Omitir e ir al contenidoIr a la página de accesibilidadMenú de atajos de teclado
Logo de OpenStax
Cálculo volumen 1

4.7 Problemas de optimización aplicados

Cálculo volumen 14.7 Problemas de optimización aplicados

Menú
Índice
  1. Prefacio
  2. 1 Funciones y gráficos
    1. Introducción
    2. 1.1 Repaso de las funciones
    3. 1.2 Clases básicas de funciones
    4. 1.3 Funciones trigonométricas
    5. 1.4 Funciones inversas
    6. 1.5 Funciones exponenciales y logarítmicas
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  3. 2 Límites
    1. Introducción
    2. 2.1 Un repaso previo del cálculo
    3. 2.2 El límite de una función
    4. 2.3 Las leyes de los límites
    5. 2.4 Continuidad
    6. 2.5 La definición precisa de un límite
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  4. 3 Derivadas
    1. Introducción
    2. 3.1 Definir la derivada
    3. 3.2 La derivada como función
    4. 3.3 Reglas de diferenciación
    5. 3.4 Las derivadas como tasas de cambio
    6. 3.5 Derivadas de funciones trigonométricas
    7. 3.6 La regla de la cadena
    8. 3.7 Derivadas de funciones inversas
    9. 3.8 Diferenciación implícita
    10. 3.9 Derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas
    11. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  5. 4 Aplicaciones de las derivadas
    1. Introducción
    2. 4.1 Tasas relacionadas
    3. 4.2 Aproximaciones lineales y diferenciales
    4. 4.3 Máximos y mínimos
    5. 4.4 El teorema del valor medio
    6. 4.5 Las derivadas y la forma de un gráfico
    7. 4.6 Límites al infinito y asíntotas
    8. 4.7 Problemas de optimización aplicados
    9. 4.8 La regla de L'Hôpital
    10. 4.9 Método de Newton
    11. 4.10 Antiderivadas
    12. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  6. 5 Integración
    1. Introducción
    2. 5.1 Aproximación de áreas
    3. 5.2 La integral definida
    4. 5.3 El teorema fundamental del cálculo
    5. 5.4 Fórmulas de integración y el teorema del cambio neto
    6. 5.5 Sustitución
    7. 5.6 Integrales con funciones exponenciales y logarítmicas
    8. 5.7 Integrales que resultan en funciones trigonométricas inversas
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  7. 6 Aplicaciones de la integración
    1. Introducción
    2. 6.1 Áreas entre curvas
    3. 6.2 Determinar los volúmenes mediante el corte
    4. 6.3 Volúmenes de revolución: capas cilíndricas
    5. 6.4 Longitud del arco de una curva y superficie
    6. 6.5 Aplicaciones físicas
    7. 6.6 Momentos y centros de masa
    8. 6.7 Integrales, funciones exponenciales y logaritmos
    9. 6.8 Crecimiento y decaimiento exponencial
    10. 6.9 Cálculo de las funciones hiperbólicas
    11. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  8. A Tabla de integrales
  9. B Tabla de derivadas
  10. C Repaso de Precálculo
  11. Clave de respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
  12. Índice

Objetivos de aprendizaje

  • 4.7.1 Establecer y resolver problemas de optimización en varios campos aplicados.

Una aplicación común del cálculo es el cálculo del valor mínimo o máximo de una función. Por ejemplo, con frecuencia las empresas desean minimizar los costos de producción o maximizar los ingresos. En la fabricación, con frecuencia es conveniente minimizar la cantidad de material utilizado para envasar un producto con un determinado volumen. En esta sección, mostraremos cómo plantear estos tipos de problemas de minimización y maximización y resolverlos utilizando las herramientas desarrolladas en este capítulo.

