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Cálculo volumen 1

2.5 La definición precisa de un límite

Cálculo volumen 12.5 La definición precisa de un límite

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Índice
  1. Prefacio
  2. 1 Funciones y gráficos
    1. Introducción
    2. 1.1 Repaso de las funciones
    3. 1.2 Clases básicas de funciones
    4. 1.3 Funciones trigonométricas
    5. 1.4 Funciones inversas
    6. 1.5 Funciones exponenciales y logarítmicas
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  3. 2 Límites
    1. Introducción
    2. 2.1 Un repaso previo del cálculo
    3. 2.2 El límite de una función
    4. 2.3 Las leyes de los límites
    5. 2.4 Continuidad
    6. 2.5 La definición precisa de un límite
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  4. 3 Derivadas
    1. Introducción
    2. 3.1 Definir la derivada
    3. 3.2 La derivada como función
    4. 3.3 Reglas de diferenciación
    5. 3.4 Las derivadas como tasas de cambio
    6. 3.5 Derivadas de funciones trigonométricas
    7. 3.6 La regla de la cadena
    8. 3.7 Derivadas de funciones inversas
    9. 3.8 Diferenciación implícita
    10. 3.9 Derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas
    11. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  5. 4 Aplicaciones de las derivadas
    1. Introducción
    2. 4.1 Tasas relacionadas
    3. 4.2 Aproximaciones lineales y diferenciales
    4. 4.3 Máximos y mínimos
    5. 4.4 El teorema del valor medio
    6. 4.5 Las derivadas y la forma de un gráfico
    7. 4.6 Límites al infinito y asíntotas
    8. 4.7 Problemas de optimización aplicados
    9. 4.8 La regla de L'Hôpital
    10. 4.9 Método de Newton
    11. 4.10 Antiderivadas
    12. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  6. 5 Integración
    1. Introducción
    2. 5.1 Aproximación de áreas
    3. 5.2 La integral definida
    4. 5.3 El teorema fundamental del cálculo
    5. 5.4 Fórmulas de integración y el teorema del cambio neto
    6. 5.5 Sustitución
    7. 5.6 Integrales con funciones exponenciales y logarítmicas
    8. 5.7 Integrales que resultan en funciones trigonométricas inversas
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  7. 6 Aplicaciones de la integración
    1. Introducción
    2. 6.1 Áreas entre curvas
    3. 6.2 Determinar los volúmenes mediante el corte
    4. 6.3 Volúmenes de revolución: capas cilíndricas
    5. 6.4 Longitud del arco de una curva y superficie
    6. 6.5 Aplicaciones físicas
    7. 6.6 Momentos y centros de masa
    8. 6.7 Integrales, funciones exponenciales y logaritmos
    9. 6.8 Crecimiento y decaimiento exponencial
    10. 6.9 Cálculo de las funciones hiperbólicas
    11. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  8. A Tabla de integrales
  9. B Tabla de derivadas
  10. C Repaso de Precálculo
  11. Clave de respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
  12. Índice

Objetivos de aprendizaje

  • 2.5.1 Describir la definición épsilon-delta de un límite.
  • 2.5.2 Aplicar la definición épsilon-delta para hallar el límite de una función.
  • 2.5.3 Describir las definiciones épsilon-delta de los límites unilaterales y de los límites infinitos.
  • 2.5.4 Utilizar la definición épsilon-delta para demostrar las leyes de los límites.

Hasta ahora ya ha pasado de la definición muy informal de un límite en la introducción de este capítulo a la comprensión intuitiva de un límite. En este punto, debería tener una intuición muy fuerte de lo que significa el límite de una función y cómo puede hallarlo. En esta sección, convertiremos esa idea intuitiva de un límite en una definición formal utilizando un lenguaje matemático preciso. La definición formal de un límite es posiblemente una de las definiciones más desafiantes que encontrará al principio de sus estudios de cálculo; sin embargo, vale la pena cualquier esfuerzo para conciliarla con su noción intuitiva de un límite. La comprensión de esta definición es la llave que abre las puertas a una mejor comprensión del cálculo.

Cuantificar la cercanía

Antes de exponer la definición formal de un límite, debemos introducir algunas ideas preliminares. Recordemos que la distancia entre dos puntos a y b en una línea numérica viene dada por |ab|.|ab|.

