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Cálculo volumen 1

4.9 Método de Newton

Cálculo volumen 14.9 Método de Newton

Objetivos de aprendizaje

  • 4.9.1 Describir los pasos del método de Newton.
  • 4.9.2 Explicar qué significa un proceso iterativo.
  • 4.9.3 Reconocer cuando el método de Newton no funciona.
  • 4.9.4 Aplicar procesos iterativos en diversas situaciones.

En muchas áreas de la matemática pura y aplicada, nos interesa encontrar soluciones a una ecuación de la forma f(x)=0.f(x)=0. Para la mayoría de las funciones, sin embargo, es difícil (si no imposible) calcular sus ceros explícitamente. En esta sección, echamos un vistazo a una técnica que proporciona una forma muy eficiente de aproximar los ceros de las funciones. Esta técnica usa aproximaciones de rectas tangentes y está detrás del método utilizado a menudo por calculadoras y computadoras para encontrar ceros.

Descripción del método de Newton

Consideremos la tarea de encontrar las soluciones de f(x)=0.f(x)=0. Si ff es el polinomio de primer grado f(x)=ax+b,f(x)=ax+b, entonces la solución de f(x)=0f(x)=0 está dado por la fórmula x=−ba.x=−ba. Si ff es el polinomio de segundo grado f(x)=ax2 +bx+c,f(x)=ax2 +bx+c, las soluciones de f(x)=0f(x)=0 pueden hallarse utilizando la fórmula cuadrática. Sin embargo, en los polinomios de grado 33 o más, hallar raíces de ff es más complicado. Aunque existen fórmulas para los polinomios de tercer y cuarto grado, son bastante complicadas. Además, si ff es un polinomio de grado 55 o mayor, sabemos que tales fórmulas no existen. Por ejemplo, consideremos la función

f(x)=x5+8x4+4x3−2 x−7.f(x)=x5+8x4+4x3−2 x−7.

No existe ninguna fórmula que nos permita encontrar las soluciones de f(x)=0.f(x)=0. Existen dificultades similares para las funciones no polinómicas. Por ejemplo, consideremos la tarea de encontrar soluciones para tan(x)−x=0.tan(x)−x=0. No existe ninguna fórmula sencilla para las soluciones de esta ecuación. En estos casos, podemos utilizar el método de Newton para aproximar las raíces.

El método de Newton utiliza la siguiente idea para aproximar las soluciones de f(x)=0.f(x)=0. Trazando un gráfico de f,f, podemos estimar una raíz de f(x)=0.f(x)=0. Llamemos a esta estimación x0.x0. A continuación, trazamos la línea tangente a ff en x0.x0. Si f′(x0)≠0,f′(x0)≠0, esta línea tangente se cruza con el eje xx en algún momento (x1,0).(x1,0). Ahora supongamos que x1x1 es la siguiente aproximación a la raíz real. Típicamente, x1x1 está más cerca que x0x0 a una raíz real. A continuación trazamos la línea tangente a ff en x1.x1. Si f′(x1)≠0,f′(x1)≠0, esta línea tangente también se interseca con el eje xx, produciendo otra aproximación, x2 .x2 . Continuamos así, derivando una lista de aproximaciones x0,x1,x2 ,….x0,x1,x2 ,…. Normalmente, los números x0,x1,x2 ,…x0,x1,x2 ,… se acercan rápidamente a una raíz real x*,x*, como se muestra en la siguiente figura.

Esta función f(x) se dibuja con los puntos (x0, f(x0)), (x1, f(x1)) y (x2, f(x2)), marcados en la función. A partir de (x0, f(x0)), se traza una línea tangente que choca con el eje x en x1. A partir de (x0, f(x0)), se traza una línea tangente que choca con el eje x en x2. Si se trazara una línea tangente desde (x2, f(x2)), parece que se acercaría mucho a x*, que es la raíz real. Cada línea tangente trazada en este orden parece acercarse cada vez más a x*.
Figura 4.77 Las aproximaciones x0,x1,x2 ,…x0,x1,x2 ,… se acercan a la raíz real x*.x*. Las aproximaciones se obtienen mirando las rectas tangentes al gráfico de f.f.

Veamos ahora cómo calcular las aproximaciones x0,x1,x2 ,….x0,x1,x2 ,…. Si x0x0 es nuestra primera aproximación, la aproximación x1x1 se define dejando que (x1,0)(x1,0) es la intersección en xx de la línea tangente a ff en x0.x0. La ecuación de esta línea tangente viene dada por

y=f(x0)+f′(x0)(x–x0).y=f(x0)+f′(x0)(x–x0).

