Gilbert Strang; Edwin “Jed” Herman

Objetivos de aprendizaje

4.6.1 Calcular el límite de una función a medida que $x$ aumenta o disminuye sin límites.
4.6.2 Reconocer una asíntota horizontal en el gráfico de una función.
4.6.3 Estimar el comportamiento final de una función cuando $x$ aumenta o disminuye sin límites.
4.6.4 Reconocer una asíntota oblicua en el gráfico de una función.
4.6.5 Analizar una función y sus derivadas para dibujar su gráfico.

Hemos mostrado cómo utilizar la primera y la segunda derivadas de una función para describir la forma de un gráfico. Para graficar una función $f$ definida en un dominio no limitado, también necesitamos conocer el comportamiento de $f$ cuando $x \to ± \infty .$ En esta sección, definiremos los límites en el infinito y mostramos cómo estos límites afectan a el gráfico de una función. Al final de esta sección, describiremos una estrategia para graficar una función arbitraria $f .$

Límites al infinito

Comenzamos examinando qué significa que una función tenga un límite finito al infinito. A continuación, estudiamos la idea de una función con un límite infinito al infinito. Ya en la Introducción a funciones y gráficos vimos las asíntotas verticales; en esta sección tratamos las asíntotas horizontales y oblicuas.

Límites al infinito y asíntotas horizontales

Recordemos que $\underset{x \to a}{lím} f (x) = L$ significa $f (x)$ se acerca arbitrariamente a $L$ siempre y cuando $x$ esté lo suficientemente cerca de $a .$ Podemos extender esta idea a los límites al infinito. Por ejemplo, consideremos la función $f (x) = 2 + \frac{1}{x} .$ Como se puede ver de manera gráfico en la Figura 4.40 y numéricamente en la Tabla 4.2, cuando los valores de $x$ aumentan, los valores de $f (x)$ se acercan a $2 .$ Decimos que el límite cuando $x$ tiende a $\infty$ de $f (x)$ ¿es $2$ y se escribe $\underset{x \to \infty}{lím} f (x) = 2 .$ Del mismo modo, para $x < 0,$ cuando los valores $| x |$ aumentan, los valores de $f (x)$ se acerca a $2 .$ Decimos que el límite cuando $x$ se acerca a $− \infty$ de $f (x)$ ¿es $2$ y se escribe $\underset{x \to - \infty}{lím} f (x) = 2 .$

La función f(x) 2 + 1/x se representa gráficamente. La función comienza como negativa cerca de y = 2 pero luego disminuye hasta -∞ cerca de x = 0. La función entonces disminuye de ∞ cerca de x = 0 y se acerca a y = 2 a medida que x aumenta. Hay una línea horizontal que denota la asíntota y = 2.

Figura 4.40 La función se acerca a la asíntota

y = 2

cuando

x

se aproxima a

± \infty .

De forma más general, para cualquier función $f,$ decimos que el límite, cuando $x \to \infty$ de $f (x)$ ¿es $L$ si $f (x)$ se acerca arbitrariamente a $L$ siempre y cuando $x$ es suficientemente grande. En ese caso, escribimos $\underset{x \to \infty}{lím} f (x) = L .$ Del mismo modo, decimos que el límite cuando $x \to − \infty$ de $f (x)$ ¿es $L$ si $f (x)$ se acerca arbitrariamente a $L$ siempre y cuando $x < 0$ y $| x |$ es suficientemente grande. En ese caso, escribimos $\underset{x \to − \infty}{lím} f (x) = L .$ Ahora veremos la definición de una función que tiene un límite al infinito.

Definición

(Informal) Si los valores de $f (x)$ se acercan arbitrariamente a $L$ a medida que $x$ se hace suficientemente grande, decimos que la función $f$ tiene un límite al infinito y se escribe

\underset{x \to \infty}{lím} f (x) = L .

Si los valores de $f (x)$ se acerca arbitrariamente a $L$ por $x < 0$ cuando $| x |$ se hace suficientemente grande, decimos que la función $f$ tiene un límite al infinito negativo y se escribe

\underset{x \to −∞}{lím} f (x) = L .

Si los valores $f (x)$ se acercan arbitrariamente a algún valor finito $L$ a medida que $x \to \infty$ o $x \to − \infty,$ el gráfico de $f$ se acerca a la línea $y = L .$ En ese caso, la línea $y = L$ es una asíntota horizontal de $f$ (Figura 4.41). Por ejemplo, en la función $f (x) = \frac{1}{x},$ dado que $\underset{x \to \infty}{lím} f (x) = 0,$ la línea $y = 0$ es una asíntota horizontal de $f (x) = \frac{1}{x} .$

Definición

Si los valores de $\underset{x \to \infty}{lím} f (x) = L$ o $\underset{x \to − \infty}{lím} f (x) = L,$ decimos que la línea $y = L$ es una asíntota horizontal de $f .$

La figura se divide en dos figuras denominadas a y b. La figura a muestra una función f(x) que se aproxima a una línea horizontal discontinua que nunca toca marcada como L desde arriba. La figura b muestra una función f(x) que se aproxima a, pero nunca toca, una línea horizontal discontinua marcada como M desde abajo.

Figura 4.41 (a) Cuando

x \to \infty,

los valores de

f

se acercan arbitrariamente a

L .

La línea

y = L

es una asíntota horizontal de

f .

(b) Cuando

x \to − \infty,

los valores de

f

se acercan arbitrariamente a

M .

La línea

y = M

es una asíntota horizontal de

f .

Una función no puede cruzar una asíntota vertical porque el gráfico debe acercarse al infinito (o $− \infty)$ desde al menos una dirección cuando $x$ se acerca a la asíntota vertical. Sin embargo, una función puede intersecar una asíntota horizontal. De hecho, una función puede intersecar una asíntota horizontal un número ilimitado de veces. Por ejemplo, la función $f (x) = \frac{(cos x)}{x} + 1$ que se muestra en la Figura 4.42 interseca la asíntota horizontal $y = 1$ un número infinito de veces al oscilar alrededor de la asíntota con una amplitud cada vez menor.

Se muestra la función f(x) = (cos x)/x + 1. Disminuye desde (0, ∞) y luego procede a oscilar alrededor de y = 1 con amplitud decreciente.

Figura 4.42 El gráfico de

f (x) = (cos x) / x + 1

interseca su asíntota horizontal

y = 1

un número infinito de veces.

Las leyes algebraicas de los límites y el teorema del emparedado que presentamos en la Introducción a los límites también se aplican a los límites al infinito. Ilustramos cómo utilizar estas leyes para calcular varios límites al infinito.

Ejemplo 4.21

Cálculo de los límites al infinito

Para cada una de las siguientes funciones $f,$ evalúe $\underset{x \to \infty}{lím} f (x)$ y $\underset{x \to − \infty}{lím} f (x) .$ Determine la(s) asíntota(s) horizontal(es) de $f .$

$f (x) = 5 - \frac{2}{x^{2}}$
$f (x) = \frac{sen x}{x}$
$f (x) = {tan}^{–1} (x)$

Solución

Utilizando las leyes algebraicas de los límites, tenemos $\underset{x \to \infty}{lím} (5 - \frac{2}{x^{2}}) = \underset{x \to \infty}{lím} 5 - 2 (\underset{x \to \infty}{lím} \frac{1}{x}) . (\underset{x \to \infty}{lím} \frac{1}{x}) = 5 - 2.0 = 5 .$
Del mismo modo, $\underset{x \to - \infty}{lím} f (x) = 5 .$ Por lo tanto, $f (x) = 5 - \frac{2}{x^{2}}$ tiene una asíntota horizontal de $y = 5$ y $f$ se acerca a esta asíntota horizontal cuando $x \to ± \infty$ como se muestra en la siguiente gráfica.

Figura 4.43 Esta función se aproxima a una asíntota horizontal cuando $x \to ± \infty .$
Dado que $−1 \leq sen x \leq 1$ para todo $x,$ tenemos

$\frac{−1}{x} \leq \frac{sen x}{x} \leq \frac{1}{x}$

para todas las $x \neq 0 .$ Además, ya que

$\underset{x \to \infty}{lím} \frac{−1}{x} = 0 = \underset{x \to \infty}{lím} \frac{1}{x},$

podemos aplicar el teorema del emparedado para concluir que

$\underset{x \to \infty}{lím} \frac{sen x}{x} = 0 .$

Igualmente,

$\underset{x \to − \infty}{lím} \frac{sen x}{x} = 0 .$

Por lo tanto, $f (x) = \frac{sen x}{x}$ tiene una asíntota horizontal de $y = 0$ y $f (x)$ se acerca a esta asíntota horizontal cuando $x \to ± \infty$ como se muestra en la siguiente gráfica.

Figura 4.44 Esta función interseca su asíntota horizontal varias veces.
Para evaluar $\underset{x \to \infty}{lím} {tan}^{–1} (x)$ y $\underset{x \to − \infty}{lím} {tan}^{–1} (x),$ primero consideramos el gráfico de $y = tan (x)$ en el intervalo $(− π / 2, π / 2)$ como se muestra en la siguiente gráfica.

