Capítulo 2

2,25

12,006001

16 unidad²

$\underset{x\to 1}{\text{lím}}\frac{\frac{1}{x}–1}{x–1}=\mathrm{–1}$

$\underset{x\to 2}{\text{lím}}h\left(x\right)=\mathrm{-1}.$

$\underset{x\to 2}{\text{lím}}\frac{\left|x^2-4\right|}{x-2}$ no existe.

a. $\underset{x\to 2^{-}}{\text{lím}}\frac{\left|x^2-4\right|}{x-2}=\mathrm{-4};$ b. $\underset{x\to 2^{+}}{\text{lím}}\frac{\left|x^2-4\right|}{x-2}=4$

a. $\underset{x\to 0^{-}}{\text{lím}}\frac{1}{x^2}=\text{+}\infty ;$ b. $\underset{x\to 0^{+}}{\text{lím}}\frac{1}{x^2}=\text{+}\infty ;$ c. $\underset{x\to 0}{\text{lím}}\frac{1}{x^2}=\text{+}\infty$

a. $\underset{x\to 2^{–}}{\text{lím}}\frac{1}{{\left(x-2\right)}^3}=\text{−}\infty ;$ b. $\underset{x\to 2^{+}}{\text{lím}}\frac{1}{{\left(x-2\right)}^3}=\text{+}\infty ;$ c. $\underset{x\to 2}{\text{lím}}\frac{1}{{\left(x-2\right)}^3}$ (does not exist, DNE). La línea $x=2$ es la asíntota vertical de $f\left(x\right)=1\text{/}{\left(x-2\right)}^3.$

No existe.

$11\sqrt{10}$

−13;

$\frac{1}{3}$

$\frac{1}{4}$

−1;

$\frac{1}{4}$

$\underset{x\to {\mathrm{-1}}^{-}}{\text{lím}}f\left(x\right)=\mathrm{–1}$

+∞

0

0

f no es continua en 1 porque $f\left(1\right)=2\ne 3=\underset{x\to 1}{\text{lím}}f\left(x\right).$

$f\left(x\right)$ es continua en todo número real.

Discontinua en 1; removible

$\left[\mathrm{-3},\text{+}\infty \right)$

0

$f\left(0\right)=1>0,f\left(1\right)=\mathrm{-2}<0;f\left(x\right)$ es continua en $\left[0,1\right].$ Debe tener un cero en este intervalo.

Supongamos que $\epsilon >0;$ elija $\delta =\frac{\epsilon }{3};$ asuma que $0<\left|x-2\right|<\delta .$

Así, $\left|\left(3x-2\right)-4\right|=\left|3x-6\right|=\left|3\right|.\left|x-2\right|<3.\delta =3.\left(\epsilon \text{/}3\right)=\epsilon .$

Por lo tanto, $\underset{x\to 2}{\text{lím}}3x-2=4.$

Elija $\delta =\text{min}\left\{9-{\left(3-\epsilon \right)}^2,{\left(3+\epsilon \right)}^2-9\right\}.$

$\left|x^2–1\right|=\left|x–1\right|.\left|x+1\right|<\epsilon \text{/}3.3=\epsilon$

$\delta ={\epsilon }^2$

a. 2,2100000; b. 2,0201000; c. 2,0020010; d. 2,0002000; e. (1,1000000, 2,2100000); f. (1,0100000, 2,0201000); g. (1,0010000, 2,0020010); h. (1,0001000, 2,0002000); i. 2,1000000; j. 2,0100000; k. 2,0010000; l. 2,0001000

$y=2x$

3

a. 2,0248457; b. 2,0024984; c. 2,0002500; d. 2,0000250; e. (4,1000000,2,0248457); f. (4,0100000,2,0024984); g. (4,0010000,2,0002500); h. (4,00010000,2,0000250); i. 0,24845673; j. 0,24984395; k. 0,24998438; l. 0,24999844

$y=\frac{x}{4}+1$

π

a. –0,95238095; b. –0,99009901; c. –0,99502488; d. –0,99900100; e. (–1;.0500000,–0;.95238095); f. (–1;.0100000,–0;.9909901); g. (–1;.0050000,–0;.99502488); h. (1,0010000,–0;.99900100); i. –0,95238095; j. –0,99009901; k. –0,99502488; l. –0,99900100

$y=\text{−}x-2$

−49 m/s (la velocidad de la pelota es de 49 m/s hacia abajo)

5,2 m/s

−9,8 m/s

6 m/s

Por debajo, 1 unidad²; por encima: 4 unidad². El área exacta de los dos triángulos es $\frac{1}{2}\left(1\right)\left(1\right)+\frac{1}{2}\left(2\right)\left(2\right)=\mathrm{2,5}{\text{unidades}}^2.$

Por debajo, 0,96 unidad²; por encima, 1,92 unidad². El área exacta del semicírculo de radio 1 es $\frac{\pi {\left(1\right)}^2}{2}=\frac{\pi }{2}$ unidad².