Resolución de problemas de optimización en un intervalo cerrado y acotado

La idea básica de los problemas de optimización que siguen es la misma. Tenemos una cantidad concreta que nos interesa maximizar o minimizar. Sin embargo, también tenemos alguna condición adicional que debe satisfacerse. Por ejemplo, en el Ejemplo 4.32, estamos interesados en maximizar el área de un jardín rectangular. Ciertamente, si seguimos ampliando las longitudes laterales del jardín, la superficie seguirá siendo mayor. Sin embargo, ¿qué pasa si tenemos alguna restricción en cuanto a la cantidad de vallas que podemos utilizar para el perímetro? En este caso, no podemos hacer el jardín tan grande como queremos. Veamos cómo podemos maximizar el área de un rectángulo sujeto a alguna restricción en el perímetro.

Ejemplo 4.32

Cómo maximizar la superficie de un jardín

Se va a construir un jardín rectangular utilizando una pared de roca como un lado del jardín y vallas de alambre para los otros tres lados (Figura 4.62). Dados 100100 ft de alambrado, determine las dimensiones que crearían un jardín de máxima superficie. ¿Cuál es el área máxima?

Dibujo de un jardín que tiene escritas las letras x y y en los lados vertical y horizontal, respectivamente. Hay una pared de roca que recorre toda la longitud horizontal inferior del dibujo.
Figura 4.62 Queremos determinar las medidas x x como y y que crearán un jardín con una superficie máxima utilizando 100 100 pies de valla.

Punto de control 4.31

Determine el área máxima si queremos hacer el mismo jardín rectangular que en la Figura 4.63, pero tenemos 200200 pies de valla.

Veamos ahora una estrategia general para resolver problemas de optimización similares al Ejemplo 4.32.

Estrategia de resolución de problemas

Estrategia para la resolución de problemas: Resolución de problemas de optimización

  1. Introduzca todas las variables. Si corresponde, dibuje una figura y marque todas las variables.
  2. Determine qué cantidad debe ser maximizada o minimizada, y para qué rango de valores de las otras variables (si se puede determinar en este momento).
  3. Escriba una fórmula para la cantidad a maximizar o minimizar en términos de las variables. Esta fórmula puede incluir más de una variable.
  4. Escriba cualquier ecuación que relacione las variables independientes en la fórmula del paso 3.3. Utilice estas ecuaciones para escribir la cantidad a maximizar o minimizar en función de una variable.
  5. Identifique el dominio de consideración de la función en el paso 44 en función del problema físico que hay que resolver.
  6. Localice el valor máximo o mínimo de la función a partir del paso 4.4. Este paso suele implicar la búsqueda de puntos críticos y la evaluación de una función en los puntos extremos.

Ahora apliquemos esta estrategia para maximizar el volumen de una caja abierta dada una restricción en la cantidad de material a utilizar.

Ejemplo 4.33

Cómo maximizar el volumen de una caja

La caja abierta se fabricará de 2424 in por 3636 in de cartón quitando un cuadrado de cada esquina de la caja y doblando las solapas de cada lado. ¿De qué tamaño es el cuadrado que hay que cortar en cada esquina para obtener una caja con el máximo volumen?

Medios

Vea un video sobre la optimización del volumen de una caja.

Punto de control 4.32

Supongamos que las dimensiones del cartón en el Ejemplo 4.33 son de 20 in por 30 in. Supongamos que xx es la longitud de los lados de cada cuadrado y escriba el volumen de la caja abierta en función de x.x. Determine el dominio de consideración para x.x.

Ejemplo 4.34

Minimizar el tiempo de viaje

Una isla está a 2 mi2 mi hacia el norte de su punto más cercano a lo largo de una línea de costa recta. Un visitante se aloja en una cabaña en la costa que está a 6mi6mi al oeste de ese punto. El visitante planea ir de la cabaña a la isla. Supongamos que el visitante corre a una tasa de 8mph8mph y nada a una tasa de 3mph.3mph. ¿Qué distancia debe correr el visitante antes de nadar para minimizar el tiempo que tarda en llegar a la isla?

