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Cálculo volumen 1

4.10 Antiderivadas

Cálculo volumen 14.10 Antiderivadas

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Índice
  1. Prefacio
  2. 1 Funciones y gráficos
    1. Introducción
    2. 1.1 Repaso de las funciones
    3. 1.2 Clases básicas de funciones
    4. 1.3 Funciones trigonométricas
    5. 1.4 Funciones inversas
    6. 1.5 Funciones exponenciales y logarítmicas
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  3. 2 Límites
    1. Introducción
    2. 2.1 Un repaso previo del cálculo
    3. 2.2 El límite de una función
    4. 2.3 Las leyes de los límites
    5. 2.4 Continuidad
    6. 2.5 La definición precisa de un límite
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  4. 3 Derivadas
    1. Introducción
    2. 3.1 Definir la derivada
    3. 3.2 La derivada como función
    4. 3.3 Reglas de diferenciación
    5. 3.4 Las derivadas como tasas de cambio
    6. 3.5 Derivadas de funciones trigonométricas
    7. 3.6 La regla de la cadena
    8. 3.7 Derivadas de funciones inversas
    9. 3.8 Diferenciación implícita
    10. 3.9 Derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas
    11. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  5. 4 Aplicaciones de las derivadas
    1. Introducción
    2. 4.1 Tasas relacionadas
    3. 4.2 Aproximaciones lineales y diferenciales
    4. 4.3 Máximos y mínimos
    5. 4.4 El teorema del valor medio
    6. 4.5 Las derivadas y la forma de un gráfico
    7. 4.6 Límites al infinito y asíntotas
    8. 4.7 Problemas de optimización aplicados
    9. 4.8 La regla de L'Hôpital
    10. 4.9 Método de Newton
    11. 4.10 Antiderivadas
    12. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  6. 5 Integración
    1. Introducción
    2. 5.1 Aproximación de áreas
    3. 5.2 La integral definida
    4. 5.3 El teorema fundamental del cálculo
    5. 5.4 Fórmulas de integración y el teorema del cambio neto
    6. 5.5 Sustitución
    7. 5.6 Integrales con funciones exponenciales y logarítmicas
    8. 5.7 Integrales que resultan en funciones trigonométricas inversas
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  7. 6 Aplicaciones de la integración
    1. Introducción
    2. 6.1 Áreas entre curvas
    3. 6.2 Determinar los volúmenes mediante el corte
    4. 6.3 Volúmenes de revolución: capas cilíndricas
    5. 6.4 Longitud del arco de una curva y superficie
    6. 6.5 Aplicaciones físicas
    7. 6.6 Momentos y centros de masa
    8. 6.7 Integrales, funciones exponenciales y logaritmos
    9. 6.8 Crecimiento y decaimiento exponencial
    10. 6.9 Cálculo de las funciones hiperbólicas
    11. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  8. A Tabla de integrales
  9. B Tabla de derivadas
  10. C Repaso de Precálculo
  11. Clave de respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
  12. Índice

Objetivos de aprendizaje

  • 4.10.1 Encontrar la antiderivada general de una función dada.
  • 4.10.2 Explicar los términos y la notación utilizada para una integral indefinida.
  • 4.10.3 Enunciar la regla de la potencia para integrales.
  • 4.10.4 Utilizar la antidiferenciación para resolver problemas sencillos de valor inicial.

En este punto ya hemos visto cómo calcular las derivadas de muchas funciones y se nos presentó una variedad de sus aplicaciones. Ahora haremos una pregunta que da la vuelta a este proceso: Dada una función f,f, ¿cómo encontramos una función con la derivada ff y por qué nos interesa esa función?

