Omitir e ir al contenidoIr a la página de accesibilidadMenú de atajos de teclado
Logo de OpenStax
Cálculo volumen 1

4.6 Límites al infinito y asíntotas

Cálculo volumen 14.6 Límites al infinito y asíntotas

Menú
Índice
  1. Prefacio
  2. 1 Funciones y gráficos
    1. Introducción
    2. 1.1 Repaso de las funciones
    3. 1.2 Clases básicas de funciones
    4. 1.3 Funciones trigonométricas
    5. 1.4 Funciones inversas
    6. 1.5 Funciones exponenciales y logarítmicas
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  3. 2 Límites
    1. Introducción
    2. 2.1 Un repaso previo del cálculo
    3. 2.2 El límite de una función
    4. 2.3 Las leyes de los límites
    5. 2.4 Continuidad
    6. 2.5 La definición precisa de un límite
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  4. 3 Derivadas
    1. Introducción
    2. 3.1 Definir la derivada
    3. 3.2 La derivada como función
    4. 3.3 Reglas de diferenciación
    5. 3.4 Las derivadas como tasas de cambio
    6. 3.5 Derivadas de funciones trigonométricas
    7. 3.6 La regla de la cadena
    8. 3.7 Derivadas de funciones inversas
    9. 3.8 Diferenciación implícita
    10. 3.9 Derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas
    11. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  5. 4 Aplicaciones de las derivadas
    1. Introducción
    2. 4.1 Tasas relacionadas
    3. 4.2 Aproximaciones lineales y diferenciales
    4. 4.3 Máximos y mínimos
    5. 4.4 El teorema del valor medio
    6. 4.5 Las derivadas y la forma de un gráfico
    7. 4.6 Límites al infinito y asíntotas
    8. 4.7 Problemas de optimización aplicados
    9. 4.8 La regla de L'Hôpital
    10. 4.9 Método de Newton
    11. 4.10 Antiderivadas
    12. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  6. 5 Integración
    1. Introducción
    2. 5.1 Aproximación de áreas
    3. 5.2 La integral definida
    4. 5.3 El teorema fundamental del cálculo
    5. 5.4 Fórmulas de integración y el teorema del cambio neto
    6. 5.5 Sustitución
    7. 5.6 Integrales con funciones exponenciales y logarítmicas
    8. 5.7 Integrales que resultan en funciones trigonométricas inversas
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  7. 6 Aplicaciones de la integración
    1. Introducción
    2. 6.1 Áreas entre curvas
    3. 6.2 Determinar los volúmenes mediante el corte
    4. 6.3 Volúmenes de revolución: capas cilíndricas
    5. 6.4 Longitud del arco de una curva y superficie
    6. 6.5 Aplicaciones físicas
    7. 6.6 Momentos y centros de masa
    8. 6.7 Integrales, funciones exponenciales y logaritmos
    9. 6.8 Crecimiento y decaimiento exponencial
    10. 6.9 Cálculo de las funciones hiperbólicas
    11. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  8. A Tabla de integrales
  9. B Tabla de derivadas
  10. C Repaso de Precálculo
  11. Clave de respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
  12. Índice

Objetivos de aprendizaje

  • 4.6.1 Calcular el límite de una función a medida que x x aumenta o disminuye sin límites.
  • 4.6.2 Reconocer una asíntota horizontal en el gráfico de una función.
  • 4.6.3 Estimar el comportamiento final de una función cuando x x aumenta o disminuye sin límites.
  • 4.6.4 Reconocer una asíntota oblicua en el gráfico de una función.
  • 4.6.5 Analizar una función y sus derivadas para dibujar su gráfico.

Hemos mostrado cómo utilizar la primera y la segunda derivadas de una función para describir la forma de un gráfico. Para graficar una función ff definida en un dominio no limitado, también necesitamos conocer el comportamiento de ff cuando x±.x±. En esta sección, definiremos los límites en el infinito y mostramos cómo estos límites afectan a el gráfico de una función. Al final de esta sección, describiremos una estrategia para graficar una función arbitraria f.f.

Límites al infinito

Comenzamos examinando qué significa que una función tenga un límite finito al infinito. A continuación, estudiamos la idea de una función con un límite infinito al infinito. Ya en la Introducción a funciones y gráficos vimos las asíntotas verticales; en esta sección tratamos las asíntotas horizontales y oblicuas.

Límites al infinito y asíntotas horizontales

Recordemos que límxaf(x)=Llímxaf(x)=L significa f(x)f(x) se acerca arbitrariamente a LL siempre y cuando xx esté lo suficientemente cerca de a.a. Podemos extender esta idea a los límites al infinito. Por ejemplo, consideremos la función f(x)=2 +1x.f(x)=2 +1x. Como se puede ver de manera gráfico en la Figura 4.40 y numéricamente en la Tabla 4.2, cuando los valores de xx aumentan, los valores de f(x)f(x) se acercan a 2 .2 . Decimos que el límite cuando xx tiende a de f(x)f(x) ¿es 2 2 y se escribe límxf(x)=2 .límxf(x)=2 . Del mismo modo, para x<0,x<0, cuando los valores |x||x| aumentan, los valores de f(x)f(x) se acerca a 2 .2 . Decimos que el límite cuando xx se acerca a de f(x)f(x) ¿es 2 2 y se escribe límxf(x)=2 .límxf(x)=2 .

