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Cálculo volumen 1

4.4 El teorema del valor medio

Cálculo volumen 14.4 El teorema del valor medio

Objetivos de aprendizaje

  • 4.4.1 Explicar el significado del teorema de Rolle.
  • 4.4.2 Describir el significado del teorema del valor medio.
  • 4.4.3 Indicar tres consecuencias importantes del teorema del valor medio.

El teorema del valor medio es uno de los teoremas más importantes del cálculo. Al final de esta sección veremos algunas de sus implicaciones. En primer lugar, empezaremos con un caso especial del teorema del valor medio, llamado teorema de Rolle.

Teorema de Rolle

De manera informal, el teorema de Rolle afirma que si las salidas de una función diferenciable ff son iguales en los puntos extremos de un intervalo, entonces debe haber un punto interior cc donde f′(c)=0.f′(c)=0. La Figura 4.21 ilustra este teorema.

La figura se divide en tres partes denominadas a, b y c. La figura a muestra el primer cuadrante con los valores a, c y b marcados en el eje x. Se dibuja una parábola orientada hacia abajo de forma que sus valores en a y b son iguales. El punto c es el máximo global, y se observa que f'(c) = 0. La figura b muestra el primer cuadrante con los valores a, c y b marcados en el eje x. Se dibuja una parábola orientada hacia arriba de forma que sus valores en a y b son iguales. El punto c es el mínimo global, y se observa que f'(c) = 0. La figura c muestra el primer cuadrante con los puntos a, c1, c2 y b marcados en el eje x. Un periodo de una onda sinusoidal se dibuja de manera que sus valores en a y b son iguales. El punto c1 es el máximo global, y se observa que f'(c1) = 0. El punto c2 es el mínimo global, y se observa que f'(c2) = 0.
Figura 4.21 Si una función diferenciable f satisface f(a)=f(b),f(a)=f(b), entonces su derivada debe ser cero en algún(os) punto(s) entre aa y b.b.

Teorema 4.4

Teorema de Rolle

Supongamos que ff es una función continua en el intervalo cerrado [a,b][a,b] y diferenciable en el intervalo abierto (a,b)(a,b) tal que f(a)=f(b).f(a)=f(b). Entonces existe al menos una c∈(a,b)c∈(a,b) tal que f′(c)=0.f′(c)=0.

Prueba

Supongamos que k=f(a)=f(b).k=f(a)=f(b). Consideramos tres casos:

  1. f(x)=kf(x)=k para todos los x∈(a,b).x∈(a,b).
  2. Existe x∈(a,b)x∈(a,b) tal que f(x)>k.f(x)>k.
  3. Existe x∈(a,b)x∈(a,b) tal que f(x)<k.f(x)<k.

Caso 1: Si los valores de f(x)=kf(x)=k para todos los x∈(a,b),x∈(a,b), entonces f′(x)=0f′(x)=0 para todo x∈(a,b).x∈(a,b).

Caso 2: Dado que ff es una función continua sobre el intervalo cerrado y delimitado [a,b],[a,b], por el teorema del valor extremo, tiene un máximo absoluto. Además, como hay un punto x∈(a,b)x∈(a,b) tal que f(x)>k,f(x)>k, el máximo absoluto es mayor que k.k. Por lo tanto, el máximo absoluto no se produce en ninguno de los dos extremos. En consecuencia, el máximo absoluto debe producirse en un punto interior c∈(a,b).c∈(a,b). Dado que ff tiene un máximo en un punto interior c,c, y ff es diferenciable en c,c, por el teorema de Fermat, f′(c)=0.f′(c)=0.

Caso 3: El caso en el que existe un punto x∈(a,b)x∈(a,b) tal que f(x)<kf(x)<k es análogo al caso 2, con la sustitución del máximo por el mínimo.

□

Un punto importante del teorema de Rolle es que la diferenciabilidad de la función ff es fundamental. Si los valores de ff no es diferenciable, incluso en un solo punto, el resultado puede no ser válido. Por ejemplo, la función f(x)=|x|−1f(x)=|x|−1 es continua en [−1,1][−1,1] y f(–1)=0=f(1),f(–1)=0=f(1), pero f′(c)≠0f′(c)≠0 para cualquier c∈(–1,1)c∈(–1,1) como se muestra en la siguiente figura.

