Para graficar $f (x) = 3 sen (4 x) - 5,$ el gráfico de $y = sen (x)$ necesita ser comprimido horizontalmente por un factor de 4, luego estirado verticalmente por un factor de 3, y luego desplazado hacia abajo 5 unidades. La función $f$ tendrá un periodo de $π / 2$ y una amplitud de 3.

1.23

No.

1.24

$f^{−1} (x) = \frac{2 x}{x - 3} .$ El dominio de $f^{−1}$ ¿es ${x | x \neq 3} .$ El rango de $f^{−1}$ ¿es ${y | y \neq 2} .$

1.25

Imagen de un gráfico. El eje x va de -3 a 4 y el eje y va de -3 a 5. El gráfico es de dos funciones. La primera función es "f(x) = 2x +3", una función de línea recta creciente. La función tiene una intersección x en (-1,5, 0) y una intersección y en (0, 3). La segunda función es "f inversa (x) = (x – 3)/2", una función de línea creciente, que aumenta a un ritmo más lento que la primera función. La función tiene una intersección x en (3, 0) y una intersección y en (0, -1,5). Además de las dos funciones, hay una línea diagonal punteada con la ecuación "y =x", que muestra que "f(x)" y "f inversa (x)" son imágenes reflejadas sobre la línea "y =x".

1.26

El dominio de $f^{−1}$ ¿es $(0, \infty) .$ El rango de $f^{−1}$ ¿es $(− \infty, 0) .$ La función inversa viene dada por la fórmula $f^{−1} (x) = −1 / \sqrt{x} .$

1.27

$f (4) = 900; f (10) = 24, 300 .$

1.28

$x / (2 y^{3})$

1.29

$A (t) = 750 e^{0,04 t} .$ Después de $30$ años, habrá aproximadamente $$ 2 . 490,09 .$

1.30

$x = \frac{ln 3}{2}$

1.31

$x = \frac{1}{e}$

1.32

$1,29248$

1.33

El terremoto de magnitud $8,4$ es aproximadamente $10$ veces más grave que el de magnitud $7,4$ .

1.34

$(x^{2} + x^{−2}) / 2$

1.35

$\frac{1}{2} ln (3) \approx 0,5493 .$

Sección 1.1 ejercicios

1.

a. Dominio = ${−3, –2, –1, 0, 1, 2, 3},$ rango = ${0, 1, 4, 9}$ b. Sí, es una función

3.

a. Dominio = ${0, 1, 2, 3},$ rango = ${−3, –2, –1, 0, 1, 2, 3}$ b. No, no es una función

5.

a. Dominio = ${3, 5, 8, 10, 15, 21, 33},$ rango = ${0, 1, 2, 3}$ b. Sí, es una función

7.

a. $−2$ b. 3 c. 13 d. $−5 x - 2$ e. $5 a - 2$ f. $5 a + 5 h - 2$

9.

a. Indefinido b. 2 c. $\frac{2}{3}$ d. $- \frac{2}{x}$ e $\frac{2}{a}$ f. $\frac{2}{a + h}$

11.

a. $\sqrt{5}$ b. $\sqrt{11}$ c. $\sqrt{23}$ d. $\sqrt{−6 x + 5}$ e. $\sqrt{6 a + 5}$ f. $\sqrt{6 a + 6 h + 5}$

13.

a. 9 b. 9 c. 9 d. 9 e. 9 f. 9

15.

$x \geq \frac{1}{8}; y \geq 0; x = \frac{1}{8};$ no hay intersección y

17.

$x \geq −2; y \geq −1; x = −1; y = −1 + \sqrt{2}$

19.

$x \neq 4; y \neq 0;$ no hay intersección x; $y = - \frac{3}{4}$

21.

$x > 5; y > 0;$ no son intersecciones.

23.

Imagen de un gráfico. El eje x va de -3 a 3 y el eje y va de -3 a 3. El gráfico es de la función "f(x) = 3x – 6", que es una línea recta creciente. La función tiene una intersección x en (2, 0) y la intersección y no se muestra.

25.

Imagen de un gráfico. El eje x va de -3 a 3 y el eje y va de -2 a 6. El gráfico es de la función "f(x) = 2 veces el valor absoluto de x". La función disminuye en línea recta hasta llegar al origen y luego comienza a aumentar en línea recta. Las intersecciones en x y en y de la función están en el origen.