La función f(x) 2 + 1/x se representa gráficamente. La función comienza como negativa cerca de y = 2 pero luego disminuye hasta -∞ cerca de x = 0. La función entonces disminuye de ∞ cerca de x = 0 y se acerca a y = 2 a medida que x aumenta. Hay una línea horizontal que denota la asíntota y = 2.
Figura 4.40 La función se acerca a la asíntota y = 2 y = 2 cuando x x se aproxima a ± . ± .
xx 1010 100100 1.0001.000 10.00010.000
2 +1x2 +1x 2,12,1 2,012,01 2,0012,001 2,00012,0001
xx −10−10 −100−100 −1000−1000 −10000−10000
2 +1x2 +1x 1,91,9 1,991,99 1,9991,999 1,99991,9999
Tabla 4.2 Valores de una función f f cuando x ± x ±

De forma más general, para cualquier función f,f, decimos que el límite, cuando xx de f(x)f(x) ¿es LL si f(x)f(x) se acerca arbitrariamente a LL siempre y cuando xx es suficientemente grande. En ese caso, escribimos límxf(x)=L.límxf(x)=L. Del mismo modo, decimos que el límite cuando xx de f(x)f(x) ¿es LL si f(x)f(x) se acerca arbitrariamente a LL siempre y cuando x<0x<0 y |x||x| es suficientemente grande. En ese caso, escribimos límxf(x)=L.límxf(x)=L. Ahora veremos la definición de una función que tiene un límite al infinito.

Definición

(Informal) Si los valores de f(x)f(x) se acercan arbitrariamente a LL a medida que xx se hace suficientemente grande, decimos que la función ff tiene un límite al infinito y se escribe

límxf(x)=L.límxf(x)=L.

Si los valores de f(x)f(x) se acerca arbitrariamente a LL por x<0x<0 cuando |x||x| se hace suficientemente grande, decimos que la función ff tiene un límite al infinito negativo y se escribe

límx−∞f(x)=L.límx−∞f(x)=L.

Si los valores f(x)f(x) se acercan arbitrariamente a algún valor finito LL a medida que xx o x,x, el gráfico de ff se acerca a la línea y=L.y=L. En ese caso, la línea y=Ly=L es una asíntota horizontal de ff (Figura 4.41). Por ejemplo, en la función f(x)=1x,f(x)=1x, dado que límxf(x)=0,límxf(x)=0, la línea y=0y=0 es una asíntota horizontal de f(x)=1x.f(x)=1x.

Definición

Si los valores de límxf(x)=Llímxf(x)=L o límxf(x)=L,límxf(x)=L, decimos que la línea y=Ly=L es una asíntota horizontal de f.f.

La figura se divide en dos figuras denominadas a y b. La figura a muestra una función f(x) que se aproxima a una línea horizontal discontinua que nunca toca marcada como L desde arriba. La figura b muestra una función f(x) que se aproxima a, pero nunca toca, una línea horizontal discontinua marcada como M desde abajo.
Figura 4.41 (a) Cuando x , x , los valores de f f se acercan arbitrariamente a L . L . La línea y = L y = L es una asíntota horizontal de f . f . (b) Cuando x , x , los valores de f f se acercan arbitrariamente a M . M . La línea y = M y = M es una asíntota horizontal de f . f .

Una función no puede cruzar una asíntota vertical porque el gráfico debe acercarse al infinito (o )) desde al menos una dirección cuando xx se acerca a la asíntota vertical. Sin embargo, una función puede intersecar una asíntota horizontal. De hecho, una función puede intersecar una asíntota horizontal un número ilimitado de veces. Por ejemplo, la función f(x)=(cosx)x+1f(x)=(cosx)x+1 que se muestra en la Figura 4.42 interseca la asíntota horizontal y=1y=1 un número infinito de veces al oscilar alrededor de la asíntota con una amplitud cada vez menor.

Se muestra la función f(x) = (cos x)/x + 1. Disminuye desde (0, ∞) y luego procede a oscilar alrededor de y = 1 con amplitud decreciente.
Figura 4.42 El gráfico de f ( x ) = ( cos x ) / x + 1 f ( x ) = ( cos x ) / x + 1 interseca su asíntota horizontal y = 1 y = 1 un número infinito de veces.

Las leyes algebraicas de los límites y el teorema del emparedado que presentamos en la Introducción a los límites también se aplican a los límites al infinito. Ilustramos cómo utilizar estas leyes para calcular varios límites al infinito.

Ejemplo 4.21

Cálculo de los límites al infinito

Para cada una de las siguientes funciones f,f, evalúe límxf(x)límxf(x) y límxf(x).límxf(x). Determine la(s) asíntota(s) horizontal(es) de f.f.

  1. f(x)=52 x2 f(x)=52 x2
  2. f(x)=senxxf(x)=senxx
  3. f(x)=tan–1(x)f(x)=tan–1(x)

Punto de control 4.20

Evalúe límx(3+4x)límx(3+4x) y límx(3+4x).límx(3+4x). Determine las asíntotas horizontales de f(x)=3+4x,f(x)=3+4x, si las hay.

