4.2 Aproximaciones lineales y diferenciales

Aproximación lineal de una función en un punto

Considere una función $f$ que es diferenciable en un punto $x=a.$ Recordemos que la línea tangente al gráfico de $f$ en $a$ está dada por la ecuación

Por ejemplo, consideremos la función $f(x)=\frac{1}{x}$ en $a=2.$ Dado que $f$ es diferenciable en $x=2$ y $f\prime (x)=-\frac{1}{x^2},$ vemos que $f\prime (2)=-\frac{1}{4}.$ Por tanto, la línea tangente al gráfico de $f$ en $a=2$ está dada por la ecuación

Figura 4.7(a) muestra un gráfico de $f(x)=\frac{1}{x}$ junto con la línea tangente a $f$ en $x=2.$ Tenga en cuenta que para $x$ cerca de 2, el gráfico de la línea tangente se acerca al gráfico de $f.$ Como resultado, podemos utilizar la ecuación de la línea tangente para aproximar $f(x)$ para $x$ cerca de 2. Por ejemplo, si $x=\mathrm{2,1},$ la columna $y$ del punto correspondiente en la línea tangente es

El valor real de $f(\mathrm{2,1})$ está dada por

Por lo tanto, la línea tangente nos da una aproximación bastante buena de $f(\mathrm{2,1})$ (Figura 4.7(b)). Sin embargo, hay que tener en cuenta que para los valores de $x$ lejos de 2, la ecuación de la línea tangente no nos da una buena aproximación. Por ejemplo, si $x=10,$ la columna $y$ del punto correspondiente en la línea tangente es

mientras que el valor de la función en $x=10$ es $f(10)=\mathrm{0,1}.$

Figura 4.7 (a) La línea tangente a $f(x)=1\text{/}x$ en $x=2$ proporciona una buena aproximación a $f$ para $x$ cerca de 2. (b) En $x=\mathrm{2,1},$ el valor de $y$ en la línea tangente a $f(x)=1\text{/}x$ es 0,475. El valor real de $f(\mathrm{2,1})$ es $1\text{/}\mathrm{2,1},$ que es aproximadamente 0,47619.

En general, para una función diferenciable $f,$ la ecuación de la línea tangente a $f$ en $x=a$ se puede utilizar para aproximar $f(x)$ para $x$ cerca de $a.$ Por lo tanto, podemos escribir

Llamamos función lineal

a la aproximación lineal, o aproximación de la línea tangente, de $f$ en $x=a.$ Esta función $L$ también se conoce como la linealización de $f$ en $x=a.$

Para mostrar lo útil que puede ser la aproximación lineal, veremos cómo encontrar la aproximación lineal para $f(x)=\sqrt{x}$ en $x=9.$

Ejemplo 4.5

Aproximación lineal de $\sqrt{x}$

Calcule la aproximación lineal de $f(x)=\sqrt{x}$ en $x=9$ y utilice la aproximación para estimar $\sqrt{\mathrm{9,1}}.$

Solución

Dado que buscamos la aproximación lineal a $x=9,$ utilizando la Ecuación 4.1 sabemos que la aproximación lineal está dada por

$$L(x)=f(9)+f\prime (9)(x-9).$$

Debemos hallar $f(9)$ y $f\prime (9).$

$$\begin{array}{ccc}\hfill f(x)=\sqrt{x}& \Rightarrow \hfill & f(9)=\sqrt{9}=3\hfill \\ \hfill f\prime (x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}& \Rightarrow \hfill & f\prime (9)=\frac{1}{2\sqrt{9}}=\frac{1}{6}\hfill \end{array}$$

Por tanto, la aproximación lineal está dada por la Figura 4.8.

$$L(x)=3+\frac{1}{6}(x-9)$$

Utilizando la aproximación lineal, podemos estimar $\sqrt{\mathrm{9,1}}$ escribiendo

$$\sqrt{\mathrm{9,1}}=f(\mathrm{9,1})\approx L(\mathrm{9,1})=3+\frac{1}{6}(\mathrm{9,1}-9)\approx \mathrm{3,0167}.$$

Figura 4.8 La aproximación lineal local a $f(x)=\sqrt{x}$ en $x=9$ proporciona una aproximación a $f$ para $x$ cerca de 9.

Análisis

Utilizando una calculadora, el valor de $\sqrt{\mathrm{9,1}}$ con cuatro decimales es 3,0166. El valor dado por la aproximación lineal, 3,0167, es muy cercano al valor obtenido con la calculadora, por lo que parece que utilizar esta aproximación lineal es una buena forma de estimar $\sqrt{x},$ al menos para $x$ cerca de $9.$ Al mismo tiempo, puede parecer extraño utilizar una aproximación lineal cuando podemos simplemente pulsar unos cuantos botones en una calculadora para evaluar $\sqrt{\mathrm{9,1}}.$ Sin embargo, ¿cómo evalúa la calculadora $\sqrt{\mathrm{9,1}}?$ ¡La calculadora utiliza una aproximación! De hecho, las calculadoras y las computadoras utilizan aproximaciones todo el tiempo para evaluar expresiones matemáticas; solo que utilizan aproximaciones de mayor grado.