Por lo tanto, x1x1 deben satisfacer

f(x0)+f′(x0)(x1−x0)=0.f(x0)+f′(x0)(x1−x0)=0.

Resolviendo esta ecuación para x1,x1, concluimos que

x1=x0−f(x0)f′(x0).x1=x0−f(x0)f′(x0).

Del mismo modo, el punto (x2 ,0)(x2 ,0) es la intersección en xx de la línea tangente a ff en x1.x1. Por lo tanto, x2 x2 satisface la ecuación

x2 =x1−f(x1)f′(x1).x2 =x1−f(x1)f′(x1).

En general, para n>0,xnn>0,xn satisface

xn=xn–1−f(xn–1)f′(xn–1).xn=xn–1−f(xn–1)f′(xn–1).
(4.8)

A continuación veremos cómo hacer uso de esta técnica para aproximar la raíz del polinomio f(x)=x3−3x+1.f(x)=x3−3x+1.

Ejemplo 4.46

Encontrar la raíz de un polinomio

Utilice el método de Newton para aproximar una raíz de f(x)=x3−3x+1f(x)=x3−3x+1 en el intervalo [1,2 ].[1,2 ]. Supongamos que x0=2 x0=2 y calculemos x1,x2 ,x3,x4,x1,x2 ,x3,x4, y x5.x5.

Punto de control 4.45

Suponiendo que x0=0,x0=0, utilizaremos el método de Newton para aproximar la raíz de f(x)=x3−3x+1f(x)=x3−3x+1 en el intervalo [0,1][0,1] calculando x1x1 y x2 .x2 .

El método de Newton también puede utilizarse para aproximar raíces cuadradas. Aquí mostramos cómo aproximar 2 .2 . Este método puede ser modificado para aproximar la raíz cuadrada de cualquier número positivo.

Ejemplo 4.47

Encontrar una raíz cuadrada

Utilice el método de Newton para aproximar 2 2 (Figura 4.79). Supongamos que f(x)=x2 −2 ,f(x)=x2 −2 , supongamos que x0=2 ,x0=2 , y calcule x1,x2 ,x3,x4,x5.x1,x2 ,x3,x4,x5. (Observamos que como f(x)=x2 −2 f(x)=x2 −2 tiene un cero en 2 ,2 , el valor inicial x0=2 x0=2 es una opción razonable para aproximar 2 .)2 .)

Punto de control 4.46

Utilice el método de Newton para aproximar 33 suponiendo que f(x)=x2 −3f(x)=x2 −3 y x0=3.x0=3. Halle x1x1 y x2 .x2 .

Cuando se utiliza el método de Newton, cada aproximación después de la conjetura inicial se define en términos de la aproximación anterior utilizando la misma fórmula. En particular, al definir la función F(x)=x−[f(x)f′(x)],F(x)=x−[f(x)f′(x)], podemos reescribir la Ecuación 4.8 como xn=F(xn–1).xn=F(xn–1). Este tipo de proceso, en el que cada xnxn se define en términos de xn–1xn–1 repitiendo la misma función, es un ejemplo de proceso iterativo. En breve, examinaremos otros procesos iterativos. En primer lugar, veamos las razones por las que el método de Newton podría no encontrar una raíz.

Fallos del método de Newton

Normalmente, el método de Newton se utiliza para hallar las raíces con bastante rapidez. Sin embargo, las cosas pueden salir mal. Algunas de las razones por las que el método de Newton puede fallar son las siguientes:

  1. En una de las aproximaciones xn,xn, la derivada f′f′ es cero en xn,xn, pero f(xn)≠0.f(xn)≠0. Como resultado, la línea tangente de ff en xnxn no se interseca con el eje xx. Por lo tanto, no podemos continuar el proceso iterativo.
  2. Las aproximaciones x0,x1,x2 ,…x0,x1,x2 ,… puede acercarse a una raíz diferente. Si se grafica la función ff tiene más de una raíz, es posible que nuestras aproximaciones no se acerquen a la que estamos buscando, sino que se acerquen a una raíz diferente (ver la Figura 4.80). Este hecho se produce con mayor frecuencia cuando no elegimos la aproximación x0x0 lo suficientemente cerca de la raíz deseada.
  3. Las aproximaciones pueden no acercarse completamente a una raíz. En el Ejemplo 4.48, proporcionamos un ejemplo de una función y una conjetura inicial x0x0 tal que las aproximaciones sucesivas nunca se acercan a una raíz porque las aproximaciones sucesivas siguen alternando entre dos valores.
Se dibuja una función con dos raíces, marcadas como raíz buscada y raíz encontrada. Se elige un punto x0 tal que cuando se toma la tangente de x0, aunque esté más cerca de la raíz buscada, la tangente apunta a la raíz encontrada.
Figura 4.80 Si la suposición inicial x0x0 está demasiado lejos de la raíz buscada, puede llevarnos a aproximaciones que se acerquen a una raíz diferente.

