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Índice
  1. Prefacio
  2. 1 Funciones y gráficos
    1. Introducción
    2. 1.1 Repaso de las funciones
    3. 1.2 Clases básicas de funciones
    4. 1.3 Funciones trigonométricas
    5. 1.4 Funciones inversas
    6. 1.5 Funciones exponenciales y logarítmicas
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  3. 2 Límites
    1. Introducción
    2. 2.1 Un repaso previo del cálculo
    3. 2.2 El límite de una función
    4. 2.3 Las leyes de los límites
    5. 2.4 Continuidad
    6. 2.5 La definición precisa de un límite
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  4. 3 Derivadas
    1. Introducción
    2. 3.1 Definir la derivada
    3. 3.2 La derivada como función
    4. 3.3 Reglas de diferenciación
    5. 3.4 Las derivadas como tasas de cambio
    6. 3.5 Derivadas de funciones trigonométricas
    7. 3.6 La regla de la cadena
    8. 3.7 Derivadas de funciones inversas
    9. 3.8 Diferenciación implícita
    10. 3.9 Derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas
    11. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  5. 4 Aplicaciones de las derivadas
    1. Introducción
    2. 4.1 Tasas relacionadas
    3. 4.2 Aproximaciones lineales y diferenciales
    4. 4.3 Máximos y mínimos
    5. 4.4 El teorema del valor medio
    6. 4.5 Las derivadas y la forma de un gráfico
    7. 4.6 Límites al infinito y asíntotas
    8. 4.7 Problemas de optimización aplicados
    9. 4.8 La regla de L'Hôpital
    10. 4.9 Método de Newton
    11. 4.10 Antiderivadas
    12. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  6. 5 Integración
    1. Introducción
    2. 5.1 Aproximación de áreas
    3. 5.2 La integral definida
    4. 5.3 El teorema fundamental del cálculo
    5. 5.4 Fórmulas de integración y el teorema del cambio neto
    6. 5.5 Sustitución
    7. 5.6 Integrales con funciones exponenciales y logarítmicas
    8. 5.7 Integrales que resultan en funciones trigonométricas inversas
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  7. 6 Aplicaciones de la integración
    1. Introducción
    2. 6.1 Áreas entre curvas
    3. 6.2 Determinar los volúmenes mediante el corte
    4. 6.3 Volúmenes de revolución: capas cilíndricas
    5. 6.4 Longitud del arco de una curva y superficie
    6. 6.5 Aplicaciones físicas
    7. 6.6 Momentos y centros de masa
    8. 6.7 Integrales, funciones exponenciales y logaritmos
    9. 6.8 Crecimiento y decaimiento exponencial
    10. 6.9 Cálculo de las funciones hiperbólicas
    11. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  8. A Tabla de integrales
  9. B Tabla de derivadas
  10. C Repaso de Precálculo
  11. Clave de respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
  12. Índice

Punto de control

4.1

172πcm/s,172πcm/s, o aproximadamente 0,0044 cm/s

4.2

500 ft/s 500 ft/s

4.3

1 10 rad/s 1 10 rad/s

4.4

−0,61 ft/s −0,61 ft/s

4.5

L(x)=2 +112(x8);L(x)=2 +112(x8); 2,00833

4.6

L ( x ) = x + π 2 L ( x ) = x + π 2

4.7

L ( x ) = 1 + 4 x L ( x ) = 1 + 4 x

4.8

d y = 2 x e x 2 d x d y = 2 x e x 2 d x

4.9

dy=1,6,dy=1,6, Δy=1,64Δy=1,64

4.10

La medición del volumen tiene una exactitud de 21,6cm3.21,6cm3.

4.11

7,6 %

4.12

x=2 3,x=2 3, x=1x=1

4.13

El máximo absoluto es 33 y se produce en x=4.x=4. El mínimo absoluto es −1−1 y se produce en x=2 .x=2 .

4.14

c = 2 c = 2

4.15

52 2 52 2 s

4.16

ff tiene un mínimo local en −2−2 y un máximo local en 3.3.

4.17

ff no tiene extremos locales porque ff no cambia de signo en x=1.x=1.

