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Cálculo volumen 1

4.5 Las derivadas y la forma de un gráfico

Cálculo volumen 14.5 Las derivadas y la forma de un gráfico

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Índice
  1. Prefacio
  2. 1 Funciones y gráficos
    1. Introducción
    2. 1.1 Repaso de las funciones
    3. 1.2 Clases básicas de funciones
    4. 1.3 Funciones trigonométricas
    5. 1.4 Funciones inversas
    6. 1.5 Funciones exponenciales y logarítmicas
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  3. 2 Límites
    1. Introducción
    2. 2.1 Un repaso previo del cálculo
    3. 2.2 El límite de una función
    4. 2.3 Las leyes de los límites
    5. 2.4 Continuidad
    6. 2.5 La definición precisa de un límite
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  4. 3 Derivadas
    1. Introducción
    2. 3.1 Definir la derivada
    3. 3.2 La derivada como función
    4. 3.3 Reglas de diferenciación
    5. 3.4 Las derivadas como tasas de cambio
    6. 3.5 Derivadas de funciones trigonométricas
    7. 3.6 La regla de la cadena
    8. 3.7 Derivadas de funciones inversas
    9. 3.8 Diferenciación implícita
    10. 3.9 Derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas
    11. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  5. 4 Aplicaciones de las derivadas
    1. Introducción
    2. 4.1 Tasas relacionadas
    3. 4.2 Aproximaciones lineales y diferenciales
    4. 4.3 Máximos y mínimos
    5. 4.4 El teorema del valor medio
    6. 4.5 Las derivadas y la forma de un gráfico
    7. 4.6 Límites al infinito y asíntotas
    8. 4.7 Problemas de optimización aplicados
    9. 4.8 La regla de L'Hôpital
    10. 4.9 Método de Newton
    11. 4.10 Antiderivadas
    12. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  6. 5 Integración
    1. Introducción
    2. 5.1 Aproximación de áreas
    3. 5.2 La integral definida
    4. 5.3 El teorema fundamental del cálculo
    5. 5.4 Fórmulas de integración y el teorema del cambio neto
    6. 5.5 Sustitución
    7. 5.6 Integrales con funciones exponenciales y logarítmicas
    8. 5.7 Integrales que resultan en funciones trigonométricas inversas
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  7. 6 Aplicaciones de la integración
    1. Introducción
    2. 6.1 Áreas entre curvas
    3. 6.2 Determinar los volúmenes mediante el corte
    4. 6.3 Volúmenes de revolución: capas cilíndricas
    5. 6.4 Longitud del arco de una curva y superficie
    6. 6.5 Aplicaciones físicas
    7. 6.6 Momentos y centros de masa
    8. 6.7 Integrales, funciones exponenciales y logaritmos
    9. 6.8 Crecimiento y decaimiento exponencial
    10. 6.9 Cálculo de las funciones hiperbólicas
    11. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  8. A Tabla de integrales
  9. B Tabla de derivadas
  10. C Repaso de Precálculo
  11. Clave de respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
  12. Índice

Objetivos de aprendizaje

  • 4.5.1 Explicar cómo el signo de la primera derivada afecta a la forma del gráfico de una función.
  • 4.5.2 Enunciar la prueba de la primera derivada para los puntos críticos.
  • 4.5.3 Utilizar la concavidad y los puntos de inflexión para explicar cómo el signo de la segunda derivada afecta a la forma del gráfico de una función.
  • 4.5.4 Explicar la prueba de concavidad para una función en un intervalo abierto.
  • 4.5.5 Explicar la relación entre una función y sus derivadas primera y segunda.
  • 4.5.6 Enunciar la prueba de la segunda derivada para los extremos locales.

Anteriormente en este capítulo dijimos que si una función ff tiene un extremo local en un punto c,c, entonces cc debe ser un punto crítico de f.f. Sin embargo, no hay garantía de que una función tenga un extremo local en un punto crítico. Por ejemplo, f(x)=x3f(x)=x3 tiene un punto crítico en x=0x=0 dado que f(x)=3x2 f(x)=3x2 es cero en x=0,x=0, pero ff no tienen un extremo local en x=0.x=0. Utilizando los resultados de la sección anterior, podremos determinar si un punto crítico de una función corresponde realmente a un valor extremo local. En esta sección, también veremos cómo la segunda derivada proporciona información sobre la forma de un gráfico de una función si al describirlo este se curva hacia arriba o hacia abajo.