Responderemos a la primera parte de esta pregunta definiendo las antiderivadas. La antiderivada de una función ff es una función con una derivada f.f. ¿Por qué nos interesan las antiderivadas? La necesidad de las antiderivadas surge en muchas situaciones, y a lo largo del texto veremos varios ejemplos. Aquí examinaremos un ejemplo específico que implica un movimiento rectilíneo. En nuestro análisis del movimiento rectilíneo en Derivadas, demostramos que dada una función de posición s(t)s(t) de un objeto, entonces su función de velocidad v(t)v(t) es la derivada de s(t)s(t)−es decir, v(t)=s(t).v(t)=s(t). Además, la aceleración a(t)a(t) es la derivada de la velocidad v(t)v(t)−es decir, a(t)=v(t)=s(t).a(t)=v(t)=s(t). Supongamos ahora que nos dan una función de aceleración a,a, pero no la función de velocidad vv o la función de posición s.s. Dado que a(t)=v(t),a(t)=v(t), determinar la función de velocidad nos obliga a encontrar una antiderivada de la función de aceleración. Luego, dado que v(t)=s(t),v(t)=s(t), determinar la función de posición nos obliga a encontrar una antiderivada de la función de velocidad. El movimiento rectilíneo es solo un caso en el que surge la necesidad de las antiderivadas. Veremos muchos más ejemplos a lo largo del resto del texto. Por ahora, veremos la terminología y la notación de las antiderivadas, y determinaremos las antiderivadas de varios tipos de funciones. Más adelante en el texto (Introducción a técnicas de integración) examinaremos varias técnicas para encontrar antiderivadas de funciones más complicadas.

El inverso de la diferenciación

En este punto ya sabemos cómo encontrar las derivadas de varias funciones. Ahora nos preguntamos lo contrario. Dada una función f,f, ¿cómo podemos encontrar una función con derivada f?f? Si podemos encontrar una función FF con derivada f,f, llamamos FF como antiderivada de f.f.

Definición

Una función FF es una antiderivada de la función ff si

F(x)=f(x)F(x)=f(x)

para todos los xx en el dominio de f.f.

Considere la función f(x)=2 x.f(x)=2 x. Ya que conocemos la regla de la potencia de la diferenciación, concluimos que F(x)=x2 F(x)=x2 es una antiderivada de ff dado que F(x)=2 x.F(x)=2 x. ¿Existen otras antiderivadas de f?f? Sí, ya que la derivada de cualquier constante CC es cero, x2 +Cx2 +C es también una antiderivada de 2 x.2 x. Por lo tanto, x2 +5x2 +5 y x2 2 x2 2 también son antiderivadas. ¿Hay otras que no sean de la forma x2 +Cx2 +C para alguna constante C?C? No. Del corolario 2 2 del teorema del valor medio, sabemos que si FF y GG son funciones diferenciables tales que F(x)=G(x),F(x)=G(x), entonces F(x)G(x)=CF(x)G(x)=C para alguna constante C.C. Este hecho nos lleva al siguiente teorema de importancia.

Teorema 4.14

Forma general de una antiderivada

Supongamos que FF es una antiderivada de ff en un intervalo I.I. Entonces,

  1. para cada constante C,C, la función F(x)+CF(x)+C es también una antiderivada de ff en I;I;
  2. si GG es una antiderivada de ff en I,I, hay una constante CC para la cual G(x)=F(x)+CG(x)=F(x)+C en I.I.

En otras palabras, la forma más general de la antiderivada de ff en II ¿es F(x)+C.F(x)+C.

Usamos este hecho y nuestro conocimiento de las derivadas para hallar todas las antiderivadas de varias funciones.

Ejemplo 4.50

Encontrar antiderivadas

Para cada una de las siguientes funciones, halle todas las antiderivadas.

  1. f(x)=3x2 f(x)=3x2
  2. f(x)=1xf(x)=1x
  3. f(x)=cosxf(x)=cosx
  4. f(x)=exf(x)=ex

Punto de control 4.49

Calcule todas las antiderivadas de f(x)=senx.f(x)=senx.

Integrales indefinidas

A continuación veremos la notación formal utilizada para representar las antiderivadas y examinaremos algunas de sus propiedades, las cuales nos permiten encontrar antiderivadas de funciones más complicadas. Dada una función f,f, utilizamos la notación f(x)f(x) o dfdxdfdx para denotar la derivada de f.f. Aquí presentamos la notación para las antiderivadas. Si los valores de FF es una antiderivada de f,f, decimos que F(x)+CF(x)+C es la antiderivada más general de ff y escribimos

f(x)dx=F(x)+C.f(x)dx=F(x)+C.