  • La afirmación |f(x)L|<ε|f(x)L|<ε puede interpretarse como: La distancia entre f(x)f(x) y L es menor que ε.
  • La afirmación 0<|xa|<δ0<|xa|<δ puede interpretarse como xaxa y la distancia entre x y a es menor que δ.

También es importante observar las siguientes equivalencias de valor absoluto:

  • La afirmación |f(x)L|<ε|f(x)L|<ε equivale a la afirmación Lε<f(x)<L+ε.Lε<f(x)<L+ε.
  • La afirmación 0<|xa|<δ0<|xa|<δ equivale a la afirmación aδ<x<a+δaδ<x<a+δ y xa.xa.

Con estas aclaraciones, podemos enunciar la definición épsilon-delta del límite formal.

Definición

Supongamos que f(x)f(x) se define para todos los xaxa sobre un intervalo abierto que contiene a. Supongamos que L es un número real. Entonces

límxaf(x)=Llímxaf(x)=L

si, para cada ε>0,ε>0, existe un δ>0,δ>0, tal que si 0<|xa|<δ,0<|xa|<δ, entonces |f(x)L|<ε.|f(x)L|<ε.

Esta definición puede parecer bastante compleja desde el punto de vista matemático, pero resulta más fácil de entender si la desglosamos frase por frase. El enunciado en sí mismo implica algo llamado cuantificador universal (para cada ε>0),ε>0), hay un cuantificador existencial (existe un δ>0),δ>0), y, por último, una declaración condicional (si 0<|xa|<δ,0<|xa|<δ, entonces |f(x)L|<ε).|f(x)L|<ε). Echemos un vistazo a la Tabla 2.9, que desglosa la definición y traduce cada parte.

Definición Explicación
1 Por cada ε>0,ε>0, 1 Para cada distancia positiva ε de L,
2. existe un δ>0,δ>0, 2. Hay una distancia positiva δδ de a,
3. tal que 3. tal que
4. si 0<|xa|<δ,0<|xa|<δ, entonces |f(x)L|<ε.|f(x)L|<ε. 4. si x está más cerca que δδ de a y xa,xa, entonces f(x)f(x) está más cerca que ε de L.
Tabla 2.9 Explicación de la definición épsilon-delta del límite

Podemos entender mejor esta definición si la observamos geométricamente. La Figura 2.39 muestra los posibles valores de δδ para varias opciones de ε>0ε>0 para una función determinada f(x),f(x), un número a, y un límite L en a. Obsérvese que a medida que elegimos valores menores de ε (la distancia entre la función y el límite), siempre podemos hallar un δδ lo suficientemente pequeño de manera que si hemos elegido un valor de x dentro de δδ de a, entonces el valor de f(x)f(x) está dentro de ε del límite L.

Hay tres gráficos contiguos que muestran los posibles valores de delta, dadas opciones sucesivamente más pequeñas de épsilon. Cada gráfico tiene una curva cóncava descendente en el cuadrante uno. Cada gráfico tiene el punto (a, L) marcado en la curva, donde L es el límite de la función en el punto donde x=a. A cada lado de L en el eje y se marca una distancia épsilon, es decir, se traza una línea que pasa por la función en y = L + épsilon y L – épsilon. A medida que se eligen valores más pequeños de épsilon desde el gráfico uno al tres, se pueden hallar valores más pequeños de delta a la izquierda y a la derecha del punto a, de modo que si elegimos un valor de x dentro de delta de a, entonces el valor de f(x) está dentro de épsilon del límite L.
Figura 2.39 Estos gráficos muestran los posibles valores de δ δ , dadas opciones sucesivamente más pequeñas de ε.

Medios

Visite la siguiente miniaplicación para experimentar con la búsqueda de valores de δδ para determinados valores de ε:

El Ejemplo 2.39 muestra cómo se puede utilizar esta definición para demostrar una afirmación sobre el límite de una función específica en un valor determinado.

Ejemplo 2.39

Probar una afirmación sobre el límite de una función específica

Compruebe que límx1(2 x+1)=3.límx1(2 x+1)=3.