Ejemplo 4.48

Cuando el método de Newton falla

Considere la función f(x)=x3−2 x+2 .f(x)=x3−2 x+2 . Supongamos que x0=0.x0=0. Demuestre que la secuencia x1,x2 ,…x1,x2 ,… no se acerca a una raíz de f.f.

Punto de control 4.47

Para f(x)=x3−2 x+2 ,f(x)=x3−2 x+2 , supongamos que x0=−1,5x0=−1,5 y hallar x1x1 y x2 .x2 .

En el Ejemplo 4.48, vemos que el método de Newton no siempre funciona. Sin embargo, cuando lo hace, la secuencia de aproximaciones se acerca a la raíz muy rápidamente. En los textos de análisis numérico se discute la rapidez con la que la secuencia de aproximaciones se acerca a una raíz encontrada mediante el método de Newton.

Otros procesos iterativos

Como se ha mencionado anteriormente, el método de Newton es un tipo de proceso iterativo. Ahora veremos un ejemplo de un tipo diferente de proceso iterativo.

Considere una función FF y un número inicial x0.x0. Defina los números siguientes xnxn mediante la fórmula xn=F(xn–1).xn=F(xn–1). Este proceso es un proceso iterativo que crea una lista de números x0,x1,x2 ,…,xn,….x0,x1,x2 ,…,xn,…. Esta lista de números puede acercarse a un número finito x*x* a medida que nn se hace más grande, o es posible que no lo haga. En el Ejemplo 4.49, vemos un ejemplo de función FF y una conjetura inicial x0x0 de manera que la lista de números resultante se aproxime a un valor finito.

Ejemplo 4.49

Encontrar un límite para un proceso iterativo

Supongamos que F(x)=12 x+4F(x)=12 x+4 y supongamos que x0=0.x0=0. Para todo n≥1,n≥1, supongamos que xn=F(xn–1).xn=F(xn–1). Halle los valores x1,x2 ,x3,x4,x5.x1,x2 ,x3,x4,x5. Haga una conjetura sobre lo que ocurre con esta lista de números x1,x2 ,x3…,xn,…x1,x2 ,x3…,xn,… cuando n→∞.n→∞. Si la lista de números x1,x2 ,x3,…x1,x2 ,x3,… se acerca a un número finito x*,x*, entonces x*x* satisface x*=F(x*),x*=F(x*), y x*x* se llama punto fijo de F.F.

Punto de control 4.48

Considere la función F(x)=13x+6.F(x)=13x+6. Supongamos que x0=0x0=0 y supongamos que xn=F(xn–1)xn=F(xn–1) por n≥2 .n≥2 . Halle x1,x2 ,x3,x4,x5.x1,x2 ,x3,x4,x5. Haga una conjetura sobre lo que ocurre con la lista de números x1,x2 ,x3,…xn,…x1,x2 ,x3,…xn,… cuando n→∞.n→∞.

Proyecto de estudiante

Procesos iterativos y caos

Los procesos iterativos pueden tener un comportamiento muy interesante. En esta sección, hemos visto varios ejemplos de procesos iterativos que convergen en un punto fijo. También hemos visto en el Ejemplo 4.48 que el proceso iterativo rebota entre dos valores. A este tipo de comportamiento lo llamamos 2 2 −ciclo. Los procesos iterativos pueden converger en ciclos con diversas periodicidades, como 2 −ciclos,4−ciclos2 −ciclos,4−ciclos (donde el proceso iterativo repite una secuencia de cuatro valores), 8 ciclos, etc.

