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Cálculo volumen 3

4.4 Planos tangentes y aproximaciones lineales

Cálculo volumen 34.4 Planos tangentes y aproximaciones lineales

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Índice
  1. Prefacio
  2. 1 Ecuaciones paramétricas y coordenadas polares
    1. Introducción
    2. 1.1 Ecuaciones paramétricas
    3. 1.2 Cálculo de curvas paramétricas
    4. 1.3 Coordenadas polares
    5. 1.4 Área y longitud de arco en coordenadas polares
    6. 1.5 Secciones cónicas
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  3. 2 Vectores en el espacio
    1. Introducción
    2. 2.1 Vectores en el plano
    3. 2.2 Vectores en tres dimensiones
    4. 2.3 El producto escalar
    5. 2.4 El producto vectorial
    6. 2.5 Ecuaciones de líneas y planos en el espacio
    7. 2.6 Superficies cuádricas
    8. 2.7 Coordenadas cilíndricas y esféricas
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  4. 3 Funciones de valores factoriales
    1. Introducción
    2. 3.1 Funciones de valores vectoriales y curvas en el espacio
    3. 3.2 Cálculo de funciones de valor vectorial
    4. 3.3 Longitud de arco y curvatura
    5. 3.4 Movimiento en el espacio
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  5. 4 Diferenciación de funciones de varias variables
    1. Introducción
    2. 4.1 Funciones de varias variables
    3. 4.2 Límites y continuidad
    4. 4.3 Derivadas parciales
    5. 4.4 Planos tangentes y aproximaciones lineales
    6. 4.5 La regla de la cadena
    7. 4.6 Derivadas direccionales y el gradiente
    8. 4.7 Problemas con máximos/mínimos
    9. 4.8 Multiplicadores de Lagrange
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  6. 5 Integración múltiple
    1. Introducción
    2. 5.1 Integrales dobles sobre regiones rectangulares
    3. 5.2 Integrales dobles sobre regiones generales
    4. 5.3 Integrales dobles en coordenadas polares
    5. 5.4 Integrales triples
    6. 5.5 Integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas
    7. 5.6 Cálculo de centros de masa y momentos de inercia
    8. 5.7 Cambio de variables en integrales múltiples
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  7. 6 Cálculo vectorial
    1. Introducción
    2. 6.1 Campos vectoriales
    3. 6.2 Integrales de línea
    4. 6.3 Campos vectoriales conservativos
    5. 6.4 Teorema de Green
    6. 6.5 Divergencia y rizo
    7. 6.6 Integrales de superficie
    8. 6.7 Teorema de Stokes
    9. 6.8 El teorema de la divergencia
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  8. 7 Ecuaciones diferenciales de segundo orden
    1. Introducción
    2. 7.1 Ecuaciones lineales de segundo orden
    3. 7.2 Ecuaciones lineales no homogéneas
    4. 7.3 Aplicaciones
    5. 7.4 Soluciones de ecuaciones diferenciales mediante series
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  9. A Tabla de integrales
  10. B Tabla de derivadas
  11. C Repaso de Precálculo
  12. Clave de respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
  13. Índice

Objetivos de aprendizaje

  • 4.4.1 Determinar la ecuación de un plano tangente a una superficie dada en un punto.
  • 4.4.2 Utilizar el plano tangente para aproximar una función de dos variables en un punto.
  • 4.4.3 Explicar cuándo una función de dos variables es diferenciable.
  • 4.4.4 Utilizar la diferencial total para aproximar el cambio de una función de dos variables.

En esta sección consideramos el problema de hallar el plano tangente a una superficie, que es análogo a hallar la ecuación de una línea tangente a una curva cuando esta está definida por el gráfico de una función de una variable, y=f(x).y=f(x). La pendiente de la línea tangente en el punto x=ax=a viene dada por m=f(a);m=f(a); ¿cuál es la pendiente de un plano tangente? Aprendimos sobre la ecuación de un plano en Ecuaciones de líneas y planos en el espacio; en esta sección, vemos cómo se puede aplicar al problema que nos ocupa.

Planos tangentes

Intuitivamente, parece claro que, en un plano, solo una línea puede ser tangente a una curva en un punto. Sin embargo, en el espacio tridimensional, muchas líneas pueden ser tangentes a un punto determinado. Si estas líneas se encuentran en el mismo plano, determinan el plano tangente en ese punto. Un plano tangente a un punto regular contiene todas las líneas tangentes a ese punto. Una forma más intuitiva de pensar en un plano tangente es suponer que la superficie es lisa en ese punto (sin esquinas). Entonces, una línea tangente a la superficie en ese punto en cualquier dirección no tiene cambios bruscos de pendiente porque la dirección cambia suavemente.

Definición

Supongamos que P0=(x0,y0,z0)P0=(x0,y0,z0) es un punto de una superficie S,S, y supongamos que CC es cualquier curva que pase por P0P0 y que se encuentra totalmente en S.S. Si las líneas tangentes a todas esas curvas CC a las P0P0 se encuentran en el mismo plano, entonces este plano se llama plano tangente a SS a las P0P0 (Figura 4.27).

