Capítulo 4

$\frac{1}{72\pi }\text{cm/s},$ o aproximadamente 0,0044 cm/s

$500\text{ft/s}$

$\frac{1}{10}\text{rad/s}$

$\mathrm{-0,61}\text{ft/s}$

$L\left(x\right)=2+\frac{1}{12}\left(x-8\right);$ 2,00833

$L(x)=\text{−}x+\frac{\pi }{2}$

$L(x)=1+4x$

$dy=2x{e}^{x^2}dx$

$dy=\mathrm{1,6},$ $\text{Δ}y=\mathrm{1,64}$

La medición del volumen tiene una exactitud de $\mathrm{21,6}{\text{cm}}^3.$

7,6 %

$x=-\frac{2}{3},$ $x=1$

El máximo absoluto es $3$ y se produce en $x=4.$ El mínimo absoluto es $\mathrm{-1}$ y se produce en $x=2.$

$c=2$

$\frac{5}{2\sqrt{2}}$ s

$f$ tiene un mínimo local en $\mathrm{-2}$ y un máximo local en $3.$

$f$ no tiene extremos locales porque $f^{\prime }$ no cambia de signo en $x=1.$

$f$ es cóncava hacia arriba en el intervalo $\left(\text{−}\infty ,\frac{1}{2}\right)$ y cóncava hacia abajo en el intervalo $\left(\frac{1}{2},\infty \right)$

$f$ tiene un máximo local en $\mathrm{-2}$ y un mínimo local en $3.$

Ambos límites son $3.$ La línea $y=3$ es una asíntota horizontal.

Supongamos que $\epsilon >0.$ Supongamos que $N=\frac{1}{\sqrt{\epsilon }}.$ Por lo tanto, para todo $x>N,$ tenemos

$\left|3-\frac{1}{x^2}-3\right|=\frac{1}{x^2}<\frac{1}{N^2}=\epsilon$

Por lo tanto, $\underset{x\to \infty }{\text{lím}}\left(3-1\text{/}{x}^2\right)=3.$

Supongamos que $M>0.$ Supongamos que $N=\sqrt{\frac{M}{3}}.$ Entonces, para todos los $x>N,$ tenemos

$3x^2>3N^2=3{\left(\sqrt{\frac{M}{3}}\right)}^2{2}^{}=\frac{3M}{3}=M$

$\text{–}\infty$

$\frac{3}{5}$

$\text{±}\sqrt{3}$

$\underset{x\to \infty }{\text{lím}}f\left(x\right)=\frac{3}{5},$ $\underset{x\to \text{−}\infty }{\text{lím}}f\left(x\right)=\mathrm{–2}$

$y=\frac{3}{2}x$

La función $f$ tiene una cúspide en $\left(0,5\right)$ $\underset{x\to 0^{-}}{\text{lím}}{f}^{\prime }\left(x\right)=\infty ,$ $\underset{x\to 0^{+}}{\text{lím}}{f}^{\prime }\left(x\right)=\text{−}\infty .$ Para el comportamiento final, $\underset{x\to \text{±}\infty }{\text{lím}}f\left(x\right)=\text{−}\infty .$

La superficie máxima es $5.000{\text{pies}}^2.$

$V\left(x\right)=x\left(20-2x\right)\left(30-2x\right).$ El dominio es $\left[0,10\right].$

$T\left(x\right)=\frac{x}{6}+\frac{\sqrt{{\left(15-x\right)}^2+1}}{\mathrm{2,5}}$

La empresa debe cobrar $\text{\$}75$ por auto y por día.

$A\left(x\right)=4x\sqrt{1-x^2}.$ El dominio de consideración es $\left[0,1\right].$

$c\left(x\right)=\frac{\mathrm{259,2}}{x}+\mathrm{0,2}{x}^2$ dólares

$1$

$0$

$\underset{x\to 0^{+}}{\text{lím}}\text{cos}x=1.$ Por lo tanto, no podemos aplicar la regla de L'Hôpital. El límite del cociente es $\infty$

$1$

$0$

$e$

$1$

La función $2^x$ crece más rápido que $x^{100}.$

$x_1\approx \mathrm{0,33333333},x_2\approx \mathrm{0,347222222}$

$x_1=2,x_2=\mathrm{1,75}$

$x_1\approx -\mathrm{1,842105263},x_2\approx -\mathrm{1,772826920}$

$x_1=6,x_2=8,x_3=\frac{26}{3},x_4=\frac{80}{9},x_5=\frac{242}{27};x*=9$

$\text{−}\text{cos}x+C$

$\frac{d}{dx}\left(x\text{sen}x+\text{cos}x+C\right)=\text{sen}x+x\text{cos}x-\text{sen}x=x\text{cos}x$

