Gilbert Strang; Edwin “Jed” Herman

Objetivos de aprendizaje

4.7.1 Establecer y resolver problemas de optimización en varios campos aplicados.

Una aplicación común del cálculo es el cálculo del valor mínimo o máximo de una función. Por ejemplo, con frecuencia las empresas desean minimizar los costos de producción o maximizar los ingresos. En la fabricación, con frecuencia es conveniente minimizar la cantidad de material utilizado para envasar un producto con un determinado volumen. En esta sección, mostraremos cómo plantear estos tipos de problemas de minimización y maximización y resolverlos utilizando las herramientas desarrolladas en este capítulo.

Resolución de problemas de optimización en un intervalo cerrado y acotado

La idea básica de los problemas de optimización que siguen es la misma. Tenemos una cantidad concreta que nos interesa maximizar o minimizar. Sin embargo, también tenemos alguna condición adicional que debe satisfacerse. Por ejemplo, en el Ejemplo 4.32, estamos interesados en maximizar el área de un jardín rectangular. Ciertamente, si seguimos ampliando las longitudes laterales del jardín, la superficie seguirá siendo mayor. Sin embargo, ¿qué pasa si tenemos alguna restricción en cuanto a la cantidad de vallas que podemos utilizar para el perímetro? En este caso, no podemos hacer el jardín tan grande como queremos. Veamos cómo podemos maximizar el área de un rectángulo sujeto a alguna restricción en el perímetro.

Ejemplo 4.32

Cómo maximizar la superficie de un jardín

Se va a construir un jardín rectangular utilizando una pared de roca como un lado del jardín y vallas de alambre para los otros tres lados (Figura 4.62). Dados $100$ ft de alambrado, determine las dimensiones que crearían un jardín de máxima superficie. ¿Cuál es el área máxima?

Dibujo de un jardín que tiene escritas las letras x y y en los lados vertical y horizontal, respectivamente. Hay una pared de roca que recorre toda la longitud horizontal inferior del dibujo.

Figura 4.62 Queremos determinar las medidas

x

como

y

que crearán un jardín con una superficie máxima utilizando

100

pies de valla.

Solución

Supongamos que $x$ denota la longitud del lado del jardín perpendicular a la pared de roca y $y$ denota la longitud del lado paralelo a la pared de roca. Entonces la superficie del jardín es

A = x . y .

Queremos hallar la máxima superficie posible sujeta a la condición de que el total del cercado sea de $100 pies .$ Según la Figura 4.62, la cantidad total de alambrado utilizado será $2 x + y .$ Por lo tanto, la ecuación de restricción es

2 x + y = 100 .

Resolviendo esta ecuación para $y,$ tenemos $y = 100 - 2 x .$ Así, podemos escribir el área como

A (x) = x . (100 - 2 x) = 100 x - 2 x^{2} .

Antes de intentar maximizar la función de área $A (x) = 100 x - 2 x^{2},$ tenemos que determinar el dominio considerado. Para construir un jardín rectangular, ciertamente necesitamos que las longitudes de ambos lados sean positivas. Por lo tanto, necesitamos $x > 0$ y $y > 0 .$ Dado que $y = 100 - 2 x,$ si $y > 0,$ entonces $x < 50 .$ Por lo tanto, estamos tratando de determinar el valor máximo de $A (x)$ para $x$ sobre el intervalo abierto $(0, 50) .$ No sabemos que una función tenga necesariamente un valor máximo en un intervalo abierto. Sin embargo, sabemos que una función continua tiene un máximo absoluto (y un mínimo absoluto) en un intervalo cerrado. Por lo tanto, consideremos la función $A (x) = 100 x - 2 x^{2}$ sobre el intervalo cerrado $[0, 50] .$ Si el valor máximo se produce en un punto interior, entonces hemos encontrado el valor $x$ en el intervalo abierto $(0, 50)$ que maximiza la superficie del jardín. Por lo tanto, analizaremos el siguiente problema:

Maximice $A (x) = 100 x - 2 x^{2}$ en el intervalo $[0, 50] .$

Como se mencionó anteriormente, ya que $A$ es una función continua en un intervalo cerrado y acotado, según el teorema del valor extremo, tiene un máximo y un mínimo. Estos valores extremos se producen en los puntos extremos o en los puntos críticos. En los puntos extremos, $A (x) = 0 .$ Dado que el área es positiva para todos las $x$ en el intervalo abierto $(0, 50),$ el máximo debe producirse en un punto crítico. Diferenciación de la función $A (x),$ obtenemos

A^{'} (x) = 100 - 4 x .

Por lo tanto, el único punto crítico es $x = 25$ (Figura 4.63). Llegamos a la conclusión de que el área máxima debe producirse cuando $x = 25 .$ Entonces tenemos $y = 100 - 2 x = 100 - 2 (25) = 50 .$ Para maximizar la superficie del jardín, supongamos que $x = 25$ ft y $y = 50 pies .$ La superficie de este jardín es de $1.250 {pies}^{2} .$

La función A(x) = 100x - 2x se representa gráficamente. En su máximo hay una intersección de dos líneas discontinuas y un texto que dice: “El área máxima es de 1.250 pies cuadrados cuando x = 25 pies”.

Figura 4.63 Para maximizar el área del jardín, necesitamos hallar el valor máximo de la función

A (x) = 100 x - 2 x^{2} .