Límites infinitos al infinito

A veces los valores de una función ff se vuelven arbitrariamente grandes a medida que xx (o cuando x).x). En este caso, escribimos límxf(x)=límxf(x)= (o límxf(x)=).límxf(x)=). Por otro lado, si los valores de ff son negativos, pero su magnitud se vuelve arbitrariamente grande cuando xx (o cuando x),x), escribimos límxf(x)=límxf(x)= (o límxf(x)=).límxf(x)=).

Por ejemplo, consideremos la función f(x)=x3.f(x)=x3. Como se ve en la Tabla 4.3 y en la Figura 4.47, cuando xx los valores f(x)f(x) se vuelven arbitrariamente grandes. Por lo tanto, límxx3=.límxx3=. Por otro lado, cuando x,x, los valores de f(x)=x3f(x)=x3 son negativos, pero su magnitud aumenta arbitrariamente. En consecuencia, límxx3=.límxx3=.

xx 1010 2020 5050 100100 1.0001.000
x3x3 1.0001.000 8.0008.000 125.000125.000 1.000.0001.000.000 1.000.000.0001.000.000.000
xx −10−10 −20−20 −50−50 −100−100 −1000−1000
x3x3 −1000−1000 –8.000–8.000 –125.000–125.000 −1000000−1000000 −1.000.000.000−1.000.000.000
Tabla 4.3 Valores de una función potencia cuando x ± x ±
La función f(x) = x3 se representa gráficamente. Es evidente que esta función tiende rápidamente al infinito a medida que x tiende a infinito.
Figura 4.47 Para esta función, los valores funcionales tienden a infinito cuando x ± . x ± .

Definición

(Informal) Decimos que una función ff tiene un límite infinito al infinito y escribimos

límxf(x)=.límxf(x)=.

si f(x)f(x) se vuelve arbitrariamente grande para xx suficientemente grande. Decimos que una función tiene un límite infinito negativo en el infinito y escribimos

límxf(x)=.límxf(x)=.

si f(x)<0f(x)<0 y |f(x)||f(x)| se vuelve arbitrariamente grande para xx suficientemente grande. Del mismo modo, podemos definir los límites infinitos cuando x.x.

Definiciones formales

Anteriormente, utilizamos los términos arbitrariamente cercano, arbitrariamente grande y suficientemente grande para definir los límites al infinito de manera informal. Aunque estos términos proporcionan descripciones precisas de los límites al infinito, no son precisos desde el punto de vista matemático. Aquí hay definiciones más formales de los límites al infinito. A continuación, veremos cómo utilizarlas para demostrar resultados que involucran límites al infinito.

Definición

(Formal) Decimos que una función ff tiene un límite al infinito, si existe un número real LL tal que para todo ε>0,ε>0, existe N>0N>0 tal que

|f(x)L|<ε|f(x)L|<ε

para todos los x>N.x>N. En ese caso, escribimos

límxf(x)=Llímxf(x)=L

(vea la Figura 4.48).

Decimos que una función ff tiene un límite al infinito negativo si existe un número real LL tal que para todo ε>0,ε>0, existe N<0N<0 tal que

|f(x)L|<ε|f(x)L|<ε

para todos los x<N.x<N. En ese caso, escribimos

límxf(x)=L.límxf(x)=L.
La función f(x) se representa gráficamente, y tiene una asíntota horizontal en L, que está marcado en el eje y, al igual que L + ॉ y L - ॉ. En el eje x, N está marcado como el valor de x tal que f(x) = L + ॉ.
Figura 4.48 Para una función con límite al infinito, para toda x > N , x > N , | f ( x ) L | < ε . | f ( x ) L | < ε .

Anteriormente en esta sección, utilizamos pruebas gráficas en la Figura 4.40 y pruebas numéricas en la Tabla 4.2 para concluir que límx(2 +1x)=2 .límx(2 +1x)=2 . Aquí utilizamos la definición formal de límite al infinito para demostrar este resultado de manera rigurosa.

Ejemplo 4.22

Ejemplo de límite finito al infinito

Utilice la definición formal de límite en el infinito para demostrar que límx(2 +1x)=2 .límx(2 +1x)=2 .

Punto de control 4.21

Utilice la definición formal de límite en el infinito para demostrar que límx(31x2 )=3.límx(31x2 )=3.

Ahora nos centraremos en una definición más precisa para un límite infinito al infinito.

Definición

(Formal) Decimos que una función ff tiene un límite infinito al infinito y escribimos

límxf(x)=límxf(x)=

si para todo M>0,M>0, existe un N>0N>0 tal que

f(x)>Mf(x)>M

para todos los x>Nx>N (vea la Figura 4.49).

Decimos que una función tiene un límite infinito negativo en el infinito y escribimos

límxf(x)=límxf(x)=

si para todo M<0,M<0, existe un N>0N>0 tal que

f(x)<Mf(x)<M

para todos los x>N.x>N.

Del mismo modo, podemos definir los límites cuando x.x.

La función f(x) se representa gráficamente. Sigue aumentando rápidamente después de x = N, y f(N) = M.
Figura 4.49 Para una función con límite infinito al infinito, para toda x > N , x > N , f ( x ) > M . f ( x ) > M .

Anteriormente, utilizamos pruebas gráficas (Figura 4.47) y numéricas (Tabla 4.3) para concluir que límxx3=.límxx3=. Aquí utilizamos la definición formal de límite infinito al infinito para demostrar ese resultado.