$x^4-\frac{5}{3}{x}^3+\frac{1}{2}{x}^2-7x+C$

$y=-\frac{3}{x}+5$

$\mathrm{2,93}\text{sec},\mathrm{64,5}\text{pies}$

$8$

$\pm \frac{13}{\sqrt{10}}$

$2\sqrt{3}$ ft/s

La distancia disminuye a $390\text{mi/h}.$

La distancia entre ellos se reduce a una tasa de $\frac{1320}{13}\approx \mathrm{101,5}\text{mph}.$

$\frac{9}{2}$ ft/s

Crece a una tasa de $\frac{4}{9}$ ft/s

La distancia aumenta a una tasa de $\frac{\left(135\sqrt{26}\right)}{26}$ ft/s

$-\frac{5}{6}$ m/s

$240\pi$ m²/s

$\frac{1}{2\sqrt{\pi }}$ cm

El área aumenta a una tasa de $\frac{\left(3\sqrt{3}\right)}{8}{\text{ft}}^{}\text{/s.}$

La profundidad del agua disminuye a una tasa de $\frac{128}{125\pi }$ ft/min.

El volumen disminuye a una tasa de $\frac{\left(25\pi \right)}{16}{\text{ft}}^3\text{/min}.$

El agua sale a una tasa de $\frac{\left(2\pi \right)}{5}{\text{m}}^{}\text{/min.}$

$\frac{3}{2}$ m/s

$\frac{25}{19\pi }$ ft/min

$\frac{2}{45\pi }$ ft/min

El ángulo disminuye a una tasa de $\frac{400}{1681}\text{rad/s}.$

$100\pi \text{mi/min}$

El ángulo cambia a una tasa de $\frac{11}{25}\text{rad/s}.$

La distancia aumenta a una tasa de $\mathrm{62,50}$ ft/s.

La distancia disminuye a una tasa de $\mathrm{11,99}$ ft/s.

$f^{\prime }\left(a\right)=0$

La aproximación lineal es exacta cuando $y=f(x)$ es lineal o constante.

$L(x)=\frac{1}{2}–\frac{1}{4}(x-2)$ grandes.

$L(x)=1$

$L(x)=0$

0,02

$\mathrm{1,9996875}$

$\mathrm{0,001593}$

$1;$ error, $\mathrm{~0,00005}$

$\mathrm{0,97};$ error, $\mathrm{~0,0006}$

$3-\frac{1}{600};$ error, $\mathrm{~4,632}\times {10}^{\mathrm{-7}}$

$dy=\left(\text{cos}x–x\text{sen}x\right)dx$

$dy=\left(\frac{x^2-2x-2}{{(x–1)}^2}\right)dx$

$dy=-\frac{1}{{\left(x+1\right)}^2}dx,$ $-\frac{1}{16}$

$dy=\frac{9x^2+12x-2}{2{\left(x+1\right)}^{3\text{/}2}}dx,$ $\mathrm{-0,1}$

$dy=\left(3x^2+2–\frac{1}{x^2}\right)dx,$ $\mathrm{0,2}$

$12xdx$

$4\pi r^{2}dr$

$\mathrm{-1,2}\pi {\text{cm}}^3$

$\mathrm{-100}$ ft³

Las respuestas pueden variar

Las respuestas variarán

No; las respuestas variarán

Dado que el máximo absoluto es el valor de la función (salida) y no el valor de x, la respuesta es no; las respuestas variarán.

Cuando $a=0$

Mínimo absoluto en 3; máximo absoluto en -2,2; mínimos locales en -2, 1; máximos locales en -1, 2

Mínimos absolutos en -2, 2; máximos absolutos en -2,5, 2,5; mínimo local en 0; máximos locales en -1, 1

Las respuestas pueden variar.

Las respuestas pueden variar.

$x=1$

Ninguno

$x=0\text{;}x=\pm 2$

Ninguno

$x=\mathrm{-1},1$

Máximo absoluto: $x=4,$ $y=\frac{33}{2};$ mínimo absoluto: $x=1,$ $y=3$

Mínimo absoluto: $x=\frac{1}{2},$ $y=4$

Máximo absoluto: $x=2\pi ,$ $y=2\pi ;$ mínimo absoluto: $x=0,$ $y=0$

Máximo absoluto: $x=\mathrm{-3};$ mínimo absoluto: $\mathrm{-1}\le x\le 1,$ $y=2$