Análisis

En esta parte de la prueba, comenzamos con |(2 x+1)3||(2 x+1)3| y utilizamos nuestra suposición 0<|x1|<δ0<|x1|<δ en una parte clave de la cadena de desigualdades para conseguir |(2 x+1)3||(2 x+1)3| sea inferior a ε. Con la misma facilidad podríamos haber manipulado la supuesta desigualdad 0<|x1|<δ0<|x1|<δ para llegar a |(2 x+1)3|<ε|(2 x+1)3|<ε de la siguiente forma:

0<|x1|<δ|x1|<δδ<x1<δε2 <x1<ε2 ε<2 x2 <εε<2 x2 <ε|2 x2 |<ε|(2 x+1)3|<ε.0<|x1|<δ|x1|<δδ<x1<δε2 <x1<ε2 ε<2 x2 <εε<2 x2 <ε|2 x2 |<ε|(2 x+1)3|<ε.

Por lo tanto, límx1(2 x+1)=3.límx1(2 x+1)=3. (Una vez completada la prueba, expresamos lo que hemos conseguido)

Después de eliminar todas las observaciones, aquí está la versión final de la prueba:

Supongamos que ε>0.ε>0.

Elija δ=ε/2 .δ=ε/2 .

Supongamos que 0<|x1|<δ.0<|x1|<δ.

Por lo tanto,

|(2 x+1)3|=|2 x2 |=|2 (x1)|=|2 ||x1|=2 |x1|<2 .δ=2 .ε2 =ε.|(2 x+1)3|=|2 x2 |=|2 (x1)|=|2 ||x1|=2 |x1|<2 .δ=2 .ε2 =ε.

Por lo tanto, límx1(2 x+1)=3.límx1(2 x+1)=3.

La siguiente estrategia de resolución de problemas resume el tipo de prueba que elaboramos en el Ejemplo 2.39.

Estrategia de resolución de problemas

Estrategia para la resolución de problemas: Al demostrar que límxaf(x)=Llímxaf(x)=L para una función específica f(x)f(x)

  1. Comencemos la prueba con la siguiente afirmación: Supongamos que ε>0.ε>0.
  2. A continuación, tenemos que obtener un valor para δ.δ. Después de haberlo obtenido, hacemos la siguiente afirmación, rellenando el espacio en blanco con nuestra elección de δδ: Elija δ=_______.δ=_______.
  3. El siguiente enunciado de la prueba debería ser (en este punto, completamos nuestro valor dado para a):
    Suponga que 0<|xa|<δ.0<|xa|<δ.
  4. A continuación, con base en esta suposición, tenemos que demostrar que |f(x)L|<ε,|f(x)L|<ε, donde f(x)f(x) y L son nuestra función f(x)f(x) y nuestro límite L. En algún momento, necesitamos utilizar 0<|xa|<δ.0<|xa|<δ.
  5. Concluimos nuestra prueba con la afirmación: Por lo tanto, límxaf(x)=L.límxaf(x)=L.

Ejemplo 2.40

Probar una afirmación sobre un límite

Complete la prueba de que límx−1(4x+1)=−3límx−1(4x+1)=−3 al rellenar los espacios en blanco.

Supongamos que _____.

Elija δ=_______.δ=_______.

Supongamos que 0<|x_______|<δ.0<|x_______|<δ.

Así, |________________|=_____________________________________ε.|________________|=_____________________________________ε.

Punto de control 2.27

Complete la prueba de que límx2 (3x2 )=4límx2 (3x2 )=4 al rellenar los espacios en blanco.

Supongamos que _______.

Elija δ=_______.δ=_______.

Supongamos que 0<|x____|<____.0<|x____|<____.

Por lo tanto,

|___________|=______________________________ε.|___________|=______________________________ε.

Por lo tanto, límx2 (3x2 )=4.límx2 (3x2 )=4.

En el Ejemplo 2.39 y el Ejemplo 2.40, las pruebas eran bastante sencillas, ya que las funciones con las que trabajábamos eran lineales. En el Ejemplo 2.41, vemos cómo modificar la prueba para acomodar una función no lineal.

Ejemplo 2.41

Demostración de una afirmación sobre el límite de una función específica (enfoque geométrico)

Compruebe que límx2 x2 =4.límx2 x2 =4.

