Omitir e ir al contenidoIr a la página de accesibilidadMenú de atajos de teclado
Logo de OpenStax
Cálculo volumen 1

4.2 Aproximaciones lineales y diferenciales

Cálculo volumen 14.2 Aproximaciones lineales y diferenciales

Menú
Índice
  1. Prefacio
  2. 1 Funciones y gráficos
    1. Introducción
    2. 1.1 Repaso de las funciones
    3. 1.2 Clases básicas de funciones
    4. 1.3 Funciones trigonométricas
    5. 1.4 Funciones inversas
    6. 1.5 Funciones exponenciales y logarítmicas
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  3. 2 Límites
    1. Introducción
    2. 2.1 Un repaso previo del cálculo
    3. 2.2 El límite de una función
    4. 2.3 Las leyes de los límites
    5. 2.4 Continuidad
    6. 2.5 La definición precisa de un límite
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  4. 3 Derivadas
    1. Introducción
    2. 3.1 Definir la derivada
    3. 3.2 La derivada como función
    4. 3.3 Reglas de diferenciación
    5. 3.4 Las derivadas como tasas de cambio
    6. 3.5 Derivadas de funciones trigonométricas
    7. 3.6 La regla de la cadena
    8. 3.7 Derivadas de funciones inversas
    9. 3.8 Diferenciación implícita
    10. 3.9 Derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas
    11. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  5. 4 Aplicaciones de las derivadas
    1. Introducción
    2. 4.1 Tasas relacionadas
    3. 4.2 Aproximaciones lineales y diferenciales
    4. 4.3 Máximos y mínimos
    5. 4.4 El teorema del valor medio
    6. 4.5 Las derivadas y la forma de un gráfico
    7. 4.6 Límites al infinito y asíntotas
    8. 4.7 Problemas de optimización aplicados
    9. 4.8 La regla de L'Hôpital
    10. 4.9 Método de Newton
    11. 4.10 Antiderivadas
    12. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  6. 5 Integración
    1. Introducción
    2. 5.1 Aproximación de áreas
    3. 5.2 La integral definida
    4. 5.3 El teorema fundamental del cálculo
    5. 5.4 Fórmulas de integración y el teorema del cambio neto
    6. 5.5 Sustitución
    7. 5.6 Integrales con funciones exponenciales y logarítmicas
    8. 5.7 Integrales que resultan en funciones trigonométricas inversas
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  7. 6 Aplicaciones de la integración
    1. Introducción
    2. 6.1 Áreas entre curvas
    3. 6.2 Determinar los volúmenes mediante el corte
    4. 6.3 Volúmenes de revolución: capas cilíndricas
    5. 6.4 Longitud del arco de una curva y superficie
    6. 6.5 Aplicaciones físicas
    7. 6.6 Momentos y centros de masa
    8. 6.7 Integrales, funciones exponenciales y logaritmos
    9. 6.8 Crecimiento y decaimiento exponencial
    10. 6.9 Cálculo de las funciones hiperbólicas
    11. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  8. A Tabla de integrales
  9. B Tabla de derivadas
  10. C Repaso de Precálculo
  11. Clave de respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
  12. Índice

Objetivos de aprendizaje

  • 4.2.1 Describir la aproximación lineal a una función en un punto.
  • 4.2.2 Escribir la linealización de una función dada.
  • 4.2.3 Dibujar un gráfico que ilustre el uso de diferenciales para aproximar el cambio de una cantidad.
  • 4.2.4 Calcular el error relativo y el error porcentual al utilizar una aproximación diferencial.

Acabamos de ver cómo las derivadas nos permiten comparar cantidades relacionadas que cambian con el tiempo. En esta sección, examinamos otra aplicación de las derivadas: la capacidad de aproximar funciones localmente mediante funciones lineales. Las funciones lineales son las más fáciles de trabajar, por lo que constituyen una herramienta útil para aproximar los valores de las funciones. Además, las ideas presentadas en esta sección se generalizan más adelante en el texto cuando estudiamos cómo aproximar funciones mediante polinomios de mayor grado Introducción a las series de potencias y funciones.

Aproximación lineal de una función en un punto

Considere una función ff que es diferenciable en un punto x=a.x=a. Recordemos que la línea tangente al gráfico de ff en aa está dada por la ecuación

y=f(a)+f(a)(xa).y=f(a)+f(a)(xa).

