Gilbert Strang; Edwin “Jed” Herman

Objetivos de aprendizaje

4.10.1 Encontrar la antiderivada general de una función dada.
4.10.2 Explicar los términos y la notación utilizada para una integral indefinida.
4.10.3 Enunciar la regla de la potencia para integrales.
4.10.4 Utilizar la antidiferenciación para resolver problemas sencillos de valor inicial.

En este punto ya hemos visto cómo calcular las derivadas de muchas funciones y se nos presentó una variedad de sus aplicaciones. Ahora haremos una pregunta que da la vuelta a este proceso: Dada una función $f,$ ¿cómo encontramos una función con la derivada $f$ y por qué nos interesa esa función?

Responderemos a la primera parte de esta pregunta definiendo las antiderivadas. La antiderivada de una función $f$ es una función con una derivada $f .$ ¿Por qué nos interesan las antiderivadas? La necesidad de las antiderivadas surge en muchas situaciones, y a lo largo del texto veremos varios ejemplos. Aquí examinaremos un ejemplo específico que implica un movimiento rectilíneo. En nuestro análisis del movimiento rectilíneo en Derivadas, demostramos que dada una función de posición $s (t)$ de un objeto, entonces su función de velocidad $v (t)$ es la derivada de $s (t)$ −es decir, $v (t) = s^{'} (t) .$ Además, la aceleración $a (t)$ es la derivada de la velocidad $v (t)$ −es decir, $a (t) = v^{'} (t) = s ″ (t) .$ Supongamos ahora que nos dan una función de aceleración $a,$ pero no la función de velocidad $v$ o la función de posición $s .$ Dado que $a (t) = v^{'} (t),$ determinar la función de velocidad nos obliga a encontrar una antiderivada de la función de aceleración. Luego, dado que $v (t) = s^{'} (t),$ determinar la función de posición nos obliga a encontrar una antiderivada de la función de velocidad. El movimiento rectilíneo es solo un caso en el que surge la necesidad de las antiderivadas. Veremos muchos más ejemplos a lo largo del resto del texto. Por ahora, veremos la terminología y la notación de las antiderivadas, y determinaremos las antiderivadas de varios tipos de funciones. Más adelante en el texto (Introducción a técnicas de integración) examinaremos varias técnicas para encontrar antiderivadas de funciones más complicadas.

El inverso de la diferenciación

En este punto ya sabemos cómo encontrar las derivadas de varias funciones. Ahora nos preguntamos lo contrario. Dada una función $f,$ ¿cómo podemos encontrar una función con derivada $f ?$ Si podemos encontrar una función $F$ con derivada $f,$ llamamos $F$ como antiderivada de $f .$

Definición

Una función $F$ es una antiderivada de la función $f$ si

F^{'} (x) = f (x)

para todos los $x$ en el dominio de $f .$

Considere la función $f (x) = 2 x .$ Ya que conocemos la regla de la potencia de la diferenciación, concluimos que $F (x) = x^{2}$ es una antiderivada de $f$ dado que $F^{'} (x) = 2 x .$ ¿Existen otras antiderivadas de $f ?$ Sí, ya que la derivada de cualquier constante $C$ es cero, $x^{2} + C$ es también una antiderivada de $2 x .$ Por lo tanto, $x^{2} + 5$ y $x^{2} - \sqrt{2}$ también son antiderivadas. ¿Hay otras que no sean de la forma $x^{2} + C$ para alguna constante $C ?$ No. Del corolario $2$ del teorema del valor medio, sabemos que si $F$ y $G$ son funciones diferenciables tales que $F^{'} (x) = G^{'} (x),$ entonces $F (x) - G (x) = C$ para alguna constante $C .$ Este hecho nos lleva al siguiente teorema de importancia.