Punto de control 2.28

Halle δ correspondiente a ε>0ε>0 para probar que límx9x=3.límx9x=3.

El enfoque geométrico para demostrar que el límite de una función toma un valor específico funciona bastante bien para algunas funciones. Además, el conocimiento de la definición formal del límite que proporciona este método es inestimable. Sin embargo, también podemos abordar las pruebas de límites desde un punto de vista puramente algebraico. En muchos casos, un enfoque algebraico no solo puede proporcionarnos una visión adicional de la definición, sino que también puede resultar más sencillo. Además, el enfoque algebraico es la principal herramienta utilizada en las pruebas de las afirmaciones sobre los límites. Para el Ejemplo 2.42, adoptamos un enfoque puramente algebraico.

Ejemplo 2.42

Demostración de una afirmación sobre el límite de una función específica (enfoque algebraico)

Compruebe que límx−1(x2 2 x+3)=6.límx−1(x2 2 x+3)=6.

Punto de control 2.29

Complete la prueba de que límx1x2 =1.límx1x2 =1.

Supongamos que ε>0;ε>0; elija δ=min{1,ε/3};δ=min{1,ε/3}; asuma que 0<|x1|<δ.0<|x1|<δ.

Dado que |x1|<1,|x1|<1, podemos concluir que −1<x1<1.−1<x1<1. Por lo tanto, 1<x+1<3.1<x+1<3. Por lo tanto, |x+1|<3.|x+1|<3.

Verás que, en general, cuanto más compleja sea una función, es más probable que el enfoque algebraico sea el más fácil de aplicar. El enfoque algebraico también es más útil para demostrar afirmaciones sobre los límites.

Prueba de las leyes de los límites

Ahora demostraremos cómo utilizar la definición épsilon-delta de un límite para construir una prueba rigurosa de una de las leyes de límites. La desigualdad del triángulo se utiliza en un punto clave de la prueba, así que primero revisamos esta propiedad clave del valor absoluto.

Definición

La desigualdad del triángulo establece que si a y b son cualquier número real, entonces |a+b||a|+|b|.|a+b||a|+|b|.

Prueba

Demostramos la siguiente ley de los límites: Si los valores de límxaf(x)=Llímxaf(x)=L y límxag(x)=M,límxag(x)=M, entonces límxa(f(x)+g(x))=L+M.límxa(f(x)+g(x))=L+M.

Supongamos que ε>0.ε>0.

Elija δ1>0δ1>0 de modo que si 0<|xa|<δ1,0<|xa|<δ1, entonces |f(x)L|<ε/2 .|f(x)L|<ε/2 .

Elija δ2 >0δ2 >0 de modo que si 0<|xa|<δ2 ,0<|xa|<δ2 , entonces |g(x)M|<ε/2 .|g(x)M|<ε/2 .

Elija δ=min{δ1,δ2 }.δ=min{δ1,δ2 }.

Supongamos que 0<|xa|<δ.0<|xa|<δ.

Por lo tanto,

0<|xa|<δ1y0<|xa|<δ2 .0<|xa|<δ1y0<|xa|<δ2 .

Por lo tanto,

|(f(x)+g(x))(L+M)|=|(f(x)L)+(g(x)M)||f(x)L|+|g(x)M|<ε2 +ε2 =ε.|(f(x)+g(x))(L+M)|=|(f(x)L)+(g(x)M)||f(x)L|+|g(x)M|<ε2 +ε2 =ε.

Ahora exploraremos el significado de la inexistencia de un límite. El límite límxaf(x)límxaf(x) no existe si no hay ningún número real L para el que límxaf(x)=L.límxaf(x)=L. Así, para todos los números reales L, límxaf(x)L.límxaf(x)L. Para entender lo que esto significa, examinamos cada parte de la definición de límxaf(x)=Llímxaf(x)=L junto con su opuesto. Una explicación de la definición se halla en la Tabla 2.10.

