E (x, y) \\ 2 x^{2} - 4 y & = & 20 + 8 x - 16 - 4 y - 12 + E (x, y) \\ 2 x^{2} - 4 y & = & 8 x - 4 y - 8 + E (x, y) \\ E (x, y) & = & 2 x^{2} - 8 x + 8. \end{matrix}

A continuación, calculamos $\underset{(x, y) \to (x_{0}, y_{0})}{lím} \frac{E (x, y)}{\sqrt{{(x - x_{0})}^{2} + {(y - y_{0})}^{2}}} :$

\begin{matrix} \underset{(x, y) \to (x_{0}, y_{0})}{lím} \frac{E (x, y)}{\sqrt{{(x - x_{0})}^{2} + {(y - y_{0})}^{2}}} & = \underset{(x, y) \to (2, −3)}{lím} \frac{2 x^{2} - 8 x + 8}{\sqrt{{(x - 2)}^{2} + {(y + 3)}^{2}}} \\ = \underset{(x, y) \to (2, −3)}{lím} \frac{2 (x^{2} - 4 x + 4)}{\sqrt{{(x - 2)}^{2} + {(y + 3)}^{2}}} \\ = \underset{(x, y) \to (2, −3)}{lím} \frac{2 {(x - 2)}^{2}}{\sqrt{{(x - 2)}^{2} + {(y + 3)}^{2}}} \\ \leq \underset{(x, y) \to (2, −3)}{lím} \frac{2 ({(x - 2)}^{2} + {(y + 3)}^{2})}{\sqrt{{(x - 2)}^{2} + {(y + 3)}^{2}}} \\ = \underset{(x, y) \to (2, −3)}{lím} 2 \sqrt{{(x - 2)}^{2} + {(y + 3)}^{2}} \\ = 0, \end{matrix}

Dado que $E (x, y) \geq 0$ para cualquier valor de $x o y,$ el límite original debe ser igual a cero. Por lo tanto, $f (x, y) = 2 x^{2} - 4 y$ es diferenciable en el punto $(2, −3) .$

Punto de control 4.21

Demuestre que la función $f (x, y) = 3 x - 4 y^{2}$ es diferenciable en el punto $(–1, 2) .$

La función $f (x, y) = {\begin{matrix} \frac{x y}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} & (x, y) \neq (0, 0) \\ 0 & (x, y) = (0, 0) \end{matrix}$ no es diferenciable en el origen. Podemos comprobarlo calculando las derivadas parciales. Esta función apareció anteriormente en la sección, donde demostramos que $f_{x} (0, 0) = f_{y} (0, 0) = 0 .$ Sustituyendo esta información en la Ecuación 4.26 mediante $x_{0} = 0$ y $y_{0} = 0,$ obtenemos

\begin{matrix} f (x, y) & = & f (0, 0) + f_{x} (0, 0) (x - 0) + f_{y} (0, 0) (y - 0) + E (x, y) \\ E (x, y) & = & \frac{x y}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} . \end{matrix}

Si calculamos $\underset{(x, y) \to (x_{0}, y_{0})}{lím} \frac{E (x, y)}{\sqrt{{(x - x_{0})}^{2} + {(y - y_{0})}^{2}}}$ obtenemos

\begin{matrix} \underset{(x, y) \to (x_{0}, y_{0})}{lím} \frac{E (x, y)}{\sqrt{{(x - x_{0})}^{2} + {(y - y_{0})}^{2}}} & = \underset{(x, y) \to (0, 0)}{lím} \frac{\frac{x y}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} \\ = \underset{(x, y) \to (0, 0)}{lím} \frac{x y}{x^{2} + y^{2}} . \end{matrix}

Dependiendo de la trayectoria seguida hacia el origen, este límite toma diferentes valores. Por lo tanto, el límite no existe y la función $f$ no es diferenciable en el origen como se muestra en la siguiente figura.

Una superficie curva en el espacio xyz que permanece constante a lo largo del eje x positivo y se curva hacia abajo a lo largo de la línea y = -x en el segundo cuadrante.

Figura 4.32 Esta función

f (x, y)

no es diferenciable en el origen.

La diferenciabilidad y la continuidad para funciones de dos o más variables están conectadas, igual que para las funciones de una variable. De hecho, con algunos ajustes de notación, el teorema básico es el mismo.

