Gilbert Strang; Edwin “Jed” Herman

Objetivos de aprendizaje

2.5.1 Describir la definición épsilon-delta de un límite.
2.5.2 Aplicar la definición épsilon-delta para hallar el límite de una función.
2.5.3 Describir las definiciones épsilon-delta de los límites unilaterales y de los límites infinitos.
2.5.4 Utilizar la definición épsilon-delta para demostrar las leyes de los límites.

Hasta ahora ya ha pasado de la definición muy informal de un límite en la introducción de este capítulo a la comprensión intuitiva de un límite. En este punto, debería tener una intuición muy fuerte de lo que significa el límite de una función y cómo puede hallarlo. En esta sección, convertiremos esa idea intuitiva de un límite en una definición formal utilizando un lenguaje matemático preciso. La definición formal de un límite es posiblemente una de las definiciones más desafiantes que encontrará al principio de sus estudios de cálculo; sin embargo, vale la pena cualquier esfuerzo para conciliarla con su noción intuitiva de un límite. La comprensión de esta definición es la llave que abre las puertas a una mejor comprensión del cálculo.

Cuantificar la cercanía

Antes de exponer la definición formal de un límite, debemos introducir algunas ideas preliminares. Recordemos que la distancia entre dos puntos a y b en una línea numérica viene dada por $| a - b | .$

La afirmación $| f (x) - L | < ε$ puede interpretarse como: La distancia entre $f (x)$ y L es menor que ε.
La afirmación $0 < | x - a | < δ$ puede interpretarse como $x \neq a$ y la distancia entre x y a es menor que δ.

También es importante observar las siguientes equivalencias de valor absoluto:

La afirmación $| f (x) - L | < ε$ equivale a la afirmación $L - ε < f (x) < L + ε .$
La afirmación $0 < | x - a | < δ$ equivale a la afirmación $a - δ < x < a + δ$ y $x \neq a .$

Con estas aclaraciones, podemos enunciar la definición épsilon-delta del límite formal.

Definición

Supongamos que $f (x)$ se define para todos los $x \neq a$ sobre un intervalo abierto que contiene a. Supongamos que L es un número real. Entonces

\underset{x \to a}{lím} f (x) = L

si, para cada $ε > 0,$ existe un $δ > 0,$ tal que si $0 < | x - a | < δ,$ entonces $| f (x) - L | < ε .$

Esta definición puede parecer bastante compleja desde el punto de vista matemático, pero resulta más fácil de entender si la desglosamos frase por frase. El enunciado en sí mismo implica algo llamado cuantificador universal (para cada $ε > 0),$ hay un cuantificador existencial (existe un $δ > 0),$ y, por último, una declaración condicional (si $0 < | x - a | < δ,$ entonces $| f (x) - L | < ε).$ Echemos un vistazo a la Tabla 2.9, que desglosa la definición y traduce cada parte.

Definición	Explicación
1 Por cada $ε > 0,$	1 Para cada distancia positiva ε de L,
2. existe un $δ > 0,$	2. Hay una distancia positiva $δ$ de a,
3. tal que	3. tal que
4. si $0 < \| x - a \| < δ,$ entonces $\| f (x) - L \| < ε .$	4. si x está más cerca que $δ$ de a y $x \neq a,$ entonces $f (x)$ está más cerca que ε de L.

Tabla 2.9 Explicación de la definición épsilon-delta del límite

Podemos entender mejor esta definición si la observamos geométricamente. La Figura 2.39 muestra los posibles valores de $δ$ para varias opciones de $ε > 0$ para una función determinada $f (x),$ un número a, y un límite L en a. Obsérvese que a medida que elegimos valores menores de ε (la distancia entre la función y el límite), siempre podemos hallar un $δ$ lo suficientemente pequeño de manera que si hemos elegido un valor de x dentro de $δ$ de a, entonces el valor de $f (x)$ está dentro de ε del límite L.

Hay tres gráficos contiguos que muestran los posibles valores de delta, dadas opciones sucesivamente más pequeñas de épsilon. Cada gráfico tiene una curva cóncava descendente en el cuadrante uno. Cada gráfico tiene el punto (a, L) marcado en la curva, donde L es el límite de la función en el punto donde x=a. A cada lado de L en el eje y se marca una distancia épsilon, es decir, se traza una línea que pasa por la función en y = L + épsilon y L – épsilon. A medida que se eligen valores más pequeños de épsilon desde el gráfico uno al tres, se pueden hallar valores más pequeños de delta a la izquierda y a la derecha del punto a, de modo que si elegimos un valor de x dentro de delta de a, entonces el valor de f(x) está dentro de épsilon del límite L.

Figura 2.39 Estos gráficos muestran los posibles valores de

δ

, dadas opciones sucesivamente más pequeñas de ε.

Medios

Visite la siguiente miniaplicación para experimentar con la búsqueda de valores de $δ$ para determinados valores de ε:

La definición épsilon-delta de límites

El Ejemplo 2.39 muestra cómo se puede utilizar esta definición para demostrar una afirmación sobre el límite de una función específica en un valor determinado.