Ejemplo 4.23

Un límite infinito al infinito

Utilice la definición formal de límite infinito en el infinito para demostrar que límxx3=.límxx3=.

Punto de control 4.22

Utilice la definición formal de límite infinito en el infinito para demostrar que límx3x2 =.límx3x2 =.

Comportamiento final

El comportamiento de una función cuando x±x± se denomina comportamiento final de la función. En cada uno de sus extremos, la función podría demostrar uno de los siguientes tipos de comportamiento:

  1. La función f(x)f(x) se acerca a una asíntota horizontal y=L.y=L.
  2. La función f(x)f(x) o f(x).f(x).
  3. La función no se acerca a un límite finito, ni se acerca a o .. En este caso, la función puede tener un comportamiento oscilante.

Consideremos varias clases de funciones y veamos los diferentes tipos de comportamientos finales de estas funciones.

Comportamiento final de las funciones polinómicas

Considere la función potencia f(x)=xnf(x)=xn donde nn es un número entero positivo. En la Figura 4.50 y la Figura 4.51, vemos que

límxxn=;n=1,2 ,3,…límxxn=;n=1,2 ,3,…

y

límxxn={;n=2 ,4,6,…;n=1,3,5,….límxxn={;n=2 ,4,6,…;n=1,3,5,….
Se grafican las funciones x2, x4 y x6 y se observa que a medida que crece el exponente las funciones aumentan más rápidamente.
Figura 4.50 Para las funciones potencia con una potencia par de n , n , lím x x n = = lím x x n . lím x x n = = lím x x n .
Se grafican las funciones x, x3 y x5, y se observa que a medida que el exponente crece las funciones aumentan más rápidamente.
Figura 4.51 Para las funciones potencia con una potencia impar de n , n , lím x x n = lím x x n = y lím x x n = . lím x x n = .

Con estos datos, no es difícil evaluar límxcxnlímxcxn y límxcxn,límxcxn, donde cc es una constante cualquiera y nn es un número entero positivo. Si los valores de c>0,c>0, el gráfico de y=cxny=cxn es un estiramiento o compresión vertical de y=xn,y=xn, y por lo tanto

límxcxn=límxxnylímxcxn=límxxnsic>0.límxcxn=límxxnylímxcxn=límxxnsic>0.

Si los valores de c<0,c<0, el gráfico de y=cxny=cxn es un estiramiento o compresión vertical combinado con una reflexión sobre el eje xx, y por lo tanto

límxcxn=límxxnylímxcxn=límxxnsic<0.límxcxn=límxxnylímxcxn=límxxnsic<0.

Si los valores de c=0,y=cxn=0,c=0,y=cxn=0, en cuyo caso límxcxn=0=límxcxn.límxcxn=0=límxcxn.

Ejemplo 4.24

Límites al infinito para las funciones potencia

Para cada función f,f, evalúe límxf(x)límxf(x) y límxf(x).límxf(x).

  1. f(x)=−5x3f(x)=−5x3
  2. f(x)=2 x4f(x)=2 x4

Punto de control 4.23

Supongamos que f(x)=−3x4.f(x)=−3x4. Halle límxf(x).límxf(x).

Ahora veremos cómo los límites al infinito de las funciones potencia pueden utilizarse para determinar límx±f(x)límx±f(x) para cualquier función polinómica f.f. Considere una función polinómica

f(x)=anxn+an1xn1++a1x+a0f(x)=anxn+an1xn1++a1x+a0

de grado n1n1 por lo que an0.an0. Factorizando, vemos que

f(x)=anxn(1+an1an1x++a1an1xn1+a0an1xn).f(x)=anxn(1+an1an1x++a1an1xn1+a0an1xn).

Dado que x±,x±, todos los términos dentro de los paréntesis se aproximan a cero excepto el primer término. Concluimos que

límx±f(x)=límx±anxn.límx±f(x)=límx±anxn.

Por ejemplo, la función f(x)=5x33x2 +4f(x)=5x33x2 +4 se comporta como g(x)=5x3g(x)=5x3 cuando x±x± como se muestra en la Figura 4.52 y la Tabla 4.4.

Se representan las dos funciones f(x) = 5x3 - 3x2 + 4 y g(x) = 5x3. Su comportamiento para grandes números positivos y negativos converge.
Figura 4.52 El comportamiento final de un polinomio se determina por el comportamiento del término con mayor exponente.
xx 1010 100100 1.0001.000
f(x)=5x33x2 +4f(x)=5x33x2 +4 47044704 4.970.0044.970.004 4.997.000.0044.997.000.004
g(x)=5x3g(x)=5x3 5.0005.000 50000005000000 5.000.000.0005.000.000.000
xx −10−10 −100−100 −1000−1000
f(x)=5x33x2 +4f(x)=5x33x2 +4 −5296−5296 −5029996−5029996 −5002999996−5002999996
g(x)=5x3g(x)=5x3 –5.000–5.000 –5.000.000–5.000.000 –5.000.000.000–5.000.000.000
Tabla 4.4 El comportamiento final de un polinomio se determina por el término de mayor exponente.

Comportamiento final de las funciones algebraicas

El comportamiento final de las funciones racionales y de las funciones con radicales es un poco más complicado que el de los polinomios. En el Ejemplo 4.25, mostramos que los límites al infinito de una función racional f(x)=p(x)q(x)f(x)=p(x)q(x) dependen de la relación entre el grado del numerador y el grado del denominador. Para evaluar los límites al infinito de una función racional, dividimos el numerador y el denominador por la mayor potencia de xx que aparece en el denominador. Esto determina qué término de la expresión global domina el comportamiento de la función a grandes valores de x.x.