Se representa gráficamente la función f(x) = |x| - 1. Se demuestra que f(1) = f(-1), pero se observa que no existe c tal que f'(c) = 0.
Figura 4.22 Dado que f(x)=|x|−1f(x)=|x|−1 no es diferenciable en x=0,x=0, no se cumplen las condiciones del teorema de Rolle. De hecho, la conclusión no es válida en este caso; no hay c∈(–1,1)c∈(–1,1) tal que f′(c)=0.f′(c)=0.

Consideremos ahora las funciones que satisfacen las condiciones del teorema de Rolle y calculemos explícitamente los puntos cc donde f′(c)=0.f′(c)=0.

Ejemplo 4.14

Utilizando el Teorema de Rolle

En cada una de las siguientes funciones, verifique que la función satisfaga los criterios establecidos en el teorema de Rolle y halle todos los valores cc en el intervalo dado donde f′(c)=0.f′(c)=0.

  1. f(x)=x2 +2 xf(x)=x2 +2 x en [−2,0][−2,0]
  2. f(x)=x3−4xf(x)=x3−4x en [−2,2 ][−2,2 ]

Punto de control 4.14

Verifique que la función f(x)=2 x2 −8x+6f(x)=2 x2 −8x+6 definida en el intervalo [1,3][1,3] satisface las condiciones del teorema de Rolle. Halle todos los puntos cc garantizados por el teorema de Rolle.

El teorema del valor medio y su significado

El teorema de Rolle es un caso especial del teorema del valor medio. En el teorema de Rolle, consideramos funciones diferenciables ff definidas en un intervalo cerrado [a,b][a,b] con f(a)=f(b)f(a)=f(b). El teorema del valor medio generaliza el teorema de Rolle al considerar funciones que no tienen necesariamente el mismo valor en los extremos. En consecuencia, podemos considerar el Teorema del Valor Medio como una versión inclinada del teorema de Rolle (Figura 4.25). El teorema del valor medio establece que si ff es continua en el intervalo cerrado [a,b][a,b] y diferenciable en el intervalo abierto (a,b),(a,b), entonces existe un punto c∈(a,b)c∈(a,b) tal que la línea tangente al gráfico de ff en cc es paralela a la línea secante que une (a,f(a))(a,f(a)) y (b,f(b)).(b,f(b)).

Se dibuja una función vagamente sinusoidal y = f(x). En el eje de abscisas, se marcan a, c1, c2 y b. En el eje y, se marcan como f(a) y f(b). La función f(x) comienza en (a, f(a)), disminuye hasta c1, aumenta hasta c2 y luego disminuye hasta (b, f(b)). Se traza una línea secante entre (a, f(a)) y (b, f(b)), y se observa que esta línea tiene pendiente (f(b) - f(a))/(b - a). Se dibujan las líneas tangentes en c1 y c2, y son paralelas a la línea secante. Se observa que las pendientes de estas rectas tangentes son f'(c1) y f'(c2), respectivamente.
Figura 4.25 El teorema del valor medio dice que para una función que cumple sus condiciones, en algún punto la línea tangente tiene la misma pendiente que la línea secante entre los extremos. Para esta función, hay dos valores c1c1 y c2 c2 tal que la línea tangente a ff en c1c1 y c2 c2 tiene la misma pendiente que la línea secante.

Teorema 4.5

Teorema del valor medio

Supongamos que ff es continua en el intervalo cerrado [a,b][a,b] y diferenciable en el intervalo abierto (a,b).(a,b). Entonces, existe al menos un punto c∈(a,b)c∈(a,b) de manera que

f′(c)=f(b)−f(a)b–a.f′(c)=f(b)−f(a)b–a.

Prueba

La prueba se desprende del teorema de Rolle, al presentar una función apropiada que satisface los criterios de este. Considere la línea que conecta (a,f(a))(a,f(a)) y (b,f(b)).(b,f(b)). Como la pendiente de esa línea es

f(b)−f(a)b–af(b)−f(a)b–a

y la línea pasa por el punto (a,f(a)),(a,f(a)), la ecuación de esa línea se puede escribir como

y=f(b)−f(a)b–a(x–a)+f(a).y=f(b)−f(a)b–a(x–a)+f(a).