Ejemplo 2.39

Probar una afirmación sobre el límite de una función específica

Compruebe que $\underset{x \to 1}{lím} (2 x + 1) = 3 .$

Solución

Supongamos que $ε > 0 .$

La primera parte de la definición comienza "Para cada $ε > 0 “.$ Esto significa que debemos demostrar que lo que sigue es cierto sin importar el valor positivo de ε que se elija. Cuando afirmamos "Supongamos que $ε > 0,”$ señalamos nuestra intención de hacerlo.

Elija $δ = \frac{ε}{2} .$

La definición continúa con "existe un $δ > 0 .$ " La frase "existe" en un enunciado matemático es siempre una señal para la búsqueda del tesoro. En otras palabras, debemos ir a buscar $δ .$ Entonces, ¿de dónde vino exactamente $δ = ε / 2$ ? Hay dos enfoques básicos para rastrear a $δ .$ Un método es totalmente algebraico y el otro es geométrico.

Comenzamos abordando el problema desde un punto de vista algebraico. Ya que en última instancia queremos $| (2 x + 1) - 3 | < ε,$ comenzamos manipulando esta expresión: $| (2 x + 1) - 3 | < ε$ equivale a $| 2 x - 2 | < ε,$ que a su vez equivale a $| 2 | | x - 1 | < ε .$ Por último, esto equivale a $| x - 1 | < ε / 2 .$ Así, parece que $δ = ε / 2$ es apropiado.

También podemos hallar $δ$ mediante métodos geométricos. La Figura 2.40 demuestra cómo se hace.

Este gráfico muestra cómo hallar el delta geométricamente. La función 2x + 1 está dibujada en rojo desde x=0 hasta 2. En verde se dibuja una línea recta en y = 3, que interseca la función en (1,3). Se dibujan dos líneas azules en 3 + épsilon y 3 - épsilon, que se grafican aquí entre 5 y 6 y entre 0 y 1, respectivamente. Por último, se trazan dos líneas rosas hacia abajo desde los puntos de intersección de la función y las líneas azules: la más alta entre 1 y 2, y la más corta entre 0 y 1. Como las líneas azules y la función se intersecan, podemos resolver para x. En la más corta, correspondiente a la línea y = 3 – épsilon, tenemos 3 – épsilon = 2x + 1, que se simplifica a x = 1 – épsilon / 2. En la más larga, correspondiente a la línea y = 3 + épsilon, tenemos 3 + épsilon = 2x + 1, que se simplifica a x = 1 + épsilon / 2. Delta es la menor de las dos distancias entre 1 y el punto de intersección de las líneas rosas con el eje x. Tenemos que delta es el mínimo de 1 + épsilon / 2 –1 y 1 – (1 – épsilon / 2), que es el mínimo de épsilon / 2 y épsilon / 2, que es simplemente épsilon / 2.

Figura 2.40 Este gráfico muestra cómo encontramos

δ

geométricamente.

Supongamos que $0 < | x - 1 | < δ .$ Cuando $δ$ , nuestro objetivo es demostrar que si $0 < | x - 1 | < δ,$ entonces $| (2 x + 1) - 3 | < ε .$ Para demostrar cualquier afirmación de la forma "Si esto, entonces aquello", empezamos por suponer "esto" e intentar conseguir "aquello".

Por lo tanto,

$\begin{matrix} | (2 x + 1) - 3 | & = | 2 x - 2 | & propiedad del valor absoluto \\ = | 2 (x - 1) | \\ = | 2 | | x - 1 | & | 2 | = 2 \\ = 2 | x - 1 | \\ < 2 . δ & aquí es donde usamos la suposición de que 0 < | x - 1 | < δ \\ = 2 . \frac{ε}{2} = ε & aquí es donde usamos nuestra elección de δ = ε / 2 \end{matrix}$

Análisis

En esta parte de la prueba, comenzamos con $| (2 x + 1) - 3 |$ y utilizamos nuestra suposición $0 < | x - 1 | < δ$ en una parte clave de la cadena de desigualdades para conseguir $| (2 x + 1) - 3 |$ sea inferior a ε. Con la misma facilidad podríamos haber manipulado la supuesta desigualdad $0 < | x - 1 | < δ$ para llegar a $| (2 x + 1) - 3 | < ε$ de la siguiente forma:

$\begin{array}{l} 0 < | x - 1 | < δ & \Rightarrow | x - 1 | < δ \\ \Rightarrow - δ < x - 1 < δ \\ \Rightarrow - \frac{ε}{2} < x - 1 < \frac{ε}{2} \\ \Rightarrow - ε < 2 x - 2 < ε \\ \Rightarrow - ε < 2 x - 2 < ε \\ \Rightarrow | 2 x - 2 | < ε \\ \Rightarrow | (2 x + 1) - 3 | < ε . \end{array}$