4.18

ff es cóncava hacia arriba en el intervalo (,12 )(,12 ) y cóncava hacia abajo en el intervalo (12 ,)(12 ,)

4.19

ff tiene un máximo local en −2−2 y un mínimo local en 3.3.

4.20

Ambos límites son 3.3. La línea y=3y=3 es una asíntota horizontal.

4.21

Supongamos que ε>0.ε>0. Supongamos que N=1ε.N=1ε. Por lo tanto, para todo x>N,x>N, tenemos

| 3 1 x 2 3 | = 1 x 2 < 1 N 2 = ε | 3 1 x 2 3 | = 1 x 2 < 1 N 2 = ε

Por lo tanto, límx(31/x2 )=3.límx(31/x2 )=3.

4.22

Supongamos que M>0.M>0. Supongamos que N=M3.N=M3. Entonces, para todos los x>N,x>N, tenemos

3 x 2 > 3 N 2 = 3 ( M 3 ) 2 2 = 3 M 3 = M 3 x 2 > 3 N 2 = 3 ( M 3 ) 2 2 = 3 M 3 = M

4.23

4.24

3 5 3 5

4.25

± 3 ± 3

4.26

límxf(x)=35,límxf(x)=35, límxf(x)=–2límxf(x)=–2

4.29

y = 3 2 x y = 3 2 x

4.30

La función ff tiene una cúspide en (0,5)(0,5) límx0f(x)=,límx0f(x)=, límx0+f(x)=.límx0+f(x)=. Para el comportamiento final, límx±f(x)=.límx±f(x)=.

4.31

La superficie máxima es 5.000pies2 .5.000pies2 .

4.32

V(x)=x(202 x)(302 x).V(x)=x(202 x)(302 x). El dominio es [0,10].[0,10].

4.33

T ( x ) = x 6 + ( 15 x ) 2 + 1 2,5 T ( x ) = x 6 + ( 15 x ) 2 + 1 2,5

4.34

La empresa debe cobrar $75$75 por auto y por día.

4.35

A(x)=4x1x2 .A(x)=4x1x2 . El dominio de consideración es [0,1].[0,1].

4.36

c(x)=259,2x+0,2x2 c(x)=259,2x+0,2x2 dólares

4.37

1 1

4.38

0 0

4.39

límx0+cosx=1.límx0+cosx=1. Por lo tanto, no podemos aplicar la regla de L'Hôpital. El límite del cociente es

4.40

1 1

4.41

0 0

4.42

e e

4.43

1 1

4.44

La función 2 x2 x crece más rápido que x100.x100.

4.45

x 1 0,33333333 , x 2 0,347222222 x 1 0,33333333 , x 2 0,347222222

4.46

x 1 = 2 , x 2 = 1,75 x 1 = 2 , x 2 = 1,75

4.47

x 1 1,842105263 , x 2 1,772826920 x 1 1,842105263 , x 2 1,772826920

4.48

x 1 = 6 , x 2 = 8 , x 3 = 26 3 , x 4 = 80 9 , x 5 = 242 27 ; x * = 9 x 1 = 6 , x 2 = 8 , x 3 = 26 3 , x 4 = 80 9 , x 5 = 242 27 ; x * = 9

4.49

cos x + C cos x + C

4.50

d d x ( x sen x + cos x + C ) = sen x + x cos x sen x = x cos x d d x ( x sen x + cos x + C ) = sen x + x cos x sen x = x cos x

4.51

x 4 5 3 x 3 + 1 2 x 2 7 x + C x 4 5 3 x 3 + 1 2 x 2 7 x + C

4.52

y = 3 x + 5 y = 3 x + 5

4.53

2,93 sec , 64,5 pies 2,93 sec , 64,5 pies

Sección 4.1 ejercicios

1.

8 8

3.

± 13 10 ± 13 10

5.

2 32 3 ft/s

7.

La distancia disminuye a 390mi/h.390mi/h.

9.

La distancia entre ellos se reduce a una tasa de 132013101,5mph.132013101,5mph.

11.

92 92 ft/s

13.