Figura 4.45 El gráfico de $tan x$ tiene asíntotas verticales en $x = ± \frac{π}{2}$

Dado que

\underset{x \to {(π / 2)}^{-}}{lím} tan x = \infty,

se deduce que

\underset{x \to \infty}{lím} {tan}^{–1} (x) = \frac{π}{2} .

Del mismo modo, ya que

\underset{x \to {(–π / 2)}^{+}}{lím} tan x = − \infty,

se deduce que

\underset{x \to − \infty}{lím} {tan}^{–1} (x) = - \frac{π}{2} .

Como resultado, $y = \frac{π}{2}$ y $y = - \frac{π}{2}$ son asíntotas horizontales de $f (x) = {tan}^{–1} (x)$ como se muestra en la siguiente gráfica.

Se muestra la función f(x) = tan-1 x. Aumenta desde (-∞, -π/2), pasa por el origen y luego aumenta hacia (∞, π/2). Hay rectas horizontales discontinuas que marcan y = ±π/2.

Figura 4.46 Esta función tiene dos asíntotas horizontales.

Punto de control 4.20

Evalúe $\underset{x \to − \infty}{lím} (3 + \frac{4}{x})$ y $\underset{x \to \infty}{lím} (3 + \frac{4}{x}) .$ Determine las asíntotas horizontales de $f (x) = 3 + \frac{4}{x},$ si las hay.

Límites infinitos al infinito

A veces los valores de una función $f$ se vuelven arbitrariamente grandes a medida que $x \to \infty$ (o cuando $x \to − \infty) .$ En este caso, escribimos $\underset{x \to \infty}{lím} f (x) = \infty$ (o $\underset{x \to − \infty}{lím} f (x) = \infty) .$ Por otro lado, si los valores de $f$ son negativos, pero su magnitud se vuelve arbitrariamente grande cuando $x \to \infty$ (o cuando $x \to − \infty),$ escribimos $\underset{x \to \infty}{lím} f (x) = − \infty$ (o $\underset{x \to − \infty}{lím} f (x) = − \infty) .$

Por ejemplo, consideremos la función $f (x) = x^{3} .$ Como se ve en la Tabla 4.3 y en la Figura 4.47, cuando $x \to \infty$ los valores $f (x)$ se vuelven arbitrariamente grandes. Por lo tanto, $\underset{x \to \infty}{lím} x^{3} = \infty .$ Por otro lado, cuando $x \to − \infty,$ los valores de $f (x) = x^{3}$ son negativos, pero su magnitud aumenta arbitrariamente. En consecuencia, $\underset{x \to − \infty}{lím} x^{3} = − \infty .$

$x$	$10$	$20$	$50$	$100$	$1.000$
$x^{3}$	$1.000$	$8.000$	$125.000$	$1.000.000$	$1.000.000.000$
$x$	$−10$	$−20$	$−50$	$−100$	$−1000$
$x^{3}$	$−1000$	$–8.000$	$–125.000$	$−1000000$	$−1.000.000.000$

Tabla 4.3 Valores de una función potencia cuando

x \to ± \infty

La función f(x) = x3 se representa gráficamente. Es evidente que esta función tiende rápidamente al infinito a medida que x tiende a infinito.

Figura 4.47 Para esta función, los valores funcionales tienden a infinito cuando

x \to ± \infty .

Definición

(Informal) Decimos que una función $f$ tiene un límite infinito al infinito y escribimos

\underset{x \to \infty}{lím} f (x) = \infty .

si $f (x)$ se vuelve arbitrariamente grande para $x$ suficientemente grande. Decimos que una función tiene un límite infinito negativo en el infinito y escribimos

\underset{x \to \infty}{lím} f (x) = − \infty .

si $f (x) < 0$ y $| f (x) |$ se vuelve arbitrariamente grande para $x$ suficientemente grande. Del mismo modo, podemos definir los límites infinitos cuando $x \to − \infty .$

Definiciones formales

Anteriormente, utilizamos los términos arbitrariamente cercano, arbitrariamente grande y suficientemente grande para definir los límites al infinito de manera informal. Aunque estos términos proporcionan descripciones precisas de los límites al infinito, no son precisos desde el punto de vista matemático. Aquí hay definiciones más formales de los límites al infinito. A continuación, veremos cómo utilizarlas para demostrar resultados que involucran límites al infinito.

Definición

(Formal) Decimos que una función $f$ tiene un límite al infinito, si existe un número real $L$ tal que para todo $ε > 0,$ existe $N > 0$ tal que

| f (x) - L | < ε

para todos los $x > N .$ En ese caso, escribimos

\underset{x \to \infty}{lím} f (x) = L

(vea la Figura 4.48).

Decimos que una función $f$ tiene un límite al infinito negativo si existe un número real $L$ tal que para todo $ε > 0,$ existe $N < 0$ tal que

| f (x) - L | < ε

para todos los $x < N .$ En ese caso, escribimos

\underset{x \to − \infty}{lím} f (x) = L .

La función f(x) se representa gráficamente, y tiene una asíntota horizontal en L, que está marcado en el eje y, al igual que L + ॉ y L - ॉ. En el eje x, N está marcado como el valor de x tal que f(x) = L + ॉ.

Figura 4.48 Para una función con límite al infinito, para toda

x > N,

| f (x) - L | < ε .

Anteriormente en esta sección, utilizamos pruebas gráficas en la Figura 4.40 y pruebas numéricas en la Tabla 4.2 para concluir que $\underset{x \to \infty}{lím} (2 + \frac{1}{x}) = 2 .$ Aquí utilizamos la definición formal de límite al infinito para demostrar este resultado de manera rigurosa.

Ejemplo 4.22

Ejemplo de límite finito al infinito

Utilice la definición formal de límite en el infinito para demostrar que $\underset{x \to \infty}{lím} (2 + \frac{1}{x}) = 2 .$

Solución

Supongamos que $ε > 0 .$ Supongamos que $N = \frac{1}{ε} .$ Por lo tanto, para todo $x > N,$ tenemos

| 2 + \frac{1}{x} - 2 | = | \frac{1}{x} | = \frac{1}{x} < \frac{1}{N} = ε .

Punto de control 4.21

Utilice la definición formal de límite en el infinito para demostrar que $\underset{x \to \infty}{lím} (3 - \frac{1}{x^{2}}) = 3 .$

Ahora nos centraremos en una definición más precisa para un límite infinito al infinito.

Definición

(Formal) Decimos que una función $f$ tiene un límite infinito al infinito y escribimos

\underset{x \to \infty}{lím} f (x) = \infty

si para todo $M > 0,$ existe un $N > 0$ tal que

f (x) > M

para todos los $x > N$ (vea la Figura 4.49).

Decimos que una función tiene un límite infinito negativo en el infinito y escribimos

\underset{x \to \infty}{lím} f (x) = − \infty

si para todo $M < 0,$ existe un $N > 0$ tal que

f (x) < M

para todos los $x > N .$

Del mismo modo, podemos definir los límites cuando $x \to − \infty .$

La función f(x) se representa gráficamente. Sigue aumentando rápidamente después de x = N, y f(N) = M.

Figura 4.49 Para una función con límite infinito al infinito, para toda

x > N,

f (x) > M .

Anteriormente, utilizamos pruebas gráficas (Figura 4.47) y numéricas (Tabla 4.3) para concluir que $\underset{x \to \infty}{lím} x^{3} = \infty .$ Aquí utilizamos la definición formal de límite infinito al infinito para demostrar ese resultado.

Ejemplo 4.23

Un límite infinito al infinito

Utilice la definición formal de límite infinito en el infinito para demostrar que $\underset{x \to \infty}{lím} x^{3} = \infty .$

Solución

Supongamos que $M > 0 .$ Supongamos que $N = \sqrt[3]{M} .$ Entonces, para todos los $x > N,$ tenemos

x^{3} > N^{3} = {(\sqrt[3]{M})}^{3} = M .

Por lo tanto, $\underset{x \to \infty}{lím} x^{3} = \infty .$

Punto de control 4.22

Utilice la definición formal de límite infinito en el infinito para demostrar que $\underset{x \to \infty}{lím} 3 x^{2} = \infty .$

Comportamiento final

El comportamiento de una función cuando $x \to ± \infty$ se denomina comportamiento final de la función. En cada uno de sus extremos, la función podría demostrar uno de los siguientes tipos de comportamiento:

La función $f (x)$ se acerca a una asíntota horizontal $y = L .$
La función $f (x) \to \infty$ o $f (x) \to − \infty .$
La función no se acerca a un límite finito, ni se acerca a $\infty$ o $− \infty .$ En este caso, la función puede tener un comportamiento oscilante.

Consideremos varias clases de funciones y veamos los diferentes tipos de comportamientos finales de estas funciones.