Supongamos que g(x)g(x) denota la diferencia vertical entre el punto (x,f(x))(x,f(x)) y el punto (x,y)(x,y) en esa línea. Por lo tanto,

g(x)=f(x)−[f(b)−f(a)b–a(x–a)+f(a)].g(x)=f(x)−[f(b)−f(a)b–a(x–a)+f(a)].
Se dibuja una función vagamente sinusoidal y = f(x). En el eje de abscisas, se marcan a y b. En el eje y, se marcan como f(a) y f(b). La función f(x) comienza en (a, f(a)), disminuye, luego aumenta y luego disminuye hasta (b, f(b)). Se traza una línea secante entre (a, f(a)) y (b, f(b)), y se observa que esta línea tiene ecuación y = ((f(b) - f(a))/(b - a)) (x - a) + f(x). Se traza una línea entre el máximo de f(x) y la secante y se marca g(x).
Figura 4.26 El valor g(x)g(x) es la diferencia vertical entre el punto (x,f(x))(x,f(x)) y el punto (x,y)(x,y) en la línea secante que conecta (a,f(a))(a,f(a)) y (b,f(b)).(b,f(b)).

Dado que el gráfico de ff interseca la línea secante cuando x=ax=a y x=b,x=b, vemos que g(a)=0=g(b).g(a)=0=g(b). Dado que ff es una función diferenciable sobre (a,b),(a,b), gg es también una función diferenciable en (a,b).(a,b). Además, como ff es continua en [a,b],[a,b], gg también es continua en [a,b].[a,b]. Por lo tanto, gg satisface los criterios del teorema de Rolle. En consecuencia, existe un punto c∈(a,b)c∈(a,b) de manera que g′(c)=0.g′(c)=0. Dado que

g′(x)=f′(x)−f(b)−f(a)b–a,g′(x)=f′(x)−f(b)−f(a)b–a,

vemos que

g′(c)=f′(c)−f(b)−f(a)b–a.g′(c)=f′(c)−f(b)−f(a)b–a.

Dado que g′(c)=0,g′(c)=0, concluimos que

f′(c)=f(b)−f(a)b–a.f′(c)=f(b)−f(a)b–a.

□

En el siguiente ejemplo, mostramos cómo se puede aplicar el teorema del valor medio a la función f(x)=xf(x)=x en el intervalo [0,9].[0,9]. El método es el mismo para otras funciones, aunque a veces con consecuencias más interesantes.

Ejemplo 4.15

Verificación de la aplicación del teorema del valor medio

Para f(x)=xf(x)=x en el intervalo [0,9],[0,9], demuestre que ff satisface la hipótesis del teorema del valor medio, y por tanto existe al menos un valor c∈(0,9)c∈(0,9) tal que f′(c)f′(c) es igual a la pendiente de la línea que une (0,f(0))(0,f(0)) y (9,f(9)).(9,f(9)). Halle estos valores cc garantizados por el teorema del valor medio.

Una aplicación que ayuda a ilustrar el teorema del valor medio involucra la velocidad. Por ejemplo, supongamos que conducimos un automóvil durante 1 h por una carretera recta con una velocidad media de 45 mph. Supongamos que s(t)s(t) y v(t)v(t) denotan la posición y la velocidad del auto, respectivamente, para 0≤t≤10≤t≤1 h. Suponiendo que la función de posición s(t)s(t) es diferenciable, podemos aplicar el teorema del valor medio para concluir que, en algún momento c∈(0,1),c∈(0,1), la velocidad del auto era exactamente

v(c)=s′(c)=s(1)−s(0)1−0=45mph.v(c)=s′(c)=s(1)−s(0)1−0=45mph.

Ejemplo 4.16

Teorema del valor medio y velocidad

Si se deja caer una roca desde una altura de 100 ft, su posición tt segundos después de su caída hasta que toque el suelo viene dada por la función s(t)=–16t2 +100.s(t)=–16t2 +100.

  1. Determine el tiempo que tarda la roca en llegar al suelo.
  2. Halle la velocidad media vavgvavg de la roca para cuando se suelta y para cuando llega al suelo.
  3. Halle el tiempo tt garantizado por el teorema del valor medio cuando la velocidad instantánea de la roca es vavg.vavg.

