Gilbert Strang; Edwin “Jed” Herman

Objetivos de aprendizaje

4.8.1 Reconocer cuándo aplicar la regla de L'Hôpital.
4.8.2 Identificar las formas indeterminadas producidas por cocientes, productos, restas y potencias, y aplicar la regla de L'Hôpital en cada caso.
4.8.3 Describir las tasas de crecimiento relativas de las funciones.

En esta sección, examinaremos una poderosa herramienta para evaluar los límites. Esta herramienta, conocida como la regla de L'Hôpital, utiliza derivadas para calcular los límites. Con esta regla, podremos evaluar muchos límites que aún no hemos podido determinar. En vez de basarnos en pruebas numéricas para conjeturar que existe un límite, demostraremos definitivamente que existe un límite y determinaremos su valor exacto.

Aplicación de la regla de L'Hôpital

La regla de L'Hôpital puede utilizarse para evaluar límites que implican el cociente de dos funciones. Considere

\underset{x \to a}{lím} \frac{f (x)}{g (x)} .

Si $\underset{x \to a}{lím} f (x) = L_{1} y \underset{x \to a}{lím} g (x) = L_{2} \neq 0,$ entonces

\underset{x \to a}{lím} \frac{f (x)}{g (x)} = \frac{L_{1}}{L_{2}} .

Sin embargo, ¿qué ocurre si $\underset{x \to a}{lím} f (x) = 0$ y $\underset{x \to a}{lím} g (x) = 0 ?$ A esta la llamamos una de las formas indeterminadas, del tipo $\frac{0}{0} .$ Se considera una forma indeterminada porque no podemos determinar el comportamiento exacto de $\frac{f (x)}{g (x)}$ cuando $x \to a$ sin mayor análisis. Ya hemos visto ejemplos de esto en el texto. Por ejemplo, considere

\underset{x \to 2}{lím} \frac{x^{2} - 4}{x - 2} y \underset{x \to 0}{lím} \frac{sen x}{x} .

En el primero de estos ejemplos, podemos evaluar el límite factorizando el numerador y escribiendo

\underset{x \to 2}{lím} \frac{x^{2} - 4}{x - 2} = \underset{x \to 2}{lím} \frac{(x + 2) (x - 2)}{x - 2} = \underset{x \to 2}{lím} (x + 2) = 2 + 2 = 4 .

Para $\underset{x \to 0}{lím} \frac{sen x}{x}$ pudimos demostrar, mediante un argumento geométrico, que

\underset{x \to 0}{lím} \frac{sen x}{x} = 1 .

Aquí utilizamos una técnica diferente para evaluar este tipo de límites, que no solo proporciona una manera más fácil de evaluarlos, sino que también, y esto es lo más importante, nos brinda una manera de evaluar muchos otros límites que no podíamos calcular anteriormente.

La idea que subyace a la regla de L'Hôpital puede explicarse mediante aproximaciones lineales locales. Consideremos dos funciones diferenciables $f$ y $g$ de manera que $\underset{x \to a}{lím} f (x) = 0 = \underset{x \to a}{lím} g (x)$ y tal que $g^{'} (a) \neq 0$ Para $x$ cerca de $a,$ podemos escribir

f (x) \approx f (a) + f^{'} (a) (x - a)

y

g (x) \approx g (a) + g^{'} (a) (x - a) .

Por lo tanto,

\frac{f (x)}{g (x)} \approx \frac{f (a) + f^{'} (a) (x - a)}{g (a) + g^{'} (a) (x - a)} .

Dos funciones y = f(x) y y = g(x) se dibujan de forma que se cruzan en un punto sobre x = a. También se dibujan las aproximaciones lineales de estas dos funciones y = f(a) + f'(a)(x - a) y y = g(a) + g'(a)(x - a).

Figura 4.71 Si los valores de

\underset{x \to a}{lím} f (x) = \underset{x \to a}{lím} g (x),

entonces la relación

f (x) / g (x)

es aproximadamente igual a la relación de sus aproximaciones lineales cerca de

a .

Dado que $f$ es diferenciable en $a,$ entonces $f$ es continua en $a,$ y por lo tanto $f (a) = \underset{x \to a}{lím} f (x) = 0 .$ Del mismo modo, $g (a) = \underset{x \to a}{lím} g (x) = 0 .$ Si además suponemos que $f^{'}$ y $g^{'}$ son continuas en $x = a,$ entonces $f^{'} (a) = \underset{x \to a}{lím} f^{'} (x)$ y $g^{'} (a) = \underset{x \to a}{lím} g^{'} (x) .$ Al utilizar estas ideas, concluimos que

\underset{x \to a}{lím} \frac{f (x)}{g (x)} = \underset{x \to a}{lím} \frac{f^{'} (x) (x - a)}{g^{'} (x) (x - a)} = \underset{x \to a}{lím} \frac{f^{'} (x)}{g^{'} (x)} .

Tenga en cuenta que la suposición de que $f^{'}$ y $g^{'}$ son continuas en $a$ y $g^{'} (a) \neq 0$ puede relajarse. Enunciamos la regla de L'Hôpital formalmente para la forma indeterminada $\frac{0}{0} .$ También hay que tener en cuenta que la notación $\frac{0}{0}$ no significa que estemos dividiendo realmente cero entre cero. Más bien, utilizamos la notación $\frac{0}{0}$ para representar un cociente de límites, cada uno de los cuales es cero.

