Gilbert Strang; Edwin “Jed” Herman

Objetivos de aprendizaje

1.3.1 Convertir medidas de ángulos entre grados y radianes.
1.3.2 Reconocer las definiciones triangular y circular de las funciones trigonométricas básicas.
1.3.3 Escribir las identidades trigonométricas básicas.
1.3.4 Identificar los gráficos y los periodos de las funciones trigonométricas.
1.3.5 Describir el desplazamiento de un gráfico de seno o coseno a partir de la ecuación de la función.

Las funciones trigonométricas se utilizan para modelar muchos fenómenos, como las ondas sonoras, las vibraciones de las cuerdas, la corriente eléctrica alterna y el movimiento de los péndulos. De hecho, casi cualquier movimiento repetitivo o cíclico puede modelarse mediante alguna combinación de funciones trigonométricas. En este apartado definiremos las seis funciones trigonométricas básicas y veremos algunas de las principales identidades relacionadas con estas funciones.

Medición de radianes

Para utilizar las funciones trigonométricas, primero debemos entender cómo se miden los ángulos. Aunque podemos utilizar tanto los radianes como los grados, los radianes son una medida más natural porque están relacionados directamente con el círculo unitario, un círculo de radio 1. La medida del radián de un ángulo se define como sigue. Dado un ángulo $θ,$ supongamos que $s$ es la longitud del arco correspondiente en el círculo unitario (Figura 1.30). Decimos que el ángulo correspondiente al arco de longitud 1 tiene medida de radián 1.

Imagen de un círculo. En el centro exacto del círculo hay un punto. Desde este punto, hay un segmento de línea que se extiende horizontalmente hacia la derecha un punto en el borde del círculo y otro segmento de línea que se extiende diagonalmente hacia arriba y hacia la derecha hasta otro punto en el borde del círculo. Estos segmentos de línea tienen una longitud de 1 unidad. El segmento curvo en el borde del círculo que conecta los dos puntos al final de los segmentos de la línea está marcado como "s". Dentro del círculo, hay una flecha que apunta desde el segmento de línea horizontal al segmento de línea diagonal. Esta flecha tiene la marca "theta = s radianes".

Figura 1.30 La medida del radián de un ángulo

θ

es la longitud del arco

s

del arco asociado en el círculo unitario.

Dado que un ángulo de $360 °$ corresponde a la circunferencia de un círculo, o a un arco de longitud $2 π,$ concluimos que un ángulo con una medida de grado de $360 °$ tiene una medida del radián de $2 π .$ Del mismo modo, vemos que $180 °$ equivale a $π$ radianes. La Tabla 1.8 muestra la relación entre los valores comunes de los grados y los radianes.

Grados	Radianes	Grados	Radianes
0	0	120	$2 π / 3$
30	$π / 6$	135	$3 π / 4$
45	$π / 4$	150	$5 π / 6$
60	$π / 3$	180	$π$
90	$π / 2$

Tabla 1.8 Ángulos comunes expresados en grados y radianes

Ejemplo 1.22

Convertir radianes y grados

Exprese $225 °$ utilizando radianes.
Exprese $5 π / 3$ rad utilizando grados.

Solución

Utilice el hecho de que $180 °$ equivale a $π$ radianes como factor de conversión: $1 = \frac{π rad}{180 °} = \frac{180 °}{π rad} .$

$225 ° = 225 ° . \frac{π}{180 °} = \frac{5 π}{4}$ rad
$\frac{5 π}{3}$ rad = $\frac{5 π}{3} . \frac{180 °}{π} = 300 °$

Punto de control 1.17

Exprese $210 °$ utilizando radianes. Exprese $11 π / 6$ rad utilizando grados.

Las seis funciones trigonométricas básicas

Las funciones trigonométricas nos permiten utilizar las medidas de los ángulos, en radianes o grados, para encontrar las coordenadas de un punto en cualquier círculo —no solo en un círculo unitario— o para encontrar un ángulo dado un punto en un círculo. También definen la relación entre los lados y los ángulos de un triángulo.

Para definir las funciones trigonométricas, consideremos primero el círculo unitario centrado en el origen y un punto $P = (x, y)$ en el círculo de la unidad. Supongamos que $θ$ es un ángulo con un lado inicial que se halla a lo largo del eje positivo $x$ y con un lado terminal que es el segmento de línea $O P .$ Un ángulo en esta posición se dice que está en posición estándar (Figura 1.31). Podemos entonces definir los valores de las seis funciones trigonométricas para $θ$ en términos de las coordenadas $x$ como $y .$

Imagen de un gráfico. El gráfico tiene un círculo trazado en él, con el centro del círculo en el origen, donde hay un punto. Desde este punto, hay un segmento de línea que se extiende horizontalmente a lo largo del eje x hacia la derecha hasta un punto en el borde del círculo. Hay otro segmento de línea que se extiende en diagonal hacia arriba y hacia la derecha hasta otro punto en el borde del círculo. Este punto está marcado como "P = (x, y)". Estos segmentos de línea tienen una longitud de 1 unidad. Desde el punto "P", hay una línea vertical punteada que se extiende hacia abajo hasta chocar con el eje x y, por tanto, con el segmento de línea horizontal. Dentro del círculo, hay una flecha que apunta desde el segmento de línea horizontal al segmento de línea diagonal. Esta flecha está marcada como "theta".