Se muestra una superficie S con un punto P0 = (x0, y0, z0). En S se muestran dos curvas que se intersecan que pasan por P0. Para cada una de estas curvas se trazan tangentes en P0, y estas líneas tangentes crean un plano, a saber, el plano tangente en P0.
Figura 4.27 El plano tangente a una superficie S S en un punto P 0 P 0 contiene todas las líneas tangentes a las curvas en S S que pasan por P 0 . P 0 .

Para que exista un plano tangente a una superficie en un punto de la misma, basta con que la función que define la superficie sea diferenciable en ese punto, definido más adelante en esta sección. Definimos aquí el término plano tangente y luego exploramos la idea de forma intuitiva.

Definición

Supongamos que SS es una superficie definida por una función diferenciable z=f(x,y),z=f(x,y), y supongamos que P0=(x0,y0)P0=(x0,y0) es un punto en el dominio de f.f. Entonces, la ecuación del plano tangente a SS a las P0P0 está dada por

z=f(x0,y0)+fx(x0,y0)(xx0)+fy(x0,y0)(yy0).z=f(x0,y0)+fx(x0,y0)(xx0)+fy(x0,y0)(yy0).
(4.24)

Para ver por qué esta fórmula es correcta, hallemos primero dos líneas tangentes a la superficie S.S. La ecuación de la línea tangente a la curva que está representada por la intersección de SS con la traza vertical dada por x=x0x=x0 ¿es z=f(x0,y0)+fy(x0,y0)(yy0).z=f(x0,y0)+fy(x0,y0)(yy0). Igualmente, la ecuación de la línea tangente a la curva que está representada por la intersección de SS con la traza vertical dada por y=y0y=y0 ¿es z=f(x0,y0)+fx(x0,y0)(xx0).z=f(x0,y0)+fx(x0,y0)(xx0). Un vector paralelo a la primera línea tangente es a=j+fy(x0,y0)k;a=j+fy(x0,y0)k; un vector paralelo a la segunda línea tangente es b=i+fx(x0,y0)k.b=i+fx(x0,y0)k. Podemos tomar el producto vectorial de estos dos vectores:

a×b=(j+fy(x0,y0)k)×(i+fx(x0,y0)k)=|ijk01fy(x0,y0)10fx(x0,y0)|=fx(x0,y0)i+fy(x0,y0)jk.a×b=(j+fy(x0,y0)k)×(i+fx(x0,y0)k)=|ijk01fy(x0,y0)10fx(x0,y0)|=fx(x0,y0)i+fy(x0,y0)jk.

Este vector es perpendicular a ambas líneas y, por tanto, es perpendicular al plano tangente. Podemos utilizar este vector como vector normal al plano tangente, junto con el punto P0=(x0,y0,f(x0,y0))P0=(x0,y0,f(x0,y0)) en la ecuación de un plano:

n.((xx0)i+(yy0)j+(zf(x0,y0))k)=0(fx(x0,y0)i+fy(x0,y0)jk).((xx0)i+(yy0)j+(zf(x0,y0))k)=0fx(x0,y0)(xx0)+fy(x0,y0)(yy0)(zf(x0,y0))=0.n.((xx0)i+(yy0)j+(zf(x0,y0))k)=0(fx(x0,y0)i+fy(x0,y0)jk).((xx0)i+(yy0)j+(zf(x0,y0))k)=0fx(x0,y0)(xx0)+fy(x0,y0)(yy0)(zf(x0,y0))=0.

Resolviendo esta ecuación para zz nos da la Ecuación 4.24.

Ejemplo 4.21

Hallar un plano tangente

Halle la ecuación del plano tangente a la superficie definida por la función f(x,y)=2 x2 3xy+8y2 +2 x4y+4f(x,y)=2 x2 3xy+8y2 +2 x4y+4 en el punto (2 ,–1).(2 ,–1).

Punto de control 4.19

Halle la ecuación del plano tangente a la superficie definida por la función f(x,y)=x3x2 y+y2 2 x+3y2 f(x,y)=x3x2 y+y2 2 x+3y2 en el punto (–1,3).(–1,3).

Ejemplo 4.22

Hallar otro plano tangente

Halle la ecuación del plano tangente a la superficie definida por la función f(x,y)=sen(2 x)cos(3y)f(x,y)=sen(2 x)cos(3y) en el punto (π/3,π/4).(π/3,π/4).

Un plano tangente a una superficie no siempre existe en todos los puntos de la superficie. Considere la función

f(x,y)={xyx2 +y2 (x,y)(0,0)0(x,y)=(0,0).f(x,y)={xyx2 +y2 (x,y)(0,0)0(x,y)=(0,0).

A continuación se muestra el gráfico de esta función.

Una superficie curva que pasa por (0, 0, 0) y que se pliega a ambos lados del eje z.
Figura 4.29 Gráfico de una función que no tiene plano tangente en el origen.