Teorema 4.12

Regla de L'Hôpital (Caso 0/0)

Supongamos que $f$ y $g$ son funciones diferenciables sobre un intervalo abierto que contiene $a,$ excepto posiblemente en $a .$ Si $\underset{x \to a}{lím} f (x) = 0$ y $\underset{x \to a}{lím} g (x) = 0,$ entonces

\underset{x \to a}{lím} \frac{f (x)}{g (x)} = \underset{x \to a}{lím} \frac{f^{'} (x)}{g^{'} (x)},

asumiendo que el límite de la derecha existe o es $\infty$ o $− \infty .$ Este resultado también es válido si consideramos límites unilaterales, o si $a = \infty y - \infty .$

Prueba

Proporcionamos una demostración de este teorema en el caso especial en el que $f, g, f^{'},$ y $g^{'}$ son todos continuos en un intervalo abierto que contiene $a .$ En ese caso, ya que $\underset{x \to a}{lím} f (x) = 0 = \underset{x \to a}{lím} g (x)$ y $f$ y $g$ son continuas en $a,$ se deduce que $f (a) = 0 = g (a) .$ Por lo tanto,

\begin{matrix} \underset{x \to a}{lím} \frac{f (x)}{g (x)} & = \underset{x \to a}{lím} \frac{f (x) - f (a)}{g (x) - g (a)} & dado que f (a) = 0 = g (a) \\ = \underset{x \to a}{lím} \frac{\frac{f (x) - f (a)}{x - a}}{\frac{g (x) - g (a)}{x - a}} & álgebra \\ = \frac{\underset{x \to a}{lím} \frac{f (x) - f (a)}{x - a}}{\underset{x \to a}{lím} \frac{g (x) - g (a)}{x - a}} & límite de un cociente \\ = \frac{f^{'} (a)}{g^{'} (a)} & definición de la derivada \\ = \frac{\underset{x \to a}{lím} f^{'} (x)}{\underset{x \to a}{lím} g^{'} (x)} & continuidad de f^{'} y g^{'} \\ = \underset{x \to a}{lím} \frac{f^{'} (x)}{g^{'} (x)} . & límite de un cociente \end{matrix}

Observe que la regla de L'Hôpital establece que podemos calcular el límite de un cociente $\frac{f}{g}$ considerando el límite del cociente de las derivadas $\frac{f^{'}}{g^{'}} .$ Es importante percatarse de que no estamos calculando la derivada del cociente $\frac{f}{g} .$

□

Ejemplo 4.38

Aplicación de la regla de L'Hôpital (caso 0/0)

Evalúe cada uno de los siguientes límites aplicando la regla de L'Hôpital.

$\underset{x \to 0}{lím} \frac{1 - cos x}{x}$
$\underset{x \to 1}{lím} \frac{sen (π x)}{ln x}$
$\underset{x \to \infty}{lím} \frac{e^{1 / x} - 1}{1 / x}$
$\underset{x \to 0}{lím} \frac{sen x - x}{x^{2}}$

Solución

Dado que el numerador $1 - cos x \to 0$ y el denominador $x \to 0,$ podemos aplicar la regla de L'Hôpital para evaluar este límite. Tenemos

$\begin{matrix} \underset{x \to 0}{lím} \frac{1 - cos x}{x} & = \underset{x \to 0}{lím} \frac{\frac{d}{d x} (1 - cos x)}{\frac{d}{d x} (x)} \\ = \underset{x \to 0}{lím} \frac{sen x}{1} \\ = \frac{\underset{x \to 0}{lím} (sen x)}{\underset{x \to 0}{lím} (1)} \\ = \frac{0}{1} = 0, \end{matrix}$
Dado que $x \to 1,$ el numerador $sen (π x) \to 0$ y el denominador $ln (x) \to 0 .$ Por lo tanto, podemos aplicar la regla de L'Hôpital. Obtenemos

$\begin{matrix} \underset{x \to 1}{lím} \frac{sen (π x)}{ln x} & = \underset{x \to 1}{lím} \frac{π cos (π x)}{1 / x} \\ = \underset{x \to 1}{lím} (π x) cos (π x) \\ = (π . 1) (–1) = − π . \end{matrix}$
Dado que $x \to \infty,$ el numerador $e^{1 / x} - 1 \to 0$ y el denominador $(\frac{1}{x}) \to 0 .$ Por lo tanto, podemos aplicar la regla de L'Hôpital. Obtenemos

$\underset{x \to \infty}{lím} \frac{e^{1 / x} - 1}{\frac{1}{x}} = \underset{x \to \infty}{lím} \frac{e^{1 / x} (\frac{−1}{x^{2}})}{(\frac{−1}{x^{2}})} = \underset{x \to \infty}{lím} e^{1 / x} = e^{0} = 1 .$
Dado que $x \to 0,$ tanto el numerador como el denominador se acercan a cero. Por lo tanto, podemos aplicar la regla de L'Hôpital. Obtenemos

$\underset{x \to 0}{lím} \frac{sen x - x}{x^{2}} = \underset{x \to 0}{lím} \frac{cos x - 1}{2 x} .$

Dado que el numerador y el denominador de este nuevo cociente se aproximan a cero a medida que $x \to 0,$ volvemos a aplicar la regla de L'Hôpital. Al hacerlo, vemos que

$\underset{x \to 0}{lím} \frac{cos x - 1}{2 x} = \underset{x \to 0}{lím} \frac{− sen x}{2} = 0 .$

Por lo tanto, concluimos que

$\underset{x \to 0}{lím} \frac{sen x - x}{x^{2}} = 0 .$

Punto de control 4.37

Evalúe $\underset{x \to 0}{lím} \frac{x}{tan x} .$

También podemos utilizar la regla de L'Hôpital para evaluar los límites de los cocientes $\frac{f (x)}{g (x)}$ en la que $f (x) \to ± \infty$ y $g (x) \to ± \infty .$ Los límites de esta forma se clasifican como formas indeterminadas del tipo $\infty / \infty .$ Note de nuevo que en realidad no estamos dividiendo $\infty$ entre $\infty .$ Dado que $\infty$ no es un número real, eso es imposible; más bien, $\infty / \infty .$ se utiliza para representar un cociente de límites, cada uno de los cuales es $\infty$ o $− \infty .$

Teorema 4.13

La regla de L'Hôpital $(\infty / \infty$ Caso)

Supongamos que $f$ y $g$ son funciones diferenciables sobre un intervalo abierto que contiene $a,$ excepto posiblemente en $a .$ Supongamos que $\underset{x \to a}{lím} f (x) = \infty$ (o $− \infty)$ y $\underset{x \to a}{lím} g (x) = \infty$ (o $− \infty) .$ Entonces,

\underset{x \to a}{lím} \frac{f (x)}{g (x)} = \underset{x \to a}{lím} \frac{f^{'} (x)}{g^{'} (x)},

asumiendo que el límite de la derecha existe o es $\infty$ o $− \infty .$ Este resultado también es válido si el límite es infinito, si $a = \infty$ o $− \infty,$ o el límite es unilateral.