Teorema 4.14

Forma general de una antiderivada

Supongamos que $F$ es una antiderivada de $f$ en un intervalo $I .$ Entonces,

para cada constante $C,$ la función $F (x) + C$ es también una antiderivada de $f$ en $I;$
si $G$ es una antiderivada de $f$ en $I,$ hay una constante $C$ para la cual $G (x) = F (x) + C$ en $I .$

En otras palabras, la forma más general de la antiderivada de $f$ en $I$ ¿es $F (x) + C .$

Usamos este hecho y nuestro conocimiento de las derivadas para hallar todas las antiderivadas de varias funciones.

Ejemplo 4.50

Encontrar antiderivadas

Para cada una de las siguientes funciones, halle todas las antiderivadas.

$f (x) = 3 x^{2}$
$f (x) = \frac{1}{x}$
$f (x) = cos x$
$f (x) = e^{x}$

Solución

Porque

$\frac{d}{d x} (x^{3}) = 3 x^{2}$

entonces $F (x) = x^{3}$ es una antiderivada de $3 x^{2} .$ Por lo tanto, toda antiderivada de $3 x^{2}$ es de la forma $x^{3} + C$ para alguna constante $C,$ y toda función de la forma $x^{3} + C$ es una antiderivada de $3 x^{2} .$
Supongamos que $f (x) = ln | x | .$ Para $x > 0, f (x) = ln (x)$ y

$\frac{d}{d x} (ln x) = \frac{1}{x} .$

Para $x < 0, f (x) = ln (− x)$ y

$\frac{d}{d x} (ln (− x)) = - \frac{1}{− x} = \frac{1}{x} .$

Por lo tanto,

$\frac{d}{d x} (ln | x |) = \frac{1}{x} .$

Por lo tanto, $F (x) = ln | x |$ es una antiderivada de $\frac{1}{x} .$ Por lo tanto, toda antiderivada de $\frac{1}{x}$ es de la forma $ln | x | + C$ para alguna constante $C$ y toda función de la forma $ln | x | + C$ es una antiderivada de $\frac{1}{x} .$
Tenemos

$\frac{d}{d x} (sen x) = cos x,$

así que $F (x) = sen x$ es una antiderivada de $cos x .$ Por lo tanto, toda antiderivada de $cos x$ es de la forma $sen x + C$ para alguna constante $C$ y toda función de la forma $sen x + C$ es una antiderivada de $cos x .$
Dado que

$\frac{d}{d x} (e^{x}) = e^{x},$

entonces $F (x) = e^{x}$ es una antiderivada de $e^{x} .$ Por lo tanto, toda antiderivada de $e^{x}$ es de la forma $e^{x} + C$ para alguna constante $C$ y toda función de la forma $e^{x} + C$ es una antiderivada de $e^{x} .$

Punto de control 4.49

Calcule todas las antiderivadas de $f (x) = sen x .$

Integrales indefinidas

A continuación veremos la notación formal utilizada para representar las antiderivadas y examinaremos algunas de sus propiedades, las cuales nos permiten encontrar antiderivadas de funciones más complicadas. Dada una función $f,$ utilizamos la notación $f^{'} (x)$ o $\frac{d f}{d x}$ para denotar la derivada de $f .$ Aquí presentamos la notación para las antiderivadas. Si los valores de $F$ es una antiderivada de $f,$ decimos que $F (x) + C$ es la antiderivada más general de $f$ y escribimos

\int f (x) d x = F (x) + C .

El símbolo $\int$ se llama signo integral, y $\int f (x) d x$ se denomina integral indefinida de $f .$

Definición

Dada una función $f,$ la integral indefinida de $f,$ denotada

\int f (x) d x,

es la antiderivada más general de $f .$ Si $F$ es una antiderivada de $f,$ entonces

\int f (x) d x = F (x) + C .

La expresión $f (x)$ se denomina integrando y la variable $x$ es la variable de integración.

Dada la terminología presentada en esta definición, el acto de encontrar las antiderivadas de una función $f$ se denomina normalmente integración $f .$

Para una función $f$ y una antiderivada $F,$ las funciones $F (x) + C,$ donde $C$ es un número real cualquiera, se suele denominar familia de antiderivadas de $f .$ Por ejemplo, ya que $x^{2}$ es una antiderivada de $2 x$ y cualquier antiderivada de $2 x$ es de la forma $x^{2} + C,$ escribimos

\int 2 x d x = x^{2} + C .