Punto de control 4.31

Determine el área máxima si queremos hacer el mismo jardín rectangular que en la Figura 4.63, pero tenemos $200$ pies de valla.

Veamos ahora una estrategia general para resolver problemas de optimización similares al Ejemplo 4.32.

Estrategia de resolución de problemas

Estrategia para la resolución de problemas: Resolución de problemas de optimización

Introduzca todas las variables. Si corresponde, dibuje una figura y marque todas las variables.
Determine qué cantidad debe ser maximizada o minimizada, y para qué rango de valores de las otras variables (si se puede determinar en este momento).
Escriba una fórmula para la cantidad a maximizar o minimizar en términos de las variables. Esta fórmula puede incluir más de una variable.
Escriba cualquier ecuación que relacione las variables independientes en la fórmula del paso $3 .$ Utilice estas ecuaciones para escribir la cantidad a maximizar o minimizar en función de una variable.
Identifique el dominio de consideración de la función en el paso $4$ en función del problema físico que hay que resolver.
Localice el valor máximo o mínimo de la función a partir del paso $4 .$ Este paso suele implicar la búsqueda de puntos críticos y la evaluación de una función en los puntos extremos.

Ahora apliquemos esta estrategia para maximizar el volumen de una caja abierta dada una restricción en la cantidad de material a utilizar.

Ejemplo 4.33

Cómo maximizar el volumen de una caja

La caja abierta se fabricará de $24$ in por $36$ in de cartón quitando un cuadrado de cada esquina de la caja y doblando las solapas de cada lado. ¿De qué tamaño es el cuadrado que hay que cortar en cada esquina para obtener una caja con el máximo volumen?

Solución

Paso 1: Supongamos que $x$ es la longitud del lado del cuadrado que hay que quitar de cada esquina (Figura 4.64). A continuación, las cuatro solapas restantes pueden plegarse para formar una caja con tapa abierta. Supongamos que $V$ es el volumen de la caja resultante.

Hay dos imágenes para esta figura. La primera es un rectángulo de lados 24 in y 36 in, del que se extrae en cada esquina un cuadrado de lado x. En la segunda, hay una caja con longitudes de lado x pulgadas, 24 - 2x pulgadas y 36 - 2x pulgadas.

Figura 4.64 Se retira un cuadrado con longitud de lado de

x

in de cada esquina del trozo de cartón. Las solapas restantes se doblan para formar una caja con tapa abierta.

Paso 2: Intentaremos maximizar el volumen de una caja. Por lo tanto, el problema es maximizar $V .$

Paso 3: Como se menciona en el paso $2,$ se intenta maximizar el volumen de una caja. El volumen de una caja es $V = L . W . H,$ donde $L, W, y H$ son la longitud, la anchura y la altura, respectivamente.

Paso 4: En la Figura 4.64, vemos que la altura de la caja es $x$ in, la longitud es de $36 - 2 x$ in, y el ancho es $24 - 2 x$ pulgadas. Por lo tanto, el volumen de la caja es

V (x) = (36 - 2 x) (24 - 2 x) x = 4 x^{3} - 120 x^{2} + 864 x .

Paso 5: Para determinar el dominio de consideración, examinemos la Figura 4.64. En efecto, necesitamos $x > 0 .$ Además, la longitud del lado del cuadrado no puede ser mayor o igual que la mitad de la longitud del lado más corto, $24$ in; de lo contrario, una de las solapas quedaría completamente cortada. Por lo tanto, estamos tratando de determinar si hay un volumen máximo de la caja para $x$ sobre el intervalo abierto $(0, 12) .$ Dado que $V$ es una función continua en el intervalo cerrado $[0, 12],$ sabemos que $V$ tendrá un máximo absoluto en el intervalo cerrado. Por lo tanto, consideramos $V$ sobre el intervalo cerrado $[0, 12]$ y comprobar si el máximo absoluto se produce en un punto interior.

Paso 6: Dado que $V (x)$ es una función continua sobre el intervalo cerrado y delimitado $[0, 12],$ $V$ debe tener un máximo absoluto (y un mínimo absoluto). Dado que $V (x) = 0$ en los puntos extremos y $V (x) > 0$ por $0 < x < 12,$ el máximo debe producirse en un punto crítico. La derivada es

V^{'} (x) = 12 x^{2} - 240 x + 864 .

Para hallar los puntos críticos, tenemos que resolver la ecuación

12 x^{2} - 240 x + 864 = 0 .

Si dividimos ambos lados de esta ecuación entre $12,$ el problema se simplifica a la resolución de la ecuación

x^{2} - 20 x + 72 = 0 .

Al utilizar la fórmula cuadrática, encontramos que los puntos críticos son

x = \frac{20 ± \sqrt{{(−20)}^{2} - 4 (1) (72)}}{2} = \frac{20 ± \sqrt{112}}{2} = \frac{20 ± 4 \sqrt{7}}{2} = 10 ± 2 \sqrt{7} .

Dado que $10 + 2 \sqrt{7}$ no está en el dominio de consideración, el único punto crítico que debemos considerar es $10 - 2 \sqrt{7} .$ Por lo tanto, el volumen se maximiza si dejamos que $x = 10 - 2 \sqrt{7} in .$ El volumen máximo es $V (10 - 2 \sqrt{7}) = 640 + 448 \sqrt{7} \approx 1.825 in .^{3}$ como se muestra en el siguiente gráfico.