Ejemplo 4.39

Aplicación de la regla de L'Hôpital $(\infty / \infty$ Caso)

Evalúe cada uno de los siguientes límites aplicando la regla de L'Hôpital.

$\underset{x \to \infty}{lím} \frac{3 x + 5}{2 x + 1}$
$\underset{x \to 0^{+}}{lím} \frac{ln x}{cot x}$

Solución

Dado que $3 x + 5$ y $2 x + 1$ son polinomios de primer grado con coeficientes líderes positivos, $\underset{x \to \infty}{lím} (3 x + 5) = \infty$ y $\underset{x \to \infty}{lím} (2 x + 1) = \infty .$ Por lo tanto, aplicamos la regla de L'Hôpital y obtenemos

$\underset{x \to \infty}{lím} \frac{3 x + 5}{2 x + 1 / x} = \underset{x \to \infty}{lím} \frac{3}{2} = \frac{3}{2} .$

Observe que este límite también puede calcularse sin recurrir a la regla de L'Hôpital. Anteriormente en el capítulo mostramos cómo evaluar dicho límite dividiendo el numerador y el denominador por la mayor potencia de $x$ en el denominador. Al hacerlo, vimos que

$\underset{x \to \infty}{lím} \frac{3 x + 5}{2 x + 1} = \underset{x \to \infty}{lím} \frac{3 + 5 / x}{2 x + 1 / x} = \frac{3}{2} .$

La regla de L'Hôpital nos proporciona un medio alternativo para evaluar este tipo de límite.
Aquí, $\underset{x \to 0^{+}}{lím} ln x = − \infty$ y $\underset{x \to 0^{+}}{lím} cot x = \infty .$ Por tanto, podemos aplicar la regla de L'Hôpital y obtener

$\underset{x \to 0^{+}}{lím} \frac{ln x}{cot x} = \underset{x \to 0^{+}}{lím} \frac{1 / x}{− {csc}^{2} x} = \underset{x \to 0^{+}}{lím} \frac{1}{− x {csc}^{2} x} .$

Ahora, dado que $x \to 0^{+},$ ${csc}^{2} x \to \infty .$ Por lo tanto, el primer término del denominador se acerca a cero y el segundo término se hace muy grande. En ese caso, puede ocurrir cualquier cosa con el producto. Por lo tanto, todavía no podemos sacar ninguna conclusión. Para evaluar el límite, utilizamos la definición de $csc x$ para escribir

$\underset{x \to 0^{+}}{lím} \frac{1}{− x {csc}^{2} x} = \underset{x \to 0^{+}}{lím} \frac{{sen}^{2} x}{– x} .$

Ahora $\underset{x \to 0^{+}}{lím} {sen}^{2} x = 0$ y $\underset{x \to 0^{+}}{lím} x = 0,$ por lo que volvemos a aplicar la regla de L'Hôpital. Encontramos

$\underset{x \to 0^{+}}{lím} \frac{{sen}^{2} x}{– x} = \underset{x \to 0^{+}}{lím} \frac{2 sen x cos x}{−1} = \frac{0}{−1} = 0 .$

Concluimos que

$\underset{x \to 0^{+}}{lím} \frac{ln x}{cot x} = 0 .$

Punto de control 4.38

Evalúe $\underset{x \to \infty}{lím} \frac{ln x}{5 x} .$

Como se ha dicho, la regla de L'Hôpital es una herramienta muy útil para evaluar los límites. Sin embargo, es importante recordar que para aplicar la regla de L'Hôpital a un cociente $\frac{f (x)}{g (x)},$ es fundamental que el límite de $\frac{f (x)}{g (x)}$ sea de la forma $\frac{0}{0}$ o $\infty / \infty .$ Considere el siguiente ejemplo.

Ejemplo 4.40

Casos en que no se aplica la regla de L'Hôpital

Considere que $\underset{x \to 1}{lím} \frac{x^{2} + 5}{3 x + 4} .$ Demuestre que el límite no se puede evaluar aplicando la regla de L'Hôpital.

Solución

Como los límites del numerador y del denominador no son ambos cero y no son ambos infinitos, no podemos aplicar la regla de L'Hôpital. Si intentamos hacerlo, obtendremos

\frac{d}{d x} (x^{2} + 5) = 2 x

y

\frac{d}{d x} (3 x + 4) = 3 .

En ese momento concluiríamos erróneamente que

\underset{x \to 1}{lím} \frac{x^{2} + 5}{3 x + 4} = \underset{x \to 1}{lím} \frac{2 x}{3} = \frac{2}{3} .

Sin embargo, como $\underset{x \to 1}{lím} (x^{2} + 5) = 6$ y $\underset{x \to 1}{lím} (3 x + 4) = 7,$ en realidad tenemos

\underset{x \to 1}{lím} \frac{x^{2} + 5}{3 x + 4} = \frac{6}{7} .

Podemos concluir que

\underset{x \to 1}{lím} \frac{x^{2} + 5}{3 x + 4} \neq \underset{x \to 1}{lím} \frac{\frac{d}{d x} (x^{2} + 5)}{\frac{d}{d x} (3 x + 4)} .

Punto de control 4.39

Explique por qué no podemos aplicar la regla de L'Hôpital para evaluar $\underset{x \to 0^{+}}{lím} \frac{cos x}{x} .$ Evalúe $\underset{x \to 0^{+}}{lím} \frac{cos x}{x}$ por otros medios.