Figura 1.31 El ángulo

θ

está en posición estándar. Los valores de las funciones trigonométricas para

θ

se definen en términos de las coordenadas

x

como

y .

Definición

Supongamos que $P = (x, y)$ es un punto del círculo unitario centrado en el origen $O .$ Supongamos que $θ$ es un ángulo con un lado inicial a lo largo del eje positivo $x$ y un lado terminal dado por el segmento de línea $O P .$ Las funciones trigonométricas se definen entonces como

\begin{matrix} sen θ = y & csc θ = \frac{1}{y} \\ cos θ = x & sec θ = \frac{1}{x} \\ tan θ = \frac{y}{x} & cot θ = \frac{x}{y} \end{matrix}

(1.9)

Si los valores de $x = 0, sec θ$ y $tan θ$ son indefinidos. Si los valores de $y = 0,$ entonces $cot θ$ y $csc θ$ son indefinidos.

Podemos ver que para un punto $P = (x, y)$ en un círculo de radio $r$ con un ángulo correspondiente $θ,$ las coordenadas $x$ como $y$ satisfacen

\begin{matrix} cos θ = \frac{x}{r} \\ x = r cos θ \end{matrix}

\begin{matrix} sen θ = \frac{y}{r} \\ y = r sen θ . \end{matrix}

Los valores de las demás funciones trigonométricas pueden expresarse en términos de $x, y,$ y $r$ (Figura 1.32).

Figura 1.32 Para un punto

P = (x, y)

en un círculo de radio

r,

las coordenadas

x

como

y

satisfacen

x = r cos θ

y

y = r sen θ .

La Tabla 1.9 muestra los valores del seno y del coseno en los ángulos mayores del primer cuadrante. A partir de esta tabla, podemos determinar los valores del seno y del coseno en los ángulos correspondientes de los otros cuadrantes. Los valores de las demás funciones trigonométricas se calculan fácilmente a partir de los valores de $sen θ$ y $cos θ .$

$θ$	$s i n θ$	$c o s θ$
$0$	$0$	$1$
$\frac{π}{6}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\frac{π}{4}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\frac{π}{3}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{2}$
$\frac{π}{2}$	$1$	$0$

Tabla 1.9 Los valores de

sen θ

y

cos θ

en los ángulos principales

θ

en el primer cuadrante

Ejemplo 1.23

Evaluación de funciones trigonométricas

Evalúe cada una de las siguientes expresiones.

$sen (\frac{2 π}{3})$ grandes.
$cos (- \frac{5 π}{6})$ grandes.
$tan (\frac{15 π}{4})$

Solución

En el círculo unitario, el ángulo $θ = \frac{2 π}{3}$ corresponde al punto $(- \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}) .$ Por lo tanto, $sen (\frac{2 π}{3}) = y = \frac{\sqrt{3}}{2} .$
Un ángulo $θ = - \frac{5 π}{6}$ corresponde a una revolución en sentido negativo, como se muestra. Por lo tanto, $cos (- \frac{5 π}{6}) = x = - \frac{\sqrt{3}}{2} .$
Un ángulo $θ = \frac{15 π}{4} = 2 π + \frac{7 π}{4} .$ Por lo tanto, este ángulo corresponde a más de una revolución, como se muestra. Sabiendo que un ángulo de $\frac{7 π}{4}$ corresponde al punto $(\frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}),$ podemos concluir que $tan (\frac{15 π}{4}) = \frac{y}{x} = −1 .$

Punto de control 1.18

Evalúe $cos (3 π / 4)$ y $sen (− π / 6) .$

Como se mencionó anteriormente, las razones de las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo se pueden expresar en términos de las funciones trigonométricas evaluadas en cualquiera de los ángulos agudos del triángulo. Supongamos que $θ$ es uno de los ángulos agudos. Supongamos que $A$ es la longitud del cateto adyacente, $O$ es la longitud del cateto opuesto, y $H$ es la longitud de la hipotenusa. Inscribiendo el triángulo en un círculo de radio $H,$ como se muestra en la Figura 1.33, vemos que $A, H,$ y $O$ satisfacen las siguientes relaciones con $θ :$

\begin{matrix} sen θ = \frac{O}{H} & csc θ = \frac{H}{O} \\ cos θ = \frac{A}{H} & sec θ = \frac{H}{A} \\ tan θ = \frac{O}{A} & cot θ = \frac{A}{O} \end{matrix}

Figura 1.33 Al inscribir un triángulo rectángulo en una circunferencia, podemos expresar las relaciones de las longitudes de los lados en términos de las funciones trigonométricas evaluadas en

θ .

