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Cálculo volumen 1

1.2 Clases básicas de funciones

Cálculo volumen 11.2 Clases básicas de funciones

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Índice
  1. Prefacio
  2. 1 Funciones y gráficos
    1. Introducción
    2. 1.1 Repaso de las funciones
    3. 1.2 Clases básicas de funciones
    4. 1.3 Funciones trigonométricas
    5. 1.4 Funciones inversas
    6. 1.5 Funciones exponenciales y logarítmicas
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  3. 2 Límites
    1. Introducción
    2. 2.1 Un repaso previo del cálculo
    3. 2.2 El límite de una función
    4. 2.3 Las leyes de los límites
    5. 2.4 Continuidad
    6. 2.5 La definición precisa de un límite
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  4. 3 Derivadas
    1. Introducción
    2. 3.1 Definir la derivada
    3. 3.2 La derivada como función
    4. 3.3 Reglas de diferenciación
    5. 3.4 Las derivadas como tasas de cambio
    6. 3.5 Derivadas de funciones trigonométricas
    7. 3.6 La regla de la cadena
    8. 3.7 Derivadas de funciones inversas
    9. 3.8 Diferenciación implícita
    10. 3.9 Derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas
    11. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  5. 4 Aplicaciones de las derivadas
    1. Introducción
    2. 4.1 Tasas relacionadas
    3. 4.2 Aproximaciones lineales y diferenciales
    4. 4.3 Máximos y mínimos
    5. 4.4 El teorema del valor medio
    6. 4.5 Las derivadas y la forma de un gráfico
    7. 4.6 Límites al infinito y asíntotas
    8. 4.7 Problemas de optimización aplicados
    9. 4.8 La regla de L'Hôpital
    10. 4.9 Método de Newton
    11. 4.10 Antiderivadas
    12. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  6. 5 Integración
    1. Introducción
    2. 5.1 Aproximación de áreas
    3. 5.2 La integral definida
    4. 5.3 El teorema fundamental del cálculo
    5. 5.4 Fórmulas de integración y el teorema del cambio neto
    6. 5.5 Sustitución
    7. 5.6 Integrales con funciones exponenciales y logarítmicas
    8. 5.7 Integrales que resultan en funciones trigonométricas inversas
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  7. 6 Aplicaciones de la integración
    1. Introducción
    2. 6.1 Áreas entre curvas
    3. 6.2 Determinar los volúmenes mediante el corte
    4. 6.3 Volúmenes de revolución: capas cilíndricas
    5. 6.4 Longitud del arco de una curva y superficie
    6. 6.5 Aplicaciones físicas
    7. 6.6 Momentos y centros de masa
    8. 6.7 Integrales, funciones exponenciales y logaritmos
    9. 6.8 Crecimiento y decaimiento exponencial
    10. 6.9 Cálculo de las funciones hiperbólicas
    11. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  8. A Tabla de integrales
  9. B Tabla de derivadas
  10. C Repaso de Precálculo
  11. Clave de respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
  12. Índice

Objetivos de aprendizaje

  • 1.2.1 Calcular la pendiente de una función lineal e interpretar su significado.
  • 1.2.2 Reconocer el grado de un polinomio.
  • 1.2.3 Hallar las raíces de un polinomio cuadrático.
  • 1.2.4 Describir los gráficos de las funciones polinómicas pares e impares básicas.
  • 1.2.5 Identificar una función racional.
  • 1.2.6 Describir los gráficos de las funciones potencia y raíz.
  • 1.2.7 Explicar la diferencia entre funciones algebraicas y trascendentales.
  • 1.2.8 Graficar una función definida a trozos.
  • 1.2.9 Dibujar el gráfico de una función que ha sido desplazada, estirada o reflejada desde su posición gráfica inicial.

Ya estudiamos las características generales de las funciones, así que ahora vamos a examinar algunas clases específicas de funciones. Comenzaremos revisando las propiedades básicas de las funciones lineales y cuadráticas, y luego las generalizamos para incluir los polinomios de mayor grado. Al combinar las funciones raíz con los polinomios, podremos definir las funciones algebraicas generales y distinguirlas de las funciones trascendentales que examinaremos más adelante en este capítulo. Terminaremos la sección con ejemplos de funciones definidas a trozos y echaremos un vistazo a cómo dibujar el gráfico de una función que ha sido desplazada, estirada o reflejada desde su forma inicial.

Funciones lineales y pendiente

El tipo de función más fácil de considerar es una función lineal. Las funciones lineales tienen la forma f(x)=ax+b,f(x)=ax+b, donde aa y bb son constantes. En la Figura 1.15, vemos ejemplos de funciones lineales cuando aa es positivo, negativo y cero. Note que si a>0,a>0, el gráfico de la línea sube a medida que x x aumenta. En otras palabras, f(x)=ax+bf(x)=ax+b aumenta en (−∞, ∞).(−∞, ∞). Si a<0,a<0, el gráfico de la línea cae a medida que xx aumenta. En este caso, f(x)=ax+bf(x)=ax+b disminuye en (−∞, ∞).(−∞, ∞). Si a=0,a=0, la línea es horizontal.

Imagen de un gráfico. El eje y va de –2 a 5 y el eje x va de –2 a 5. El gráfico es de las 3 funciones. La primera función es "f(x) = 3x + 1", que es una línea recta creciente con una intersección x en ((–1/3), 0) y una intersección y en (0, 1). La segunda función es "g(x) = 2", que es una línea horizontal con una intersección y en (0, 2) y sin intersección x. La tercera función es "h(x) = (–1/2)x", que es una línea recta decreciente con una intersección x y otra en y, ambas en el origen. La función f(x) es creciente a un ritmo mayor que la función h(x) es decreciente.
Figura 1.15 Estas funciones lineales son crecientes o decrecientes en (∞, ∞) (∞, ∞) y una función es una línea horizontal.