Otras formas indeterminadas

La regla de L'Hôpital es muy útil para evaluar los límites que implican las formas indeterminadas $\frac{0}{0}$ y $\infty / \infty .$ Sin embargo, también podemos utilizar la regla de L'Hôpital para ayudar a evaluar los límites que involucran otras formas indeterminadas que surgen al evaluar los límites. Las expresiones $0 . \infty,$ $\infty - \infty,$ $1^{\infty},$ $\infty^{0},$ y $0^{0}$ se consideran formas indeterminadas. Estas expresiones no son números reales. Más bien, representan formas que surgen al intentar evaluar ciertos límites. A continuación nos daremos cuenta de por qué son formas indeterminadas y luego entenderemos cómo utilizar la regla de L'Hôpital en estos casos. La idea clave es que debemos reescribir las formas indeterminadas de tal manera que lleguemos a la forma indeterminada $\frac{0}{0}$ o $\infty / \infty .$

Forma indeterminada del tipo $0 . \infty$

Supongamos que queremos evaluar $\underset{x \to a}{lím} (f (x) . g (x)),$ donde $f (x) \to 0$ y $g (x) \to \infty$ (o $− \infty)$ cuando $x \to a .$ Dado que un término del producto se aproxima a cero pero el otro término se hace arbitrariamente grande (en magnitud), al producto le puede pasar cualquier cosa. Utilizamos la notación $0 . \infty$ para denotar la forma que surge en esta situación. La expresión $0 . \infty$ se considera indeterminada porque sin más análisis no podemos determinar el comportamiento exacto del producto $f (x) g (x)$ cuando $x \to a .$ Por ejemplo, supongamos que $n$ es un número entero positivo y considere

f (x) = \frac{1}{(x^{n} + 1)} y g (x) = 3 x^{2} .

Dado que $x \to \infty,$ $f (x) \to 0$ y $g (x) \to \infty .$ Sin embargo, el límite cuando $x \to \infty$ de $f (x) g (x) = \frac{3 x^{2}}{(x^{n} + 1)}$ varía, dependiendo de $n .$ Si $n = 2,$ entonces $\underset{x \to \infty}{lím} f (x) g (x) = 3 .$ Si $n = 1,$ entonces $\underset{x \to \infty}{lím} f (x) g (x) = \infty .$ Si $n n = 3,$ entonces $\underset{x \to \infty}{lím} f (x) g (x) = 0 .$ Aquí consideramos otro límite que implica la forma indeterminada $0 . \infty$ y mostramos cómo reescribir la función como cociente para utilizar la regla de L'Hôpital.

Ejemplo 4.41

Forma indeterminada del tipo $0 . \infty$

Evalúe $\underset{x \to 0^{+}}{lím} x ln x .$

Solución

En primer lugar, reescriba la función $x ln x$ como cociente para aplicar la regla de L'Hôpital. Si escribimos

x ln x = \frac{ln x}{1 / x},

vemos que $ln x \to − \infty$ cuando $x \to 0^{+}$ y $\frac{1}{x} \to \infty$ cuando $x \to 0^{+} .$ Por tanto, podemos aplicar la regla de L'Hôpital y obtener

\underset{x \to 0^{+}}{lím} \frac{ln x}{1 / x} = \underset{x \to 0^{+}}{lím} \frac{\frac{d}{d x} (ln x)}{\frac{d}{d x} (1 / x)} = \underset{x \to 0^{+}}{lím} \frac{1 / x}{−1 / x^{2}} = \underset{x \to 0^{+}}{lím} (− x) = 0 .

Concluimos que

\underset{x \to 0^{+}}{lím} x ln x = 0 .

La función y = x ln(x) se grafica para valores x ≥ 0. En x = 0, el valor de la función es 0.

Figura 4.72 Encontrar el límite en

x = 0

de la función

f (x) = x ln x .

Punto de control 4.40

Evalúe $\underset{x \to 0}{lím} x cot x .$

Forma indeterminada del tipo $\infty - \infty$

Otro tipo de forma indeterminada es $\infty - \infty .$ Considere el siguiente ejemplo. Supongamos que $n$ es un número entero positivo y que $f (x) = 3 x^{n}$ y $g (x) = 3 x^{2} + 5 .$ Dado que $x \to \infty,$ $f (x) \to \infty$ y $g (x) \to \infty .$ Estamos interesados en $\underset{x \to \infty}{lím} (f (x) - g (x)) .$ Dependiendo de si $f (x)$ crece más rápido, $g (x)$ crece más rápido, o crecen a la misma tasa, y como veremos a continuación, cualquier cosa puede suceder en este límite. Dado que $f (x) \to \infty$ y $g (x) \to \infty,$ escribimos $\infty - \infty$ para denotar la forma de este límite. Al igual que con nuestras otras formas indeterminadas, $\infty - \infty$ no tiene ningún significado por sí mismo y debemos hacer más análisis para determinar el valor del límite. Por ejemplo, supongamos que el exponente $n$ en la función $f (x) = 3 x^{n}$ es $n n = 3,$ entonces

\underset{x \to \infty}{lím} (f (x) - g (x)) = \underset{x \to \infty}{lím} (3 x^{3} - 3 x^{2} - 5) = \infty .

Por otro lado, si $n = 2,$ entonces

\underset{x \to \infty}{lím} (f (x) - g (x)) = \underset{x \to \infty}{lím} (3 x^{2} - 3 x^{2} - 5) = −5 .

Sin embargo, si $n = 1,$ entonces

\underset{x \to \infty}{lím} (f (x) - g (x)) = \underset{x \to \infty}{lím} (3 x - 3 x^{2} - 5) = − \infty .

Por lo tanto, el límite no puede determinarse considerando únicamente $\infty - \infty .$ A continuación vemos cómo reescribir una expresión que implica la forma indeterminada $\infty - \infty$ como fracción para aplicar la regla de L'Hôpital.

Ejemplo 4.42

Forma indeterminada del tipo $\infty - \infty$

Evalúe $\underset{x \to 0^{+}}{lím} (\frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{tan x}) .$

Solución

Al combinar las fracciones, podemos escribir la función como un cociente. Dado que el mínimo común denominador es $x^{2} tan x,$ tenemos

\frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{tan x} = \frac{(tan x) - x^{2}}{x^{2} tan x} .