Ejemplo 1.24

Construir una rampa de madera

Se construirá una rampa de madera con un extremo en el suelo y el otro en la parte superior de una corta escalera. Si la parte superior de la escalera es de $4$ ft desde el suelo y el ángulo entre el suelo y la rampa debe ser de $10 °,$ ¿qué longitud debe tener la rampa?

Solución

Supongamos que $x$ denota la longitud de la rampa. En la siguiente imagen, vemos que $x$ tiene que satisfacer la ecuación $sen (10 °) = 4 / x .$ Al resolver esta ecuación para $x,$ vemos que $x = 4 / sen (10 °) \approx 23,035$ pies.

Imagen de una rampa y una escalera. La rampa comienza en un punto y aumenta en diagonal hacia arriba y hacia la derecha en un ángulo de 10 grados durante x pies. Al final de la rampa, que está a 4 ft del suelo, una escalera desciende hacia abajo y hacia la derecha.

Punto de control 1.19

Un pintor de casas quiere inclinar una escalera de $20$ contra una casa. Si el ángulo entre la base de la escalera y el suelo debe ser $60 °,$ ¿A qué distancia de la casa debe colocar la base de la escalera?

Identidades trigonométricas

Una identidad trigonométrica es una ecuación en la que intervienen funciones trigonométricas que es verdadera para todos los ángulos $θ$ para el que se definen las funciones. Podemos utilizar esas identidades para ayudarnos a resolver o simplificar ecuaciones. A continuación se enumeran las principales identidades trigonométricas.

Regla: identidades trigonométricas

Identidades recíprocas

\begin{matrix} tan θ = \frac{sen θ}{cos θ} & cot θ = \frac{cos θ}{sen θ} \\ csc θ = \frac{1}{sen θ} & sec θ = \frac{1}{cos θ} \end{matrix}

Identidades pitagóricas

{sen}^{2} θ + {cos}^{2} θ = 1 1 + {tan}^{2} θ = {sec}^{2} θ 1 + {cot}^{2} θ = {csc}^{2} θ

Fórmulas de adición y sustracción

sen (α \pm β) = sen α cos β \pm cos α sen β

cos (α \pm β) = cos α cos β \mp sen α sen β

Fórmulas de ángulo doble

sen (2 θ) = 2 sen θ cos θ

cos (2 θ) = 2 {cos}^{2} θ - 1 = 1 - 2 {sen}^{2} θ = {cos}^{2} θ - {sen}^{2} θ

Ejemplo 1.25

Resolver ecuaciones trigonométricas

Para cada una de las siguientes ecuaciones, utilice una identidad trigonométrica para encontrar todas las soluciones.

$1 + cos (2 θ) = cos θ$
$sen (2 θ) = tan θ$

Solución

Si utilizamos la fórmula del doble ángulo para $cos (2 θ),$ vemos que $θ$ es una solución de
$1 + cos (2 θ) = cos θ$

si y solo si
$1 + 2 {cos}^{2} θ - 1 = cos θ,$

que es verdadera si y solo si
$2 {cos}^{2} θ - cos θ = 0 .$

Para resolver esta ecuación, es importante tener en cuenta que tenemos que factorizar el lado izquierdo y no dividir ambos lados de la ecuación por $cos θ .$ El problema de dividir por $cos θ$ es que es posible que $cos θ$ es cero. De hecho, si dividiéramos ambos lados de la ecuación por $cos θ,$ nos perderíamos algunas de las soluciones de la ecuación original. Factorizando el lado izquierdo de la ecuación, vemos que $θ$ es una solución de esta ecuación si y solo si
$cos θ (2 cos θ - 1) = 0 .$

Dado que $cos θ = 0$ cuando
$θ = \frac{π}{2}, \frac{π}{2} \pm π, \frac{π}{2} \pm 2 π,…,$

y $cos θ = 1 / 2$ cuando
$θ = \frac{π}{3}, \frac{π}{3} \pm 2 π,… o θ = - \frac{π}{3}, - \frac{π}{3} \pm 2 π,…,$

concluimos que el conjunto de soluciones de esta ecuación es

$θ = \frac{π}{2} + n π, θ = \frac{π}{3} + 2 n π, y θ = - \frac{π}{3} + 2 n π, n = 0, \pm1, 1, \pm 2, … .$
Si utilizamos la fórmula del doble ángulo para $sen (2 θ)$ y la identidad recíproca para $tan (θ),$ la ecuación se puede escribir como
$2 sen θ cos θ = \frac{sen θ}{cos θ} .$

Para resolver esta ecuación, multiplicamos ambos lados por $cos θ$ para eliminar el denominador, y decimos que si $θ$ satisface esta ecuación, entonces $θ$ satisface la ecuación
$2 sen θ {cos}^{2} θ - sen θ = 0 .$