La prueba de la primera derivada

El corolario 33 del teorema del valor medio demostró que si la derivada de una función es positiva en un intervalo II entonces la función es creciente en I.I. Por otro lado, si la derivada de la función es negativa en un intervalo I,I, entonces la función es decreciente en II como se muestra en la siguiente figura.

Esta figura se divide en cuatro figuras marcadas como a, b, c y d. La figura a muestra una función que aumenta convexamente desde (a, f(a)) hasta (b, f(b)). En dos puntos se toma la derivada y se observa que en ambos f' > 0. En otras palabras, f es creciente. La figura b muestra una función que aumenta cóncavamente desde (a, f(a)) hasta (b, f(b)). En dos puntos se toma la derivada y se observa que en ambos f' > 0. En otras palabras, f es creciente. La figura c muestra una función que decrece cóncavamente desde (a, f(a)) hasta (b, f(b)). En dos puntos se toma la derivada y se observa que en ambos f' < 0. En otras palabras, f es decreciente. La figura d muestra una función que decrece convexamente desde (a, f(a)) hasta (b, f(b)). En dos puntos se toma la derivada y se observa que en ambos f' < 0. En otras palabras, f es decreciente.
Figura 4.30 Ambas funciones son crecientes en el intervalo ( a , b ) . ( a , b ) . En cada punto x , x , la derivada f ( x ) > 0 . f ( x ) > 0 . Ambas funciones son decrecientes en el intervalo ( a , b ) . ( a , b ) . En cada punto x , x , la derivada f ( x ) < 0 . f ( x ) < 0 .

Una función continua ff tiene un máximo local en el punto cc si y solo si ff pasa de aumentar a disminuir en el punto c.c. Del mismo modo, ff tiene un mínimo local en cc si y solo si ff pasa de disminuir a aumentar en c.c. Si ff es una función continua en un intervalo II que contiene cc y diferenciable sobre I,I, excepto posiblemente en c,c, la única manera ff puede pasar de creciente a decreciente (o viceversa) en el punto cc es si ff cambia de signo cuando xx aumenta a través de c.c. Si ff es diferenciable en c,c, la única manera de que f.f. pueda cambiar de signo cuando xx aumenta a través de cc es si f(c)=0.f(c)=0. Por lo tanto, para una función ff que es continua en un intervalo II que contiene cc y diferenciable sobre I,I, excepto posiblemente en c,c, la única manera ff pueda pasar de creciente a decreciente (o viceversa) es si f(c)=0f(c)=0 o f(c)f(c) es indefinida. En consecuencia, para localizar los extremos locales de una función f,f, buscamos puntos cc en el dominio de ff tal que f(c)=0f(c)=0 o f(c)f(c) es indefinida. Recordemos que estos puntos se denominan puntos críticos de f.f.

Observe que ff no necesita tener un extremo local en un punto crítico. Solo los puntos críticos son candidatos a extremos locales. En la Figura 4.31, demostramos que si una función continua ff tiene un extremo local, debe ocurrir en un punto crítico, pero es posible que una función no tenga un extremo local en un punto crítico. Demostramos que si ff tiene un extremo local en un punto crítico, entonces el signo de ff cambia cuando xx aumenta a través de ese punto.

Se grafica una función f(x). Comienza en el segundo cuadrante y aumenta hasta x = a, que es demasiado agudo y por lo tanto, f'(a) es indefinido. En esta sección f' > 0. Entonces, f disminuye de x = a a x = b (por lo que f' < 0 aquí), antes de aumentar en x = b. Se observa que f'(b) = 0. Al aumentar de x = b a x = c, f' > 0. La función tiene un punto de inversión en c, y se marca f'(c) = 0. La función aumenta un poco más hasta d (por lo que f' > 0), que es el máximo global. Se marca que f'(d) = 0. Entonces la función disminuye y se marca que f' > 0.
Figura 4.31 La función f f tiene cuatro puntos críticos: a , b , c , y d . a , b , c , y d . La función f f tiene máximos locales en a a y d , d , y un mínimo local en b . b . La función f f no tienen un extremo local en c . c . El signo de f f cambia en todos los extremos locales.

Utilizando la Figura 4.31, resumimos los principales resultados relativos a los extremos locales.

  • Si una función continua ff tiene un extremo local, este debe ocurrir en un punto crítico c.c.
  • La función tiene un extremo local en el punto crítico cc si y solo si la derivada ff cambia de signo cuando xx aumenta a través de c.c.
  • Por lo tanto, para comprobar si una función tiene un extremo local en un punto crítico c,c, debemos determinar el signo de f(x)f(x) a la izquierda y a la derecha de c.c.

Este resultado se conoce como la prueba de la primera derivada.