Algunos procesos iterativos dan lugar a lo que los matemáticos llaman caos. En este caso, el proceso iterativo salta de un valor a otro de forma aparentemente aleatoria y nunca converge ni se asienta en un ciclo. Aunque una exploración completa del caos está más allá del alcance de este texto, en este proyecto examinamos una de las propiedades clave de un proceso iterativo caótico: la dependencia sensible de las condiciones iniciales. Esta propiedad se refiere al concepto de que pequeños cambios en las condiciones iniciales pueden generar un comportamiento drásticamente diferente en el proceso iterativo.

Probablemente el ejemplo más conocido de caos es el conjunto de Mandelbrot (vea la Figura 4.83), llamado así por Benoit Mandelbrot (1924-2010), que investigó sus propiedades y ayudó a popularizar el campo de la teoría del caos. El conjunto de Mandelbrot suele generarse por computadora y muestra detalles fascinantes al ampliarse, incluida la autorreplicación del conjunto. Varias versiones coloreadas del conjunto se han expuesto en museos y pueden encontrarse en Internet y en libros populares sobre el tema.

Un fractal muy complicado y de aspecto orgánico.
Figura 4.83 El conjunto de Mandelbrot es un ejemplo bien conocido de un conjunto de puntos generados por el comportamiento caótico iterativo de una función relativamente simple.

En este proyecto utilizamos el mapa logístico

f(x)=rx(1−x),dondex∈[0,1]yr>0f(x)=rx(1−x),dondex∈[0,1]yr>0

como la función en nuestro proceso iterativo. El mapa logístico es una función aparentemente sencilla, pero dependiendo del valor de r,r, el proceso iterativo resultante muestra un comportamiento muy interesante. Puede conducir a puntos fijos, ciclos e incluso al caos.

Para visualizar el comportamiento a largo plazo del proceso iterativo asociado al mapa logístico, utilizaremos una herramienta llamada diagrama de telaraña. Tal como hicimos con el proceso iterativo que examinamos anteriormente en esta sección, primero trazaremos una línea vertical desde el punto (x0,0)(x0,0) al punto (x0,f(x0))=(x0,x1).(x0,f(x0))=(x0,x1). A continuación, trazamos una línea horizontal desde ese punto hasta el punto (x1,x1),(x1,x1), luego dibujamos una línea vertical a (x1,f(x1))=(x1,x2 ),(x1,f(x1))=(x1,x2 ), y continuamos el proceso hasta que el comportamiento a largo plazo del sistema se haga evidente. La Figura 4.84 muestra el comportamiento a largo plazo del mapa logístico cuando r=3,55r=3,55 y x0=0,2.x0=0,2. (Las primeras 100100 iteraciones no están representadas). El comportamiento a largo plazo de este proceso iterativo es un 88−ciclo.

En el primer cuadrante, f(x) = 3,55x(1 - x) se representa gráficamente al igual que y = x. Desde algún punto del eje x, se traza una línea hasta la línea y = x, momento en el que gira para ser horizontal y continúa hasta tocar el borde exterior de f(x), momento en el que vuelve a girar para ser vertical hasta llega a la línea y = x. Este proceso continúa varias veces y crea una interesante serie de cajas.
Figura 4.84 Un diagrama de telaraña para f(x)=3,55x(1−x)f(x)=3,55x(1−x) se presenta aquí. La secuencia de valores da lugar a un 88−ciclo.
  1. Supongamos que r=0,5r=0,5 y elegir x0=0,2.x0=0,2. Calcule, a mano o con una computadora, los primeros 1010 valores en la secuencia. ¿Parece que la secuencia converge? Si es así, ¿a qué valor? ¿Resulta un ciclo? Si es así, ¿qué tipo de ciclo (por ejemplo, 2 −ciclo,4−ciclo.)?2 −ciclo,4−ciclo.)?
  2. ¿Qué sucede cuando r=2 ?r=2 ?
  3. Para r=3,2r=3,2 y r=3,5,r=3,5, calcule los primeros 100100 valores de la secuencia. Genere un diagrama de telaraña para cada proceso iterativo. (Existen varias miniaplicaciones gratuitas en línea que generan diagramas de telaraña para el mapa logístico). ¿Cuál es el comportamiento a largo plazo en cada uno de estos casos?
  4. Ahora supongamos que r=4.r=4. Calcule los primeros 100100 valores de la secuencia y genere un diagrama de telaraña. ¿Cuál es el comportamiento a largo plazo en este caso?
  5. Repita el proceso para r=4,r=4, pero suponga que x0=0,201.x0=0,201. ¿Cómo se compara este comportamiento con el de x0=0,2?x0=0,2?

