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Cálculo volumen 1

4.8 La regla de L'Hôpital

Cálculo volumen 14.8 La regla de L'Hôpital

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Índice
  1. Prefacio
  2. 1 Funciones y gráficos
    1. Introducción
    2. 1.1 Repaso de las funciones
    3. 1.2 Clases básicas de funciones
    4. 1.3 Funciones trigonométricas
    5. 1.4 Funciones inversas
    6. 1.5 Funciones exponenciales y logarítmicas
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  3. 2 Límites
    1. Introducción
    2. 2.1 Un repaso previo del cálculo
    3. 2.2 El límite de una función
    4. 2.3 Las leyes de los límites
    5. 2.4 Continuidad
    6. 2.5 La definición precisa de un límite
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  4. 3 Derivadas
    1. Introducción
    2. 3.1 Definir la derivada
    3. 3.2 La derivada como función
    4. 3.3 Reglas de diferenciación
    5. 3.4 Las derivadas como tasas de cambio
    6. 3.5 Derivadas de funciones trigonométricas
    7. 3.6 La regla de la cadena
    8. 3.7 Derivadas de funciones inversas
    9. 3.8 Diferenciación implícita
    10. 3.9 Derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas
    11. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  5. 4 Aplicaciones de las derivadas
    1. Introducción
    2. 4.1 Tasas relacionadas
    3. 4.2 Aproximaciones lineales y diferenciales
    4. 4.3 Máximos y mínimos
    5. 4.4 El teorema del valor medio
    6. 4.5 Las derivadas y la forma de un gráfico
    7. 4.6 Límites al infinito y asíntotas
    8. 4.7 Problemas de optimización aplicados
    9. 4.8 La regla de L'Hôpital
    10. 4.9 Método de Newton
    11. 4.10 Antiderivadas
    12. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  6. 5 Integración
    1. Introducción
    2. 5.1 Aproximación de áreas
    3. 5.2 La integral definida
    4. 5.3 El teorema fundamental del cálculo
    5. 5.4 Fórmulas de integración y el teorema del cambio neto
    6. 5.5 Sustitución
    7. 5.6 Integrales con funciones exponenciales y logarítmicas
    8. 5.7 Integrales que resultan en funciones trigonométricas inversas
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  7. 6 Aplicaciones de la integración
    1. Introducción
    2. 6.1 Áreas entre curvas
    3. 6.2 Determinar los volúmenes mediante el corte
    4. 6.3 Volúmenes de revolución: capas cilíndricas
    5. 6.4 Longitud del arco de una curva y superficie
    6. 6.5 Aplicaciones físicas
    7. 6.6 Momentos y centros de masa
    8. 6.7 Integrales, funciones exponenciales y logaritmos
    9. 6.8 Crecimiento y decaimiento exponencial
    10. 6.9 Cálculo de las funciones hiperbólicas
    11. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  8. A Tabla de integrales
  9. B Tabla de derivadas
  10. C Repaso de Precálculo
  11. Clave de respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
  12. Índice

Objetivos de aprendizaje

  • 4.8.1 Reconocer cuándo aplicar la regla de L'Hôpital.
  • 4.8.2 Identificar las formas indeterminadas producidas por cocientes, productos, restas y potencias, y aplicar la regla de L'Hôpital en cada caso.
  • 4.8.3 Describir las tasas de crecimiento relativas de las funciones.

En esta sección, examinaremos una poderosa herramienta para evaluar los límites. Esta herramienta, conocida como la regla de L'Hôpital, utiliza derivadas para calcular los límites. Con esta regla, podremos evaluar muchos límites que aún no hemos podido determinar. En vez de basarnos en pruebas numéricas para conjeturar que existe un límite, demostraremos definitivamente que existe un límite y determinaremos su valor exacto.

Aplicación de la regla de L'Hôpital

La regla de L'Hôpital puede utilizarse para evaluar límites que implican el cociente de dos funciones. Considere

límxaf(x)g(x).límxaf(x)g(x).

Si límxaf(x)=L1ylímxag(x)=L2 0,límxaf(x)=L1ylímxag(x)=L2 0, entonces

límxaf(x)g(x)=L1L2 .límxaf(x)g(x)=L1L2 .