Como sugiere la Figura 1.15, el gráfico de cualquier función lineal es una línea. Uno de los rasgos distintivos de una línea es su pendiente. La pendiente es el cambio en yy por cada cambio de unidad en x.x. La pendiente mide tanto la inclinación como la dirección de una línea. Si la pendiente es positiva, la línea apunta hacia arriba cuando se mueve de izquierda a derecha. Si la pendiente es negativa, la línea apunta hacia abajo cuando se mueve de izquierda a derecha. Si la pendiente es cero, la línea es horizontal. Para calcular la pendiente de una línea, necesitamos determinar la relación del cambio en yy en función del cambio en x.x. Para ello, elegimos dos puntos cualesquiera (x1,y1)(x1,y1) y (x2 ,y2 )(x2 ,y2 ) en la línea y calculamos y2 y1x2 x1.y2 y1x2 x1. En la Figura 1.16, vemos que esta relación es independiente de los puntos elegidos.

Imagen de un gráfico. El eje y va de –1 a 10 y el eje x va de –1 a 6. El gráfico es de una función que es una línea recta creciente. Hay cuatro puntos marcados en la función en (1, 1), (2, 3), (3, 5) y (5, 9). Hay una línea horizontal punteada desde el punto de función marcado (1, 1) hasta el punto no marcado (3, 1) que no está en la función, y luego una línea vertical punteada desde el punto no marcado (3, 1), que no está en la función, hasta el punto de función marcado (3, 5). Estos dos puntos tienen la etiqueta "(y2 - y1)/(x2 - x1) = (5 -1)/(3 - 1) = 2". Hay una línea horizontal punteada desde el punto de función marcado (2, 3) hasta el punto no marcado (5, 3) que no está en la función, y luego una línea vertical punteada desde el punto no marcado (5, 3), que no está en la función, hasta el punto de función marcado (5, 9). Estos dos puntos tienen la etiqueta "(y2 - y1)/(x2 - x1) = (9 -3)/(5 - 2) = 2".
Figura 1.16 Para cualquier función lineal, la pendiente ( y 2 y 1 ) / ( x 2 x 1 ) ( y 2 y 1 ) / ( x 2 x 1 ) es independiente de la elección de los puntos ( x 1 , y 1 ) ( x 1 , y 1 ) y ( x 2 , y 2 ) ( x 2 , y 2 ) en la línea.

Definición

Considere la línea LL que pasa por los puntos (x1,y1)(x1,y1) y (x2 ,y2 ).(x2 ,y2 ). Supongamos que Δy=y2 y1Δy=y2 y1 y Δx=x2 x1Δx=x2 x1 denotan los cambios en yy y x,x, respectivamente. La pendiente de la línea es

m=y2 y1x2 x1=ΔyΔx.m=y2 y1x2 x1=ΔyΔx.
(1.3)

Ahora examinamos la relación entre la pendiente y la fórmula de una función lineal. Consideremos la función lineal dada por la fórmula f(x)=ax+b.f(x)=ax+b. Como lo comentamos, sabemos que el gráfico de una función lineal viene dado por una línea. Podemos utilizar nuestra definición de pendiente para calcular la pendiente de esta línea. Como se muestra, podemos determinar la pendiente calculando (y2 y1)/(x2 x1)(y2 y1)/(x2 x1) para cualquier punto (x1,y1)(x1,y1) y (x2 ,y2 )(x2 ,y2 ) en la recta. Al evaluar la función ff en x=0,x=0, vemos que (0,b)(0,b) es un punto en esta línea. Al evaluar esta función en x=1,x=1, vemos que (1,a+b)(1,a+b) también es un punto en esta línea. Por lo tanto, la pendiente de esta línea es

(a+b)b10=a.(a+b)b10=a.

Hemos demostrado que el coeficiente aa es la pendiente de la línea. Podemos concluir que la fórmula f(x)=ax+bf(x)=ax+b describe una línea con pendiente a.a. Además, como esta línea interseca con el eje yy en el punto (0,b),(0,b), vemos que la intersección yy para esta función lineal es (0,b).(0,b). Concluimos que la fórmula f(x)=ax+bf(x)=ax+b nos indica la pendiente, a,a, y la intersección yy, (0,b),(0,b), para esta línea. Dado que a menudo utilizamos el símbolo mm para denotar la pendiente de una línea, podemos escribir

f(x)=mx+bf(x)=mx+b

para denotar la forma pendiente-intersección de una función lineal.

A veces conviene expresar una función lineal de diferentes maneras. Por ejemplo, supongamos que el gráfico de una función lineal pasa por el punto (x1,y1)(x1,y1) y la pendiente de la línea es m.m. Puesto que cualquier otro punto (x,f(x))(x,f(x)) en el gráfico de ff debe satisfacer la ecuación

m=f(x)y1xx1,m=f(x)y1xx1,

esta función lineal puede expresarse escribiendo

f(x)y1=m(xx1).f(x)y1=m(xx1).

Llamamos a esta ecuación la ecuación punto-pendiente de esa función lineal.

Como toda línea no vertical es el gráfico de una función lineal, los puntos de esa línea pueden describirse mediante las ecuaciones en su forma pendiente-intersección o punto-pendiente. Sin embargo, una línea vertical no representa el gráfico de una función y no puede expresarse de ninguna de estas formas. En cambio, una línea vertical se describe mediante la ecuación x=kx=k para alguna constante k.k. Dado que ni la forma pendiente-intersección ni la forma punto-pendiente permiten líneas verticales, utilizamos la notación

ax+by=c,ax+by=c,

donde a,ba,b son diferentes a cero, para denotar la forma estándar de una línea.