Aproximadamente 1,3333333 unidad²

$\underset{x\to 1}{\text{lím}}f\left(x\right)$ no existe porque $\underset{x\to 1^{-}}{\text{lím}}f\left(x\right)=\mathrm{-2}\ne \underset{x\to 1^{+}}{\text{lím}}f\left(x\right)=2.$

$\underset{x\to 0}{\text{lím}}{\left(1+x\right)}^{1\text{/}x}=\mathrm{2,7183}$

a. 1,98669331; b. 1,99986667; c. 1,99999867; d. 1,99999999; e. 1,98669331; f. 1,99986667; g. 1,99999867; h. 1,99999999 $\underset{x\to 0}{\text{lím}}\frac{\text{sen}2x}{x}=2$

$\underset{x\to 0}{\text{lím}}\frac{\text{sen}ax}{x}=a$

a. –0,80000000; b. –0,98000000; c. –0,99800000; d. –0,99980000; e. –1,2000000; f. –1,0200000; g. –1,0020000; h. –1,0002000 $\underset{x\to 1}{\text{lím}}\left(1-2x\right)=\mathrm{–1}$

a. -37,931934; b. -3377,9264; c. -333.777,93; d. -33.337.778; e. -29,032258; f. -3289,0365; g. -332.889,04; h. -33.328.889 $\underset{x\to 0}{\text{lím}}\frac{z–1}{z^2\left(z+3\right)}=\text{−}\infty$

a. 0,13495277; b. 0,12594300; c. 0,12509381; d. 0,12500938; e. 0,11614402; f. 0,12406794; g. 0,12490631; h. 0,12499063 $\therefore \underset{x\to 2}{\text{lím}}\frac{1-\frac{2}{x}}{x^2-4}=\mathrm{0,1250}=\frac{1}{8}$

a. 10,00000; b. 100,00000; c. 1.000,0000; d. 10.000,000; estimación: $\underset{\alpha \to 0^{+}}{\text{lím}}\frac{1}{\alpha }\text{cos}\left(\frac{\pi }{\alpha }\right)=\infty ,$ resultado: DNE

Falso; $\underset{x\to {\mathrm{-2}}^{+}}{\text{lím}}f\left(x\right)=\text{+}\infty$

Falso; $\underset{x\to 6}{\text{lím}}f\left(x\right)$ DNE ya que $\underset{x\to 6^{-}}{\text{lím}}f\left(x\right)=2$ y $\underset{x\to 6^{+}}{\text{lím}}f\left(x\right)=5.$

2

1

1

DNE

0

DNE

2

3

DNE

0

−2

DNE

0

Las respuestas pueden variar.

Las respuestas pueden variar.

a. ${\rho }_2$ b. ${\rho }_1$ c. DNE a menos que ${\rho }_1={\rho }_2.$ Cuando se acerca a $x_{\text{SF}}$ desde la izquierda, se encuentra en la zona de alta densidad de la onda expansiva. Cuando se acerca por la derecha, aún no ha experimentado el "choque" y está en una densidad más baja.

Utilice la ley del múltiplo constante y la ley de la diferencia: $\underset{x\to 0}{\text{lím}}\left(4x^2-2x+3\right)=4\underset{x\to 0}{\text{lím}}{x}^2-2\underset{x\to 0}{\text{lím}}x+\underset{x\to 0}{\text{lím}}3=3$

Utilice la ley de la raíz $\underset{x\to \mathrm{-2}}{\text{lím}}\sqrt{x^2-6x+3}=\sqrt{\underset{x\to \mathrm{-2}}{\text{lím}}\left(x^2-6x+3\right)}=\sqrt{19}$

49

1

$-\frac{5}{7}$

$\underset{x\to 4}{\text{lím}}\frac{x^2-16}{x-4}=\frac{16-16}{4-4}=\frac{0}{0};$ entonces, $\underset{x\to 4}{\text{lím}}\frac{x^2-16}{x-4}=\underset{x\to 4}{\text{lím}}\frac{\left(x+4\right)\left(x-4\right)}{x-4}=8$

$\underset{x\to 6}{\text{lím}}\frac{3x-18}{2x-12}=\frac{18-18}{12-12}=\frac{0}{0};$ entonces, $\underset{x\to 6}{\text{lím}}\frac{3x-18}{2x-12}=\underset{x\to 6}{\text{lím}}\frac{3\left(x-6\right)}{2\left(x-6\right)}=\frac{3}{2}$