Se representa gráficamente la función V(x) = 4x3 - 120x2 + 864x. En su máximo hay una intersección de dos líneas discontinuas y un texto que dice “El volumen máximo es de aproximadamente 1.825 pulgadas cúbicas cuando x ≈ 4,7 pulgadas”.

Figura 4.65 Maximizar el volumen de la caja lleva a hallar el valor máximo de un polinomio cúbico.

Medios

Vea un video sobre la optimización del volumen de una caja.

Punto de control 4.32

Supongamos que las dimensiones del cartón en el Ejemplo 4.33 son de 20 in por 30 in. Supongamos que $x$ es la longitud de los lados de cada cuadrado y escriba el volumen de la caja abierta en función de $x .$ Determine el dominio de consideración para $x .$

Ejemplo 4.34

Minimizar el tiempo de viaje

Una isla está a $2 mi$ hacia el norte de su punto más cercano a lo largo de una línea de costa recta. Un visitante se aloja en una cabaña en la costa que está a $6 mi$ al oeste de ese punto. El visitante planea ir de la cabaña a la isla. Supongamos que el visitante corre a una tasa de $8 mph$ y nada a una tasa de $3 mph .$ ¿Qué distancia debe correr el visitante antes de nadar para minimizar el tiempo que tarda en llegar a la isla?

Solución

Paso 1: Supongamos que $x$ es la distancia que tiene que correr y que $y$ es la distancia que tiene que nadar (Figura 4.66). Supongamos que $T$ es el tiempo que el visitante tarda en ir de la cabaña a la isla.

La cabaña se encuentra a x millas de la costa. Desde ese punto de la orilla, la isla está a una distancia en millas y. Si se continuara la línea desde la cabaña hasta la orilla (la de las x millas) y si se trazara una línea desde la isla paralela a la orilla, entonces las líneas se extenderían 2 millas desde la isla y 6 millas desde la cabaña antes de intersecarse.

Figura 4.66 ¿Cómo podemos elegir

x

como

y

para minimizar el tiempo de viaje desde la cabaña hasta la isla?

Paso 2: El problema es minimizar $T .$

Paso 3: Para hallar el tiempo empleado en ir de la cabaña a la isla, sume el tiempo empleado en correr y el tiempo empleado en nadar. Desde la distancia $=$ Tasa $\times$ Tiempo $(D = R \times T),$ el tiempo dedicado a correr es

T_{corriendo} = \frac{D_{corriendo}}{R_{corriendo}} = \frac{x}{8},

y el tiempo de natación es

T_{nadando} = \frac{D_{nadando}}{R_{nadando}} = \frac{y}{3} .

Por lo tanto, el tiempo total de viaje es

T = \frac{x}{8} + \frac{y}{3} .

Paso 4: Según la Figura 4.66, el segmento de línea de $y$ millas forma la hipotenusa de un triángulo rectángulo con catetos de longitud $2 mi$ y $6 - x mi .$ Por lo tanto, según el teorema de Pitágoras, $2^{2} + {(6 - x)}^{2} = y^{2},$ y obtenemos $y = \sqrt{{(6 - x)}^{2} + 4} .$ Así, el tiempo total de viaje viene dado por la función

T (x) = \frac{x}{8} + \frac{\sqrt{{(6 - x)}^{2} + 4}}{3} .

Paso 5: En la Figura 4.66, vemos que $0 \leq x \leq 6 .$ Por lo tanto, $[0, 6]$ es el dominio de consideración.

Paso 6: Dado que $T (x)$ es una función continua en un intervalo cerrado y acotado, tiene un máximo y un mínimo. Empecemos por buscar los puntos críticos de $T$ en el intervalo $[0, 6] .$ La derivada es

T^{'} (x) = \frac{1}{8} - \frac{1}{2} \frac{{[{(6 - x)}^{2} + 4]}^{−1 / 2}}{3} . 2 (6 - x) = \frac{1}{8} - \frac{(6 - x)}{3 \sqrt{{(6 - x)}^{2} + 4}} .

Si los valores de $T^{'} (x) = 0,$ entonces

\frac{1}{8} = \frac{6 - x}{3 \sqrt{{(6 - x)}^{2} + 4}} .

Por lo tanto,

3 \sqrt{{(6 - x)}^{2} + 4} = 8 (6 - x) .

(4.6)

Elevando al cuadrado ambos lados de esta ecuación, vemos que si $x$ satisface esta ecuación, entonces $x$ debe satisfacer

9 [{(6 - x)}^{2} + 4] = 64 {(6 - x)}^{2},

lo que implica

55 {(6 - x)}^{2} = 36 .

Concluimos que si $x$ es un punto crítico, entonces $x$ satisface

{(x - 6)}^{2} = \frac{36}{55} .

Por lo tanto, las posibilidades de puntos críticos son

x = 6 ± \frac{6}{\sqrt{55}} .