Si x=0x=0 o y=0,y=0, entonces f(x,y)=0,f(x,y)=0, para que el valor de la función no cambie ni en el eje x ni en el eje y. Por lo tanto, fx(x,0)=fy(0,y)=0,fx(x,0)=fy(0,y)=0, así como xi yxi y se acercan a cero, estas derivadas parciales se mantienen iguales a cero. Sustituyéndolas en la Ecuación 4.24 se obtiene z=0z=0 como la ecuación de la línea tangente. Sin embargo, si nos acercamos el origen desde una dirección diferente, obtenemos una historia distinta. Por ejemplo, supongamos que nos acercamos al origen por la línea y=x.y=x. Si ponemos y=xy=x en la función original, se convierte en

f(x,x)=x(x)x2 +(x)2 =x2 2 x2 =|x|2 .f(x,x)=x(x)x2 +(x)2 =x2 2 x2 =|x|2 .

Cuando x>0,x>0, la pendiente de esta curva es igual a 2 /2 ;2 /2 ; cuando x<0,x<0, la pendiente de esta curva es igual a (2 /2 ).(2 /2 ). Esto plantea un problema. En la definición de plano tangente, hemos supuesto que todas las líneas tangentes que pasan por el punto PP (en este caso, el origen) estaban en el mismo plano. Es evidente que este no es el caso. Cuando estudiemos las funciones diferenciables, veremos que esta función no es diferenciable en el origen.

Aproximaciones lineales

Recordemos que en Aproximaciones lineales y diferenciales la fórmula para la aproximación lineal de una función f(x)f(x) en el punto x=ax=a viene dada por

yf(a)+f(a)(xa).yf(a)+f(a)(xa).

El diagrama para la aproximación lineal de una función de una variable aparece en el siguiente gráfico.

Una curva en el plano xy con un punto y una tangente a ese punto. La figura está marcada como aproximación a la línea tangente.
Figura 4.30 Aproximación lineal de una función en una variable.

La línea tangente puede utilizarse como una aproximación a la función f(x)f(x) para los valores de xx razonablemente cerca de x=a.x=a. Cuando se trabaja con una función de dos variables, la línea tangente se sustituye por un plano tangente, pero la idea de aproximación es muy parecida.

Definición

Dada una función z=f(x,y)z=f(x,y) con derivadas parciales continuas que existen en el punto (x0,y0),(x0,y0), la aproximación lineal de ff en el punto (x0,y0)(x0,y0) está dada por la ecuación

L(x,y)=f(x0,y0)+fx(x0,y0)(xx0)+fy(x0,y0)(yy0).L(x,y)=f(x0,y0)+fx(x0,y0)(xx0)+fy(x0,y0)(yy0).
(4.25)

Observe que esta ecuación también representa el plano tangente a la superficie definida por z=f(x,y)z=f(x,y) en el punto (x0,y0).(x0,y0). La idea de utilizar una aproximación lineal es que, si hay un punto (x0,y0)(x0,y0) en el que el valor preciso de f(x,y)f(x,y) es conocido, entonces para valores de (x,y)(x,y) razonablemente cerca de (x0,y0),(x0,y0), la aproximación lineal (es decir, el plano tangente) arroja un valor que también se aproxima razonablemente al valor exacto de f(x,y)f(x,y) (Figura 4.31). Además el plano que se utiliza para hallar la aproximación lineal es también el plano tangente a la superficie en el punto (x0,y0).(x0,y0).

Un paraboloide con superficie z = f(x, y). Hay un punto dado en el paraboloide P (x0, y0) con un plano tangente en ese punto. Hay un punto en el plano que está marcado como la aproximación lineal L(x, y) a f(x0, y0), que está cerca del punto correspondiente en el paraboloide.
Figura 4.31 Uso de un plano tangente para la aproximación lineal en un punto.

Ejemplo 4.23

Usar una aproximación al plano tangente

Dada la función f(x,y)=414x2 y2 ,f(x,y)=414x2 y2 , aproxime f(2,1,2,9)f(2,1,2,9) utilizando el punto (2 ,3)(2 ,3) por (x0,y0).(x0,y0). ¿Cuál es el valor aproximado de f(2,1,2,9)f(2,1,2,9) con cuatro decimales?

Punto de control 4.20

Dada la función f(x,y)=e52 x+3y,f(x,y)=e52 x+3y, aproxime f(4,1,0,9)f(4,1,0,9) utilizando el punto (4,1)(4,1) por (x0,y0).(x0,y0). ¿Cuál es el valor aproximado de f(4,1,0,9)f(4,1,0,9) con cuatro decimales?

Diferenciabilidad

Cuando se trabaja con una función y=f(x)y=f(x) de una variable, se dice que la función es diferenciable en un punto x=ax=a si f(a)f(a). Además, si una función de una variable es diferenciable en un punto, el gráfico es “regular" en ese punto (es decir, no existen vértices) y una línea tangente está bien definida en ese punto.

La idea de diferenciabilidad de una función de dos variables está relacionada con la idea de regularidad en ese punto. En este caso, se considera que una superficie es regular en el punto PP si existe un plano tangente a la superficie en ese punto. Si una función es diferenciable en un punto, entonces existe un plano tangente a la superficie en ese punto. Recordemos que la fórmula de un plano tangente en un punto (x0,y0)(x0,y0) está dada por

z=f(x0,y0)+fx(x0,y0)(xx0)+fy(x0,y0)(yy0),z=f(x0,y0)+fx(x0,y0)(xx0)+fy(x0,y0)(yy0),

Para que exista un plano tangente en el punto (x0,y0),(x0,y0), las derivadas parciales deben, por tanto, existir en ese punto. Sin embargo, esta no es una condición suficiente para la regularidad, como se ilustró en la Figura 4.29. En ese caso, las derivadas parciales existían en el origen, pero la función también tenía una esquina en el gráfico en el origen.