Comportamiento final de las funciones polinómicas

Considere la función potencia $f (x) = x^{n}$ donde $n$ es un número entero positivo. En la Figura 4.50 y la Figura 4.51, vemos que

\underset{x \to \infty}{lím} x^{n} = \infty; n = 1, 2, 3,…

y

\underset{x \to − \infty}{lím} x^{n} = {\begin{matrix} \infty; n = 2, 4, 6,… \\ − \infty; n = 1, 3, 5,… \end{matrix} .

Se grafican las funciones x2, x4 y x6 y se observa que a medida que crece el exponente las funciones aumentan más rápidamente.

Figura 4.50 Para las funciones potencia con una potencia par de

n,

\underset{x \to \infty}{lím} x^{n} = \infty = \underset{x \to − \infty}{lím} x^{n} .

Se grafican las funciones x, x3 y x5, y se observa que a medida que el exponente crece las funciones aumentan más rápidamente.

Figura 4.51 Para las funciones potencia con una potencia impar de

n,

\underset{x \to \infty}{lím} x^{n} = \infty

y

\underset{x \to − \infty}{lím} x^{n} = − \infty .

Con estos datos, no es difícil evaluar $\underset{x \to \infty}{lím} c x^{n}$ y $\underset{x \to − \infty}{lím} c x^{n},$ donde $c$ es una constante cualquiera y $n$ es un número entero positivo. Si los valores de $c > 0,$ el gráfico de $y = c x^{n}$ es un estiramiento o compresión vertical de $y = x^{n},$ y por lo tanto

\underset{x \to \infty}{lím} c x^{n} = \underset{x \to \infty}{lím} x^{n} y \underset{x \to − \infty}{lím} c x^{n} = \underset{x \to − \infty}{lím} x^{n} si c > 0 .

Si los valores de $c < 0,$ el gráfico de $y = c x^{n}$ es un estiramiento o compresión vertical combinado con una reflexión sobre el eje $x$ , y por lo tanto

\underset{x \to \infty}{lím} c x^{n} = − \underset{x \to \infty}{lím} x^{n} y \underset{x \to − \infty}{lím} c x^{n} = − \underset{x \to − \infty}{lím} x^{n} si c < 0 .

Si los valores de $c = 0, y = c x^{n} = 0,$ en cuyo caso $\underset{x \to \infty}{lím} c x^{n} = 0 = \underset{x \to − \infty}{lím} c x^{n} .$

Ejemplo 4.24

Límites al infinito para las funciones potencia

Para cada función $f,$ evalúe $\underset{x \to \infty}{lím} f (x)$ y $\underset{x \to − \infty}{lím} f (x) .$

$f (x) = −5 x^{3}$
$f (x) = 2 x^{4}$

Solución

Dado que el coeficiente de $x^{3}$ ¿es $−5,$ el gráfico de $f (x) = −5 x^{3}$ implica un estiramiento vertical y una reflexión del gráfico de $y = x^{3}$ alrededor del eje $x$ . Por lo tanto, $\underset{x \to \infty}{lím} (−5 x^{3}) = − \infty$ y $\underset{x \to − \infty}{lím} (−5 x^{3}) = \infty .$
Dado que el coeficiente de $x^{4}$ ¿es $2,$ el gráfico de $f (x) = 2 x^{4}$ es un estiramiento vertical del gráfico de $y = x^{4} .$ Por lo tanto, $\underset{x \to \infty}{lím} 2 x^{4} = \infty$ y $\underset{x \to − \infty}{lím} 2 x^{4} = \infty .$

Punto de control 4.23

Supongamos que $f (x) = −3 x^{4} .$ Halle $\underset{x \to \infty}{lím} f (x) .$

Ahora veremos cómo los límites al infinito de las funciones potencia pueden utilizarse para determinar $\underset{x \to ± \infty}{lím} f (x)$ para cualquier función polinómica $f .$ Considere una función polinómica

f (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + … + a_{1} x + a_{0}

de grado $n \geq 1$ por lo que $a_{n} \neq 0 .$ Factorizando, vemos que

f (x) = a_{n} x^{n} (1 + \frac{a_{n - 1}}{a_{n}} \frac{1}{x} + … + \frac{a_{1}}{a_{n}} \frac{1}{x^{n - 1}} + \frac{a_{0}}{a_{n}} \frac{1}{x^{n}}) .

Dado que $x \to ± \infty,$ todos los términos dentro de los paréntesis se aproximan a cero excepto el primer término. Concluimos que

\underset{x \to ± \infty}{lím} f (x) = \underset{x \to ± \infty}{lím} a_{n} x^{n} .

Por ejemplo, la función $f (x) = 5 x^{3} - 3 x^{2} + 4$ se comporta como $g (x) = 5 x^{3}$ cuando $x \to ± \infty$ como se muestra en la Figura 4.52 y la Tabla 4.4.

Se representan las dos funciones f(x) = 5x3 - 3x2 + 4 y g(x) = 5x3. Su comportamiento para grandes números positivos y negativos converge.

Figura 4.52 El comportamiento final de un polinomio se determina por el comportamiento del término con mayor exponente.

$x$	$10$	$100$	$1.000$
$f (x) = 5 x^{3} - 3 x^{2} + 4$	$4704$	$4.970.004$	$4.997.000.004$
$g (x) = 5 x^{3}$	$5.000$	$5000000$	$5.000.000.000$
$x$	$−10$	$−100$	$−1000$
$f (x) = 5 x^{3} - 3 x^{2} + 4$	$−5296$	$−5029996$	$−5002999996$
$g (x) = 5 x^{3}$	$–5.000$	$–5.000.000$	$–5.000.000.000$

Tabla 4.4 El comportamiento final de un polinomio se determina por el término de mayor exponente.

Comportamiento final de las funciones algebraicas

El comportamiento final de las funciones racionales y de las funciones con radicales es un poco más complicado que el de los polinomios. En el Ejemplo 4.25, mostramos que los límites al infinito de una función racional $f (x) = \frac{p (x)}{q (x)}$ dependen de la relación entre el grado del numerador y el grado del denominador. Para evaluar los límites al infinito de una función racional, dividimos el numerador y el denominador por la mayor potencia de $x$ que aparece en el denominador. Esto determina qué término de la expresión global domina el comportamiento de la función a grandes valores de $x .$

Ejemplo 4.25

Determinación del comportamiento final de las funciones racionales

Para cada una de las siguientes funciones, determine los límites cuando $x \to \infty$ y $x \to − \infty .$ A continuación, utilice esta información para describir el comportamiento final de la función.

$f (x) = \frac{3 x - 1}{2 x + 5}$ (Nota: El grado del numerador y del denominador es el mismo).
$f (x) = \frac{3 x^{2} + 2 x}{4 x^{3} - 5 x + 7}$ (Nota: El grado del numerador es menor que el grado del denominador).
$f (x) = \frac{3 x^{2} + 4 x}{x + 2}$ (Nota: El grado del numerador es mayor que el grado del denominador).

Solución

La mayor potencia de $x$ en el denominador es $x .$ Por lo tanto, al dividir el numerador y el denominador por $x$ y aplicando las leyes algebraicas de los límites, vemos que

$\begin{matrix} \underset{x \to ± \infty}{lím} \frac{3 x - 1}{2 x + 5} & = \underset{x \to ± \infty}{lím} \frac{3 - 1 / x}{2 + 5 / x} \\ = \frac{\underset{x \to ± \infty}{lím} (3 - 1 / x)}{\underset{x \to ± \infty}{lím} (2 + 5 / x)} \\ = \frac{\underset{x \to ± \infty}{lím} 3 - \underset{x \to ± \infty}{lím} 1 / x}{\underset{x \to ± \infty}{lím} 2 + \underset{x \to ± \infty}{lím} 5 / x} \\ = \frac{3 - 0}{2 + 0} = \frac{3}{2} . \end{matrix}$

Dado que $\underset{x \to ± \infty}{lím} f (x) = \frac{3}{2},$ sabemos que $y = \frac{3}{2}$ es una asíntota horizontal para esta función como se muestra en el siguiente gráfico

Figura 4.53 El gráfico de esta función racional se aproxima a una asíntota horizontal cuando $x \to ± \infty .$
Dado que la mayor potencia de $x$ que aparece en el denominador es $x^{3},$ divida el numerador y el denominador entre $x^{3} .$ Después de hacerlo y aplicando las leyes algebraicas de los límites, obtenemos

$\underset{x \to ± \infty}{lím} \frac{3 x^{2} + 2 x}{4 x^{3} - 5 x + 7} = \underset{x \to ± \infty}{lím} \frac{3 / x + 2 / x^{2}}{4 - 5 / x^{2} + 7 / x^{3}} = \frac{3 (0). + 2 (0).}{4 - 5 (0). + 7 (0).} = 0 .$

Por lo tanto $f$ tiene una asíntota horizontal de $y = 0$ como se muestra en la siguiente gráfica.