Por lo tanto, $\underset{x \to 1}{lím} (2 x + 1) = 3 .$ (Una vez completada la prueba, expresamos lo que hemos conseguido)

Después de eliminar todas las observaciones, aquí está la versión final de la prueba:

Supongamos que $ε > 0 .$

Elija $δ = ε / 2 .$

Supongamos que $0 < | x - 1 | < δ .$

Por lo tanto,

$\begin{matrix} | (2 x + 1) - 3 | & = | 2 x - 2 | \\ = | 2 (x - 1) | \\ = | 2 | | x - 1 | \\ = 2 | x - 1 | \\ < 2 . δ \\ = 2 . \frac{ε}{2} \\ = ε . \end{matrix}$

Por lo tanto, $\underset{x \to 1}{lím} (2 x + 1) = 3 .$

La siguiente estrategia de resolución de problemas resume el tipo de prueba que elaboramos en el Ejemplo 2.39.

Estrategia de resolución de problemas

Estrategia para la resolución de problemas: Al demostrar que $\underset{x \to a}{lím} f (x) = L$ para una función específica $f (x)$

Comencemos la prueba con la siguiente afirmación: Supongamos que $ε > 0 .$
A continuación, tenemos que obtener un valor para $δ .$ Después de haberlo obtenido, hacemos la siguiente afirmación, rellenando el espacio en blanco con nuestra elección de $δ$ : Elija $δ =_______.$
El siguiente enunciado de la prueba debería ser (en este punto, completamos nuestro valor dado para a):
Suponga que $0 < | x - a | < δ .$
A continuación, con base en esta suposición, tenemos que demostrar que $| f (x) - L | < ε,$ donde $f (x)$ y L son nuestra función $f (x)$ y nuestro límite L. En algún momento, necesitamos utilizar $0 < | x - a | < δ .$
Concluimos nuestra prueba con la afirmación: Por lo tanto, $\underset{x \to a}{lím} f (x) = L .$

Ejemplo 2.40

Probar una afirmación sobre un límite

Complete la prueba de que $\underset{x \to −1}{lím} (4 x + 1) = −3$ al rellenar los espacios en blanco.

Supongamos que _____.

Elija $δ =_______.$

Supongamos que $0 < | x -_______| < δ .$

Así, $|________-________| =_____________________________________ε .$

Solución

Comenzamos llenando los espacios en blanco en los que la definición especifica las opciones. Por lo tanto, tenemos

Supongamos que $ε > 0 .$

Elija $δ =_______.$

Supongamos que $0 < | x - (–1) | < δ .$ (o, de forma equivalente, $0 < | x + 1 | < δ).$

Así, $| (4 x + 1) - (−3) | = | 4 x + 4 | = | 4 | | x + 1 | < 4 δ_______ε .$

Al centrarnos en la última línea de la prueba, notamos que deberíamos elegir $δ = \frac{ε}{4} .$

Ahora completamos la redacción final de la prueba:

Supongamos que $ε > 0 .$

Elija $δ = \frac{ε}{4} .$

Supongamos que $0 < | x - (–1) | < δ$ (o, de forma equivalente, $0 < | x + 1 | < δ).$

Así, $| (4 x + 1) - (−3) | = | 4 x + 4 | = | 4 | | x + 1 | < 4 δ = 4 (ε / 4) = ε .$

Punto de control 2.27

Complete la prueba de que $\underset{x \to 2}{lím} (3 x - 2) = 4$ al rellenar los espacios en blanco.

Supongamos que _______.

Elija $δ =_______.$

Supongamos que $0 < | x -____| <____.$

Por lo tanto,

$|_______-____| =______________________________ε .$

Por lo tanto, $\underset{x \to 2}{lím} (3 x - 2) = 4 .$

En el Ejemplo 2.39 y el Ejemplo 2.40, las pruebas eran bastante sencillas, ya que las funciones con las que trabajábamos eran lineales. En el Ejemplo 2.41, vemos cómo modificar la prueba para acomodar una función no lineal.

Ejemplo 2.41

Demostración de una afirmación sobre el límite de una función específica (enfoque geométrico)

Compruebe que $\underset{x \to 2}{lím} x^{2} = 4.$

Solución

Supongamos que $ε > 0 .$ La primera parte de la definición comienza "Para cada $ε > 0,”$ por lo que debemos demostrar que lo que sigue es cierto sin importar el valor positivo de ε que se elija. Cuando afirmamos "Supongamos que $ε > 0,”$ señalamos nuestra intención de hacerlo.
Sin perder la generalidad, asuma que $ε \leq 4 .$ Surgen dos preguntas: ¿Por qué queremos $ε \leq 4$ y ¿por qué está bien hacer esa suposición? En respuesta a la primera pregunta: Más adelante, en el proceso de resolución de $δ,$ descubriremos que $δ$ implica la cantidad $\sqrt{4 - ε} .$ En consecuencia, necesitamos $ε \leq 4 .$ En respuesta a la segunda pregunta: Si podemos hallar $δ > 0$ que "funciona" para $ε \leq 4,$ entonces "funcionará" para cualquier $ε > 4$ también. Tenga en cuenta que, aunque siempre está bien poner un límite superior a ε, nunca se debe poner un límite inferior (distinto de cero) a ε.
Elija $δ = min {2 - \sqrt{4 - ε}, \sqrt{4 + ε} - 2} .$ La Figura 2.41 muestra cómo hemos hecho esta elección de $δ .$