27.

Imagen de un gráfico. El eje x va de –3 a 3, mientras que el eje y va de –27 a 27. El gráfico es de la función "f(x) = x al cubo". La función curva aumenta hasta llegar al origen, donde se nivela y luego se vuelve par. Después del origen, el gráfico comienza a aumentar de nuevo. La intersección en x y la intersección en y están ambas en el origen.

29.

Función; a. Dominio: todos los números reales, rango: $y \geq 0$ b. $x = \pm 1$ c. $y = 1$ d. $−1 < x < 0$ y $1 < x < \infty$ e. $− \infty < x < - 1$ y $0 < x < 1$ f. No es constante g. Eje y h. Par

31.

Función; a. Dominio: todos los números reales, rango: $−1,5 \leq y \leq 1,5$ b. $x = 0$ c. $y = 0$ d. $todos los números reales$ e. Ninguna f. No es constante g. Origen h. Impar

33.

Función; a. Dominio: $− \infty < x < \infty,$ rango: $−2 \leq y \leq 2$ b. $x = 0$ c. $y = 0$ d. $−2 < x < 2$ e. No decrece f. $− \infty < x < - 2$ y $2 < x < \infty$ g. Origen h. Impar

35.

Función; a. Dominio: $−4 \leq x \leq 4,$ rango: $−4 \leq y \leq 4$ b. $x = 1,2$ c. $y = 4$ d. No aumenta e. $0 < x < 4$ f. $−4 < x < 0$ g. Sin simetría h. Ninguno.

37.

a. $5 x^{2} + x - 8;$ todos los números reales b. $−5 x^{2} + x - 8;$ todos los números reales c. $5 x^{3} - 40 x^{2};$ todos los números reales d. $\frac{x - 8}{5 x^{2}}; x \neq 0$

39.

a. $−2 x + 6;$ todos los números reales b. $−2 x^{2} + 2 x + 12;$ todos los números reales c. $− x^{4} + 2 x^{3} + 12 x^{2} - 18 x - 27;$ todos los números reales d. $- \frac{x + 3}{x + 1}; x \neq − 1, 3$

41.

a. $6 + \frac{2}{x}; x \neq 0$ b. 6; $x \neq 0$ c. $\frac{6}{x} + \frac{1}{x^{2}}; x \neq 0$ d. $6 x + 1; x \neq 0$

43.

a. $4 x + 3;$ todos los números reales b. $4 x + 15;$ todos los números reales

45.

a. $x^{4} - 6 x^{2} + 16;$ todos los números reales b. $x^{4} + 14 x^{2} + 46;$ todos los números reales

47.

a. $\frac{3 x}{4 + x}; x \neq 0, −4$ b. $\frac{4 x + 2}{3}; x \neq - \frac{1}{2}$

49.

a. Sí, porque solo hay un ganador para cada año. b. No, porque hay tres equipos que ganaron más de una vez durante los años 2001 a 2012.

51.

a. $V (s) = s^{3}$ b. $V (11,8) \approx 1643;$ un cubo de lado 11,8 cada uno tiene un volumen de aproximadamente 1643 unidades cúbicas.

53.

a. $N (x) = 15 x$ b. i $N (20) = 15 (20) = 300;$ por lo tanto, el vehículo puede recorrer 300 millas con el tanque lleno. Ii. $N (15) = 225;$ por lo tanto, el vehículo puede recorrer 225 millas con 3/4 de un tanque de gasolina. c. Dominio: $0 \leq x \leq 20;$ rango: $[0, 300]$ d. El conductor tuvo que parar al menos una vez, dado que se necesitan aproximadamente 39 galones de gasolina para recorrer un total de 578 mi.

55.

a. $A (t) = A (r (t)) = π . {(6 - \frac{5}{t^{2} + 1})}^{2}$ b. Exacto: $\frac{121 π}{4};$ aproximadamente 95 cm² c. $C (t) = C (r (t)) = 2 π (6 - \frac{5}{t^{2} + 1})$ d. Exacto: $11 π;$ aproximadamente 35 cm

57.

a. $S (x) = 8,5 x + 750$ b. $962,50, $1090, $1217,50 c. 77 patinetas

Sección 1.2 ejercicios

59.

a. -1 b. Decreciente

61.

a. 3/4 b. Creciente

63.

a. 4/3 b. Creciente

65.

a. 0 b. Horizontal

67.