Sin embargo, ¿qué ocurre si límxaf(x)=0límxaf(x)=0 y límxag(x)=0?límxag(x)=0? A esta la llamamos una de las formas indeterminadas, del tipo 00.00. Se considera una forma indeterminada porque no podemos determinar el comportamiento exacto de f(x)g(x)f(x)g(x) cuando xaxa sin mayor análisis. Ya hemos visto ejemplos de esto en el texto. Por ejemplo, considere

límx2 x2 4x2 ylímx0senxx.límx2 x2 4x2 ylímx0senxx.

En el primero de estos ejemplos, podemos evaluar el límite factorizando el numerador y escribiendo

límx2 x2 4x2 =límx2 (x+2 )(x2 )x2 =límx2 (x+2 )=2 +2 =4.límx2 x2 4x2 =límx2 (x+2 )(x2 )x2 =límx2 (x+2 )=2 +2 =4.

Para límx0senxxlímx0senxx pudimos demostrar, mediante un argumento geométrico, que

límx0senxx=1.límx0senxx=1.

Aquí utilizamos una técnica diferente para evaluar este tipo de límites, que no solo proporciona una manera más fácil de evaluarlos, sino que también, y esto es lo más importante, nos brinda una manera de evaluar muchos otros límites que no podíamos calcular anteriormente.

La idea que subyace a la regla de L'Hôpital puede explicarse mediante aproximaciones lineales locales. Consideremos dos funciones diferenciables ff y gg de manera que límxaf(x)=0=límxag(x)límxaf(x)=0=límxag(x) y tal que g(a)0g(a)0 Para xx cerca de a,a, podemos escribir

f(x)f(a)+f(a)(xa)f(x)f(a)+f(a)(xa)

y

g(x)g(a)+g(a)(xa).g(x)g(a)+g(a)(xa).

Por lo tanto,

f(x)g(x)f(a)+f(a)(xa)g(a)+g(a)(xa).f(x)g(x)f(a)+f(a)(xa)g(a)+g(a)(xa).
Dos funciones y = f(x) y y = g(x) se dibujan de forma que se cruzan en un punto sobre x = a. También se dibujan las aproximaciones lineales de estas dos funciones y = f(a) + f'(a)(x - a) y y = g(a) + g'(a)(x - a).
Figura 4.71 Si los valores de lím x a f ( x ) = lím x a g ( x ) , lím x a f ( x ) = lím x a g ( x ) , entonces la relación f ( x ) / g ( x ) f ( x ) / g ( x ) es aproximadamente igual a la relación de sus aproximaciones lineales cerca de a . a .

Dado que ff es diferenciable en a,a, entonces ff es continua en a,a, y por lo tanto f(a)=límxaf(x)=0.f(a)=límxaf(x)=0. Del mismo modo, g(a)=límxag(x)=0.g(a)=límxag(x)=0. Si además suponemos que ff y gg son continuas en x=a,x=a, entonces f(a)=límxaf(x)f(a)=límxaf(x) y g(a)=límxag(x).g(a)=límxag(x). Al utilizar estas ideas, concluimos que

límxaf(x)g(x)=límxaf(x)(xa)g(x)(xa)=límxaf(x)g(x).límxaf(x)g(x)=límxaf(x)(xa)g(x)(xa)=límxaf(x)g(x).

Tenga en cuenta que la suposición de que ff y gg son continuas en aa y g(a)0g(a)0 puede relajarse. Enunciamos la regla de L'Hôpital formalmente para la forma indeterminada 00.00. También hay que tener en cuenta que la notación 0000 no significa que estemos dividiendo realmente cero entre cero. Más bien, utilizamos la notación 0000 para representar un cociente de límites, cada uno de los cuales es cero.

Teorema 4.12

Regla de L'Hôpital (Caso 0/0)

Supongamos que ff y gg son funciones diferenciables sobre un intervalo abierto que contiene a,a, excepto posiblemente en a.a. Si límxaf(x)=0límxaf(x)=0 y límxag(x)=0,límxag(x)=0, entonces

límxaf(x)g(x)=límxaf(x)g(x),límxaf(x)g(x)=límxaf(x)g(x),

asumiendo que el límite de la derecha existe o es o .. Este resultado también es válido si consideramos límites unilaterales, o si a=y.a=y.