Figura 2.41 Este gráfico muestra cómo encontramos δ geométricamente para un ε dado para la prueba en el Ejemplo 2.41.
Debemos mostrar: Si los valores de $0 < | x - 2 | < δ,$ entonces $| x^{2} - 4 | < ε,$ por lo que debemos empezar por asumir

$0 < | x - 2 | < δ .$

No necesitamos realmente $0 < | x - 2 |$ (en otras palabras, $x \neq 2)$ para esta prueba. Dado que $0 < | x - 2 | < δ \Rightarrow | x - 2 | < δ,$ está bien para colocar $0 < | x - 2 | .$

$| x - 2 | < δ .$

Por lo tanto,

$- δ < x - 2 < δ .$

Recordemos que $δ = min {2 - \sqrt{4 - ε}, \sqrt{4 + ε} - 2} .$ Por lo tanto, $δ \leq 2 - \sqrt{4 - ε}$ y en consecuencia $- (2 - \sqrt{4 - ε}) \leq - δ .$ También utilizamos $δ \leq \sqrt{4 + ε} - 2$ aquí. En este punto podríamos preguntarnos: ¿Por qué sustituimos $2 - \sqrt{4 - ε}$ por $δ$ en el lado izquierdo de la desigualdad y $\sqrt{4 + ε} - 2$ en el lado derecho de la desigualdad? Si nos fijamos en la Figura 2.41, vemos que $2 - \sqrt{4 - ε}$ corresponde a la distancia a la izquierda de 2 en el eje x y $\sqrt{4 + ε} - 2$ corresponde a la distancia de la derecha. Por lo tanto,

$- (2 - \sqrt{4 - ε}) \leq - δ < x - 2 < δ \leq \sqrt{4 + ε} - 2 .$

Simplificamos la expresión de la izquierda:

$−2 + \sqrt{4 - ε} < x - 2 < \sqrt{4 + ε} - 2 .$

Entonces, sumamos 2 a todas las partes de la desigualdad:

$\sqrt{4 - ε} < x < \sqrt{4 + ε} .$

Cuadramos todas las partes de la desigualdad. Está bien hacerlo, ya que todas las partes de la desigualdad son positivas:

$4 - ε < x^{2} < 4 + ε .$

Restamos 4 a todas las partes de la desigualdad:

$- ε < x^{2} - 4 < ε .$

Por último,

$| x^{2} - 4 | < ε .$
Por lo tanto,

$\underset{x \to 2}{lím} x^{2} = 4 .$

Punto de control 2.28

Halle δ correspondiente a $ε > 0$ para probar que $\underset{x \to 9}{lím} \sqrt{x} = 3 .$

El enfoque geométrico para demostrar que el límite de una función toma un valor específico funciona bastante bien para algunas funciones. Además, el conocimiento de la definición formal del límite que proporciona este método es inestimable. Sin embargo, también podemos abordar las pruebas de límites desde un punto de vista puramente algebraico. En muchos casos, un enfoque algebraico no solo puede proporcionarnos una visión adicional de la definición, sino que también puede resultar más sencillo. Además, el enfoque algebraico es la principal herramienta utilizada en las pruebas de las afirmaciones sobre los límites. Para el Ejemplo 2.42, adoptamos un enfoque puramente algebraico.

Ejemplo 2.42

Demostración de una afirmación sobre el límite de una función específica (enfoque algebraico)

Compruebe que $\underset{x \to −1}{lím} (x^{2} - 2 x + 3) = 6 .$

Solución

Utilicemos nuestro esquema de la estrategia de resolución de problemas:

Supongamos que $ε > 0 .$
Elija $δ = min {1, ε / 5} .$ Esta elección de $δ$ puede parecer extraña a primera vista, pero se obtuvo echando un vistazo a nuestra desigualdad final deseada: $| (x^{2} - 2 x + 3) - 6 | < ε .$ Esta desigualdad equivale a $| x + 1 | . | x - 3 | < ε .$ En este punto, la tentación de elegir simplemente $δ = \frac{ε}{x - 3}$ es muy fuerte. Lamentablemente, nuestra elección de $δ$ debe depender únicamente de ε y de ninguna otra variable. Si podemos sustituir $| x - 3 |$ por un valor numérico, podremos resolver el problema. Este es el lugar donde si asumimos $δ \leq 1$ entra en juego. La elección de $δ \leq 1$ aquí es arbitraria. Podríamos haber utilizado fácilmente cualquier otro número positivo. En algunas pruebas, puede ser necesario un mayor cuidado en esta elección. Ahora bien, ya que $δ \leq 1$ y $| x + 1 | < δ \leq 1,$ podemos demostrar que $| x - 3 | < 5 .$ En consecuencia, $| x + 1 | . | x - 3 | < | x + 1 | . 5 .$ En este punto nos damos cuenta de que también necesitamos $δ \leq ε / 5 .$ Así, elegimos $δ = min {1, ε / 5} .$
Supongamos que $0 < | x + 1 | < δ .$ Por lo tanto,