Punto de control 4.15

Supongamos que se deja caer una pelota desde una altura de 200 ft. Su posición en el tiempo tt ¿es s(t)=–16t2 +200.s(t)=–16t2 +200. Halle el tiempo tt cuando la velocidad instantánea del balón es igual a su velocidad media.

Corolarios del teorema del valor medio

Veamos ahora tres corolarios del teorema del valor medio. Estos resultados tienen consecuencias sustanciales, que utilizaremos en las próximas secciones.

En este punto, sabemos que la derivada de cualquier función constante es cero. El teorema del valor medio nos permite concluir que lo contrario también es cierto. En particular, si f′(x)=0f′(x)=0 para todo xx en algún intervalo I,I, entonces f(x)f(x) es constante en ese intervalo. Este resultado puede parecer intuitivamente obvio, pero tiene importantes implicaciones que no son obvias, y las discutiremos en breve.

Teorema 4.6

Corolario 1: Funciones con una derivada de cero

Supongamos que ff sea diferenciable en un intervalo I.I. Si f′(x)=0f′(x)=0 para todo x∈I,x∈I, entonces f(x)=f(x)= constante para todas las x∈I.x∈I.

Prueba

Dado que ff es diferenciable sobre I,I, ff debe ser continua durante I.I. Supongamos que f(x)f(x) no es constante para todas las xx en I.I. Entonces existe a,b∈I,a,b∈I, donde a≠ba≠b y f(a)≠f(b).f(a)≠f(b). Elija la notación para que a<b.a<b. Por lo tanto,

f(b)−f(a)b–a≠0.f(b)−f(a)b–a≠0.

Dado que ff es una función diferenciable, por el teorema del valor medio, existe c∈(a,b)c∈(a,b) de manera que

f′(c)=f(b)−f(a)b–a.f′(c)=f(b)−f(a)b–a.

Por lo tanto, existe c∈Ic∈I de manera que f′(c)≠0,f′(c)≠0, lo que contradice la suposición de que f′(x)=0f′(x)=0 para todo x∈I.x∈I.

□

De Corolario 1: Funciones con una derivada de cero, se deduce que si dos funciones tienen la misma derivada, difieren como máximo en una constante.

Teorema 4.7

Corolario 2: Teorema de la diferencia constante

Si los valores de ff y gg son diferenciables en un intervalo II y f′(x)=g′(x)f′(x)=g′(x) para todo x∈I,x∈I, entonces f(x)=g(x)+Cf(x)=g(x)+C para alguna constante C.C.

Prueba

Supongamos que h(x)=f(x)−g(x).h(x)=f(x)−g(x). Entonces, h′(x)=f′(x)−g′(x)=0h′(x)=f′(x)−g′(x)=0 para todo x∈I.x∈I. Según el Corolario 1, existe una constante CC de manera que h(x)=Ch(x)=C para todos los x∈I.x∈I. Por lo tanto, f(x)=g(x)+Cf(x)=g(x)+C para todos los x∈I.x∈I.

□

El tercer corolario del teorema del valor medio analiza cuándo una función es creciente y cuándo es decreciente. Recordemos que una función ff aumenta en II si f(x1)<f(x2 )f(x1)<f(x2 ) siempre que x1<x2 ,x1<x2 , mientras que ff disminuye en II si f(x)1>f(x2 )f(x)1>f(x2 ) siempre que x1<x2 .x1<x2 . Utilizando el teorema del valor medio, podemos demostrar que si la derivada de una función es positiva, entonces la función es creciente; si la derivada es negativa, entonces la función es decreciente (Figura 4.29). Aprovecharemos este hecho en la siguiente sección, donde mostraremos cómo utilizar la derivada de una función para localizar los valores máximos y mínimos locales de la función, y cómo determinar la forma del gráfico.

Este hecho es importante porque significa que para una función dada f,f, si existe una función FF de manera que F′(x)=f(x);F′(x)=f(x); entonces, las únicas otras funciones que tienen una derivada igual a ff son F(x)+CF(x)+C para alguna constante C.C. Más adelante, en este mismo capítulo, analizaremos este resultado con más detalle.