Figura 4.54 El gráfico de esta función racional se aproxima a la asíntota horizontal $y = 0$ cuando $x \to ± \infty .$
Dividiendo el numerador y el denominador entre $x,$ tenemos

$\underset{x \to ± \infty}{lím} \frac{3 x^{2} + 4 x}{x + 2} = \underset{x \to ± \infty}{lím} \frac{3 x + 4}{1 + 2 / x} .$

Cuando $x \to ± \infty,$ el denominador se acerca a $1 .$ Dado que $x \to \infty,$ el numerador se acerca $+ \infty .$ Dado que $x \to − \infty,$ el numerador se acerca $− \infty .$ Por lo tanto $\underset{x \to \infty}{lím} f (x) = \infty,$ mientras que $\underset{x \to − \infty}{lím} f (x) = − \infty$ como se muestra en la siguiente figura.

Figura 4.55 Cuando $x \to \infty,$ los valores $f (x) \to \infty .$ Dado que $x \to − \infty,$ los valores $f (x) \to − \infty .$

Punto de control 4.24

Evalúe $\underset{x \to ± \infty}{lím} \frac{3 x^{2} + 2 x - 1}{5 x^{2} - 4 x + 7}$ y utilice estos límites para determinar el comportamiento final de $f (x) = \frac{3 x^{2} + 2 x - 1}{5 x^{2} - 4 x + 7} .$

Antes de continuar, considere el gráfico de $f (x) = \frac{(3 x^{2} + 4 x)}{(x + 2)}$ que se muestra en la Figura 4.56. Cuando $x \to \infty$ y $x \to − \infty,$ el gráfico de $f$ parece casi lineal. Aunque $f$ no es ciertamente una función lineal, ahora investigamos por qué el gráfico de $f$ parece acercarse a una función lineal. En primer lugar, utilizando la división larga de polinomios, podemos escribir

f (x) = \frac{3 x^{2} + 4 x}{x + 2} = 3 x - 2 + \frac{4}{x + 2} .

Dado que $\frac{4}{(x + 2)} \to 0$ cuando $x \to ± \infty,$ concluimos que

\underset{x \to ± \infty}{lím} (f (x) - (3 x - 2)) = \underset{x \to ± \infty}{lím} \frac{4}{x + 2} = 0 .

Por lo tanto, el gráfico de $f$ se acerca a la línea $y = 3 x - 2$ cuando $x \to ± \infty .$ Esta línea se conoce como asíntota oblicua para $f$ (Figura 4.56).

La función f(x) = (3x2 + 4x)/(x + 2) se representa gráficamente al igual que su asíntota diagonal y = 3x - 2.

Figura 4.56 El gráfico de la función racional

f (x) = (3 x^{2} + 4 x) / (x + 2)

se acerca a la asíntota oblicua

y = 3 x - 2 cuando x \to ± \infty .

Podemos resumir los resultados del Ejemplo 4.25 para llegar a la siguiente conclusión sobre el comportamiento final de las funciones racionales. Consideremos una función racional

f (x) = \frac{p (x)}{q (x)} = \frac{a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + … + a_{1} x + a_{0}}{b_{m} x^{m} + b_{m - 1} x^{m - 1} + … + b_{1} x + b_{0}},

donde $a_{n} \neq 0 y b_{m} \neq 0 .$

Si el grado del numerador es igual al grado del denominador $(n = m),$ entonces $f$ tiene una asíntota horizontal de $y = a_{n} / b_{m}$ cuando $x \to ± \infty .$
Si el grado del numerador es menor que el grado del denominador $(n < m),$ entonces $f$ tiene una asíntota horizontal de $y = 0$ cuando $x \to ± \infty .$
Si el grado del numerador es mayor que el grado del denominador $(n > m),$ entonces $f$ no tiene una asíntota horizontal. Los límites al infinito son infinitos positivos o negativos, dependiendo de los signos de los términos principales. Además, utilizando la división larga, la función puede reescribirse como

$f (x) = \frac{p (x)}{q (x)} = g (x) + \frac{r (x)}{q (x)},$

donde el grado de $r (x)$ es menor que el grado de $q (x) .$ Como resultado, $\underset{x \to ± \infty}{lím} r (x) / q (x) = 0 .$ Por lo tanto, los valores de $[f (x) - g (x)]$ se acercan a cero a medida que $x \to ± \infty .$ Si el grado de $p (x)$ es exactamente un grado más que el grado de $q (x)$ $(n = m + 1),$ la función $g (x)$ es una función lineal. En este caso, denominamos a $g (x)$ como asíntota oblicua.
Ahora vamos a considerar el comportamiento final de las funciones que implican un radical.

Ejemplo 4.26

Determinación del comportamiento final de una función que incluye un radical

Calcule los límites cuando $x \to \infty$ y $x \to − \infty$ por $f (x) = \frac{3 x - 2}{\sqrt{4 x^{2} + 5}}$ y describa el comportamiento final de $f .$

Solución

Utilicemos la misma estrategia que para las funciones racionales: dividir el numerador y el denominador por una potencia de $x .$ Para determinar la potencia adecuada de $x,$ considere la expresión $\sqrt{4 x^{2} + 5}$ en el denominador. Dado que

\sqrt{4 x^{2} + 5} \approx \sqrt{4 x^{2}} = 2 | x |

para grandes valores de $x$ , en efecto $x$ aparece solo a la primera potencia en el denominador. Por lo tanto, dividimos el numerador y el denominador entre $| x | .$ Entonces, utilizando el hecho de que $| x | = x$ para $x > 0,$ $| x | = − x$ para $x < 0,$ y $| x | = \sqrt{x^{2}}$ para todas las $x,$ calculamos los límites de la siguiente manera:

\begin{matrix} \underset{x \to \infty}{lím} \frac{3 x - 2}{\sqrt{4 x^{2} + 5}} & = & \underset{x \to \infty}{lím} \frac{(1 / | x |) (3 x - 2)}{(1 / | x |) \sqrt{4 x^{2} + 5}} \\ = & \underset{x \to \infty}{lím} \frac{(1 / x) (3 x - 2)}{\sqrt{(1 / x^{2}) (4 x^{2} + 5)}} \\ = & \underset{x \to \infty}{lím} \frac{3 - 2 / x}{\sqrt{4 + 5 / x^{2}}} = \frac{3}{\sqrt{4}} = \frac{3}{2} \\ \underset{x \to − \infty}{lím} \frac{3 x - 2}{\sqrt{4 x^{2} + 5}} & = & \underset{x \to − \infty}{lím} \frac{(1 / | x |) (3 x - 2)}{(1 / | x |) \sqrt{4 x^{2} + 5}} \\ = & \underset{x \to − \infty}{lím} \frac{(−1 / x) (3 x - 2)}{\sqrt{(1 / x^{2}) (4 x^{2} + 5)}} \\ = & \underset{x \to − \infty}{lím} \frac{−3 + 2 / x}{\sqrt{4 + 5 / x^{2}}} = \frac{−3}{\sqrt{4}} = \frac{−3}{2} . \end{matrix}

Por lo tanto, $f (x)$ se acerca a la asíntota horizontal $y = \frac{3}{2}$ cuando $x \to \infty$ y la asíntota horizontal $y = - \frac{3}{2}$ cuando $x \to − \infty$ como se muestra en la siguiente gráfica.

Se representa la función f(x) = (3x - 2)/(la raíz cuadrada de la cantidad (4x2 + 5)). Tiene dos asíntotas horizontales en y = ±3/2, e interseca y = -3/2 antes de converger hacia ella desde abajo.

Figura 4.57 Esta función tiene dos asíntotas horizontales e interseca una de las asíntotas.

Punto de control 4.25

Evalúe $\underset{x \to \infty}{lím} \frac{\sqrt{3 x^{2} + 4}}{x + 6} .$

Determinación del comportamiento final de las funciones trascendentales

Las seis funciones trigonométricas básicas son periódicas y no se acercan a un límite finito como $x \to ± \infty .$ Por ejemplo, $sen x$ oscila entre $1 y −1$ (Figura 4.58). La función tangente $x$ tiene un número infinito de asíntotas verticales cuando $x \to ± \infty;$ por lo tanto, no se acerca a un límite finito ni a $± \infty$ cuando $x \to ± \infty$ como se muestra en la Figura 4.59.

La función f(x) = sen x se representa gráficamente.

Figura 4.58 La función

f (x) = sen x

oscila entre

1 y −1

cuando

x \to ± \infty

La función f(x) = tan x se representa gráficamente.

Figura 4.59 La función

f (x) = tan x

no se acerca a un límite y no se acerca a

± \infty

cuando

x \to ± \infty

Recuerde que para cualquier base $b > 0, b \neq 1,$ la función $y = b^{x}$ es una función exponencial con dominio $(− \infty, \infty)$ y rango $(0, \infty) .$ Si $b > 1, y = b^{x}$ aumenta en $` (− \infty, \infty) .$ Si $0 < b < 1,$ $y = b^{x}$ disminuye en $(− \infty, \infty) .$ Para la función exponencial natural $f (x) = e^{x},$ $e \approx 2,718 > 1 .$ Por lo tanto, $f (x) = e^{x}$ es creciente en $` (− \infty, \infty)$ y el rango es $` (0, \infty) .$ La función exponencial $f (x) = e^{x}$ tiende a $\infty$ cuando $x \to \infty$ y se acerca a $0$ cuando $x \to − \infty$ como se muestra en la Tabla 4.5 y la Figura 4.60.