$| x + 1 | < 1 y | x + 1 | < \frac{ε}{5} .$

Dado que $| x + 1 | < 1,$ podemos concluir que $−1 < x + 1 < 1 .$ Así, restando 4 a todas las partes de la desigualdad, obtenemos $−5 < x - 3 < − 1 .$ En consecuencia, $| x - 3 | < 5 .$ Esto nos da

$| (x^{2} - 2 x + 3) - 6 | = | x + 1 | . | x - 3 | < \frac{ε}{5} . 5 = ε .$

Por lo tanto,

$\underset{x \to −1}{lím} (x^{2} - 2 x + 3) = 6 .$

Punto de control 2.29

Complete la prueba de que $\underset{x \to 1}{lím} x^{2} = 1 .$

Supongamos que $ε > 0;$ elija $δ = min {1, ε / 3};$ asuma que $0 < | x - 1 | < δ .$

Dado que $| x - 1 | < 1,$ podemos concluir que $−1 < x - 1 < 1 .$ Por lo tanto, $1 < x + 1 < 3 .$ Por lo tanto, $| x + 1 | < 3 .$

Verás que, en general, cuanto más compleja sea una función, es más probable que el enfoque algebraico sea el más fácil de aplicar. El enfoque algebraico también es más útil para demostrar afirmaciones sobre los límites.

Prueba de las leyes de los límites

Ahora demostraremos cómo utilizar la definición épsilon-delta de un límite para construir una prueba rigurosa de una de las leyes de límites. La desigualdad del triángulo se utiliza en un punto clave de la prueba, así que primero revisamos esta propiedad clave del valor absoluto.

Definición

La desigualdad del triángulo establece que si a y b son cualquier número real, entonces $| a + b | \leq | a | + | b | .$

Prueba

Demostramos la siguiente ley de los límites: Si los valores de $\underset{x \to a}{lím} f (x) = L$ y $\underset{x \to a}{lím} g (x) = M,$ entonces $\underset{x \to a}{lím} (f (x) + g (x)) = L + M .$

Supongamos que $ε > 0 .$

Elija $δ_{1} > 0$ de modo que si $0 < | x - a | < δ_{1},$ entonces $| f (x) - L | < ε / 2 .$

Elija $δ_{2} > 0$ de modo que si $0 < | x - a | < δ_{2},$ entonces $| g (x) - M | < ε / 2 .$

Elija $δ = min {δ_{1}, δ_{2}} .$

Supongamos que $0 < | x - a | < δ .$

Por lo tanto,

0 < | x - a | < δ_{1} y 0 < | x - a | < δ_{2} .

Por lo tanto,

\begin{matrix} | (f (x) + g (x)) - (L + M) | & = | (f (x) - L) + (g (x) - M) | \\ \leq | f (x) - L | + | g (x) - M | \\ < \frac{ε}{2} + \frac{ε}{2} = ε . \end{matrix}

□

Ahora exploraremos el significado de la inexistencia de un límite. El límite $\underset{x \to a}{lím} f (x)$ no existe si no hay ningún número real L para el que $\underset{x \to a}{lím} f (x) = L .$ Así, para todos los números reales L, $\underset{x \to a}{lím} f (x) \neq L .$ Para entender lo que esto significa, examinamos cada parte de la definición de $\underset{x \to a}{lím} f (x) = L$ junto con su opuesto. Una explicación de la definición se halla en la Tabla 2.10.

Definición	Opuesto
1 Por cada $ε > 0,$	1 Existe $ε > 0$ para que
2. existe un $δ > 0,$ para que	2. por cada $δ > 0,$
3. si $0 < \| x - a \| < δ,$ entonces $\| f (x) - L \| < ε .$	3. Existe una x que satisface $0 < \| x - a \| < δ$ por lo que $\| f (x) - L \| \geq ε .$

Tabla 2.10 Explicación de la definición de

\underset{x \to a}{lím} f (x) = L

y su opuesto

Por último, podemos afirmar lo que significa que un límite no exista. El límite $\underset{x \to a}{lím} f (x)$ no existe si para cada número real L, existe un número real $ε > 0$ de manera que para todos los $δ > 0,$ hay una x que satisface $0 < | x - a | < δ,$ por lo que $| f (x) - L | \geq ε .$ Apliquemos esto en el Ejemplo 2.43 para demostrar que un límite no existe.

