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Cálculo volumen 1

1.3 Funciones trigonométricas

Cálculo volumen 11.3 Funciones trigonométricas

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Índice
  1. Prefacio
  2. 1 Funciones y gráficos
    1. Introducción
    2. 1.1 Repaso de las funciones
    3. 1.2 Clases básicas de funciones
    4. 1.3 Funciones trigonométricas
    5. 1.4 Funciones inversas
    6. 1.5 Funciones exponenciales y logarítmicas
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  3. 2 Límites
    1. Introducción
    2. 2.1 Un repaso previo del cálculo
    3. 2.2 El límite de una función
    4. 2.3 Las leyes de los límites
    5. 2.4 Continuidad
    6. 2.5 La definición precisa de un límite
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  4. 3 Derivadas
    1. Introducción
    2. 3.1 Definir la derivada
    3. 3.2 La derivada como función
    4. 3.3 Reglas de diferenciación
    5. 3.4 Las derivadas como tasas de cambio
    6. 3.5 Derivadas de funciones trigonométricas
    7. 3.6 La regla de la cadena
    8. 3.7 Derivadas de funciones inversas
    9. 3.8 Diferenciación implícita
    10. 3.9 Derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas
    11. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  5. 4 Aplicaciones de las derivadas
    1. Introducción
    2. 4.1 Tasas relacionadas
    3. 4.2 Aproximaciones lineales y diferenciales
    4. 4.3 Máximos y mínimos
    5. 4.4 El teorema del valor medio
    6. 4.5 Las derivadas y la forma de un gráfico
    7. 4.6 Límites al infinito y asíntotas
    8. 4.7 Problemas de optimización aplicados
    9. 4.8 La regla de L'Hôpital
    10. 4.9 Método de Newton
    11. 4.10 Antiderivadas
    12. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  6. 5 Integración
    1. Introducción
    2. 5.1 Aproximación de áreas
    3. 5.2 La integral definida
    4. 5.3 El teorema fundamental del cálculo
    5. 5.4 Fórmulas de integración y el teorema del cambio neto
    6. 5.5 Sustitución
    7. 5.6 Integrales con funciones exponenciales y logarítmicas
    8. 5.7 Integrales que resultan en funciones trigonométricas inversas
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  7. 6 Aplicaciones de la integración
    1. Introducción
    2. 6.1 Áreas entre curvas
    3. 6.2 Determinar los volúmenes mediante el corte
    4. 6.3 Volúmenes de revolución: capas cilíndricas
    5. 6.4 Longitud del arco de una curva y superficie
    6. 6.5 Aplicaciones físicas
    7. 6.6 Momentos y centros de masa
    8. 6.7 Integrales, funciones exponenciales y logaritmos
    9. 6.8 Crecimiento y decaimiento exponencial
    10. 6.9 Cálculo de las funciones hiperbólicas
    11. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  8. A Tabla de integrales
  9. B Tabla de derivadas
  10. C Repaso de Precálculo
  11. Clave de respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
  12. Índice

Objetivos de aprendizaje

  • 1.3.1 Convertir medidas de ángulos entre grados y radianes.
  • 1.3.2 Reconocer las definiciones triangular y circular de las funciones trigonométricas básicas.
  • 1.3.3 Escribir las identidades trigonométricas básicas.
  • 1.3.4 Identificar los gráficos y los periodos de las funciones trigonométricas.
  • 1.3.5 Describir el desplazamiento de un gráfico de seno o coseno a partir de la ecuación de la función.

Las funciones trigonométricas se utilizan para modelar muchos fenómenos, como las ondas sonoras, las vibraciones de las cuerdas, la corriente eléctrica alterna y el movimiento de los péndulos. De hecho, casi cualquier movimiento repetitivo o cíclico puede modelarse mediante alguna combinación de funciones trigonométricas. En este apartado definiremos las seis funciones trigonométricas básicas y veremos algunas de las principales identidades relacionadas con estas funciones.

Medición de radianes

Para utilizar las funciones trigonométricas, primero debemos entender cómo se miden los ángulos. Aunque podemos utilizar tanto los radianes como los grados, los radianes son una medida más natural porque están relacionados directamente con el círculo unitario, un círculo de radio 1. La medida del radián de un ángulo se define como sigue. Dado un ángulo θ,θ, supongamos que ss es la longitud del arco correspondiente en el círculo unitario (Figura 1.30). Decimos que el ángulo correspondiente al arco de longitud 1 tiene medida de radián 1.

Imagen de un círculo. En el centro exacto del círculo hay un punto. Desde este punto, hay un segmento de línea que se extiende horizontalmente hacia la derecha un punto en el borde del círculo y otro segmento de línea que se extiende diagonalmente hacia arriba y hacia la derecha hasta otro punto en el borde del círculo. Estos segmentos de línea tienen una longitud de 1 unidad. El segmento curvo en el borde del círculo que conecta los dos puntos al final de los segmentos de la línea está marcado como "s". Dentro del círculo, hay una flecha que apunta desde el segmento de línea horizontal al segmento de línea diagonal. Esta flecha tiene la marca "theta = s radianes".
Figura 1.30 La medida del radián de un ángulo θ θ es la longitud del arco s s del arco asociado en el círculo unitario.