La colección de todas las funciones de la forma $x^{2} + C,$ donde $C$ es un número real cualquiera, se conoce como la familia de antiderivadas de $2 x .$ La Figura 4.85 muestra un gráfico de esta familia de antiderivadas.

Se muestran los gráficos de y = x2 + 2, y = x2 + 1, y = x2, y = x2 - 1 y y = x2 – 2.

Figura 4.85 La familia de antiderivadas de

2 x

consiste en todas las funciones de la forma

x^{2} + C,

donde

C

es un número real cualquiera.

En algunas funciones, la evaluación de integrales indefinidas se deduce directamente de las propiedades de las derivadas. Por ejemplo, para $n \neq − 1,$

\int x^{n} d x = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C,

que viene directamente de

\frac{d}{d x} (\frac{x^{n + 1}}{n + 1}) = (n + 1) \frac{x^{n}}{n + 1} = x^{n} .

Este hecho se conoce como la regla de la potencia para integrales.

Teorema 4.15

Regla de la potencia para integrales

Para $n \neq − 1,$

\int x^{n} d x = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C .

La evaluación de integrales indefinidas para algunas otras funciones también es un cálculo sencillo. La siguiente tabla enumera las integrales indefinidas de varias funciones comunes. En el Apéndice B figura una lista más completa.

Fórmula de diferenciación	Integral Indefinida
$\frac{d}{d x} (k) = 0$	$\int k d x = \int k x^{0} d x = k x + C$
$\frac{d}{d x} (x^{n}) = n x^{n - 1}$	$\int x^{n} d x = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C$ por $n \neq − 1$
$\frac{d}{d x} (ln \| x \|) = \frac{1}{x}$	$\int \frac{1}{x} d x = ln \| x \| + C$
$\frac{d}{d x} (e^{x}) = e^{x}$	$\int e^{x} d x = e^{x} + C$
$\frac{d}{d x} (sen x) = cos x$	$\int cos x d x = sen x + C$
$\frac{d}{d x} (cos x) = − sen x$	$\int sen x d x = − cos x + C$
$\frac{d}{d x} (tan x) = {sec}^{2} x$	$\int {sec}^{2} x d x = tan x + C$
$\frac{d}{d x} (csc x) = − csc x cot x$	$\int csc x cot x d x = − csc x + C$
$\frac{d}{d x} (sec x) = sec x tan x$	$\int sec x tan x d x = sec x + C$
$\frac{d}{d x} (cot x) = − {csc}^{2} x$	$\int {csc}^{2} x d x = − cot x + C$
$\frac{d}{d x} ({sen}^{−1} x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$	$\int \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} = {sen}^{−1} x + C$
$\frac{d}{d x} ({tan}^{−1} x) = \frac{1}{1 + x^{2}}$	$\int \frac{1}{1 + x^{2}} d x = {tan}^{−1} x + C$
$\frac{d}{d x} ({sec}^{−1} \| x \|) = \frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 1}}$	$\int \frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 1}} d x = {sec}^{−1} \| x \| + C$

Tabla 4.13 Fórmulas de integración

A partir de la definición de integral indefinida de $f,$ sabemos que

\int f (x) d x = F (x) + C

si y solo si $F$ es una antiderivada de $f .$ Por lo tanto, al afirmar que

\int f (x) d x = F (x) + C

es importante verificar si esta afirmación es correcta comprobando que $F^{'} (x) = f (x) .$

Ejemplo 4.51

Verificación de una integral indefinida

Cada uno de los siguientes enunciados es de la forma $\int f (x) d x = F (x) + C .$ Compruebe que cada afirmación es correcta demostrando que $F^{'} (x) = f (x) .$

$\int (x + e^{x}) d x = \frac{x^{2}}{2} + e^{x} + C$
$\int x e^{x} d x = x e^{x} - e^{x} + C$ (carbono 14).