Ejemplo 2.43

Demostrar la inexistencia de un límite

Demuestre que $\underset{x \to 0}{lím} \frac{| x |}{x}$ no existe. El gráfico de $f (x) = | x | / x$ aquí se muestra:

Gráfico de una función con dos segmentos. La primera existe para x < 0, y es una línea sin pendiente que termina en el eje y en un círculo abierto en (0,–1). La segunda existe para x > 0, y es una línea sin pendiente que comienza en el eje y en un círculo abierto (1,0).

Solución

Supongamos que L es un candidato a límite. Elija $ε = 1 / 2 .$

Supongamos que $δ > 0 .$ O bien $L \geq 0$ o $L < 0 .$ Si $L \geq 0,$ entonces supongamos que $x = - δ / 2 .$ Por lo tanto,

| x - 0 | = | - \frac{δ}{2} - 0 | = \frac{δ}{2} < δ

y

| \frac{| - \frac{δ}{2} |}{- \frac{δ}{2}} - L | = | −1 - L | = L + 1 \geq 1 > \frac{1}{2} = ε .

Por otro lado, si $L < 0,$ entonces supongamos que $x = δ / 2 .$ Por lo tanto,

| x - 0 | = | \frac{δ}{2} - 0 | = \frac{δ}{2} < δ

y

| \frac{| \frac{δ}{2} |}{\frac{δ}{2}} - L | = | 1 - L | = | L | + 1 \geq 1 > \frac{1}{2} = ε .

Así, para cualquier valor de L, $\underset{x \to 0}{lím} \frac{| x |}{x} \neq L .$

Límites unilaterales e infinitos

De la misma manera que primero adquirimos una comprensión intuitiva de los límites y luego pasamos a una definición más rigurosa de un límite, ahora volvemos a examinar los límites unilaterales. Para ello, modificamos la definición épsilon-delta de un límite para dar definiciones formales épsilon-delta para los límites por la derecha y la izquierda en un punto. Estas definiciones solo requieren ligeras modificaciones respecto a la definición del límite. En la definición del límite por la derecha, la desigualdad $0 < x - a < δ$ sustituye a $0 < | x - a | < δ,$ que asegura que solo consideramos los valores de x que son mayores que (a la derecha de) a. Del mismo modo, en la definición del límite por la izquierda, la desigualdad $- δ < x - a < 0$ sustituye a $0 < | x - a | < δ,$ que garantiza que solo consideremos los valores de x que son menores que (a la izquierda de) a.

Definición

Límite por la derecha: Supongamos que $f (x)$ se define sobre un intervalo abierto de la forma $(a, b)$ donde $a < b .$ Entonces,

\underset{x \to a^{+}}{lím} f (x) = L

si para cada $ε > 0,$ existe un $δ > 0$ tal que si $0 < x - a < δ,$ entonces $| f (x) - L | < ε .$

Límite por la izquierda: Supongamos que $f (x)$ se define sobre un intervalo abierto de la forma $(b, c)$ donde $b < c .$ Entonces,

\underset{x \to a^{-}}{lím} f (x) = L

si para cada $ε > 0,$ existe un $δ > 0$ tal que si $- δ < x - a < 0,$ entonces $| f (x) - L | < ε .$

Ejemplo 2.44

Probar una declaración sobre un límite por la derecha

Compruebe que $\underset{x \to 4^{+}}{lím} \sqrt{x - 4} = 0 .$

Solución

Supongamos que $ε > 0 .$

Elija $δ = ε^{2} .$ Como en última instancia queremos $| \sqrt{x - 4} - 0 | < ε,$ manipulamos esta desigualdad para obtener $\sqrt{x - 4} < ε$ o, de forma equivalente, $0 < x - 4 < ε^{2},$ que da $δ = ε^{2}$ una elección clara. También podemos determinar $δ$ geométricamente, como se muestra en la Figura 2.42.

Gráfico que muestra cómo hallar delta para la prueba anterior. La función f(x) = sqrt(x-4) se dibuja para x > 4. Como el límite propuesto es 0, las líneas y = 0 + épsilon y y = 0 – épsilon se dibujan en azul. Como solo la línea azul superior correspondiente a y = 0 + épsilon interseca la función, se traza una línea roja desde el punto de intersección hasta el eje x. Este valor de x se halle resolviendo sqrt(x-4) = épsilon, o sea x = épsilon al cuadrado + 4. Delta es entonces la distancia entre este punto y 4, que es épsilon al cuadrado.

Figura 2.42 Este gráfico muestra cómo encontramos δ para la prueba en el Ejemplo 2.44.