Por ejemplo, consideremos la función f(x)=1xf(x)=1x en a=2 .a=2 . Dado que ff es diferenciable en x=2 x=2 y f(x)=1x2 ,f(x)=1x2 , vemos que f(2 )=14.f(2 )=14. Por tanto, la línea tangente al gráfico de ff en a=2 a=2 está dada por la ecuación

y=12 14(x2 ).y=12 14(x2 ).

Figura 4.7(a) muestra un gráfico de f(x)=1xf(x)=1x junto con la línea tangente a ff en x=2 .x=2 . Tenga en cuenta que para xx cerca de 2, el gráfico de la línea tangente se acerca al gráfico de f.f. Como resultado, podemos utilizar la ecuación de la línea tangente para aproximar f(x)f(x) para xx cerca de 2. Por ejemplo, si x=2,1,x=2,1, la columna yy del punto correspondiente en la línea tangente es

y=12 14(2,12 )=0,475.y=12 14(2,12 )=0,475.

El valor real de f(2,1)f(2,1) está dada por

f(2,1)=12,10,47619.f(2,1)=12,10,47619.

Por lo tanto, la línea tangente nos da una aproximación bastante buena de f(2,1)f(2,1) (Figura 4.7(b)). Sin embargo, hay que tener en cuenta que para los valores de xx lejos de 2, la ecuación de la línea tangente no nos da una buena aproximación. Por ejemplo, si x=10,x=10, la columna yy del punto correspondiente en la línea tangente es

y=12 14(102 )=12 2 =−1,5,y=12 14(102 )=12 2 =−1,5,

mientras que el valor de la función en x=10x=10 es f(10)=0,1.f(10)=0,1.

Esta figura tiene dos partes a y b. En la figura a, se muestra la línea f(x) = 1/x con su línea tangente en x = 2. En la figura b, el área cerca del punto de la tangente se amplía para mostrar lo buena que es la aproximación de la tangente cerca de x = 2.
Figura 4.7 (a) La línea tangente a f ( x ) = 1 / x f ( x ) = 1 / x en x = 2 x = 2 proporciona una buena aproximación a f f para x x cerca de 2. (b) En x = 2,1 , x = 2,1 , el valor de y y en la línea tangente a f ( x ) = 1 / x f ( x ) = 1 / x es 0,475. El valor real de f ( 2,1 ) f ( 2,1 ) es 1 / 2,1 , 1 / 2,1 , que es aproximadamente 0,47619.

En general, para una función diferenciable f,f, la ecuación de la línea tangente a ff en x=ax=a se puede utilizar para aproximar f(x)f(x) para xx cerca de a.a. Por lo tanto, podemos escribir

f(x)f(a)+f(a)(xa)paraxcerca dea.f(x)f(a)+f(a)(xa)paraxcerca dea.

Llamamos función lineal

L(x)=f(a)+f(a)(xa)L(x)=f(a)+f(a)(xa)
(4.1)

a la aproximación lineal, o aproximación de la línea tangente, de ff en x=a.x=a. Esta función LL también se conoce como la linealización de ff en x=a.x=a.

Para mostrar lo útil que puede ser la aproximación lineal, veremos cómo encontrar la aproximación lineal para f(x)=xf(x)=x en x=9.x=9.

Ejemplo 4.5

Aproximación lineal de xx

Calcule la aproximación lineal de f(x)=xf(x)=x en x=9x=9 y utilice la aproximación para estimar 9,1.9,1.

Análisis

Utilizando una calculadora, el valor de 9,19,1 con cuatro decimales es 3,0166. El valor dado por la aproximación lineal, 3,0167, es muy cercano al valor obtenido con la calculadora, por lo que parece que utilizar esta aproximación lineal es una buena forma de estimar x,x, al menos para xx cerca de 9.9. Al mismo tiempo, puede parecer extraño utilizar una aproximación lineal cuando podemos simplemente pulsar unos cuantos botones en una calculadora para evaluar 9,1.9,1. Sin embargo, ¿cómo evalúa la calculadora 9,1?9,1? ¡La calculadora utiliza una aproximación! De hecho, las calculadoras y las computadoras utilizan aproximaciones todo el tiempo para evaluar expresiones matemáticas; solo que utilizan aproximaciones de mayor grado.