Máximo absoluto: $x=\frac{\pi }{4},$ $y=\sqrt{2};$ mínimo absoluto: $x=\frac{5\pi }{4},$ $y=\text{−}\sqrt{2}$

Mínimo absoluto: $x=\mathrm{–2},$ $y=1$

Mínimo absoluto: $x=\mathrm{-3},$ $y=\mathrm{-135};$ máximo local: $x=0,$ $y=0;$ mínimo local: $x=1,$ $y=\mathrm{-7}$

Máximo local: $x=1-2\sqrt{2},$ $y=3-4\sqrt{2};$ mínimo local: $x=1+2\sqrt{2},$ $y=3+4\sqrt{2}$

Máximo absoluto: $x=\frac{\sqrt{2}}{2},$ $y=\frac{3}{2};$ mínimo absoluto: $x=-\frac{\sqrt{2}}{2},$ $y=-\frac{3}{2}$

Máximo local: $x=\mathrm{–2},$ $y=59;$ mínimo local: $x=1,$ $y=\mathrm{-130}$

Máximo absoluto: $x=0,$ $y=1;$ mínimo absoluto: $x=\mathrm{–2},2,$ $y=0$

$h=\frac{9245}{49}\text{m,}$ $t=\frac{300}{49}\text{s}$

El mínimo absoluto fue en 1848, cuando no se produjo oro.

Mínimos absolutos: $x=0,$ $x=2,$ $y=1;$ máximo local en $x=1,$ $y=2$

No hay máximos/mínimos si $a$ es impar, mínimo en $x=1$ si $a$ es par

Un ejemplo es $f(x)=\left|x\right|+3,\mathrm{–2}\le x\le 2$

Sí, pero el teorema del valor medio sigue sin aplicarse.

$\left(\text{−}\infty ,0\right),\left(0,\infty \right)$ grandes.

$\left(\text{−}\infty ,\mathrm{–2}\right),\left(2,\infty \right)$ grandes.

2 puntos

5 puntos

$c=\frac{2\sqrt{3}}{3}$

$c=\frac{1}{2},1,\frac{3}{2}$

$c=1$

No diferenciable

No diferenciable

Sí

El teorema del valor medio no se aplica porque la función es discontinua en $x=\frac{1}{4},\frac{3}{4},\frac{5}{4},\frac{7}{4}.$

Sí

El teorema del valor medio no se aplica; discontinuo en $x=0.$

Sí

El teorema del valor medio no se aplica; no es diferenciable en $x=0.$

$b=\text{±}2\sqrt{c}$

$c=\text{±}\frac{1}{\pi }{\text{cos}}^{\mathrm{-1}}\left(\frac{\sqrt{\pi }}{2}\right),$ $c=\text{±}\mathrm{0,1533}$

El teorema del valor medio no se aplica.

$\frac{1}{2\sqrt{c+1}}-\frac{2}{c^3}=\frac{521}{2880};$ $c=\mathrm{3,133},\mathrm{5,867}$

Sí

Es constante.

No es un máximo/mínimo local porque $f^{\prime }$ no cambia de signo

No

Falso; por ejemplo, $y=\sqrt{x}.$

Es creciente en $\mathrm{-2}<x<\mathrm{-1}$ y $x>2;$ decreciente en $x<\mathrm{-2}$ y $\mathrm{-1}<x<2$

Decreciente para $x<1,$ creciente para $x>1$

Decreciente para $\mathrm{-2}<x<\mathrm{-1}$ y $1<x<2;$ creciente para $\mathrm{-1}<x<1$ y $x<\mathrm{-2}$ y $x>2$

a. Creciente en $\mathrm{-2}<x<\mathrm{-1},0<x<1,x>2,$ decreciente en $x<\mathrm{-2},$ $\mathrm{-1}<x<0,1<x<2;$ b. máximos en $x=\mathrm{–1}$ y $x=1,$ mínimos en $x=\mathrm{-2}$ y $x=0$ y $x=2$

a. Creciente en $x>0,$ decreciente en $x<0;$ b. Mínimo en $x=0$

Cóncava hacia arriba en todo $x,$ sin puntos de inflexión

Cóncava hacia arriba en todo $x,$ sin puntos de inflexión

Cóncava hacia arriba para $x<0$ y $x>1,$ cóncavo hacia abajo para $0<x<1,$ puntos de inflexión en $x=0$ y $x=1$