Supongamos que $0 < x - 4 < δ .$ Por lo tanto, $0 < x - 4 < ε^{2} .$ Por lo tanto, $0 < \sqrt{x - 4} < ε .$ Finalmente, $| \sqrt{x - 4} - 0 | < ε .$

Por lo tanto, $\underset{x \to 4^{+}}{lím} \sqrt{x - 4} = 0 .$

Punto de control 2.30

Halle $δ$ correspondiente a ε para demostrar que $\underset{x \to 1^{-}}{lím} \sqrt{1 - x} = 0 .$

Concluimos el proceso de convertir nuestras ideas intuitivas de varios tipos de límites en definiciones formales rigurosas, persiguiendo una definición formal de los límites infinitos. Para tener $\underset{x \to a}{lím} f (x) = + \infty,$ queremos que los valores de la función $f (x)$ se hagan cada vez más grandes a medida que x se acerca a a. En lugar del requisito de que $| f (x) - L | < ε$ para un ε arbitrariamente pequeño cuando $0 < | x - a | < δ$ para un delta lo bastante pequeño $δ,$ queremos $f (x) > M$ para un M positivo arbitrariamente grande cuando $0 < | x - a | < δ$ para un delta lo bastante pequeño $δ .$ La Figura 2.43 ilustra esta idea mostrando el valor de $δ$ para valores sucesivamente mayores de M.

Dos gráficos uno al lado del otro. Cada gráfico contiene dos curvas sobre el eje x separadas por una asíntota en x=a. Las curvas de la izquierda van al infinito cuando x llega a a y a 0 cuando x llega al infinito negativo. Las curvas de la derecha van al infinito cuando x llega a a y a 0 cuando x llega al infinito. El primer gráfico tiene un valor M mayor que cero marcado en el eje y y una línea horizontal trazada desde allí (y=M) para intersecarse con ambas curvas. Las líneas se dibujan hacia abajo desde los puntos de intersección hasta el eje x. Delta es la menor de distancia entre el punto a y estos nuevos puntos en el eje x. En el segundo gráfico se dibujan las mismas líneas, pero esta M es más grande y las distancias de las intersecciones del eje x al punto a son menores.

Figura 2.43 Estos gráficos representan los valores de

δ

para que M demuestre que

\underset{x \to a}{lím} f (x) = + \infty .

Definición

Supongamos que $f (x)$ se define para todos los $x \neq a$ en un intervalo abierto que contiene a. Entonces, tenemos un límite infinito

\underset{x \to a}{lím} f (x) = + \infty

si para cada $M > 0,$ existe $δ > 0$ tal que si $0 < | x - a | < δ,$ entonces $f (x) > M .$

Supongamos que $f (x)$ se define para todos los $x \neq a$ en un intervalo abierto que contiene a. Entonces, tenemos un límite infinito negativo

\underset{x \to a}{lím} f (x) = − \infty

si para cada $M > 0,$ existe $δ > 0$ tal que si $0 < | x - a | < δ,$ entonces $f (x) < − M .$

Sección 2.5 ejercicios

En los siguientes ejercicios, escriba la definición adecuada de $ε - δ$ para cada uno de los enunciados dados.

176.

$\underset{x \to a}{lím} f (x) = N$

177.

$\underset{t \to b}{lím} g (t) = M$

178.

$\underset{x \to c}{lím} h (x) = L$

179.

$\underset{x \to a}{lím} φ (x) = A$

El siguiente gráfico de la función f satisface $\underset{x \to 2}{lím} f (x) = 2 .$ En los siguientes ejercicios, determine un valor de $δ > 0$ que satisfaga cada afirmación.

Una función dibujada en el cuadrante uno para x > 0. Es una función cóncava creciente hacia arriba, con los puntos aproximadamente en (0,0), (1, 0,5), (2,2) y (3,4).

180.

Si los valores de $0 < | x - 2 | < δ,$ entonces $| f (x) - 2 | < 1 .$

181.

Si los valores de $0 < | x - 2 | < δ,$ entonces $| f (x) - 2 | < 0,5 .$

El siguiente gráfico de la función f satisface $\underset{x \to 3}{lím} f (x) = −1 .$ En los siguientes ejercicios, determine un valor de $δ > 0$ que satisfaga cada afirmación.

Gráfico de una función lineal decreciente, con los puntos (0,2), (1,1), (2,0), (3,-1), (4,-2), y así sucesivamente para x >= 0.

182.

Si los valores de $0 < | x - 3 | < δ,$ entonces $| f (x) + 1 | < 1 .$

183.

Si los valores de $0 < | x - 3 | < δ,$ entonces $| f (x) + 1 | < 2 .$

El siguiente gráfico de la función f satisface $\underset{x \to 3}{lím} f (x) = 2 .$ En los siguientes ejercicios, para cada valor de ε, halle un valor de $δ > 0$ de tal manera que la definición precisa de límite se cumpla.

Gráfico de una función lineal creciente que interseca el eje x en alrededor de (2,25, 0) y pasa por los puntos (3,2) y, aproximadamente, (1, -5) y (4, 5).

184.

$ε = 1,5$

185.

$ε = 3$

[T] En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora gráfica para hallar un número $δ$ para que las afirmaciones se cumplan.

186.

$| sen (2 x) - \frac{1}{2} | < 0,1,$ siempre que $| x - \frac{π}{12} | < δ$

187.