Punto de control 4.5

Calcule la aproximación lineal local a f(x)=x3f(x)=x3 en x=8.x=8. Utilícela para aproximar 8,138,13 con cinco decimales.

Ejemplo 4.6

Aproximación lineal de senxsenx

Calcule la aproximación lineal de f(x)=senxf(x)=senx en x=π3x=π3 y utilícela para aproximar sen(62°).sen(62°).

Punto de control 4.6

Calcule la aproximación lineal para f(x)=cosxf(x)=cosx en x=π2 .x=π2 .

Se pueden utilizar aproximaciones lineales para estimar raíces y potencias. En el siguiente ejemplo, calculamos la aproximación lineal para f(x)=(1+x)nf(x)=(1+x)n en x=0,x=0, que puede utilizarse para estimar raíces y potencias para números reales cercanos a 1. La misma idea puede extenderse a una función de la forma f(x)=(m+x)nf(x)=(m+x)n para estimar raíces y potencias cerca de un número diferente m.m.

Ejemplo 4.7

Aproximación de raíces y potencias

Calcule la aproximación lineal de f(x)=(1+x)nf(x)=(1+x)n en x=0.x=0. Utilice esta aproximación para estimar (1,01)3.(1,01)3.

Punto de control 4.7

Calcule la aproximación lineal de f(x)=(1+x)4f(x)=(1+x)4 en x=0x=0 sin utilizar el resultado del ejemplo anterior.

Diferenciales

Hemos visto que se pueden utilizar aproximaciones lineales para estimar los valores de las funciones. También pueden utilizarse para estimar la cantidad de cambios en el valor de una función como resultado de un pequeño cambio en la entrada. Para discutir esto más formalmente, definimos un concepto relacionado: los diferenciales. Los diferenciales nos proporcionan una forma de estimar la cantidad que cambia una función como resultado de un pequeño cambio en los valores de entrada.

La primera vez que vimos las derivadas, utilizamos la notación de Leibniz dy/dxdy/dx para representar la derivada de yy con respecto a x.x. Aunque utilizamos las expresiones dy y dx en esta notación, no tienen significado por sí mismas. Aquí vemos el significado de las expresiones dy y dx. Supongamos que y=f(x)y=f(x) es una función diferenciable. Supongamos que dx es una variable independiente a la que se le puede asignar cualquier número real distinto de cero y defina la variable dependiente dydy mediante

dy=f(x)dx.dy=f(x)dx.
(4.2)

Es importante tener en cuenta que dydy es una función de ambas xx y dx.dx. Las expresiones dy y dx se llaman diferenciales. Podemos dividir ambos lados de la Ecuación 4.2 entre dx,dx, que da como resultado

dydx=f(x).dydx=f(x).
(4.3)

Esta es la expresión familiar que hemos utilizado para denotar una derivada. La Ecuación 4.2 se conoce como la forma diferencial de la Ecuación 4.3.

Ejemplo 4.8

Cálculo de los diferenciales

Para cada una de las siguientes funciones, calcule dy y evalúe cuando x=3x=3 y dx=0,1.dx=0,1.

  1. y=x2 +2 xy=x2 +2 x
  2. y=cosxy=cosx

Punto de control 4.8

Para y=ex2 ,y=ex2 , calcule dy.dy.

Ahora conectamos los diferenciales con las aproximaciones lineales. Los diferenciales pueden utilizarse para estimar el cambio en el valor de una función resultante de un pequeño cambio en los valores de entrada. Considere una función ff que es diferenciable en el punto a.a. Supongamos que la entrada xx cambia por una pequeña cantidad. Nos interesa saber en qué medida la salida yy cambia. Si los valores de xx cambia de aa a a+dx,a+dx, entonces el cambio en xx es dxdx (también denominado Δx),Δx), y el cambio en yy está dada por

Δy=f(a+dx)f(a).Δy=f(a+dx)f(a).

En vez de calcular el cambio exacto en y,y, sin embargo, a menudo es más fácil aproximar el cambio en yy utilizando una aproximación lineal. Para xx cerca de a,a, f(x)f(x) se puede aproximar mediante la aproximación lineal

L(x)=f(a)+f(a)(xa).L(x)=f(a)+f(a)(xa).