Definición

Una función f(x,y)f(x,y) es diferenciable en un punto P(x0,y0)P(x0,y0) si, para todos los puntos (x,y)(x,y) en un disco δδ alrededor de P,P, podemos escribir

f(x,y,z)=f(x0,y0)+fx(x0,y0)(xx0)+fy(x0,y0)(yy0)+E(x,y),f(x,y,z)=f(x0,y0)+fx(x0,y0)(xx0)+fy(x0,y0)(yy0)+E(x,y),
(4.26)

donde el término de error EE satisface

lím(x,y)(x0,y0)E(x,y)(xx0)2 +(yy0)2 =0.lím(x,y)(x0,y0)E(x,y)(xx0)2 +(yy0)2 =0.

El último término en la Ecuación 4.26 se denomina término de error y representa la proximidad del plano tangente a la superficie en una pequeña zona (δ(δ) del punto P.P. Para que la función ff sea diferenciable en P,P, la función debe ser regular, es decir, el gráfico de ff debe estar cerca del plano tangente para los puntos cercanos a P.P.

Ejemplo 4.24

Demostrar la diferenciación

Demuestre que la función f(x,y)=2 x2 4yf(x,y)=2 x2 4y es diferenciable en el punto (2 ,−3).(2 ,−3).

Punto de control 4.21

Demuestre que la función f(x,y)=3x4y2 f(x,y)=3x4y2 es diferenciable en el punto (–1,2 ).(–1,2 ).

La función f(x,y)={xyx2 +y2 (x,y)(0,0)0(x,y)=(0,0)f(x,y)={xyx2 +y2 (x,y)(0,0)0(x,y)=(0,0) no es diferenciable en el origen. Podemos comprobarlo calculando las derivadas parciales. Esta función apareció anteriormente en la sección, donde demostramos que fx(0,0)=fy(0,0)=0.fx(0,0)=fy(0,0)=0. Sustituyendo esta información en la Ecuación 4.26 mediante x0=0x0=0 y y0=0,y0=0, obtenemos

f(x,y)=f(0,0)+fx(0,0)(x0)+fy(0,0)(y0)+E(x,y)E(x,y)=xyx2 +y2 .f(x,y)=f(0,0)+fx(0,0)(x0)+fy(0,0)(y0)+E(x,y)E(x,y)=xyx2 +y2 .

Si calculamos lím(x,y)(x0,y0)E(x,y)(xx0)2 +(yy0)2 lím(x,y)(x0,y0)E(x,y)(xx0)2 +(yy0)2 obtenemos

lím(x,y)(x0,y0)E(x,y)(xx0)2 +(yy0)2 =lím(x,y)(0,0)xyx2 +y2 x2 +y2 =lím(x,y)(0,0)xyx2 +y2 .lím(x,y)(x0,y0)E(x,y)(xx0)2 +(yy0)2 =lím(x,y)(0,0)xyx2 +y2 x2 +y2 =lím(x,y)(0,0)xyx2 +y2 .

Dependiendo de la trayectoria seguida hacia el origen, este límite toma diferentes valores. Por lo tanto, el límite no existe y la función ff no es diferenciable en el origen como se muestra en la siguiente figura.

Una superficie curva en el espacio xyz que permanece constante a lo largo del eje x positivo y se curva hacia abajo a lo largo de la línea y = -x en el segundo cuadrante.
Figura 4.32 Esta función f ( x , y ) f ( x , y ) no es diferenciable en el origen.

La diferenciabilidad y la continuidad para funciones de dos o más variables están conectadas, igual que para las funciones de una variable. De hecho, con algunos ajustes de notación, el teorema básico es el mismo.

Teorema 4.6

La Diferenciabilidad implica continuidad

Supongamos que z=f(x,y)z=f(x,y) es una función de dos variables con (x0,y0)(x0,y0) en el dominio de f.f. Si f(x,y)f(x,y) es diferenciable en (x0,y0),(x0,y0), entonces f(x,y)f(x,y) es continua en (x0,y0).(x0,y0).

La Diferenciabilidad implica continuidad demuestre que si una función es diferenciable en un punto, entonces es continua allí. Sin embargo, si una función es continua en un punto, no es necesariamente diferenciable en ese punto. Por ejemplo,

f(x,y)={xyx2 +y2 (x,y)(0,0)0(x,y)=(0,0)f(x,y)={xyx2 +y2 (x,y)(0,0)0(x,y)=(0,0)

es continua en el origen, pero no es diferenciable en el origen. Esta observación también es similar a la situación en el cálculo de una sola variable.

La continuidad de las primeras parciales implica la diferenciabilidad explora además la conexión entre la continuidad y la diferenciabilidad en un punto. Este teorema dice que si la función y sus derivadas parciales son continuas en un punto, la función es diferenciable.

