Gilbert Strang; Edwin “Jed” Herman

Una imagen de una nave espacial futurista atravesando el espacio sideral a toda velocidad.

Figura 2.1 La visión de la exploración humana por parte de la Administración Nacional de Aeronáutica y del Espacio (National Aeronautics and Space Administration, NASA) a lugares lejanos del universo ilustra la idea de los viajes espaciales a gran velocidad. Pero, ¿hay un límite para la velocidad de una nave espacial? (créditos: NASA).

Esquema del capítulo

2.1 Un repaso previo del cálculo

2.2 El límite de una función

2.3 Las leyes de los límites

2.4 Continuidad

2.5 La definición precisa de un límite

Los escritores de ciencia ficción suelen imaginar naves espaciales que pueden viajar a planetas lejanos en galaxias distantes. Sin embargo, en 1905, Albert Einstein demostró que existe un límite a la velocidad que puede alcanzar cualquier objeto. El problema es que cuanto más rápido se mueve un objeto, más masa alcanza (en forma de energía), según la ecuación

m = \frac{m_{0}}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}},

donde m₀ es la masa del objeto en reposo, v es su velocidad y c es la velocidad de la luz. ¿Cuál es el límite de velocidad? (Analizamos este problema con más detalle en el Ejemplo 2.12).

La idea de límite es fundamental para todo el cálculo. Comenzamos este capítulo examinando por qué los límites son tan importantes. A continuación, pasamos a describir cómo calcular el límite de una función en un punto determinado. No todas las funciones tienen límites en todos los puntos, y discutimos lo que esto significa y cómo podemos saber si una función tiene o no un límite en un valor particular. Este capítulo se ha creado de manera informal e intuitiva, pero esto no siempre es suficiente si necesitamos demostrar un enunciado matemático que implique límites. La última sección de este capítulo presenta la definición más precisa de un límite y muestra cómo demostrar si una función tiene un límite.

Introducción

Esquema del capítulo