Ejemplo 4.25

Determinación del comportamiento final de las funciones racionales

Para cada una de las siguientes funciones, determine los límites cuando xx y x.x. A continuación, utilice esta información para describir el comportamiento final de la función.

  1. f(x)=3x12 x+5f(x)=3x12 x+5 (Nota: El grado del numerador y del denominador es el mismo).
  2. f(x)=3x2 +2 x4x35x+7f(x)=3x2 +2 x4x35x+7 (Nota: El grado del numerador es menor que el grado del denominador).
  3. f(x)=3x2 +4xx+2 f(x)=3x2 +4xx+2 (Nota: El grado del numerador es mayor que el grado del denominador).

Punto de control 4.24

Evalúe límx±3x2 +2 x15x2 4x+7límx±3x2 +2 x15x2 4x+7 y utilice estos límites para determinar el comportamiento final de f(x)=3x2 +2 x15x2 4x+7.f(x)=3x2 +2 x15x2 4x+7.

Antes de continuar, considere el gráfico de f(x)=(3x2 +4x)(x+2 )f(x)=(3x2 +4x)(x+2 ) que se muestra en la Figura 4.56. Cuando xx y x,x, el gráfico de ff parece casi lineal. Aunque ff no es ciertamente una función lineal, ahora investigamos por qué el gráfico de ff parece acercarse a una función lineal. En primer lugar, utilizando la división larga de polinomios, podemos escribir

f(x)=3x2 +4xx+2 =3x2 +4x+2 .f(x)=3x2 +4xx+2 =3x2 +4x+2 .

Dado que 4(x+2 )04(x+2 )0 cuando x±,x±, concluimos que

límx±(f(x)(3x2 ))=límx±4x+2 =0.límx±(f(x)(3x2 ))=límx±4x+2 =0.

Por lo tanto, el gráfico de ff se acerca a la línea y=3x2 y=3x2 cuando x±.x±. Esta línea se conoce como asíntota oblicua para ff (Figura 4.56).

La función f(x) = (3x2 + 4x)/(x + 2) se representa gráficamente al igual que su asíntota diagonal y = 3x - 2.
Figura 4.56 El gráfico de la función racional f ( x ) = ( 3 x 2 + 4 x ) / ( x + 2 ) f ( x ) = ( 3 x 2 + 4 x ) / ( x + 2 ) se acerca a la asíntota oblicua y = 3 x 2 cuando x ± . y = 3 x 2 cuando x ± .

Podemos resumir los resultados del Ejemplo 4.25 para llegar a la siguiente conclusión sobre el comportamiento final de las funciones racionales. Consideremos una función racional

f(x)=p(x)q(x)=anxn+an1xn1++a1x+a0bmxm+bm1xm1++b1x+b0,f(x)=p(x)q(x)=anxn+an1xn1++a1x+a0bmxm+bm1xm1++b1x+b0,

donde an0ybm0.an0ybm0.

  1. Si el grado del numerador es igual al grado del denominador (n=m),(n=m), entonces ff tiene una asíntota horizontal de y=an/bmy=an/bm cuando x±.x±.
  2. Si el grado del numerador es menor que el grado del denominador (n<m),(n<m), entonces ff tiene una asíntota horizontal de y=0y=0 cuando x±.x±.
  3. Si el grado del numerador es mayor que el grado del denominador (n>m),(n>m), entonces ff no tiene una asíntota horizontal. Los límites al infinito son infinitos positivos o negativos, dependiendo de los signos de los términos principales. Además, utilizando la división larga, la función puede reescribirse como
    f(x)=p(x)q(x)=g(x)+r(x)q(x),f(x)=p(x)q(x)=g(x)+r(x)q(x),

    donde el grado de r(x)r(x) es menor que el grado de q(x).q(x). Como resultado, límx±r(x)/q(x)=0.límx±r(x)/q(x)=0. Por lo tanto, los valores de [f(x)g(x)][f(x)g(x)] se acercan a cero a medida que x±.x±. Si el grado de p(x)p(x) es exactamente un grado más que el grado de q(x)q(x) (n=m+1),(n=m+1), la función g(x)g(x) es una función lineal. En este caso, denominamos a g(x)g(x) como asíntota oblicua.
    Ahora vamos a considerar el comportamiento final de las funciones que implican un radical.

Ejemplo 4.26

Determinación del comportamiento final de una función que incluye un radical

Calcule los límites cuando xx y xx por f(x)=3x2 4x2 +5f(x)=3x2 4x2 +5 y describa el comportamiento final de f.f.

Punto de control 4.25

Evalúe límx3x2 +4x+6.límx3x2 +4x+6.

Determinación del comportamiento final de las funciones trascendentales

Las seis funciones trigonométricas básicas son periódicas y no se acercan a un límite finito como x±.x±. Por ejemplo, senxsenx oscila entre 1y−11y−1 (Figura 4.58). La función tangente xx tiene un número infinito de asíntotas verticales cuando x±;x±; por lo tanto, no se acerca a un límite finito ni a ±± cuando x±x± como se muestra en la Figura 4.59.