Prueba

Proporcionamos una demostración de este teorema en el caso especial en el que f,g,f,f,g,f, y gg son todos continuos en un intervalo abierto que contiene a.a. En ese caso, ya que límxaf(x)=0=límxag(x)límxaf(x)=0=límxag(x) y ff y gg son continuas en a,a, se deduce que f(a)=0=g(a).f(a)=0=g(a). Por lo tanto,

límxaf(x)g(x)=límxaf(x)f(a)g(x)g(a)dado quef(a)=0=g(a)=límxaf(x)f(a)xag(x)g(a)xaálgebra=límxaf(x)f(a)xalímxag(x)g(a)xalímite de un cociente=f(a)g(a)definición de la derivada=límxaf(x)límxag(x)continuidad defyg=límxaf(x)g(x).límite de un cocientelímxaf(x)g(x)=límxaf(x)f(a)g(x)g(a)dado quef(a)=0=g(a)=límxaf(x)f(a)xag(x)g(a)xaálgebra=límxaf(x)f(a)xalímxag(x)g(a)xalímite de un cociente=f(a)g(a)definición de la derivada=límxaf(x)límxag(x)continuidad defyg=límxaf(x)g(x).límite de un cociente

Observe que la regla de L'Hôpital establece que podemos calcular el límite de un cociente fgfg considerando el límite del cociente de las derivadas fg.fg. Es importante percatarse de que no estamos calculando la derivada del cociente fg.fg.

Ejemplo 4.38

Aplicación de la regla de L'Hôpital (caso 0/0)

Evalúe cada uno de los siguientes límites aplicando la regla de L'Hôpital.

  1. límx01cosxxlímx01cosxx
  2. límx1sen(πx)lnxlímx1sen(πx)lnx
  3. límxe1/x11/xlímxe1/x11/x
  4. límx0senxxx2 límx0senxxx2

Punto de control 4.37

Evalúe límx0xtanx.límx0xtanx.

También podemos utilizar la regla de L'Hôpital para evaluar los límites de los cocientes f(x)g(x)f(x)g(x) en la que f(x)±f(x)± y g(x)±.g(x)±. Los límites de esta forma se clasifican como formas indeterminadas del tipo /./. Note de nuevo que en realidad no estamos dividiendo entre .. Dado que no es un número real, eso es imposible; más bien, /./. se utiliza para representar un cociente de límites, cada uno de los cuales es o ..

Teorema 4.13

La regla de L'Hôpital (/(/ Caso)

Supongamos que ff y gg son funciones diferenciables sobre un intervalo abierto que contiene a,a, excepto posiblemente en a.a. Supongamos que límxaf(x)=límxaf(x)= (o )) y límxag(x)=límxag(x)= (o ).). Entonces,

límxaf(x)g(x)=límxaf(x)g(x),límxaf(x)g(x)=límxaf(x)g(x),

asumiendo que el límite de la derecha existe o es o .. Este resultado también es válido si el límite es infinito, si a=a= o ,, o el límite es unilateral.

Ejemplo 4.39

Aplicación de la regla de L'Hôpital (/(/ Caso)

Evalúe cada uno de los siguientes límites aplicando la regla de L'Hôpital.

  1. límx3x+52 x+1límx3x+52 x+1
  2. límx0+lnxcotxlímx0+lnxcotx

Punto de control 4.38

Evalúe límxlnx5x.límxlnx5x.

Como se ha dicho, la regla de L'Hôpital es una herramienta muy útil para evaluar los límites. Sin embargo, es importante recordar que para aplicar la regla de L'Hôpital a un cociente f(x)g(x),f(x)g(x), es fundamental que el límite de f(x)g(x)f(x)g(x) sea de la forma 0000 o /./. Considere el siguiente ejemplo.

Ejemplo 4.40

Casos en que no se aplica la regla de L'Hôpital

Considere que límx1x2 +53x+4.límx1x2 +53x+4. Demuestre que el límite no se puede evaluar aplicando la regla de L'Hôpital.

Punto de control 4.39

Explique por qué no podemos aplicar la regla de L'Hôpital para evaluar límx0+cosxx.límx0+cosxx. Evalúe límx0+cosxxlímx0+cosxx por otros medios.