Definición

Consideremos una línea que pasa por el punto (x1,y1)(x1,y1) con pendiente m.m. La ecuación

yy1=m(xx1)yy1=m(xx1)
(1.4)

es la ecuación punto-pendiente de esa línea.

Consideremos una línea con pendiente mm y la intersección yy (0,b).(0,b). La ecuación

y=mx+by=mx+b
(1.5)

es una ecuación para esa línea en la forma pendiente-intersección.

La forma estándar de una línea viene dada por la ecuación

ax+by=c,ax+by=c,
(1.6)

donde aa y bb no son ambos cero. Esta forma es más general porque permite una línea vertical, x=k.x=k.

Ejemplo 1.12

Hallar la pendiente y las ecuaciones de las rectas

Consideremos la línea que pasa por los puntos (11,–4)(11,–4) y (−4,5),(−4,5), como se muestra en la Figura 1.17.

Imagen de un gráfico. El eje x va de –5 a 12 y el eje y va de –5 a 6. El gráfico es de la función que es una línea recta decreciente. La función tiene dos puntos representados en (-4, 5) y en (11, 4).
Figura 1.17 Hallar la ecuación de una función lineal con un gráfico que es una línea entre dos puntos dados.
  1. Halle la pendiente de la línea.
  2. Halle una ecuación para esta función lineal en la forma punto-pendiente.
  3. Halle una ecuación para esta función lineal en la forma pendiente-intersección.

Punto de control 1.9

Consideremos la línea que pasa por los puntos (−3,2 )(−3,2 ) y (1,4).(1,4). Halle la pendiente de la línea.

Halle una ecuación de esa línea en su forma punto-pendiente. Halle una ecuación de esa línea en su forma pendiente-intersección.

Ejemplo 1.13

Una función de distancia lineal

Jessica sale de su casa a las 5:50 a. m. y recorre 9 millas. Regresa a su casa a las 7:08 a. m. Responda las siguientes preguntas, suponiendo que Jessica corre a un ritmo constante.

  1. Describa la distancia DD (en millas) que Jessica corre como una función lineal de su tiempo de carrera tt (en minutos).
  2. Dibuje un gráfico de D.D.
  3. Interprete el significado de la pendiente.

Polinomios

Una función lineal es un tipo especial de una clase más general de funciones: los polinomios. Una función polinómica es cualquier función que pueda escribirse de la forma

f(x)=anxn+an1xn1++a1x+a0f(x)=anxn+an1xn1++a1x+a0
(1.7)

para algún número entero n0n0 y las constantes an,an1,…,a0,an,an1,…,a0, donde an0.an0. En el caso de que n=0,n=0, permitimos a0=0;a0=0; si a0=0,a0=0, la función f(x)=0f(x)=0 se denomina función cero. El valor nn se denomina grado del polinomio; la constante anan se denomina coeficiente líder. Una función lineal de la forma f(x)=mx+bf(x)=mx+b es un polinomio de grado 1 si m0m0 y de grado 0 si m= 0,0.m= 0,0. Un polinomio de grado 0 también se llama función constante. Una función polinómica de grado 2 se llama función cuadrática. En particular, una función cuadrática tiene la forma f(x)=ax2 +bx+c,f(x)=ax2 +bx+c, donde a0.a0. Una función polinómica de grado 33 se denomina función cúbica.

Funciones potencia

Algunas funciones polinómicas son funciones potencia. Una función potencia es cualquier función de la forma f(x)=axb,f(x)=axb, donde aa y bb son números reales. El exponente en una función potencia puede ser cualquier número real, pero aquí consideramos el caso en que el exponente es un número entero positivo. (Más adelante estudiaremos otros casos). Si el exponente es un entero positivo, entonces f(x)=axnf(x)=axn es un polinomio. Si nn es par, entonces f(x)=axnf(x)=axn es una función par ya que f(x)=a(x)n=axnf(x)=a(x)n=axn si nn es par. Si los valores de nn es impar, entonces f(x)=axnf(x)=axn es una función impar porque f(x)=a(x)n=axnf(x)=a(x)n=axn si nn es impar (Figura 1.18).

Imagen de dos gráficos. Ambos gráficos tienen un eje x que va de –4 a 4 y un eje y que va de –6 a 7. El primer gráfico está marcado como "a" y es de dos funciones. La primera función es "f(x) = x a la 4.ª" , que es una parábola que disminuye hasta el origen y vuelve a aumentar después del origen. La segunda función es "f(x) = x al cuadrado", que es una parábola que disminuye hasta el origen y vuelve a aumentar después del origen, pero aumenta y disminuye a un ritmo más lento que la primera función. El segundo gráfico está marcado como "b" y es de dos funciones. La primera función es "f(x) = x a la 5ª", que es una función curva que aumenta hasta el origen, se iguala en el origen y vuelve a aumentar después del origen. La segunda función es "f(x) = x al cubo", que es una función curva que aumenta hasta el origen, se iguala en el origen y vuelve a aumentar después del origen, pero aumenta a un ritmo más lento que la primera función.
Figura 1.18 (a) Para cualquier número entero par n , f ( x ) = a x n n , f ( x ) = a x n es una función par. (b) Para cualquier número entero impar n , f ( x ) = a x n n , f ( x ) = a x n es una función impar.

Comportamiento en el infinito

Para determinar el comportamiento de una función ff a medida que sus valores de entrada se acercan al infinito, observamos los valores f(x)f(x) a medida que las entradas, x,x, se hacen más grandes. Para algunas funciones, los valores de f(x)f(x) se acercan a un número finito. Por ejemplo, en la función f(x)=2 +1/x,f(x)=2 +1/x, los valores 1/x1/x se acercan cada vez más a cero para todos los valores de xx a medida que se hacen más y más grandes. De esta función, decimos f(x)f(x) se acerca a dos como xx va al infinito", y escribimos f(x)2 f(x)2 cuando x.x. La línea y=2 y=2 es una asíntota horizontal para la función f(x)=2 +1/xf(x)=2 +1/x porque el gráfico de la función se aproxima a la línea a medida que xx se hace más grande.