Dado que un ángulo de 360°360° corresponde a la circunferencia de un círculo, o a un arco de longitud 2 π,2 π, concluimos que un ángulo con una medida de grado de 360°360° tiene una medida del radián de 2 π.2 π. Del mismo modo, vemos que 180°180° equivale a ππ radianes. La Tabla 1.8 muestra la relación entre los valores comunes de los grados y los radianes.

Grados Radianes Grados Radianes
0 0 120 2 π/32 π/3
30 π/6π/6 135 3π/43π/4
45 π/4π/4 150 5π/65π/6
60 π/3π/3 180 ππ
90 π/2 π/2
Tabla 1.8 Ángulos comunes expresados en grados y radianes

Ejemplo 1.22

Convertir radianes y grados

  1. Exprese 225°225° utilizando radianes.
  2. Exprese 5π/35π/3 rad utilizando grados.

Punto de control 1.17

Exprese 210°210° utilizando radianes. Exprese 11π/611π/6 rad utilizando grados.

Las seis funciones trigonométricas básicas

Las funciones trigonométricas nos permiten utilizar las medidas de los ángulos, en radianes o grados, para encontrar las coordenadas de un punto en cualquier círculo —no solo en un círculo unitario— o para encontrar un ángulo dado un punto en un círculo. También definen la relación entre los lados y los ángulos de un triángulo.

Para definir las funciones trigonométricas, consideremos primero el círculo unitario centrado en el origen y un punto P=(x,y)P=(x,y) en el círculo de la unidad. Supongamos que θθ es un ángulo con un lado inicial que se halla a lo largo del eje positivo xx y con un lado terminal que es el segmento de línea OP.OP. Un ángulo en esta posición se dice que está en posición estándar (Figura 1.31). Podemos entonces definir los valores de las seis funciones trigonométricas para θθ en términos de las coordenadas xx como y.y.

Imagen de un gráfico. El gráfico tiene un círculo trazado en él, con el centro del círculo en el origen, donde hay un punto. Desde este punto, hay un segmento de línea que se extiende horizontalmente a lo largo del eje x hacia la derecha hasta un punto en el borde del círculo. Hay otro segmento de línea que se extiende en diagonal hacia arriba y hacia la derecha hasta otro punto en el borde del círculo. Este punto está marcado como "P = (x, y)". Estos segmentos de línea tienen una longitud de 1 unidad. Desde el punto "P", hay una línea vertical punteada que se extiende hacia abajo hasta chocar con el eje x y, por tanto, con el segmento de línea horizontal. Dentro del círculo, hay una flecha que apunta desde el segmento de línea horizontal al segmento de línea diagonal. Esta flecha está marcada como "theta".
Figura 1.31 El ángulo θ θ está en posición estándar. Los valores de las funciones trigonométricas para θ θ se definen en términos de las coordenadas x x como y . y .

Definición

Supongamos que P=(x,y)P=(x,y) es un punto del círculo unitario centrado en el origen O.O. Supongamos que θθ es un ángulo con un lado inicial a lo largo del eje positivo xx y un lado terminal dado por el segmento de línea OP.OP. Las funciones trigonométricas se definen entonces como

senθ=ycscθ=1ycosθ=xsecθ=1xtanθ=yxcotθ=xysenθ=ycscθ=1ycosθ=xsecθ=1xtanθ=yxcotθ=xy
(1.9)

Si los valores de x=0,secθx=0,secθ y tanθtanθ son indefinidos. Si los valores de y=0,y=0, entonces cotθcotθ y cscθcscθ son indefinidos.

Podemos ver que para un punto P=(x,y)P=(x,y) en un círculo de radio rr con un ángulo correspondiente θ,θ, las coordenadas xx como yy satisfacen

cosθ=xrx=rcosθcosθ=xrx=rcosθ
senθ=yry=rsenθ.senθ=yry=rsenθ.

Los valores de las demás funciones trigonométricas pueden expresarse en términos de x,y,x,y, y rr (Figura 1.32).