Sin embargo, en este punto tenemos que ser cuidadosos. Incluso si $θ$ satisface esta nueva ecuación, puede no satisfacer la ecuación original porque para hacerlo, necesitaríamos poder dividir ambos lados de la ecuación por $cos θ .$ Sin embargo, si $cos θ = 0,$ no podemos dividir ambos lados de la ecuación por $cos θ .$ Por lo tanto, es posible que lleguemos a soluciones extrañas. Por lo tanto, al final, es importante comprobar si hay ese tipo de soluciones. Volviendo a la ecuación, es importante que tengamos en cuenta $sen θ$ de ambos términos del lado izquierdo en vez de dividir ambos lados de la ecuación por $sen θ .$ Factorizando el lado izquierdo de la ecuación, podemos reescribir esta ecuación como
$sen θ (2 {cos}^{2} θ - 1) = 0 .$

Por tanto, las soluciones vienen dadas por los ángulos $θ$ de manera que $sen θ = 0$ o ${cos}^{2} θ = 1 / 2 .$ Las soluciones de la primera ecuación son $θ = 0, \pm π, \pm2, 2 π,….$ Las soluciones de la segunda ecuación son $θ = π / 4, (π / 4) \pm (π / 2), (π / 4) \pm π,….$ Tras comprobar que no hay soluciones extrañas, el conjunto de soluciones de la ecuación es

$θ = n π y θ = \frac{π}{4} + \frac{n π}{2}, n = 0, \pm1, 1, \pm 2, … .$

Punto de control 1.20

Halle todas las soluciones a la ecuación $cos (2 θ) = sen θ .$

Ejemplo 1.26

Demostrar la una identidad trigonométrica

Demuestre la identidad trigonométrica $1 + {tan}^{2} θ = {sec}^{2} θ .$

Solución

Comencemos con la identidad

{sen}^{2} θ + {cos}^{2} θ = 1 .

Si dividimos ambos lados de esta ecuación entre ${cos}^{2} θ,$ obtenemos

\frac{{sen}^{2} θ}{{cos}^{2} θ} + 1 = \frac{1}{{cos}^{2} θ} .

Dado que $sen θ / cos θ = tan θ$ y $1 / cos θ = sec θ,$ concluimos que

{tan}^{2} θ + 1 = {sec}^{2} θ .

Punto de control 1.21

Demuestre la identidad trigonométrica $1 + {cot}^{2} θ = {csc}^{2} θ .$

Gráficos y periodos de las funciones trigonométricas

Hemos visto que al recorrer el círculo unitario, los valores de las funciones trigonométricas se repiten. Podemos ver este patrón en los gráficos de las funciones. Supongamos que $P = (x, y)$ es un punto del círculo unitario y que $θ$ es el ángulo correspondiente $.$ Dado que los ángulos $θ$ y $θ + 2 π$ corresponden al mismo punto $P,$ los valores de las funciones trigonométricas en $θ$ y en $θ + 2 π$ son los mismos. En consecuencia, las funciones trigonométricas son funciones periódicas. El periodo de una función $f$ se define como el menor valor positivo $p$ de manera que $f (x + p) = f (x)$ para todos los valores $x$ en el dominio de $f .$ Las funciones seno, coseno, secante y cosecante tienen un periodo de $2 π .$ Como las funciones tangente y cotangente se repiten en un intervalo de longitud $π,$ su periodo es $π$ (Figura 1.34).