Crece a una tasa de 4949 ft/s

15.

La distancia aumenta a una tasa de (13526)26(13526)26 ft/s

17.

5656 m/s

19.

240π240π m2/s

21.

12 π12 π cm

23.

El área aumenta a una tasa de (33)8ft2 /s.(33)8ft2 /s.

25.

La profundidad del agua disminuye a una tasa de 128125π128125π ft/min.

27.

El volumen disminuye a una tasa de (25π)16ft3/min.(25π)16ft3/min.

29.

El agua sale a una tasa de (2 π)5m3/min.(2 π)5m3/min.

31.

32 32 m/s

33.

2519π2519π ft/min

35.

2 45π2 45π ft/min

37.

El ángulo disminuye a una tasa de 4001681rad/s.4001681rad/s.

39.

100 π mi/min 100 π mi/min

41.

El ángulo cambia a una tasa de 1125rad/s.1125rad/s.

43.

La distancia aumenta a una tasa de 62,5062,50 ft/s.

45.

La distancia disminuye a una tasa de 11,9911,99 ft/s.

Sección 4.2 ejercicios

47.

f ( a ) = 0 f ( a ) = 0

49.

La aproximación lineal es exacta cuando y=f(x)y=f(x) es lineal o constante.

51.

L(x)=12 14(x2 )L(x)=12 14(x2 ) grandes.

53.

L ( x ) = 1 L ( x ) = 1

55.

L ( x ) = 0 L ( x ) = 0

57.

0,02

59.

1,9996875 1,9996875

61.

0,001593 0,001593

63.

1;1; error, ~0,00005~0,00005

65.

0,97;0,97; error, ~0,0006~0,0006

67.

31600;31600; error, ~4,632×10−7~4,632×10−7

69.

d y = ( cos x x sen x ) d x d y = ( cos x x sen x ) d x

71.

d y = ( x 2 2 x 2 ( x 1 ) 2 ) d x d y = ( x 2 2 x 2 ( x 1 ) 2 ) d x

73.

dy=1(x+1)2 dx,dy=1(x+1)2 dx, 116116

75.

dy=9x2 +12x2 2 (x+1)3/2 dx,dy=9x2 +12x2 2 (x+1)3/2 dx, −0,1−0,1

77.

dy=(3x2 +2 1x2 )dx,dy=(3x2 +2 1x2 )dx, 0,20,2

79.

12 x d x 12 x d x

81.

4 π r 2 d r 4 π r 2 d r

83.

−1,2 π cm 3 −1,2 π cm 3

85.

−100−100 ft3

Sección 4.3 ejercicios

91.

Las respuestas pueden variar

93.

Las respuestas variarán

95.

No; las respuestas variarán

97.

Dado que el máximo absoluto es el valor de la función (salida) y no el valor de x, la respuesta es no; las respuestas variarán.

99.

Cuando a=0a=0

101.

Mínimo absoluto en 3; máximo absoluto en -2,2; mínimos locales en -2, 1; máximos locales en -1, 2

103.

Mínimos absolutos en -2, 2; máximos absolutos en -2,5, 2,5; mínimo local en 0; máximos locales en -1, 1

105.

Las respuestas pueden variar.

107.

Las respuestas pueden variar.

109.

x = 1 x = 1

111.

Ninguno

113.

x = 0 ; x = ± 2 x = 0 ; x = ± 2

115.

Ninguno

117.

x = −1 , 1 x = −1 , 1

119.

Máximo absoluto: x=4,x=4, y=332 ;y=332 ; mínimo absoluto: x=1,x=1, y=3y=3

121.

Mínimo absoluto: x=12 ,x=12 , y=4y=4

123.

Máximo absoluto: x=2 π,x=2 π, y=2 π;y=2 π; mínimo absoluto: x=0,x=0, y=0y=0

125.

Máximo absoluto: x=−3;x=−3; mínimo absoluto: −1x1,−1x1, y=2 y=2

127.

Máximo absoluto: x=π4,x=π4, y=2 ;y=2 ; mínimo absoluto: x=5π4,x=5π4, y=2 y=2

129.