El símbolo se llama signo integral, y f(x)dxf(x)dx se denomina integral indefinida de f.f.

Definición

Dada una función f,f, la integral indefinida de f,f, denotada

f(x)dx,f(x)dx,

es la antiderivada más general de f.f. Si FF es una antiderivada de f,f, entonces

f(x)dx=F(x)+C.f(x)dx=F(x)+C.

La expresión f(x)f(x) se denomina integrando y la variable xx es la variable de integración.

Dada la terminología presentada en esta definición, el acto de encontrar las antiderivadas de una función ff se denomina normalmente integración f.f.

Para una función ff y una antiderivada F,F, las funciones F(x)+C,F(x)+C, donde CC es un número real cualquiera, se suele denominar familia de antiderivadas de f.f. Por ejemplo, ya que x2 x2 es una antiderivada de 2 x2 x y cualquier antiderivada de 2 x2 x es de la forma x2 +C,x2 +C, escribimos

2 xdx=x2 +C.2 xdx=x2 +C.

La colección de todas las funciones de la forma x2 +C,x2 +C, donde CC es un número real cualquiera, se conoce como la familia de antiderivadas de 2 x.2 x. La Figura 4.85 muestra un gráfico de esta familia de antiderivadas.

Se muestran los gráficos de y = x2 + 2, y = x2 + 1, y = x2, y = x2 - 1 y y = x2 – 2.
Figura 4.85 La familia de antiderivadas de 2 x 2 x consiste en todas las funciones de la forma x 2 + C , x 2 + C , donde C C es un número real cualquiera.

En algunas funciones, la evaluación de integrales indefinidas se deduce directamente de las propiedades de las derivadas. Por ejemplo, para n1,n1,

xndx=xn+1n+1+C,xndx=xn+1n+1+C,

que viene directamente de

ddx(xn+1n+1)=(n+1)xnn+1=xn.ddx(xn+1n+1)=(n+1)xnn+1=xn.

Este hecho se conoce como la regla de la potencia para integrales.

Teorema 4.15

Regla de la potencia para integrales

Para n1,n1,

xndx=xn+1n+1+C.xndx=xn+1n+1+C.

La evaluación de integrales indefinidas para algunas otras funciones también es un cálculo sencillo. La siguiente tabla enumera las integrales indefinidas de varias funciones comunes. En el Apéndice B figura una lista más completa.

Fórmula de diferenciación Integral Indefinida
ddx(k)=0ddx(k)=0 kdx=kx0dx=kx+Ckdx=kx0dx=kx+C
ddx(xn)=nxn1ddx(xn)=nxn1 xndx=xn+1n+1+Cxndx=xn+1n+1+C por n1n1
ddx(ln|x|)=1xddx(ln|x|)=1x 1xdx=ln|x|+C1xdx=ln|x|+C
ddx(ex)=exddx(ex)=ex exdx=ex+Cexdx=ex+C
ddx(senx)=cosxddx(senx)=cosx cosxdx=senx+Ccosxdx=senx+C
ddx(cosx)=senxddx(cosx)=senx senxdx=cosx+Csenxdx=cosx+C
ddx(tanx)=sec2 xddx(tanx)=sec2 x sec2 xdx=tanx+Csec2 xdx=tanx+C
ddx(cscx)=cscxcotxddx(cscx)=cscxcotx cscxcotxdx=cscx+Ccscxcotxdx=cscx+C
ddx(secx)=secxtanxddx(secx)=secxtanx secxtanxdx=secx+Csecxtanxdx=secx+C
ddx(cotx)=csc2 xddx(cotx)=csc2 x csc2 xdx=cotx+Ccsc2 xdx=cotx+C
ddx(sen−1x)=11x2 ddx(sen−1x)=11x2 11x2 =sen−1x+C11x2 =sen−1x+C
ddx(tan−1x)=11+x2 ddx(tan−1x)=11+x2 11+x2 dx=tan−1x+C11+x2 dx=tan−1x+C
ddx(sec−1|x|)=1xx2 1ddx(sec−1|x|)=1xx2 1 1xx2 1dx=sec−1|x|+C1xx2 1dx=sec−1|x|+C
Tabla 4.13 Fórmulas de integración

A partir de la definición de integral indefinida de f,f, sabemos que

f(x)dx=F(x)+Cf(x)dx=F(x)+C

si y solo si FF es una antiderivada de f.f. Por lo tanto, al afirmar que

f(x)dx=F(x)+Cf(x)dx=F(x)+C

es importante verificar si esta afirmación es correcta comprobando que F(x)=f(x).F(x)=f(x).