Solución

Dado que

$\frac{d}{d x} (\frac{x^{2}}{2} + e^{x} + C) = x + e^{x},$

la afirmación

$\int (x + e^{x}) d x = \frac{x^{2}}{2} + e^{x} + C$

es correcta.
Observe que estamos verificando una integral indefinida para una suma. Además, $\frac{x^{2}}{2}$ y $e^{x}$ son antiderivadas de $x$ y $e^{x},$ respectivamente, y la suma de las antiderivadas es una antiderivada de la suma. Volveremos a hablar de este hecho más adelante en esta sección.
Utilizando la regla del producto, vemos que

$\frac{d}{d x} (x e^{x} - e^{x} + C) = e^{x} + x e^{x} - e^{x} = x e^{x} .$

Por lo tanto, la afirmación

$\int x e^{x} d x = x e^{x} - e^{x} + C$

es correcto.
Note que estamos verificando una integral indefinida para un producto. La antiderivada $x e^{x} - e^{x}$ no es un producto de las antiderivadas. Además, el producto de las antiderivadas, $x^{2} e^{x} / 2$ no es una antiderivada de $x e^{x}$ ya que

$\frac{d}{d x} (\frac{x^{2} e^{x}}{2}) = x e^{x} + \frac{x^{2} e^{x}}{2} \neq x e^{x} .$

En general, el producto de las antiderivadas no es la antiderivada de un producto.

Punto de control 4.50

Verifique que $\int x cos x d x = x sen x + cos x + C .$

En la Tabla 4.13, enumeramos las integrales indefinidas de muchas funciones elementales. Pasemos ahora a evaluar integrales indefinidas para funciones más complicadas. Por ejemplo, considere hallar la antiderivada de la suma $f + g .$ En el Ejemplo 4.51a. demostramos que una antiderivada de la suma $x + e^{x}$ viene dada por la suma $(\frac{x^{2}}{2}) + e^{x}$ es decir, la antiderivada de una suma viene dada por una suma de antiderivadas. Este resultado no es específico de este ejemplo. En general, si $F$ y $G$ son antiderivadas de cualquier función $f$ y $g,$ respectivamente, entonces

\frac{d}{d x} (F (x) + G (x)) = F^{'} (x) + G^{'} (x) = f (x) + g (x) .

Por lo tanto, $F (x) + G (x)$ es una antiderivada de $f (x) + g (x)$ y tenemos

\int (f (x) + g (x)) d x = F (x) + G (x) + C .

De la misma manera,

\int (f (x) - g (x)) d x = F (x) - G (x) + C .

Además, consideremos la tarea de encontrar una antiderivada de $k f (x),$ donde $k$ es un número real cualquiera. Dado que

\frac{d}{d x} (k f (x)) = k \frac{d}{d x} F (x) = k f^{'} (x)

para cualquier número real $k,$ concluimos que

\int k f (x) d x = k F (x) + C .

Estas propiedades se resumen a continuación.

Teorema 4.16

Propiedades de las integrales indefinidas

Supongamos que $F$ y $G$ son antiderivadas de $f$ y $g,$ respectivamente y supongamos que $k$ es cualquier número real.

Sumas y diferencias

\int (f (x) ± g (x)) d x = F (x) ± G (x) + C

Múltiples constantes

\int k f (x) d x = k F (x) + C

A partir de este teorema, podemos evaluar cualquier integral que implique una suma, diferencia o múltiplo constante de funciones con antiderivadas conocidas. La evaluación de integrales que implican productos, cocientes o composiciones es más complicada (vea el Ejemplo 4.51b., que involucra la antiderivada de un producto). En la Introducción a la integración veremos y trataremos las integrales que involucran estas funciones más complicadas. En el siguiente ejemplo, examinaremos cómo utilizar este teorema para calcular las integrales indefinidas de varias funciones.