Una imagen de seis gráficos. Cada gráfico tiene un eje x que va de -2 pi a 2 pi y un eje y que va de -2 a 2. El primer gráfico es de la función "f(x) = sen(x)", que es una función de onda curva. El gráfico de la función comienza en el punto (-2 pi, 0) y aumenta hasta el punto (-((3 pi)/2), 1). Después de este punto, la función disminuye hasta el punto (-(pi/2), -1). Después de este punto, la función aumenta hasta el punto ((pi/2), 1). Después de este punto, la función disminuye hasta el punto (((3 pi)/2), -1). Después de este punto, la función comienza a aumentar de nuevo. Las intersecciones en x mostradas en el gráfico están en los puntos (-2 pi, 0), (-pi, 0), (0, 0), (pi, 0) y (2 pi, 0). La intersección y está en el origen. El segundo gráfico es de la función "f(x) = cos(x)", que es una función de onda curva. El gráfico de la función comienza en el punto (-2 pi, 1) y disminuye hasta el punto (-pi, -1). Después de este punto, la función aumenta hasta el punto (0, 1). Después de este punto, la función disminuye hasta el punto (pi, -1). Después de este punto, la función vuelve a aumentar. Las intersecciones en x mostradas en el gráfico están en los puntos (-((3 pi)/2), 0), (-(pi/2), 0), ((pi/2), 0) y (((3 pi)/2), 0). La intersección y está en el punto (0, 1). El gráfico de cos(x) es el mismo que el de sen(x), excepto que se desplazó hacia la izquierda por una distancia de (pi/2). En los cuatro gráficos siguientes hay líneas verticales punteadas que no forman parte de la función, sino que actúan como límites de la misma, límites que la función nunca tocará. Se conocen como asíntotas verticales. Hay infinitas asíntotas verticales para todas estas funciones, pero estos gráficos solo muestran algunas. El tercer gráfico es de la función "f(x) = csc(x)". Las asíntotas verticales de "f(x) = csc(x)" en este gráfico ocurren en "x = -2 pi", "x = -pi", "x = 0", "x = pi" y "x = 2 pi". Entre las asíntotas "x = -2 pi" y "x = -pi", la función parece una "U" orientada hacia arriba, con un mínimo en el punto (-((3 pi)/2), 1). Entre las asíntotas "x = -pi" y "x = 0", la función parece una "U" orientada hacia abajo, con un máximo en el punto (-(pi/2), -1). Entre las asíntotas "x = 0" y "x = pi", la función se parece a una "U" orientada hacia arriba, con un mínimo en el punto ((pi/2), 1). Entre las asíntotas "x = pi" y "x = 2 pi", la función parece una "U" orientada hacia abajo, con un máximo en el punto (((3 pi)/2), -1). El cuarto gráfico es de la función "f(x) = sec(x)". Las asíntotas verticales de esta función en este gráfico están en "x = -((3 pi)/2)", "x = -(pi/2)", "x = (pi/2)" y "x = ((3 pi)/2)". Entre las asíntotas "x = -((3 pi)/2)" y "x = -(pi/2)", la función parece una "U" orientada hacia abajo, con un máximo en el punto (-pi, -1). Entre las asíntotas "x = -(pi/2)" y "x = (pi/2)", la función parece una "U" orientada hacia arriba, con un mínimo en el punto (0, 1). Entre las asíntotas "x = (pi/2)" y "x = (3pi/2)", la función parece una "U" orientada hacia abajo, con un máximo en el punto (pi, -1). El gráfico de sec(x) es la misma que la de csc(x), excepto que está desplazada hacia la izquierda una distancia de (pi/2). El quinto gráfico es de la función "f(x) = tan(x)". Las asíntotas verticales de esta función en el gráfico ocurren en "x = -((3 pi)/2)", "x = -(pi/2)", "x = (pi/2)" y "x = ((3 pi)/2)". Entre todas las asíntotas verticales, la función siempre aumenta pero nunca toca las asíntotas. Las intersecciones en x en este gráfico ocurren en los puntos (-2 pi, 0), (-pi, 0), (0, 0), (pi, 0) y (2 pi, 0). La intersección en y está en el origen. El sexto gráfico es de la función "f(x) = cot(x)". Las asíntotas verticales de esta función en este gráfico ocurren en "x = -2 pi", "x = -pi", "x = 0", "x = pi" y "x = 2 pi". Entre todas las asíntotas verticales, la función es siempre decreciente pero nunca toca las asíntotas. Las intersecciones en x en este gráfico ocurren en los puntos (-((3 pi)/2), 0), (-(pi/2), 0), ((pi/2), 0) y (((3 pi)/2), 0) y no hay intercepción y.

Figura 1.34 Las seis funciones trigonométricas son periódicas.

Al igual que con las funciones algebraicas, podemos aplicar transformaciones a las funciones trigonométricas. En particular, considere la siguiente función:

f (x) = A cos (B (x - α)) + C .

(1.10)

En la Figura 1.35, la constante $α$ provoca un desplazamiento horizontal o de fase. El factor $B$ cambia el periodo. Esta función seno transformada tendrá un periodo $2 π / | B | .$ El factor $A$ resulta en un estiramiento vertical por un factor de $| A | .$ Decimos $| A |$ es la "amplitud de $f .$ " La constante $C$ ocasiona un desplazamiento vertical.

Imagen de un gráfico. El gráfico es de la función “f(x) = Acos(B(x - alpha)) + C”. A lo largo del eje y, hay 3 marcas de sombreado (hash marks): empezando por abajo y subiendo, dichas marcas están en los valores "C - A", "C" y "C + A". La distancia desde el origen hasta "C" se denomina "desplazamiento vertical". La distancia de "C - A" a "A" y la distancia de "A" a "C + A" es "A", que se marca como "amplitud". En el eje x hay una marca de hash en el valor "alfa" y la distancia entre el origen y "alfa" se marca como "desplazamiento horizontal". La distancia entre dos valores mínimos sucesivos de la función (en otras palabras, la distancia entre dos partes inferiores de la onda que están próximas) es "(2 pi)/(valor absoluto de B)" se denomina periodo. El periodo es también la distancia entre dos valores máximos sucesivos de la función.

Figura 1.35 Gráfico de una función coseno general.