Sección 4.9 ejercicios

En los siguientes ejercicios, escriba la fórmula de Newton como xn+1=F(xn)xn+1=F(xn) para resolver f(x)=0.f(x)=0.

406.

f ( x ) = x 2 + 1 f ( x ) = x 2 + 1

407.

f ( x ) = x 3 + 2 x + 1 f ( x ) = x 3 + 2 x + 1

408.

f ( x ) = sen x f ( x ) = sen x

409.

f ( x ) = e x f ( x ) = e x

410.

f ( x ) = x 3 + 3 x e x f ( x ) = x 3 + 3 x e x

En los siguientes ejercicios, resuelva f(x)=0f(x)=0 utilizando la iteración xn+1=xn−cf(xn),xn+1=xn−cf(xn), la cual difiere ligeramente del método de Newton. Halle una cc que funcione y una cc que no converja, con la excepción de c=0.c=0.

411.

f(x)=x2 −4,f(x)=x2 −4, con la x0=0x0=0

412.

f(x)=x2 −4x+3,f(x)=x2 −4x+3, con la x0=2 x0=2

413.

¿Cuál es el valor de “c”“c” en el método de Newton?

En los siguientes ejercicios, comience en

a. x0=0,6x0=0,6 y

b. x0=2 .x0=2 .

Calcule x1x1 y x2 x2 utilizando el método iterativo especificado.

414.

x n + 1 = x n 2 – 1 2 x n + 1 = x n 2 – 1 2

415.

x n + 1 = 2 x n ( 1 − x n ) x n + 1 = 2 x n ( 1 − x n )

416.

x n + 1 = x n x n + 1 = x n

417.

x n + 1 = 1 x n x n + 1 = 1 x n

418.

xn+1=3xn(1−xn)xn+1=3xn(1−xn) grandes.

419.

x n + 1 = x n 2 + x n – 2 x n + 1 = x n 2 + x n – 2

420.

x n + 1 = 1 2 x n – 1 x n + 1 = 1 2 x n – 1

421.

x n + 1 = | x n | x n + 1 = | x n |

En los siguientes ejercicios, resuelva con cuatro decimales utilizando el método de Newton y una computadora o calculadora. Elija cualquier conjetura inicial x0x0 que no sea la raíz exacta.

422.

x 2 − 10 = 0 x 2 − 10 = 0

423.

x 4 − 100 = 0 x 4 − 100 = 0

424.

x 2 − x = 0 x 2 − x = 0

425.

x 3 − x = 0 x 3 − x = 0

426.

x + 5 cos ( x ) = 0 x + 5 cos ( x ) = 0

427.

x+tan(x)=0,x+tan(x)=0, elija x0∈(−π2 ,π2 )x0∈(−π2 ,π2 ) grandes.

428.

1 1 − x = 2 1 1 − x = 2

429.

1 + x + x 2 + x 3 + x 4 = 2 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 = 2

430.

x 3 + ( x + 1 ) 3 = 10 3 x 3 + ( x + 1 ) 3 = 10 3

431.

x=sen2 (x)x=sen2 (x) grandes.

En los siguientes ejercicios, utilice el método de Newton para encontrar los puntos fijos de la función donde f(x)=x;f(x)=x; redondee a tres decimales.

432.

sen x sen x

433.

tan(x)tan(x) sobre x=(π2 ,3π2 )x=(π2 ,3π2 ) grandes.

434.

e x − 2 e x − 2

435.

ln ( x ) + 2 ln ( x ) + 2

El método de Newton puede utilizarse para encontrar los máximos y los mínimos de las funciones, además de las raíces. En este caso aplique el método de Newton a la función derivada f′(x)f′(x) para encontrar sus raíces, en vez de la función original. En los siguientes ejercicios, considere la formulación del método.

436.

Para encontrar candidatos a máximos y mínimos, necesitamos encontrar los puntos críticos f′(x)=0.f′(x)=0. Demuestre que para resolver los puntos críticos de una función f(x),f(x), El método de Newton viene dado por xn+1=xn−f′(xn)f″(xn).xn+1=xn−f′(xn)f″(xn).

437.

¿Qué restricciones adicionales son necesarias en la función f?f?

En los siguientes ejercicios, utilice el método de Newton para encontrar la ubicación de los mínimos o máximos locales de las siguientes funciones; redondee a tres decimales.

438.