Dado que $x \to 0^{+},$ el numerador $tan x - x^{2} \to 0$ y el denominador $x^{2} tan x \to 0 .$ Por lo tanto, podemos aplicar la regla de L'Hôpital. Tomando las derivadas del numerador y del denominador, tenemos

\underset{x \to 0^{+}}{lím} \frac{(tan x) - x^{2}}{x^{2} tan x} = \underset{x \to 0^{+}}{lím} \frac{({sec}^{2} x) - 2 x}{x^{2} {sec}^{2} x + 2 x tan x} .

Dado que $x \to 0^{+},$ $({sec}^{2} x) - 2 x \to 1$ y $x^{2} {sec}^{2} x + 2 x tan x \to 0 .$ Dado que el denominador es positivo cuando $x$ se acerca a cero por la derecha, concluimos que

\underset{x \to 0^{+}}{lím} \frac{({sec}^{2} x) - 2 x}{x^{2} {sec}^{2} x + 2 x tan x} = \infty .

Por lo tanto,

\underset{x \to 0^{+}}{lím} (\frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{tan x}) = \infty .

Punto de control 4.41

Evalúe $\underset{x \to 0^{+}}{lím} (\frac{1}{x} - \frac{1}{sen x}) .$

Otro tipo de forma indeterminada que surge al evaluar límites involucra a los exponentes. Las expresiones $0^{0},$ $\infty^{0},$ y $1^{\infty}$ son todas formas indeterminadas. Por sí solas, estas expresiones no tienen sentido porque no podemos evaluarlas como lo haríamos con una expresión que incluya números reales. Más bien, estas expresiones representan formas que surgen al encontrar los límites. Ahora examinaremos cómo podemos utilizar la regla de L'Hôpital para evaluar los límites que implican estas formas indeterminadas.

Dado que la regla de L'Hôpital se aplica a los cocientes, utilizamos la función logarítmica natural y sus propiedades para reducir un problema que evalúa un límite que involucra exponentes a un problema relacionado que involucra un límite de un cociente. Por ejemplo, supongamos que queremos evaluar $\underset{x \to a}{lím} f {(x)}^{g (x)}$ y llegamos a la forma indeterminada $\infty^{0} .$ (Las formas indeterminadas $0^{0}$ y $1^{\infty}$ se pueden manejar de manera similar) Procedamos de la siguiente manera. Supongamos que

y = f {(x)}^{g (x)} .

Entonces,

ln y = ln (f {(x)}^{g (x)}) = g (x) ln (f (x)) .

Por lo tanto,

\underset{x \to a}{lím} [ln (y)] = \underset{x \to a}{lím} [g (x) ln (f (x))] .

Dado que $\underset{x \to a}{lím} f (x) = \infty,$ sabemos que $\underset{x \to a}{lím} ln (f (x)) = \infty .$ Por lo tanto, $\underset{x \to a}{lím} g (x) ln (f (x))$ es de la forma indeterminada $0 . \infty,$ y podemos utilizar las técnicas discutidas anteriormente para reescribir la expresión $g (x) ln (f (x))$ de manera tal que podamos aplicar la regla de L'Hôpital. Supongamos que $\underset{x \to a}{lím} g (x) ln (f (x)) = L,$ donde $L$ puede ser $\infty$ o $− \infty .$ Entonces

\underset{x \to a}{lím} [ln (y)] = L .

Dado que la función logarítmica natural es continua, concluimos que

ln (\underset{x \to a}{lím} y) = L,

que nos da

\underset{x \to a}{lím} y = \underset{x \to a}{lím} f {(x)}^{g (x)} = e^{L} .

Ejemplo 4.43

Forma indeterminada del tipo $\infty^{0}$

Evalúe $\underset{x \to \infty}{lím} x^{1 / x} .$

Solución

Supongamos que $y = x^{1 / x} .$ Entonces,

ln (x^{1 / x}) = \frac{1}{x} ln x = \frac{ln x}{x} .

Tenemos que evaluar $\underset{x \to \infty}{lím} \frac{ln x}{x} .$ Aplicando la regla de L'Hôpital, obtenemos

\underset{x \to \infty}{lím} ln y = \underset{x \to \infty}{lím} \frac{ln x}{x} = \underset{x \to \infty}{lím} \frac{1 / x}{1} = 0 .

Por lo tanto, $\underset{x \to \infty}{lím} ln y = 0 .$ Dado que la función logarítmica natural es continua, concluimos que

ln (\underset{x \to \infty}{lím} y) = 0,

lo que lleva a

\underset{x \to \infty}{lím} y = \underset{x \to \infty}{lím} \frac{ln x}{x} = e^{0} = 1 .

Por lo tanto,

\underset{x \to \infty}{lím} x^{1 / x} = 1 .

Punto de control 4.42

Evalúe $\underset{x \to \infty}{lím} x^{1 / ln (x)} .$

Ejemplo 4.44

Forma indeterminada del tipo $0^{0}$

Evalúe $\underset{x \to 0^{+}}{lím} x^{sen x} .$

Solución

Supongamos que

y = x^{sen x} .

Por lo tanto,

ln y = ln (x^{sen x}) = sen x ln x .

Ahora evaluamos $\underset{x \to 0^{+}}{lím} sen x ln x .$ Dado que $\underset{x \to 0^{+}}{lím} sen x = 0$ y $\underset{x \to 0^{+}}{lím} ln x = − \infty,$ tenemos la forma indeterminada $0 . \infty .$ Para aplicar la regla de L'Hôpital, tenemos que reescribir $sen x ln x$ como fracción. Podríamos escribir

sen x ln x = \frac{sen x}{1 / ln x}

o

sen x ln x = \frac{ln x}{1 / sen x} = \frac{ln x}{csc x} .