Teorema 4.6

La Diferenciabilidad implica continuidad

Supongamos que $z = f (x, y)$ es una función de dos variables con $(x_{0}, y_{0})$ en el dominio de $f .$ Si $f (x, y)$ es diferenciable en $(x_{0}, y_{0}),$ entonces $f (x, y)$ es continua en $(x_{0}, y_{0}) .$

La Diferenciabilidad implica continuidad demuestre que si una función es diferenciable en un punto, entonces es continua allí. Sin embargo, si una función es continua en un punto, no es necesariamente diferenciable en ese punto. Por ejemplo,

f (x, y) = {\begin{matrix} \frac{x y}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} & (x, y) \neq (0, 0) \\ 0 & (x, y) = (0, 0) \end{matrix}

es continua en el origen, pero no es diferenciable en el origen. Esta observación también es similar a la situación en el cálculo de una sola variable.

La continuidad de las primeras parciales implica la diferenciabilidad explora además la conexión entre la continuidad y la diferenciabilidad en un punto. Este teorema dice que si la función y sus derivadas parciales son continuas en un punto, la función es diferenciable.

Teorema 4.7

La continuidad de las primeras parciales implica la diferenciabilidad

Supongamos que $z = f (x, y)$ es una función de dos variables con $(x_{0}, y_{0})$ en el dominio de $f .$ Si $f (x, y),$ $f_{x} (x, y),$ y $f_{y} (x, y)$ existen todas en una zona de $(x_{0}, y_{0})$ y son continuas en $(x_{0}, y_{0}),$ entonces $f (x, y)$ es diferenciable allí.

Recordemos que antes demostramos que la función

f (x, y) = {\begin{matrix} \frac{x y}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} & (x, y) \neq (0, 0) \\ 0 & (x, y) = (0, 0) \end{matrix}

no era diferenciable en el origen. Calculemos las derivadas parciales $f_{x}$ y $f_{y} :$

\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{y^{3}}{{(x^{2} + y^{2})}^{3 / 2}} y \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x^{3}}{{(x^{2} + y^{2})}^{3 / 2}} .

El contrapositivo del teorema anterior afirma que si una función no es diferenciable, entonces al menos una de las hipótesis debe ser falsa. Exploremos la condición de que $f_{x} (0, 0)$ debe ser continua. Para que esto sea cierto, debe ser verdad que $\underset{(x, y) \to (0, 0)}{lím} f_{x} (0, 0) = f_{x} (0, 0) :$

\underset{(x, y) \to (0, 0)}{lím} f_{x} (x, y) = \underset{(x, y) \to (0, 0)}{lím} \frac{y^{3}}{{(x^{2} + y^{2})}^{3 / 2}} .

Supongamos que $x = k y .$ Entonces

\begin{matrix} \underset{(x, y) \to (0, 0)}{lím} \frac{y^{3}}{{(x^{2} + y^{2})}^{3 / 2}} & = \underset{y \to 0}{lím} \frac{y^{3}}{{({(k y)}^{2} + y^{2})}^{3 / 2}} \\ = \underset{y \to 0}{lím} \frac{y^{3}}{{(k^{2} y^{2} + y^{2})}^{3 / 2}} \\ = \underset{y \to 0}{lím} \frac{y^{3}}{{| y |}^{3} {(k^{2} + 1)}^{3 / 2}} \\ = \frac{1}{{(k^{2} + 1)}^{3 / 2}} \underset{y \to 0}{lím} \frac{| y |}{y} . \end{matrix}

Si $y > 0,$ entonces esta expresión es igual a $1 / {(k^{2} + 1)}^{3 / 2};$ si $y < 0,$ entonces es igual a $− (1 / {(k^{2} + 1)}^{3 / 2}) .$ En cualquier caso, el valor depende de $k,$ por lo que el límite no existe.

Diferenciales

En Aproximaciones lineales y diferenciales estudiamos primero el concepto de diferenciales. El diferencial de $y,$ se escribe como $d y,$ se define como $f^{'} (x) d x .$ El diferencial se utiliza para aproximar $Δ y = f (x + Δ x) - f (x),$ donde $Δ x = d x .$ Extendiendo esta idea a la aproximación lineal de una función de dos variables en el punto $(x_{0}, y_{0})$ se obtiene la fórmula de la diferencial total para una función de dos variables.

Definición

Supongamos que $z = f (x, y)$ es una función de dos variables con $(x_{0}, y_{0})$ en el dominio de $f,$ y supongamos que $Δ x$ y $Δ y$ se elija de forma que $(x_{0} + Δ x, y_{0} + Δ y)$ también está en el dominio de $f .$ Si $f$ es diferenciable en el punto $(x_{0}, y_{0}),$ entonces los diferenciales $d x$ y $d y$ se definen como

d x = Δ x y d y = Δ y .