La función f(x) = sen x se representa gráficamente.
Figura 4.58 La función f ( x ) = sen x f ( x ) = sen x oscila entre 1 y −1 1 y −1 cuando x ± x ±
La función f(x) = tan x se representa gráficamente.
Figura 4.59 La función f ( x ) = tan x f ( x ) = tan x no se acerca a un límite y no se acerca a ± ± cuando x ± x ±

Recuerde que para cualquier base b>0,b1,b>0,b1, la función y=bxy=bx es una función exponencial con dominio (,)(,) y rango (0,).(0,). Si b>1,y=bxb>1,y=bx aumenta en `(,).`(,). Si 0<b<1,0<b<1, y=bxy=bx disminuye en (,).(,). Para la función exponencial natural f(x)=ex,f(x)=ex, e2,718>1.e2,718>1. Por lo tanto, f(x)=exf(x)=ex es creciente en `(,)`(,) y el rango es `(0,).`(0,). La función exponencial f(x)=exf(x)=ex tiende a cuando xx y se acerca a 00 cuando xx como se muestra en la Tabla 4.5 y la Figura 4.60.

xx −5−5 −2−2 00 2 2 55
exex 0,006740,00674 0,1350,135 11 7,3897,389 148,413148,413
Tabla 4.5 Comportamiento final de la función exponencial natural
La función f(x) = ex se representa gráficamente.
Figura 4.60 La función exponencial se acerca a cero cuando x x y se acerca a cuando x . x .

Recordemos que la función logaritmo natural f(x)=ln(x)f(x)=ln(x) es la inversa de la función exponencial natural y=ex.y=ex. Por lo tanto, el dominio de f(x)=ln(x)f(x)=ln(x) es (0,)(0,) y el rango es (,).(,). El gráfico de f(x)=ln(x)f(x)=ln(x) es el reflejo del gráfico de y=exy=ex sobre la línea y=x.y=x. Por lo tanto, ln(x)ln(x) cuando x0+x0+ y ln(x)ln(x) cuando xx como se muestra en la Figura 4.61 y la Tabla 4.6.

xx 0,010,01 0,10,1 11 1010 100100
ln(x)ln(x) −4,605−4,605 −2,303−2,303 00 2,3032,303 4,6054,605
Tabla 4.6 Comportamiento final de la función logaritmo natural
La función f(x) = ln(x) se representa gráficamente.
Figura 4.61 La función del logaritmo natural se acerca a cuando x . x .

Ejemplo 4.27

Determinación del comportamiento final de una función trascendental

Calcule los límites cuando xx y xx por f(x)=(2 +3ex)(75ex)f(x)=(2 +3ex)(75ex) y describa el comportamiento final de f.f.

Punto de control 4.26

Calcule los límites cuando xx y xx por f(x)=(3ex4)(5ex+2 ).f(x)=(3ex4)(5ex+2 ).

Pautas para dibujar el gráfico de una función

Ahora tenemos suficientes herramientas analíticas para dibujar los gráficos de una gran variedad de funciones algebraicas y trascendentales. Antes de mostrar cómo graficar funciones específicas, veamos una estrategia general cuando se grafica cualquier función.

Estrategia de resolución de problemas

Estrategia para la resolución de problemas: Dibujar el gráfico de una función

Dada una función f,f, utilice los siguientes pasos para dibujar un gráfico de f:f:

  1. Determine el dominio de la función.
  2. Localice el xx y yy.
  3. Evalúe límxf(x)límxf(x) y límxf(x)límxf(x) para determinar el comportamiento final. Si cualquiera de estos límites es un número finito L,L, entonces y=Ly=L es una asíntota horizontal. Si alguno de estos límites es o ,, determine si ff tiene una asíntota oblicua. Si los valores de ff es una función racional tal que f(x)=p(x)q(x),f(x)=p(x)q(x), donde el grado del numerador es mayor que el grado del denominador, entonces ff puede escribirse como
    f(x)=p(x)q(x)=g(x)+r(x)q(x),f(x)=p(x)q(x)=g(x)+r(x)q(x),

    donde el grado de r(x)r(x) es menor que el grado de q(x).q(x). Los valores de f(x)f(x) se acercan a los valores de g(x)g(x) cuando x±.x±. Si g(x)g(x) es una función lineal, se conoce como asíntota oblicua.
  4. Determine si ff tiene alguna asíntota vertical.
  5. Calcule f.f. Halle todos los puntos críticos y determine los intervalos en los que ff aumenta y donde ff decrece. Determine si ff tiene algún extremo local.
  6. Calcule f.f. Determine los intervalos en los que ff es cóncava hacia arriba y donde ff es cóncava hacia abajo. Utilice esta información para determinar si ff tiene algún punto de inflexión. La segunda derivada también puede utilizarse como medio alternativo para determinar o verificar que ff tiene un extremo local en un punto crítico.

Ahora vamos a utilizar esta estrategia para graficar varias funciones diferentes. Comenzamos graficando una función polinómica.

Ejemplo 4.28

Trazado del gráfico de un polinomio

Dibuje un gráfico de f(x)=(x1)2 (x+2 ).f(x)=(x1)2 (x+2 ).

Punto de control 4.27

Dibuje un gráfico de f(x)=(x1)3(x+2 ).f(x)=(x1)3(x+2 ).