Consideremos la primera opción. En este caso, al aplicar la regla de L'Hôpital, obtendríamos

\underset{x \to 0^{+}}{lím} sen x ln x = \underset{x \to 0^{+}}{lím} \frac{sen x}{1 / ln x} = \underset{x \to 0^{+}}{lím} \frac{cos x}{−1 / (x {(ln x)}^{2})} = \underset{x \to 0^{+}}{lím} (− x {(ln x)}^{2} cos x) .

Desafortunadamente, no solo tenemos otra expresión que implica la forma indeterminada $0 . \infty,$ sino que el nuevo límite es aún más complicado de evaluar que aquel con el que empezamos. En su lugar, probamos la segunda opción. Al escribir

sen x ln x = \frac{ln x}{1 / sen x} = \frac{ln x}{csc x},

y aplicar la regla de L'Hôpital, obtenemos

\underset{x \to 0^{+}}{lím} sen x ln x = \underset{x \to 0^{+}}{lím} \frac{ln x}{csc x} = \underset{x \to 0^{+}}{lím} \frac{1 / x}{− csc x cot x} = \underset{x \to 0^{+}}{lím} \frac{−1}{x csc x cot x} .

Si utilizamos el hecho de que $csc x = \frac{1}{sen x}$ y $cot x = \frac{cos x}{sen x},$ podemos reescribir la expresión del lado derecho como

\underset{x \to 0^{+}}{lím} \frac{− {sen}^{2} x}{x cos x} = \underset{x \to 0^{+}}{lím} [\frac{sen x}{x} . (− tan x)] = (\underset{x \to 0^{+}}{lím} \frac{sen x}{x}) . (\underset{x \to 0^{+}}{lím} (− tan x)) = 1.0 = 0 .

Concluimos que $\underset{x \to 0^{+}}{lím} ln y = 0 .$ Por lo tanto, $ln (\underset{x \to 0^{+}}{lím} y) = 0$ y tenemos

\underset{x \to 0^{+}}{lím} y = \underset{x \to 0^{+}}{lím} x^{sen x} = e^{0} = 1 .

Por lo tanto,

\underset{x \to 0^{+}}{lím} x^{sen x} = 1 .

Punto de control 4.43

Evalúe $\underset{x \to 0^{+}}{lím} x^{x} .$

Tasas de crecimiento de las funciones

Supongamos que las funciones $f$ y $g$ ambas se acercan al infinito como $x \to \infty .$ Aunque los valores de ambas funciones se vuelven arbitrariamente grandes a medida que los valores de $x$ se hacen lo suficientemente grandes, a veces una función crece más rápido que la otra. Por ejemplo, $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = x^{3}$ ambas se acercan al infinito como $x \to \infty .$ Sin embargo, como se muestra en la siguiente tabla, los valores de $x^{3}$ crecen mucho más rápido que los valores de $x^{2} .$

$x$	$10$	$100$	$1.000$	$10.000$
$f (x) = x^{2}$	$100$	$10.000$	$1.000.000$	$100.000.000$
$g (x) = x^{3}$	$1.000$	$1.000.000$	$1.000.000.000$	$1.000.000.000.000$

Tabla 4.7 Comparación de las tasas de crecimiento de

x^{2}

y

x^{3}

De hecho,

\underset{x \to \infty}{lím} \frac{x^{3}}{x^{2}} = \underset{x \to \infty}{lím} x = \infty . o, de forma equivalente, \underset{x \to \infty}{lím} \frac{x^{2}}{x^{3}} = \underset{x \to \infty}{lím} \frac{1}{x} = 0 .

En consecuencia, decimos que $x^{3}$ crece más rápidamente que $x^{2}$ cuando $x \to \infty .$ Por otro lado, para $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = 3 x^{2} + 4 x + 1,$ aunque los valores de $g (x)$ son siempre mayores que los valores de $f (x)$ para $x > 0,$ cada valor de $g (x)$ es aproximadamente tres veces el valor correspondiente de $f (x)$ cuando $x \to \infty,$ como se muestra en la siguiente tabla. De hecho,

\underset{x \to \infty}{lím} \frac{x^{2}}{3 x^{2} + 4 x + 1} = \frac{1}{3} .

$x$	$10$	$100$	$1.000$	$10.000$
$f (x) = x^{2}$	$100$	$10.000$	$1.000.000$	$100.000.000$
$g (x) = 3 x^{2} + 4 x + 1$	$341$	$30.401$	$3004001$	$300.040.001$

Tabla 4.8 Comparación de las tasas de crecimiento de

x^{2}

y

3 x^{2} + 4 x + 1

En este caso, decimos que $x^{2}$ y $3 x^{2} + 4 x + 1$ crecen a la misma tasa que $x \to \infty .$

En términos más generales, supongamos que $f$ y $g$ son dos funciones que se aproximan al infinito dado que $x \to \infty .$ Decimos $g$ crece más rápidamente que $f$ cuando $x \to \infty$ si

\underset{x \to \infty}{lím} \frac{g (x)}{f (x)} = \infty; o, de forma equivalente, \underset{x \to \infty}{lím} \frac{f (x)}{g (x)} = 0 .

Por otro lado, si existe una constante $M \neq 0$ tal que

\underset{x \to \infty}{lím} \frac{f (x)}{g (x)} = M,

decimos que $f$ y $g$ crecen a la misma tasa que $x \to \infty .$

A continuación veremos cómo utilizar la regla de L'Hôpital para comparar las tasas de crecimiento de las funciones potencia, exponencial y logarítmica.