Otras formas indeterminadas

La regla de L'Hôpital es muy útil para evaluar los límites que implican las formas indeterminadas 0000 y /./. Sin embargo, también podemos utilizar la regla de L'Hôpital para ayudar a evaluar los límites que involucran otras formas indeterminadas que surgen al evaluar los límites. Las expresiones 0.,0., ,, 1,1, 0,0, y 0000 se consideran formas indeterminadas. Estas expresiones no son números reales. Más bien, representan formas que surgen al intentar evaluar ciertos límites. A continuación nos daremos cuenta de por qué son formas indeterminadas y luego entenderemos cómo utilizar la regla de L'Hôpital en estos casos. La idea clave es que debemos reescribir las formas indeterminadas de tal manera que lleguemos a la forma indeterminada 0000 o /./.

Forma indeterminada del tipo 0.0.

Supongamos que queremos evaluar límxa(f(x).g(x)),límxa(f(x).g(x)), donde f(x)0f(x)0 y g(x)g(x) (o )) cuando xa.xa. Dado que un término del producto se aproxima a cero pero el otro término se hace arbitrariamente grande (en magnitud), al producto le puede pasar cualquier cosa. Utilizamos la notación 0.0. para denotar la forma que surge en esta situación. La expresión 0.0. se considera indeterminada porque sin más análisis no podemos determinar el comportamiento exacto del producto f(x)g(x)f(x)g(x) cuando xa.xa. Por ejemplo, supongamos que nn es un número entero positivo y considere

f(x)=1(xn+1)yg(x)=3x2 .f(x)=1(xn+1)yg(x)=3x2 .

Dado que x,x, f(x)0f(x)0 y g(x).g(x). Sin embargo, el límite cuando xx de f(x)g(x)=3x2 (xn+1)f(x)g(x)=3x2 (xn+1) varía, dependiendo de n.n. Si n=2 ,n=2 , entonces límxf(x)g(x)=3.límxf(x)g(x)=3. Si n=1,n=1, entonces límxf(x)g(x)=.límxf(x)g(x)=. Si nn =3,nn =3, entonces límxf(x)g(x)=0.límxf(x)g(x)=0. Aquí consideramos otro límite que implica la forma indeterminada 0.0. y mostramos cómo reescribir la función como cociente para utilizar la regla de L'Hôpital.

Ejemplo 4.41

Forma indeterminada del tipo 0.0.

Evalúe límx0+xlnx.límx0+xlnx.

Punto de control 4.40

Evalúe límx0xcotx.límx0xcotx.

Forma indeterminada del tipo

Otro tipo de forma indeterminada es .. Considere el siguiente ejemplo. Supongamos que nn es un número entero positivo y que f(x)=3xnf(x)=3xn y g(x)=3x2 +5.g(x)=3x2 +5. Dado que x,x, f(x)f(x) y g(x).g(x). Estamos interesados en límx(f(x)g(x)).límx(f(x)g(x)). Dependiendo de si f(x)f(x) crece más rápido, g(x)g(x) crece más rápido, o crecen a la misma tasa, y como veremos a continuación, cualquier cosa puede suceder en este límite. Dado que f(x)f(x) y g(x),g(x), escribimos para denotar la forma de este límite. Al igual que con nuestras otras formas indeterminadas, no tiene ningún significado por sí mismo y debemos hacer más análisis para determinar el valor del límite. Por ejemplo, supongamos que el exponente nn en la función f(x)=3xnf(x)=3xn es nn =3,nn =3, entonces

límx(f(x)g(x))=límx(3x33x2 5)=.límx(f(x)g(x))=límx(3x33x2 5)=.

Por otro lado, si n=2 ,n=2 , entonces

límx(f(x)g(x))=límx(3x2 3x2 5)=−5.límx(f(x)g(x))=límx(3x2 3x2 5)=−5.

Sin embargo, si n=1,n=1, entonces

límx(f(x)g(x))=límx(3x3x2 5)=.límx(f(x)g(x))=límx(3x3x2 5)=.

Por lo tanto, el límite no puede determinarse considerando únicamente .. A continuación vemos cómo reescribir una expresión que implica la forma indeterminada como fracción para aplicar la regla de L'Hôpital.

Ejemplo 4.42

Forma indeterminada del tipo

Evalúe límx0+(1x2 1tanx).límx0+(1x2 1tanx).

Punto de control 4.41

Evalúe límx0+(1x1senx).límx0+(1x1senx).

