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Cálculo volumen 1

Términos clave

Cálculo volumen 1Términos clave

Términos clave

antiderivada
una función FF de manera que F(x)=f(x)F(x)=f(x) para todo xx en el dominio de ff es una antiderivada de ff
aproximación de la línea tangente (linealización)
ya que la aproximación lineal de ff en x=ax=a se define mediante la ecuación de la línea tangente, la aproximación lineal de ff en x=ax=a también se conoce como la aproximación de la línea tangente a ff en x=ax=a
aproximación lineal
la función lineal L(x)=f(a)+f(a)(xa)L(x)=f(a)+f(a)(xa) es la aproximación lineal de ff en x=ax=a
asíntota horizontal
si límxf(x)=Llímxf(x)=L o límxf(x)=L,límxf(x)=L, entonces y=Ly=L es una asíntota horizontal de ff
asíntota oblicua
la línea y=mx+by=mx+b si f(x)f(x) se acerca a ella cuando xx o xx
comportamiento final
el comportamiento de una función cuando xx y xx
cóncava hacia abajo
si ff es diferenciable en un intervalo II y ff disminuye en I,I, entonces ff es cóncava hacia abajo en II
concavidad
la curva ascendente o descendente gráfico de una función
cóncavo hacia arriba
si ff es diferenciable en un intervalo II y ff aumenta en I,I, entonces ff es cóncava hacia arriba en II
diferencial
el diferencial dxdx es una variable independiente a la que se puede asignar cualquier número real distinto de cero; el diferencial dydy se define como dy=f(x)dxdy=f(x)dx
error porcentual
el error relativo expresado en porcentaje
error propagado
el error que resulta de una cantidad calculada f(x)f(x) resultante de un error de medición dx
error relativo
dado un error absoluto ΔqΔq para una cantidad determinada, ΔqqΔqq es el error relativo.
extremo absoluto
si ff tiene un máximo absoluto o un mínimo absoluto en c,c, decimos ff tiene un extremo absoluto en cc
extremo local
si ff tiene un máximo o un mínimo local en c,c, decimos ff tiene un extremo local en cc
forma diferencial
dada una función diferenciable y=f(x),y=f(x), la ecuación dy=f(x)dxdy=f(x)dx es la forma diferencial de la derivada de yy con respecto a xx
formas indeterminadas
al evaluar un límite, las formas 00,00, /,/, 0.,0., ,, 00,00, 0,0, y 11 se consideran indeterminadas porque se requiere un análisis adicional para determinar si el límite existe y, en caso afirmativo, cuál es su valor
integral indefinida
la antiderivada más usual de f(x)f(x) es la integral indefinida de f;f; utilizamos la notación f(x)dxf(x)dx para denotar la integral indefinida de ff
La regla de L'Hôpital
si ff y gg son funciones diferenciables sobre un intervalo a,a, excepto posiblemente en a,a, y límxaf(x)=0=límxag(x)límxaf(x)=0=límxag(x) o límxaf(x)límxaf(x) y límxag(x)límxag(x) son infinitos, entonces límxaf(x)g(x)=límxaf(x)g(x),límxaf(x)g(x)=límxaf(x)g(x), asumiendo que el límite de la derecha existe o es o
límite al infinito
el valor límite, si existe, de una función cuando xx o xx
límite infinito al infinito
una función que se hace arbitrariamente grande a medida que x se hace grande
máximo absoluto
si f(c)f(x)f(c)f(x) para todo xx en el dominio de f,f, decimos ff tiene un máximo absoluto en cc
máximo local
si existe un intervalo II de manera que f(c)f(x)f(c)f(x) para todo xI,xI, decimos ff tiene un máximo local en cc
método de Newton
método de aproximación a las raíces de f(x)=0;f(x)=0; utilizando una conjetura inicial x0;x0; cada aproximación posterior se define por la ecuación xn=xn1f(xn1)f(xn1)xn=xn1f(xn1)f(xn1)
mínimo absoluto
si f(c)f(x)f(c)f(x) para todo xx en el dominio de f,f, decimos ff tiene un mínimo absoluto en cc
mínimo local
si existe un intervalo II de manera que f(c)f(x)f(c)f(x) para todo xI,xI, decimos ff tiene un mínimo local en cc
problema de valor inicial
problema que requiere encontrar una función yy que satisfaga la ecuación diferencial dydx=f(x)dydx=f(x) junto con la condición inicial y(x0)=y0y(x0)=y0
problemas de optimización
problemas que se resuelven encontrando el valor máximo o mínimo de una función
proceso iterativo
proceso en el que una lista de números x0,x1,x2 ,x3x0,x1,x2 ,x3 se genera empezando por un número x0x0 y definiendo xn=F(xn1)xn=F(xn1) por n1n1
prueba de concavidad
supongamos que ff es dos veces diferenciable en un intervalo I;I; si f>0f>0 en I,I, entonces ff es cóncava hacia arriba en I;I; si f<0f<0 en I,I, entonces ff es cóncava hacia abajo en II
prueba de la primera derivada
supongamos que ff es una función continua en un intervalo II que contiene un punto crítico cc de manera que ff es diferenciable sobre II excepto posiblemente en c;c; si ff cambia de signo de positivo a negativo a medida que xx aumenta a través de c,c, entonces ff tiene un máximo local en c;c; si ff cambia el signo de negativo a positivo a medida que xx aumenta a través de c,c, entonces ff tiene un mínimo local en c;c; si ff no cambia de signo cuando xx aumenta a través de c,c, entonces ff no tienen un extremo local en cc
prueba de la segunda derivada
supongamos que f(c)=0f(c)=0 y ff es continua en un intervalo que contiene c;c; si f(c)>0,f(c)>0, entonces ff tiene un mínimo local en c;c; si f(c)<0,f(c)<0, entonces ff tiene un máximo local en c;c; si f(c)=0,f(c)=0, entonces la prueba no es concluyente
punto crítico
el punto (c, f(c))(c, f(c)) un punto crítico de ff
punto crítico
si f(c)=0f(c)=0 o f(c)f(c) es indefinido, decimos que cc es un número crítico de ff
punto de inflexión
si ff es continua en cc como ff cambia la concavidad en c,c, el punto (c,f(c))(c,f(c)) es un punto de inflexión de ff
tasas relacionadas
son tasas de cambio asociadas a dos o más cantidades relacionadas que cambian con el tiempo
teorema de Fermat
si ff tiene un extremo local en c,c, entonces cc es un punto crítico de ff
teorema de Rolle
si ff es continua en [a,b][a,b] y diferenciable sobre (a,b),(a,b), y si f(a)=f(b),f(a)=f(b), entonces existe c(a,b)c(a,b) tal que f(c)=0f(c)=0
teorema del valor extremo
si ff es una función continua en un intervalo finito y cerrado, entonces ff tiene un máximo y un mínimo absolutos
teorema del valor medio
si ff es continua en [a,b][a,b] y diferenciable sobre (a,b),(a,b), entonces existe c(a,b)c(a,b) de manera que
f(c)=f(b)f(a)baf(c)=f(b)f(a)ba
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