La función f(x) = ex se representa gráficamente.

Figura 4.60 La función exponencial se acerca a cero cuando

x \to − \infty

y se acerca a

\infty

cuando

x \to \infty .

Recordemos que la función logaritmo natural $f (x) = ln (x)$ es la inversa de la función exponencial natural $y = e^{x} .$ Por lo tanto, el dominio de $f (x) = ln (x)$ es $(0, \infty)$ y el rango es $(− \infty, \infty) .$ El gráfico de $f (x) = ln (x)$ es el reflejo del gráfico de $y = e^{x}$ sobre la línea $y = x .$ Por lo tanto, $ln (x) \to − \infty$ cuando $x \to 0^{+}$ y $ln (x) \to \infty$ cuando $x \to \infty$ como se muestra en la Figura 4.61 y la Tabla 4.6.

La función f(x) = ln(x) se representa gráficamente.

Figura 4.61 La función del logaritmo natural se acerca a

\infty

cuando

x \to \infty .

Ejemplo 4.27

Determinación del comportamiento final de una función trascendental

Calcule los límites cuando $x \to \infty$ y $x \to − \infty$ por $f (x) = \frac{(2 + 3 e^{x})}{(7 - 5 e^{x})}$ y describa el comportamiento final de $f .$

Solución

Para hallar el límite cuando $x \to \infty,$ divida el numerador y el denominador entre $e^{x} :$

\begin{matrix} \underset{x \to \infty}{lím} f (x) & = \underset{x \to \infty}{lím} \frac{2 + 3 e^{x}}{7 - 5 e^{x}} \\ = \underset{x \to \infty}{lím} \frac{(2 / e^{x}) + 3}{(7 / e^{x}) - 5} . \end{matrix}

Como se muestra en la Figura 4.60, $e^{x} \to \infty$ cuando $x \to \infty .$ Por lo tanto,

\underset{x \to \infty}{lím} \frac{2}{e^{x}} = 0 = \underset{x \to \infty}{lím} \frac{7}{e^{x}} .

Concluimos que $\underset{x \to \infty}{lím} f (x) = - \frac{3}{5},$ y el gráfico de $f$ se acerca a la asíntota horizontal $y = - \frac{3}{5}$ a medida que $x \to \infty .$ Para hallar el límite cuando $x \to − \infty,$ utilice el hecho de que $e^{x} \to 0$ cuando $x \to − \infty$ para concluir que $\underset{x \to \infty}{lím} f (x) = \frac{2}{7},$ y por tanto el gráfico se acerca a la asíntota horizontal $y = \frac{2}{7}$ a medida que $x \to − \infty .$

Punto de control 4.26

Calcule los límites cuando $x \to \infty$ y $x \to − \infty$ por $f (x) = \frac{(3 e^{x} - 4)}{(5 e^{x} + 2)} .$

Pautas para dibujar el gráfico de una función

Ahora tenemos suficientes herramientas analíticas para dibujar los gráficos de una gran variedad de funciones algebraicas y trascendentales. Antes de mostrar cómo graficar funciones específicas, veamos una estrategia general cuando se grafica cualquier función.

Estrategia de resolución de problemas

Estrategia para la resolución de problemas: Dibujar el gráfico de una función

Dada una función $f,$ utilice los siguientes pasos para dibujar un gráfico de $f :$

Determine el dominio de la función.
Localice el $x$ y $y$ .
Evalúe $\underset{x \to \infty}{lím} f (x)$ y $\underset{x \to − \infty}{lím} f (x)$ para determinar el comportamiento final. Si cualquiera de estos límites es un número finito $L,$ entonces $y = L$ es una asíntota horizontal. Si alguno de estos límites es $\infty$ o $− \infty,$ determine si $f$ tiene una asíntota oblicua. Si los valores de $f$ es una función racional tal que $f (x) = \frac{p (x)}{q (x)},$ donde el grado del numerador es mayor que el grado del denominador, entonces $f$ puede escribirse como

$f (x) = \frac{p (x)}{q (x)} = g (x) + \frac{r (x)}{q (x)},$

donde el grado de $r (x)$ es menor que el grado de $q (x) .$ Los valores de $f (x)$ se acercan a los valores de $g (x)$ cuando $x \to ± \infty .$ Si $g (x)$ es una función lineal, se conoce como asíntota oblicua.
Determine si $f$ tiene alguna asíntota vertical.
Calcule $f^{'} .$ Halle todos los puntos críticos y determine los intervalos en los que $f$ aumenta y donde $f$ decrece. Determine si $f$ tiene algún extremo local.
Calcule $f ″ .$ Determine los intervalos en los que $f$ es cóncava hacia arriba y donde $f$ es cóncava hacia abajo. Utilice esta información para determinar si $f$ tiene algún punto de inflexión. La segunda derivada también puede utilizarse como medio alternativo para determinar o verificar que $f$ tiene un extremo local en un punto crítico.

Ahora vamos a utilizar esta estrategia para graficar varias funciones diferentes. Comenzamos graficando una función polinómica.

Ejemplo 4.28

Trazado del gráfico de un polinomio

Dibuje un gráfico de $f (x) = {(x - 1)}^{2} (x + 2) .$

Solución

Paso 1. Dado que $f$ es un polinomio, el dominio es el conjunto de todos los números reales.

Paso 2. Cuando $x = 0, f (x) = 2 .$ Por lo tanto, la intersección en $y$ es $(0, 2) .$ Para calcular la intersección en $x$ −intercepciones, tenemos que resolver la ecuación ${(x - 1)}^{2} (x + 2) = 0,$ nos da las intersecciones en $x$ $(1, 0)$ y $(–2, 0)$

Paso 3. Tenemos que evaluar el comportamiento final de $f .$ Dado que $x \to \infty,$ ${(x - 1)}^{2} \to \infty$ y $(x + 2) \to \infty .$ Por lo tanto, $\underset{x \to \infty}{lím} f (x) = \infty .$ Dado que $x \to − \infty,$ ${(x - 1)}^{2} \to \infty$ y $(x + 2) \to − \infty .$ Por lo tanto, $\underset{x \to − \infty}{lím} f (x) = − \infty .$ Para obtener más información sobre el comportamiento final de $f,$ podemos multiplicar los factores de $f .$ Al hacerlo, vemos que

f (x) = {(x - 1)}^{2} (x + 2) = x^{3} - 3 x + 2 .

Dado que el término principal de $f$ ¿es $x^{3},$ concluimos que $f$ se comporta como $y = x^{3}$ cuando $x \to ± \infty .$

Paso 4. Dado que $f$ es una función polinómica, no tiene asíntotas verticales.

Paso 5. La primera derivada de $f$ es

f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3 .

Por lo tanto, $f$ tiene dos puntos críticos: $x = 1, −1 .$ Divida el intervalo $(− \infty, \infty)$ en tres intervalos más pequeños $(− \infty, –1),$ $(–1, 1),$ y $(1, \infty) .$ A continuación, elija los puntos de prueba $x = –2,$ $x = 0,$ y $x = 2$ de estos intervalos y evalúe el signo de $f^{'} (x)$ en cada uno de estos puntos de prueba, como se muestra en la siguiente tabla.

Intervalo	Punto de prueba	Signo de derivada $f' (x) = 3 x^{2} - 3 = 3 (x - 1) (x + 1)$	Conclusión
$(− \infty, –1)$ grandes.	$x = –2$	$(+) (−) (−) = +$	$f$ aumenta.
$(–1, 1)$ grandes.	$x = 0$	$(+) (−) (+) = −$	$f$ decrece.
$(1, \infty)$ grandes.	$x = 2$	$(+) (+) (+) = +$	$f$ aumenta.

En la tabla, vemos que $f$ tiene un máximo local en $x = −1$ y un mínimo local en $x = 1 .$ Si evaluamos $f (x)$ en esos dos puntos, encontramos que el valor máximo local es $f (–1) = 4$ y el valor mínimo local es $f (1) = 0 .$

Paso 6. La segunda derivada de $f$ es

f ″ (x) = 6 x .

La segunda derivada es cero en $x = 0 .$ Por lo tanto, para determinar la concavidad de $f,$ dividimos el intervalo $(− \infty, \infty)$ en los intervalos más pequeños $(− \infty, 0)$ y $(0, \infty),$ y elija los puntos de prueba $x = –1$ y $x = 1$ para determinar la concavidad de $f$ en cada uno de estos intervalos más pequeños, como se muestra en la siguiente tabla.

Intervalo	Punto de prueba	Signo de $f ″ (x) = 6 x$	Conclusión
$(− \infty, 0)$ grandes.	$x = –1$	$-$	$f$ es cóncava hacia abajo.
$(0, \infty)$ grandes.	$x = 1$	$+$	$f$ es cóncava hacia arriba.