Ejemplo 4.51

Verificación de una integral indefinida

Cada uno de los siguientes enunciados es de la forma f(x)dx=F(x)+C.f(x)dx=F(x)+C. Compruebe que cada afirmación es correcta demostrando que F(x)=f(x).F(x)=f(x).

  1. (x+ex)dx=x2 2 +ex+C(x+ex)dx=x2 2 +ex+C
  2. xexdx=xexex+Cxexdx=xexex+C (carbono 14).

Punto de control 4.50

Verifique que xcosxdx=xsenx+cosx+C.xcosxdx=xsenx+cosx+C.

En la Tabla 4.13, enumeramos las integrales indefinidas de muchas funciones elementales. Pasemos ahora a evaluar integrales indefinidas para funciones más complicadas. Por ejemplo, considere hallar la antiderivada de la suma f+g.f+g. En el Ejemplo 4.51a. demostramos que una antiderivada de la suma x+exx+ex viene dada por la suma (x2 2 )+ex(x2 2 )+ex es decir, la antiderivada de una suma viene dada por una suma de antiderivadas. Este resultado no es específico de este ejemplo. En general, si FF y GG son antiderivadas de cualquier función ff y g,g, respectivamente, entonces

ddx(F(x)+G(x))=F(x)+G(x)=f(x)+g(x).ddx(F(x)+G(x))=F(x)+G(x)=f(x)+g(x).

Por lo tanto, F(x)+G(x)F(x)+G(x) es una antiderivada de f(x)+g(x)f(x)+g(x) y tenemos

(f(x)+g(x))dx=F(x)+G(x)+C.(f(x)+g(x))dx=F(x)+G(x)+C.

De la misma manera,

(f(x)g(x))dx=F(x)G(x)+C.(f(x)g(x))dx=F(x)G(x)+C.

Además, consideremos la tarea de encontrar una antiderivada de kf(x),kf(x), donde kk es un número real cualquiera. Dado que

ddx(kf(x))=kddxF(x)=kf(x)ddx(kf(x))=kddxF(x)=kf(x)

para cualquier número real k,k, concluimos que

kf(x)dx=kF(x)+C.kf(x)dx=kF(x)+C.

Estas propiedades se resumen a continuación.

Teorema 4.16

Propiedades de las integrales indefinidas

Supongamos que FF y GG son antiderivadas de ff y g,g, respectivamente y supongamos que kk es cualquier número real.

Sumas y diferencias

(f(x)±g(x))dx=F(x)±G(x)+C(f(x)±g(x))dx=F(x)±G(x)+C

Múltiples constantes

kf(x)dx=kF(x)+Ckf(x)dx=kF(x)+C

A partir de este teorema, podemos evaluar cualquier integral que implique una suma, diferencia o múltiplo constante de funciones con antiderivadas conocidas. La evaluación de integrales que implican productos, cocientes o composiciones es más complicada (vea el Ejemplo 4.51b., que involucra la antiderivada de un producto). En la Introducción a la integración veremos y trataremos las integrales que involucran estas funciones más complicadas. En el siguiente ejemplo, examinaremos cómo utilizar este teorema para calcular las integrales indefinidas de varias funciones.

Ejemplo 4.52

Evaluación de integrales indefinidas

Evalúe cada una de las siguientes integrales indefinidas:

  1. (5x37x2 +3x+4)dx(5x37x2 +3x+4)dx
  2. x2 +4x3xdxx2 +4x3xdx
  3. 41+x2 dx41+x2 dx
  4. tanxcosxdxtanxcosxdx

Punto de control 4.51

Evalúe (4x35x2 +x7)dx.(4x35x2 +x7)dx.