Ejemplo 4.6

Aproximación lineal de $\text{sen}x$

Calcule la aproximación lineal de $f(x)=\text{sen}x$ en $x=\frac{\pi }{3}$ y utilícela para aproximar $\text{sen}(62\text{°}).$

Solución

En primer lugar, observamos que, dado que $\frac{\pi }{3}$ rad equivale a $60\text{°},$ utilizando la aproximación lineal a $x=\pi \text{/}3$ parece razonable. La aproximación lineal está dada por

$$L(x)=f\left(\frac{\pi }{3}\right)+f\prime \left(\frac{\pi }{3}\right)\left(x-\frac{\pi }{3}\right).$$

Vemos que

$$\begin{array}{ccc}\hfill f(x)=\text{sen}x& \Rightarrow \hfill & f\left(\frac{\pi }{3}\right)=\text{sen}\left(\frac{\pi }{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}\hfill \\ \hfill f\prime (x)=\text{cos}x& \Rightarrow \hfill & f\prime \left(\frac{\pi }{3}\right)=\text{cos}\left(\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}\hfill \end{array}$$

Por lo tanto, la aproximación lineal de $f$ en $x=\pi \text{/}3$ está dada por la Figura 4.9.

$$L(x)=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}\left(x-\frac{\pi }{3}\right)$$

Para estimar $\text{sen}(62\text{°})$ utilizando $L,$ primero debemos convertir $62\text{°}$ a radianes. Tenemos $62\text{°}=\frac{62\pi }{180}$ radianes, por lo que la estimación de $\text{sen}(62\text{°})$ está dada por

$$\text{sen}(62\text{°})=f\left(\frac{62\pi }{180}\right)\approx L\left(\frac{62\pi }{180}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}\left(\frac{62\pi }{180}-\frac{\pi }{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}\left(\frac{2\pi }{180}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\pi }{180}\approx \mathrm{0,88348}.$$

Figura 4.9 La aproximación lineal a $f(x)=\text{sen}x$ en $x=\pi \text{/}3$ proporciona una aproximación a $\text{sen}x$ para $x$ cerca de $\pi \text{/}3.$

Se pueden utilizar aproximaciones lineales para estimar raíces y potencias. En el siguiente ejemplo, calculamos la aproximación lineal para $f(x)={(1+x)}^n$ en $x=0,$ que puede utilizarse para estimar raíces y potencias para números reales cercanos a 1. La misma idea puede extenderse a una función de la forma $f(x)={(m+x)}^n$ para estimar raíces y potencias cerca de un número diferente $m.$

Ejemplo 4.7

Aproximación de raíces y potencias

Calcule la aproximación lineal de $f(x)={(1+x)}^n$ en $x=0.$ Utilice esta aproximación para estimar ${(\mathrm{1,01})}^3.$

Solución

La aproximación lineal a $x=0$ está dada por

$$L(x)=f(0)+f\prime (0)(x-0).$$

Dado que

$$\begin{array}{ccc}\hfill f(x)={(1+x)}^n& \Rightarrow \hfill & f(0)=1\hfill \\ \hfill f\prime (x)=n{(1+x)}^{n–1}& \Rightarrow \hfill & f\prime (0)=n,\hfill \end{array}$$

la aproximación lineal está dada por la Figura 4.10(a).

$$L(x)=1+n(x-0)=1+nx$$

Podemos aproximar ${(\mathrm{1,01})}^3$ evaluando $L(\mathrm{0,01})$ cuando $nn\; =3.$ Concluimos que

$${(\mathrm{1,01})}^3=f(\mathrm{1,01})\approx L(\mathrm{1,01})=1+3(\mathrm{0,01})=\mathrm{1,03}.$$

Figura 4.10 (a) La aproximación lineal de $f(x)$ en $x=0$ es $L(x).$ (b) El valor real de ${\mathrm{1,01}}^3$ es 1,030301. La aproximación lineal de $f(x)$ en $x=0$ estima que ${\mathrm{1,01}}^3$ sea 1,03.

Diferenciales

Hemos visto que se pueden utilizar aproximaciones lineales para estimar los valores de las funciones. También pueden utilizarse para estimar la cantidad de cambios en el valor de una función como resultado de un pequeño cambio en la entrada. Para discutir esto más formalmente, definimos un concepto relacionado: los diferenciales. Los diferenciales nos proporcionan una forma de estimar la cantidad que cambia una función como resultado de un pequeño cambio en los valores de entrada.

La primera vez que vimos las derivadas, utilizamos la notación de Leibniz $dy\text{/}dx$ para representar la derivada de $y$ con respecto a $x.$ Aunque utilizamos las expresiones dy y dx en esta notación, no tienen significado por sí mismas. Aquí vemos el significado de las expresiones dy y dx. Supongamos que $y=f(x)$ es una función diferenciable. Supongamos que dx es una variable independiente a la que se le puede asignar cualquier número real distinto de cero y defina la variable dependiente $dy$ mediante

Es importante tener en cuenta que $dy$ es una función de ambas $x$ y $dx.$ Las expresiones dy y dx se llaman diferenciales. Podemos dividir ambos lados de la Ecuación 4.2 entre $dx,$ que da como resultado

Esta es la expresión familiar que hemos utilizado para denotar una derivada. La Ecuación 4.2 se conoce como la forma diferencial de la Ecuación 4.3.