$y = −6 x + 9$

69.

$y = \frac{1}{3} x + 4$

71.

$y = \frac{1}{2} x$

73.

$y = \frac{3}{5} x - 3$

75.

a. $(m = 2, b = −3)$ b.

Imagen de un gráfico. El eje x va de –5 a 5 y el eje y va de –5 a 5. El gráfico muestra una función de línea recta creciente con una intersección y en (0, –3) y una intersección x en (1,5, 0).

77.

a. $(m = –6, b = 0)$ b.

Imagen de un gráfico. El eje x va de -5 a 5 y el eje y va de -5 a 5. El gráfico muestra una función de línea recta decreciente con una intersección y y una intersección x, ambas en el origen. Hay un punto no marcado en la función en (0,5, –3).

79.

a. $(m = 0, 0, b = −6)$ b.

Imagen de un gráfico. El eje x va de –3 a 3 y el eje y va de –7 a 1. El gráfico muestra una función de línea recta horizontal con una intersección y en (0, –6) y sin intersección x.

81.

a. $(m = - \frac{2}{3}, b = 2)$ b.

Imagen de un gráfico. El eje x va de –3 a 3 y el eje y va de –4 a 4. El gráfico muestra una función de línea recta decreciente con una intersección y en (0, 2) y una intersección x en (3, 0).

83.

a. 2 b. $\frac{5}{2}, −1;$ c. -5 d. Ambos extremos se elevan e. Ninguno.

85.

a. 2 b. $\pm \sqrt{2}$ c. -1 d. Ambos extremos se elevan e. Par

87.

a. 3 b. 0, $\pm \sqrt{3}$ c. 0 d. El extremo izquierdo sube, el derecho baja e. Impar

89.

Imagen de un gráfico. El eje x va de -5 a 5 y el eje y va de -5 a 5. El gráfico muestra una función parabólica que disminuye hasta el punto (-3, 1), y luego comienza a aumentar. La intersección y no se muestra y no hay intercepciones x. Hay dos puntos no graficados en (-4, 2) y (-2, 2).

91.

Imagen de un gráfico. El eje x va de -5 a 20 y el eje y va de -8 a 2. El gráfico muestra una función curva que comienza en el punto (0, -1), y luego comienza a disminuir. La intersección y está en (0, -1) y no hay intersección x. Hay un punto no graficado en (9, -4).

93.

Imagen de un gráfico. El eje x va de -5 a 5 y el eje y va de -5 a 5. El gráfico muestra una función que comienza en el punto (-2, 2), donde empieza a aumentar hasta el punto (0, 4). Después del punto (0, 4), la función se convierte en una línea horizontal que se mantiene así hasta el punto (2, 4). Después del punto (2, 4), la función comienza a disminuir hasta el punto (4, 2), donde termina.

95.

a. $13, −3, 5$ b.

Imagen de un gráfico. El eje x va de -5 a 5 y el eje y va de -5 a 5. El gráfico es de una función de dos partes. La primera parte es una curva decreciente que termina en el punto (0, -3). La segunda parte es una línea creciente que comienza en el punto (0, -3). La función tiene una intersección x en el punto aproximado (1,7, 0) y el punto (0,75, 0) y una intersección y en (0, -3).

97.

a. $\frac{−3}{2}, \frac{−1}{2}, 4$ b.

Imagen de un gráfico. El eje x va de -10 a 10 y el eje y va de -10 a 10. El gráfico es de una función que comienza ligeramente por debajo del eje x y empieza a disminuir. A medida que la función se acerca a la línea vertical no representada de "x = 2", disminuye a un ritmo más rápido, pero nunca llega a la línea "x = 2". A la derecha de la línea no representada "x = 2", la función comienza en la parte superior del gráfico y empieza a disminuir y se acerca a la línea horizontal no representada "y = 0", pero nunca llega a "y = 0". Esta función también incluye un punto representado en (2, 4). Hay una intersección y en (0, -1,5) y no hay intersección x.

99.

Verdadero; $n n = 3$

101.