Otro tipo de forma indeterminada que surge al evaluar límites involucra a los exponentes. Las expresiones 00,00, 0,0, y 11 son todas formas indeterminadas. Por sí solas, estas expresiones no tienen sentido porque no podemos evaluarlas como lo haríamos con una expresión que incluya números reales. Más bien, estas expresiones representan formas que surgen al encontrar los límites. Ahora examinaremos cómo podemos utilizar la regla de L'Hôpital para evaluar los límites que implican estas formas indeterminadas.

Dado que la regla de L'Hôpital se aplica a los cocientes, utilizamos la función logarítmica natural y sus propiedades para reducir un problema que evalúa un límite que involucra exponentes a un problema relacionado que involucra un límite de un cociente. Por ejemplo, supongamos que queremos evaluar límxaf(x)g(x)límxaf(x)g(x) y llegamos a la forma indeterminada 0.0. (Las formas indeterminadas 0000 y 11 se pueden manejar de manera similar) Procedamos de la siguiente manera. Supongamos que

y=f(x)g(x).y=f(x)g(x).

Entonces,

lny=ln(f(x)g(x))=g(x)ln(f(x)).lny=ln(f(x)g(x))=g(x)ln(f(x)).

Por lo tanto,

límxa[ln(y)]=límxa[g(x)ln(f(x))].límxa[ln(y)]=límxa[g(x)ln(f(x))].

Dado que límxaf(x)=,límxaf(x)=, sabemos que límxaln(f(x))=.límxaln(f(x))=. Por lo tanto, límxag(x)ln(f(x))límxag(x)ln(f(x)) es de la forma indeterminada 0.,0., y podemos utilizar las técnicas discutidas anteriormente para reescribir la expresión g(x)ln(f(x))g(x)ln(f(x)) de manera tal que podamos aplicar la regla de L'Hôpital. Supongamos que límxag(x)ln(f(x))=L,límxag(x)ln(f(x))=L, donde LL puede ser o .. Entonces

límxa[ln(y)]=L.límxa[ln(y)]=L.

Dado que la función logarítmica natural es continua, concluimos que

ln(límxay)=L,ln(límxay)=L,

que nos da

límxay=límxaf(x)g(x)=eL.límxay=límxaf(x)g(x)=eL.

Ejemplo 4.43

Forma indeterminada del tipo 00

Evalúe límxx1/x.límxx1/x.

Punto de control 4.42

Evalúe límxx1/ln(x).límxx1/ln(x).

Ejemplo 4.44

Forma indeterminada del tipo 0000

Evalúe límx0+xsenx.límx0+xsenx.

Punto de control 4.43

Evalúe límx0+xx.límx0+xx.

Tasas de crecimiento de las funciones

Supongamos que las funciones ff y gg ambas se acercan al infinito como x.x. Aunque los valores de ambas funciones se vuelven arbitrariamente grandes a medida que los valores de xx se hacen lo suficientemente grandes, a veces una función crece más rápido que la otra. Por ejemplo, f(x)=x2 f(x)=x2 y g(x)=x3g(x)=x3 ambas se acercan al infinito como x.x. Sin embargo, como se muestra en la siguiente tabla, los valores de x3x3 crecen mucho más rápido que los valores de x2 .x2 .

xx 1010 100100 1.0001.000 10.00010.000
f(x)=x2 f(x)=x2 100100 10.00010.000 1.000.0001.000.000 100.000.000100.000.000
g(x)=x3g(x)=x3 1.0001.000 1.000.0001.000.000 1.000.000.0001.000.000.000 1.000.000.000.0001.000.000.000.000
Tabla 4.7 Comparación de las tasas de crecimiento de x 2 x 2 y x 3 x 3

De hecho,

límxx3x2 =límxx=.o, de forma equivalente,límxx2 x3=límx1x=0.límxx3x2 =límxx=.o, de forma equivalente,límxx2 x3=límx1x=0.