Ahora conectamos los diferenciales con las aproximaciones lineales. Los diferenciales pueden utilizarse para estimar el cambio en el valor de una función resultante de un pequeño cambio en los valores de entrada. Considere una función $f$ que es diferenciable en el punto $a.$ Supongamos que la entrada $x$ cambia por una pequeña cantidad. Nos interesa saber en qué medida la salida $y$ cambia. Si los valores de $x$ cambia de $a$ a $a+dx,$ entonces el cambio en $x$ es $dx$ (también denominado $\text{Δ}x),$ y el cambio en $y$ está dada por

En vez de calcular el cambio exacto en $y,$ sin embargo, a menudo es más fácil aproximar el cambio en $y$ utilizando una aproximación lineal. Para $x$ cerca de $a,$ $f(x)$ se puede aproximar mediante la aproximación lineal

Por lo tanto, si $dx$ es pequeña,

Eso es,

En otras palabras, el cambio real de la función $f$ si $x$ aumenta de $a$ a $a+dx$ es aproximadamente la diferencia entre $L(a+dx)$ y $f(a),$ donde $L(x)$ es la aproximación lineal de $f$ en $a.$ Por definición de $L(x),$ esta diferencia es igual a $f\prime (a)dx.$ En resumen,

Por lo tanto, podemos utilizar el diferencial $dy=f\prime (a)dx$ para aproximar el cambio en $y$ si $x$ aumenta de $x=a$ a $x=a+dx.$ Podemos verlo en el siguiente gráfico.

Figura 4.11 El diferencial $dy=f\prime (a)dx$ se utiliza para aproximar el cambio real en $y$ si $x$ aumenta de $a$ a $a+dx.$

Ahora veremos cómo utilizar los diferenciales para aproximar el cambio en el valor de la función que resulta de un pequeño cambio en el valor de la entrada. Observe que el cálculo con diferenciales es mucho más sencillo que el cálculo de los valores reales de las funciones y el resultado se aproxima mucho a lo que obtendríamos con el cálculo más exacto.

Cálculo del grado de error

Cualquier tipo de medición es propensa a un cierto grado de error. En muchas aplicaciones, ciertas cantidades se calculan a partir de mediciones. Por ejemplo, el área de un círculo se calcula midiendo el radio del mismo. Un error en la medición del radio conduce a un error en el valor calculado del área. Aquí examinamos este tipo de error y estudiamos cómo se pueden utilizar los diferenciales para estimar el error.

Considere una función $f$ con una entrada que es una cantidad medida. Supongamos que el valor exacto de la cantidad medida es $a,$ pero el valor medido es $a+dx.$ Decimos que el error de medición es dx (o $\text{Δ}x).$ Como resultado, se produce un error en la cantidad calculada $f(x).$ Este tipo de error se conoce como error propagado y está dado por

Dado que todas las mediciones están sujetas a cierto grado de error, no conocemos el valor exacto de una cantidad medida, por lo que no podemos calcular el error propagado con exactitud. Sin embargo, dada una estimación de la exactitud de una medición, podemos utilizar diferenciales para aproximar el error propagado $\text{Δ}y.$ En concreto, si $f$ es una función diferenciable en $a,$ el error propagado es

Lamentablemente, no conocemos el valor exacto $a.$ Sin embargo, podemos utilizar el valor medido $a+dx,$ y estimar

En el siguiente ejemplo, veremos cómo se pueden utilizar los diferenciales para estimar el error en el cálculo del volumen de una caja si suponemos que la medición de la longitud del lado se hace con cierta exactitud.

El error de medición dx $\left(\text{=Δ}x\right)$ y el error propagado $\text{Δ}y$ son errores absolutos. Normalmente nos interesa el tamaño de un error en relación con el tamaño de la cantidad que se mide o calcula. Dado un error absoluto $\text{Δ}q$ para una determinada cantidad, definimos el error relativo como $\frac{\text{Δ}q}{q},$ donde $q$ es el valor real de la cantidad. El error porcentual es el error relativo expresado en porcentaje. Por ejemplo, si medimos que la altura de una escalera es de 63 pulgadas cuando la altura real es de 62 pulgadas, el error absoluto es de 1 pulgada pero el error relativo es de $\frac{1}{62}=\mathrm{0,016},$ o $\mathrm{1,6}\text{ \%}.$ En comparación, si medimos el ancho de un trozo de cartón como 8,25 in cuando el ancho real es de 8 in, nuestro error absoluto es $\frac{1}{4}$ in, mientras que el error relativo es $\frac{\mathrm{0,25}}{8}=\frac{1}{32},$ o $\mathrm{3,1}\text{ \%}.$ Por lo tanto, el error porcentual en la medición del cartón es mayor, aunque 0,25 in es menos que 1 in.