Observamos que la información del cuadro anterior confirma el hecho, que se confirma en el paso $5,$ que $f$ tiene un máximo local en $x = −1$ y un mínimo local en $x = 1 .$ Además, la información encontrada en el paso $5$ , a saber, $f$ tiene un máximo local en $x = −1$ y un mínimo local en $x = 1,$ y $f^{'} (x) = 0$ en esos puntos, combinado con el hecho de que $f ″$ cambia de signo solo en $x = 0$ , lo que confirma los resultados encontrados en el paso $6$ en la concavidad de $f .$

Combinando esta información, llegamos al gráfico de $f (x) = {(x - 1)}^{2} (x + 2)$ que se muestra en el siguiente gráfico.

Se representa gráficamente la función f(x) = (x -1)2 (x + 2). Esta interseca el eje x en x = -2 y toca el eje x en x = 1.

Punto de control 4.27

Dibuje un gráfico de $f (x) = {(x - 1)}^{3} (x + 2) .$

Ejemplo 4.29

Trace una función racional

Dibuje la gráfica de $f (x) = \frac{x^{2}}{(1 - x^{2})} .$

Solución

Paso 1. La función $f$ se define siempre que el denominador no sea cero. Por lo tanto, el dominio es el conjunto de todos los números reales $x$ excepto $x = ± 1 .$

Paso 2. Calcule las intersecciones. Si los valores de $x = 0,$ entonces $f (x) = 0,$ por lo que $0$ es una intersección. Si los valores de $y = 0,$ entonces $\frac{x^{2}}{(1 - x^{2})} = 0,$ lo que implica $x = 0 .$ Por lo tanto, $(0, 0)$ es la única intersección.

Paso 3. Evalúe los límites en el infinito. Dado que $f$ es una función racional, divida el numerador y el denominador por la mayor potencia del denominador: $x^{2} .$ Obtenemos

\underset{x \to ± \infty}{lím} \frac{x^{2}}{1 - x^{2}} = \underset{x \to ± \infty}{lím} \frac{1}{\frac{1}{x^{2}} - 1} = −1 .

Por lo tanto, $f$ tiene una asíntota horizontal de $y = −1$ cuando $x \to \infty$ y $x \to − \infty .$

Paso 4. Para determinar si $f$ tiene alguna asíntota vertical, compruebe en primer lugar si el denominador tiene algún cero. Encontramos que el denominador es cero cuando $x = ± 1 .$ Para determinar si las líneas $x = 1$ o $x = −1$ son asíntotas verticales de $f,$ evalúe $\underset{x \to 1}{lím} f (x)$ y $\underset{x \to − 1}{lím} f (x) .$ Al considerar cada límite unilateral cuando $x \to 1,$ vemos que

\underset{x \to 1^{+}}{lím} \frac{x^{2}}{1 - x^{2}} = − \infty y \underset{x \to 1^{-}}{lím} \frac{x^{2}}{1 - x^{2}} = \infty .

Además, al considerar cada límite unilateral cuando $x \to − 1,$ hallamos que

\underset{x \to − 1^{+}}{lím} \frac{x^{2}}{1 - x^{2}} = \infty y \underset{x \to − 1^{-}}{lím} \frac{x^{2}}{1 - x^{2}} = − \infty .

Paso 5. Calcule la primera derivada:

f^{'} (x) = \frac{(1 - x^{2}) (2 x) - x^{2} (−2 x)}{{(1 - x^{2})}^{2}} = \frac{2 x}{{(1 - x^{2})}^{2}} .

Los puntos críticos se producen en los puntos $x$ donde $f^{'} (x) = 0$ o $f^{'} (x)$ es indefinida. Vemos que $f^{'} (x) = 0$ cuando $x = 0 .$ La derivada $f^{'}$ no está indefinida en ningún punto del dominio de $f .$ Sin embargo, el que $x = ± 1$ no son del dominio de $f .$ Por lo tanto, para determinar dónde $f$ aumenta y donde $f$ decrece, divida el intervalo $(− \infty, \infty)$ en cuatro intervalos más pequeños: $(− \infty, –1),$ $(–1, 0),$ $(0, 1),$ y $(1, \infty),$ y elija un punto de prueba en cada intervalo para determinar el signo de $f^{'} (x)$ en cada uno de estos intervalos. Los valores $x = –2,$ $x = - \frac{1}{2},$ $x = \frac{1}{2},$ y $x = 2$ son buenas opciones para los puntos de prueba, como se muestra en la siguiente tabla.

Intervalo	Punto de prueba	Signo de $f^{'} (x) = \frac{2 x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$	Conclusión
$(− \infty, –1)$ grandes.	$x = –2$	$− / + = −$	$f$ decrece.
$(–1, 0)$ grandes.	$x = −1 / 2$	$− / + = −$	$f$ decrece.
$(0, 1)$ grandes.	$x = 1 / 2$	$+ / + = +$	$f$ aumenta.
$(1, \infty)$ grandes.	$x = 2$	$+ / + = +$	$f$ aumenta.

De este análisis, concluimos que $f$ tiene un mínimo local en $x = 0$ y ningún máximo local.

Paso 6. Calcule la segunda derivada:

\begin{matrix} f ″ (x) & = \frac{{(1 - x^{2})}^{2} (2) - 2 x (2 (1 - x^{2}) (−2 x))}{{(1 - x^{2})}^{4}} \\ = \frac{(1 - x^{2}) [2 (1 - x^{2}) + 8 x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{4}} \\ = \frac{2 (1 - x^{2}) + 8 x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{3}} \\ = \frac{6 x^{2} + 2}{{(1 - x^{2})}^{3}} . \end{matrix}

Para determinar los intervalos en los que $f$ es cóncava hacia arriba y donde $f$ es cóncava hacia abajo, primero tenemos que hallar todos los puntos $x$ donde $f ″ (x) = 0$ o $f ″ (x)$ es indefinida. Dado que el numerador $6 x^{2} + 2 \neq 0$ para cualquier $x,$ $f ″ (x)$ nunca es cero. Además, $f ″$ no está indefinido para ninguna $x$ en el dominio de $f .$ Sin embargo, como se comentó anteriormente, $x = ± 1$ no son del dominio de $f .$ Por lo tanto, para determinar la concavidad de $f,$ dividimos el intervalo $(− \infty, \infty)$ en tres intervalos más pequeños $(− \infty, –1),$ $(–1, –1),$ y $(1, \infty),$ y elegimos un punto de prueba en cada uno de estos intervalos para evaluar el signo de $f ″ (x) .$ en cada uno de estos intervalos. Los valores $x = –2,$ $x = 0,$ y $x = 2$ son posibles puntos de prueba como se muestra en la siguiente tabla.

Intervalo	Punto de prueba	Signo de $f ″ (x) = \frac{6 x^{2} + 2}{{(1 - x^{2})}^{3}}$	Conclusión
$(− \infty, –1)$ grandes.	$x = –2$	$+ / - = −$	$f$ es cóncava hacia abajo.
$(–1, –1)$ grandes.	$x = 0$	$+ / + = +$	$f$ es cóncava hacia arriba.
$(1, \infty)$ grandes.	$x = 2$	$+ / - = −$	$f$ es cóncava hacia abajo.

Combinando toda esta información, llegamos al gráfico de $f$ que se muestra a continuación. Tenga en cuenta que, aunque $f$ cambia la concavidad en $x = –1$ y $x = 1,$ no hay puntos de inflexión en ninguno de estos lugares ya que $f$ no es continua en $x = −1$ o $x = 1 .$

La función f(x) = x2/(1 - x2) se representa gráficamente. Tiene asíntotas y = -1, x = -1 y x = 1.

Punto de control 4.28

Dibuje un gráfico de $f (x) = \frac{(3 x + 5)}{(8 + 4 x)} .$

Ejemplo 4.30

Trazado de una función racional con asíntota oblicua

Dibuje la gráfica de $f (x) = \frac{x^{2}}{(x - 1)}$

Solución

Paso 1. El dominio de $f$ es el conjunto de todos los números reales $x$ excepto $x = 1 .$

Paso 2. Calcule las intersecciones. Podemos ver que cuando $x = 0,$ $f (x) = 0,$ tal que $(0, 0)$ es la única intersección.

Paso 3. Evalúe los límites en el infinito. Ya que el grado del numerador es uno más que el grado del denominador, $f$ debe tener una asíntota oblicua. Para hallar la asíntota oblicua, utilice la división larga de polinomios para escribir

f (x) = \frac{x^{2}}{x - 1} = x + 1 + \frac{1}{x - 1} .

Dado que $1 / (x - 1) \to 0$ cuando $x \to ± \infty,$ $f (x)$ se acerca a la línea $y = x + 1$ cuando $x \to ± \infty .$ La línea $y = x + 1$ es una asíntota oblicua para $f .$

Paso 4. Para comprobar la existencia de asíntotas verticales, observe dónde el denominador es cero. Aquí el denominador es cero en $x = 1 .$ Observando los dos límites unilaterales cuando $x \to 1,$ tenemos

\underset{x \to 1^{+}}{lím} \frac{x^{2}}{x - 1} = \infty y \underset{x \to 1^{-}}{lím} \frac{x^{2}}{x - 1} = − \infty .