En otras funciones, los valores f(x)f(x) pueden no acercarse a un número finito, sino que pueden hacerse más grandes para todos los valores de xx a medida que se van haciendo más grandes. En ese caso, decimos que f(x)f(x) se acerca al infinito cuando xx se acerca al infinito", y escribimos f(x)f(x) cuando x.x. Por ejemplo, para la función f(x)=3x2 ,f(x)=3x2 , las salidas f(x)f(x) se hacen más grandes a medida que los valores de entrada xx se hacen más grandes. Podemos concluir que la función f(x)=3x2 f(x)=3x2 se acerca al infinito cuando xx se acerca al infinito, y escribimos 3x2 3x2 cuando x.x. El comportamiento mientras xx y el significado de f(x)f(x) cuando xx o xx pueden definirse de forma similar. Podemos describir lo que ocurre con los valores de f(x)f(x) cuando xx y dado que xx como el comportamiento final de la función.

Para entender el comportamiento final de las funciones polinómicas, podemos centrarnos en las funciones cuadráticas y cúbicas. El comportamiento de los polinomios de mayor grado puede analizarse de forma similar. Consideremos una función cuadrática f(x)=ax2 +bx+c.f(x)=ax2 +bx+c. Si a>0,a>0, los valores f(x)f(x) cuando x±.x±. Si a<0,a<0, los valores f(x)−∞f(x)−∞ como x±.x±. Como el gráfico de una función cuadrática es una parábola, la parábola se abre hacia arriba si a>0;a>0; la parábola se abre hacia abajo si a<0.a<0. (Vea la Figura 1.19(a)).

Consideremos ahora una función cúbica f(x)=ax3+bx2 +cx+d.f(x)=ax3+bx2 +cx+d. Si a>0,a>0, entonces f(x)f(x) cuando xx y f(x)−∞f(x)−∞ como x−∞.x−∞. Si a<0,a<0, entonces f(x)−∞f(x)−∞ como xx y f(x)f(x) cuando x−∞.x−∞. Como podemos ver en ambos gráficos, el término principal del polinomio determina el comportamiento final (vea la Figura 1.19(b)).

Imagen de dos gráficos. El primer gráfico está marcado "a" y tiene un eje x que va de –4 a 5 y un eje y que va de –4 a 6. El gráfico contiene dos funciones. La primera función es "f(x) = -(x al cuadrado) - 4x -4", que es una parábola. La función aumenta hasta alcanzar el máximo en el punto (-2, 0) y luego comienza a disminuir. La intersección x está en (-2, 0) y la intersección y está en (0, -4). La segunda función es "f(x) = 2(x al cuadrado) -12x + 16", que es una parábola. La función disminuye hasta alcanzar el punto mínimo en (3, -2) y luego comienza a aumentar. Las intersecciones x están en (2, 0) y (4, 0) y la intersección y no se muestra. El segundo gráfico está marcado "b" y tiene un eje x que va de -4 a 3 y un eje y que va de -4 a 6. El gráfico contiene dos funciones. La primera función es "f(x) = -(x al cubo) - 3(x al cuadrado) + x + 3". El gráfico disminuye hasta el punto aproximado de (-2,2, -3,1), luego aumenta hasta el punto aproximado de (0,2, 3,1), y luego comienza a disminuir de nuevo. Las intersecciones de x están en (-3, 0), (-1, 0) y (1, 0). La intersección y está en (0, 3). La segunda función es "f(x) = (x al cubo) -3(x al cuadrado) + 3x - 1". Es una función curva que aumenta hasta el punto (1, 0), donde se nivela. Después de este punto, la función comienza a aumentar de nuevo. Tiene una intersección x en (1, 0) y una intersección y en (0, -1).
Figura 1.19 (a) En una función cuadrática, si el coeficiente líder a > 0 , a > 0 , la parábola se abre hacia arriba. Si los valores de a < 0 , a < 0 , la parábola se abre hacia abajo. (b) En una función cúbica f , f , si el coeficiente líder a > 0 , a > 0 , los valores f ( x ) f ( x ) cuando x x y los valores f ( x ) −∞ f ( x ) −∞ como x −∞ . x −∞ . Si el coeficiente líder a < 0 , a < 0 , lo opuesto es verdadero.

Ceros de funciones polinómicas

Otra característica del gráfico de una función polinómica es el punto de intersección con el eje xx. Para determinar el punto donde una función ff interseca con el eje xx, necesitamos resolver la ecuación f(x)=0f(x)=0 para x. En el caso de la función lineal f(x)=mx+b,f(x)=mx+b, la intersección xx está dada por la resolución de la ecuación mx+b=0.mx+b=0. En este caso, vemos que la intersección xx viene dada por (b/m,0).(b/m,0). En el caso de una función cuadrática, para hallar la(s) intersección(es) en xx se necesita hallar los ceros de una ecuación cuadrática: ax2 +bx+c=0.ax2 +bx+c=0. En algunos casos, es fácil factorizar el polinomio ax2 +bx+cax2 +bx+c para hallar los ceros. Si no es así, utilizamos la fórmula cuadrática.

Regla: la fórmula cuadrática

Consideremos la ecuación cuadrática

ax2 +bx+c=0,ax2 +bx+c=0,

donde a0.a0. Las soluciones de esta ecuación vienen dadas por la fórmula cuadrática

x=b±b2 4ac2 a.x=b±b2 4ac2 a.
(1.8)

Si el discriminante b2 4ac>0,b2 4ac>0, esta fórmula nos dice que hay dos números reales que satisfacen la ecuación cuadrática. Si los valores de b2 4ac=0,b2 4ac=0, esta fórmula nos dice que solo hay una solución, y es un número real. Si los valores de b2 4ac<0,b2 4ac<0, ningún número real satisface la ecuación cuadrática.