Teorema 4.9

Prueba de la primera derivada

Supongamos que ff es una función continua en un intervalo II que contiene un punto crítico c.c. Si ff es diferenciable sobre I,I, excepto posiblemente en el punto c,c, entonces f(c)f(c) cumple una de los siguientes criterios:

  1. Si los valores de ff cambia el signo de positivo cuando x<cx<c a negativo cuando x>c,x>c, entonces f(c)f(c) es un máximo local de f.f.
  2. Si ff cambia el signo de negativo cuando x<cx<c a positivo cuando x>c,x>c, entonces f(c)f(c) es un mínimo local de f.f.
  3. Si ff tiene el mismo signo para x<cx<c y x>c,x>c, entonces f(c)f(c) no es ni un máximo ni un mínimo local de f.f.

Podemos resumir la prueba de la primera derivada como una estrategia para localizar los extremos locales.

Estrategia de resolución de problemas

Estrategia para la resolución de problemas: Uso de la prueba de la primera derivada

Considere una función ff que es continua en un intervalo I.I.

  1. Halle todos los puntos críticos de ff y dividimos el intervalo II en intervalos más pequeños utilizando los puntos críticos como puntos extremos.
  2. Analice el signo de ff en cada uno de los subintervalos. Si los valores de ff es continua a lo largo de un subintervalo dado (que es el caso típico), entonces el signo de ff en ese subintervalo no cambia y, por lo tanto, se puede determinar eligiendo un punto de prueba arbitrario xx en ese subintervalo y evaluando el signo de ff en ese punto de prueba. Utilice el análisis de signos para determinar si ff aumenta o disminuye en ese intervalo.
  3. Utilice la Prueba de la primera derivada y los resultados del paso 2 2 para determinar si ff tiene un máximo local, un mínimo local o ninguno en cada uno de los puntos críticos.

Veamos ahora cómo utilizar esta estrategia para localizar todos los extremos locales de determinadas funciones.

Ejemplo 4.17

Uso de la prueba de la primera derivada para encontrar los extremos locales

Utilice la prueba de la primera derivada para ubicar todos los extremos locales para f(x)=x33x2 9x1.f(x)=x33x2 9x1. Utilice una herramienta gráfica para confirmar sus resultados.

Punto de control 4.16

Utilice la prueba de la primera derivada para localizar todos los extremos locales para f(x)=x3+32 x2 +18x.f(x)=x3+32 x2 +18x.

Ejemplo 4.18

Uso de la prueba de la primera derivada

Utilice la prueba de la primera derivada para ubicar todos los extremos locales para f(x)=5x1/3x5/3.f(x)=5x1/3x5/3. Utilice una herramienta gráfica para confirmar sus resultados.

Punto de control 4.17

Utilice la prueba de la primera derivada para encontrar todos los extremos locales para f(x)=x13.f(x)=x13.

Concavidad y puntos de inflexión

Ahora sabemos cómo determinar si una función es creciente o decreciente. Sin embargo, hay otra cuestión a tener en cuenta respecto a la forma del gráfico de una función. Si el gráfico se curva, ¿lo hace hacia arriba o hacia abajo? Esta noción se denomina concavidad de la función.

La Figura 4.34(a) muestra una función ff con un gráfico que se curva hacia arriba. A medida que xx aumenta, la pendiente de la línea tangente aumenta. Por lo tanto, dado que la derivada aumenta a medida que xx aumenta, ff es una función creciente. Decimos que esta función ff es cóncava hacia arriba. La Figura 4.34(b) muestra una función ff que se curva hacia abajo. A medida que xx aumenta, la pendiente de la línea tangente disminuye. Dado que la derivada disminuye a medida que xx aumenta, ff es una función decreciente. Decimos que esta función ff es cóncava hacia abajo.

Definición

Supongamos que ff es una función diferenciable en un intervalo abierto I.I. Si ff aumenta en I,I, decimos ff es cóncava hacia arriba en I.I. Si ff disminuye en I,I, decimos ff es cóncava hacia abajo en I.I.