Observe en la Figura 1.34 que el gráfico de $y = cos x$ es el gráfico de $y = sen x$ desplazado a la izquierda $π / 2$ . Por lo tanto, podemos escribir $cos x = sen (x + π / 2) .$ Del mismo modo, podemos ver el gráfico de $y = sen x$ como el gráfico de $y = cos x$ desplazado a la derecha en $π / 2$ unidades, y afirma que $sen x = cos (x - π / 2) .$

Una curva sinusoidal desplazada surge de forma natural al graficar el número de horas de luz en un lugar determinado en función del día del año. Por ejemplo, supongamos que una ciudad informa que el 21 de junio es el día más largo del año con $15,7$ horas y que el 21 de diciembre es el día más corto del año con $8,3$ horas. Se puede demostrar que la función

h (t) = 3,7 sen (\frac{2 π}{365} (t - 80,5)) + 12

es un modelo para el número de horas de luz del día $h$ en función del día del año $t$ (Figura 1.36).

Imagen de un gráfico. El eje x va de 0 a 365 y está marcado como "t, día del año". El eje y va de 0 a 20 y está marcado como "h, número de horas de luz". El gráfico es de la función "h(t) = 3,7sen(((2 pi)/365)(t – 80,5)) + 12", que es una función de onda curva. La función comienza en el punto aproximado (0, 8,4) y empieza a aumentar hasta el punto aproximado (171,8, 15,7). Después de este punto, la función disminuye hasta el punto aproximado (354,3, 8,3). Después de este punto, la función comienza a aumentar de nuevo.

Figura 1.36 Las horas de luz en función del día del año pueden modelarse mediante una curva sinusoidal desplazada.

Ejemplo 1.27

Trazado del gráfico de una curva senoidal transformada

Dibuje un gráfico de $f (x) = 3 sen (2 (x - \frac{π}{4})) + 1 .$

Solución

Este gráfico es una compresión horizontal por un factor de 2, un desplazamiento de fase a la derecha de π/4 unidades, seguido de un estiramiento vertical por un factor de 3 y luego un desplazamiento vertical de 1 unidad. El periodo de $f$ ¿es $π .$

Imagen de un gráfico. El eje x va de -((3 pi)/2) a 2 pi y el eje y va de -3 a 5. El gráfico es de la función "f(x) = 3sen(2(x-(pi/4)) + 1", que es una función de onda curva. La función comienza a decrecer desde el punto (-((3 pi)/2), 4) hasta llegar al punto (-pi, -2). En este punto, la función comienza a aumentar hasta llegar al punto (-(pi/2), 4). Después de este punto, la función comienza a disminuir hasta llegar al punto (0, -2). Después de este punto, la función aumenta hasta llegar al punto ((pi/2), 4). Después de este punto, la función disminuye hasta llegar al punto (pi, -2). Después de este punto, la función aumenta hasta llegar al punto (((3 pi)/2), 4). Después de este punto, la función vuelve a disminuir.

Punto de control 1.22

Describa la relación entre el gráfico de $f (x) = 3 sen (4 x) - 5$ y el gráfico de $y = sen (x) .$

Sección 1.3 ejercicios

En los siguientes ejercicios, convierta cada ángulo de grados a radianes. Escriba la respuesta como un múltiplo de $π .$

113.

$240 °$

114.

$15 °$

115.

$−60 °$

116.

$−225 °$

117.

$330 °$

En los siguientes ejercicios, convierta cada ángulo de radianes a grados.

118.

$\frac{π}{2} rad$

119.

$\frac{7 π}{6} rad$

120.

$\frac{11 π}{2} rad$

121.

$−3 π rad$

122.

$\frac{5 π}{12} rad$

Evalúe los siguientes valores funcionales.

123.

$cos (\frac{4 π}{3})$ grandes.

124.

$tan (\frac{19 π}{4})$ grandes.

125.

$sen (- \frac{3 π}{4})$ grandes.

126.

$sec (\frac{π}{6})$ grandes.

127.

$sen (\frac{π}{12})$ grandes.

128.

$cos (\frac{5 π}{12})$

En los siguientes ejercicios, considere el triángulo ABC, un triángulo rectángulo con un ángulo recto en C. a. Halle el lado que falta en el triángulo. b. Halle los seis valores de la función trigonométrica para el ángulo en A. Si es necesario, simplifique a una fracción o redondee a tres decimales.

Imagen de un triángulo. Las tres esquinas del triángulo están marcadas como "A", "B" y "C". Entre la esquina A y la esquina C está el lado b. Entre la esquina C y la esquina B está el lado a. Entre la esquina B y la esquina A está el lado c. El ángulo de la esquina C está marcado con un símbolo de triángulo rectángulo. El ángulo de la esquina A está marcado con un símbolo de ángulo.

129.

$a = 4, c = 7$

130.

$a = 21, c = 29$

131.

$a = 85,3, b = 125,5$

132.

$b = 40, c = 41$

133.

$a = 84, b = 13$

134.