En el caso de los polinomios de mayor grado, puede ser más complicado determinar dónde el gráfico interseca el eje xx. En algunos casos, es posible hallar la intersección xx mediante la factorización del polinomio para hallar sus ceros. En otros casos, es imposible calcular los valores exactos de las intersecciones xx. Sin embargo, como veremos más adelante, en casos como este podemos utilizar herramientas analíticas para aproximar (en un grado muy alto) dónde se encuentran las intersecciones xx. Aquí nos centramos en los gráficos de los polinomios en los que podemos calcular sus ceros explícitamente.

Ejemplo 1.14

Graficar funciones polinómicas

Para las siguientes funciones a. y b., i. describa el comportamiento de f(x)f(x) cuando x±,x±, ii. halle todos los ceros de f,f, y iii. dibuje un gráfico de f.f.

  1. f(x)=–2x2 +4x1f(x)=–2x2 +4x1
  2. f(x)=x33x2 4xf(x)=x33x2 4x

Punto de control 1.10

Consideremos la función cuadrática f(x)=3x2 6x+2 .f(x)=3x2 6x+2 . Halle los ceros de f.f. ¿La parábola se abre hacia arriba o hacia abajo?

Modelos matemáticos

Una gran variedad de situaciones del mundo real puede describirse mediante modelos matemáticos. Un modelo matemático es aquel que simula situaciones de la vida real con ecuaciones matemáticas. Físicos, ingenieros, economistas y otros investigadores desarrollan modelos combinando la observación con datos cuantitativos para elaborar ecuaciones, funciones, gráficos y otras herramientas matemáticas que describen con precisión el comportamiento de diversos sistemas. Los modelos matemáticos son útiles porque ayudan a predecir resultados futuros. Algunos ejemplos de estos modelos son el estudio de la dinámica de la población, la investigación de los patrones climáticos y la predicción de las ventas de productos.

Como ejemplo, consideremos un modelo matemático que una empresa podría utilizar para describir sus ingresos por la venta de un artículo concreto. El importe de los ingresos RR que una empresa recibe por la venta de nn artículos vendidos a un precio de pp dólares por artículo se describe mediante la ecuación R=p.n.R=p.n. La empresa quiere saber cómo cambian las ventas al variar el precio del artículo. Supongamos que los datos de la Tabla 1.6 muestran el número de unidades que vende una empresa en función del precio por artículo.

pp 66 88 1010 1212 1414
nn 19,419,4 18,518,5 16,216,2 13,813,8 12,212,2
Tabla 1.6 Número de unidades vendidas n n (en miles) en función del precio por unidad p p (en dólares)

En la Figura 1.20, vemos el gráfico del número de unidades vendidas (en miles) en función del precio (en dólares). De la forma del gráfico se desprende que el número de unidades vendidas es probablemente una función lineal del precio por artículo, y los datos pueden aproximarse por la función lineal n=−1,04p+26n=−1,04p+26 para 0p25,0p25, donde nn predice el número de unidades vendidas en miles. Utilizando esta función lineal, los ingresos (en miles de dólares) pueden estimarse mediante la función cuadrática

R(p)=p.(−1,04p+26)=−1,04p2 +26pR(p)=p.(−1,04p+26)=−1,04p2 +26p

para 0p25.0p25. En el Ejemplo 1.15, utilizamos esta función cuadrática para predecir la cantidad de ingresos que recibe la empresa en función del precio que cobra por artículo. Obsérvese que no podemos concluir definitivamente el número real de unidades vendidas para valores de p,p, para los que no se recogen datos. Sin embargo, teniendo en cuenta los otros valores de los datos y el gráfico mostrado, parece razonable que el número de unidades vendidas (en miles) si el precio cobrado es pp dólares puede acercarse a los valores predichos por la función lineal n=−1,04p+26.n=−1,04p+26.

Imagen de un gráfico. El eje y va de 0 a 28 y está marcado como "n, unidades vendidas en miles". El eje x va de 0 a 28 y está marcado como "p, precio en dólares". El gráfico es de la función "n = -1,04p + 26", que es una función de línea decreciente que comienza en el punto de intersección de y (0, 26). Hay 5 puntos marcados en el gráfico: (6, 19,4), (8, 18,5), (10, 16,2), (12, 13,8) y (14, 12,2). Los puntos no están en el gráfico de la línea de la función, pero están muy cerca de ella. La función tiene una intersección x en el punto (25, 0).
Figura 1.20 Los datos recogidos sobre el número de artículos vendidos en función del precio son aproximadamente lineales. Utilizamos la función lineal n = −1,04 p + 26 n = −1,04 p + 26 para estimar esta función.

Ejemplo 1.15

Maximizando los ingresos

A una empresa le interesa predecir los ingresos que percibirá en función del precio que cobre por un determinado artículo. Utilizando los datos de la Tabla 1.6, la empresa utiliza la siguiente función cuadrática para modelar los ingresos RR (en miles de dólares) en función del precio por artículo p:p:

R(p)=p.(−1,04p+26)=−1,04p2 +26pR(p)=p.(−1,04p+26)=−1,04p2 +26p

para 0p25.0p25.

  1. Prediga los ingresos si la empresa vende el artículo a un precio de p=$5p=$5 y p=$17.p=$17.
  2. Halle los ceros de esta función e interprete el significado de los mismos.
  3. Dibuje un gráfico de R.R.
  4. Utilice el gráfico para determinar el valor de pp que maximiza los ingresos. Halle el máximo de ingresos.