Punto de control 4.33

Supongamos que la isla está a 11 mi desde la costa, y que la distancia desde la cabaña hasta el punto de la costa más cercano a la isla es de 15mi.15mi. Supongamos que un visitante nada a la tasa de 2,5mph2,5mph y corre a una tasa de 6mph.6mph. Supongamos que xx denota la distancia que el visitante correrá antes de nadar, y halle una función para el tiempo que tarda el visitante en llegar de la cabaña a la isla.

En los negocios, las empresas están interesadas en maximizar los ingresos. En el siguiente ejemplo, analizamos un escenario en el que una empresa ha recopilado datos sobre el número de autos que puede alquilar, en función del precio que cobra a sus clientes por alquilárselos. Utilicemos estos datos para determinar el precio que debe cobrar la empresa para maximizar la cantidad de dinero que ingresa.

Ejemplo 4.35

Maximizando los ingresos

Los propietarios de una empresa de alquiler de autos han determinado que si cobran a los clientes pp dólares diarios por el alquiler un auto, donde 50p200,50p200, el número de autos nn que alquilan por día puede ser modelada por la función lineal n(p)=1.0005p.n(p)=1.0005p. Si cobran $50$50 por día o menos, alquilarán todos sus automóviles. Si cobran $200$200 por día o más, no alquilarán ningún automóvil. Suponiendo que los propietarios planeen cobrar a los clientes entre $50 diarios y $200$200 diarios por el alquiler de un auto, ¿cuánto deberían cobrar para maximizar sus ingresos?

Punto de control 4.34

Una empresa de alquiler de autos cobra a sus clientes pp dólares por día, donde 60p150.60p150. Se concluye que el número de autos que se alquilan por día puede modelarse mediante la función lineal n(p)=7505p.n(p)=7505p. ¿Cuánto debe cobrar la empresa a cada cliente para maximizar los ingresos?

Ejemplo 4.36

Cómo maximizar el área de un rectángulo inscrito

Un rectángulo debe inscribirse en la elipse

x2 4+y2 =1.x2 4+y2 =1.

¿Cuáles deben ser las dimensiones del rectángulo para maximizar su área? ¿Cuál es el área máxima?

Punto de control 4.35

Modificar la función de área AA si el rectángulo debe inscribirse en el círculo unitario x2 +y2 =1.x2 +y2 =1. ¿Cuál es el dominio de consideración?

Resolución de problemas de optimización cuando el intervalo no es cerrado o no está acotado

En los ejemplos anteriores, hemos considerado funciones sobre dominios cerrados y acotados. En consecuencia, por el teorema del valor extremo, teníamos la garantía de que las funciones tenían extremos absolutos. Consideremos ahora las funciones cuyo dominio no es ni cerrado ni acotado.

Muchas funciones siguen teniendo al menos un extremo absoluto, incluso si el dominio no es cerrado o no está acotado. Por ejemplo, la función f(x)=x2 +4f(x)=x2 +4 en (,)(,) tiene un mínimo absoluto de 44 en x=0.x=0. Por lo tanto, todavía podemos considerar funciones sobre dominios no acotados o intervalos abiertos y determinar si tienen algún extremo absoluto. En el siguiente ejemplo, trataremos de minimizar una función sobre un dominio no acotado. Veremos que, aunque el dominio de consideración es (0,),(0,), la función tiene un mínimo absoluto.

En el siguiente ejemplo, veremos la construcción de una caja de mínima superficie con un volumen prescrito. No es difícil demostrar que para una caja de tapa cerrada, por simetría, entre todas las cajas con un volumen determinado, un cubo tendrá la menor área superficial. En consecuencia, consideraremos el problema modificado de determinar qué caja abierta con un volumen especificado tiene la menor área superficial.

Ejemplo 4.37

Minimizar el área superficial

Se construirá una caja rectangular con una base cuadrada, una tapa abierta y un volumen de 216216 in3. ¿Cuáles deben ser las dimensiones de la caja para minimizar su área superficial? ¿Cuál es el área superficial mínima?