Problemas de valor inicial

Más adelante veremos las técnicas para integrar una gran variedad de funciones que implican productos, cocientes y composiciones. A continuación, nos ocuparemos de un uso común de las antiderivadas que surge a menudo en muchas aplicaciones: la resolución de ecuaciones diferenciales.

Una ecuación diferencial es una ecuación que relaciona una función desconocida y una o varias de sus derivadas. La ecuación

dydx=f(x)dydx=f(x)
(4.9)

es un ejemplo sencillo de ecuación diferencial. Resolver esta ecuación significa encontrar una función yy con una derivada f.f. Por lo tanto, las soluciones de la Ecuación 4.9 son las antiderivadas de f.f. Si FF es una antiderivada de f,f, toda función de la forma y=F(x)+Cy=F(x)+C es una solución de esa ecuación diferencial. Por ejemplo, las soluciones de

dydx=6x2 dydx=6x2

vienen dadas por

y=6x2 dx=2 x3+C.y=6x2 dx=2 x3+C.

A veces nos interesa determinar si una curva de solución particular pasa por un punto determinado (x0,y0)(x0,y0)−es decir, y(x0)=y0.y(x0)=y0. El problema de encontrar una función yy que satisfaga una ecuación diferencial

dydx=f(x)dydx=f(x)
(4.10)

con la condición adicional

y(x0)=y0y(x0)=y0
(4.11)

es un ejemplo de problema de valor inicial. La condición y(x0)=y0y(x0)=y0 se conoce como condición inicial. Por ejemplo, al buscar una función yy que satisfaga la ecuación diferencial

dydx=6x2 dydx=6x2

y la condición inicial

y(1)=5y(1)=5

es un ejemplo de problema de valor inicial. Dado que las soluciones de la ecuación diferencial son y=2 x3+C,y=2 x3+C, para encontrar una función yy que también satisfaga la condición inicial, necesitamos encontrar CC de manera que y(1)=2 (1)3+C=5.y(1)=2 (1)3+C=5. De esta ecuación, vemos que C=3,C=3, y concluimos que y=2 x3+3y=2 x3+3 es la solución de este problema de valor inicial como se muestra en el siguiente gráfico.

Se muestran los gráficos de y = 2x3 + 6, y = 2x3 + 3, y = 2x3 y y = 2x3 - 3.
Figura 4.86 Se muestran algunas de las curvas de solución de la ecuación diferencial d y d x = 6 x 2 d y d x = 6 x 2 . La función y = 2 x 3 + 3 y = 2 x 3 + 3 satisface la ecuación diferencial y la condición inicial y ( 1 ) = 5 . y ( 1 ) = 5 .

Ejemplo 4.53

Resolución de un problema de valor inicial

Resuelva el problema de valor inicial

dydx=senx,y(0)=5.dydx=senx,y(0)=5.

Punto de control 4.52

Resuelva el problema de valor inicial dydx=3x−2,y(1)=2 .dydx=3x−2,y(1)=2 .

Los problemas de valor inicial surgen en muchas aplicaciones. A continuación consideraremos un problema en el que un conductor usa los frenos en un automóvil. Nos interesa saber cuánto tiempo tarda el automóvil en detenerse. Recordemos que la función de velocidad v(t)v(t) es la derivada de una función de posición s(t),s(t), y la aceleración a(t)a(t) es la derivada de la función de velocidad. En los ejemplos anteriores del texto, pudimos calcular la velocidad a partir de la posición y luego la aceleración a partir de la velocidad. En el siguiente ejemplo trabajaremos de manera inversa. Dada una función de aceleración, calcularemos la función de velocidad. A continuación, utilizaremos la función de velocidad para determinar la función de posición.

Ejemplo 4.54

Auto en desaceleración

Un auto viaja a la velocidad de 8888 ft/s (60(60 mph) cuando se aplican los frenos. El automóvil comienza a desacelerar a una velocidad constante de 1515 ft/s2.