Funciones algebraicas

Al permitir cocientes y potencias fraccionarias en las funciones polinómicas, creamos una clase más amplia de funciones. Una función algebraica es aquella que implica suma, resta, multiplicación, división, potencias racionales y raíces. Dos tipos de funciones algebraicas son las funciones racionales y las funciones raíz.

Al igual que los números racionales son cocientes de los enteros, las funciones racionales son cocientes de los polinomios. En particular, una función racional es cualquier función de la forma f(x)=p(x)/q(x),f(x)=p(x)/q(x), donde p(x)p(x) como q(x)q(x) son polinomios. Por ejemplo,

f(x)=3x15x+2 yg(x)=4x2 +1f(x)=3x15x+2 yg(x)=4x2 +1

son funciones racionales. Una función raíz es una función potencia de la forma f(x)=x1/n,f(x)=x1/n, donde nn es un número entero positivo mayor que uno. Por ejemplo, f(x)=x1/2 =xf(x)=x1/2 =x es la función raíz cuadrada y g(x)=x1/3=x3g(x)=x1/3=x3 es la función raíz cúbica. Al posibilitar composiciones de funciones raíz y funciones racionales, podemos crear otras funciones algebraicas. Por ejemplo, f(x)=4x2 f(x)=4x2 es una función algebraica.

Ejemplo 1.16

Hallar el dominio y el rango de las funciones algebraicas

En cada una de las siguientes funciones, halle el dominio y el rango.

  1. f(x)=3x15x+2 f(x)=3x15x+2
  2. f(x)=4x2 f(x)=4x2

Punto de control 1.11

Halle el dominio y el rango de la función f(x)=(5x+2 )/(2 x1).f(x)=(5x+2 )/(2 x1).

Las funciones raíz f(x)=x1/nf(x)=x1/n tienen características determinantes en función de si nn es par o impar. Para todos los enteros pares n2 ,n2 , el dominio de f(x)=x1/nf(x)=x1/n es el intervalo [0,).[0,). Para todos los enteros impares n1,n1, el dominio de f(x)=x1/nf(x)=x1/n es el conjunto de todos los números reales. Ya que x1/n=(x)1/nx1/n=(x)1/n para los enteros impares n,f(x)=x1/nn,f(x)=x1/n es una función impar si nn es impar. Observe los gráficos de las funciones raíz para diferentes valores de nn en la Figura 1.21.

Imagen de dos gráficos. El primer gráfico está marcado "a" y tiene un eje x que va de -2 a 9 y un eje y que va de -4 a 4. El primer gráfico es de dos funciones. La primera función es "f(x) = raíz cuadrada de x", que es una función curva que empieza en el origen y aumenta. La segunda función es "f(x) = x hasta la 4.ª raíz", que es una función curva que comienza en el origen y aumenta, pero lo hace a un ritmo más lento que la primera función. El segundo gráfico está marcado "b" y tiene un eje x que va de -8 a 8 y un eje y que va de -4 a 4. El segundo gráfico es de dos funciones. La primera función es "f(x) = raíz cúbica de x", que es una función curva que aumenta hasta el origen, se vuelve vertical en el origen y vuelve a aumentar después del origen. La segunda función es "f(x) = x hasta la 5.ª raíz", que es una función curva que aumenta hasta el origen, se vuelve vertical en el origen y vuelve a aumentar después del origen, pero aumenta a un ritmo más lento que la primera función.
Figura 1.21 (a) Si n n es uniforme, el dominio de f ( x ) = x n f ( x ) = x n ¿es [ 0 , ) . [ 0 , ) . (b) Si n n es impar, el dominio de f ( x ) = x n f ( x ) = x n ¿es ( −∞ , ) ( −∞ , ) y la función f ( x ) = x n f ( x ) = x n es una función impar.

Ejemplo 1.17

Encontrar dominios para funciones algebraicas

En cada una de las siguientes funciones, determine el dominio de la función.

  1. f(x)=3x2 1f(x)=3x2 1
  2. f(x)=2 x+53x2 +4f(x)=2 x+53x2 +4
  3. f(x)=43xf(x)=43x
  4. f(x)=2 x13f(x)=2 x13

Punto de control 1.12

Halle el dominio de cada una de las siguientes funciones: f(x)=(52 x)/(x2 +2 )f(x)=(52 x)/(x2 +2 ) y g(x)=5x1.g(x)=5x1.

Funciones trascendentales

Hasta ahora hemos hablado de las funciones algebraicas. Sin embargo, algunas funciones no pueden describirse mediante las operaciones algebraicas básicas. Estas funciones se conocen como funciones trascendentales porque se dice que "trascienden" o van más allá del álgebra. Las funciones trascendentales más comunes son las trigonométricas, las exponenciales y las logarítmicas. La función trigonométrica relaciona las razones de dos lados de un triángulo rectángulo. Son senx,cosx,tanx,cotx,secx,ycscx senx,cosx,tanx,cotx,secx,ycscx (Más adelante hablaremos de las funciones trigonométricas). Una función exponencial es la función de la forma f(x)=bx,f(x)=bx, donde la base b>0,b1.b>0,b1. Una función logarítmica es la función de la forma f(x)=logb(x)f(x)=logb(x) para alguna constante b>0,b1,b>0,b1, donde logb(x)=ylogb(x)=y si y solo si by=x.by=x. (Más adelante en el capítulo también hablaremos de las funciones exponenciales y logarítmicas).

Ejemplo 1.18

Clasificación de las funciones algebraicas y trascendentales

Clasifique cada una de las siguientes funciones, de la a. hasta la c., como algebraicas o trascendentales.

  1. f(x)=x3+14x+2 f(x)=x3+14x+2
  2. f(x)=2 x2 f(x)=2 x2
  3. f(x)=sen(2 x)f(x)=sen(2 x)

Punto de control 1.13

Es f(x)=x/2 f(x)=x/2 una función algebraica o trascendental?