Dado que $x = 6 + 6 / \sqrt{55}$ no está en el dominio, esta no es una posibilidad para un punto crítico. Por otro lado, $x = 6 - 6 / \sqrt{55}$ está en el dominio. Como hemos elevado al cuadrado ambos lados de la Ecuación 4.6 para llegar a los posibles puntos críticos, queda por comprobar que $x = 6 - 6 / \sqrt{55}$ satisface la Ecuación 4.6. Dado que $x = 6 - 6 / \sqrt{55}$ sí satisface esa ecuación, concluimos que $x = 6 - 6 / \sqrt{55}$ es un punto crítico, y es el único. Para justificar que el tiempo se minimiza para este valor de $x,$ solo tenemos que comprobar los valores de $T (x)$ en los puntos finales $x = 0$ y $x = 6,$ y compararlos con el valor de $T (x)$ en el punto crítico $x = 6 - 6 / \sqrt{55} .$ Hallamos que $T (0) \approx 2,108 h$ y $T (6) \approx 1,417 h,$ mientras que $T (6 - 6 / \sqrt{55}) \approx 1,368 h .$ Por lo tanto, concluimos que $T$ tiene un mínimo local en $x \approx 5,19$ mi.

Punto de control 4.33

Supongamos que la isla está a $1$ mi desde la costa, y que la distancia desde la cabaña hasta el punto de la costa más cercano a la isla es de $15 mi .$ Supongamos que un visitante nada a la tasa de $2,5 mph$ y corre a una tasa de $6 mph .$ Supongamos que $x$ denota la distancia que el visitante correrá antes de nadar, y halle una función para el tiempo que tarda el visitante en llegar de la cabaña a la isla.

En los negocios, las empresas están interesadas en maximizar los ingresos. En el siguiente ejemplo, analizamos un escenario en el que una empresa ha recopilado datos sobre el número de autos que puede alquilar, en función del precio que cobra a sus clientes por alquilárselos. Utilicemos estos datos para determinar el precio que debe cobrar la empresa para maximizar la cantidad de dinero que ingresa.

Ejemplo 4.35

Maximizando los ingresos

Los propietarios de una empresa de alquiler de autos han determinado que si cobran a los clientes $p$ dólares diarios por el alquiler un auto, donde $50 \leq p \leq 200,$ el número de autos $n$ que alquilan por día puede ser modelada por la función lineal $n (p) = 1.000 - 5 p .$ Si cobran $$ 50$ por día o menos, alquilarán todos sus automóviles. Si cobran $$ 200$ por día o más, no alquilarán ningún automóvil. Suponiendo que los propietarios planeen cobrar a los clientes entre $50 diarios y $$ 200$ diarios por el alquiler de un auto, ¿cuánto deberían cobrar para maximizar sus ingresos?

Solución

Paso 1: Supongamos que $p$ es el precio que se cobra por auto y por día, y que $n$ es el número de autos alquilados por día. Supongamos que $R$ son los ingresos por día.

Paso 2: El problema es maximizar $R .$

Paso 3: Los ingresos (diarios) son iguales al número de autos alquilados por día multiplicado por el precio cobrado por auto por día, es decir, $R = n \times p .$

Paso 4: Dado que el número de autos alquilados diariamente se modela mediante la función lineal $n (p) = 1.000 - 5 p,$ los ingresos $R$ puede representarse mediante la función

R (p) = n \times p = (1.000 - 5 p) p = −5 p^{2} + 1.000 p .

Paso 5: Dado que los propietarios planean cobrar entre $$ 50$ por automóvil por día y $$ 200$ por automóvil por día, el problema es hallar el máximo ingreso $R (p)$ por $p$ en el intervalo cerrado $[50, 200] .$

Paso 6: Dado que $R$ es una función continua sobre el intervalo cerrado y delimitado $[50, 200],$ tiene un máximo absoluto (y un mínimo absoluto) en ese intervalo. Para hallar el valor máximo, busque los puntos críticos. La derivada es $R^{'} (p) = −10 p + 1.000 .$ Por lo tanto, el punto crítico es $p = 100$ Cuando $p = 100,$ $R (100) = $ 50 000 .$ Cuando $p = 50,$ $R (p) = $ 37.500 .$ Cuando $p = 200,$ $R (p) = $ 0 .$ Por lo tanto, el máximo absoluto se produce en $p = $ 100 .$ La empresa de alquiler de autos debería cobrar $$ 100$ diarios por auto para maximizar los ingresos, como se muestra en la siguiente figura.

La función R(p) se representa gráficamente. En su máximo hay una intersección de dos líneas discontinuas y un texto que dice: “El ingreso máximo es de 50.000 dólares por día cuando el precio que se cobra por automóvil es de 100 dólares por día”.

Figura 4.67 Para maximizar los ingresos, una empresa de alquiler de autos tiene que equilibrar el precio del alquiler con el número de autos que se alquilarán a ese precio.

Punto de control 4.34

Una empresa de alquiler de autos cobra a sus clientes $p$ dólares por día, donde $60 \leq p \leq 150 .$ Se concluye que el número de autos que se alquilan por día puede modelarse mediante la función lineal $n (p) = 750 - 5 p .$ ¿Cuánto debe cobrar la empresa a cada cliente para maximizar los ingresos?

Ejemplo 4.36

Cómo maximizar el área de un rectángulo inscrito

Un rectángulo debe inscribirse en la elipse

\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1 .

¿Cuáles deben ser las dimensiones del rectángulo para maximizar su área? ¿Cuál es el área máxima?

Solución

Paso 1: Para que un rectángulo se inscriba en la elipse, los lados del rectángulo deben ser paralelos a los ejes. Supongamos que $L$ es la longitud del rectángulo y que $W$ es su anchura. Supongamos que $A$ es el área del rectángulo.

La elipse x2/4 + y2 = 1 se dibuja con sus intersecciones en x, ±2 y sus intersecciones en y, ±1. Hay un rectángulo inscrito en la elipse con longitud L (en la dirección x) y anchura W.