Por lo tanto, si dxdx es pequeña,

f(a+dx)L(a+dx)=f(a)+f(a)(a+dxa).f(a+dx)L(a+dx)=f(a)+f(a)(a+dxa).

Eso es,

f(a+dx)f(a)L(a+dx)f(a)=f(a)dx.f(a+dx)f(a)L(a+dx)f(a)=f(a)dx.

En otras palabras, el cambio real de la función ff si xx aumenta de aa a a+dxa+dx es aproximadamente la diferencia entre L(a+dx)L(a+dx) y f(a),f(a), donde L(x)L(x) es la aproximación lineal de ff en a.a. Por definición de L(x),L(x), esta diferencia es igual a f(a)dx.f(a)dx. En resumen,

Δy=f(a+dx)f(a)L(a+dx)f(a)=f(a)dx=dy.Δy=f(a+dx)f(a)L(a+dx)f(a)=f(a)dx=dy.

Por lo tanto, podemos utilizar el diferencial dy=f(a)dxdy=f(a)dx para aproximar el cambio en yy si xx aumenta de x=ax=a a x=a+dx.x=a+dx. Podemos verlo en el siguiente gráfico.

Se muestra una función y = f(x) junto con su línea tangente en (a, f(a)). La línea tangente se denomina L(x). El eje x está marcado como a y a + dx, con una línea discontinua que muestra la distancia entre a y a + dx como dx. Los puntos (a + dx, f(a + dx)) y (a + dx, L(a + dx)) están marcados en las curvas para y = f(x) y y = L(x), respectivamente. La distancia entre f(a) y L(a + dx) se marca como dy = f'(a) dx, y la distancia entre f(a) y f(a + dx) se marca como Δy = f(a + dx) - f(a).
Figura 4.11 El diferencial d y = f ( a ) d x d y = f ( a ) d x se utiliza para aproximar el cambio real en y y si x x aumenta de a a a a + d x . a + d x .

Ahora veremos cómo utilizar los diferenciales para aproximar el cambio en el valor de la función que resulta de un pequeño cambio en el valor de la entrada. Observe que el cálculo con diferenciales es mucho más sencillo que el cálculo de los valores reales de las funciones y el resultado se aproxima mucho a lo que obtendríamos con el cálculo más exacto.

Ejemplo 4.9

Aproximación del cambio con diferenciales

Supongamos que y=x2 +2 x.y=x2 +2 x. Calcule ΔyΔy y dy en x=3x=3 si dx=0,1.dx=0,1.

Punto de control 4.9

Para y=x2 +2 x,y=x2 +2 x, calcule ΔyΔy y dydy en x=3x=3 si dx=0,2.dx=0,2.

Cálculo del grado de error

Cualquier tipo de medición es propensa a un cierto grado de error. En muchas aplicaciones, ciertas cantidades se calculan a partir de mediciones. Por ejemplo, el área de un círculo se calcula midiendo el radio del mismo. Un error en la medición del radio conduce a un error en el valor calculado del área. Aquí examinamos este tipo de error y estudiamos cómo se pueden utilizar los diferenciales para estimar el error.

Considere una función ff con una entrada que es una cantidad medida. Supongamos que el valor exacto de la cantidad medida es a,a, pero el valor medido es a+dx.a+dx. Decimos que el error de medición es dx (o Δx).Δx). Como resultado, se produce un error en la cantidad calculada f(x).f(x). Este tipo de error se conoce como error propagado y está dado por

Δy=f(a+dx)f(a).Δy=f(a+dx)f(a).

Dado que todas las mediciones están sujetas a cierto grado de error, no conocemos el valor exacto de una cantidad medida, por lo que no podemos calcular el error propagado con exactitud. Sin embargo, dada una estimación de la exactitud de una medición, podemos utilizar diferenciales para aproximar el error propagado Δy.Δy. En concreto, si ff es una función diferenciable en a,a, el error propagado es

Δydy=f(a)dx.Δydy=f(a)dx.

Lamentablemente, no conocemos el valor exacto a.a. Sin embargo, podemos utilizar el valor medido a+dx,a+dx, y estimar

Δydyf(a+dx)dx.Δydyf(a+dx)dx.