$\underset{x\to 9}{\text{lím}}\frac{t-9}{\sqrt{t}-3}=\frac{9-9}{3-3}=\frac{0}{0};$ entonces, $\underset{t\to 9}{\text{lím}}\frac{t-9}{\sqrt{t}-3}=\underset{t\to 9}{\text{lím}}\frac{t-9}{\sqrt{t}-3}\frac{\sqrt{t}+3}{\sqrt{t}+3}=\underset{t\to 9}{\text{lím}}\left(\sqrt{t}+3\right)=6$

$\underset{\theta \to \pi }{\text{lím}}\frac{\text{sen}\theta }{\text{tan}\theta }=\frac{\text{sen}\pi }{\text{tan}\pi }=\frac{0}{0};$ entonces, $\underset{\theta \to \pi }{\text{lím}}\frac{\text{sen}\theta }{\text{tan}\theta }=\underset{\theta \to \pi }{\text{lím}}\frac{\text{sen}\theta }{\frac{\text{sen}\theta }{\text{cos}\theta }}=\underset{\theta \to \pi }{\text{lím}}\text{cos}\theta =\mathrm{–1}$

$\underset{x\to 1\text{/}2}{\text{lím}}\frac{2x^2+3x-2}{2x–1}=\frac{\frac{1}{2}+\frac{3}{2}-2}{1-1}=\frac{0}{0};$ entonces, $\underset{x\to 1\text{/}2}{\text{lím}}\frac{2x^2+3x-2}{2x–1}=\underset{x\to 1\text{/}2}{\text{lím}}\frac{\left(2x–1\right)\left(x+2\right)}{2x–1}=\frac{5}{2}$

−∞

−∞

$\underset{x\to 6}{\text{lím}}2f\left(x\right)g\left(x\right)=2\underset{x\to 6}{\text{lím}}f\left(x\right)\underset{x\to 6}{\text{lím}}g\left(x\right)=72$

$\underset{x\to 6}{\text{lím}}\left(f\left(x\right)+\frac{1}{3}g\left(x\right)\right)=\underset{x\to 6}{\text{lím}}f\left(x\right)+\frac{1}{3}\underset{x\to 6}{\text{lím}}g\left(x\right)=7$

$\underset{x\to 6}{\text{lím}}\sqrt{g\left(x\right)-f\left(x\right)}=\sqrt{\underset{x\to 6}{\text{lím}}g\left(x\right)-\underset{x\to 6}{\text{lím}}f\left(x\right)}=\sqrt{5}$

$\underset{x\to 6}{\text{lím}}\left[\left(x+1\right)f\left(x\right)\right]=\left(\underset{x\to 6}{\text{lím}}\left(x+1\right)\right)\left(\underset{x\to 6}{\text{lím}}f\left(x\right)\right)=28$

a. 9; b. 7

a. 1; b. 1

$\underset{x\to {\mathrm{-3}}^{-}}{\text{lím}}\left(f\left(x\right)-3g\left(x\right)\right)=\underset{x\to {\mathrm{-3}}^{-}}{\text{lím}}f\left(x\right)-3\underset{x\to {\mathrm{-3}}^{-}}{\text{lím}}g\left(x\right)=0+6=6$

$\underset{x\to \mathrm{-5}}{\text{lím}}\frac{2+g\left(x\right)}{f\left(x\right)}=\frac{2+\left(\underset{x\to \mathrm{-5}}{\text{lím}}g\left(x\right)\right)}{\underset{x\to \mathrm{-5}}{\text{lím}}f\left(x\right)}=\frac{2+0}{2}=1$

$\underset{x\to 1}{\text{lím}}\sqrt[3]{f\left(x\right)-g\left(x\right)}=\sqrt[3]{\underset{x\to 1}{\text{lím}}f\left(x\right)-\underset{x\to 1}{\text{lím}}g\left(x\right)}=\sqrt[3]{2+5}=\sqrt[3]{7}$

$\underset{x\to \mathrm{-9}}{\text{lím}}\left(xf\left(x\right)+2g\left(x\right)\right)=\left(\underset{x\to \mathrm{-9}}{\text{lím}}x\right)\left(\underset{x\to \mathrm{-9}}{\text{lím}}f\left(x\right)\right)+2\underset{x\to \mathrm{-9}}{\text{lím}}\left(g\left(x\right)\right)=\left(\mathrm{-9}\right)\left(6\right)+2\left(4\right)=\mathrm{-46}$

El límite es cero

a.

b. ∞. Al acercarse a la partícula q la magnitud del campo eléctrico se vuelve infinita. No tiene sentido físico evaluar la distancia negativa.

La función está definida para toda x en el intervalo $\left(0,\infty \right).$

Discontinuidad removible en $x=0;$ discontinuidad infinita en $x=1$

Discontinuidad infinita en $x=\text{ln}2$

Discontinuidades infinitas en $x=\frac{\left(2k+1\right)\pi }{4},$ por $k=0,\pm 1,1,\pm 2,2,\pm 3,...3\text{,…}$

No. Es una discontinuidad removible.