Imagen de un gráfico. El gráfico tiene un círculo trazado en él, con el centro del círculo en el origen, donde hay un punto. Desde este punto, hay un segmento de línea azul que se extiende horizontalmente a lo largo del eje x hacia la derecha hasta un punto en el borde del círculo. Hay otro segmento de línea azul que se extiende en diagonal hacia arriba y hacia la derecha hasta otro punto en el borde del círculo. Este punto está marcado como "P = (x, y)". Estos segmentos de línea tienen una longitud de "r" unidades. Entre estos segmentos de línea dentro del círculo se halla la marca "theta", que representa el ángulo entre los segmentos. Desde el punto "P", hay una línea vertical azul que se extiende hacia abajo hasta chocar con el eje x y, por tanto, con el segmento de línea horizontal, en un punto marcado como "x". En la intersección del segmento de línea horizontal y el segmento de línea vertical en el punto x, hay un símbolo de triángulo rectángulo. Desde el punto "P", hay un segmento de línea horizontal punteada que se extiende hacia la izquierda hasta que toca el eje y en un punto marcado como "y".
Figura 1.32 Para un punto P = ( x , y ) P = ( x , y ) en un círculo de radio r , r , las coordenadas x x como y y satisfacen x = r cos θ x = r cos θ y y = r sen θ . y = r sen θ .

La Tabla 1.9 muestra los valores del seno y del coseno en los ángulos mayores del primer cuadrante. A partir de esta tabla, podemos determinar los valores del seno y del coseno en los ángulos correspondientes de los otros cuadrantes. Los valores de las demás funciones trigonométricas se calculan fácilmente a partir de los valores de senθsenθ y cosθ.cosθ.

θθ sinθsinθ cosθcosθ
00 00 11
π6π6 12 12 32 32
π4π4 2 2 2 2 2 2 2 2
π3π3 32 32 12 12
π2 π2 11 00
Tabla 1.9 Los valores de sen θ sen θ y cos θ cos θ en los ángulos principales θ θ en el primer cuadrante

Ejemplo 1.23

Evaluación de funciones trigonométricas

Evalúe cada una de las siguientes expresiones.

  1. sen(2 π3)sen(2 π3) grandes.
  2. cos(5π6)cos(5π6) grandes.
  3. tan(15π4)tan(15π4)

Punto de control 1.18

Evalúe cos(3π/4)cos(3π/4) y sen(π/6).sen(π/6).

Como se mencionó anteriormente, las razones de las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo se pueden expresar en términos de las funciones trigonométricas evaluadas en cualquiera de los ángulos agudos del triángulo. Supongamos que θθ es uno de los ángulos agudos. Supongamos que AA es la longitud del cateto adyacente, OO es la longitud del cateto opuesto, y HH es la longitud de la hipotenusa. Inscribiendo el triángulo en un círculo de radio H,H, como se muestra en la Figura 1.33, vemos que A,H,A,H, y OO satisfacen las siguientes relaciones con θ:θ:

senθ=OHcscθ=HOcosθ=AHsecθ=HAtanθ=OAcotθ=AOsenθ=OHcscθ=HOcosθ=AHsecθ=HAtanθ=OAcotθ=AO
Imagen de un gráfico. El gráfico tiene un círculo trazado en él, con el centro del círculo en el origen, donde hay un punto. Desde este punto, hay un segmento de línea que se extiende horizontalmente a lo largo del eje x hacia la derecha hasta un punto en el borde del círculo. Hay otro segmento de línea con longitud marcada como "H" que se extiende en diagonal hacia arriba y hacia la derecha hasta otro punto en el borde del círculo. Desde el punto, hay una línea vertical con una longitud marcada como "O" que se extiende hacia abajo hasta que toca el eje x y por lo tanto el segmento de línea horizontal en un punto con un símbolo de triángulo rectángulo. La distancia de este punto al centro del círculo se marca como "A". Dentro del círculo, hay una flecha que apunta desde el segmento de línea horizontal al segmento de línea diagonal. Esta flecha está marcada como "theta".
Figura 1.33 Al inscribir un triángulo rectángulo en una circunferencia, podemos expresar las relaciones de las longitudes de los lados en términos de las funciones trigonométricas evaluadas en θ . θ .

Ejemplo 1.24

Construir una rampa de madera

Se construirá una rampa de madera con un extremo en el suelo y el otro en la parte superior de una corta escalera. Si la parte superior de la escalera es de 44 ft desde el suelo y el ángulo entre el suelo y la rampa debe ser de 10°,10°, ¿qué longitud debe tener la rampa?

Punto de control 1.19

Un pintor de casas quiere inclinar una escalera de 2020 contra una casa. Si el ángulo entre la base de la escalera y el suelo debe ser 60°,60°, ¿A qué distancia de la casa debe colocar la base de la escalera?

Identidades trigonométricas

Una identidad trigonométrica es una ecuación en la que intervienen funciones trigonométricas que es verdadera para todos los ángulos θθ para el que se definen las funciones. Podemos utilizar esas identidades para ayudarnos a resolver o simplificar ecuaciones. A continuación se enumeran las principales identidades trigonométricas.