Esta figura se divide en cuatro figuras marcadas como a, b, c y d. La figura a muestra una función que aumenta convexamente desde (a, f(a)) hasta (b, f(b)). En dos puntos se toma la derivada y ambas son crecientes, pero la que se toma más a la derecha aumenta más. Se observa que f' es creciente y f es cóncava hacia arriba. La figura b muestra una función que aumenta cóncavamente desde (a, f(a)) hasta (b, f(b)). En dos puntos se toma la derivada y ambas son crecientes, pero la que se toma más a la derecha aumenta menos. Se observa que f' es decreciente y f es cóncava hacia abajo. La figura c muestra una función que decrece cóncavamente desde (a, f(a)) hasta (b, f(b)). En dos puntos se toma la derivada y ambas son decrecientes, pero la que se toma más a la derecha decrece menos. Se observa que f' es creciente y f es cóncava hacia arriba. La figura d muestra una función que decrece convexamente desde (a, f(a)) hasta (b, f(b)). En dos puntos se toma la derivada y ambas son decrecientes, pero la que se toma más a la derecha es más decreciente. Se observa que f' es decreciente y f es cóncava hacia abajo.
Figura 4.34 (a), (c) Ya que f f es creciente en el intervalo ( a , b ) , ( a , b ) , decimos f f es cóncava hacia arriba en ( a , b ) . ( a , b ) . (b), (d) Ya que f f es decreciente en el intervalo ( a , b ) , ( a , b ) , decimos f f es cóncava hacia abajo en ( a , b ) . ( a , b ) .

En general, sin tener el gráfico de una función f,f, ¿cómo podemos determinar su concavidad? Por definición, una función ff es cóncava hacia arriba si ff aumenta. Por el corolario 3,3, sabemos que si ff es una función diferenciable, entonces ff es creciente si su derivada f(x)>0.f(x)>0. Por lo tanto, una función ff que es dos veces diferenciable es cóncava hacia arriba cuando f(x)>0.f(x)>0. Del mismo modo, una función ff es cóncava hacia abajo si ff decrece. Sabemos que una función diferenciable ff es decreciente si su derivada f(x)<0.f(x)<0. Por lo tanto, una función dos veces diferenciable ff es cóncava hacia abajo cuando f(x)<0.f(x)<0. La aplicación de esta lógica se conoce como la prueba de concavidad.

Teorema 4.10

Prueba de concavidad

Supongamos que ff es una función doblemente diferenciable en un intervalo I.I.

  1. Si los valores de f(x)>0f(x)>0 para todo xI,xI, entonces ff es cóncava hacia arriba en I.I.
  2. Si f(x)<0f(x)<0 para todo xI,xI, entonces ff es cóncava hacia abajo en I.I.

Concluimos que podemos determinar la concavidad de una función ff mirando la segunda derivada de f.f. Además, observamos que una función ff puede cambiar de concavidad (Figura 4.35). Sin embargo, una función continua puede cambiar de concavidad solo en un punto xx si f(x)=0f(x)=0 o f(x)f(x) es indefinida. En consecuencia, para determinar los intervalos en los que una función ff es cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo, buscamos aquellos valores de xx donde f(x)=0f(x)=0 o f(x)f(x) es indefinida. Una vez determinados estos puntos, dividimos el dominio de ff en intervalos más pequeños y determinamos el signo de ff en cada uno de estos intervalos más pequeños. Si los valores de ff cambia de signo al pasar por un punto x,x, entonces ff cambia la concavidad. Es importante recordar que una función ff no puede cambiar la concavidad en un punto xx incluso si f(x)=0f(x)=0 o f(x)f(x) es indefinida. Sin embargo, si, ff sí cambia la concavidad en un punto aa y ff es continua en a,a, decimos que el punto (a,f(a))(a,f(a)) es un punto de inflexión de f.f.

Definición

Si ff es continua en aa y ff cambia la concavidad en a,a, el punto (a,f(a))(a,f(a)) es un punto de inflexión de f.f.

Se muestra una función sinusoidal que ha sido desplazada al primer cuadrante. La función comienza a decrecer, por lo que f' < 0 y f'' > 0. La función alcanza el mínimo local y comienza a aumentar, por lo que f' > 0 y f'' > 0. Se observa que la pendiente es creciente para estos dos intervalos. La función alcanza entonces un punto de inflexión (a, f(a)) y a partir de aquí la pendiente es decreciente aunque la función siga aumentando, por lo que f' > 0 y f'' < 0. La función alcanza el máximo y luego comienza a disminuir, por lo que f' < 0 y f'' < 0.
Figura 4.35 Dado que f ( x ) > 0 f ( x ) > 0 por x < a , x < a , la función f f es cóncava hacia arriba en el intervalo ( , a ) . ( , a ) . Dado que f ( x ) < 0 f ( x ) < 0 por x > a , x > a , la función f f es cóncava hacia abajo en el intervalo ( a , ) . ( a , ) . El punto ( a , f ( a ) ) ( a , f ( a ) ) es un punto de inflexión de f . f .