Ejemplo 4.29

Trace una función racional

Dibuje la gráfica de f(x)=x2 (1x2 ).f(x)=x2 (1x2 ).

Punto de control 4.28

Dibuje un gráfico de f(x)=(3x+5)(8+4x).f(x)=(3x+5)(8+4x).

Ejemplo 4.30

Trazado de una función racional con asíntota oblicua

Dibuje la gráfica de f(x)=x2 (x1)f(x)=x2 (x1)

Punto de control 4.29

Halle la asíntota oblicua para f(x)=(3x32 x+1)(2 x2 4).f(x)=(3x32 x+1)(2 x2 4).

Ejemplo 4.31

Trazado del gráfico de una función con cúspide

Dibuje un gráfico de f(x)=(x1)2 /3.f(x)=(x1)2 /3.

Punto de control 4.30

Considere la función f(x)=5x2 /3.f(x)=5x2 /3. Determine el punto de el gráfico donde se encuentra una cúspide. Determine el comportamiento final de f.f.

Sección 4.6 ejercicios

Examine los gráficos en los siguientes ejercicios. Identifique dónde se encuentran las asíntotas verticales.

251.
La función representada disminuye muy rápidamente a medida que tiende a x = 1 por la izquierda, y al otro lado de x = 1, parece comenzar cerca del infinito y luego disminuir rápidamente.
252.
La función representada aumenta muy rápidamente a medida que se acerca a x = -3 por la izquierda, y al otro lado de x = -3, parece comenzar cerca del infinito negativo y luego aumentar rápidamente para formar una especie de U que apunta hacia abajo, con el otro lado de la U en x = 2. Al otro lado de x = 2, el gráfico parece empezar cerca del infinito y luego disminuir rápidamente.
253.
La función representada disminuye muy rápidamente a medida que se acerca a x = -1 por la izquierda, y al otro lado de x = -1, parece comenzar cerca del infinito negativo y luego aumentar rápidamente para formar una especie de U que apunta hacia abajo, con el otro lado de la U en x = 2. Al otro lado de x = 2, el gráfico parece empezar cerca del infinito y luego disminuir rápidamente.
254.
La función representada disminuye muy rápidamente a medida que tiende a x = 0 por la izquierda, y al otro lado de x = 0, parece comenzar cerca del infinito y luego disminuir rápidamente para formar una especie de U que apunta hacia arriba, con el otro lado de la U en x = 1. Al otro lado de x = 1, hay otra forma de U que apunta hacia abajo, y su otro lado está en x = 2. Al otro lado de x = 2, el gráfico parece empezar cerca del infinito negativo y luego aumentar rápidamente.
255.
La función representada disminuye muy rápidamente a medida que se acerca a x = 0 por la izquierda, y al otro lado de x = 0, parece comenzar cerca del infinito y luego disminuir rápidamente para formar una especie de U que apunta hacia arriba, siendo el otro lado una función normal que parece que tomará la totalidad de los valores del eje x.

En las siguientes funciones f(x),f(x), determine si existe una asíntota en x=a.x=a. Justifique su respuesta sin graficarla en una calculadora.

256.

f ( x ) = x + 1 x 2 + 5 x + 4 , a = –1 f ( x ) = x + 1 x 2 + 5 x + 4 , a = –1

257.

f ( x ) = x x 2 , a = 2 f ( x ) = x x 2 , a = 2

258.

f ( x ) = ( x + 2 ) 3 / 2 , a = –2 f ( x ) = ( x + 2 ) 3 / 2 , a = –2

259.

f ( x ) = ( x 1 ) –1 / 3 , a = 1 f ( x ) = ( x 1 ) –1 / 3 , a = 1

260.

f ( x ) = 1 + x −2 / 5 , a = 1 f ( x ) = 1 + x −2 / 5 , a = 1

En los siguientes ejercicios, evalúe el límite.

261.

lím x 1 3 x + 6 lím x 1 3 x + 6

262.

lím x 2 x 5 4 x lím x 2 x 5 4 x

263.

lím x x 2 2 x + 5 x + 2 lím x x 2 2 x + 5 x + 2

264.

lím x 3 x 3 2 x x 2 + 2 x + 8 lím x 3 x 3 2 x x 2 + 2 x + 8

265.

lím x x 4 4 x 3 + 1 2 2 x 2 7 x 4 lím x x 4 4 x 3 + 1 2 2 x 2 7 x 4

266.

lím x 3 x x 2 + 1 lím x 3 x x 2 + 1

267.

lím x 4 x 2 1 x + 2 lím x 4 x 2 1 x + 2

268.

lím x 4 x x 2 1 lím x 4 x x 2 1

269.

lím x 4 x x 2 1 lím x 4 x x 2 1

270.

lím x 2 x x x + 1 lím x 2 x x x + 1

En los siguientes ejercicios, halle las asíntotas horizontales y verticales.

271.

f ( x ) = x 9 x f ( x ) = x 9 x

272.

f ( x ) = 1 1 x 2 f ( x ) = 1 1 x 2

273.

f ( x ) = x 3 4 x 2 f ( x ) = x 3 4 x 2

274.

f ( x ) = x 2 + 3 x 2 + 1 f ( x ) = x 2 + 3 x 2 + 1

275.

f ( x ) = sen ( x ) sen ( 2 x ) f ( x ) = sen ( x ) sen ( 2 x )

276.

f(x)=cosx+cos(3x)+cos(5x)f(x)=cosx+cos(3x)+cos(5x) grandes.