Punto de control 4.36

Consideremos la misma caja abierta, que debe tener un volumen 216in.3.216in.3. Supongamos que el costo del material para la base es 20¢/in.2 20¢/in.2 y el costo del material para los laterales es 30¢/in.2 30¢/in.2 y estamos tratando de minimizar el costo de esta caja. Escriba el costo en función de las longitudes de los lados de la base. (Supongamos que xx es la longitud del lado de la base y yy es la altura de la caja)

Sección 4.7 ejercicios

En los siguientes ejercicios, responda mediante una prueba, un contraejemplo o una explicación.

311.

Cuando halla el máximo de un problema de optimización, ¿por qué hay que comprobar el signo de la derivada alrededor de los puntos críticos?

312.

¿Por qué hay que comprobar los puntos extremos en los problemas de optimización?

313.

Verdadero o falso. Para toda función continua no lineal, se puede hallar el valor xx que maximiza la función.

314.

Verdadero o falso. En toda función continua no constante en un dominio cerrado y finito, existe al menos una xx que minimiza o maximiza la función.

En los siguientes ejercicios, establezca y evalúe cada problema de optimización.

315.

Para llevar una maleta en un avión, la longitud +ancho++ancho+ altura de la caja debe ser menor o igual a 62in.62in. Suponiendo que la base de la maleta es cuadrada, demuestre que el volumen es V=h(31(12 )h)2 .V=h(31(12 )h)2 . ¿Qué altura le permite tener el mayor volumen?

316.

Está construyendo una caja de cartón con dimensiones 2 m por 4 m.2 m por 4 m. A continuación, corte cuadrados de igual tamaño de cada esquina para poder doblar los bordes. ¿Cuáles son las dimensiones de la caja de mayor volumen?

Se dibuja un rectángulo con altura de 2 y anchura de 4. En cada esquina hay un cuadrado con la longitud de lado x marcada.
317.

Calcule el número entero positivo que minimiza la suma del número y su recíproco.

318.

Calcule dos números enteros positivos tales que su suma sea 10,10, y minimice y maximice la suma de sus cuadrados.

En los siguientes ejercicios, considere la construcción de un corral para encerrar un área.

319.

Usted tiene 400pies400pies de vallas para construir un corral rectangular para el ganado. ¿Cuáles son las dimensiones del corral para maximizar el área?

320.

Usted tiene 800pies800pies de vallas para construir un corral para cerdos. Si tiene un río en un lado de su propiedad, ¿cuál es la dimensión del corral rectangular que maximiza la superficie?

321.

Es necesario construir una valla alrededor de una zona de 1.600pies2 .1.600pies2 . ¿Cuáles son las dimensiones del corral rectangular para minimizar la cantidad de material necesario?

322.

Dos polos están conectados por un cable que también está conectado a la tierra. El primer polo tiene 20pies20pies de altura y el segundo poste tiene 10pies10pies de altura. Hay una distancia de 30pies30pies entre los dos polos. ¿Dónde debe anclarse el cable al suelo para minimizar la cantidad de cable necesaria?

Se muestran dos postes, uno de 10 de altura y otro de 20. Se hace un triángulo rectángulo con el polo más corto con otro lado de longitud x. La distancia entre los dos polos es de 30.
323.

[T] Se está mudando a un nuevo apartamento y nota que hay una esquina donde el pasillo se estrecha de 8 ft a 6 ft.8 ft a 6 ft. ¿Cuál es la longitud del artículo más largo que puede pasar horizontalmente por la esquina?

Se dibuja una figura en forma de L invertida con la parte _ de 6 de ancho y la parte | de 8 de ancho. Hay una línea trazada desde la parte _ a la parte | que toca la esquina cercana de la forma para formar una hipotenusa de un triángulo rectángulo; los otros lados son el resto de las partes _ y |. Esta línea está marcada como L.
324.

El pulso de un paciente es de 70 lpm, 80 lpm, y luego de 120 lpm.70 lpm, 80 lpm, y luego de 120 lpm. Para determinar una medida precisa del pulso, el médico debe saber qué valor minimiza la expresión (x70)2 +(x80)2 +(x120)2 ?(x70)2 +(x80)2 +(x120)2 ? ¿Qué valor lo minimiza?