$b = 28, c = 35$

En los siguientes ejercicios, $P$ es un punto del círculo unitario. a. Halle el valor (exacto) de la coordenada que falta en cada punto y b. halle los valores de las seis funciones trigonométricas para el ángulo $θ$ con un lado terminal que pasa por el punto $P .$ Racionalice los denominadores.

135.

$P (\frac{7}{25}, y), y > 0$

136.

$P (\frac{−15}{17}, y), y < 0$

137.

$P (x, \frac{\sqrt{7}}{3}), x < 0$

138.

$P (x, \frac{− \sqrt{15}}{4}), x > 0$

En los siguientes ejercicios, simplifique cada expresión escribiéndola en términos de senos y cosenos, y luego simplifique. La respuesta final no tiene que ser solo en términos de seno y coseno.

139.

${tan}^{2} x + sen x csc x$

140.

$sec x sen x cot x$

141.

$\frac{{tan}^{2} x}{{sec}^{2} x}$

142.

$sec x - cos x$

143.

${(1 + tan θ)}^{2} - 2 tan θ$

144.

$sen x (csc x - sen x)$ grandes.

145.

$\frac{cos t}{sen t} + \frac{sen t}{1 + cos t}$

146.

$\frac{1 + {tan}^{2} α}{1 + {cot}^{2} α}$

En los siguientes ejercicios, verifique que cada ecuación sea una identidad.

147.

$\frac{tan θ cot θ}{csc θ} = sen θ$

148.

$\frac{{sec}^{2} θ}{tan θ} = sec θ csc θ$

149.

$\frac{sen t}{csc t} + \frac{cos t}{sec t} = 1$

150.

$\frac{sen x}{cos x + 1} + \frac{cos x - 1}{sen x} = 0$

151.

$cot γ + tan γ = sec γ csc γ$

152.

${sen}^{2} β + {tan}^{2} β + {cos}^{2} β = {sec}^{2} β$

153.

$\frac{1}{1 - sen α} + \frac{1}{1 + sen α} = 2 {sec}^{2} α$

154.

$\frac{tan θ - cot θ}{sen θ cos θ} = {sec}^{2} θ - {csc}^{2} θ$

En los siguientes ejercicios, resuelva las ecuaciones trigonométricas en el intervalo $0 \leq θ < 2 π .$

155.

$2 sen θ - 1 = 0$

156.

$1 + cos θ = \frac{1}{2}$

157.

$2 {tan}^{2} θ = 2$

158.

$4 {sen}^{2} θ - 2 = 0$

159.

$\sqrt{3} cot θ + 1 = 0$

160.

$3 sec θ - 2 \sqrt{3} = 0$

161.

$2 cos θ sen θ = sen θ$

162.

${csc}^{2} θ + 2 csc θ + 1 = 0$

En los siguientes ejercicios, cada gráfico es de la forma $y = A sen B x$ o $y = A cos B x,$ donde $B > 0 .$ Escriba la ecuación del gráfico.

163.

Imagen de un gráfico. El eje x va de -4 a 4 y el eje y va de -5 a 5. El gráfico es de una función de onda curva que comienza en el punto (-4, 0) y disminuye hasta el punto (-2, 4). Después de este punto la función comienza a aumentar hasta llegar al punto (2, 4). Después de este punto, la función comienza a disminuir de nuevo. Las intersecciones en x de la función en este gráfico están en (-4, 0), (0, 0) y (4, 0). La intersección en y está en el origen.

164.

Imagen de un gráfico. El eje x va de -4 a 4 y el eje y va de -5 a 5. El gráfico es de una función de onda curva que comienza en el punto (-4, -2) y aumenta hasta el punto (-3, 2). Después de este punto la función disminuye hasta llegar al punto (-2, -2). Después de este punto la función aumenta hasta llegar al punto (-1, 2). Después de este punto la función disminuye hasta llegar al punto (0, -2). Después de este punto, la función aumenta hasta llegar al punto (1, 2). Después de este punto la función disminuye hasta llegar al punto (2, -2). Después de este punto la función aumenta hasta llegar al punto (3, 2). Después de este punto, la función comienza a disminuir de nuevo. Las intersecciones en x de la función en este gráfico están en (-3,5, 0), (-2,5, 0), (-1,5, 0), (-0,5, 0), (0,5, 0), (1,5, 0), (2,5, 0) y (3,5, 0). La intersección y está en el (0, -2).

165.

Imagen de un gráfico. El eje x va de -4 a 4 y el eje y va de -5 a 5. El gráfico es de una función de onda curva. Hay muchos periodos y solo se explicarán algunos. La función comienza a decrecer en el punto (-1, 1) y disminuye hasta el punto (-0,5, -1). Después de este punto, la función aumenta hasta llegar al punto (0, 1). Después de este punto, la función disminuye hasta llegar al punto (0,5, -1). Después de este punto, la función aumenta hasta llegar al punto (1, 1). Después de este punto, la función vuelve a disminuir. Las intersecciones en x de la función en este gráfico están en (-0,75, 0), (-0,25, 0), (0,25, 0) y (0,75, 0). La intersección y está en (0, 1).