Definición Opuesto
1 Por cada ε>0,ε>0, 1 Existe ε>0ε>0 para que
2. existe un δ>0,δ>0, para que 2. por cada δ>0,δ>0,
3. si 0<|xa|<δ,0<|xa|<δ, entonces |f(x)L|<ε.|f(x)L|<ε. 3. Existe una x que satisface 0<|xa|<δ0<|xa|<δ por lo que |f(x)L|ε.|f(x)L|ε.
Tabla 2.10 Explicación de la definición de lím x a f ( x ) = L lím x a f ( x ) = L y su opuesto

Por último, podemos afirmar lo que significa que un límite no exista. El límite límxaf(x)límxaf(x) no existe si para cada número real L, existe un número real ε>0ε>0 de manera que para todos los δ>0,δ>0, hay una x que satisface 0<|xa|<δ,0<|xa|<δ, por lo que |f(x)L|ε.|f(x)L|ε. Apliquemos esto en el Ejemplo 2.43 para demostrar que un límite no existe.

Ejemplo 2.43

Demostrar la inexistencia de un límite

Demuestre que límx0|x|xlímx0|x|x no existe. El gráfico de f(x)=|x|/xf(x)=|x|/x aquí se muestra:

Gráfico de una función con dos segmentos. La primera existe para x < 0, y es una línea sin pendiente que termina en el eje y en un círculo abierto en (0,–1). La segunda existe para x > 0, y es una línea sin pendiente que comienza en el eje y en un círculo abierto (1,0).

Límites unilaterales e infinitos

De la misma manera que primero adquirimos una comprensión intuitiva de los límites y luego pasamos a una definición más rigurosa de un límite, ahora volvemos a examinar los límites unilaterales. Para ello, modificamos la definición épsilon-delta de un límite para dar definiciones formales épsilon-delta para los límites por la derecha y la izquierda en un punto. Estas definiciones solo requieren ligeras modificaciones respecto a la definición del límite. En la definición del límite por la derecha, la desigualdad 0<xa<δ0<xa<δ sustituye a 0<|xa|<δ,0<|xa|<δ, que asegura que solo consideramos los valores de x que son mayores que (a la derecha de) a. Del mismo modo, en la definición del límite por la izquierda, la desigualdad δ<xa<0δ<xa<0 sustituye a 0<|xa|<δ,0<|xa|<δ, que garantiza que solo consideremos los valores de x que son menores que (a la izquierda de) a.

Definición

Límite por la derecha: Supongamos que f(x)f(x) se define sobre un intervalo abierto de la forma (a,b)(a,b) donde a<b.a<b. Entonces,

límxa+f(x)=Llímxa+f(x)=L

si para cada ε>0,ε>0, existe un δ>0δ>0 tal que si 0<xa<δ,0<xa<δ, entonces |f(x)L|<ε.|f(x)L|<ε.

Límite por la izquierda: Supongamos que f(x)f(x) se define sobre un intervalo abierto de la forma (b,c)(b,c) donde b<c.b<c. Entonces,

límxaf(x)=Llímxaf(x)=L

si para cada ε>0,ε>0, existe un δ>0δ>0 tal que si δ<xa<0,δ<xa<0, entonces |f(x)L|<ε.|f(x)L|<ε.

Ejemplo 2.44

Probar una declaración sobre un límite por la derecha

Compruebe que límx4+x4=0.límx4+x4=0.

Punto de control 2.30

Halle δδ correspondiente a ε para demostrar que límx11x=0.límx11x=0.

Concluimos el proceso de convertir nuestras ideas intuitivas de varios tipos de límites en definiciones formales rigurosas, persiguiendo una definición formal de los límites infinitos. Para tener límxaf(x)=+,límxaf(x)=+, queremos que los valores de la función f(x)f(x) se hagan cada vez más grandes a medida que x se acerca a a. En lugar del requisito de que |f(x)L|<ε|f(x)L|<ε para un ε arbitrariamente pequeño cuando 0<|xa|<δ0<|xa|<δ para un delta lo bastante pequeño δ,δ, queremos f(x)>Mf(x)>M para un M positivo arbitrariamente grande cuando 0<|xa|<δ0<|xa|<δ para un delta lo bastante pequeño δ.δ. La Figura 2.43 ilustra esta idea mostrando el valor de δδ para valores sucesivamente mayores de M.