Regla: identidades trigonométricas

Identidades recíprocas

tanθ=senθcosθcotθ=cosθsenθcscθ=1senθsecθ=1cosθtanθ=senθcosθcotθ=cosθsenθcscθ=1senθsecθ=1cosθ

Identidades pitagóricas

sen2 θ+cos2 θ=11+tan2 θ=sec2 θ1+cot2 θ=csc2 θsen2 θ+cos2 θ=11+tan2 θ=sec2 θ1+cot2 θ=csc2 θ

Fórmulas de adición y sustracción

sen(α±β)=senαcosβ±cosαsenβsen(α±β)=senαcosβ±cosαsenβ
cos(α±β)=cosαcosβsenαsenβcos(α±β)=cosαcosβsenαsenβ

Fórmulas de ángulo doble

sen(2 θ)=2 senθcosθsen(2 θ)=2 senθcosθ
cos(2 θ)=2 cos2 θ1=12 sen2 θ=cos2 θsen2 θcos(2 θ)=2 cos2 θ1=12 sen2 θ=cos2 θsen2 θ

Ejemplo 1.25

Resolver ecuaciones trigonométricas

Para cada una de las siguientes ecuaciones, utilice una identidad trigonométrica para encontrar todas las soluciones.

  1. 1+cos(2 θ)=cosθ1+cos(2 θ)=cosθ
  2. sen(2 θ)=tanθsen(2 θ)=tanθ

Punto de control 1.20

Halle todas las soluciones a la ecuación cos(2 θ)=senθ.cos(2 θ)=senθ.

Ejemplo 1.26

Demostrar la una identidad trigonométrica

Demuestre la identidad trigonométrica 1+tan2 θ=sec2 θ.1+tan2 θ=sec2 θ.

Punto de control 1.21

Demuestre la identidad trigonométrica 1+cot2 θ=csc2 θ.1+cot2 θ=csc2 θ.

Gráficos y periodos de las funciones trigonométricas

Hemos visto que al recorrer el círculo unitario, los valores de las funciones trigonométricas se repiten. Podemos ver este patrón en los gráficos de las funciones. Supongamos que P=(x,y)P=(x,y) es un punto del círculo unitario y que θθ es el ángulo correspondiente .. Dado que los ángulos θθ y θ+2 πθ+2 π corresponden al mismo punto P,P, los valores de las funciones trigonométricas en θθ y en θ+2 πθ+2 π son los mismos. En consecuencia, las funciones trigonométricas son funciones periódicas. El periodo de una función ff se define como el menor valor positivo pp de manera que f(x+p)=f(x)f(x+p)=f(x) para todos los valores xx en el dominio de f.f. Las funciones seno, coseno, secante y cosecante tienen un periodo de 2 π.2 π. Como las funciones tangente y cotangente se repiten en un intervalo de longitud π,π, su periodo es ππ (Figura 1.34).