Mínimo absoluto: x=–2,x=–2, y=1y=1

131.

Mínimo absoluto: x=−3,x=−3, y=−135;y=−135; máximo local: x=0,x=0, y=0;y=0; mínimo local: x=1,x=1, y=−7y=−7

133.

Máximo local: x=12 2 ,x=12 2 , y=342 ;y=342 ; mínimo local: x=1+2 2 ,x=1+2 2 , y=3+42 y=3+42

135.

Máximo absoluto: x=2 2 ,x=2 2 , y=32 ;y=32 ; mínimo absoluto: x=2 2 ,x=2 2 , y=32 y=32

137.

Máximo local: x=–2,x=–2, y=59;y=59; mínimo local: x=1,x=1, y=−130y=−130

139.

Máximo absoluto: x=0,x=0, y=1;y=1; mínimo absoluto: x=–2,2 ,x=–2,2 , y=0y=0

141.

h=924549m,h=924549m, t=30049st=30049s

143.

El mínimo absoluto fue en 1848, cuando no se produjo oro.

145.

Mínimos absolutos: x=0,x=0, x=2 ,x=2 , y=1;y=1; máximo local en x=1,x=1, y=2 y=2

147.

No hay máximos/mínimos si aa es impar, mínimo en x=1x=1 si aa es par

Sección 4.4 ejercicios

149.

Un ejemplo es f(x)=|x|+3,–2x2 f(x)=|x|+3,–2x2

151.

Sí, pero el teorema del valor medio sigue sin aplicarse.

153.

(,0),(0,)(,0),(0,) grandes.

155.

(,–2),(2 ,)(,–2),(2 ,) grandes.

157.

2 puntos

159.

5 puntos

161.

c = 2 3 3 c = 2 3 3

163.

c = 1 2 , 1 , 3 2 c = 1 2 , 1 , 3 2

165.

c = 1 c = 1

167.

No diferenciable

169.

No diferenciable

171.

173.

El teorema del valor medio no se aplica porque la función es discontinua en x=14,34,54,74.x=14,34,54,74.

175.

177.

El teorema del valor medio no se aplica; discontinuo en x=0.x=0.

179.

181.

El teorema del valor medio no se aplica; no es diferenciable en x=0.x=0.

183.

b = ± 2 c b = ± 2 c

185.

c=±1πcos−1(π2 ),c=±1πcos−1(π2 ), c=±0,1533c=±0,1533

187.

El teorema del valor medio no se aplica.

189.

12 c+12 c3=5212880;12 c+12 c3=5212880; c=3,133,5,867c=3,133,5,867

191.

193.

Es constante.

Sección 4.5 ejercicios

195.

No es un máximo/mínimo local porque ff no cambia de signo

197.

No

199.

Falso; por ejemplo, y=x.y=x.

201.

Es creciente en −2<x<−1−2<x<−1 y x>2 ;x>2 ; decreciente en x<−2x<−2 y −1<x<2 −1<x<2

203.

Decreciente para x<1,x<1, creciente para x>1x>1

205.

Decreciente para −2<x<−1−2<x<−1 y 1<x<2 ;1<x<2 ; creciente para −1<x<1−1<x<1 y x<−2x<−2 y x>2 x>2

207.

a. Creciente en −2<x<−1,0<x<1,x>2 ,−2<x<−1,0<x<1,x>2 , decreciente en x<−2,x<−2, −1<x<0,1<x<2 ;−1<x<0,1<x<2 ; b. máximos en x=–1x=–1 y x=1,x=1, mínimos en x=−2x=−2 y x=0x=0 y x=2 x=2

209.

a. Creciente en x>0,x>0, decreciente en x<0;x<0; b. Mínimo en x=0x=0

211.

Cóncava hacia arriba en todo x,x, sin puntos de inflexión

213.

Cóncava hacia arriba en todo x,x, sin puntos de inflexión

215.

Cóncava hacia arriba para x<0x<0 y x>1,x>1, cóncavo hacia abajo para 0<x<1,0<x<1, puntos de inflexión en x=0x=0 y x=1x=1

217.