Ejemplo 4.52

Evaluación de integrales indefinidas

Evalúe cada una de las siguientes integrales indefinidas:

$\int (5 x^{3} - 7 x^{2} + 3 x + 4) d x$
$\int \frac{x^{2} + 4 \sqrt[3]{x}}{x} d x$
$\int \frac{4}{1 + x^{2}} d x$
$\int tan x cos x d x$

Solución

Utilizando las Propiedades de las integrales indefinidas, podemos integrar cada uno de los cuatro términos del integrando por separado. Obtenemos

$\int (5 x^{3} - 7 x^{2} + 3 x + 4) d x = \int 5 x^{3} d x - \int 7 x^{2} d x + \int 3 x d x + \int 4 d x .$

A partir de la segunda parte de las Propiedades de las integrales indefinidas, cada coeficiente puede escribirse delante del signo de la integral, lo que da

$\int 5 x^{3} d x - \int 7 x^{2} d x + \int 3 x d x + \int 4 d x = 5 \int x^{3} d x - 7 \int x^{2} d x + 3 \int x d x + 4 \int 1 d x .$
Utilizando la regla de la potencia para las integrales, concluimos que

$\int (5 x^{3} - 7 x^{2} + 3 x + 4) d x = \frac{5}{4} x^{4} - \frac{7}{3} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} + 4 x + C .$
Reescriba el integrando como

$\frac{x^{2} + 4 \sqrt[3]{x}}{x} = \frac{x^{2}}{x} + \frac{4 \sqrt[3]{x}}{x} .$

Entonces, integre cada uno de estos términos por separado para evaluar la integral. Utilizando la regla de la potencia, tenemos

$\begin{matrix} \int (x + \frac{4}{x^{2 / 3}}) d x & = \int x d x + 4 \int x^{−2 / 3} d x \\ = \frac{1}{2} x^{2} + 4 \frac{1}{(\frac{−2}{3}) + 1} x^{(−2 / 3) + 1} + C \\ = \frac{1}{2} x^{2} + 12 x^{1 / 3} + C . \end{matrix}$
Utilizando las Propiedades de las integrales indefinidas, escriba la integral como

$4 \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x .$

Entonces, utilice el hecho de que ${tan}^{–1} (x)$ es una antiderivada de $\frac{1}{(1 + x^{2})}$ para concluir que

$\int \frac{4}{1 + x^{2}} d x = 4 {tan}^{–1} (x) + C .$
Reescriba el integrando como

$tan x cos x = \frac{sen x}{cos x} cos x = sen x .$

Por lo tanto,

$\int tan x cos x = \int sen x = − cos x + C .$

Punto de control 4.51

Evalúe $\int (4 x^{3} - 5 x^{2} + x - 7) d x .$

Problemas de valor inicial

Más adelante veremos las técnicas para integrar una gran variedad de funciones que implican productos, cocientes y composiciones. A continuación, nos ocuparemos de un uso común de las antiderivadas que surge a menudo en muchas aplicaciones: la resolución de ecuaciones diferenciales.

Una ecuación diferencial es una ecuación que relaciona una función desconocida y una o varias de sus derivadas. La ecuación

\frac{d y}{d x} = f (x)

(4.9)

es un ejemplo sencillo de ecuación diferencial. Resolver esta ecuación significa encontrar una función $y$ con una derivada $f .$ Por lo tanto, las soluciones de la Ecuación 4.9 son las antiderivadas de $f .$ Si $F$ es una antiderivada de $f,$ toda función de la forma $y = F (x) + C$ es una solución de esa ecuación diferencial. Por ejemplo, las soluciones de

\frac{d y}{d x} = 6 x^{2}

vienen dadas por

y = \int 6 x^{2} d x = 2 x^{3} + C .