$| \sqrt{x - 4} - 2 | < 0,1, siempre que | x - 8 | < δ$

En los siguientes ejercicios, utilice la definición precisa de límite para demostrar los límites dados.

188.

$\underset{x \to 2}{lím} (5 x + 8) = 18$

189.

$\underset{x \to 3}{lím} \frac{x^{2} - 9}{x - 3} = 6$

190.

$\underset{x \to 2}{lím} \frac{2 x^{2} - 3 x - 2}{x - 2} = 5$

191.

$\underset{x \to 0}{lím} x^{4} = 0$

192.

$\underset{x \to 2}{lím} (x^{2} + 2 x) = 8$

En los siguientes ejercicios, utilice la definición precisa de límite para demostrar los límites unilaterales dados.

193.

$\underset{x \to 5^{-}}{lím} \sqrt{5 - x} = 0$

194.

$\underset{x \to 0^{+}}{lím} f (x) = –2, donde f (x) = {\begin{matrix} 8 x - 3, si x < 0 \\ 4 x - 2, si x \geq 0 \end{matrix} .$

195.

$\underset{x \to 1^{-}}{lím} f (x) = 3, donde f (x) = {\begin{matrix} 5 x - 2, si x < 1 \\ 7 x - 1, si x \geq 1 \end{matrix} .$

En los siguientes ejercicios, utilice la definición precisa de límite para demostrar los límites infinitos dados.

196.

$\underset{x \to 0}{lím} \frac{1}{x^{2}} = \infty$

197.

$\underset{x \to −1}{lím} \frac{3}{{(x + 1)}^{2}} = \infty$

198.

$\underset{x \to 2}{lím} - \frac{1}{{(x - 2)}^{2}} = − \infty$

199.

Un ingeniero utiliza una máquina para cortar un cuadrado plano de Aerogel de 144 cm². Si hay una tolerancia de error máxima en el área de 8 cm², ¿con qué precisión debe cortar el lado, suponiendo que todos los lados tienen la misma longitud? ¿Cómo se relacionan estos números con $δ,$ ε, a, y L?

200.

Utilice la definición precisa de límite para demostrar que el siguiente límite no existe $\underset{x \to 1}{lím} \frac{| x - 1 |}{x - 1} .$

201.

Utilizando definiciones precisas de los límites, demuestre que $\underset{x \to 0}{lím} f (x)$ no existe, dado que $f (x)$ es la función techo. (Pista: Pruebe cualquier $δ < 1).$

202.

Utilizando definiciones precisas de los límites, demuestre que $\underset{x \to 0}{lím} f (x)$ no existe: $f (x) = {\begin{cases} 1 si x es racional \\ 0 si x es irracional \end{cases} .$ (Pista: Piense que siempre puedes elegir un número racional $0 < r < d,$ pero $| f (r) - 0 | = 1).$

203.

Utilizando definiciones precisas de los límites, determine $\underset{x \to 0}{lím} f (x)$ por $f (x) = {\begin{cases} x si x es racional \\ 0 si x es irracional \end{cases} .$ (Pista: Divida en dos casos, x racional y x irracional)

204.

Utilizando la función del ejercicio anterior, use la definición precisa de límites para demostrar que $\underset{x \to a}{lím} f (x)$ no existe para $a \neq 0 .$

En los siguientes ejercicios, supongamos que $\underset{x \to a}{lím} f (x) = L$ y $\underset{x \to a}{lím} g (x) = M$ ambos existen. Utilice la definición precisa de límites para demostrar las siguientes leyes de los límites:

205.

$\underset{x \to a}{lím} (f (x) + g (x)) = L + M$

206.

$\underset{x \to a}{lím} [c f (x)] = c L$ para cualquier constante real c(Pista: Consideremos dos casos: $c = 0$ y $c \neq 0).$

207.

$\underset{x \to a}{lím} [f (x) g (x)] = L M .$ (Sugerencia: $| f (x) g (x) - L M | =$ $| f (x) g (x) - f (x) M + f (x) M - L M | \leq | f (x) | | g (x) - M | + | M | | f (x) - L |).$

2.5 La definición precisa de un límite

Cuantificar la cercanía

Probar una afirmación sobre el límite de una función específica

Solución

Análisis

Estrategia para la resolución de problemas: Al demostrar que límx→af(x)=Llímx→af(x)=L para una función específica f(x)f(x)

Probar una afirmación sobre un límite

Solución

Demostración de una afirmación sobre el límite de una función específica (enfoque geométrico)

Solución

Demostración de una afirmación sobre el límite de una función específica (enfoque algebraico)

Solución

Prueba de las leyes de los límites

Prueba

Demostrar la inexistencia de un límite

Solución

Límites unilaterales e infinitos

Probar una declaración sobre un límite por la derecha

Solución

Sección 2.5 ejercicios

Estrategia para la resolución de problemas: Al demostrar que $\underset{x \to a}{lím} f (x) = L$ para una función específica $f (x)$