Una imagen de seis gráficos. Cada gráfico tiene un eje x que va de -2 pi a 2 pi y un eje y que va de -2 a 2. El primer gráfico es de la función "f(x) = sen(x)", que es una función de onda curva. El gráfico de la función comienza en el punto (-2 pi, 0) y aumenta hasta el punto (-((3 pi)/2), 1). Después de este punto, la función disminuye hasta el punto (-(pi/2), -1). Después de este punto, la función aumenta hasta el punto ((pi/2), 1). Después de este punto, la función disminuye hasta el punto (((3 pi)/2), -1). Después de este punto, la función comienza a aumentar de nuevo. Las intersecciones en x mostradas en el gráfico están en los puntos (-2 pi, 0), (-pi, 0), (0, 0), (pi, 0) y (2 pi, 0). La intersección y está en el origen. El segundo gráfico es de la función "f(x) = cos(x)", que es una función de onda curva. El gráfico de la función comienza en el punto (-2 pi, 1) y disminuye hasta el punto (-pi, -1). Después de este punto, la función aumenta hasta el punto (0, 1). Después de este punto, la función disminuye hasta el punto (pi, -1). Después de este punto, la función vuelve a aumentar. Las intersecciones en x mostradas en el gráfico están en los puntos (-((3 pi)/2), 0), (-(pi/2), 0), ((pi/2), 0) y (((3 pi)/2), 0). La intersección y está en el punto (0, 1). El gráfico de cos(x) es el mismo que el de sen(x), excepto que se desplazó hacia la izquierda por una distancia de (pi/2). En los cuatro gráficos siguientes hay líneas verticales punteadas que no forman parte de la función, sino que actúan como límites de la misma, límites que la función nunca tocará. Se conocen como asíntotas verticales. Hay infinitas asíntotas verticales para todas estas funciones, pero estos gráficos solo muestran algunas. El tercer gráfico es de la función "f(x) = csc(x)". Las asíntotas verticales de "f(x) = csc(x)" en este gráfico ocurren en "x = -2 pi", "x = -pi", "x = 0", "x = pi" y "x = 2 pi". Entre las asíntotas "x = -2 pi" y "x = -pi", la función parece una "U" orientada hacia arriba, con un mínimo en el punto (-((3 pi)/2), 1). Entre las asíntotas "x = -pi" y "x = 0", la función parece una "U" orientada hacia abajo, con un máximo en el punto (-(pi/2), -1). Entre las asíntotas "x = 0" y "x = pi", la función se parece a una "U" orientada hacia arriba, con un mínimo en el punto ((pi/2), 1). Entre las asíntotas "x = pi" y "x = 2 pi", la función parece una "U" orientada hacia abajo, con un máximo en el punto (((3 pi)/2), -1). El cuarto gráfico es de la función "f(x) = sec(x)". Las asíntotas verticales de esta función en este gráfico están en "x = -((3 pi)/2)", "x = -(pi/2)", "x = (pi/2)" y "x = ((3 pi)/2)". Entre las asíntotas "x = -((3 pi)/2)" y "x = -(pi/2)", la función parece una "U" orientada hacia abajo, con un máximo en el punto (-pi, -1). Entre las asíntotas "x = -(pi/2)" y "x = (pi/2)", la función parece una "U" orientada hacia arriba, con un mínimo en el punto (0, 1). Entre las asíntotas "x = (pi/2)" y "x = (3pi/2)", la función parece una "U" orientada hacia abajo, con un máximo en el punto (pi, -1). El gráfico de sec(x) es la misma que la de csc(x), excepto que está desplazada hacia la izquierda una distancia de (pi/2). El quinto gráfico es de la función "f(x) = tan(x)". Las asíntotas verticales de esta función en el gráfico ocurren en "x = -((3 pi)/2)", "x = -(pi/2)", "x = (pi/2)" y "x = ((3 pi)/2)". Entre todas las asíntotas verticales, la función siempre aumenta pero nunca toca las asíntotas. Las intersecciones en x en este gráfico ocurren en los puntos (-2 pi, 0), (-pi, 0), (0, 0), (pi, 0) y (2 pi, 0). La intersección en y está en el origen. El sexto gráfico es de la función "f(x) = cot(x)". Las asíntotas verticales de esta función en este gráfico ocurren en "x = -2 pi", "x = -pi", "x = 0", "x = pi" y "x = 2 pi". Entre todas las asíntotas verticales, la función es siempre decreciente pero nunca toca las asíntotas. Las intersecciones en x en este gráfico ocurren en los puntos (-((3 pi)/2), 0), (-(pi/2), 0), ((pi/2), 0) y (((3 pi)/2), 0) y no hay intercepción y.
Figura 1.34 Las seis funciones trigonométricas son periódicas.

Al igual que con las funciones algebraicas, podemos aplicar transformaciones a las funciones trigonométricas. En particular, considere la siguiente función:

f(x)=Acos(B(xα))+C.f(x)=Acos(B(xα))+C.
(1.10)

En la Figura 1.35, la constante αα provoca un desplazamiento horizontal o de fase. El factor BB cambia el periodo. Esta función seno transformada tendrá un periodo 2 π/|B|.2 π/|B|. El factor AA resulta en un estiramiento vertical por un factor de |A|.|A|. Decimos |A||A| es la "amplitud de f.f." La constante CC ocasiona un desplazamiento vertical.

Imagen de un gráfico. El gráfico es de la función “f(x) = Acos(B(x - alpha)) + C”. A lo largo del eje y, hay 3 marcas de sombreado (hash marks): empezando por abajo y subiendo, dichas marcas están en los valores "C - A", "C" y "C + A". La distancia desde el origen hasta "C" se denomina "desplazamiento vertical". La distancia de "C - A" a "A" y la distancia de "A" a "C + A" es "A", que se marca como "amplitud". En el eje x hay una marca de hash en el valor "alfa" y la distancia entre el origen y "alfa" se marca como "desplazamiento horizontal". La distancia entre dos valores mínimos sucesivos de la función (en otras palabras, la distancia entre dos partes inferiores de la onda que están próximas) es "(2 pi)/(valor absoluto de B)" se denomina periodo. El periodo es también la distancia entre dos valores máximos sucesivos de la función.
Figura 1.35 Gráfico de una función coseno general.

Observe en la Figura 1.34 que el gráfico de y=cosxy=cosx es el gráfico de y=senxy=senx desplazado a la izquierda π/2 π/2 . Por lo tanto, podemos escribir cosx=sen(x+π/2 ).cosx=sen(x+π/2 ). Del mismo modo, podemos ver el gráfico de y=senxy=senx como el gráfico de y=cosxy=cosx desplazado a la derecha en π/2 π/2 unidades, y afirma que senx=cos(xπ/2 ).senx=cos(xπ/2 ).

Una curva sinusoidal desplazada surge de forma natural al graficar el número de horas de luz en un lugar determinado en función del día del año. Por ejemplo, supongamos que una ciudad informa que el 21 de junio es el día más largo del año con 15,715,7 horas y que el 21 de diciembre es el día más corto del año con 8,38,3 horas. Se puede demostrar que la función

h(t)=3,7sen(2 π365(t80,5))+12h(t)=3,7sen(2 π365(t80,5))+12

es un modelo para el número de horas de luz del día hh en función del día del año tt (Figura 1.36).