A veces nos interesa determinar si una curva de solución particular pasa por un punto determinado $(x_{0}, y_{0})$ −es decir, $y (x_{0}) = y_{0} .$ El problema de encontrar una función $y$ que satisfaga una ecuación diferencial

\frac{d y}{d x} = f (x)

(4.10)

con la condición adicional

y (x_{0}) = y_{0}

(4.11)

es un ejemplo de problema de valor inicial. La condición $y (x_{0}) = y_{0}$ se conoce como condición inicial. Por ejemplo, al buscar una función $y$ que satisfaga la ecuación diferencial

\frac{d y}{d x} = 6 x^{2}

y la condición inicial

y (1) = 5

es un ejemplo de problema de valor inicial. Dado que las soluciones de la ecuación diferencial son $y = 2 x^{3} + C,$ para encontrar una función $y$ que también satisfaga la condición inicial, necesitamos encontrar $C$ de manera que $y (1) = 2 {(1)}^{3} + C = 5 .$ De esta ecuación, vemos que $C = 3,$ y concluimos que $y = 2 x^{3} + 3$ es la solución de este problema de valor inicial como se muestra en el siguiente gráfico.

Se muestran los gráficos de y = 2x3 + 6, y = 2x3 + 3, y = 2x3 y y = 2x3 - 3.

Figura 4.86 Se muestran algunas de las curvas de solución de la ecuación diferencial

\frac{d y}{d x} = 6 x^{2}

. La función

y = 2 x^{3} + 3

satisface la ecuación diferencial y la condición inicial

y (1) = 5 .

Ejemplo 4.53

Resolución de un problema de valor inicial

Resuelva el problema de valor inicial

\frac{d y}{d x} = sen x, y (0) = 5 .

Solución

Primero tenemos que resolver la ecuación diferencial. Si los valores de $\frac{d y}{d x} = sen x,$ entonces

y = \int sen (x) d x = − cos x + C .

A continuación tenemos que buscar una solución $y$ que satisfaga la condición inicial. La condición inicial $y (0) = 5$ significa que necesitamos una constante $C$ de manera que $− cos x + C = 5 .$ Por lo tanto,

C = 5 + cos (0) = 6 .

La solución del problema de valor inicial es $y = − cos x + 6 .$

Punto de control 4.52

Resuelva el problema de valor inicial $\frac{d y}{d x} = 3 x^{−2}, y (1) = 2 .$

Los problemas de valor inicial surgen en muchas aplicaciones. A continuación consideraremos un problema en el que un conductor usa los frenos en un automóvil. Nos interesa saber cuánto tiempo tarda el automóvil en detenerse. Recordemos que la función de velocidad $v (t)$ es la derivada de una función de posición $s (t),$ y la aceleración $a (t)$ es la derivada de la función de velocidad. En los ejemplos anteriores del texto, pudimos calcular la velocidad a partir de la posición y luego la aceleración a partir de la velocidad. En el siguiente ejemplo trabajaremos de manera inversa. Dada una función de aceleración, calcularemos la función de velocidad. A continuación, utilizaremos la función de velocidad para determinar la función de posición.

Ejemplo 4.54

Auto en desaceleración

Un auto viaja a la velocidad de $88$ ft/s $(60$ mph) cuando se aplican los frenos. El automóvil comienza a desacelerar a una velocidad constante de $15$ ft/s².

¿Cuántos segundos pasan antes de que el auto se detenga?
¿Qué distancia recorre el auto en ese tiempo?

Solución

Primero introducimos las variables para este problema. Supongamos que $t$ es el tiempo (en segundos) después de aplicar los frenos por primera vez. Supongamos que $a (t)$ es la aceleración del automóvil (en pies por segundos al cuadrado) en el tiempo $t .$ Supongamos que $v (t)$ es la velocidad del auto (en pies por segundo) en el tiempo $t .$ Supongamos que $s (t)$ es la posición del auto (en pies) más allá del punto donde se aplican los frenos en el momento $t .$
El auto se desplaza a una velocidad de $88 ft/s .$ Por lo tanto, la velocidad inicial es $v (0) = 88$ ft/s. Como el auto está desacelerando, la aceleración es

$a (t) = −15 {ft/s}^{2} .$

La aceleración es la derivada de la velocidad,

$v^{'} (t) = –15 .$

Por lo tanto, tenemos un problema de valor inicial que resolver:

$v^{'} (t) = −15, v (0) = 88 .$

Integrando, encontramos que

$v (t) = −15 t + C .$

Dado que $v (0) = 88, C = 88 .$ Así, la función de velocidad es

$v (t) = −15 t + 88 .$

Para encontrar el tiempo que tarda el auto en detenerse, tenemos que encontrar el tiempo $t$ tal que la velocidad sea cero. Resolver $−15 t + 88 = 0,$ obtenemos $t = \frac{88}{15}$ seg.
Para encontrar la distancia que recorre el auto durante este tiempo, tenemos que encontrar su posición después de $\frac{88}{15}$ seg. Sabemos que la velocidad $v (t)$ es la derivada de la posición $s (t) .$ Considere que la posición inicial es $s (0) = 0 .$ Por lo tanto, tenemos que resolver el problema de valor inicial

$s^{'} (t) = −15 t + 88, s (0) = 0 .$

Integrando, tenemos

$s (t) = - \frac{15}{2} t^{2} + 88 t + C .$

Dado que $s (0) = 0,$ la constante es $C = 0 .$ Por lo tanto, la función de posición es

$s (t) = - \frac{15}{2} t^{2} + 88 t .$

Después de $t = \frac{88}{15}$ segundos, la posición es $s (\frac{88}{15}) \approx 258,133$ pies.

Punto de control 4.53

Supongamos que el auto se desplaza a la velocidad de $44$ ft/s. ¿Cuánto tiempo tarda en detenerse? ¿Qué distancia recorrerá el auto?

Sección 4.10 ejercicios

En los siguientes ejercicios, demuestre que $F (x)$ son antiderivadas de $f (x) .$

465.

$F (x) = 5 x^{3} + 2 x^{2} + 3 x + 1, f (x) = 15 x^{2} + 4 x + 3$

466.

$F (x) = x^{2} + 4 x + 1, f (x) = 2 x + 4$

467.

$F (x) = x^{2} e^{x}, f (x) = e^{x} (x^{2} + 2 x)$ grandes.

468.

$F (x) = cos x, f (x) = − sen x$

469.

$F (x) = e^{x}, f (x) = e^{x}$

En los siguientes ejercicios, halle la antiderivada de la función.

470.

$f (x) = \frac{1}{x^{2}} + x$

471.

$f (x) = e^{x} - 3 x^{2} + sen x$

472.

$f (x) = e^{x} + 3 x - x^{2}$

473.

$f (x) = x - 1 + 4 sen (2 x)$ grandes.

En los siguientes ejercicios, halle la antiderivada $F (x)$ de cada función $f (x) .$

474.

$f (x) = 5 x^{4} + 4 x^{5}$

475.

$f (x) = x + 12 x^{2}$

476.

$f (x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$

477.

$f (x) = {(\sqrt{x})}^{3}$

478.

$f (x) = x^{1 / 3} + {(2 x)}^{1 / 3}$

479.

$f (x) = \frac{x^{1 / 3}}{x^{2 / 3}}$

480.

$f (x) = 2 sen (x) + sen (2 x)$ grandes.

481.

$f (x) = {sec}^{2} (x) + 1$

482.

$f (x) = sen x cos x$

483.

$f (x) = {sen}^{2} (x) cos (x)$ grandes.

484.

$f (x) = 0$

485.

$f (x) = \frac{1}{2} {csc}^{2} (x) + \frac{1}{x^{2}}$

486.

$f (x) = csc x cot x + 3 x$

487.

$f (x) = 4 csc x cot x - sec x tan x$

488.

$f (x) = 8 sec x (sec x - 4 tan x)$ grandes.

489.

$f (x) = \frac{1}{2} e^{−4 x} + sen x$

En los siguientes ejercicios, evalúe la integral.

490.

$\int (–1) d x$

491.

$\int sen x d x$

492.

$\int (4 x + \sqrt{x}) d x$

493.

$\int \frac{3 x^{2} + 2}{x^{2}} d x$

494.

$\int (sec x tan x + 4 x) d x$

495.

$\int (4 \sqrt{x} + \sqrt[4]{x}) d x$

496.