Ejemplo 4.19

Prueba de concavidad

Para que la función f(x)=x36x2 +9x+30,f(x)=x36x2 +9x+30, determine todos los intervalos en los que ff es cóncavo hacia arriba y todos los intervalos donde ff es cóncava hacia abajo. Enumere todos los puntos de inflexión para f.f. Utilice una herramienta gráfica para confirmar sus resultados.

Punto de control 4.18

Para f(x)=x3+32 x2 +18x,f(x)=x3+32 x2 +18x, halle todos los intervalos en los que ff es cóncavo hacia arriba y todos los intervalos donde ff es cóncava hacia abajo.

Ahora resumimos en la Tabla 4.1, la información que las derivadas primera y segunda de una función ff proporcionan sobre el gráfico de f,f, e ilustramos esta información en la Figura 4.37.

Signo de ff Signo de ff ¿Es ff ¿aumenta o disminuye? Concavidad
Positivo Positivo Creciente Cóncava hacia arriba
Positivo Negativo Creciente Cóncava hacia abajo
Negativo Positivo Decreciente Cóncava hacia arriba
Negativo Negativo Decreciente Cóncava hacia abajo
Tabla 4.1 Lo que las derivadas nos dicen sobre los gráficos
Se grafica una función en el primer cuadrante. Este está dividido en cuatro secciones, con secciones en el mínimo local, el punto de inflexión y el máximo local, respectivamente. La primera sección es decreciente y cóncava hacia arriba; aquí, f' < 0 y f'' > 0. La segunda sección es creciente y cóncava hacia arriba; aquí, f' > 0 y f'' > 0. La tercera sección es creciente y cóncava hacia abajo; aquí, f' > 0 y f'' < 0. La cuarta sección es creciente y cóncava hacia abajo; aquí, f' < 0 y f'' < 0.
Figura 4.37 Consideremos una función dos veces diferenciable f f en un intervalo abierto I . I . Si f ( x ) > 0 f ( x ) > 0 para todo x I , x I , la función es creciente en I . I . Si f ( x ) < 0 f ( x ) < 0 para todo x I , x I , la función es decreciente en I . I . Si f ( x ) > 0 f ( x ) > 0 para todo x I , x I , la función es cóncava hacia arriba. Si los valores de f ( x ) < 0 f ( x ) < 0 para todo x I , x I , la función es cóncava hacia abajo en I . I .

La prueba de la segunda derivada

La prueba de la primera derivada proporciona una herramienta analítica para encontrar los extremos locales, pero la segunda derivada también puede utilizarse para localizar los valores extremos. Utilizar la segunda derivada puede ser a veces un método más sencillo que utilizar la primera derivada.

Sabemos que si una función continua tiene un extremo local, este debe producirse en un punto crítico. Sin embargo, una función no necesita tener un extremo local en un punto crítico. Aquí examinamos cómo se puede utilizar la prueba de la segunda derivada para determinar si una función tiene un extremo local en un punto crítico. Supongamos que ff es una función dos veces diferenciable tal que f(a)=0f(a)=0 y ff es continua en un intervalo abierto II que contiene a.a. Supongamos que f(a)<0.f(a)<0. Dado que ff es continua en I,I, f(x)<0f(x)<0 para todo xIxI (Figura 4.38). Entonces, por el corolario 3,3, ff es una función decreciente sobre I.I. Dado que f(a)=0,f(a)=0, concluimos que para todo xI,f(x)>0xI,f(x)>0 si x<ax<a y f(x)<0f(x)<0 si x>a.x>a. Por lo tanto, mediante la prueba de la primera derivada, ff tiene un máximo local en x=a.x=a. Por otro lado, supongamos que existe un punto bb de manera que f(b)=0f(b)=0 pero f(b)>0.f(b)>0. Dado que ff es continua en un intervalo abierto II que contiene b,b, entonces f(x)>0f(x)>0 para todo xIxI (Figura 4.38). Entonces, por el corolario 3,f3,f es una función creciente sobre I.I. Dado que f(b)=0,f(b)=0, concluimos que para todo xI,xI, f(x)<0f(x)<0 si x<bx<b y f(x)>0f(x)>0 si x>b.x>b. Por lo tanto, mediante la prueba de la primera derivada, ff tiene un mínimo local en x=b.x=b.