Figura 4.68 Queremos maximizar el área de un rectángulo inscrito en una elipse.

Paso 2: El problema es maximizar $A .$

Paso 3: El área del rectángulo es $A = L W .$

Paso 4: Supongamos que $(x, y)$ es la esquina del rectángulo que se encuentra en el primer cuadrante, como se muestra en la Figura 4.68. Podemos escribir la longitud $L = 2 x$ y la anchura $W = 2 y .$ Dado que $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ y $y > 0,$ tenemos $y = \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}} .$ Por lo tanto, el área es

A = L W = (2 x) (2 y) = 4 x \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}} = 2 x \sqrt{4 - x^{2}} .

Paso 5: En la Figura 4.68, vemos que para inscribir un rectángulo en la elipse, la coordenada $x$ de la esquina en el primer cuadrante debe satisfacer $0 < x < 2 .$ Por lo tanto, el problema se reduce a buscar el valor máximo de $A (x)$ sobre el intervalo abierto $(0, 2) .$ Dado que $A (x)$ tendrá un máximo absoluto (y un mínimo absoluto) en el intervalo cerrado $[0, 2],$ consideramos $A (x) = 2 x \sqrt{4 - x^{2}}$ en el intervalo $[0, 2] .$ Si el máximo absoluto ocurre en un punto interior, entonces hemos encontrado un máximo absoluto en el intervalo abierto.

Paso 6: Como se mencionó anteriormente, $A (x)$ es una función continua sobre el intervalo cerrado y delimitado $[0, 2] .$ Por lo tanto, tiene un máximo (y un mínimo) absoluto. En los puntos extremos $x = 0$ y $x = 2,$ $A (x) = 0 .$ Para $0 < x < 2,$ $A (x) > 0 .$ Por lo tanto, el máximo debe producirse en un punto crítico. Tomando la derivada de $A (x),$ obtenemos

\begin{matrix} A' (x) & = 2 \sqrt{4 - x^{2}} + 2 x . \frac{1}{2 \sqrt{4 - x^{2}}} (−2 x) \\ = 2 \sqrt{4 - x^{2}} - \frac{2 x^{2}}{\sqrt{4 - x^{2}}} \\ = \frac{8 - 4 x^{2}}{\sqrt{4 - x^{2}}} . \end{matrix}

Para hallar los puntos críticos, tenemos que encontrar dónde $A' (x) = 0 .$ Podemos ver que si $x$ es una solución de

\frac{8 - 4 x^{2}}{\sqrt{4 - x^{2}}} = 0,

(4.7)

entonces $x$ debe satisfacer

8 - 4 x^{2} = 0 .

Por lo tanto, $x^{2} = 2 .$ Por lo tanto, $x = ± \sqrt{2}$ son las posibles soluciones de la Ecuación 4.7. Dado que estamos considerando $x$ en el intervalo $[0, 2],$ $x = \sqrt{2}$ es una posibilidad para un punto crítico, pero $x = − \sqrt{2}$ no lo es. Por lo tanto, comprobamos si $\sqrt{2}$ es una solución de la Ecuación 4.7. Dado que $x = \sqrt{2}$ es una solución de la Ecuación 4.7, concluimos que $\sqrt{2}$ es el único punto crítico de $A (x)$ en el intervalo $[0, 2] .$ Por lo tanto, $A (x)$ debe tener un máximo absoluto en el punto crítico $x = \sqrt{2} .$ Para determinar las dimensiones del rectángulo, necesitamos hallar la longitud $L$ y la anchura $W .$ Si $x = \sqrt{2}$ entonces

y = \sqrt{1 - \frac{{(\sqrt{2})}^{2}}{4}} = \sqrt{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} .

Por lo tanto, las dimensiones del rectángulo son $L = 2 x = 2 \sqrt{2}$ y $W = 2 y = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} .$ El área de este rectángulo es $A = L W = (2 \sqrt{2}) (\sqrt{2}) = 4 .$

Punto de control 4.35

Modificar la función de área $A$ si el rectángulo debe inscribirse en el círculo unitario $x^{2} + y^{2} = 1 .$ ¿Cuál es el dominio de consideración?

Resolución de problemas de optimización cuando el intervalo no es cerrado o no está acotado

En los ejemplos anteriores, hemos considerado funciones sobre dominios cerrados y acotados. En consecuencia, por el teorema del valor extremo, teníamos la garantía de que las funciones tenían extremos absolutos. Consideremos ahora las funciones cuyo dominio no es ni cerrado ni acotado.

Muchas funciones siguen teniendo al menos un extremo absoluto, incluso si el dominio no es cerrado o no está acotado. Por ejemplo, la función $f (x) = x^{2} + 4$ en $(− \infty, \infty)$ tiene un mínimo absoluto de $4$ en $x = 0 .$ Por lo tanto, todavía podemos considerar funciones sobre dominios no acotados o intervalos abiertos y determinar si tienen algún extremo absoluto. En el siguiente ejemplo, trataremos de minimizar una función sobre un dominio no acotado. Veremos que, aunque el dominio de consideración es $(0, \infty),$ la función tiene un mínimo absoluto.