277.

f ( x ) = x sen ( x ) x 2 1 f ( x ) = x sen ( x ) x 2 1

278.

f(x)=xsen(x)f(x)=xsen(x) grandes.

279.

f ( x ) = 1 x 3 + x 2 f ( x ) = 1 x 3 + x 2

280.

f ( x ) = 1 x 1 2 x f ( x ) = 1 x 1 2 x

281.

f ( x ) = x 3 + 1 x 3 1 f ( x ) = x 3 + 1 x 3 1

282.

f ( x ) = sen x + cos x sen x cos x f ( x ) = sen x + cos x sen x cos x

283.

f ( x ) = x sen x f ( x ) = x sen x

284.

f ( x ) = 1 x x f ( x ) = 1 x x

En los siguientes ejercicios, construya una función f(x)f(x) que tiene las asíntotas dadas.

285.

x=1x=1 y y=2 y=2

286.

x=1x=1 y y=0y=0

287.

y=4,y=4, x=–1x=–1

288.

x = 0 x = 0

En los siguientes ejercicios, grafique la función en una calculadora gráfica en la ventana x=[−5,5]x=[−5,5] y estime la asíntota horizontal o límite. A continuación, calcule la asíntota o límite horizontal real.

289.

[T] f(x)=1x+10f(x)=1x+10

290.

[T] f(x)=x+1x2 +7x+6f(x)=x+1x2 +7x+6

291.

[T] límxx2 +10x+25límxx2 +10x+25

292.

[T] límxx+2 x2 +7x+6límxx+2 x2 +7x+6

293.

[T] límx3x+2 x+5límx3x+2 x+5

En los siguientes ejercicios, dibuje el gráfico de las funciones sin utilizar la calculadora. Asegúrese de observar todas las características importantes del gráfico: máximos y mínimos locales, puntos de inflexión y comportamiento asintótico.

294.

y = 3 x 2 + 2 x + 4 y = 3 x 2 + 2 x + 4

295.

y = x 3 3 x 2 + 4 y = x 3 3 x 2 + 4

296.

y = 2 x + 1 x 2 + 6 x + 5 y = 2 x + 1 x 2 + 6 x + 5

297.

y = x 3 + 4 x 2 + 3 x 3 x + 9 y = x 3 + 4 x 2 + 3 x 3 x + 9

298.

y = x 2 + x 2 x 2 3 x 4 y = x 2 + x 2 x 2 3 x 4

299.

y = x 2 5 x + 4 y = x 2 5 x + 4

300.

y = 2 x 16 x 2 y = 2 x 16 x 2

301.

y=cosxx,y=cosxx, sobre x=[−2π,2 π]x=[−2π,2 π]

302.

y = e x x 3 y = e x x 3

303.

y = x tan x , x = [ π , π ] y = x tan x , x = [ π , π ]

304.

y = x ln ( x ) , x > 0 y = x ln ( x ) , x > 0

305.

y = x 2 sen ( x ) , x = [ −2 π , 2 π ] y = x 2 sen ( x ) , x = [ −2 π , 2 π ]

306.

Para f(x)=P(x)Q(x)f(x)=P(x)Q(x) para tener una asíntota en y=2 y=2 entonces los polinomios P(x)P(x) y Q(x)Q(x) ¿qué relación debe tener?

307.

Para f(x)=P(x)Q(x)f(x)=P(x)Q(x) para tener una asíntota en x=0,x=0, entonces los polinomios P(x)P(x) y Q(x).Q(x). ¿qué relación debe tener?

308.

Si f(x)f(x) tiene asíntotas en y=3y=3 y x=1,x=1, entonces f(x)f(x) ¿qué asíntotas tiene?

309.

Tanto f(x)=1(x1)f(x)=1(x1) y g(x)=1(x1)2 g(x)=1(x1)2 tienen asíntotas en x=1x=1 y y=0.y=0. ¿Cuál es la diferencia más evidente entre estas dos funciones?

310.

Verdadero o falso: Todo cociente de un polinomio tiene asíntotas verticales.

Solicitar una copia impresa

As an Amazon Associate we earn from qualifying purchases.

Cita/Atribución

¿Desea citar, compartir o modificar este libro? Este libro utiliza la Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike License y debe atribuir a OpenStax.

Información de atribución
  • Si redistribuye todo o parte de este libro en formato impreso, debe incluir en cada página física la siguiente atribución:
    Acceso gratis en https://openstax.org/books/c%C3%A1lculo-volumen-1/pages/1-introduccion
  • Si redistribuye todo o parte de este libro en formato digital, debe incluir en cada vista de la página digital la siguiente atribución:
    Acceso gratuito en https://openstax.org/books/c%C3%A1lculo-volumen-1/pages/1-introduccion
Información sobre citas

© 2 mar. 2022 OpenStax. El contenido de los libros de texto que produce OpenStax tiene una licencia de Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike License . El nombre de OpenStax, el logotipo de OpenStax, las portadas de libros de OpenStax, el nombre de OpenStax CNX y el logotipo de OpenStax CNX no están sujetos a la licencia de Creative Commons y no se pueden reproducir sin el previo y expreso consentimiento por escrito de Rice University.