Por lo tanto, $x = 1$ es una asíntota vertical, y determinamos el comportamiento de $f$ cuando $x$ se acerca a $1$ por la derecha y por la izquierda.

Paso 5. Calcule la primera derivada:

f^{'} (x) = \frac{(x - 1) (2 x) - x^{2} (1)}{{(x - 1)}^{2}} = \frac{x^{2} - 2 x}{{(x - 1)}^{2}} .

Tenemos $f^{'} (x) = 0$ cuando $x^{2} - 2 x = x (x - 2) = 0 .$ Por lo tanto, $x = 0$ y $x = 2$ son puntos críticos. Dado que $f$ es indefinida en $x = 1,$ tenemos que dividir el intervalo $(− \infty, \infty)$ en los intervalos más pequeños $(− \infty, 0),$ $(0, 1),$ $(1, 2),$ y $(2, \infty),$ y elija un punto de prueba de cada intervalo para evaluar el signo de $f^{'} (x)$ en cada uno de estos intervalos más pequeños. Por ejemplo, supongamos que $x = −1,$ $x = \frac{1}{2},$ $x = \frac{3}{2},$ y $x = 3$ son los puntos de prueba como se muestra en la siguiente tabla.

Intervalo	Punto de prueba	Signo de $f' (x) = \frac{x^{2} - 2 x}{{(x - 1)}^{2}} = \frac{x (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}}$	Conclusión
$(− \infty, 0)$ grandes.	$x = –1$	$(−) (−) / + = +$	$f$ aumenta.
$(0, 1)$ grandes.	$x = 1 / 2$	$(+) (−) / + = −$	$f$ decrece.
$(1, 2)$ grandes.	$x = 3 / 2$	$(+) (−) / + = −$	$f$ decrece.
$(2, \infty)$ grandes.	$x = 3$	$(+) (+) / + = +$	$f$ aumenta.

En esta tabla, vemos que $f$ tiene un máximo local en $x = 0$ y un mínimo local en $x = 2 .$ El valor de $f$ en el máximo local es $f (0) = 0$ y el valor de $f$ en el mínimo local es $f (2) = 4 .$ Por lo tanto, $(0, 0)$ y $(2, 4)$ son puntos importantes en el gráfico.

Paso 6. Calcule la segunda derivada:

\begin{matrix} f ″ (x) & = \frac{{(x - 1)}^{2} (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x) (2 (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}} \\ = \frac{(x - 1) [(x - 1) (2 x - 2) - 2 (x^{2} - 2 x)]}{{(x - 1)}^{4}} \\ = \frac{(x - 1) (2 x - 2) - 2 (x^{2} - 2 x)}{{(x - 1)}^{3}} \\ = \frac{2 x^{2} - 4 x + 2 - (2 x^{2} - 4 x)}{{(x - 1)}^{3}} \\ = \frac{2}{{(x - 1)}^{3}} . \end{matrix}

Vemos que $f ″ (x)$ nunca es cero o indefinido para $x$ en el dominio de $f .$ Dado que $f$ es indefinida en $x = 1,$ para comprobar la concavidad simplemente dividimos el intervalo $(− \infty, \infty)$ en dos intervalos más pequeños $(− \infty, 1)$ y $(1, \infty),$ y elija un punto de prueba de cada intervalo para evaluar el signo de $f ″ (x)$ en cada uno de estos intervalos. Los valores $x = 0$ y $x = 2$ son posibles puntos de prueba como se muestra en la siguiente tabla.

Intervalo	Punto de prueba	Signo de $f ″ (x) = \frac{2}{{(x - 1)}^{3}}$	Conclusión
$(− \infty, 1)$ grandes.	$x = 0$	$+ / - = −$	$f$ es cóncava hacia abajo.
$(1, \infty)$ grandes.	$x = 2$	$+ / + = +$	$f$ es cóncava hacia arriba.

A partir de la información recopilada, llegamos al siguiente gráfico para $f .$

La función f(x) = x2/(x - 1) se representa gráficamente. Tiene asíntotas y = x + 1 y x = 1.

Punto de control 4.29

Halle la asíntota oblicua para $f (x) = \frac{(3 x^{3} - 2 x + 1)}{(2 x^{2} - 4)} .$

Ejemplo 4.31

Trazado del gráfico de una función con cúspide

Dibuje un gráfico de $f (x) = {(x - 1)}^{2 / 3} .$

Solución

Paso 1. Como la función raíz cúbica está definida para todos los números reales $x$ y ${(x - 1)}^{2 / 3} = {(\sqrt[3]{x - 1})}^{2},$ el dominio de $f$ son todos números reales.

Paso 2: Para calcular la intersección en $y$ , evalúe $f (0) .$ Dado que $f (0) = 1,$ la columna $y$ es $(0, 1) .$ Para calcular la intersección en $x$ resuelva ${(x - 1)}^{2 / 3} = 0 .$ La solución de esta ecuación es $x = 1,$ por lo que la intersección en $x$ es $(1, 0) .$

Paso 3: Dado que $\underset{x \to ± \infty}{lím} {(x - 1)}^{2 / 3} = \infty,$ la función sigue creciendo sin límites cuando $x \to \infty$ y $x \to − \infty .$

Paso 4: La función no tiene asíntotas verticales.

Paso 5: Para determinar dónde $f$ aumenta o disminuye, calcule $f^{'} .$ Hallamos

f^{'} (x) = \frac{2}{3} {(x - 1)}^{–1 / 3} = \frac{2}{3 {(x - 1)}^{1 / 3}} .

Esta función no es cero en ningún sitio, pero es indefinida cuando $x = 1 .$ Por lo tanto, el único punto crítico es $x = 1 .$ Divida el intervalo $(− \infty, \infty)$ en los intervalos más pequeños $(− \infty, 1)$ y $(1, \infty),$ y elija los puntos de prueba en cada uno de estos intervalos para determinar el signo de $f^{'} (x)$ en cada uno de estos intervalos más pequeños. Supongamos que $x = 0$ y $x = 2$ son los puntos de prueba como se muestra en la siguiente tabla.

Intervalo	Punto de prueba	Signo de $f^{'} (x) = \frac{2}{3 {(x - 1)}^{1 / 3}}$	Conclusión
$(− \infty, 1)$ grandes.	$x = 0$	$+ / - = −$	$f$ decrece.
$(1, \infty)$ grandes.	$x = 2$	$+ / + = +$	$f$ aumenta.

Concluimos que $f$ tiene un mínimo local en $x = 1 .$ Si evaluamos $f$ en $x = 1,$ encontramos que el valor de $f$ en el mínimo local es cero. Observe que $f^{'} (1)$ es indefinido, por lo que para determinar el comportamiento de la función en este punto crítico, tenemos que examinar $\underset{x \to 1}{lím} f^{'} (x) .$ Al observar los límites unilaterales tenemos

\underset{x \to 1^{+}}{lím} \frac{2}{3 {(x - 1)}^{1 / 3}} = \infty y \underset{x \to 1^{-}}{lím} \frac{2}{3 {(x - 1)}^{1 / 3}} = − \infty .

Por lo tanto, $f$ tiene una cúspide en $x = 1 .$

Paso 6: Para determinar la concavidad, calculamos la segunda derivada de $f :$

f ″ (x) = - \frac{2}{9} {(x - 1)}^{−4 / 3} = \frac{−2}{9 {(x - 1)}^{4 / 3}} .

Tenemos que $f ″ (x)$ se define para todos las $x,$ pero es indefinido cuando $x = 1 .$ Por lo tanto, divida el intervalo $(− \infty, \infty)$ en los intervalos más pequeños $(− \infty, 1)$ y $(1, \infty),$ y elija los puntos de prueba para evaluar el signo de $f ″ (x)$ en cada uno de estos intervalos. Como hicimos anteriormente, dejemos que $x = 0$ y $x = 2$ sean los puntos de prueba tal como se muestra en la siguiente tabla.

Intervalo	Punto de prueba	Signo de $f ″ (x) = \frac{−2}{9 {(x - 1)}^{4 / 3}}$	Conclusión
$(− \infty, 1)$ grandes.	$x = 0$	$− / + = −$	$f$ es cóncava hacia abajo.
$(1, \infty)$ grandes.	$x = 2$	$− / + = −$	$f$ es cóncava hacia abajo.

De este cuadro se deduce que $f$ es cóncavo hacia abajo en todas partes. Combinando toda esta información, llegamos al siguiente gráfico para $f .$

Se grafica la función f(x) = (x - 1)2/3. Esta toca el eje x en x = 1, donde llega a una especie de punta afilada y luego se ensancha a ambos lados.

Punto de control 4.30

Considere la función $f (x) = 5 - x^{2 / 3} .$ Determine el punto de el gráfico donde se encuentra una cúspide. Determine el comportamiento final de $f .$

Sección 4.6 ejercicios

Examine los gráficos en los siguientes ejercicios. Identifique dónde se encuentran las asíntotas verticales.

251.

La función representada disminuye muy rápidamente a medida que tiende a x = 1 por la izquierda, y al otro lado de x = 1, parece comenzar cerca del infinito y luego disminuir rápidamente.