En consecuencia, decimos que x3x3 crece más rápidamente que x2 x2 cuando x.x. Por otro lado, para f(x)=x2 f(x)=x2 y g(x)=3x2 +4x+1,g(x)=3x2 +4x+1, aunque los valores de g(x)g(x) son siempre mayores que los valores de f(x)f(x) para x>0,x>0, cada valor de g(x)g(x) es aproximadamente tres veces el valor correspondiente de f(x)f(x) cuando x,x, como se muestra en la siguiente tabla. De hecho,

límxx2 3x2 +4x+1=13.límxx2 3x2 +4x+1=13.
xx 1010 100100 1.0001.000 10.00010.000
f(x)=x2 f(x)=x2 100100 10.00010.000 1.000.0001.000.000 100.000.000100.000.000
g(x)=3x2 +4x+1g(x)=3x2 +4x+1 341341 30.40130.401 30040013004001 300.040.001300.040.001
Tabla 4.8 Comparación de las tasas de crecimiento de x 2 x 2 y 3 x 2 + 4 x + 1 3 x 2 + 4 x + 1

En este caso, decimos que x2 x2 y 3x2 +4x+13x2 +4x+1 crecen a la misma tasa que x.x.

En términos más generales, supongamos que ff y gg son dos funciones que se aproximan al infinito dado que x.x. Decimos gg crece más rápidamente que ff cuando xx si

límxg(x)f(x)=;o, de forma equivalente,límxf(x)g(x)=0.límxg(x)f(x)=;o, de forma equivalente,límxf(x)g(x)=0.

Por otro lado, si existe una constante M0M0 tal que

límxf(x)g(x)=M,límxf(x)g(x)=M,

decimos que ff y gg crecen a la misma tasa que x.x.

A continuación veremos cómo utilizar la regla de L'Hôpital para comparar las tasas de crecimiento de las funciones potencia, exponencial y logarítmica.

Ejemplo 4.45

Comparación de las tasas de crecimiento de ln(x),ln(x), x2 ,x2 , y exex

Para cada uno de los siguientes pares de funciones, utilice la regla de L'Hôpital para evaluar límx(f(x)g(x)).límx(f(x)g(x)).

  1. f(x)=x2 yg(x)=exf(x)=x2 yg(x)=ex
  2. f(x)=ln(x)yg(x)=x2 f(x)=ln(x)yg(x)=x2

Punto de control 4.44

Compare las tasas de crecimiento de x100x100 y 2 x.2 x.

Utilizando las mismas ideas que en el Ejemplo 4.45a. no es difícil demostrar que exex crece más rápidamente que xpxp para cualquier p>0.p>0. En la Figura 4.75 y la Tabla 4.11, comparamos exex con la x3x3 y x4x4 cuando x.x.

Esta imagen tiene dos figuras marcadas como a y b. En la figura a, se grafican las funciones y = ex y y = x3. Es evidente que ex aumenta más rápidamente que x3. En la figura b, se grafican las funciones y = ex y y = x4. Es obvio que ex aumenta mucho más rápido que x4, pero el punto en el que esto ocurre está más a la derecha que en el caso de x3.
Figura 4.75 La función exponencial e x e x crece más rápido que x p x p para cualquier p > 0 . p > 0 . (a) Una comparación de e x e x con la x 3 . x 3 . (b) Una comparación de e x e x con la x 4 . x 4 .
xx 55 1010 1515 2020
x3x3 125125 1.0001.000 33753375 8.0008.000
x4x4 625625 10.00010.000 50.62550.625 160.000160.000
exex 148148 2202622026 32690173269017 485165195485165195
Tabla 4.11 Una función exponencial crece más rápido que cualquier función potencia

Del mismo modo, no es difícil demostrar que xpxp crece más rápidamente que lnxlnx para cualquier p>0.p>0. En la Figura 4.76 y la Tabla 4.12, comparamos lnxlnx con la x3x3 y x.x.

Esta figura muestra y = la raíz cuadrada de x, y = la raíz cúbica de x, y y = ln(x). Es evidente que y = ln(x) crece más lentamente que cualquiera de estas funciones.
Figura 4.76 La función y = ln ( x ) y = ln ( x ) crece más lentamente que x p x p para cualquier p > 0 p > 0 cuando x . x .
xx 1010 100100 1.0001.000 10.00010.000
ln(x)ln(x) 2,3032,303 4,6054,605 6,9086,908 9,2109,210
x3x3 2,1542,154 4,6424,642 1010 21,54421,544
xx 3,1623,162 1010 31,62331,623 100100
Tabla 4.12 Una función logarítmica crece a un ritmo más lento que cualquier función raíz

Sección 4.8 ejercicios

En los siguientes ejercicios, evalúe el límite.

356.

Evalúe el límite límxexx.límxexx.

357.

Evalúe el límite límxexxk.límxexxk.