El diferencial $d z,$ también llamado el diferencial total de $z = f (x, y)$ a las $(x_{0}, y_{0}),$ se define como

d z = f_{x} (x_{0}, y_{0}) d x + f_{y} (x_{0}, y_{0}) d y .

(4.27)

Observe que el símbolo $\partial$ no se utiliza para denotar el diferencial total, sino, $d$ aparece frente a $z .$ Ahora, definamos $Δ z = f (x + Δ x, y + Δ y) - f (x, y) .$ Utilizamos $d z$ para aproximar $Δ z,$ así que

Δ z \approx d z = f_{x} (x_{0}, y_{0}) d x + f_{y} (x_{0}, y_{0}) d y .

Por lo tanto, el diferencial se utiliza para aproximar el cambio en la función $z = f (x_{0}, y_{0})$ en el punto $(x_{0}, y_{0})$ para determinados valores de $Δ x$ y $Δ y .$ Dado que $Δ z = f (x + Δ x, y + Δ y) - f (x, y),$ esto se puede utilizar más para aproximar $f (x + Δ x, y + Δ y) :$

\begin{matrix} f (x + Δ x, y + Δ y) & = f (x, y) + Δ z \\ \approx f (x, y) + f_{x} (x_{0}, y_{0}) Δ x + f_{y} (x_{0}, y_{0}) Δ y . \end{matrix}

Vea la siguiente figura.

Una superficie f en el plano xyz, con un plano tangente en el punto (x, y, f(x, y)). En el plano (x, y), hay un punto marcado (x + Δx, y + Δy). Hay una línea discontinua hasta el punto correspondiente del gráfico de f y la línea continúa luego hasta el plano tangente; la distancia al gráfico de f se marca f(x + + Δx, y + Δy), y la distancia al plano tangente se marca como la aproximación lineal.

Figura 4.33 La aproximación lineal se calcula mediante la fórmula

f (x + Δ x, y + Δ y) \approx f (x, y) + f_{x} (x_{0}, y_{0}) Δ x + f_{y} (x_{0}, y_{0}) Δ y .

Una de las aplicaciones de esta idea es determinar la propagación de errores. Por ejemplo, si estamos fabricando un aparato y nos equivocamos en una cierta cantidad al medir una cantidad determinada, el diferencial puede utilizarse para estimar el error en su volumen total.

Ejemplo 4.25

Aproximación por diferenciales

Calcule el diferencial $d z$ de la función $f (x, y) = 3 x^{2} - 2 x y + y^{2}$ y utilícela para aproximar $Δ z$ en el punto $(2, −3) .$ Utilice $Δ x = 0,1$ y $Δ y = −0,05 .$ ¿Cuál es el valor exacto de $Δ z ?$

Solución

En primer lugar, debemos calcular $f (x_{0}, y_{0}), f_{x} (x_{0}, y_{0}), y f_{y} (x_{0}, y_{0})$ utilizando $x_{0} = 2$ y $y_{0} = −3 :$

\begin{matrix} f (x_{0}, y_{0}) & = & f (2, −3) = 3 {(2)}^{2} - 2 (2) (−3) + {(−3)}^{2} = 12 + 12 + 9 = 33 \\ f_{x} (x, y) & = & 6 x - 2 y \\ f_{y} (x, y) & = & –2 x + 2 y \\ f_{x} (x_{0}, y_{0}) & = & f_{x} (2, −3) = 6 (2) - 2 (−3) = 12 + 6 = 18 \\ f_{y} (x_{0}, y_{0}) & = & f_{y} (2, −3) = −2 (2) + 2 (−3) = –4 - 6 = −10. \end{matrix}

A continuación, sustituimos estas cantidades en la Ecuación 4.27:

\begin{matrix} d z = f_{x} (x_{0}, y_{0}) d x + f_{y} (x_{0}, y_{0}) d y \\ d z = 18 (0,1) - 10 (−0,05) = 1,8 + 0,5 = 2,3. \end{matrix}

Esta es la aproximación a $Δ z = f (x_{0} + Δ x, y_{0} + Δ y) - f (x_{0}, y_{0}) .$ El valor exacto de $Δ z$ viene dado por

\begin{matrix} Δ z & = f (x_{0} + Δ x, y_{0} + Δ y) - f (x_{0}, y_{0}) \\ = f (2 + 0,1, −3 - 0,05) - f (2, −3) \\ = f (2,1, −3,05) - f (2, −3) \\ = 2,3425. \end{matrix}