Las respuestas variarán

219.

Las respuestas variarán

221.

a. Creciente en π2 <x<π2 ,π2 <x<π2 , decreciente en x<π2 ,x>π2 x<π2 ,x>π2 b. Máximo local en x=π2 ;x=π2 ; mínimo local en x=π2 x=π2

223.

a. Cóncava hacia arriba para x>43,x>43, cóncavo hacia abajo para x<43x<43 b. Punto de inflexión en x=43x=43

225.

a. Creciente en x<0x<0 y x>4,x>4, decreciente en 0<x<40<x<4 b. Máximo en x=0,x=0, mínimo en x=4x=4 c. Cóncava hacia arriba para x>2 ,x>2 , cóncavo hacia abajo para x<2 x<2 d. Punto de inflexión en x=2 x=2

227.

a. Creciente en x<0x<0 y x>6011,x>6011, decreciente en 0<x<60110<x<6011 b. Mínimo en x=6011x=6011, máximo local en x = 0 c. Cóncavo hacia abajo para x<5411,x<5411, cóncavo hacia arriba para x>5411x>5411 d. Punto de inflexión en x=5411x=5411

229.

a. Creciente en x>12 ,x>12 , decreciente en x<12 x<12 b. Mínimo en x=12 x=12 c. Cóncavo hacia arriba para toda xx d. No hay puntos de inflexión

231.

a. Es creciente en 14<x<34,14<x<34, decreciente a lo largo de x>34x>34 y x<14x<14 b. Mínimo en x=14,x=14, máximo en x=34x=34 c. Cóncava hacia arriba para 34<x<14,34<x<14, cóncavo hacia abajo para x<34x<34 y x>14x>14 d. Puntos de inflexión en x=34,x=14x=34,x=14

233.

a. Creciente para todo xx b. No hay mínimo ni máximo local c. Cóncava hacia arriba para x>0,x>0, cóncavo hacia abajo para x<0x<0 d. Punto de inflexión en x=0x=0

235.

a. Creciente para todo xx donde se define b. No hay mínimos ni máximos locales c. Cóncava hacia arriba para x<1;x<1; cóncavo hacia abajo para x>1x>1 d. No hay puntos de inflexión en el dominio

237.

a. Creciente en π4<x<3π4,π4<x<3π4, decreciente en x>3π4,x<π4x>3π4,x<π4 b. Mínimo en x=π4,x=π4, máximo en x=3π4x=3π4 c. Cóncava hacia arriba para π2 <x<π2 ,π2 <x<π2 , cóncavo hacia abajo para x<π2 ,x>π2 x<π2 ,x>π2 d. Puntos de inflexión en x=±π2 x=±π2

239.

a. Creciente en x>4,x>4, decreciente en 0<x<40<x<4 b. Mínimo en x=4x=4 c. Cóncava hacia arriba para 0<x<82 3,0<x<82 3, cóncavo hacia abajo para x>82 3x>82 3 d. Punto de inflexión en x=82 3x=82 3

241.

f > 0 , f > 0 , f < 0 f > 0 , f > 0 , f < 0

243.

f > 0 , f < 0 , f > 0 f > 0 , f < 0 , f > 0

245.

f > 0 , f > 0 , f > 0 f > 0 , f > 0 , f > 0

247.

Cierto, según el teorema del valor medio

249.

Cierto, examine la derivada

Sección 4.6 ejercicios

251.

x = 1 x = 1

253.

x = −1 , x = 2 x = −1 , x = 2

255.

x = 0 x = 0

257.

Sí, hay una asíntota vertical

259.

Sí, hay asíntota vertical

261.

0 0

263.

265.

1 7 1 7

267.

−2 −2

269.

−4 −4

271.

Horizontal: ninguno, vertical: x=0x=0

273.

Horizontal: ninguno, vertical: x=±2 x=±2

275.

Horizontal: ninguno, vertical: ninguno

277.

Horizontal y=0,y=0, vertical: x=±1x=±1

279.

Horizontal y=0,y=0, vertical: x=0x=0 y x=–1x=–1

281.