Dos gráficos uno al lado del otro. Cada gráfico contiene dos curvas sobre el eje x separadas por una asíntota en x=a. Las curvas de la izquierda van al infinito cuando x llega a a y a 0 cuando x llega al infinito negativo. Las curvas de la derecha van al infinito cuando x llega a a y a 0 cuando x llega al infinito. El primer gráfico tiene un valor M mayor que cero marcado en el eje y y una línea horizontal trazada desde allí (y=M) para intersecarse con ambas curvas. Las líneas se dibujan hacia abajo desde los puntos de intersección hasta el eje x. Delta es la menor de distancia entre el punto a y estos nuevos puntos en el eje x. En el segundo gráfico se dibujan las mismas líneas, pero esta M es más grande y las distancias de las intersecciones del eje x al punto a son menores.
Figura 2.43 Estos gráficos representan los valores de δ δ para que M demuestre que lím x a f ( x ) = + . lím x a f ( x ) = + .

Definición

Supongamos que f(x)f(x) se define para todos los xaxa en un intervalo abierto que contiene a. Entonces, tenemos un límite infinito

límxaf(x)=+límxaf(x)=+

si para cada M>0,M>0, existe δ>0δ>0 tal que si 0<|xa|<δ,0<|xa|<δ, entonces f(x)>M.f(x)>M.

Supongamos que f(x)f(x) se define para todos los xaxa en un intervalo abierto que contiene a. Entonces, tenemos un límite infinito negativo

límxaf(x)=límxaf(x)=

si para cada M>0,M>0, existe δ>0δ>0 tal que si 0<|xa|<δ,0<|xa|<δ, entonces f(x)<M.f(x)<M.

Sección 2.5 ejercicios

En los siguientes ejercicios, escriba la definición adecuada de εδεδ para cada uno de los enunciados dados.

176.

lím x a f ( x ) = N lím x a f ( x ) = N

177.

lím t b g ( t ) = M lím t b g ( t ) = M

178.

lím x c h ( x ) = L lím x c h ( x ) = L

179.

lím x a φ ( x ) = A lím x a φ ( x ) = A

El siguiente gráfico de la función f satisface límx2 f(x)=2 .límx2 f(x)=2 . En los siguientes ejercicios, determine un valor de δ>0δ>0 que satisfaga cada afirmación.

Una función dibujada en el cuadrante uno para x > 0. Es una función cóncava creciente hacia arriba, con los puntos aproximadamente en (0,0), (1, 0,5), (2,2) y (3,4).
180.

Si los valores de 0<|x2 |<δ,0<|x2 |<δ, entonces |f(x)2 |<1.|f(x)2 |<1.

181.

Si los valores de 0<|x2 |<δ,0<|x2 |<δ, entonces |f(x)2 |<0,5.|f(x)2 |<0,5.

El siguiente gráfico de la función f satisface límx3f(x)=−1.límx3f(x)=−1. En los siguientes ejercicios, determine un valor de δ>0δ>0 que satisfaga cada afirmación.

Gráfico de una función lineal decreciente, con los puntos (0,2), (1,1), (2,0), (3,-1), (4,-2), y así sucesivamente para x >= 0.
182.

Si los valores de 0<|x3|<δ,0<|x3|<δ, entonces |f(x)+1|<1.|f(x)+1|<1.

183.

Si los valores de 0<|x3|<δ,0<|x3|<δ, entonces |f(x)+1|<2 .|f(x)+1|<2 .

El siguiente gráfico de la función f satisface límx3f(x)=2 .límx3f(x)=2 . En los siguientes ejercicios, para cada valor de ε, halle un valor de δ>0δ>0 de tal manera que la definición precisa de límite se cumpla.

Gráfico de una función lineal creciente que interseca el eje x en alrededor de (2,25, 0) y pasa por los puntos (3,2) y, aproximadamente, (1, -5) y (4, 5).
184.

ε = 1,5 ε = 1,5

185.

ε = 3 ε = 3

[T] En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora gráfica para hallar un número δδ para que las afirmaciones se cumplan.

186.

|sen(2 x)12 |<0,1,|sen(2 x)12 |<0,1, siempre que |xπ12|<δ|xπ12|<δ

187.

| x 4 2 | < 0,1 , siempre que | x 8 | < δ | x 4 2 | < 0,1 , siempre que | x 8 | < δ

En los siguientes ejercicios, utilice la definición precisa de límite para demostrar los límites dados.