  1. ¿Cuántos segundos pasan antes de que el auto se detenga?
  2. ¿Qué distancia recorre el auto en ese tiempo?

Punto de control 4.53

Supongamos que el auto se desplaza a la velocidad de 4444 ft/s. ¿Cuánto tiempo tarda en detenerse? ¿Qué distancia recorrerá el auto?

Sección 4.10 ejercicios

En los siguientes ejercicios, demuestre que F(x)F(x) son antiderivadas de f(x).f(x).

465.

F ( x ) = 5 x 3 + 2 x 2 + 3 x + 1 , f ( x ) = 15 x 2 + 4 x + 3 F ( x ) = 5 x 3 + 2 x 2 + 3 x + 1 , f ( x ) = 15 x 2 + 4 x + 3

466.

F ( x ) = x 2 + 4 x + 1 , f ( x ) = 2 x + 4 F ( x ) = x 2 + 4 x + 1 , f ( x ) = 2 x + 4

467.

F(x)=x2 ex,f(x)=ex(x2 +2 x)F(x)=x2 ex,f(x)=ex(x2 +2 x) grandes.

468.

F ( x ) = cos x , f ( x ) = sen x F ( x ) = cos x , f ( x ) = sen x

469.

F ( x ) = e x , f ( x ) = e x F ( x ) = e x , f ( x ) = e x

En los siguientes ejercicios, halle la antiderivada de la función.

470.

f ( x ) = 1 x 2 + x f ( x ) = 1 x 2 + x

471.

f ( x ) = e x 3 x 2 + sen x f ( x ) = e x 3 x 2 + sen x

472.

f ( x ) = e x + 3 x x 2 f ( x ) = e x + 3 x x 2

473.

f(x)=x1+4sen(2 x)f(x)=x1+4sen(2 x) grandes.

En los siguientes ejercicios, halle la antiderivada F(x)F(x) de cada función f(x).f(x).

474.

f ( x ) = 5 x 4 + 4 x 5 f ( x ) = 5 x 4 + 4 x 5

475.

f ( x ) = x + 12 x 2 f ( x ) = x + 12 x 2

476.

f ( x ) = 1 x f ( x ) = 1 x

477.

f ( x ) = ( x ) 3 f ( x ) = ( x ) 3

478.

f ( x ) = x 1 / 3 + ( 2 x ) 1 / 3 f ( x ) = x 1 / 3 + ( 2 x ) 1 / 3

479.

f ( x ) = x 1 / 3 x 2 / 3 f ( x ) = x 1 / 3 x 2 / 3

480.

f(x)=2 sen(x)+sen(2 x)f(x)=2 sen(x)+sen(2 x) grandes.

481.

f ( x ) = sec 2 ( x ) + 1 f ( x ) = sec 2 ( x ) + 1

482.

f ( x ) = sen x cos x f ( x ) = sen x cos x

483.

f(x)=sen2 (x)cos(x)f(x)=sen2 (x)cos(x) grandes.

484.

f ( x ) = 0 f ( x ) = 0

485.

f ( x ) = 1 2 csc 2 ( x ) + 1 x 2 f ( x ) = 1 2 csc 2 ( x ) + 1 x 2

486.

f ( x ) = csc x cot x + 3 x f ( x ) = csc x cot x + 3 x

487.

f ( x ) = 4 csc x cot x sec x tan x f ( x ) = 4 csc x cot x sec x tan x

488.

f(x)=8secx(secx4tanx)f(x)=8secx(secx4tanx) grandes.

489.

f ( x ) = 1 2 e −4 x + sen x f ( x ) = 1 2 e −4 x + sen x

En los siguientes ejercicios, evalúe la integral.

490.

( –1 ) d x ( –1 ) d x

491.

sen x d x sen x d x

492.

( 4 x + x ) d x ( 4 x + x ) d x

493.

3 x 2 + 2 x 2 d x 3 x 2 + 2 x 2 d x

494.

( sec x tan x + 4 x ) d x ( sec x tan x + 4 x ) d x

495.

( 4 x + x 4 ) d x ( 4 x + x 4 ) d x

496.