$\int (x^{−1 / 3} - x^{2 / 3}) d x$

497.

$\int \frac{14 x^{3} + 2 x + 1}{x^{3}} d x$

498.

$\int (e^{x} + e^{– x}) d x$

En los siguientes ejercicios, resuelva el problema de valor inicial.

499.

$f^{'} (x) = x^{−3}, f (1) = 1$

500.

$f^{'} (x) = \sqrt{x} + x^{2}, f (0) = 2$

501.

$f^{'} (x) = cos x + {sec}^{2} (x), f (\frac{π}{4}) = 2 + \frac{\sqrt{2}}{2}$

502.

$f^{'} (x) = x^{3} - 8 x^{2} + 16 x + 1, f (0) = 0$

503.

$f^{'} (x) = \frac{2}{x^{2}} - \frac{x^{2}}{2}, f (1) = 0$

En los siguientes ejercicios, halle dos posibles funciones $f$ dadas las derivadas de segundo o tercer orden.

504.

$f ″ (x) = x^{2} + 2$

505.

$f ″ (x) = e^{– x}$

506.

$f ″ (x) = 1 + x$

507.

$f ‴ (x) = cos x$

508.

$f ‴ (x) = 8 e^{−2 x} - sen x$

509.

Un auto va a una velocidad de $40$ mph cuando se aplican los frenos. El auto decelera a una velocidad constante de $10$ pies/seg². ¿Cuánto tiempo falta para que el auto se detenga?

510.

En el problema anterior, calcule la distancia que recorre el auto en el tiempo que tarda en detenerse.

511.

Está entrando en la autopista, acelerando a una velocidad constante de $12$ pies/seg². ¿Cuánto tiempo tarda en alcanzar la velocidad de incorporación a $60$ mph?

512.

Según el problema anterior, ¿qué distancia recorre el auto para alcanzar la velocidad de incorporación?

513.

Una empresa de automóviles quiere asegurarse de que su modelo más reciente pueda detenerse en $8$ segundos cuando va a $75$ mph. Si suponemos una deceleración constante, halle el valor de la deceleración que la produce.

514.

Una empresa de automóviles quiere asegurarse de que su modelo más reciente pueda detenerse en menos de $450$ ft cuando va a $60$ mph. Si suponemos una deceleración constante, halle el valor de la deceleración que la produce.

En los siguientes ejercicios, halle la antiderivada de la función, suponiendo $F (0) = 0 .$

515.

[T] $f (x) = x^{2} + 2$

516.

[T] $f (x) = 4 x - \sqrt{x}$

517.

[T] $f (x) = sen x + 2 x$

518.

[T] $f (x) = e^{x}$

519.

[T] $f (x) = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

520.

[T] $f (x) = e^{−2 x} + 3 x^{2}$

En los siguientes ejercicios, determine si la afirmación es verdadera o falsa. Demuestre que es verdadera o halle un contraejemplo si es falsa.

521.

Si los valores de $f (x)$ es la antiderivada de $v (x),$ entonces $2 f (x)$ es la antiderivada de $2 v (x) .$

522.

Si los valores de $f (x)$ es la antiderivada de $v (x),$ entonces $f (2 x)$ es la antiderivada de $v (2 x) .$

523.

Si $f (x)$ es la antiderivada de $v (x),$ entonces $f (x) + 1$ es la antiderivada de $v (x) + 1 .$

524.

Si los valores de $f (x)$ es la antiderivada de $v (x),$ entonces ${(f (x))}^{2}$ es la antiderivada de ${(v (x))}^{2} .$

4.10 Antiderivadas

El inverso de la diferenciación

Forma general de una antiderivada

Encontrar antiderivadas

Solución

Integrales indefinidas

Regla de la potencia para integrales

Verificación de una integral indefinida

Solución

Propiedades de las integrales indefinidas

Evaluación de integrales indefinidas

Solución

Problemas de valor inicial

Resolución de un problema de valor inicial

Solución

Auto en desaceleración

Solución

Sección 4.10 ejercicios