Teorema 4.7

La continuidad de las primeras parciales implica la diferenciabilidad

Supongamos que z=f(x,y)z=f(x,y) es una función de dos variables con (x0,y0)(x0,y0) en el dominio de f.f. Si f(x,y),f(x,y), fx(x,y),fx(x,y), y fy(x,y)fy(x,y) existen todas en una zona de (x0,y0)(x0,y0) y son continuas en (x0,y0),(x0,y0), entonces f(x,y)f(x,y) es diferenciable allí.

Recordemos que antes demostramos que la función

f(x,y)={xyx2 +y2 (x,y)(0,0)0(x,y)=(0,0)f(x,y)={xyx2 +y2 (x,y)(0,0)0(x,y)=(0,0)

no era diferenciable en el origen. Calculemos las derivadas parciales fxfx y fy:fy:

fx=y3(x2 +y2 )3/2 yfy=x3(x2 +y2 )3/2 .fx=y3(x2 +y2 )3/2 yfy=x3(x2 +y2 )3/2 .

El contrapositivo del teorema anterior afirma que si una función no es diferenciable, entonces al menos una de las hipótesis debe ser falsa. Exploremos la condición de que fx(0,0)fx(0,0) debe ser continua. Para que esto sea cierto, debe ser verdad que lím(x,y)(0,0)fx(0,0)=fx(0,0):lím(x,y)(0,0)fx(0,0)=fx(0,0):

lím(x,y)(0,0)fx(x,y)=lím(x,y)(0,0)y3(x2 +y2 )3/2 .lím(x,y)(0,0)fx(x,y)=lím(x,y)(0,0)y3(x2 +y2 )3/2 .

Supongamos que x=ky.x=ky. Entonces

lím(x,y)(0,0)y3(x2 +y2 )3/2 =límy0y3((ky)2 +y2 )3/2 =límy0y3(k2 y2 +y2 )3/2 =límy0y3|y|3(k2 +1)3/2 =1(k2 +1)3/2 límy0|y|y.lím(x,y)(0,0)y3(x2 +y2 )3/2 =límy0y3((ky)2 +y2 )3/2 =límy0y3(k2 y2 +y2 )3/2 =límy0y3|y|3(k2 +1)3/2 =1(k2 +1)3/2 límy0|y|y.

Si y>0,y>0, entonces esta expresión es igual a 1/(k2 +1)3/2 ;1/(k2 +1)3/2 ; si y<0,y<0, entonces es igual a (1/(k2 +1)3/2 ).(1/(k2 +1)3/2 ). En cualquier caso, el valor depende de k,k, por lo que el límite no existe.

Diferenciales

En Aproximaciones lineales y diferenciales estudiamos primero el concepto de diferenciales. El diferencial de y,y, se escribe como dy,dy, se define como f(x)dx.f(x)dx. El diferencial se utiliza para aproximar Δy=f(x+Δx)f(x),Δy=f(x+Δx)f(x), donde Δx=dx.Δx=dx. Extendiendo esta idea a la aproximación lineal de una función de dos variables en el punto (x0,y0)(x0,y0) se obtiene la fórmula de la diferencial total para una función de dos variables.

Definición

Supongamos que z=f(x,y)z=f(x,y) es una función de dos variables con (x0,y0)(x0,y0) en el dominio de f,f, y supongamos que ΔxΔx y ΔyΔy se elija de forma que (x0+Δx,y0+Δy)(x0+Δx,y0+Δy) también está en el dominio de f.f. Si ff es diferenciable en el punto (x0,y0),(x0,y0), entonces los diferenciales dxdx y dydy se definen como

dx=Δxydy=Δy.dx=Δxydy=Δy.

El diferencial dz,dz, también llamado el diferencial total de z=f(x,y)z=f(x,y) a las (x0,y0),(x0,y0), se define como

dz=fx(x0,y0)dx+fy(x0,y0)dy.dz=fx(x0,y0)dx+fy(x0,y0)dy.
(4.27)

Observe que el símbolo no se utiliza para denotar el diferencial total, sino, dd aparece frente a z.z. Ahora, definamos Δz=f(x+Δx,y+Δy)f(x,y).Δz=f(x+Δx,y+Δy)f(x,y). Utilizamos dzdz para aproximar Δz,Δz, así que

Δzdz=fx(x0,y0)dx+fy(x0,y0)dy.Δzdz=fx(x0,y0)dx+fy(x0,y0)dy.

Por lo tanto, el diferencial se utiliza para aproximar el cambio en la función z=f(x0,y0)z=f(x0,y0) en el punto (x0,y0)(x0,y0) para determinados valores de ΔxΔx y Δy.Δy. Dado que Δz=f(x+Δx,y+Δy)f(x,y),Δz=f(x+Δx,y+Δy)f(x,y), esto se puede utilizar más para aproximar f(x+Δx,y+Δy):f(x+Δx,y+Δy):

f(x+Δx,y+Δy)=f(x,y)+Δzf(x,y)+fx(x0,y0)Δx+fy(x0,y0)Δy.f(x+Δx,y+Δy)=f(x,y)+Δzf(x,y)+fx(x0,y0)Δx+fy(x0,y0)Δy.

Vea la siguiente figura.