Imagen de un gráfico. El eje x va de 0 a 365 y está marcado como "t, día del año". El eje y va de 0 a 20 y está marcado como "h, número de horas de luz". El gráfico es de la función "h(t) = 3,7sen(((2 pi)/365)(t – 80,5)) + 12", que es una función de onda curva. La función comienza en el punto aproximado (0, 8,4) y empieza a aumentar hasta el punto aproximado (171,8, 15,7). Después de este punto, la función disminuye hasta el punto aproximado (354,3, 8,3). Después de este punto, la función comienza a aumentar de nuevo.
Figura 1.36 Las horas de luz en función del día del año pueden modelarse mediante una curva sinusoidal desplazada.

Ejemplo 1.27

Trazado del gráfico de una curva senoidal transformada

Dibuje un gráfico de f(x)=3sen(2 (xπ4))+1.f(x)=3sen(2 (xπ4))+1.

Punto de control 1.22

Describa la relación entre el gráfico de f(x)=3sen(4x)5f(x)=3sen(4x)5 y el gráfico de y=sen(x).y=sen(x).

Sección 1.3 ejercicios

En los siguientes ejercicios, convierta cada ángulo de grados a radianes. Escriba la respuesta como un múltiplo de π.π.

113.

240 ° 240 °

114.

15 ° 15 °

115.

−60 ° −60 °

116.

−225 ° −225 °

117.

330 ° 330 °

En los siguientes ejercicios, convierta cada ángulo de radianes a grados.

118.

π 2 rad π 2 rad

119.

7 π 6 rad 7 π 6 rad

120.

11 π 2 rad 11 π 2 rad

121.

−3 π rad −3 π rad

122.

5 π 12 rad 5 π 12 rad

Evalúe los siguientes valores funcionales.

123.

cos(4π3)cos(4π3) grandes.

124.

tan(19π4)tan(19π4) grandes.

125.

sen(3π4)sen(3π4) grandes.

126.

sec(π6)sec(π6) grandes.

127.

sen(π12)sen(π12) grandes.

128.

cos ( 5 π 12 ) cos ( 5 π 12 )

En los siguientes ejercicios, considere el triángulo ABC, un triángulo rectángulo con un ángulo recto en C. a. Halle el lado que falta en el triángulo. b. Halle los seis valores de la función trigonométrica para el ángulo en A. Si es necesario, simplifique a una fracción o redondee a tres decimales.

Imagen de un triángulo. Las tres esquinas del triángulo están marcadas como "A", "B" y "C". Entre la esquina A y la esquina C está el lado b. Entre la esquina C y la esquina B está el lado a. Entre la esquina B y la esquina A está el lado c. El ángulo de la esquina C está marcado con un símbolo de triángulo rectángulo. El ángulo de la esquina A está marcado con un símbolo de ángulo.
129.

a = 4 , c = 7 a = 4 , c = 7

130.

a = 21 , c = 29 a = 21 , c = 29

131.

a = 85,3 , b = 125,5 a = 85,3 , b = 125,5

132.

b = 40 , c = 41 b = 40 , c = 41

133.

a = 84 , b = 13 a = 84 , b = 13

134.

b = 28 , c = 35 b = 28 , c = 35

En los siguientes ejercicios, PP es un punto del círculo unitario. a. Halle el valor (exacto) de la coordenada que falta en cada punto y b. halle los valores de las seis funciones trigonométricas para el ángulo θθ con un lado terminal que pasa por el punto P.P. Racionalice los denominadores.

135.

P ( 7 25 , y ) , y > 0 P ( 7 25 , y ) , y > 0

136.

P ( −15 17 , y ) , y < 0 P ( −15 17 , y ) , y < 0

137.

P ( x , 7 3 ) , x < 0 P ( x , 7 3 ) , x < 0

138.

P ( x , 15 4 ) , x > 0 P ( x , 15 4 ) , x > 0

En los siguientes ejercicios, simplifique cada expresión escribiéndola en términos de senos y cosenos, y luego simplifique. La respuesta final no tiene que ser solo en términos de seno y coseno.

139.

tan 2 x + sen x csc x tan 2 x + sen x csc x

140.

sec x sen x cot x sec x sen x cot x

141.

tan 2 x sec 2 x tan 2 x sec 2 x

142.

sec x cos x sec x cos x

143.

( 1 + tan θ ) 2 2 tan θ ( 1 + tan θ ) 2 2 tan θ

144.

senx(cscxsenx)senx(cscxsenx) grandes.

145.

cos t sen t + sen t 1 + cos t cos t sen t + sen t 1 + cos t

146.

1 + tan 2 α 1 + cot 2 α 1 + tan 2 α 1 + cot 2 α

En los siguientes ejercicios, verifique que cada ecuación sea una identidad.