Horizontal y=1,y=1, vertical: x=1x=1

283.

Horizontal: ninguno, vertical: ninguno

285.

Las respuestas variarán, por ejemplo: y=2 xx1y=2 xx1

287.

Las respuestas variarán, por ejemplo: y=4xx+1y=4xx+1

289.

y = 0 y = 0

291.

293.

y = 3 y = 3

295.


La función comienza en el tercer cuadrante, aumenta hasta pasar por (-1, 0), aumenta hasta un máximo, la intersección y está en 4, disminuye hasta tocar (2, 0), y luego aumenta hasta (4, 20).
297.


Una parábola orientada hacia arriba con un mínimo entre x = 0 y x = -1 con una intersección y entre 0 y 1.
299.


Este gráfico comienza en (-2, 4) y disminuye de forma convexa hasta (1, 0). A continuación, el gráfico comienza de nuevo en (4, 0) y aumenta de forma convexa hasta (6, 3).
301.


Este gráfico tiene una asíntota vertical en x = 0. La primera parte de la función se encuentra en el segundo y tercer cuadrante y comienza en el tercer cuadrante justo debajo de (-2π, 0), aumenta y pasa por el eje x en -3π/2, alcanza un máximo y luego disminuye por el eje x en -π/2 antes de acercarse a la asíntota. Al otro lado de la asíntota, la función comienza en el primer cuadrante, disminuye rápidamente para pasar por π/2, disminuye hasta un mínimo local y luego aumenta por (3π/2, 0) antes de quedarse justo por encima de (2π, 0).
303.


Este gráfico tiene asíntotas verticales en x = ±π/2. El gráfico es simétrico respecto al eje y, por lo que bastará con describir el lado izquierdo. La función comienza en (-π, 0) y disminuye rápidamente hasta la asíntota. Luego comienza en el otro lado de la asíntota en el segundo cuadrante y disminuye hasta el origen.
305.


Esta función comienza en (-2π, 0), aumenta hasta cerca de (-3π/2, 25), disminuye a través de (-π, 0), alcanza un mínimo local y luego aumenta a través del origen. Al otro lado del origen, el gráfico es el mismo pero invertido, es decir, es congruente con la otra mitad por una rotación de 180 grados.
307.

P ( 0 ) 0   y   Q ( x ) = 0 P ( 0 ) 0   y   Q ( x ) = 0

309.

lím x 1 f ( x ) = −∞ y lím x 1 g ( x ) = lím x 1 f ( x ) = −∞ y lím x 1 g ( x ) =

Sección 4.7 ejercicios

311.

Los puntos críticos pueden ser los mínimos, los máximos o ninguno de ellos.

313.

Falso; y=x2 y=x2 solo tiene un mínimo

315.

h=623h=623 pulgadas

317.

1 1

319.

100 pies por 100 pies 100 pies por 100 pies

321.

40 pies por 40 pies 40 pies por 40 pies

323.

19,73 pies . 19,73 pies .

325.

84 lpm 84 lpm

327.

T ( θ ) = 40 θ 3 v + 40 cos θ v T ( θ ) = 40 θ 3 v + 40 cos θ v

329.

v = b a v = b a

331.

aproximadamente 34,02mph34,02mph

333.

4 4

335.

0 0

337.

Máximo: x=5,y=5;x=5,y=5; mínimo: x=0,y=10x=0,y=10 y y=0,x=10y=0,x=10

339.

Máximo: x=1,y=9;x=1,y=9; mínimo: ninguno

341.

4 π 3 3 4 π 3 3

343.

6 6

345.

r = 2 , h = 4 r = 2 , h = 4

347.

( 2 , 1 ) ( 2 , 1 )

349.

( 0,8351 , 0,6974 ) ( 0,8351 , 0,6974 )

351.

A = 20 r 2 r 2 1 2 π r 2 A = 20 r 2 r 2 1 2 π r 2

353.

C(x)=5x2 +32xC(x)=5x2 +32x Al diferenciar, establecer la derivada en cero y resolver, obtenemos x=1653x=1653 y h=2543h=2543.

355.