Una superficie f en el plano xyz, con un plano tangente en el punto (x, y, f(x, y)). En el plano (x, y), hay un punto marcado (x + Δx, y + Δy). Hay una línea discontinua hasta el punto correspondiente del gráfico de f y la línea continúa luego hasta el plano tangente; la distancia al gráfico de f se marca f(x + + Δx, y + Δy), y la distancia al plano tangente se marca como la aproximación lineal.
Figura 4.33 La aproximación lineal se calcula mediante la fórmula f ( x + Δ x , y + Δ y ) f ( x , y ) + f x ( x 0 , y 0 ) Δ x + f y ( x 0 , y 0 ) Δ y . f ( x + Δ x , y + Δ y ) f ( x , y ) + f x ( x 0 , y 0 ) Δ x + f y ( x 0 , y 0 ) Δ y .

Una de las aplicaciones de esta idea es determinar la propagación de errores. Por ejemplo, si estamos fabricando un aparato y nos equivocamos en una cierta cantidad al medir una cantidad determinada, el diferencial puede utilizarse para estimar el error en su volumen total.

Ejemplo 4.25

Aproximación por diferenciales

Calcule el diferencial dzdz de la función f(x,y)=3x2 2 xy+y2 f(x,y)=3x2 2 xy+y2 y utilícela para aproximar ΔzΔz en el punto (2 ,−3).(2 ,−3). Utilice Δx=0,1Δx=0,1 y Δy=−0,05.Δy=−0,05. ¿Cuál es el valor exacto de Δz?Δz?

Punto de control 4.22

Calcule el diferencial dzdz de la función f(x,y)=4y2 +x2 y2 xyf(x,y)=4y2 +x2 y2 xy y utilícela para aproximar ΔzΔz en el punto (1,–1).(1,–1). Utilice Δx=0,03Δx=0,03 y Δy=−0,02.Δy=−0,02. ¿Cuál es el valor exacto de Δz?Δz?

Diferenciabilidad de una función de tres variables

Todos los resultados anteriores sobre la diferenciabilidad de las funciones de dos variables pueden generalizarse a las funciones de tres variables. Primero, la definición:

Definición

Una función f(x,y,z)f(x,y,z) es diferenciable en un punto P(x0,y0,z0)P(x0,y0,z0) si para todos los puntos (x,y,z)(x,y,z) en un disco δδ alrededor de PP podemos escribir

f(x,y,z)=f(x0,y0,z0)+fx(x0,y0,z0)(xx0)+fy(x0,y0,z0)(yy0)+fz(x0,y0,z0)(zz0)+E(x,y,z),f(x,y,z)=f(x0,y0,z0)+fx(x0,y0,z0)(xx0)+fy(x0,y0,z0)(yy0)+fz(x0,y0,z0)(zz0)+E(x,y,z),
(4.28)

donde el término de error E satisface

lím(x,y,z)(x0,y0,z0)E(x,y,z)(xx0)2 +(yy0)2 +(zz0)2 =0.lím(x,y,z)(x0,y0,z0)E(x,y,z)(xx0)2 +(yy0)2 +(zz0)2 =0.

Si una función de tres variables es diferenciable en un punto (x0,y0,z0),(x0,y0,z0), entonces es continuo allí. Además, la continuidad de las primeras derivadas parciales en ese punto garantiza la diferenciabilidad.

Sección 4.4 ejercicios

En los siguientes ejercicios, halle un vector normal unitario a la superficie en el punto indicado.

163.

f(x,y)=x3,(2 ,–1,8)f(x,y)=x3,(2 ,–1,8) grandes.

164.

ln(xyz)=0ln(xyz)=0 cuando x=y=1x=y=1

En los siguientes ejercicios, como repaso útil para las técnicas utilizadas en esta sección, halle un vector normal y un vector tangente en el punto P.P.

165.

x 2 + x y + y 2 = 3 , P ( –1 , –1 ) x 2 + x y + y 2 = 3 , P ( –1 , –1 )

166.

(x2 +y2 )2 =9(x2 y2 ),P(2 ,1)(x2 +y2 )2 =9(x2 y2 ),P(2 ,1) grandes.

167.

x y 2 2 x 2 + y + 5 x = 6 , P ( 4 , 2 ) x y 2 2 x 2 + y + 5 x = 6 , P ( 4 , 2 )

168.

2 x3x2 y2 =3xy7,P(1,–2)2 x3x2 y2 =3xy7,P(1,–2) grandes.

169.

zex2 y2 3=0,zex2 y2 3=0, P(2 ,2 ,3)P(2 ,2 ,3) grandes.

En los siguientes ejercicios, halle la ecuación del plano tangente a la superficie en el punto indicado. (Sugerencia: Resuelva para zz en términos de xx como y.)y.) grandes.

170.

−8x3y7z=−19,P(1,–1,2 )−8x3y7z=−19,P(1,–1,2 ) grandes.

171.

z=–9x2 3y2 ,P(2 ,1,−39)z=–9x2 3y2 ,P(2 ,1,−39) grandes.

172.

x2 +10xyz+y2 +8z2 =0,P(–1,–1,–1)x2 +10xyz+y2 +8z2 =0,P(–1,–1,–1) grandes.