Una función f(x) se representa gráficamente en el primer cuadrante con a y b marcados en el eje x. La función es vagamente sinusoidal, aumentando primero hasta x = a, luego disminuyendo hasta x = b, y aumentando de nuevo. En (a, f(a)) se marca la tangente y se observa que f'(a) = 0 y f''(a) < 0. En (b, f(b)) se marca la tangente y se observa que f'(b) = 0 y f''(b) > 0.
Figura 4.38 Consideremos una función dos veces diferenciable f f tal que f f es continuo. Dado que f ( a ) = 0 f ( a ) = 0 y f ( a ) < 0 , f ( a ) < 0 , hay un intervalo I I que contiene a a tal que para todo x x en I , I , f f es creciente si x < a x < a y f f es decreciente si x > a . x > a . Como resultado, f f tiene un máximo local en x = a . x = a . Dado que f ( b ) = 0 f ( b ) = 0 y f ( b ) > 0 , f ( b ) > 0 , hay un intervalo I I que contiene b b tal que para todo x x en I , I , f f es decreciente si x < b x < b y f f es creciente si x > b . x > b . Como resultado, f f tiene un mínimo local en x = b . x = b .

Teorema 4.11

Prueba de la segunda derivada

Supongamos que f(c)=0,ff(c)=0,f es continua en un intervalo que contiene c.c.

  1. Si los valores de f(c)>0,f(c)>0, entonces ff tiene un mínimo local en c.c.
  2. Si f(c)<0,f(c)<0, entonces ff tiene un máximo local en c.c.
  3. Si f(c)=0,f(c)=0, entonces la prueba no es concluyente.

Note que en el caso iii., cuando f(c)=0,f(c)=0, entonces ff puede tener un máximo local, un mínimo local o ninguno de los dos en c.c. Por ejemplo, las funciones f(x)=x3,f(x)=x3, f(x)=x4,f(x)=x4, y f(x)=x4f(x)=x4 todas tienen puntos críticos en x=0.x=0. En cada caso, la segunda derivada es cero en x=0.x=0. Sin embargo, la función f(x)=x4f(x)=x4 tiene un mínimo local en x=0x=0 mientras que la función f(x)=x4f(x)=x4 tiene un máximo local en x,x, y la función f(x)=x3f(x)=x3 no tienen un extremo local en x=0.x=0.

Veamos ahora cómo utilizar la prueba de la segunda derivada para determinar si ff tiene un máximo local o un mínimo local en un punto crítico cc donde f(c)=0.f(c)=0.

Ejemplo 4.20

Usar la prueba de la segunda derivada

Utilice la segunda derivada para encontrar la ubicación de todos los extremos locales para f(x)=x55x3.f(x)=x55x3.

Punto de control 4.19

Considere la función f(x)=x3(32 )x2 18x.f(x)=x3(32 )x2 18x. Los puntos c=3,−2c=3,−2 satisfacen f(c)=0.f(c)=0. Utilice la prueba de la segunda derivada para determinar si ff tiene un máximo o un mínimo local en esos puntos.

Ahora hemos desarrollado las herramientas que necesitamos para determinar dónde una función es creciente y decreciente una, así como hemos adquirido una comprensión de la forma básica del gráfico. En la siguiente sección discutiremos lo que ocurre con una función cuando x±.x±. En ese momento, tenemos suficientes herramientas para proporcionar gráficos precisos de una gran variedad de funciones.

Sección 4.5 ejercicios

194.

Si los valores de cc es un punto crítico de f(x),f(x), ¿cuándo no hay un máximo o un mínimo local en c?c? Explique.

195.

Para que la función y=x3,y=x3, ¿es x x=0x=0 tanto un punto de inflexión como un máximo/mínimo local?

196.

Para que la función y=x3,y=x3, ¿es x x=0x=0 ¿un punto de inflexión?

197.

¿Es posible que un punto cc sea a la vez un punto de inflexión y un extremo local de una función dos veces diferenciable?

198.

¿Por qué se necesita continuidad para la prueba de la primera derivada? Proponga un ejemplo.

199.

Explique si una función cóncava hacia abajo tiene que cruzar y=0y=0 para algún valor de x.x.

200.

Explique si un polinomio de grado 2 2 puede tener un punto de inflexión.

Para los siguientes ejercicios, analice los gráficos de f,f, y, a continuación, enumere todos los intervalos en los que ff es creciente o decreciente.