En el siguiente ejemplo, veremos cómo se pueden utilizar los diferenciales para estimar el error en el cálculo del volumen de una caja si suponemos que la medición de la longitud del lado se hace con cierta exactitud.

Ejemplo 4.10

Volumen de un cubo

Supongamos que la longitud lateral de un cubo se mide en 5 cm con una exactitud de 0,1 cm.

  1. Utilice los diferenciales para estimar el error en el volumen calculado del cubo.
  2. Calcule el volumen del cubo si la longitud del lado es (i) 4,9 cm y (ii) 5,1 cm para comparar el error estimado con el posible error real.

Punto de control 4.10

Estime el error en el volumen calculado de un cubo si la longitud del lado se mide en 6 cm con una exactitud de 0,2 cm.

El error de medición dx (x)(x) y el error propagado ΔyΔy son errores absolutos. Normalmente nos interesa el tamaño de un error en relación con el tamaño de la cantidad que se mide o calcula. Dado un error absoluto ΔqΔq para una determinada cantidad, definimos el error relativo como Δqq,Δqq, donde qq es el valor real de la cantidad. El error porcentual es el error relativo expresado en porcentaje. Por ejemplo, si medimos que la altura de una escalera es de 63 pulgadas cuando la altura real es de 62 pulgadas, el error absoluto es de 1 pulgada pero el error relativo es de 162=0,016,162=0,016, o 1,6 %.1,6 %. En comparación, si medimos el ancho de un trozo de cartón como 8,25 in cuando el ancho real es de 8 in, nuestro error absoluto es 1414 in, mientras que el error relativo es 0,258=132,0,258=132, o 3,1 %.3,1 %. Por lo tanto, el error porcentual en la medición del cartón es mayor, aunque 0,25 in es menos que 1 in.

Ejemplo 4.11

Error relativo y porcentual

Un astronauta que utiliza una cámara mide el radio de la Tierra como 4.000 mi con un error de ±80±80 mi. Utilicemos los diferenciales para estimar el error relativo y porcentual de utilizar esta medida del radio para calcular el volumen de la Tierra, suponiendo que el planeta es una esfera perfecta.

Punto de control 4.11

Determine el error porcentual si el radio de la Tierra se mide como 3.950 mi con un error de ±100±100 mi.

Sección 4.2 ejercicios

46.

Cuál es la aproximación lineal para cualquier función lineal genérica y=mx+b?y=mx+b?

47.

Determine las condiciones necesarias para que la función de aproximación lineal sea constante. Utilice un gráfico para demostrar su resultado.

48.

Explique por qué la aproximación lineal es menos precisa a medida que aumenta la distancia entre xx y a.a. Utilice un gráfico para demostrar su argumento.

49.

¿Cuándo es exacta la aproximación lineal?

En los siguientes ejercicios, calcule la aproximación lineal L(x)L(x) a y=f(x)y=f(x) cerca de x=ax=a para la función.

50.

f ( x ) = x + x 4 , a = 0 f ( x ) = x + x 4 , a = 0

51.

f ( x ) = 1 x , a = 2 f ( x ) = 1 x , a = 2

52.

f ( x ) = tan x , a = π 4 f ( x ) = tan x , a = π 4

53.

f ( x ) = sen x , a = π 2 f ( x ) = sen x , a = π 2

54.

f ( x ) = x sen x , a = 2 π f ( x ) = x sen x , a = 2 π

55.

f ( x ) = sen 2 x , a = 0 f ( x ) = sen 2 x , a = 0

En los siguientes ejercicios, calcule los valores dados dentro de 0,01 decidiendo la f(x)f(x) y a a adecuados, y evaluando L(x)=f(a)+f(a)(xa).L(x)=f(a)+f(a)(xa). Compruebe su respuesta con una calculadora.

56.

[T] (2,001)6(2,001)6

57.

[T] sen(0,02)sen(0,02)

58.

[T] cos(0,03)cos(0,03)

59.

[T] (15,99)1/4(15,99)1/4

60.

[T] 10,9810,98

61.

[T] sen(3,14)sen(3,14) grandes.

En los siguientes ejercicios, determine f(x)f(x) y a,a, y evalúe L(x)=f(a)+f(a)(xa).L(x)=f(a)+f(a)(xa). Calcule el error numérico en las siguientes aproximaciones lineales.

62.

[T] (1,01)3(1,01)3

63.