Se grafica una función ligeramente sinusoidal f(x). Aumenta desde algún punto del segundo cuadrante hasta (a, f(a)). En esta sección se observa que f' > 0. Entonces disminuye desde (a, f(a)) hasta (b, f(b)). En esta sección se observa que f' < 0. Finalmente, aumenta a la derecha de (b, f(b)) y se observa en esta sección que f' > 0.
Figura 4.29 Si una función tiene una derivada positiva en algún intervalo I,I, entonces la función aumenta en ese intervalo I;I; si la derivada es negativa en algún intervalo I,I, entonces la función disminuye en ese intervalo I.I.

Teorema 4.8

Corolario 3: Funciones crecientes y decrecientes

Supongamos que ff es continua en el intervalo cerrado [a,b][a,b] y diferenciable en el intervalo abierto (a,b).(a,b).

  1. Si los valores de f′(x)>0f′(x)>0 para todo x∈(a,b),x∈(a,b), entonces ff es una función creciente sobre [a,b].[a,b].
  2. Si f′(x)<0f′(x)<0 para todo x∈(a,b),x∈(a,b), entonces ff es una función decreciente sobre [a,b].[a,b].

Prueba

Demostraremos i.; la prueba de ii. es similar. Supongamos que ff no es una función creciente en I.I. Entonces existe aa y bb en II de manera que a<b,a<b, pero f(a)≥f(b).f(a)≥f(b). Dado que ff es una función diferenciable sobre I,I, según el teorema del valor medio existe c∈(a,b)c∈(a,b) de manera que

f′(c)=f(b)−f(a)b–a.f′(c)=f(b)−f(a)b–a.

Dado que f(a)≥f(b),f(a)≥f(b), sabemos que f(b)−f(a)≤0.f(b)−f(a)≤0. También, a<ba<b nos dice que b–a>0.b–a>0. Concluimos que

f′(c)=f(b)−f(a)b–a≤0.f′(c)=f(b)−f(a)b–a≤0.

Sin embargo, f′(x)>0f′(x)>0 para todo x∈I.x∈I. Esto es una contradicción, y por lo tanto ff debe ser una función creciente en I.I.

□

Sección 4.4 ejercicios

148.

¿Por qué es necesaria la continuidad para aplicar el teorema del valor medio? Elabore un contraejemplo.

149.

¿Por qué se necesita la diferenciabilidad para aplicar el teorema del valor medio? Halle un contraejemplo.

150.

¿Cuándo el teorema de Rolle y el teorema del valor medio son equivalentes?

151.

Si se tiene una función con una discontinuidad, ¿aún es posible tener f′(c)(b–a)=f(b)−f(a)?f′(c)(b–a)=f(b)−f(a)? Dibuje un ejemplo de ello o demuestre por qué no.

En los siguientes ejercicios determine en qué intervalos (si los hay) se aplica el teorema del valor medio. Justifique su respuesta.

152.

y=sen(πx)y=sen(πx) grandes.

153.

y = 1 x 3 y = 1 x 3

154.

y = 4 − x 2 y = 4 − x 2

155.

y = x 2 − 4 y = x 2 − 4

156.

y = ln ( 3 x − 5 ) y = ln ( 3 x − 5 )

En los siguientes ejercicios, grafique las funciones en una calculadora y dibuje la línea secante que une los puntos extremos. Estime el número de puntos cc de manera que f′(c)(b–a)=f(b)−f(a).f′(c)(b–a)=f(b)−f(a).

157.

[T] y=3x3+2 x+1y=3x3+2 x+1 en [−1,1][−1,1]

158.

[T] y=tan(π4x)y=tan(π4x) en [−32 ,32 ][−32 ,32 ]

159.

[T] y=x2 cos(πx)y=x2 cos(πx) en [−2,2 ][−2,2 ]

160.

[T] y=x6−34x5−98x4+1516x3+332x2 +316x+132y=x6−34x5−98x4+1516x3+332x2 +316x+132 en [−1,1][−1,1]

En los siguientes ejercicios, utilice el teorema del valor medio y halle todos los puntos 0<c<2 0<c<2 de manera que f(2 )−f(0)=f′(c)(2 −0).f(2 )−f(0)=f′(c)(2 −0).

161.

f ( x ) = x 3 f ( x ) = x 3

162.

f(x)=sen(πx)f(x)=sen(πx) grandes.

163.

f(x)=cos(2 πx)f(x)=cos(2 πx) grandes.