Falso; $f (x) = x^{b},$ donde $b$ es una constante de valor real, es una función potencia

103.

a. $V (t) = −2733 t + 20500$ b. $(0, 20, 500)$ significa que el precio de compra inicial del equipo es de 20.500 dólares $(7,5, 0)$ significa que en 7,5 años el equipo informático no tendrá valor. c. 6.835 dólares d. En aproximadamente 6,4 años

105.

a. $C = 0,75 x + 125$ b. 245 dólares c. 167 cupcakes

107.

a. $V (t) = −1500 t + 26.000$ b. En 4 años, el valor del auto será de 20.000 dólares.

109.

30.337,50 dólares.

111.

96 % de la capacidad total

Sección 1.3 ejercicios

113.

$\frac{4 π}{3} rad$

115.

$\frac{− π}{3}$

117.

$\frac{11 π}{6} rad$

119.

$210 °$

121.

$−540 °$

123.

$−0,5$

125.

$- \frac{\sqrt{2}}{2}$

127.

$\frac{\sqrt{3} - 1}{2 \sqrt{2}}$

129.

a. $b = 5,7$ b. $sen A = \frac{4}{7}, cos A = \frac{5,7}{7}, tan A = \frac{4}{5,7}, csc A = \frac{7}{4}, sec A = \frac{7}{5,7}, cot A = \frac{5,7}{4}$

131.

a. $c = 151,7$ b. $sen A = 0,5623, cos A = 0,8273, tan A = 0,6797, csc A = 1,778, sec A = 1,209, cot A = 1,471$

133.

a. $c = 85$ b. $sen A = \frac{84}{85}, cos A = \frac{13}{85}, tan A = \frac{84}{13}, csc A = \frac{85}{84}, sec A = \frac{85}{13}, cot A = \frac{13}{84}$

135.

a. $y = \frac{24}{25}$ b. $sen θ = \frac{24}{25}, cos θ = \frac{7}{25}, tan θ = \frac{24}{7}, csc θ = \frac{25}{24}, sec θ = \frac{25}{7}, cot θ = \frac{7}{24}$

137.

a. $x = \frac{− \sqrt{2}}{3}$ b. $sen θ = \frac{\sqrt{7}}{3}, cos θ = \frac{− \sqrt{2}}{3}, tan θ = \frac{− \sqrt{14}}{2}, csc θ = \frac{3 \sqrt{7}}{7}, sec θ = \frac{−3 \sqrt{2}}{2}, cot θ = \frac{− \sqrt{14}}{7}$

139.

${sec}^{2} x$

141.

${sen}^{2} x$

143.

${sec}^{2} θ$

145.

$\frac{1}{sen t} (= csc t)$ grandes.

155.

${\frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}}$

157.

${\frac{π}{4}, \frac{3 π}{4}, \frac{5 π}{4}, \frac{7 π}{4}}$

159.

${\frac{2 π}{3}, \frac{5 π}{3}}$

161.

${0, π, \frac{π}{3}, \frac{5 π}{3}}$

163.

$y = 4 sen (\frac{π}{4} x)$

165.

$y = cos (2 π x)$

167.

a. 1 b. $2 π$ c. $\frac{π}{4}$ unidades a la derecha

169.

a. $\frac{1}{2}$ b. $8 π$ c. Sin desplazamiento de fase

171.

a. 3 b. $2$ c. $\frac{2}{π}$ unidades a la izquierda

173.

Aproximadamente 42 in.

175.

a. 0,550 rad/seg b. 0,236 rad/s c. 0,698 rad/min d. 1,697 rad/min

177.

$\approx 30,9 {in}^{2}$

179.

a. π/184; el voltaje se repite cada π/184 s. b. Aproximadamente 59 periodos

181.

a. Amplitud = $10; periodo = 24$ b. $47,4 ° F$ c. 14 horas más tarde, o 2 p.m. d.

Imagen de un gráfico. El eje x va de 0 a 365 y está marcado como "t, horas después de la medianoche". El eje y va de 0 a 20 y está marcado como "T, grados en Fahrenheit". El gráfico es de una función de onda curva que comienza en el punto aproximado (0, 41,3) y empieza a disminuir hasta el punto (2, 40). Después de este punto, la función aumenta hasta el punto (14, 60). Después de este punto, la función comienza a disminuir de nuevo.

Sección 1.4 ejercicios

183.

No biunívoca

185.

No biunívoca

187.