173.

z=ln(10x2 +2 y2 +1),P(0,0,0)z=ln(10x2 +2 y2 +1),P(0,0,0) grandes.

174.

z=e7x2 +4y2 ,z=e7x2 +4y2 , P(0,0,1)P(0,0,1) grandes.

175.

xy+yz+zx=11,P(1,2 ,3)xy+yz+zx=11,P(1,2 ,3) grandes.

176.

x2 +4y2 =z2 ,P(3,2 ,5)x2 +4y2 =z2 ,P(3,2 ,5) grandes.

177.

x3+y3=3xyz,P(1,2 ,32 )x3+y3=3xyz,P(1,2 ,32 ) grandes.

178.

z=axy,P(1,1a,1)z=axy,P(1,1a,1) grandes.

179.

z=senx+seny+sen(x+y),P(0,0,0)z=senx+seny+sen(x+y),P(0,0,0) grandes.

180.

h(x,y)=lnx2 +y2 ,P(3,4)h(x,y)=lnx2 +y2 ,P(3,4) grandes.

181.

z=x2 2 xy+y2 ,P(1,2 ,1)z=x2 2 xy+y2 ,P(1,2 ,1) grandes.

En los siguientes ejercicios, halle las ecuaciones paramétricas de la línea normal a la superficie en el punto indicado. (Recuerde que para hallar la ecuación de una línea en el espacio, necesita un punto en ella, P0(x0,y0,z0),P0(x0,y0,z0), y un vector n=a,b,cn=a,b,c que es paralelo a la línea. Entonces la ecuación de la línea es xx0=at,yy0=bt,zz0=ct.)xx0=at,yy0=bt,zz0=ct.) grandes.

182.

−3x+9y+4z=−4,P(1,–1,2 )−3x+9y+4z=−4,P(1,–1,2 ) grandes.

183.

z=5x2 2 y2 ,P(2 ,1,18)z=5x2 2 y2 ,P(2 ,1,18) grandes.

184.

x2 8xyz+y2 +6z2 =0,P(1,1,1)x2 8xyz+y2 +6z2 =0,P(1,1,1) grandes.

185.

z=ln(3x2 +7y2 +1),P(0,0,0)z=ln(3x2 +7y2 +1),P(0,0,0) grandes.

186.

z=e4x2 +6y2 ,P(0,0,1)z=e4x2 +6y2 ,P(0,0,1) grandes.

187.

z=x2 2 xy+y2 z=x2 2 xy+y2 en el punto P(1,2 ,1)P(1,2 ,1) grandes.

En los siguientes ejercicios, utilice la figura que se muestra aquí.

Una superficie en el plano xyz se marca como z = f(x, y). Esta superficie tiene un plano tangente en (x0, y0, z0), con el punto correspondiente (x0, y0) marcado en el plano xy. También está marcado en el plano xy el punto (x0 + Δx, y0 + Δy). Desde este punto, se traza una línea hasta la superficie y se marcan tres puntos. El primer punto es C, que es (x0 + Δx, y0 + Δy, z0), luego está B, que está en el plano tangente, y luego está A, que está en la superficie. La distancia entre B y C se marca con df(x0, y0).
188.

La longitud del segmento de línea ACAC es igual a ¿qué expresión matemática?

189.

La longitud del segmento de línea BCBC es igual a ¿qué expresión matemática?

190.

Utilizando la figura, explique qué representa la longitud del segmento de línea ABAB.

En los siguientes ejercicios, complete cada tarea.

191.

Demuestre que f(x,y)=exyxf(x,y)=exyx es diferenciable en el punto (1,0).(1,0).

192.

Calcule la diferencial total de la función w=eycos(x)+z2 .w=eycos(x)+z2 .

193.

Demuestre que f(x,y)=x2 +3yf(x,y)=x2 +3y es diferenciable en cada punto. En otras palabras, demuestre que Δz=f(x+Δx,y+Δy)f(x,y)=fxΔx+fyΔy+ε1Δx+ε2 Δy,Δz=f(x+Δx,y+Δy)f(x,y)=fxΔx+fyΔy+ε1Δx+ε2 Δy, donde ε1ε1 y ε2 ε2 se acercan a cero a medida que (Δx,Δy)(Δx,Δy) se aproxima a (0,0).(0,0).

194.

Calcule la diferencial total de la función z=xyy+xz=xyy+x donde xx cambia de 10para10,510para10,5 e yy cambia de 15para13.15para13.

195.

Supongamos que z=f(x,y)=xey.z=f(x,y)=xey. Calcule ΔzΔz a partir de P(1,2 )P(1,2 ) al Q(1,05,2,1)Q(1,05,2,1) y luego halle el cambio aproximado en zz desde el punto PP al punto Q.Q. Recuerde que Δz=f(x+Δx,y+Δy)f(x,y),Δz=f(x+Δx,y+Δy)f(x,y), y dzdz y ΔzΔz son aproximadamente iguales.

196.

El volumen de un cilindro circular recto viene dado por V(r,h)=πr2 h.V(r,h)=πr2 h. Calcule el diferencial dV.dV. Interprete la fórmula geométricamente.

197.