164.

f ( x ) = 1 + x + x 2 f ( x ) = 1 + x + x 2

165.

f ( x ) = ( x – 1 ) 10 f ( x ) = ( x – 1 ) 10

166.

f ( x ) = ( x – 1 ) 9 f ( x ) = ( x – 1 ) 9

En los siguientes ejercicios, demuestre que no existe cc de manera que f(1)−f(–1)=f′(c)(2 ).f(1)−f(–1)=f′(c)(2 ). Explique por qué el teorema del valor medio no se aplica en el intervalo [−1,1].[−1,1].

167.

f ( x ) = | x – 1 2 | f ( x ) = | x – 1 2 |

168.

f ( x ) = 1 x 2 f ( x ) = 1 x 2

169.

f ( x ) = | x | f ( x ) = | x |

170.

f(x)=⌊x⌋f(x)=⌊x⌋ (Pista: Se denomina función suelo y se define de forma que f(x)f(x) es el mayor número entero menor o igual a x.)x.)

En los siguientes ejercicios, determine si el teorema del valor medio se aplica a las funciones en el intervalo dado [a,b].[a,b]. Justifique su respuesta.

171.

y=exy=ex en [0,1][0,1]

172.

y=ln(2 x+3)y=ln(2 x+3) en [−32 ,0][−32 ,0]

173.

f(x)=tan(2 πx)f(x)=tan(2 πx) en [0,2 ][0,2 ]

174.

y=9−x2 y=9−x2 en [−3,3][−3,3]

175.

y=1|x+1|y=1|x+1| en [0,3][0,3]

176.

y=x3+2 x+1y=x3+2 x+1 en [0,6][0,6]

177.

y=x2 +3x+2 xy=x2 +3x+2 x en [−1,1][−1,1]

178.

y=xsen(πx)+1y=xsen(πx)+1 en [0,1][0,1]

179.

y=ln(x+1)y=ln(x+1) en [0,e−1][0,e−1]

180.

y=xsen(πx)y=xsen(πx) en [0,2 ][0,2 ]

181.

y=5+|x|y=5+|x| en [−1,1][−1,1]

En los siguientes ejercicios, tome en cuenta las raíces de la ecuación.

182.

Demuestre que la ecuación y=x3+4x+16y=x3+4x+16 tiene exactamente una raíz real. ¿De cuánto es?

183.

Halle las condiciones para que haya exactamente una raíz (raíz doble) para la ecuación y=x2 +bx+cy=x2 +bx+c

184.

Halle las condiciones para que y=ex−by=ex−b tenga una raíz. ¿Es posible tener más de una raíz?

En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora para graficar la función durante el intervalo [a,b][a,b] y grafique la línea secante de aa al b.b. Utilice la calculadora para estimar todos los valores de cc como los garantiza el teorema del valor medio. A continuación, halle el valor exacto de c,c, si es posible, o escriba la ecuación final y utilice una calculadora para estimar a cuatro dígitos.

185.

[T] y=tan(πx)y=tan(πx) en [−14,14][−14,14]

186.

[T] y=1x+1y=1x+1 en [0,3][0,3]

187.

[T] y=|x2 +2 x−4|y=|x2 +2 x−4| en [−4,0][−4,0]

188.

[T] y=x+1xy=x+1x en [12 ,4][12 ,4]

189.

[T] y=x+1+1x2 y=x+1+1x2 en [3,8][3,8]

190.

A las 10:17 a. m., pasa a un auto de la policía a 55 mph que está parado en la autopista. A las 10:53 a. m., pasa a un segundo auto de la policía a 55 mph, que se halla a 39 mi del primer auto. Si el límite de velocidad es de 60 mph, ¿la policía puede multarlo por exceso de velocidad?

191.

Dos automóviles van de un foco a otro, saliendo a la vez y llegando al mismo tiempo. ¿Hay algún momento en el que vayan a la misma velocidad? Demuéstrelo o refútelo.

192.

Demuestre que y=sec2 xy=sec2 x como y=tan2 xy=tan2 x tienen la misma derivada. ¿Qué puede decir sobre y=sec2 x−tan2 x?y=sec2 x−tan2 x?

193.

Demuestre que y=csc2 xy=csc2 x como y=cot2 xy=cot2 x tienen la misma derivada. ¿Qué puede decir sobre y=csc2 x−cot2 x?y=csc2 x−cot2 x?

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