325.

En el problema anterior, supongamos que el paciente estaba nervioso durante la tercera medición, por lo que solo ponderamos ese valor la mitad que los demás. ¿Cuál es el valor que minimiza (x70)2 +(x80)2 +12 (x120)2 ?(x70)2 +(x80)2 +12 (x120)2 ?

326.

Usted y sus amigos pueden correr a una velocidad de 66 mph y nadar a una velocidad de 33 mph y se encuentran en la orilla, 44 millas al este de una isla que está a 11 milla al norte de la costa. ¿A qué distancia deben correr hacia el oeste para minimizar el tiempo necesario para llegar a la isla?

Se dibuja un rectángulo que tiene altura 1 y longitud 4. En la esquina inferior derecha, está marcado "ustedes" y en la esquina superior izquierda está marcado "Isla"

En los siguientes problemas, considere un socorrista en una piscina circular con diámetro de 40m.40m. Debe alcanzar a alguien que se está ahogando en el lado opuesto de la piscina, en la posición C.C. El socorrista nada con una velocidad vv y corre alrededor de la piscina a una velocidad w=3v.w=3v.

Se dibuja un círculo con los puntos A y C en un diámetro. Hay un punto B dibujado en el círculo tal que el ángulo BAC forma un ángulo agudo θ.
327.

Halle una función que mida el tiempo total que se tarda en llegar al ahogado en función del ángulo de nado, θ.θ.

328.

Halle en qué ángulo θθ el socorrista debe nadar para llegar al ahogado en el menor tiempo posible.

329.

Un camión utiliza la gasolina como g(v)=av+bv,g(v)=av+bv, donde vv representa la velocidad del camión y gg representa los galones de combustible por milla. ¿A qué velocidad se minimiza el consumo de combustible?

En los siguientes ejercicios, considere una limusina que logre m(v)=(1202 v)5mi/galm(v)=(1202 v)5mi/gal a velocidad v,v, los costos del chófer son de $15/h,$15/h, y los de la gasolina son de $3,5/gal.$3,5/gal.

330.

Halle el costo por milla a la velocidad v.v.

331.

Halle la velocidad de conducción más económica.

En los siguientes ejercicios, considere una pizzería que vende pizzas por un ingreso de R(x)=axR(x)=ax y costos C(x)=b+cx+dx2 ,C(x)=b+cx+dx2 , donde xx representa el número de pizzas.

332.

Halle la función de beneficio para el número de pizzas. ¿Cuántas pizzas dan el mayor beneficio por pizza?

333.

Supongamos que R(x)=10xR(x)=10x y C(x)=2 x+x2 .C(x)=2 x+x2 . ¿Cuántas pizzas vendidas maximizan el beneficio?

334.

Supongamos que R(x)=15x,R(x)=15x, y C(x)=60+3x+12 x2 .C(x)=60+3x+12 x2 . ¿Cuántas pizzas vendidas maximizan el beneficio?

En los siguientes ejercicios, considere un cable de 4pies4pies de largo cortado en dos trozos. Una pieza forma un círculo de radio rr y la otra forma un cuadrado de lado x.x.

335.

Elija xx para maximizar la suma de sus áreas.

336.

Elija xx para minimizar la suma de sus áreas.

En los siguientes ejercicios, considere dos números no negativos xx como yy de manera que x+y=10.x+y=10. Maximice y minimice las cantidades.

337.

x y x y

338.

x 2 y 2 x 2 y 2

339.

y 1 x y 1 x

340.

x 2 y x 2 y

En los siguientes ejercicios, dibuje el problema de optimización dado y resuélvalo.

341.

Halle el volumen del cilindro circular recto más grande que quepa en una esfera de radio 1.1.

342.

Halle el volumen del cono recto más grande que quepa en una esfera de radio 1.1.

343.

Halle el área del rectángulo más grande que quepa en un triángulo de lados x=0,y=0x=0,y=0 y x4+y6=1.x4+y6=1.