147.

tan θ cot θ csc θ = sen θ tan θ cot θ csc θ = sen θ

148.

sec 2 θ tan θ = sec θ csc θ sec 2 θ tan θ = sec θ csc θ

149.

sen t csc t + cos t sec t = 1 sen t csc t + cos t sec t = 1

150.

sen x cos x + 1 + cos x 1 sen x = 0 sen x cos x + 1 + cos x 1 sen x = 0

151.

cot γ + tan γ = sec γ csc γ cot γ + tan γ = sec γ csc γ

152.

sen 2 β + tan 2 β + cos 2 β = sec 2 β sen 2 β + tan 2 β + cos 2 β = sec 2 β

153.

1 1 sen α + 1 1 + sen α = 2 sec 2 α 1 1 sen α + 1 1 + sen α = 2 sec 2 α

154.

tan θ cot θ sen θ cos θ = sec 2 θ csc 2 θ tan θ cot θ sen θ cos θ = sec 2 θ csc 2 θ

En los siguientes ejercicios, resuelva las ecuaciones trigonométricas en el intervalo 0θ<2 π.0θ<2 π.

155.

2 sen θ 1 = 0 2 sen θ 1 = 0

156.

1 + cos θ = 1 2 1 + cos θ = 1 2

157.

2 tan 2 θ = 2 2 tan 2 θ = 2

158.

4 sen 2 θ 2 = 0 4 sen 2 θ 2 = 0

159.

3 cot θ + 1 = 0 3 cot θ + 1 = 0

160.

3 sec θ 2 3 = 0 3 sec θ 2 3 = 0

161.

2 cos θ sen θ = sen θ 2 cos θ sen θ = sen θ

162.

csc 2 θ + 2 csc θ + 1 = 0 csc 2 θ + 2 csc θ + 1 = 0

En los siguientes ejercicios, cada gráfico es de la forma y=AsenBxy=AsenBx o y=AcosBx,y=AcosBx, donde B>0.B>0. Escriba la ecuación del gráfico.

163.
Imagen de un gráfico. El eje x va de -4 a 4 y el eje y va de -5 a 5. El gráfico es de una función de onda curva que comienza en el punto (-4, 0) y disminuye hasta el punto (-2, 4). Después de este punto la función comienza a aumentar hasta llegar al punto (2, 4). Después de este punto, la función comienza a disminuir de nuevo. Las intersecciones en x de la función en este gráfico están en (-4, 0), (0, 0) y (4, 0). La intersección en y está en el origen.
164.
Imagen de un gráfico. El eje x va de -4 a 4 y el eje y va de -5 a 5. El gráfico es de una función de onda curva que comienza en el punto (-4, -2) y aumenta hasta el punto (-3, 2). Después de este punto la función disminuye hasta llegar al punto (-2, -2). Después de este punto la función aumenta hasta llegar al punto (-1, 2). Después de este punto la función disminuye hasta llegar al punto (0, -2). Después de este punto, la función aumenta hasta llegar al punto (1, 2). Después de este punto la función disminuye hasta llegar al punto (2, -2). Después de este punto la función aumenta hasta llegar al punto (3, 2). Después de este punto, la función comienza a disminuir de nuevo. Las intersecciones en x de la función en este gráfico están en (-3,5, 0), (-2,5, 0), (-1,5, 0), (-0,5, 0), (0,5, 0), (1,5, 0), (2,5, 0) y (3,5, 0). La intersección y está en el (0, -2).
165.
Imagen de un gráfico. El eje x va de -4 a 4 y el eje y va de -5 a 5. El gráfico es de una función de onda curva. Hay muchos periodos y solo se explicarán algunos. La función comienza a decrecer en el punto (-1, 1) y disminuye hasta el punto (-0,5, -1). Después de este punto, la función aumenta hasta llegar al punto (0, 1). Después de este punto, la función disminuye hasta llegar al punto (0,5, -1). Después de este punto, la función aumenta hasta llegar al punto (1, 1). Después de este punto, la función vuelve a disminuir. Las intersecciones en x de la función en este gráfico están en (-0,75, 0), (-0,25, 0), (0,25, 0) y (0,75, 0). La intersección y está en (0, 1).
166.
Imagen de un gráfico. El eje x va de -4 a 4 y el eje y va de -5 a 5. El gráfico es de una función de onda curva. Hay muchos periodos y solo se explicarán algunos. La función comienza a decrecer en el punto (-1,25, 0,75) y disminuye hasta el punto (-0,75, -0,75). Después de este punto, la función aumenta hasta llegar al punto (0,25, 0,75). Después de este punto, la función disminuye hasta llegar al punto (0,25, -0,75). Después de este punto, la función aumenta hasta llegar al punto (0,75, 0,75). Después de este punto, la función vuelve a disminuir. Las intersecciones en x de la función en este gráfico están en (-1, 0), (-0,5, 0), (0, 0) y (0,5, 0). La intersección en y está en el origen.