Sí. Es continuo.

Sí. Es continuo.

$k=\mathrm{-5}$

$k=\mathrm{–1}$

$k=\frac{16}{3}$

Dado que tanto s como $y=t$ son continuas en todas partes, entonces $h\left(t\right)=s\left(t\right)-t$ es continua en todas partes y, en particular, es continua en el intervalo cerrado $\left[2,5\right].$ También, $h\left(2\right)=3>0$ y $h\left(5\right)=\mathrm{-3}<0.$ Por lo tanto, según el TVI, hay un valor $x=c$ de manera que $h\left(c\right)=0.$

La función $f\left(x\right)=2^x–x^3$ es continua en el intervalo $\left[\mathrm{1,25},\mathrm{1,375}\right]$ y tiene signos opuestos en los extremos.

a.

b. No es posible redefinir $f\left(1\right)$ ya que la discontinuidad es una discontinuidad de salto.

Las respuestas pueden variar; vea el siguiente ejemplo

Las respuestas pueden variar; vea el siguiente ejemplo

Falso. Es continua a lo largo de $\left(\text{−}\infty ,0\right)\cup \left(0,\infty \right).$

Falso. Considere que $f\left(x\right)=\{\begin{array}{l}x\text{si}x\ne 0\\ 4\text{si}x=0\end{array}.$

Falso. El TVI solo dice que al menos hay una solución; no garantiza que haya exactamente una. Considere que $f\left(x\right)=\text{cos}\left(x\right)$ sobre $\left[-\pi ,2\pi \right].$

Falso. ¡El TVI no funciona a la inversa! Considere que ${\left(x–1\right)}^2$ en el intervalo $\left[\mathrm{-2},2\right].$

$R=\mathrm{0,0001519}\text{m}$

$D=345.826\text{km}$

Para todos los valores de $a,f\left(a\right)$ está definida, $\underset{\theta \to a}{\text{lím}}f\left(\theta \right)$ existe, y $\underset{\theta \to a}{\text{lím}}f\left(\theta \right)=f\left(a\right).$ Por lo tanto, $f(\theta )$ es continua en todas partes.

En ninguna parte

Por cada $\epsilon >0,$ existe un $\delta >0,$ de modo que si $0<\left|t-b\right|<\delta ,$ entonces $\left|g\left(t\right)-M\right|<\epsilon$

Por cada $\epsilon >0,$ existe un $\delta >0,$ de modo que si $0<\left|x–a\right|<\delta ,$ entonces $\left|\phi \left(x\right)–A\right|<\epsilon$

$\delta \le \mathrm{0,25}$

$\delta \le 2$

$\delta \le 1$

$\delta <\mathrm{0,3900}$

Supongamos que $\delta =\epsilon .$ Si $0<\left|x-3\right|<\epsilon ,$ entonces $\left|x+3-6\right|=\left|x-3\right|<\epsilon .$

Supongamos que $\delta =\sqrt[4]{\epsilon }.$ Si $0<\left|x\right|<\sqrt[4]{\epsilon },$ entonces $\left|x^4\right|=x^4<\epsilon .$

Supongamos que $\delta ={\epsilon }^2.$ Si $5-{\epsilon }^2<x<5,$ entonces $\left|\sqrt{5-x}\right|=\sqrt{5-x}<\epsilon .$

Supongamos que $\delta =\epsilon \text{/}5.$ Si $1-\epsilon \text{/}5<x<1,$ entonces $\left|f\left(x\right)-3\right|=5x-5<\epsilon .$

Supongamos que $\delta =\sqrt{\frac{3}{M}}.$ Si $0<\left|x+1\right|<\sqrt{\frac{3}{M}},$ entonces $f\left(x\right)=\frac{3}{{\left(x+1\right)}^2}>M.$

0,328 cm, $\epsilon =8,\delta =\mathrm{0,33},a=12,L=144$

Las respuestas pueden variar.

0

$f\left(x\right)-g\left(x\right)=f\left(x\right)+\left(\mathrm{–1}\right)g\left(x\right)$ grandes.

Las respuestas pueden variar.

Falso

Falso. Es posible una discontinuidad removible.

5

$8\text{/}7$

DNE

$2\text{/}3$

−4;

Dado que $\mathrm{-1}\le \text{cos}(2\pi x)\le 1,$ entonces $-x^2\le x^2\text{cos}(2\pi x)\le x^2.$ Dado que $\underset{x\to 0}{\text{lím}}{x}^2=0=\underset{x\to 0}{\text{lím}}-x^2,$ se deduce que $\underset{x\to 0}{\text{lím}}{x}^2\text{cos}\left(2\pi x\right)=0.$

$[2,\infty ]$

$c=\mathrm{–1}$

$\delta =\sqrt[3]{\epsilon }$

$0\text{m}\text{/}\text{sec}$