Punto de control 4.22

Calcule el diferencial $d z$ de la función $f (x, y) = 4 y^{2} + x^{2} y - 2 x y$ y utilícela para aproximar $Δ z$ en el punto $(1, –1) .$ Utilice $Δ x = 0,03$ y $Δ y = −0,02 .$ ¿Cuál es el valor exacto de $Δ z ?$

Diferenciabilidad de una función de tres variables

Todos los resultados anteriores sobre la diferenciabilidad de las funciones de dos variables pueden generalizarse a las funciones de tres variables. Primero, la definición:

Definición

Una función $f (x, y, z)$ es diferenciable en un punto $P (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ si para todos los puntos $(x, y, z)$ en un disco $δ$ alrededor de $P$ podemos escribir

\begin{matrix} f (x, y, z) & = f (x_{0}, y_{0}, z_{0}) + f_{x} (x_{0}, y_{0}, z_{0}) (x - x_{0}) + f_{y} (x_{0}, y_{0}, z_{0}) (y - y_{0}) \\ + f_{z} (x_{0}, y_{0}, z_{0}) (z - z_{0}) + E (x, y, z), \end{matrix}

(4.28)

donde el término de error E satisface

\underset{(x, y, z) \to (x_{0}, y_{0}, z_{0})}{lím} \frac{E (x, y, z)}{\sqrt{{(x - x_{0})}^{2} + {(y - y_{0})}^{2} + {(z - z_{0})}^{2}}} = 0 .

Si una función de tres variables es diferenciable en un punto $(x_{0}, y_{0}, z_{0}),$ entonces es continuo allí. Además, la continuidad de las primeras derivadas parciales en ese punto garantiza la diferenciabilidad.

Sección 4.4 ejercicios

En los siguientes ejercicios, halle un vector normal unitario a la superficie en el punto indicado.

163.

$f (x, y) = x^{3}, (2, –1, 8)$ grandes.

164.

$ln (\frac{x}{y - z}) = 0$ cuando $x = y = 1$

En los siguientes ejercicios, como repaso útil para las técnicas utilizadas en esta sección, halle un vector normal y un vector tangente en el punto $P .$

165.

$x^{2} + x y + y^{2} = 3, P (–1, –1)$

166.

${(x^{2} + y^{2})}^{2} = 9 (x^{2} - y^{2}), P (\sqrt{2}, 1)$ grandes.

167.

$x y^{2} - 2 x^{2} + y + 5 x = 6, P (4, 2)$

168.

$2 x^{3} - x^{2} y^{2} = 3 x - y - 7, P (1, –2)$ grandes.

169.

$z e^{x^{2} - y^{2}} - 3 = 0,$ $P (2, 2, 3)$ grandes.

En los siguientes ejercicios, halle la ecuación del plano tangente a la superficie en el punto indicado. (Sugerencia: Resuelva para $z$ en términos de $x$ como $y .)$ grandes.

170.

$−8 x - 3 y - 7 z = −19, P (1, –1, 2)$ grandes.

171.

$z = –9 x^{2} - 3 y^{2}, P (2, 1, −39)$ grandes.

172.

$x^{2} + 10 x y z + y^{2} + 8 z^{2} = 0, P (–1, –1, –1)$ grandes.

173.

$z = ln (10 x^{2} + 2 y^{2} + 1), P (0, 0, 0)$ grandes.

174.

$z = e^{7 x^{2} + 4 y^{2}},$ $P (0, 0, 1)$ grandes.

175.

$x y + y z + z x = 11, P (1, 2, 3)$ grandes.

176.

$x^{2} + 4 y^{2} = z^{2}, P (3, 2, 5)$ grandes.

177.

$x^{3} + y^{3} = 3 x y z, P (1, 2, \frac{3}{2})$ grandes.

178.

$z = a x y, P (1, \frac{1}{a}, 1)$ grandes.

179.

$z = sen x + sen y + sen (x + y), P (0, 0, 0)$ grandes.

180.

$h (x, y) = ln \sqrt{x^{2} + y^{2}}, P (3, 4)$ grandes.

181.

$z = x^{2} - 2 x y + y^{2}, P (1, 2, 1)$ grandes.