Las respuestas variarán

Las respuestas variarán

a. Creciente en $-\frac{\pi }{2}<x<\frac{\pi }{2},$ decreciente en $x<-\frac{\pi }{2},x>\frac{\pi }{2}$ b. Máximo local en $x=\frac{\pi }{2};$ mínimo local en $x=-\frac{\pi }{2}$

a. Cóncava hacia arriba para $x>\frac{4}{3},$ cóncavo hacia abajo para $x<\frac{4}{3}$ b. Punto de inflexión en $x=\frac{4}{3}$

a. Creciente en $x<0$ y $x>4,$ decreciente en $0<x<4$ b. Máximo en $x=0,$ mínimo en $x=4$ c. Cóncava hacia arriba para $x>2,$ cóncavo hacia abajo para $x<2$ d. Punto de inflexión en $x=2$

a. Creciente en $x<0$ y $x>\frac{60}{11},$ decreciente en $0<x<\frac{60}{11}$ b. Mínimo en $x=\frac{60}{11}$, máximo local en x = 0 c. Cóncavo hacia abajo para $x<\frac{54}{11},$ cóncavo hacia arriba para $x>\frac{54}{11}$ d. Punto de inflexión en $x=\frac{54}{11}$

a. Creciente en $x>-\frac{1}{2},$ decreciente en $x<-\frac{1}{2}$ b. Mínimo en $x=-\frac{1}{2}$ c. Cóncavo hacia arriba para toda $x$ d. No hay puntos de inflexión

a. Es creciente en $-\frac{1}{4}<x<\frac{3}{4},$ decreciente a lo largo de $x>\frac{3}{4}$ y $x<-\frac{1}{4}$ b. Mínimo en $x=-\frac{1}{4},$ máximo en $x=\frac{3}{4}$ c. Cóncava hacia arriba para $-\frac{3}{4}<x<\frac{1}{4},$ cóncavo hacia abajo para $x<-\frac{3}{4}$ y $x>\frac{1}{4}$ d. Puntos de inflexión en $x=-\frac{3}{4},x=\frac{1}{4}$

a. Creciente para todo $x$ b. No hay mínimo ni máximo local c. Cóncava hacia arriba para $x>0,$ cóncavo hacia abajo para $x<0$ d. Punto de inflexión en $x=0$

a. Creciente para todo $x$ donde se define b. No hay mínimos ni máximos locales c. Cóncava hacia arriba para $x<1;$ cóncavo hacia abajo para $x>1$ d. No hay puntos de inflexión en el dominio

a. Creciente en $-\frac{\pi }{4}<x<\frac{3\pi }{4},$ decreciente en $x>\frac{3\pi }{4},x<-\frac{\pi }{4}$ b. Mínimo en $x=-\frac{\pi }{4},$ máximo en $x=\frac{3\pi }{4}$ c. Cóncava hacia arriba para $-\frac{\pi }{2}<x<\frac{\pi }{2},$ cóncavo hacia abajo para $x<-\frac{\pi }{2},x>\frac{\pi }{2}$ d. Puntos de inflexión en $x=\text{±}\frac{\pi }{2}$

a. Creciente en $x>4,$ decreciente en $0<x<4$ b. Mínimo en $x=4$ c. Cóncava hacia arriba para $0<x<8\sqrt[3]{2},$ cóncavo hacia abajo para $x>8\sqrt[3]{2}$ d. Punto de inflexión en $x=8\sqrt[3]{2}$

$f>0,f^{\prime }>0,f\text{″}<0$

$f>0,f^{\prime }<0,f\text{″}>0$

$f>0,f^{\prime }>0,f\text{″}>0$

Cierto, según el teorema del valor medio

Cierto, examine la derivada

$x=1$

$x=\mathrm{-1},x=2$

$x=0$

Sí, hay una asíntota vertical

Sí, hay asíntota vertical

$0$

$\infty$

$-\frac{1}{7}$

$\mathrm{-2}$

$\mathrm{-4}$

Horizontal: ninguno, vertical: $x=0$

Horizontal: ninguno, vertical: $x=\text{±}2$

Horizontal: ninguno, vertical: ninguno

Horizontal $y=0,$ vertical: $x=\text{±}1$

Horizontal $y=0,$ vertical: $x=0$ y $x=\mathrm{–1}$

Horizontal $y=1,$ vertical: $x=1$

Horizontal: ninguno, vertical: ninguno

Las respuestas variarán, por ejemplo: $y=\frac{2x}{x–1}$

Las respuestas variarán, por ejemplo: $y=\frac{4x}{x+1}$

$y=0$

$\infty$

$y=3$

$P\left(0\right)\ne 0 y Q\left(x\right)=0$

$\underset{x\to 1^{-}}{\text{lím}}f\left(x\right)=\mathrm{-\infty }\text{y}\underset{x\to 1^{-}}{\text{lím}}g\left(x\right)=\infty$