201.
La función f'(x) se representa gráficamente. La función comienza negativa y cruza el eje x en (-2, 0). Luego sigue aumentando un poco antes de disminuir y cruzar el eje x en (-1, 0). Alcanza un mínimo local en (1, -6) antes de aumentar y cruzar el eje x en (2, 0).
202.
La función f'(x) se representa gráficamente. La función comienza negativa y cruza el eje x en (-2, 0). Luego sigue aumentando un poco antes de disminuir y tocar el eje x en (-1, 0). A continuación, aumenta un poco antes de disminuir y cruzar el eje x en el origen. A continuación, la función disminuye hasta un mínimo local antes de aumentar, cruzando el eje x en (1, 0), y continuando el aumento.
203.
La función f'(x) se representa gráficamente. La función comienza negativa y toca el eje x en el origen. Luego disminuye un poco antes de aumentar hasta cruzar el eje x en (1, 0) y seguir aumentando.
204.
La función f'(x) se representa gráficamente. La función comienza positiva y disminuye hasta tocar el eje x en (-1, 0). Luego aumenta hasta (0, 4,5) antes de disminuir hasta tocar el eje x en (1, 0). Entonces la función aumenta.
205.
La función f'(x) se representa gráficamente. La función comienza en (-2, 0), disminuye hasta (-1,5, -1,5), aumenta hasta (-1, 0) y sigue aumentando antes de disminuir hasta el origen. Entonces el otro lado es simétrico: es decir, la función aumenta y luego disminuye para pasar por (1, 0). Sigue disminuyendo hasta (1,5, -1,5), y luego aumenta hasta (2, 0).

Para los siguientes ejercicios, analice los gráficos de f,f, y, a continuación, enumere todos los intervalos en los que

  1. ff aumenta y disminuye y
  2. los mínimos y los máximos están localizados.
206.
La función f'(x) se representa gráficamente. La función comienza en (-2, 0), disminuye un poco y luego aumenta hasta (-1, 0), sigue aumentando antes de disminuir hasta el origen, punto en el que aumenta.
207.
La función f'(x) se representa gráficamente. La función comienza en (-2, 0), aumenta y luego disminuye hasta (-1, 0), disminuye y luego aumenta hasta un punto de inflexión en el origen. Entonces la función aumenta y disminuye hasta cruzar (1, 0). Sigue disminuyendo y luego aumenta hasta (2, 0).
208.
La función f'(x) se representa gráficamente desde x = -2 hasta x = 2. Comienza cerca de cero en x = -2, pero luego aumenta rápidamente y se mantiene positiva durante toda la longitud del gráfico.
209.
La función f'(x) se representa gráficamente. La función comienza negativa y cruza el eje x en el origen, que es un punto de inflexión. Luego sigue aumentando.
210.
La función f'(x) se representa gráficamente. La función comienza negativa y cruza el eje x en (-1, 0). Luego sigue aumentando un poco antes de disminuir y tocar el eje x en el origen. Vuelve a aumentar y luego disminuye hasta (1, 0). Entonces aumenta.

Para los siguientes ejercicios, analice los gráficos de f,f, y, a continuación, haga una lista de todos los puntos de inflexión e intervalos ff que son cóncavos hacia arriba y cóncavos hacia abajo.

211.
La función f'(x) se representa gráficamente. La función es lineal y empieza a ser negativa. Cruza el eje x en el origen.
212.
La función f'(x) se representa gráficamente. Es una parábola orientada hacia arriba con 0 como mínimo local.
213.
La función f'(x) se representa gráficamente. La función se asemeja a el gráfico de x3: es decir, empieza negativa y cruza el eje x en el origen. Luego sigue aumentando.
214.
La función f'(x) se representa gráficamente. La función comienza negativa y cruza el eje x en (-0,5, 0). Luego sigue aumentando hasta (0, 1,5) antes de disminuir y tocar el eje x en (1, 0). A continuación, aumenta.
215.
La función f'(x) se representa gráficamente. La función comienza negativa y cruza el eje x en (-1, 0). Luego sigue aumentando hasta un máximo local en (0, 1), momento en el que disminuye y toca el eje x en (1, 0). A continuación, aumenta.

En los siguientes ejercicios, dibuje un gráfico que satisfaga las especificaciones dadas para el dominio xϵ[−3,3].xϵ[−3,3]. La función no tiene que ser continua ni diferenciable.

216.

f(x)>0,f(x)>0f(x)>0,f(x)>0 en x>1,−3<x<0,f(x)=0x>1,−3<x<0,f(x)=0 en 0<x<10<x<1

217.

f(x)>0f(x)>0 en x>2 ,−3<x<−1,f(x)<0x>2 ,−3<x<−1,f(x)<0 en −1<x<2 ,f(x)<0−1<x<2 ,f(x)<0 para todo xx

218.

f(x)<0f(x)<0 en −1<x<1,f(x)>0,−3<x<−1,1<x<3,−1<x<1,f(x)>0,−3<x<−1,1<x<3, máximo local en x=0,x=0, mínimos locales en x=±2 x=±2

219.