P ( x ) = ( 50 x ) ( 800 + 25 x 50 ) P ( x ) = ( 50 x ) ( 800 + 25 x 50 )

Sección 4.8 ejercicios

357.

359.

1 2 a 1 2 a

361.

1 n a n 1 1 n a n 1

363.

No se puede aplicar directamente; hay que utilizar logaritmos

365.

No se puede aplicar directamente; reescriba como límx0x3límx0x3

367.

6 6

369.

−2 −2

371.

−1 −1

373.

n n

375.

1 2 1 2

377.

1 2 1 2

379.

1 1

381.

1 6 1 6

383.

1 1

385.

0 0

387.

0 0

389.

−1 −1

391.

393.

0 0

395.

1 e 1 e

397.

0 0

399.

1 1

401.

0 0

403.

tan ( 1 ) tan ( 1 )

405.

2 2

Sección 4.9 ejercicios

407.

F ( x n ) = x n x n 3 + 2 x n + 1 3 x n 2 + 2 F ( x n ) = x n x n 3 + 2 x n + 1 3 x n 2 + 2

409.

F ( x n ) = x n e x n e x n F ( x n ) = x n e x n e x n

411.

|c|>0,5|c|>0,5 no funciona, |c|0,5|c|0,5 funciona

413.

c = 1 f ( x n ) c = 1 f ( x n )

415.

a. x1=1225,x2 =312625;x1=1225,x2 =312625; b. x1=−4,x2 =−40x1=−4,x2 =−40

417.

a. x1=1,291,x2 =0,8801;x1=1,291,x2 =0,8801; b. x1=0,7071,x2 =1,189x1=0,7071,x2 =1,189

419.

a. x1=2625,x2 =1224625;x1=2625,x2 =1224625; b. x1=4,x2 =18x1=4,x2 =18

421.

a. x1=610,x2 =610;x1=610,x2 =610; b. x1=2 ,x2 =2 x1=2 ,x2 =2

423.

3,1623 o 3,1623 3,1623 o 3,1623

425.

0 , −1 o 1 0 , −1 o 1

427.

0 0

429.

0,5188 o 1,2906 0,5188 o 1,2906

431.

0 0

433.

4,493 4,493

435.

0,159 , 3,146 0,159 , 3,146

437.

Necesitamos ff para ser dos veces continuamente diferenciable.

439.

x = 0 x = 0

441.

x = –1 x = –1

443.

x = 5,619 x = 5,619

445.

x = −1,326 x = −1,326

447.

La ecuación no tiene solución.

449.

Entra en un ciclo.

451.

0 0

453.

−0,3513 −0,3513

455.

Newton: 1111 iteraciones, secante: 1616 iteraciones

457.

Newton: tres iteraciones, secante: seis iteraciones

459.

Newton: cinco iteraciones, secante: ocho iteraciones

461.

E = 4,071 E = 4,071

463.

4 . 394  % 4 . 394  %

Sección 4.10 ejercicios

465.

F ( x ) = 15 x 2 + 4 x + 3 F ( x ) = 15 x 2 + 4 x + 3

467.

F ( x ) = 2 x e x + x 2 e x F ( x ) = 2 x e x + x 2 e x

469.

F ( x ) = e x F ( x ) = e x

471.

F ( x ) = e x x 3 cos ( x ) + C F ( x ) = e x x 3 cos ( x ) + C

473.

F ( x ) = x 2 2 x 2 cos ( 2 x ) + C F ( x ) = x 2 2 x 2 cos ( 2 x ) + C

475.

F ( x ) = 1 2 x 2 + 4 x 3 + C F ( x ) = 1 2 x 2 + 4 x 3 + C

477.

F ( x ) = 2 5 ( x ) 5 + C F ( x ) = 2 5 ( x ) 5 + C

479.

F ( x ) = 3 2 x 2 / 3 + C F ( x ) = 3 2 x 2 / 3 + C

481.

F ( x ) = x + tan ( x ) + C F ( x ) = x + tan ( x ) + C

483.

F ( x ) = 1 3 sen 3 ( x ) + C F ( x ) = 1 3 sen 3 ( x ) + C

485.