Biunívoca

189.

a. $f^{−1} (x) = \sqrt{x + 4}$ b. Dominio $: x \geq −4, rango : y \geq 0$

191.

a. $f^{−1} (x) = \sqrt[3]{x - 1}$ b. Dominio: todos los números reales, rango: todos los números reales

193.

a. $f^{−1} (x) = x^{2} + 1,$ b. Dominio: $x \geq 0,$ rango: $y \geq 1$

195.

Imagen de un gráfico. El eje x va de -4 a 4 y el eje y va de -4 a 4. El gráfico es de dos funciones. La primera función es una función en línea recta creciente marcada como "f". La intersección x está en (-2, 0) y la intersección y está en (0, 1). La segunda función es la de una línea recta creciente denominada "f inversa". La intersección x está en el punto (1, 0) y la intersección y está en el punto (0, -2).

197.

Imagen de un gráfico. El eje x va de 0 a 8 y el eje y va de 0 a 8. El gráfico es de dos funciones. La primera función es una función rectilínea creciente marcada como "f". La función comienza en el punto (0, 1) y aumenta en línea recta hasta el punto (4, 6). Después de este punto, la función sigue aumentando, pero a un ritmo más lento que antes, a medida que se acerca al punto (8, 8). La función no tiene intersección x y la intersección y es (0, 1). La segunda función es una función de línea recta creciente denominada "f inversa". La función comienza en el punto (1, 0) y aumenta en línea recta hasta el punto (6, 4). Después de este punto, la función sigue aumentando pero a un ritmo más rápido que antes a medida que se acerca al punto (8, 8). La función no tiene intersección y y la intersección x es (1, 0).

199.

Son inversas.

201.

No son inversas.

203.

Son inversas.

205.

Son inversas.

207.

$\frac{π}{6}$

209.

$\frac{π}{4}$

211.

$\frac{π}{6}$

213.

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

215.

$- \frac{π}{6}$

217.

a. $x = f^{−1} (V) = \sqrt{0,04 - \frac{V}{500}}$ b. La función inversa determina la distancia desde el centro de la arteria, en la que la sangre fluye con velocidad V. c. 0,1 cm; 0,14 cm; 0,17 cm

219.

a. 31.250 dólares, 66.667 dólares, 107.143 dólares b. $(p = \frac{85 C}{C + 75})$ c. 34 ppb

221.

a. $~ 92 °$ b. $~ 42 °$ c. $~ 27 °$

223.

$x \approx 6,69, 8,51;$ así, la temperatura tiene lugar el 21 de junio y el 15 de agosto.

225.

$~ 1,5 s$

227.

${tan}^{–1} (tan (2,1)) \approx - 1,0416;$ la expresión no es igual a 2,1 ya que $2,1 > 1,57 = \frac{π}{2}$ ; en otras palabras, no está en el dominio restringido de $tan x . {cos}^{−1} (cos (2,1)) = 2,1,$ ya que 2,1 está en el dominio restringido de $cos x .$

Sección 1.5 ejercicios

229.

a. 125 b. 2,24 c. 9,74

231.

a. 0,01 b. 10.000 c. 46,42

233.

d

235.

b

237.

e

239.

Dominio: todos los números reales, rango: $(2, \infty), y = 2$

Imagen de un gráfico. El eje x va de -5 a 5 y el eje y va de -5 a 5. El gráfico es de una función curva creciente que empieza ligeramente por encima de la línea "y = 2" y comienza a aumentar rápidamente. No hay intersección x y la intersección y está en el punto (0, 3).

241.

Dominio: todos los números reales, rango: $(0, \infty), y = 0$

Imagen de un gráfico. El eje x va de -5 a 5 y el eje y va de -5 a 5. El gráfico es de una función curva creciente que empieza ligeramente por encima del eje x y comienza a aumentar rápidamente. No hay intersección en x y la intersección en y está en el punto (0, 3). Otro punto del gráfico está en (-1, 1).

243.

Dominio: todos los números reales, rango: $(− \infty, 1), y = 1$

Imagen de un gráfico. El eje x va de -5 a 5 y el eje y va de -5 a 5. El gráfico es de una función curva creciente que aumenta hasta acercarse a la línea "y = 1" sin tocarla. La intersección x y la intersección y están ambas en el origen. Otro punto del gráfico está en (-1, -1).

245.