En los siguientes ejercicios, halle las ecuaciones paramétricas de la línea normal a la superficie en el punto indicado. (Recuerde que para hallar la ecuación de una línea en el espacio, necesita un punto en ella, $P_{0} (x_{0,} y_{0}, z_{0}),$ y un vector $n = 〈 a, b, c 〉$ que es paralelo a la línea. Entonces la ecuación de la línea es $x - x_{0} = a t, y - y_{0} = b t, z - z_{0} = c t .)$ grandes.

182.

$−3 x + 9 y + 4 z = −4, P (1, –1, 2)$ grandes.

183.

$z = 5 x^{2} - 2 y^{2}, P (2, 1, 18)$ grandes.

184.

$x^{2} - 8 x y z + y^{2} + 6 z^{2} = 0, P (1, 1, 1)$ grandes.

185.

$z = ln (3 x^{2} + 7 y^{2} + 1), P (0, 0, 0)$ grandes.

186.

$z = e^{4 x^{2} + 6 y^{2}}, P (0, 0, 1)$ grandes.

187.

$z = x^{2} - 2 x y + y^{2}$ en el punto $P (1, 2, 1)$ grandes.

En los siguientes ejercicios, utilice la figura que se muestra aquí.

Una superficie en el plano xyz se marca como z = f(x, y). Esta superficie tiene un plano tangente en (x0, y0, z0), con el punto correspondiente (x0, y0) marcado en el plano xy. También está marcado en el plano xy el punto (x0 + Δx, y0 + Δy). Desde este punto, se traza una línea hasta la superficie y se marcan tres puntos. El primer punto es C, que es (x0 + Δx, y0 + Δy, z0), luego está B, que está en el plano tangente, y luego está A, que está en la superficie. La distancia entre B y C se marca con df(x0, y0).

188.

La longitud del segmento de línea $A C$ es igual a ¿qué expresión matemática?

189.

La longitud del segmento de línea $B C$ es igual a ¿qué expresión matemática?

190.

Utilizando la figura, explique qué representa la longitud del segmento de línea $A B$ .

En los siguientes ejercicios, complete cada tarea.

191.

Demuestre que $f (x, y) = e^{x y} x$ es diferenciable en el punto $(1, 0) .$

192.

Calcule la diferencial total de la función $w = e^{y} cos (x) + z^{2} .$

193.

Demuestre que $f (x, y) = x^{2} + 3 y$ es diferenciable en cada punto. En otras palabras, demuestre que $Δ z = f (x + Δ x, y + Δ y) - f (x, y) = f_{x} Δ x + f_{y} Δ y + ε_{1} Δ x + ε_{2} Δ y,$ donde $ε_{1}$ y $ε_{2}$ se acercan a cero a medida que $(Δ x, Δ y)$ se aproxima a $(0, 0) .$

194.

Calcule la diferencial total de la función $z = \frac{x y}{y + x}$ donde $x$ cambia de $10 para 10,5$ e $y$ cambia de $15 para 13 .$

195.

Supongamos que $z = f (x, y) = x e^{y} .$ Calcule $Δ z$ a partir de $P (1, 2)$ al $Q (1,05, 2,1)$ y luego halle el cambio aproximado en $z$ desde el punto $P$ al punto $Q .$ Recuerde que $Δ z = f (x + Δ x, y + Δ y) - f (x, y),$ y $d z$ y $Δ z$ son aproximadamente iguales.

196.

El volumen de un cilindro circular recto viene dado por $V (r, h) = π r^{2} h .$ Calcule el diferencial $d V .$ Interprete la fórmula geométricamente.

197.

Vea el problema anterior. Utilice los diferenciales para estimar el volumen de aluminio en una lata de aluminio cerrada con diámetro $8,0 cm$ y altura $12 cm$ si el aluminio es $0,04$ cm de espesor.

198.

Utilice el diferencial $d z$ para aproximar el cambio en $z = \sqrt{4 - x^{2} - y^{2}}$ cuando $(x, y)$ se mueve desde el punto $(1, 1)$ al punto $(1,01, 0,97) .$ Compare esta aproximación con el cambio real de la función.

199.

Supongamos que $z = f (x, y) = x^{2} + 3 x y - y^{2} .$ Halle el cambio exacto de la función y el cambio aproximado de la función mientras $x$ cambia de $2,00 para 2,05$ e $y$ cambia de $3,00 para 2,96 .$

200.