Ejemplo 4.45

Comparación de las tasas de crecimiento de $ln (x),$ $x^{2},$ y $e^{x}$

Para cada uno de los siguientes pares de funciones, utilice la regla de L'Hôpital para evaluar $\underset{x \to \infty}{lím} (\frac{f (x)}{g (x)}) .$

$f (x) = x^{2} y g (x) = e^{x}$
$f (x) = ln (x) y g (x) = x^{2}$

Solución

Dado que $\underset{x \to \infty}{lím} x^{2} = \infty$ y $\underset{x \to \infty}{lím} e^{x} = \infty,$ podemos utilizar la regla de L'Hôpital para evaluar $\underset{x \to \infty}{lím} [\frac{x^{2}}{e^{x}}] .$ Obtenemos

$\underset{x \to \infty}{lím} \frac{x^{2}}{e^{x}} = \underset{x \to \infty}{lím} \frac{2 x}{e^{x}} .$

Dado que $\underset{x \to \infty}{lím} 2 x = \infty$ y $\underset{x \to \infty}{lím} e^{x} = \infty,$ podemos aplicar de nuevo la regla de L'Hôpital. Dado que

$\underset{x \to \infty}{lím} \frac{2 x}{e^{x}} = \underset{x \to \infty}{lím} \frac{2}{e^{x}} = 0,$

concluimos que

$\underset{x \to \infty}{lím} \frac{x^{2}}{e^{x}} = 0 .$

Por lo tanto, $e^{x}$ crece más rápidamente que $x^{2}$ cuando $x \to \infty$ (Vea la Figura 4.73 y la Tabla 4.9)

Figura 4.73 Una función exponencial crece más rápido que una función potencia.

$x$ $5$ $10$ $15$ $20$

$x^{2}$ $25$ $100$ $225$ $400$

$e^{x}$ $148$ $22026$ $3269017$ $485165195$

Tabla 4.9 Tasas de crecimiento de una función potencia y una función exponencial.
Dado que $\underset{x \to \infty}{lím} ln x = \infty$ y $\underset{x \to \infty}{lím} x^{2} = \infty,$ podemos utilizar la regla de L'Hôpital para evaluar $\underset{x \to \infty}{lím} \frac{ln x}{x^{2}} .$ Obtenemos

$\underset{x \to \infty}{lím} \frac{ln x}{x^{2}} = \underset{x \to \infty}{lím} \frac{1 / x}{2 x} = \underset{x \to \infty}{lím} \frac{1}{2 x^{2}} = 0 .$

Por lo tanto, $x^{2}$ crece más rápidamente que $ln x$ a medida que $x \to \infty$ (vea la Figura 4.74 y la Tabla 4.10)

Figura 4.74 Una función potencia crece más rápido que una función logarítmica.

$x$ $10$ $100$ $1.000$ $10.000$

$ln (x)$ $2,303$ $4,605$ $6,908$ $9,210$

$x^{2}$ $100$ $10.000$ $1.000.000$ $100.000.000$

Tabla 4.10 Tasas de crecimiento de una función potencia y de una función logarítmica

Punto de control 4.44

Compare las tasas de crecimiento de $x^{100}$ y $2^{x} .$

Utilizando las mismas ideas que en el Ejemplo 4.45a. no es difícil demostrar que $e^{x}$ crece más rápidamente que $x^{p}$ para cualquier $p > 0 .$ En la Figura 4.75 y la Tabla 4.11, comparamos $e^{x}$ con la $x^{3}$ y $x^{4}$ cuando $x \to \infty .$

Esta imagen tiene dos figuras marcadas como a y b. En la figura a, se grafican las funciones y = ex y y = x3. Es evidente que ex aumenta más rápidamente que x3. En la figura b, se grafican las funciones y = ex y y = x4. Es obvio que ex aumenta mucho más rápido que x4, pero el punto en el que esto ocurre está más a la derecha que en el caso de x3.

Figura 4.75 La función exponencial

e^{x}

crece más rápido que

x^{p}

para cualquier

p > 0 .

(a) Una comparación de

e^{x}

con la

x^{3} .

(b) Una comparación de

e^{x}

con la

x^{4} .

Del mismo modo, no es difícil demostrar que $x^{p}$ crece más rápidamente que $ln x$ para cualquier $p > 0 .$ En la Figura 4.76 y la Tabla 4.12, comparamos $ln x$ con la $\sqrt[3]{x}$ y $\sqrt{x} .$

Esta figura muestra y = la raíz cuadrada de x, y = la raíz cúbica de x, y y = ln(x). Es evidente que y = ln(x) crece más lentamente que cualquiera de estas funciones.

Figura 4.76 La función

y = ln (x)

crece más lentamente que

x^{p}

para cualquier

p > 0

cuando

x \to \infty .

Sección 4.8 ejercicios

En los siguientes ejercicios, evalúe el límite.

356.

Evalúe el límite $\underset{x \to \infty}{lím} \frac{e^{x}}{x} .$

357.

Evalúe el límite $\underset{x \to \infty}{lím} \frac{e^{x}}{x^{k}} .$

358.

Evalúe el límite $\underset{x \to \infty}{lím} \frac{ln x}{x^{k}} .$

359.

Evalúe el límite $\underset{x \to a}{lím} \frac{x - a}{x^{2} - a^{2}}, a \neq 0$ .

360.

Evalúe el límite $\underset{x \to a}{lím} \frac{x - a}{x^{3} - a^{3}}, a \neq 0$ .

361.

Evalúe el límite $\underset{x \to a}{lím} \frac{x - a}{x^{n} - a^{n}}, a \neq 0$ .

En los siguientes ejercicios, determine si puede aplicar directamente la regla de L'Hôpital. Explique por qué sí o por qué no. A continuación, indique si hay alguna forma de modificar el límite para poder aplicar la regla de L'Hôpital.

362.

$\underset{x \to 0^{+}}{lím} x^{2} ln x$

363.

$\underset{x \to \infty}{lím} x^{1 / x}$

364.

$\underset{x \to 0}{lím} x^{2 / x}$

365.

$\underset{x \to 0}{lím} \frac{x^{2}}{1 / x}$

366.

$\underset{x \to \infty}{lím} \frac{e^{x}}{x}$

En los siguientes ejercicios, evalúe los límites con la regla de L'Hôpital o con los métodos previamente aprendidos.

367.

$\underset{x \to 3}{lím} \frac{x^{2} - 9}{x - 3}$

368.

$\underset{x \to 3}{lím} \frac{x^{2} - 9}{x + 3}$

369.

$\underset{x \to 0}{lím} \frac{{(1 + x)}^{−2} - 1}{x}$

370.