En el siguiente ejemplo, veremos la construcción de una caja de mínima superficie con un volumen prescrito. No es difícil demostrar que para una caja de tapa cerrada, por simetría, entre todas las cajas con un volumen determinado, un cubo tendrá la menor área superficial. En consecuencia, consideraremos el problema modificado de determinar qué caja abierta con un volumen especificado tiene la menor área superficial.

Ejemplo 4.37

Minimizar el área superficial

Se construirá una caja rectangular con una base cuadrada, una tapa abierta y un volumen de $216$ in³. ¿Cuáles deben ser las dimensiones de la caja para minimizar su área superficial? ¿Cuál es el área superficial mínima?

Solución

Paso 1: Dibuje una caja rectangular e introduzca la variable $x$ para representar la longitud de cada lado de la base cuadrada; supongamos que $y$ representa la altura de la caja. Supongamos que $S$ denota el área superficial de la caja abierta.

Se muestra una caja con base cuadrada. La base tiene una longitud de lado x, y su altura es y.

Figura 4.69 Queremos minimizar el área superficial de una caja de base cuadrada con un volumen determinado.

Paso 2: Tenemos que minimizar el área superficial. Por lo tanto, tenemos que minimizar $S .$

Paso 3: Como la caja tiene la parte superior abierta, solo tenemos que determinar el área de los cuatro lados verticales y la base. El área de cada uno de los cuatro lados verticales es $x . y .$ El área de la base es $x^{2} .$ Por lo tanto, el área superficial de la caja es

S = 4 x y + x^{2} .

Paso 4: Como el volumen de esta caja es $x^{2} y$ y el volumen viene dado por $216 in .^{3},$ la ecuación de restricción es

x^{2} y = 216 .

Al resolver la ecuación de la restricción para $y,$ tenemos $y = \frac{216}{x^{2}} .$ Por lo tanto, podemos escribir el área superficial en función de $x$ solamente:

S (x) = 4 x (\frac{216}{x^{2}}) + x^{2} .

Por lo tanto, $S (x) = \frac{864}{x} + x^{2} .$

Paso 5: Dado que requerimos que $x^{2} y = 216,$ no podemos tener $x = 0 .$ Por lo tanto, necesitamos $x > 0 .$ Por otro lado, $x$ puede tener cualquier valor positivo. Observe que, a medida que $x$ se hace grande, la altura de la caja $y$ se vuelve proporcionalmente pequeña, de modo que $x^{2} y = 216 .$ Del mismo modo, como $x$ se hace pequeño, la altura de la caja se hace consecuentemente grande. Concluimos que el dominio es el intervalo abierto y no acotado $(0, \infty) .$ Observe que, a diferencia de los ejemplos anteriores, no podemos reducir nuestro problema a la búsqueda de un máximo o un mínimo absoluto en un intervalo cerrado y acotado. Sin embargo, en el siguiente paso, descubrimos por qué esta función debe tener un mínimo absoluto en el intervalo $(0, \infty) .$

Paso 6: Observe que, a medida que $x \to 0^{+},$ $S (x) \to \infty .$ Además, como $x \to \infty,$ $S (x) \to \infty .$ Dado que $S$ es una función continua que se acerca al infinito en los extremos, debe tener un mínimo absoluto en alguna $x \in (0, \infty) .$ Este mínimo debe producirse en un punto crítico de $S .$ La derivada es

S^{'} (x) = - \frac{864}{x^{2}} + 2 x .

Por lo tanto, $S^{'} (x) = 0$ cuando $2 x = \frac{864}{x^{2}} .$ Al resolver esta ecuación para $x,$ obtenemos $x^{3} = 432,$ por lo que $x = \sqrt[3]{432} = 6 \sqrt[3]{2} .$ Dado que este es el único punto crítico de $S,$ el mínimo absoluto debe producirse en $x = 6 \sqrt[3]{2}$ (vea la Figura 4.70). Cuando $x = 6 \sqrt[3]{2},$ $y = \frac{216}{{(6 \sqrt[3]{2})}^{2}} = 3 \sqrt[3]{2} in .$ Por lo tanto, las dimensiones de la caja deben ser $x = 6 \sqrt[3]{2} in .$ y $y = 3 \sqrt[3]{2} in .$ Con estas dimensiones, el área superficial es

S (6 \sqrt[3]{2}) = \frac{864}{6 \sqrt[3]{2}} + {(6 \sqrt[3]{2})}^{2} = 108 \sqrt[3]{4} in .^{2}

Se representa gráficamente la función S(x) = 864/x + x2. En su mínimo hay una línea discontinua y un texto que dice “El área superficial mínima es 108 veces la raíz cúbica de 4 pulgadas cuadradas cuando x = 6 veces la raíz cúbica de 2 pulgadas”.

Figura 4.70 Podemos utilizar un gráfico para determinar las dimensiones de una caja con un volumen y área superficial mínima dados.

Punto de control 4.36

Consideremos la misma caja abierta, que debe tener un volumen $216 in .^{3} .$ Supongamos que el costo del material para la base es $20 ¢ / in .^{2}$ y el costo del material para los laterales es $30 ¢ / in .^{2}$ y estamos tratando de minimizar el costo de esta caja. Escriba el costo en función de las longitudes de los lados de la base. (Supongamos que $x$ es la longitud del lado de la base y $y$ es la altura de la caja)

Sección 4.7 ejercicios

En los siguientes ejercicios, responda mediante una prueba, un contraejemplo o una explicación.

311.

Cuando halla el máximo de un problema de optimización, ¿por qué hay que comprobar el signo de la derivada alrededor de los puntos críticos?