[T] cos(0,01)cos(0,01) grandes.

64.

[T] (sen(0,01))2 (sen(0,01))2

65.

[T] (1,01)−3(1,01)−3

66.

[T] (1+110)10(1+110)10

67.

[T] 8,998,99

En los siguientes ejercicios, calcule el diferencial de la función.

68.

y = 3 x 4 + x 2 2 x + 1 y = 3 x 4 + x 2 2 x + 1

69.

y = x cos x y = x cos x

70.

y = 1 + x y = 1 + x

71.

y = x 2 + 2 x 1 y = x 2 + 2 x 1

En los siguientes ejercicios, calcule el diferencial y evalúe para xx y dx.dx.

72.

y=3x2 x+6,y=3x2 x+6, x=2 ,x=2 , dx=0,1dx=0,1

73.

y=1x+1,y=1x+1, x=1,x=1, dx=0,25dx=0,25

74.

y=tanx,y=tanx, x=0,x=0, dx=π10dx=π10

75.

y=3x2 +2 x+1,y=3x2 +2 x+1, x=0,x=0, dx=0,1dx=0,1

76.

y=sen(2 x)x,y=sen(2 x)x, x=π,x=π, dx=0,25dx=0,25

77.

y=x3+2 x+1x,y=x3+2 x+1x, x=1,x=1, dx=0,05dx=0,05

En los siguientes ejercicios, calcule el cambio de volumen dVdV o en área superficial dA.dA.

78.

dVdV si los lados de un cubo cambian de 10 a 10,1.

79.

dAdA si los lados de un cubo cambian de xx a x+dx.x+dx.

80.

dAdA si el radio de una esfera cambia de rr mediante dr.dr.

81.

dVdV si el radio de una esfera cambia de rr mediante dr.dr.

82.

dVdV si un cilindro circular con r=2 r=2 cambia la altura de 3 cm a 3,05cm.3,05cm.

83.

dVdV si un cilindro circular de altura 3 pasa de r=2 r=2 a r=1,9cm.r=1,9cm.

En los siguientes ejercicios, utilice los diferenciales para estimar el error máximo y relativo al calcular el área superficial o el volumen.

84.

Se mide que el radio de una pelota de golf esférica es de 5mm,5mm, con un posible error de medición de 0,1mm.0,1mm. ¿Cuál es el cambio posible de volumen?

85.

Una piscina tiene una base rectangular de 10 pies por 20 pies y una profundidad de 6 pies. ¿Cuál es el cambio de volumen si solo se llena hasta 5,5 pies?

86.

Un cono de helado tiene una altura de 4 pulgadas y un radio de 1 pulgada. Si el cono tiene un grosor de 0,1 pulgadas, ¿cuál es la diferencia entre el volumen del cono, incluida la cáscara, y el volumen del helado que puede caber dentro de la cáscara?

En los siguientes ejercicios, confirme las aproximaciones utilizando la aproximación lineal en x=0.x=0.

87.

1 x 1 1 2 x 1 x 1 1 2 x

88.

1 1 x 2 1 1 1 x 2 1

89.

c 2 + x 2 c c 2 + x 2 c

Solicitar una copia impresa

As an Amazon Associate we earn from qualifying purchases.

Cita/Atribución

¿Desea citar, compartir o modificar este libro? Este libro utiliza la Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike License y debe atribuir a OpenStax.

Información de atribución
  • Si redistribuye todo o parte de este libro en formato impreso, debe incluir en cada página física la siguiente atribución:
    Acceso gratis en https://openstax.org/books/c%C3%A1lculo-volumen-1/pages/1-introduccion
  • Si redistribuye todo o parte de este libro en formato digital, debe incluir en cada vista de la página digital la siguiente atribución:
    Acceso gratuito en https://openstax.org/books/c%C3%A1lculo-volumen-1/pages/1-introduccion
Información sobre citas

© 2 mar. 2022 OpenStax. El contenido de los libros de texto que produce OpenStax tiene una licencia de Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike License . El nombre de OpenStax, el logotipo de OpenStax, las portadas de libros de OpenStax, el nombre de OpenStax CNX y el logotipo de OpenStax CNX no están sujetos a la licencia de Creative Commons y no se pueden reproducir sin el previo y expreso consentimiento por escrito de Rice University.