Funciones definidas a trozos

A veces, una función está definida por diferentes fórmulas en diferentes partes de su dominio. Una función con esta propiedad se conoce como función definida a trozos. La función de valor absoluto es un ejemplo de función definida a trozos porque la fórmula cambia con el signo de x:x:

f(x)={x,x<0x,x0.f(x)={x,x<0x,x0.

Otras funciones definidas a trozos pueden representarse con fórmulas completamente diferentes, según la parte del dominio en la que cae un punto. Para graficar una función definida a trozos, graficamos cada parte de la función en su respectivo dominio en el mismo sistema de coordenadas. Si la fórmula de una función es diferente para x<ax<a y x>a,x>a, debemos prestar especial atención a lo que ocurre en x=ax=a cuando grafiquemos la función. A veces, el gráfico debe incluir un círculo abierto o cerrado para indicar el valor de la función en x=a.x=a. Lo examinamos en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 1.19

Graficar una función definida a trozos

Dibuje el gráfico de la siguiente función definida a trozos:

f(x)={x+3,x<1(x2 )2 ,x1.f(x)={x+3,x<1(x2 )2 ,x1.

Punto de control 1.14

Dibuje un gráfico de la función

f(x)={2 x,x2 x+2 ,x>2 .f(x)={2 x,x2 x+2 ,x>2 .

Ejemplo 1.20

Tarifas de estacionamiento descritas por una función definida a trozos

En una gran ciudad, a los conductores se les cobra una tarifa variable por aparcar en un garaje. Se les cobra 10 dólares por la primera hora o cualquier parte de la primera hora y 2 dólares adicionales por cada hora o parte de la misma hasta un máximo de 30 dólares por día. El estacionamiento está abierto desde las 6 a. m. hasta las 12 a. m.

  1. Escriba una función definida a trozos que describa cuánto cuesta CC estacionar en el garaje en función de las horas de estacionamiento x.x.
  2. Dibuje un gráfico de esta función C(x).C(x).

Punto de control 1.15

El costo del envío de una carta está en función de su peso. Supongamos que el costo del envío de una carta es de 49¢49¢ para la primera onza y 21¢21¢ por cada onza adicional. Escriba una función definida a trozos que describa el costo CC en función del peso xx por 0<x3,0<x3, donde CC se mide en céntimos y xx se mide en onzas.

Transformaciones de funciones

Hemos visto varios casos en los que hemos sumado, restado o multiplicado constantes para formar variaciones de funciones simples. En el ejemplo anterior, por ejemplo, hemos restado 2 al argumento de la función y=x2 y=x2 para obtener la función f(x)=(x2 )2 .f(x)=(x2 )2 . Esta sustracción representa un desplazamiento de la función y=x2 y=x2 en dos unidades a la derecha. Un desplazamiento, horizontal o vertical, es un tipo de transformación de una función. Otras transformaciones incluyen escalas horizontales y verticales, y reflexiones sobre los ejes.

El desplazamiento vertical de una función se produce si sumamos o restamos la misma constante a cada salida y.y. Para c>0,c>0, el gráfico de f(x)+cf(x)+c es un desplazamiento del gráfico de f(x)f(x) que sube en unidades cc, mientras que el gráfico de f(x)cf(x)c es un desplazamiento del gráfico de f(x)f(x) que baja en unidades cc. Por ejemplo, el gráfico de la función f(x)=x2 +4f(x)=x2 +4 es el gráfico de y=x2 y=x2 que se desplazó hacia arriba en 44 unidades; el gráfico de la función f(x)=x2 4f(x)=x2 4 es el gráfico de y=x2 y=x2 que se desplaza hacia abajo en 44 unidades (Figura 1.23).

Imagen de dos gráficos. El primer gráfico está marcado "a" y tiene un eje x que va de -4 a 4 y un eje y que va de -1 a 10. El gráfico es de dos funciones. La primera función es "f(x) = x al cuadrado", que es una parábola que disminuye hasta el origen y vuelve a aumentar después del origen. La segunda función es "f(x) = (x al cuadrado) + 4", que es una parábola que disminuye hasta el punto (0, 4) y vuelve a aumentar después del origen. Las dos funciones tienen la misma forma, pero la segunda función se desplazó en 4 unidades hacia arriba. El segundo gráfico está marcado "b" y tiene un eje x que va de -4 a 4 y un eje y que va de -5 a 6. El gráfico es de dos funciones. La primera función es "f(x) = x al cuadrado", que es una parábola que disminuye hasta el origen y vuelve a aumentar después del origen. La segunda función es "f(x) = (x al cuadrado) - 4", que es una parábola que disminuye hasta el punto (0, -4) y vuelve a aumentar después del origen. Las dos funciones tienen la misma forma, pero la segunda función se desplazó hacia abajo en 4 unidades.
Figura 1.23 (a) Para c > 0 , c > 0 , el gráfico de y = f ( x ) + c y = f ( x ) + c es un desplazamiento vertical hacia arriba en unidades c c del gráfico de y = f ( x ) . y = f ( x ) . (b) Para c > 0 , c > 0 , el gráfico de y = f ( x ) c y = f ( x ) c es un desplazamiento vertical hacia abajo en unidades c c del gráfico de y = f ( x ) . y = f ( x ) .

El desplazamiento horizontal de una función se produce si sumamos o restamos la misma constante a cada entrada x.x. Para c>0,c>0, el gráfico de f(x+c)f(x+c) es un desplazamiento del gráfico de f(x)f(x) a la izquierda en unidades cc; el gráfico de f(xc)f(xc) es un desplazamiento del gráfico de f(x)f(x) a la derecha en cc. ¿Por qué el gráfico se desplaza a la izquierda cuando se suma una constante y se desplaza a la derecha cuando se resta una constante? Para responder esta pregunta, veamos un ejemplo.