$\underset{x \to π / 2}{lím} \frac{cos x}{\frac{π}{2} - x}$

371.

$\underset{x \to π}{lím} \frac{x - π}{sen x}$

372.

$\underset{x \to 1}{lím} \frac{x - 1}{sen x}$

373.

$\underset{x \to 0}{lím} \frac{{(1 + x)}^{n} - 1}{x}$

374.

$\underset{x \to 0}{lím} \frac{{(1 + x)}^{n} - 1 - n x}{x^{2}}$

375.

$\underset{x \to 0}{lím} \frac{sen x - tan x}{x^{3}}$

376.

$\underset{x \to 0}{lím} \frac{\sqrt{1 + x} - \sqrt{1 - x}}{x}$

377.

$\underset{x \to 0}{lím} \frac{e^{x} - x - 1}{x^{2}}$

378.

$\underset{x \to 0^{+}}{lím} \frac{tan x}{\sqrt{x}}$

379.

$\underset{x \to 1}{lím} \frac{x - 1}{ln x}$

380.

$\underset{x \to 0}{lím} {(x + 1)}^{1 / x}$

381.

$\underset{x \to 1}{lím} \frac{\sqrt{x} - \sqrt[3]{x}}{x - 1}$

382.

$\underset{x \to 0^{+}}{lím} x^{2 x}$

383.

$\underset{x \to \infty}{lím} x sen (\frac{1}{x})$ grandes.

384.

$\underset{x \to 0}{lím} \frac{sen x - x}{x^{2}}$

385.

$\underset{x \to 0^{+}}{lím} x ln (x^{4})$ grandes.

386.

$\underset{x \to \infty}{lím} (x - e^{x})$ grandes.

387.

$\underset{x \to \infty}{lím} x^{2} e^{– x}$

388.

$\underset{x \to 0}{lím} \frac{3^{x} - 2^{x}}{x}$

389.

$\underset{x \to 0}{lím} \frac{1 + 1 / x}{1 - 1 / x}$

390.

$\underset{x \to π / 4}{lím} (1 - tan x) cot x$

391.

$\underset{x \to \infty}{lím} x e^{1 / x}$

392.

$\underset{x \to 0^{+}}{lím} x^{1 / cos x}$

393.

$\underset{x \to 0^{+}}{lím} x^{1 / x}$

394.

$\underset{x \to 0^{-}}{lím} {(1 - \frac{1}{x})}^{x}$

395.

$\underset{x \to \infty}{lím} {(1 - \frac{1}{x})}^{x}$

En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora para graficar la función y estimar el valor del límite, luego use la regla de L'Hôpital para encontrar el límite directamente.

396.

[T] $\underset{x \to 0}{lím} \frac{e^{x} - 1}{x}$

397.

[T] $\underset{x \to 0}{lím} x sen (\frac{1}{x})$ grandes.

398.

[T] $\underset{x \to 1}{lím} \frac{x - 1}{1 - cos (π x)}$

399.

[T] $\underset{x \to 1}{lím} \frac{e^{(x - 1)} - 1}{x - 1}$

400.

[T] $\underset{x \to 1}{lím} \frac{{(x - 1)}^{2}}{ln x}$

401.

[T] $\underset{x \to π}{lím} \frac{1 + cos x}{sen x}$

402.

[T] $\underset{x \to 0}{lím} (csc x - \frac{1}{x})$

403.

[T] $\underset{x \to 0^{+}}{lím} tan (x^{x})$ grandes.

404.

[T] $\underset{x \to 0^{+}}{lím} \frac{ln x}{sen x}$

405.

[T] $\underset{x \to 0}{lím} \frac{e^{x} - e^{– x}}{x}$

$x$	$5$	$10$	$15$	$20$
$x^{2}$	$25$	$100$	$225$	$400$
$e^{x}$	$148$	$22026$	$3269017$	$485165195$

$x$	$5$	$10$	$15$	$20$
$x^{3}$	$125$	$1.000$	$3375$	$8.000$
$x^{4}$	$625$	$10.000$	$50.625$	$160.000$
$e^{x}$	$148$	$22026$	$3269017$	$485165195$

$x$	$10$	$100$	$1.000$	$10.000$
$ln (x)$	$2,303$	$4,605$	$6,908$	$9,210$
$\sqrt[3]{x}$	$2,154$	$4,642$	$10$	$21,544$
$\sqrt{x}$	$3,162$	$10$	$31,623$	$100$

4.8 La regla de L'Hôpital

Aplicación de la regla de L'Hôpital

Regla de L'Hôpital (Caso 0/0)

Prueba

Aplicación de la regla de L'Hôpital (caso 0/0)

Solución

La regla de L'Hôpital (∞/∞(∞/∞ Caso)

Aplicación de la regla de L'Hôpital (∞/∞(∞/∞ Caso)

Solución

Casos en que no se aplica la regla de L'Hôpital

Solución

Otras formas indeterminadas

Forma indeterminada del tipo 0.∞0.∞

Forma indeterminada del tipo 0.∞0.∞

Solución

Forma indeterminada del tipo ∞−∞∞−∞

Forma indeterminada del tipo ∞−∞∞−∞

Solución

Forma indeterminada del tipo ∞0∞0

Solución

Forma indeterminada del tipo 0000

Solución

Tasas de crecimiento de las funciones

Comparación de las tasas de crecimiento de ln(x),ln(x), x2 ,x2 , y exex

Solución

Sección 4.8 ejercicios

La regla de L'Hôpital $(\infty / \infty$ Caso)

Aplicación de la regla de L'Hôpital $(\infty / \infty$ Caso)

Forma indeterminada del tipo $0 . \infty$

Forma indeterminada del tipo $0 . \infty$

Forma indeterminada del tipo $\infty - \infty$

Forma indeterminada del tipo $\infty - \infty$

Forma indeterminada del tipo $\infty^{0}$

Forma indeterminada del tipo $0^{0}$

Comparación de las tasas de crecimiento de $ln (x),$ $x^{2},$ y $e^{x}$