En los siguientes ejercicios, halle a. la amplitud, b. el periodo, y c. el desplazamiento de fase con dirección para cada función.

167.

y = sen ( x π 4 ) y = sen ( x π 4 )

168.

y=3cos(2 x+3)y=3cos(2 x+3) grandes.

169.

y = −1 2 sen ( 1 4 x ) y = −1 2 sen ( 1 4 x )

170.

y=2 cos(xπ3)y=2 cos(xπ3) grandes.

171.

y = −3 sen ( π x + 2 ) y = −3 sen ( π x + 2 )

172.

y = 4 cos ( 2 x π 2 ) y = 4 cos ( 2 x π 2 )

173.

[T] El diámetro de una rueda que da vueltas sobre el suelo es de 40 in. Si la rueda gira en un ángulo de 120°,120°, ¿cuántas pulgadas se desplaza? Aproximación a la pulgada entera más cercana.

174.

[T] Halle la longitud del arco intersecado por el ángulo central θθ en un círculo de radio r. Redondee a la centésima más cercana.

a. r=12,8r=12,8 cm, θ=5π6θ=5π6 rad b. r=4,378r=4,378 cm, θ=7π6θ=7π6 rad c. r=0,964r=0,964 cm, θ=50°θ=50° d. r=8,55r=8,55 cm, θ=325°θ=325°

175.

[T] A medida que un punto P se mueve alrededor de un círculo, la medida del ángulo cambia. La medida de la rapidez con la que cambia el ángulo se llama velocidad angular, ω,ω, y viene dada por ω=θ/t,ω=θ/t, donde θθ está en radianes y t es el tiempo. Halle la velocidad angular para los datos dados. Redondee a la milésima más cercana.

a. θ=7π4rad,t=10θ=7π4rad,t=10 s b. θ=3π5rad,t=8θ=3π5rad,t=8 sec c. θ=2 π9rad,t=1θ=2 π9rad,t=1 min d. θ=23,76rad,t=14θ=23,76rad,t=14 min

176.

[T] Se necesita un total de 250.000 m2 de terreno para construir una central nuclear. Supongamos que se decide que la zona en la que se va a construir la central eléctrica será circular.

  1. Halle el radio de la zona circular de terreno.
  2. Si la superficie del terreno va a formar un sector de 45°45° de una circunferencia en vez de una circunferencia entera, halle la longitud del lado curvo.
177.

[T] El área de un triángulo isósceles con lados iguales de longitud x es

1 2 x 2 sen θ , 1 2 x 2 sen θ ,

donde θθ es el ángulo que forman los dos lados. Halle el área de un triángulo isósceles con lados iguales de longitud 8 pulgadas y ángulo θ=5π/12θ=5π/12 rad.

178.

[T] Una partícula se desplaza en una trayectoria circular con una velocidad angular constante ω.ω. La velocidad angular se modela mediante la función ω=9|cos(πtπ/12)|.ω=9|cos(πtπ/12)|. Determine la velocidad angular en t=9t=9 seg.

179.

[T] La corriente alterna para las tomas de corriente de una casa tiene un voltaje dado por la función

V ( t ) = 150 cos 368 t , V ( t ) = 150 cos 368 t ,

donde V es el voltaje en un tiempo de t segundos.

  1. Halle el periodo de la función e interprete su significado.
  2. Determine el número de periodos que se producen al pasar 1 segundo.
180.

[T] El número de horas de luz diurna en una ciudad del noreste se modela mediante la función

N ( t ) = 12 + 3 sen [ 2 π 365 ( t 79 ) ] , N ( t ) = 12 + 3 sen [ 2 π 365 ( t 79 ) ] ,

donde t es el número de días después del 1 de enero.

  1. Halle la amplitud y el periodo.
  2. Determine el número de horas de luz diurna del día más largo del año.
  3. Determine el número de horas de luz diurna del día más corto del año.
  4. Determine el número de horas de luz diurna 90 días después del 1 de enero.
  5. Grafique la función para un periodo que comienza el 1 de enero.
181.

[T] Supongamos que T=50+10sen[π12(t8)]T=50+10sen[π12(t8)] es un modelo matemático de la temperatura (en grados Fahrenheit) a las t horas después de la medianoche de un determinado día de la semana.

  1. Determine la amplitud y el periodo.
  2. Halle la temperatura 7 horas después de la medianoche.
  3. ¿A qué hora T=60°?T=60°?
  4. Dibuje el gráfico de TT en 0t24.0t24.
182.

[T] La función H(t)=8sen(π6t)H(t)=8sen(π6t) modela la altura H (en pies) de la marea t horas después de la medianoche. Supongamos que t=0t=0 es medianoche.

  1. Encuentre la amplitud y el periodo.
  2. Grafique la función en un periodo.
  3. ¿Cuál es la altura de la marea a las 4:30 a. m.?
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