344.

Halle el volumen más grande de un cilindro que quepa en un cono que tiene un radio de base RR y altura h.h.

345.

Halle las dimensiones del volumen del cilindro cerrado V=16πV=16π que tenga la menor área superficial.

346.

Halle las dimensiones de un cono recto con un área superficial S=4πS=4π que tenga el mayor volumen.

En los siguientes ejercicios, considere los puntos de los gráficos dadas. Utilice una calculadora para representar gráficamente las funciones.

347.

[T] ¿Dónde está la línea y=52 xy=52 x más cercana al origen?

348.

[T] ¿Dónde está la línea y=52 xy=52 x más cercano al punto (1,1)?(1,1)?

349.

[T] ¿Dónde está la parábola y=x2 y=x2 más cercano al punto (2 ,0)?(2 ,0)?

350.

[T] ¿Dónde está la parábola y=x2 y=x2 más cercano al punto (0,3)?(0,3)?

En los siguientes ejercicios, establezca, pero no evalúe, cada problema de optimización.

351.

Una ventana se compone de un semicírculo colocado sobre un rectángulo. Si tiene 20pies20pies de materiales para el marco exterior de la ventana, ¿cuál es el tamaño máximo de la ventana que puede obtener? Utilice la sustitución en rr para representar el radio del semicírculo.

Se dibuja una ventana semicircular de radio r.
352.

Tiene una hilera en el jardín de 2020 plantas de sandía que producen un promedio de 3030 sandías cada una. Por cada planta de sandía adicional que se plante, la producción por planta de sandía disminuye en una sandía. ¿Cuántas plantas de sandía adicionales debe plantar?

353.

Está construyendo una caja para que su gato duerma. El material de felpa para el fondo cuadrado de la caja cuesta $5/pies2 $5/pies2 y el material para los laterales cuesta $2 /pies2 .$2 /pies2 . Necesita una caja con un volumen de 4pies3.4pies3. Halle las dimensiones de la caja que minimicen el costo. Utilice la sustitución en xx para representar la longitud del lado de la caja.

354.

Está construyendo cinco corrales idénticos uno al lado del otro con una superficie total de 1.000m2 ,1.000m2 , como se muestra en la siguiente figura. ¿Qué dimensiones debe utilizar para minimizar la cantidad de vallas?

Se divide un rectángulo en cinco secciones, y cada sección tiene una longitud y y una anchura x.
355.

Usted es el administrador de un complejo de apartamentos de 5050. Cuando fija el alquiler en $800/mes,$800/mes, todos los apartamentos están alquilados. Cuando aumenta la renta en $25/mes,$25/mes, alquila un apartamento menos. Los costos de mantenimiento son $50/mes$50/mes por cada unidad ocupada. ¿Cuál es el monto de alquiler que maximiza la cantidad total de beneficios?

Solicitar una copia impresa

As an Amazon Associate we earn from qualifying purchases.

Cita/Atribución

¿Desea citar, compartir o modificar este libro? Este libro utiliza la Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike License y debe atribuir a OpenStax.

Información de atribución
  • Si redistribuye todo o parte de este libro en formato impreso, debe incluir en cada página física la siguiente atribución:
    Acceso gratis en https://openstax.org/books/c%C3%A1lculo-volumen-1/pages/1-introduccion
  • Si redistribuye todo o parte de este libro en formato digital, debe incluir en cada vista de la página digital la siguiente atribución:
    Acceso gratuito en https://openstax.org/books/c%C3%A1lculo-volumen-1/pages/1-introduccion
Información sobre citas

© 2 mar. 2022 OpenStax. El contenido de los libros de texto que produce OpenStax tiene una licencia de Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike License . El nombre de OpenStax, el logotipo de OpenStax, las portadas de libros de OpenStax, el nombre de OpenStax CNX y el logotipo de OpenStax CNX no están sujetos a la licencia de Creative Commons y no se pueden reproducir sin el previo y expreso consentimiento por escrito de Rice University.