312.

¿Por qué hay que comprobar los puntos extremos en los problemas de optimización?

313.

Verdadero o falso. Para toda función continua no lineal, se puede hallar el valor $x$ que maximiza la función.

314.

Verdadero o falso. En toda función continua no constante en un dominio cerrado y finito, existe al menos una $x$ que minimiza o maximiza la función.

En los siguientes ejercicios, establezca y evalúe cada problema de optimización.

315.

Para llevar una maleta en un avión, la longitud $+ ancho +$ altura de la caja debe ser menor o igual a $62 in .$ Suponiendo que la base de la maleta es cuadrada, demuestre que el volumen es $V = h {(31 - (\frac{1}{2}) h)}^{2} .$ ¿Qué altura le permite tener el mayor volumen?

316.

Está construyendo una caja de cartón con dimensiones $2 m por 4 m .$ A continuación, corte cuadrados de igual tamaño de cada esquina para poder doblar los bordes. ¿Cuáles son las dimensiones de la caja de mayor volumen?

Se dibuja un rectángulo con altura de 2 y anchura de 4. En cada esquina hay un cuadrado con la longitud de lado x marcada.

317.

Calcule el número entero positivo que minimiza la suma del número y su recíproco.

318.

Calcule dos números enteros positivos tales que su suma sea $10,$ y minimice y maximice la suma de sus cuadrados.

En los siguientes ejercicios, considere la construcción de un corral para encerrar un área.

319.

Usted tiene $400 pies$ de vallas para construir un corral rectangular para el ganado. ¿Cuáles son las dimensiones del corral para maximizar el área?

320.

Usted tiene $800 pies$ de vallas para construir un corral para cerdos. Si tiene un río en un lado de su propiedad, ¿cuál es la dimensión del corral rectangular que maximiza la superficie?

321.

Es necesario construir una valla alrededor de una zona de $1.600 {pies}^{2} .$ ¿Cuáles son las dimensiones del corral rectangular para minimizar la cantidad de material necesario?

322.

Dos polos están conectados por un cable que también está conectado a la tierra. El primer polo tiene $20 pies$ de altura y el segundo poste tiene $10 pies$ de altura. Hay una distancia de $30 pies$ entre los dos polos. ¿Dónde debe anclarse el cable al suelo para minimizar la cantidad de cable necesaria?

Se muestran dos postes, uno de 10 de altura y otro de 20. Se hace un triángulo rectángulo con el polo más corto con otro lado de longitud x. La distancia entre los dos polos es de 30.

323.

[T] Se está mudando a un nuevo apartamento y nota que hay una esquina donde el pasillo se estrecha de $8 ft a 6 ft .$ ¿Cuál es la longitud del artículo más largo que puede pasar horizontalmente por la esquina?

Se dibuja una figura en forma de L invertida con la parte _ de 6 de ancho y la parte | de 8 de ancho. Hay una línea trazada desde la parte _ a la parte | que toca la esquina cercana de la forma para formar una hipotenusa de un triángulo rectángulo; los otros lados son el resto de las partes _ y |. Esta línea está marcada como L.

324.

El pulso de un paciente es de $70 lpm, 80 lpm, y luego de 120 lpm .$ Para determinar una medida precisa del pulso, el médico debe saber qué valor minimiza la expresión ${(x - 70)}^{2} + {(x - 80)}^{2} + {(x - 120)}^{2} ?$ ¿Qué valor lo minimiza?

325.

En el problema anterior, supongamos que el paciente estaba nervioso durante la tercera medición, por lo que solo ponderamos ese valor la mitad que los demás. ¿Cuál es el valor que minimiza ${(x - 70)}^{2} + {(x - 80)}^{2} + \frac{1}{2} {(x - 120)}^{2} ?$

326.

Usted y sus amigos pueden correr a una velocidad de $6$ mph y nadar a una velocidad de $3$ mph y se encuentran en la orilla, $4$ millas al este de una isla que está a $1$ milla al norte de la costa. ¿A qué distancia deben correr hacia el oeste para minimizar el tiempo necesario para llegar a la isla?

Se dibuja un rectángulo que tiene altura 1 y longitud 4. En la esquina inferior derecha, está marcado "ustedes" y en la esquina superior izquierda está marcado "Isla"

En los siguientes problemas, considere un socorrista en una piscina circular con diámetro de $40 m .$ Debe alcanzar a alguien que se está ahogando en el lado opuesto de la piscina, en la posición $C .$ El socorrista nada con una velocidad $v$ y corre alrededor de la piscina a una velocidad $w = 3 v .$

Se dibuja un círculo con los puntos A y C en un diámetro. Hay un punto B dibujado en el círculo tal que el ángulo BAC forma un ángulo agudo θ.

327.

Halle una función que mida el tiempo total que se tarda en llegar al ahogado en función del ángulo de nado, $θ .$

328.

Halle en qué ángulo $θ$ el socorrista debe nadar para llegar al ahogado en el menor tiempo posible.

329.

Un camión utiliza la gasolina como $g (v) = a v + \frac{b}{v},$ donde $v$ representa la velocidad del camión y $g$ representa los galones de combustible por milla. ¿A qué velocidad se minimiza el consumo de combustible?

En los siguientes ejercicios, considere una limusina que logre $m (v) = \frac{(120 - 2 v)}{5} mi/gal$ a velocidad $v,$ los costos del chófer son de $$15/h,$ y los de la gasolina son de $$ 3,5 / gal .$

330.