F ( x ) = 1 2 cot ( x ) 1 x + C F ( x ) = 1 2 cot ( x ) 1 x + C

487.

F ( x ) = sec x 4 csc x + C F ( x ) = sec x 4 csc x + C

489.

F ( x ) = 1 8 e −4 x cos x + C F ( x ) = 1 8 e −4 x cos x + C

491.

cos x + C cos x + C

493.

3 x 2 x + C 3 x 2 x + C

495.

8 3 x 3 / 2 + 4 5 x 5 / 4 + C 8 3 x 3 / 2 + 4 5 x 5 / 4 + C

497.

14 x 2 x 1 2 x 2 + C 14 x 2 x 1 2 x 2 + C

499.

f ( x ) = 1 2 x 2 + 3 2 f ( x ) = 1 2 x 2 + 3 2

501.

f ( x ) = sen x + tan x + 1 f ( x ) = sen x + tan x + 1

503.

f ( x ) = 1 6 x 3 2 x + 13 6 f ( x ) = 1 6 x 3 2 x + 13 6

505.

Las respuestas pueden variar; una respuesta posible es f(x)=exf(x)=ex

507.

Las respuestas pueden variar; una respuesta posible es f(x)=senxf(x)=senx

509.

5,8675,867 s

511.

7,3337,333 s

513.

13,7513,75 ft/s2

515.

F ( x ) = 1 3 x 3 + 2 x F ( x ) = 1 3 x 3 + 2 x

517.

F ( x ) = x 2 cos x + 1 F ( x ) = x 2 cos x + 1

519.

F ( x ) = 1 ( x + 1 ) + 1 F ( x ) = 1 ( x + 1 ) + 1

521.

Verdadero

523.

Falso

Ejercicios de repaso

525.

Verdadero, según el teorema del valor medio

527.

Verdadero

529.

Creciente: (–2,0)(4,),(–2,0)(4,), decreciente: (,–2)(0,4)(,–2)(0,4)

531.

L ( x ) = 17 16 + 1 2 ( 1 + 4 π ) ( x 1 4 ) L ( x ) = 17 16 + 1 2 ( 1 + 4 π ) ( x 1 4 )

533.

Punto crítico: x=3π4,x=3π4, mínimo absoluto: x=0,x=0, máximo absoluto: x=πx=π

535.

Creciente: (–1,0)(3,),(–1,0)(3,), decreciente: (,–1)(0,3),(,–1)(0,3), cóncavo hacia arriba: (,13(2 13))(13(2 +13),),(,13(2 13))(13(2 +13),), cóncava hacia abajo: (13(2 13),13(2 +13))(13(2 13),13(2 +13)) grandes.

537.

Creciente: (14,),(14,), decreciente: (0,14),(0,14), cóncavo hacia arriba: (0,),(0,), cóncava hacia abajo: en ninguna parte

539.

3 3

541.

1 π 1 π

543.

x 1 = −1 , x 2 = –1 x 1 = −1 , x 2 = –1

545.

F ( x ) = 2 x 3 / 2 3 + 1 x + C F ( x ) = 2 x 3 / 2 3 + 1 x + C

547.


Este gráfico tiene asíntotas verticales en x = 0 y x = -1. La primera parte de la función se produce en el tercer cuadrante con una asíntota horizontal en y = 0. La función disminuye rápidamente desde cerca de (-5, 0) hasta cerca de la asíntota vertical (-1, ∞). Al otro lado de la asíntota, la función tiene forma de U y apunta hacia abajo en el tercer cuadrante entre x = -1 y x = 0 con un máximo cerca de (-0,4, -6). Al otro lado de la asíntota x = 0, la función disminuye desde su asíntota vertical cerca de (0, ∞) y para acercarse a la asíntota horizontal y = 0.


Puntos de inflexión: ninguno; puntos críticos: x=13;x=13; ceros: ninguno; asíntotas verticales: x=−1,x=−1, x=0;x=0; asíntota horizontal: y=0y=0

549.

La altura disminuye a una tasa de 0,1250,125 m/s

551.

x=abx=ab pies

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