166.

En los siguientes ejercicios, halle a. la amplitud, b. el periodo, y c. el desplazamiento de fase con dirección para cada función.

167.

$y = sen (x - \frac{π}{4})$

168.

$y = 3 cos (2 x + 3)$ grandes.

169.

$y = \frac{−1}{2} sen (\frac{1}{4} x)$

170.

$y = 2 cos (x - \frac{π}{3})$ grandes.

171.

$y = −3 sen (π x + 2)$

172.

$y = 4 cos (2 x - \frac{π}{2})$

173.

[T] El diámetro de una rueda que da vueltas sobre el suelo es de 40 in. Si la rueda gira en un ángulo de $120 °,$ ¿cuántas pulgadas se desplaza? Aproximación a la pulgada entera más cercana.

174.

[T] Halle la longitud del arco intersecado por el ángulo central $θ$ en un círculo de radio r. Redondee a la centésima más cercana.

a. $r = 12,8$ cm, $θ = \frac{5 π}{6}$ rad b. $r = 4,378$ cm, $θ = \frac{7 π}{6}$ rad c. $r = 0,964$ cm, $θ = 50 °$ d. $r = 8,55$ cm, $θ = 325 °$

175.

[T] A medida que un punto P se mueve alrededor de un círculo, la medida del ángulo cambia. La medida de la rapidez con la que cambia el ángulo se llama velocidad angular, $ω,$ y viene dada por $ω = θ / t,$ donde $θ$ está en radianes y t es el tiempo. Halle la velocidad angular para los datos dados. Redondee a la milésima más cercana.

a. $θ = \frac{7 π}{4} rad, t = 10$ s b. $θ = \frac{3 π}{5} rad, t = 8$ sec c. $θ = \frac{2 π}{9} rad, t = 1$ min d. $θ = 23,76 rad, t = 14$ min

176.

[T] Se necesita un total de 250.000 m² de terreno para construir una central nuclear. Supongamos que se decide que la zona en la que se va a construir la central eléctrica será circular.

Halle el radio de la zona circular de terreno.
Si la superficie del terreno va a formar un sector de $45 °$ de una circunferencia en vez de una circunferencia entera, halle la longitud del lado curvo.

177.

[T] El área de un triángulo isósceles con lados iguales de longitud x es

$\frac{1}{2} x^{2} sen θ,$

donde $θ$ es el ángulo que forman los dos lados. Halle el área de un triángulo isósceles con lados iguales de longitud 8 pulgadas y ángulo $θ = 5 π / 12$ rad.

178.

[T] Una partícula se desplaza en una trayectoria circular con una velocidad angular constante $ω .$ La velocidad angular se modela mediante la función $ω = 9 | cos (π t - π / 12) | .$ Determine la velocidad angular en $t = 9$ seg.

179.

[T] La corriente alterna para las tomas de corriente de una casa tiene un voltaje dado por la función

$V (t) = 150 cos 368 t,$

donde V es el voltaje en un tiempo de t segundos.

Halle el periodo de la función e interprete su significado.
Determine el número de periodos que se producen al pasar 1 segundo.

180.

[T] El número de horas de luz diurna en una ciudad del noreste se modela mediante la función

N (t) = 12 + 3 sen [\frac{2 π}{365} (t - 79)],

donde t es el número de días después del 1 de enero.

Halle la amplitud y el periodo.
Determine el número de horas de luz diurna del día más largo del año.
Determine el número de horas de luz diurna del día más corto del año.
Determine el número de horas de luz diurna 90 días después del 1 de enero.
Grafique la función para un periodo que comienza el 1 de enero.

181.

[T] Supongamos que $T = 50 + 10 sen [\frac{π}{12} (t - 8)]$ es un modelo matemático de la temperatura (en grados Fahrenheit) a las t horas después de la medianoche de un determinado día de la semana.

Determine la amplitud y el periodo.
Halle la temperatura 7 horas después de la medianoche.
¿A qué hora $T = 60 ° ?$
Dibuje el gráfico de $T$ en $0 \leq t \leq 24 .$

182.

[T] La función $H (t) = 8 sen (\frac{π}{6} t)$ modela la altura H (en pies) de la marea t horas después de la medianoche. Supongamos que $t = 0$ es medianoche.

Encuentre la amplitud y el periodo.
Grafique la función en un periodo.
¿Cuál es la altura de la marea a las 4:30 a. m.?

1.3 Funciones trigonométricas

Medición de radianes

Convertir radianes y grados

Solución

Las seis funciones trigonométricas básicas

Evaluación de funciones trigonométricas

Solución

Construir una rampa de madera

Solución

Identidades trigonométricas

Resolver ecuaciones trigonométricas

Solución

Demostrar la una identidad trigonométrica

Solución

Gráficos y periodos de las funciones trigonométricas

Trazado del gráfico de una curva senoidal transformada

Solución

Sección 1.3 ejercicios