La aceleración centrípeta de una partícula que se mueve en un círculo viene dada por $a (r, v) = \frac{v^{2}}{r},$ donde $v$ es la velocidad y $r$ es el radio del círculo. Aproxime el porcentaje máximo de error en la medición de la aceleración resultante de los errores de $3 %$ en $v$ y $2 %$ en $r .$ (Recordemos que el porcentaje de error es la relación de la cantidad de error sobre la cantidad original. Así que, en este caso, el porcentaje de error en $a$ viene dada por $\frac{d a}{a} .)$

201.

El radio $r$ y altura $h$ de un cilindro circular recto se miden con posibles errores de $4 % y 5 %,$ respectivamente. Aproxime el máximo porcentaje de error posible en la medición del volumen (recordemos que el porcentaje de error es la relación de la cantidad de error sobre la cantidad original. Así que, en este caso, el porcentaje de error en $V$ viene dado por $\frac{d V}{V} .)$ grandes.

202.

El radio de la base y la altura de un cono circular recto se miden como $10$ pulgadas y $25$ pulgadas, respectivamente, con un posible error de medición de hasta $0,1$ pulgadas cada uno. Utilice los diferenciales para estimar el error máximo en el volumen calculado del cono.

203.

La resistencia eléctrica $R$ producida por el cableado de los resistores $R_{1}$ y $R_{2}$ en paralelo se puede calcular a partir de la fórmula $\frac{1}{R} = \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} .$ Si $R_{1}$ y $R_{2}$ se miden en $7 Ω$ y $6 Ω,$ respectivamente, y si estas mediciones tienen una precisión de $0,05 Ω,$ estime el máximo error posible en el cálculo de $R .$ (El símbolo $Ω$ representa un ohmio, la unidad de resistencia eléctrica).

204.

El área de una elipse con ejes de longitud $2 a$ y $2 b$ viene dado por la fórmula

$A = π a b .$ Aproxime el porcentaje de cambio en el área cuando $a$ aumenta en $2 %$ y $b$ aumenta en $1,5 % .$

205.

El periodo $T$ de un péndulo simple con pequeñas oscilaciones se calcula a partir de la fórmula $T = 2 π \sqrt{\frac{L}{g}},$ donde $L$ es la longitud del péndulo y $g$ es la aceleración resultante de la gravedad. Supongamos que $L$ y $g$ tienen errores de, como máximo, $0,5 %$ y $0,1 %,$ respectivamente. Utilice los diferenciales para aproximar el porcentaje máximo de error en el valor calculado de $T .$

206.

La energía eléctrica $P$ viene dada por $P = \frac{V^{2}}{R},$ donde $V$ es el voltaje y $R$ es la resistencia. Aproxime el porcentaje máximo de error en el cálculo de la potencia si $120$ $V$ se aplica a un resistor de $2000 - Ω$ y los posibles errores porcentuales en la medición $V$ y $R$ son $3 %$ y $4 %,$ respectivamente.

En los siguientes ejercicios, halle la aproximación lineal de cada función en el punto indicado.

207.

$f (x, y) = x \sqrt{y}, P (1, 4)$ grandes.

208.

$f (x, y) = e^{x} cos y; P (0, 0)$ grandes.

209.

$f (x, y) = arctan (x + 2 y), P (1, 0)$ grandes.

210.

$f (x, y) = \sqrt{20 - x^{2} - 7 y^{2}}, P (2, 1)$ grandes.

211.

$f (x, y, z) = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}, P (3, 2, 6)$ grandes.

212.

[T] Halle la ecuación del plano tangente a la superficie $f (x, y) = x^{2} + y^{2}$ en el punto $(1, 2, 5),$ y grafique la superficie y el plano tangente en el punto.

213.

[T] Halle la ecuación del plano tangente a la superficie en el punto indicado y grafique la superficie y el plano tangente $z = ln (10 x^{2} + 2 y^{2} + 1), P (0, 0, 0) .$

214.

[T] Halle la ecuación del plano tangente a la superficie $z = f (x, y) = sen (x + y^{2})$ en el punto $(\frac{π}{4}, 0, \frac{\sqrt{2}}{2}),$ y grafique la superficie y el plano tangente.

4.4 Planos tangentes y aproximaciones lineales

Planos tangentes

Hallar un plano tangente

Solución

Hallar otro plano tangente

Solución

Aproximaciones lineales

Usar una aproximación al plano tangente

Solución

Diferenciabilidad

Demostrar la diferenciación

Solución

La Diferenciabilidad implica continuidad

La continuidad de las primeras parciales implica la diferenciabilidad

Diferenciales

Aproximación por diferenciales

Solución

Diferenciabilidad de una función de tres variables

Sección 4.4 ejercicios