Halle el costo por milla a la velocidad $v .$

331.

Halle la velocidad de conducción más económica.

En los siguientes ejercicios, considere una pizzería que vende pizzas por un ingreso de $R (x) = a x$ y costos $C (x) = b + c x + d x^{2},$ donde $x$ representa el número de pizzas.

332.

Halle la función de beneficio para el número de pizzas. ¿Cuántas pizzas dan el mayor beneficio por pizza?

333.

Supongamos que $R (x) = 10 x$ y $C (x) = 2 x + x^{2} .$ ¿Cuántas pizzas vendidas maximizan el beneficio?

334.

Supongamos que $R (x) = 15 x,$ y $C (x) = 60 + 3 x + \frac{1}{2} x^{2} .$ ¿Cuántas pizzas vendidas maximizan el beneficio?

En los siguientes ejercicios, considere un cable de $4 pies$ de largo cortado en dos trozos. Una pieza forma un círculo de radio $r$ y la otra forma un cuadrado de lado $x .$

335.

Elija $x$ para maximizar la suma de sus áreas.

336.

Elija $x$ para minimizar la suma de sus áreas.

En los siguientes ejercicios, considere dos números no negativos $x$ como $y$ de manera que $x + y = 10 .$ Maximice y minimice las cantidades.

337.

$x y$

338.

$x^{2} y^{2}$

339.

$y - \frac{1}{x}$

340.

$x^{2} - y$

En los siguientes ejercicios, dibuje el problema de optimización dado y resuélvalo.

341.

Halle el volumen del cilindro circular recto más grande que quepa en una esfera de radio $1 .$

342.

Halle el volumen del cono recto más grande que quepa en una esfera de radio $1 .$

343.

Halle el área del rectángulo más grande que quepa en un triángulo de lados $x = 0, y = 0$ y $\frac{x}{4} + \frac{y}{6} = 1 .$

344.

Halle el volumen más grande de un cilindro que quepa en un cono que tiene un radio de base $R$ y altura $h .$

345.

Halle las dimensiones del volumen del cilindro cerrado $V = 16 π$ que tenga la menor área superficial.

346.

Halle las dimensiones de un cono recto con un área superficial $S = 4 π$ que tenga el mayor volumen.

En los siguientes ejercicios, considere los puntos de los gráficos dadas. Utilice una calculadora para representar gráficamente las funciones.

347.

[T] ¿Dónde está la línea $y = 5 - 2 x$ más cercana al origen?

348.

[T] ¿Dónde está la línea $y = 5 - 2 x$ más cercano al punto $(1, 1) ?$

349.

[T] ¿Dónde está la parábola $y = x^{2}$ más cercano al punto $(2, 0) ?$

350.

[T] ¿Dónde está la parábola $y = x^{2}$ más cercano al punto $(0, 3) ?$

En los siguientes ejercicios, establezca, pero no evalúe, cada problema de optimización.

351.

Una ventana se compone de un semicírculo colocado sobre un rectángulo. Si tiene $20 pies$ de materiales para el marco exterior de la ventana, ¿cuál es el tamaño máximo de la ventana que puede obtener? Utilice la sustitución en $r$ para representar el radio del semicírculo.

Se dibuja una ventana semicircular de radio r.

352.

Tiene una hilera en el jardín de $20$ plantas de sandía que producen un promedio de $30$ sandías cada una. Por cada planta de sandía adicional que se plante, la producción por planta de sandía disminuye en una sandía. ¿Cuántas plantas de sandía adicionales debe plantar?

353.

Está construyendo una caja para que su gato duerma. El material de felpa para el fondo cuadrado de la caja cuesta $$ 5 / {pies}^{2}$ y el material para los laterales cuesta $$ 2 / {pies}^{2} .$ Necesita una caja con un volumen de $4 {pies}^{3} .$ Halle las dimensiones de la caja que minimicen el costo. Utilice la sustitución en $x$ para representar la longitud del lado de la caja.

354.

Está construyendo cinco corrales idénticos uno al lado del otro con una superficie total de $1.000 m^{2},$ como se muestra en la siguiente figura. ¿Qué dimensiones debe utilizar para minimizar la cantidad de vallas?

Se divide un rectángulo en cinco secciones, y cada sección tiene una longitud y y una anchura x.

355.

Usted es el administrador de un complejo de apartamentos de $50$ . Cuando fija el alquiler en $$ 800 / mes,$ todos los apartamentos están alquilados. Cuando aumenta la renta en $$ 25 / mes,$ alquila un apartamento menos. Los costos de mantenimiento son $$ 50 / mes$ por cada unidad ocupada. ¿Cuál es el monto de alquiler que maximiza la cantidad total de beneficios?

4.7 Problemas de optimización aplicados

Resolución de problemas de optimización en un intervalo cerrado y acotado

Cómo maximizar la superficie de un jardín

Solución

Estrategia para la resolución de problemas: Resolución de problemas de optimización

Cómo maximizar el volumen de una caja

Solución

Minimizar el tiempo de viaje

Solución

Maximizando los ingresos

Solución

Cómo maximizar el área de un rectángulo inscrito

Solución

Resolución de problemas de optimización cuando el intervalo no es cerrado o no está acotado

Minimizar el área superficial

Solución

Sección 4.7 ejercicios