Vea el problema anterior. Utilice los diferenciales para estimar el volumen de aluminio en una lata de aluminio cerrada con diámetro 8,0cm8,0cm y altura 12cm12cm si el aluminio es 0,040,04 cm de espesor.

198.

Utilice el diferencial dzdz para aproximar el cambio en z=4x2 y2 z=4x2 y2 cuando (x,y)(x,y) se mueve desde el punto (1,1)(1,1) al punto (1,01,0,97).(1,01,0,97). Compare esta aproximación con el cambio real de la función.

199.

Supongamos que z=f(x,y)=x2 +3xyy2 .z=f(x,y)=x2 +3xyy2 . Halle el cambio exacto de la función y el cambio aproximado de la función mientras xx cambia de 2,00para2,052,00para2,05 e yy cambia de 3,00para2,96.3,00para2,96.

200.

La aceleración centrípeta de una partícula que se mueve en un círculo viene dada por a(r,v)=v2 r,a(r,v)=v2 r, donde vv es la velocidad y rr es el radio del círculo. Aproxime el porcentaje máximo de error en la medición de la aceleración resultante de los errores de 3 %3 % en vv y 2  %2  % en r.r. (Recordemos que el porcentaje de error es la relación de la cantidad de error sobre la cantidad original. Así que, en este caso, el porcentaje de error en aa viene dada por daa.)daa.)

201.

El radio rr y altura hh de un cilindro circular recto se miden con posibles errores de 4 %y5 %,4 %y5 %, respectivamente. Aproxime el máximo porcentaje de error posible en la medición del volumen (recordemos que el porcentaje de error es la relación de la cantidad de error sobre la cantidad original. Así que, en este caso, el porcentaje de error en VV viene dado por dVV.)dVV.) grandes.

202.

El radio de la base y la altura de un cono circular recto se miden como 1010 pulgadas y 2525 pulgadas, respectivamente, con un posible error de medición de hasta 0,10,1 pulgadas cada uno. Utilice los diferenciales para estimar el error máximo en el volumen calculado del cono.

203.

La resistencia eléctrica RR producida por el cableado de los resistores R1R1 y R2 R2 en paralelo se puede calcular a partir de la fórmula 1R=1R1+1R2 .1R=1R1+1R2 . Si R1R1 y R2 R2 se miden en 7Ω7Ω y 6Ω,6Ω, respectivamente, y si estas mediciones tienen una precisión de 0,05Ω,0,05Ω, estime el máximo error posible en el cálculo de R.R. (El símbolo ΩΩ representa un ohmio, la unidad de resistencia eléctrica).

204.

El área de una elipse con ejes de longitud 2 a2 a y 2 b2 b viene dado por la fórmula

A=πab.A=πab. Aproxime el porcentaje de cambio en el área cuando aa aumenta en 2  %2  % y bb aumenta en 1,5 %.1,5 %.

205.

El periodo TT de un péndulo simple con pequeñas oscilaciones se calcula a partir de la fórmula T=2 πLg,T=2 πLg, donde LL es la longitud del péndulo y gg es la aceleración resultante de la gravedad. Supongamos que LL y gg tienen errores de, como máximo, 0,5 %0,5 % y 0,1 %,0,1 %, respectivamente. Utilice los diferenciales para aproximar el porcentaje máximo de error en el valor calculado de T.T.

206.

La energía eléctrica PP viene dada por P=V2 R,P=V2 R, donde VV es el voltaje y RR es la resistencia. Aproxime el porcentaje máximo de error en el cálculo de la potencia si 120120 VV se aplica a un resistor de 2000Ω2000Ω y los posibles errores porcentuales en la medición VV y RR son 3 %3 % y 4 %,4 %, respectivamente.

En los siguientes ejercicios, halle la aproximación lineal de cada función en el punto indicado.

207.

f(x,y)=xy,P(1,4)f(x,y)=xy,P(1,4) grandes.

208.

f(x,y)=excosy;P(0,0)f(x,y)=excosy;P(0,0) grandes.

209.

f(x,y)=arctan(x+2 y),P(1,0)f(x,y)=arctan(x+2 y),P(1,0) grandes.

210.

f(x,y)=20x2 7y2 ,P(2 ,1)f(x,y)=20x2 7y2 ,P(2 ,1) grandes.

211.

f(x,y,z)=x2 +y2 +z2 ,P(3,2 ,6)f(x,y,z)=x2 +y2 +z2 ,P(3,2 ,6) grandes.

212.

[T] Halle la ecuación del plano tangente a la superficie f(x,y)=x2 +y2 f(x,y)=x2 +y2 en el punto (1,2 ,5),(1,2 ,5), y grafique la superficie y el plano tangente en el punto.

213.

[T] Halle la ecuación del plano tangente a la superficie en el punto indicado y grafique la superficie y el plano tangente z=ln(10x2 +2 y2 +1),P(0,0,0).z=ln(10x2 +2 y2 +1),P(0,0,0).

214.

[T] Halle la ecuación del plano tangente a la superficie z=f(x,y)=sen(x+y2 )z=f(x,y)=sen(x+y2 ) en el punto (π4,0,2 2 ),(π4,0,2 2 ), y grafique la superficie y el plano tangente.

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