Hay un máximo local en x=2 ,x=2 , mínimo local en x=1,x=1, y el gráfico no es cóncavo hacia arriba ni cóncavo hacia abajo.

220.

Hay máximos locales en x=±1,x=±1, la función es cóncava hacia arriba para toda x,x, y la función sigue siendo positiva para toda x.x.

Para los siguientes ejercicios, determine

  1. intervalos en los que ff aumenta o disminuye y
  2. mínimos y máximos locales de f.f.
221.

f(x)=senx+sen3xf(x)=senx+sen3x en π<x<ππ<x<π

222.

f ( x ) = x 2 + cos x f ( x ) = x 2 + cos x

En los siguientes ejercicios, determine a. los intervalos en los que ff es cóncava hacia arriba o cóncava hacia abajo, y b. los puntos de inflexión de f.f.

223.

f ( x ) = x 3 4 x 2 + x + 2 f ( x ) = x 3 4 x 2 + x + 2

Para los siguientes ejercicios, determine

  1. intervalos en los que ff es creciente o decreciente.
  2. mínimos y máximos locales de f,f,
  3. intervalos en los que ff es cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo y
  4. los puntos de inflexión de f.f.
224.

f ( x ) = x 2 6 x f ( x ) = x 2 6 x

225.

f ( x ) = x 3 6 x 2 f ( x ) = x 3 6 x 2

226.

f ( x ) = x 4 6 x 3 f ( x ) = x 4 6 x 3

227.

f ( x ) = x 11 6 x 10 f ( x ) = x 11 6 x 10

228.

f ( x ) = x + x 2 x 3 f ( x ) = x + x 2 x 3

229.

f ( x ) = x 2 + x + 1 f ( x ) = x 2 + x + 1

230.

f ( x ) = x 3 + x 4 f ( x ) = x 3 + x 4

Para los siguientes ejercicios, determine

  1. intervalos en los que ff es creciente o decreciente.
  2. mínimos y máximos locales de f,f,
  3. intervalos en los que ff es cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo y
  4. los puntos de inflexión de f.f. Dibuje la curva y luego utilice una calculadora para comparar tu respuesta. Si no puede determinar la respuesta exacta de forma analítica, utilice una calculadora.
231.

[T] f(x)=sen(πx)cos(πx)f(x)=sen(πx)cos(πx) en x=[−1,1]x=[−1,1]

232.

[T] f(x)=x+sen(2 x)f(x)=x+sen(2 x) en x=[π2 ,π2 ]x=[π2 ,π2 ]

233.

[T] f(x)=senx+tanxf(x)=senx+tanx en (π2 ,π2 )(π2 ,π2 )

234.

[T] f(x)=(x2 )2 (x4)2 f(x)=(x2 )2 (x4)2

235.

[T] f(x)=11x,x1f(x)=11x,x1

236.

[T] f(x)=senxxf(x)=senxx en x=x= [2 π,0)(0,2 π][2 π,0)(0,2 π]

237.

f(x)=sen(x)exf(x)=sen(x)ex en x=[π,π]x=[π,π]

238.

f ( x ) = ln x x , x > 0 f ( x ) = ln x x , x > 0

239.

f ( x ) = 1 4 x + 1 x , x > 0 f ( x ) = 1 4 x + 1 x , x > 0

240.

f ( x ) = e x x , x 0 f ( x ) = e x x , x 0

En los siguientes ejercicios, interprete las frases en términos de f,f,yf.f,f,yf.

241.

La población crece más lentamente. Aquí ff es la población.

242.

Una moto acelera más rápido, pero un automóvil va más rápido. Aquí f=f= Posición de la moto menos la posición del automóvil.

243.

El avión aterriza sin problemas. Aquí ff es la altitud del avión.

244.

Los precios de las acciones están en su punto más alto. Aquí ff es el precio de las acciones.

245.

La economía se está acelerando. Aquí ff es una medida de la economía, como el PIB.

En los siguientes ejercicios, considere un polinomio de tercer grado f(x),f(x), que tiene las propiedades f(1)=0,f(3)=0.f(1)=0,f(3)=0. Determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifique su respuesta.

246.

f(x)=0f(x)=0 para algunos 1x31x3

247.

f(x)=0f(x)=0 para algunos 1x31x3

248.

No hay un máximo absoluto en x=3x=3

249.

Si f(x)f(x) tiene tres raíces, entonces tiene 11 punto de inflexión.

250.

Si los valores de f(x)f(x) tiene un punto de inflexión, entonces tiene tres raíces reales.

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