Un mínimo de f(x)=x2 +2 x+4f(x)=x2 +2 x+4

439.

Un mínimo de f(x)=3x3+2 x2 −16f(x)=3x3+2 x2 −16

440.

Un mínimo de f(x)=x2 exf(x)=x2 ex

441.

Máximo de f(x)=x+1xf(x)=x+1x

442.

Máximo de f(x)=x3+10x2 +15x−2 f(x)=x3+10x2 +15x−2

443.

Máximo de f(x)=x–x3xf(x)=x–x3x

444.

Un mínimo de f(x)=x2 senx,f(x)=x2 senx, mínimo diferente a cero más cercano a x=0x=0

445.

Un mínimo de f(x)=x4+x3+3x2 +12x+6f(x)=x4+x3+3x2 +12x+6

En los siguientes ejercicios, utilice el método especificado para resolver la ecuación. Si no funciona, explique por qué.

446.

Método de Newton, x2 +2 =0x2 +2 =0

447.

Método de Newton, 0=ex0=ex

448.

Método de Newton, 0=1+x2 0=1+x2 a partir de x0=0x0=0

449.

Resolver xn+1=−xn3xn+1=−xn3 a partir de x0=–1x0=–1

En los siguientes ejercicios, utilice el método de la secante, un método iterativo alternativo al método de Newton. La fórmula viene dada por

xn=xn–1−f(xn–1)xn–1−xn–2 f(xn–1)−f(xn–2 ).xn=xn–1−f(xn–1)xn–1−xn–2 f(xn–1)−f(xn–2 ).
450.

Halle una raíz para 0=x2 −x−30=x2 −x−3 con una precisión de tres decimales.

451.

Halle una raíz para 0=senx+3x0=senx+3x con una precisión de cuatro decimales.

452.

Halle una raíz para 0=ex−2 0=ex−2 con una precisión de cuatro decimales.

453.

Halle una raíz para ln(x+2 )=12 ln(x+2 )=12 con una precisión de cuatro decimales.

454.

¿Por qué utilizar el método de la secante en lugar del método de Newton? ¿Cuáles son las restricciones necesarias para f?f?

En los siguientes ejercicios, utilice tanto el método de Newton como el método de la secante para calcular la raíz de las siguientes ecuaciones. Utilice una calculadora o una computadora para calcular cuántas iteraciones de cada una son necesarias para llegar a tres decimales de la respuesta exacta. En el método de la secante, utilice la primera conjetura del método de Newton.

455.

f ( x ) = x 2 + 2 x + 1 , x 0 = 1 f ( x ) = x 2 + 2 x + 1 , x 0 = 1

456.

f ( x ) = x 2 , x 0 = 1 f ( x ) = x 2 , x 0 = 1

457.

f ( x ) = sen x , x 0 = 1 f ( x ) = sen x , x 0 = 1

458.

f ( x ) = e x – 1 , x 0 = 2 f ( x ) = e x – 1 , x 0 = 2

459.

f ( x ) = x 3 + 2 x + 4 , x 0 = 0 f ( x ) = x 3 + 2 x + 4 , x 0 = 0

En los siguientes ejercicios, considere la ecuación de Kepler relativa a las órbitas planetarias, M=E−εsen(E),M=E−εsen(E), donde MM es la anomalía media, EE es una anomalía excéntrica, y εε mide la excentricidad.

460.

Utilice el método de Newton para resolver la anomalía excéntrica EE cuando la anomalía media M=π3M=π3 y la excentricidad de la órbita ε=0,25;ε=0,25; redondee a tres decimales.

461.

Utilice el método de Newton para resolver la anomalía excéntrica EE cuando la anomalía media M=3π2 M=3π2 y la excentricidad de la órbita ε=0,8;ε=0,8; redondee a tres decimales.

Los dos ejercicios siguientes consideran una inversión bancaria. La inversión inicial es de $10.000.$10.000. Después de 2525 años, la inversión se triplicó hasta $30.000.$30.000.

462.

Utilice el método de Newton para determinar el tipo de interés si este se calcula anualmente.

463.

Utilice el método de Newton para determinar el tipo de interés si este se calcula continuamente.

464.

El costo de impresión de un libro expresarse mediante la ecuación C(x)=1.000+12x+(12 )x2 /3.C(x)=1.000+12x+(12 )x2 /3. Utilice el método de Newton para encontrar el punto de equilibrio si la imprenta vende cada libro por $2 0.$2 0.

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