Dominio: todos los números reales, rango: $(–1, \infty), y = –1$

Imagen de un gráfico. El eje x va de -5 a 5 y el eje y va de -5 a 5. El gráfico es de una función curva decreciente que disminuye hasta acercarse a la línea "y = -1" sin tocarla. La intersección en x y la intersección en y están ambas en el origen. Hay un punto aproximado en el gráfico en (-1, 1,7).

247.

$8^{1 / 3} = 2$

249.

$5^{2} = 25$

251.

$e^{−3} = \frac{1}{e^{3}}$

253.

$e^{0} = 1$

255.

${log}_{4} (\frac{1}{16}) = –2$

257.

${log}_{9} 1 = 0$

259.

${log}_{64} 4 = \frac{1}{3}$

261.

${log}_{9} 150 = y$

263.

${log}_{4} 0,125 = - \frac{3}{2}$

265.

Dominio: $(1, \infty),$ rango: $(− \infty, \infty), x = 1$

Imagen de un gráfico. El eje x va de -5 a 5 y el eje y va de -5 a 5. El gráfico es de una función curva creciente que comienza ligeramente a la derecha de la línea vertical "x = 1". No hay intersección y y la intersección x está en el punto aproximado (2, 0).

267.

Dominio: $(0, \infty),$ rango: $(− \infty, \infty), x = 0$

Imagen de un gráfico. El eje x va de -1 a 9 y el eje y va de -5 a 5. El gráfico es de una función curva decreciente que comienza ligeramente a la derecha del eje y. No hay intersección y y la intersección x está en el punto (e, 0).

269.

Dominio: $(–1, \infty),$ rango: $(− \infty, \infty), x = –1$

271.

$2 + 3 {log}_{3} a - {log}_{3} b$

273.

$\frac{3}{2} + \frac{1}{2} {log}_{5} x + \frac{3}{2} {log}_{5} y$

275.

$- \frac{3}{2} + ln 6$

277.

$\frac{ln 15}{3}$

279.

$\frac{3}{2}$

281.

$log 7,21$

283.

$\frac{2}{3} + \frac{log 11}{3 log 7}$

285.

$x = \frac{1}{25}$

287.

$x = 4$

289.

$x = 3$

291.

$1 + \sqrt{5}$

293.

$(\frac{log 82}{log 7} \approx 2,2646)$ grandes.

295.

$(\frac{log 211}{log 0,5} \approx - 7,7211)$ grandes.

297.

$(\frac{log 0,452}{log 0,2} \approx 0,4934)$

299.

$~ 17, 491$

301.

Se acumulan aproximadamente 131.653 dólares en 5 años.

303.

i. a. pH = 8 b. Base ii. a. pH = 3 b. Ácido iii. a. pH = 4 b. Ácido

305.

a. $~ 333$ millones b. 94 años a partir de 2013, o en 2107

307.

a. $k \approx 0,0578$ b. $\approx 92$ horas

309.

El terremoto de San Francisco tuvo $10^{3,4} o ~ 2.512$ veces más energía que el terremoto de Japón.

Ejercicios de repaso

311.

Falso

313.

Falso

315.

Dominio: $x > 5,$ rango: todos los números reales

317.

Dominio: $x > 2$ y $x < - 4,$ rango: todos los números reales

319.

Grado de 3, intersección en $y$ : 0, ceros: 0, $\sqrt{3} - 1, −1 - \sqrt{3}$

321.

$\cos^{2} x - {sen}^{2} x = \cos 2 x$ o $= \frac{1 - 2 {sen}^{2} x}{2}$ o $= \frac{2 \cos^{2} x - 1}{2}$

323.

$0, \pm2, 2 π$

325.

4

327.

Biunívoca; sí, la función tiene una inversa; inversa: $f^{−1} (x) = \frac{1}{y}$

329.

$x \geq - \frac{3}{2}, f^{−1} (x) = - \frac{3}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{4 y - 7}$

331.

a. $C (x) = 300 + 7 x$ b. 100 camisetas

333.

La población es inferior a 20.000 habitantes desde el 8 de diciembre hasta el 23 de enero y superior a 140.000 desde el 29 de mayo hasta el 2 de agosto

335.

78,51 %

Capítulo 1

Punto de control

Sección 1.1 ejercicios

Sección 1.2 ejercicios

Sección 1.3 ejercicios

Sección 1.4 ejercicios

Sección 1.5 ejercicios

Ejercicios de repaso