188.

lím x 2 ( 5 x + 8 ) = 18 lím x 2 ( 5 x + 8 ) = 18

189.

lím x 3 x 2 9 x 3 = 6 lím x 3 x 2 9 x 3 = 6

190.

lím x 2 2 x 2 3 x 2 x 2 = 5 lím x 2 2 x 2 3 x 2 x 2 = 5

191.

lím x 0 x 4 = 0 lím x 0 x 4 = 0

192.

lím x 2 ( x 2 + 2 x ) = 8 lím x 2 ( x 2 + 2 x ) = 8

En los siguientes ejercicios, utilice la definición precisa de límite para demostrar los límites unilaterales dados.

193.

lím x 5 5 x = 0 lím x 5 5 x = 0

194.

lím x 0 + f ( x ) = –2 , donde f ( x ) = { 8 x 3 , si x < 0 4 x 2 , si x 0 . lím x 0 + f ( x ) = –2 , donde f ( x ) = { 8 x 3 , si x < 0 4 x 2 , si x 0 .

195.

lím x 1 f ( x ) = 3 , donde f ( x ) = { 5 x 2 , si x < 1 7 x 1 , si x 1 . lím x 1 f ( x ) = 3 , donde f ( x ) = { 5 x 2 , si x < 1 7 x 1 , si x 1 .

En los siguientes ejercicios, utilice la definición precisa de límite para demostrar los límites infinitos dados.

196.

lím x 0 1 x 2 = lím x 0 1 x 2 =

197.

lím x −1 3 ( x + 1 ) 2 = lím x −1 3 ( x + 1 ) 2 =

198.

lím x 2 1 ( x 2 ) 2 = lím x 2 1 ( x 2 ) 2 =

199.

Un ingeniero utiliza una máquina para cortar un cuadrado plano de Aerogel de 144 cm2. Si hay una tolerancia de error máxima en el área de 8 cm2, ¿con qué precisión debe cortar el lado, suponiendo que todos los lados tienen la misma longitud? ¿Cómo se relacionan estos números con δ,δ, ε, a, y L?

200.

Utilice la definición precisa de límite para demostrar que el siguiente límite no existe límx1|x1|x1.límx1|x1|x1.

201.

Utilizando definiciones precisas de los límites, demuestre que límx0f(x)límx0f(x) no existe, dado que f(x)f(x) es la función techo. (Pista: Pruebe cualquier δ<1).δ<1).

202.

Utilizando definiciones precisas de los límites, demuestre que límx0f(x)límx0f(x) no existe: f(x)={1sixes racional0sixes irracional.f(x)={1sixes racional0sixes irracional. (Pista: Piense que siempre puedes elegir un número racional 0<r<d,0<r<d, pero |f(r)0|=1).|f(r)0|=1).

203.

Utilizando definiciones precisas de los límites, determine límx0f(x)límx0f(x) por f(x)={xsixes racional0sixes irracional.f(x)={xsixes racional0sixes irracional. (Pista: Divida en dos casos, x racional y x irracional)

204.

Utilizando la función del ejercicio anterior, use la definición precisa de límites para demostrar que límxaf(x)límxaf(x) no existe para a0.a0.

En los siguientes ejercicios, supongamos que límxaf(x)=Llímxaf(x)=L y límxag(x)=Mlímxag(x)=M ambos existen. Utilice la definición precisa de límites para demostrar las siguientes leyes de los límites:

205.

lím x a ( f ( x ) + g ( x ) ) = L + M lím x a ( f ( x ) + g ( x ) ) = L + M

206.

límxa[cf(x)]=cLlímxa[cf(x)]=cL para cualquier constante real c(Pista: Consideremos dos casos: c=0c=0 y c0).c0).

207.

límxa[f(x)g(x)]=LM.límxa[f(x)g(x)]=LM. (Sugerencia: |f(x)g(x)LM|=|f(x)g(x)LM|= |f(x)g(x)f(x)M+f(x)MLM||f(x)||g(x)M|+|M||f(x)L|).|f(x)g(x)f(x)M+f(x)MLM||f(x)||g(x)M|+|M||f(x)L|).

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