( x −1 / 3 x 2 / 3 ) d x ( x −1 / 3 x 2 / 3 ) d x

497.

14 x 3 + 2 x + 1 x 3 d x 14 x 3 + 2 x + 1 x 3 d x

498.

( e x + e x ) d x ( e x + e x ) d x

En los siguientes ejercicios, resuelva el problema de valor inicial.

499.

f ( x ) = x −3 , f ( 1 ) = 1 f ( x ) = x −3 , f ( 1 ) = 1

500.

f ( x ) = x + x 2 , f ( 0 ) = 2 f ( x ) = x + x 2 , f ( 0 ) = 2

501.

f ( x ) = cos x + sec 2 ( x ) , f ( π 4 ) = 2 + 2 2 f ( x ) = cos x + sec 2 ( x ) , f ( π 4 ) = 2 + 2 2

502.

f ( x ) = x 3 8 x 2 + 16 x + 1 , f ( 0 ) = 0 f ( x ) = x 3 8 x 2 + 16 x + 1 , f ( 0 ) = 0

503.

f ( x ) = 2 x 2 x 2 2 , f ( 1 ) = 0 f ( x ) = 2 x 2 x 2 2 , f ( 1 ) = 0

En los siguientes ejercicios, halle dos posibles funciones ff dadas las derivadas de segundo o tercer orden.

504.

f ( x ) = x 2 + 2 f ( x ) = x 2 + 2

505.

f ( x ) = e x f ( x ) = e x

506.

f ( x ) = 1 + x f ( x ) = 1 + x

507.

f ( x ) = cos x f ( x ) = cos x

508.

f ( x ) = 8 e −2 x sen x f ( x ) = 8 e −2 x sen x

509.

Un auto va a una velocidad de 4040 mph cuando se aplican los frenos. El auto decelera a una velocidad constante de 1010 pies/seg2. ¿Cuánto tiempo falta para que el auto se detenga?

510.

En el problema anterior, calcule la distancia que recorre el auto en el tiempo que tarda en detenerse.

511.

Está entrando en la autopista, acelerando a una velocidad constante de 1212 pies/seg2. ¿Cuánto tiempo tarda en alcanzar la velocidad de incorporación a 6060 mph?

512.

Según el problema anterior, ¿qué distancia recorre el auto para alcanzar la velocidad de incorporación?

513.

Una empresa de automóviles quiere asegurarse de que su modelo más reciente pueda detenerse en 88 segundos cuando va a 7575 mph. Si suponemos una deceleración constante, halle el valor de la deceleración que la produce.

514.

Una empresa de automóviles quiere asegurarse de que su modelo más reciente pueda detenerse en menos de 450450 ft cuando va a 6060 mph. Si suponemos una deceleración constante, halle el valor de la deceleración que la produce.

En los siguientes ejercicios, halle la antiderivada de la función, suponiendo F(0)=0.F(0)=0.

515.

[T] f(x)=x2 +2 f(x)=x2 +2

516.

[T] f(x)=4xxf(x)=4xx

517.

[T] f(x)=senx+2 xf(x)=senx+2 x

518.

[T] f(x)=exf(x)=ex

519.

[T] f(x)=1(x+1)2 f(x)=1(x+1)2

520.

[T] f(x)=e−2x+3x2 f(x)=e−2x+3x2

En los siguientes ejercicios, determine si la afirmación es verdadera o falsa. Demuestre que es verdadera o halle un contraejemplo si es falsa.

521.

Si los valores de f(x)f(x) es la antiderivada de v(x),v(x), entonces 2 f(x)2 f(x) es la antiderivada de 2 v(x).2 v(x).

522.

Si los valores de f(x)f(x) es la antiderivada de v(x),v(x), entonces f(2 x)f(2 x) es la antiderivada de v(2 x).v(2 x).

523.

Si f(x)f(x) es la antiderivada de v(x),v(x), entonces f(x)+1f(x)+1 es la antiderivada de v(x)+1.v(x)+1.

524.

Si los valores de f(x)f(x) es la antiderivada de v(x),v(x), entonces (f(x))2 (f(x))2 es la antiderivada de (v(x))2 .(v(x))2 .

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