252.

La función representada aumenta muy rápidamente a medida que se acerca a x = -3 por la izquierda, y al otro lado de x = -3, parece comenzar cerca del infinito negativo y luego aumentar rápidamente para formar una especie de U que apunta hacia abajo, con el otro lado de la U en x = 2. Al otro lado de x = 2, el gráfico parece empezar cerca del infinito y luego disminuir rápidamente.

253.

La función representada disminuye muy rápidamente a medida que se acerca a x = -1 por la izquierda, y al otro lado de x = -1, parece comenzar cerca del infinito negativo y luego aumentar rápidamente para formar una especie de U que apunta hacia abajo, con el otro lado de la U en x = 2. Al otro lado de x = 2, el gráfico parece empezar cerca del infinito y luego disminuir rápidamente.

254.

La función representada disminuye muy rápidamente a medida que tiende a x = 0 por la izquierda, y al otro lado de x = 0, parece comenzar cerca del infinito y luego disminuir rápidamente para formar una especie de U que apunta hacia arriba, con el otro lado de la U en x = 1. Al otro lado de x = 1, hay otra forma de U que apunta hacia abajo, y su otro lado está en x = 2. Al otro lado de x = 2, el gráfico parece empezar cerca del infinito negativo y luego aumentar rápidamente.

255.

La función representada disminuye muy rápidamente a medida que se acerca a x = 0 por la izquierda, y al otro lado de x = 0, parece comenzar cerca del infinito y luego disminuir rápidamente para formar una especie de U que apunta hacia arriba, siendo el otro lado una función normal que parece que tomará la totalidad de los valores del eje x.

En las siguientes funciones $f (x),$ determine si existe una asíntota en $x = a .$ Justifique su respuesta sin graficarla en una calculadora.

256.

$f (x) = \frac{x + 1}{x^{2} + 5 x + 4}, a = –1$

257.

$f (x) = \frac{x}{x - 2}, a = 2$

258.

$f (x) = {(x + 2)}^{3 / 2}, a = –2$

259.

$f (x) = {(x - 1)}^{–1 / 3}, a = 1$

260.

$f (x) = 1 + x^{−2 / 5}, a = 1$

En los siguientes ejercicios, evalúe el límite.

261.

$\underset{x \to \infty}{lím} \frac{1}{3 x + 6}$

262.

$\underset{x \to \infty}{lím} \frac{2 x - 5}{4 x}$

263.

$\underset{x \to \infty}{lím} \frac{x^{2} - 2 x + 5}{x + 2}$

264.

$\underset{x \to − \infty}{lím} \frac{3 x^{3} - 2 x}{x^{2} + 2 x + 8}$

265.

$\underset{x \to − \infty}{lím} \frac{x^{4} - 4 x^{3} + 1}{2 - 2 x^{2} - 7 x^{4}}$

266.

$\underset{x \to \infty}{lím} \frac{3 x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

267.

$\underset{x \to − \infty}{lím} \frac{\sqrt{4 x^{2} - 1}}{x + 2}$

268.

$\underset{x \to \infty}{lím} \frac{4 x}{\sqrt{x^{2} - 1}}$

269.

$\underset{x \to − \infty}{lím} \frac{4 x}{\sqrt{x^{2} - 1}}$

270.

$\underset{x \to \infty}{lím} \frac{2 \sqrt{x}}{x - \sqrt{x} + 1}$

En los siguientes ejercicios, halle las asíntotas horizontales y verticales.

271.

$f (x) = x - \frac{9}{x}$

272.

$f (x) = \frac{1}{1 - x^{2}}$

273.

$f (x) = \frac{x^{3}}{4 - x^{2}}$

274.

$f (x) = \frac{x^{2} + 3}{x^{2} + 1}$

275.

$f (x) = sen (x) sen (2 x)$

276.

$f (x) = cos x + cos (3 x) + cos (5 x)$ grandes.

277.

$f (x) = \frac{x sen (x)}{x^{2} - 1}$

278.

$f (x) = \frac{x}{sen (x)}$ grandes.

279.

$f (x) = \frac{1}{x^{3} + x^{2}}$

280.

$f (x) = \frac{1}{x - 1} - 2 x$

281.

$f (x) = \frac{x^{3} + 1}{x^{3} - 1}$

282.

$f (x) = \frac{sen x + cos x}{sen x - cos x}$

283.

$f (x) = x - sen x$

284.

$f (x) = \frac{1}{x} - \sqrt{x}$

En los siguientes ejercicios, construya una función $f (x)$ que tiene las asíntotas dadas.

285.

$x = 1$ y $y = 2$

286.

$x = 1$ y $y = 0$

287.

$y = 4,$ $x = –1$

288.

$x = 0$

En los siguientes ejercicios, grafique la función en una calculadora gráfica en la ventana $x = [−5, 5]$ y estime la asíntota horizontal o límite. A continuación, calcule la asíntota o límite horizontal real.

289.

[T] $f (x) = \frac{1}{x + 10}$

290.

[T] $f (x) = \frac{x + 1}{x^{2} + 7 x + 6}$

291.

[T] $\underset{x \to − \infty}{lím} x^{2} + 10 x + 25$

292.

[T] $\underset{x \to − \infty}{lím} \frac{x + 2}{x^{2} + 7 x + 6}$

293.

[T] $\underset{x \to \infty}{lím} \frac{3 x + 2}{x + 5}$

En los siguientes ejercicios, dibuje el gráfico de las funciones sin utilizar la calculadora. Asegúrese de observar todas las características importantes del gráfico: máximos y mínimos locales, puntos de inflexión y comportamiento asintótico.

294.

$y = 3 x^{2} + 2 x + 4$

295.

$y = x^{3} - 3 x^{2} + 4$

296.

$y = \frac{2 x + 1}{x^{2} + 6 x + 5}$

297.

$y = \frac{x^{3} + 4 x^{2} + 3 x}{3 x + 9}$

298.

$y = \frac{x^{2} + x - 2}{x^{2} - 3 x - 4}$

299.

$y = \sqrt{x^{2} - 5 x + 4}$

300.

$y = 2 x \sqrt{16 - x^{2}}$

301.

$y = \frac{cos x}{x},$ sobre $x = [−2 π, 2 π]$

302.

$y = e^{x} - x^{3}$

303.

$y = x tan x, x = [− π, π]$

304.

$y = x ln (x), x > 0$

305.

$y = x^{2} sen (x), x = [−2 π, 2 π]$

306.

Para $f (x) = \frac{P (x)}{Q (x)}$ para tener una asíntota en $y = 2$ entonces los polinomios $P (x)$ y $Q (x)$ ¿qué relación debe tener?

307.

Para $f (x) = \frac{P (x)}{Q (x)}$ para tener una asíntota en $x = 0,$ entonces los polinomios $P (x)$ y $Q (x) .$ ¿qué relación debe tener?

308.

Si $f^{'} (x)$ tiene asíntotas en $y = 3$ y $x = 1,$ entonces $f (x)$ ¿qué asíntotas tiene?

309.

Tanto $f (x) = \frac{1}{(x - 1)}$ y $g (x) = \frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$ tienen asíntotas en $x = 1$ y $y = 0 .$ ¿Cuál es la diferencia más evidente entre estas dos funciones?

310.

Verdadero o falso: Todo cociente de un polinomio tiene asíntotas verticales.

$x$	$10$	$100$	$1.000$	$10.000$
$2 + \frac{1}{x}$	$2,1$	$2,01$	$2,001$	$2,0001$
$x$	$−10$	$−100$	$−1000$	$−10000$
$2 + \frac{1}{x}$	$1,9$	$1,99$	$1,999$	$1,9999$

$x$	$−5$	$−2$	$0$	$2$	$5$
$e^{x}$	$0,00674$	$0,135$	$1$	$7,389$	$148,413$

$x$	$0,01$	$0,1$	$1$	$10$	$100$
$ln (x)$	$−4,605$	$−2,303$	$0$	$2,303$	$4,605$

4.6 Límites al infinito y asíntotas

Límites al infinito

Límites al infinito y asíntotas horizontales

Cálculo de los límites al infinito

Solución

Límites infinitos al infinito

Definiciones formales

Ejemplo de límite finito al infinito

Solución

Un límite infinito al infinito

Solución

Comportamiento final

Comportamiento final de las funciones polinómicas

Límites al infinito para las funciones potencia

Solución

Comportamiento final de las funciones algebraicas

Determinación del comportamiento final de las funciones racionales

Solución

Determinación del comportamiento final de una función que incluye un radical

Solución

Determinación del comportamiento final de las funciones trascendentales

Determinación del comportamiento final de una función trascendental

Solución

Pautas para dibujar el gráfico de una función

Estrategia para la resolución de problemas: Dibujar el gráfico de una función

Trazado del gráfico de un polinomio

Solución

Trace una función racional

Solución

Trazado de una función racional con asíntota oblicua

Solución

Trazado del gráfico de una función con cúspide

Solución

Sección 4.6 ejercicios