358.

Evalúe el límite límxlnxxk.límxlnxxk.

359.

Evalúe el límite límxaxax2 a2 ,a0límxaxax2 a2 ,a0.

360.

Evalúe el límite límxaxax3a3,a0límxaxax3a3,a0.

361.

Evalúe el límite límxaxaxnan,a0límxaxaxnan,a0.

En los siguientes ejercicios, determine si puede aplicar directamente la regla de L'Hôpital. Explique por qué sí o por qué no. A continuación, indique si hay alguna forma de modificar el límite para poder aplicar la regla de L'Hôpital.

362.

lím x 0 + x 2 ln x lím x 0 + x 2 ln x

363.

lím x x 1 / x lím x x 1 / x

364.

lím x 0 x 2 / x lím x 0 x 2 / x

365.

lím x 0 x 2 1 / x lím x 0 x 2 1 / x

366.

lím x e x x lím x e x x

En los siguientes ejercicios, evalúe los límites con la regla de L'Hôpital o con los métodos previamente aprendidos.

367.

lím x 3 x 2 9 x 3 lím x 3 x 2 9 x 3

368.

lím x 3 x 2 9 x + 3 lím x 3 x 2 9 x + 3

369.

lím x 0 ( 1 + x ) −2 1 x lím x 0 ( 1 + x ) −2 1 x

370.

lím x π / 2 cos x π 2 x lím x π / 2 cos x π 2 x

371.

lím x π x π sen x lím x π x π sen x

372.

lím x 1 x 1 sen x lím x 1 x 1 sen x

373.

lím x 0 ( 1 + x ) n 1 x lím x 0 ( 1 + x ) n 1 x

374.

lím x 0 ( 1 + x ) n 1 n x x 2 lím x 0 ( 1 + x ) n 1 n x x 2

375.

lím x 0 sen x tan x x 3 lím x 0 sen x tan x x 3

376.

lím x 0 1 + x 1 x x lím x 0 1 + x 1 x x

377.

lím x 0 e x x 1 x 2 lím x 0 e x x 1 x 2

378.

lím x 0 + tan x x lím x 0 + tan x x

379.

lím x 1 x 1 ln x lím x 1 x 1 ln x

380.

lím x 0 ( x + 1 ) 1 / x lím x 0 ( x + 1 ) 1 / x

381.

lím x 1 x x 3 x 1 lím x 1 x x 3 x 1

382.

lím x 0 + x 2 x lím x 0 + x 2 x

383.

límxxsen(1x)límxxsen(1x) grandes.

384.

lím x 0 sen x x x 2 lím x 0 sen x x x 2

385.

límx0+xln(x4)límx0+xln(x4) grandes.

386.

límx(xex)límx(xex) grandes.

387.

lím x x 2 e x lím x x 2 e x

388.

lím x 0 3 x 2 x x lím x 0 3 x 2 x x

389.

lím x 0 1 + 1 / x 1 1 / x lím x 0 1 + 1 / x 1 1 / x

390.

lím x π / 4 ( 1 tan x ) cot x lím x π / 4 ( 1 tan x ) cot x

391.

lím x x e 1 / x lím x x e 1 / x

392.

lím x 0 + x 1 / cos x lím x 0 + x 1 / cos x

393.

lím x 0 + x 1 / x lím x 0 + x 1 / x

394.

lím x 0 ( 1 1 x ) x lím x 0 ( 1 1 x ) x

395.

lím x ( 1 1 x ) x lím x ( 1 1 x ) x

En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora para graficar la función y estimar el valor del límite, luego use la regla de L'Hôpital para encontrar el límite directamente.

396.

[T] límx0ex1xlímx0ex1x

397.

[T] límx0xsen(1x)límx0xsen(1x) grandes.

398.

[T] límx1x11cos(πx)límx1x11cos(πx)

399.

[T] límx1e(x1)1x1límx1e(x1)1x1

400.

[T] límx1(x1)2 lnxlímx1(x1)2 lnx

401.

[T] límxπ1+cosxsenxlímxπ1+cosxsenx

402.

[T] límx0(cscx1x)límx0(cscx1x)

403.

[T] límx0+tan(xx)límx0+tan(xx) grandes.

404.

[T] límx0+lnxsenxlímx0+lnxsenx

405.

[T] límx0exexxlímx0exexx

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