Considere la función f(x)=|x+3|f(x)=|x+3| y evalúe esta función en x3.x3. Dado que f(x3)=|x|f(x3)=|x| y x3<x,x3<x, el gráfico de f(x)=|x+3|f(x)=|x+3| es el gráfico de y=|x|y=|x| desplazado a la izquierda en 3 unidades. Del mismo modo, el gráfico de f(x)=|x3|f(x)=|x3| es el gráfico de y=|x|y=|x| desplazado a la derecha en 33 unidades (Figura 1.24).

Imagen de dos gráficos. El primer gráfico está marcado "a" y tiene un eje x que va de -8 a 5 y un eje y que va de -3 a 5. El gráfico es de dos funciones. La primera función es "f(x) = valor absoluto de x", que disminuye en una línea recta hasta el origen y vuelve a aumentar en una línea recta después del origen. La segunda función es "f(x) = valor absoluto de (x + 3)", que disminuye en una línea recta hasta el punto (–3, 0) y vuelve a aumentar en una línea recta después del punto (–3, 0). Las dos funciones tienen la misma forma, pero la segunda función está desplazada en 3 unidades a la izquierda. El segundo gráfico se denomina "b" y tiene un eje x que va de -5 a 8 y un eje y que va de -3 a 5. El gráfico es de dos funciones. La primera función es "f(x) = valor absoluto de x", que disminuye en una recta hasta el origen y vuelve a aumentar en una recta después del origen. La segunda función es "f(x) = valor absoluto de (x – 3)", que disminuye en una línea recta hasta el punto (3, 0) y vuelve a aumentar en una línea recta después del punto (3, 0). Las dos funciones tienen la misma forma, pero la segunda función está desplazada a la derecha en 3 unidades.
Figura 1.24 (a) Para c > 0 , c > 0 , el gráfico de y = f ( x + c ) y = f ( x + c ) es un desplazamiento horizontal hacia la izquierda en unidades c c del gráfico de y = f ( x ) . y = f ( x ) . (b) Para c > 0 , c > 0 , el gráfico de y = f ( x c ) y = f ( x c ) es un desplazamiento horizontal hacia la derecha en unidades c c del gráfico de y = f ( x ) . y = f ( x ) .

Se produce un escalado vertical de un gráfico si multiplicamos todas las salidas yy de una función por la misma constante positiva. Para c>0,c>0, el gráfico de la función cf(x)cf(x) es el gráfico de f(x)f(x) escalado verticalmente por un factor de c.c. Si c>1,c>1, los valores de salida de la función cf(x)cf(x) son mayores que los valores de salida de la función f(x);f(x); por lo tanto, el gráfico se ha estirado verticalmente. Si los valores de 0<c<1,0<c<1, entonces los valores de salida de la función cf(x)cf(x) son más pequeños, por lo que el gráfico se ha comprimido. Por ejemplo, el gráfico de la función f(x)=3x2 f(x)=3x2 es el gráfico de y=x2 y=x2 estirado verticalmente por un factor de 3, mientras que el gráfico de f(x)=x2 /3f(x)=x2 /3 es el gráfico de y=x2 y=x2 comprimido verticalmente por un factor de 33 (Figura 1.25).

Imagen de dos gráficos. El primer gráfico está marcado "a" y tiene un eje x que va de -3 a 3 y un eje y que va de -2 a 9. El gráfico es de dos funciones. La primera función es "f(x) = x al cuadrado", que es una parábola que disminuye hasta el origen y vuelve a aumentar después del origen. La segunda función es "f(x) = 3(x al cuadrado)", que es una parábola que disminuye hasta el origen y vuelve a aumentar después del origen, pero se estira verticalmente y, por tanto, aumenta a un ritmo más rápido que la primera función. El segundo gráfico está marcado "b" y tiene un eje x que va de -4 a 4 y un eje y que va de -2 a 9. El gráfico es de dos funciones. La primera función es "f(x) = x al cuadrado", que es una parábola que disminuye hasta el origen y vuelve a aumentar después del origen. La segunda función es "f(x) = (1/3)(x al cuadrado)", que es una parábola que disminuye hasta el origen y vuelve a aumentar después del origen, pero está comprimida verticalmente y por eso aumenta a un ritmo más lento que la primera función.
Figura 1.25 (a) Si c > 1 , c > 1 , el gráfico de y = c f ( x ) y = c f ( x ) es un estiramiento vertical del gráfico de y = f ( x ) . y = f ( x ) . (b) Si 0 < c < 1 , 0 < c < 1 , el gráfico de y = c f ( x ) y = c f ( x ) es una compresión vertical del gráfico de y = f ( x ) . y = f ( x ) .

El escalado horizontal de una función se produce si multiplicamos las entradas xx por la misma constante positiva. Para c>0,c>0, el gráfico de la función f(cx)f(cx) es el gráfico de f(x)f(x) escalado horizontalmente por un factor de c.c. Si c>1,c>1, el gráfico de f(cx)f(cx) es el gráfico de f(x)f(x) comprimido horizontalmente. Si los valores de 0<c<1,0<c<1, el gráfico de f(cx)f(cx) es el gráfico de f(x)f(x) estirado horizontalmente. Por ejemplo, consideremos la función f(x)=2 xf(x)=2 x y evaluar ff en x/2 .x/2 . Dado que f(x/2 )=x,f(x/2 )=x, el gráfico de f(x)=2 xf(x)=2 x es el gráfico de y=xy=x comprimido horizontalmente. El gráfico de y=x/2 y=x/2 es un estiramiento horizontal del gráfico de y=xy=x (Figura 1.26).

Imagen de dos gráficos. Ambos gráficos tienen un eje x que va de -2 a 4 y un eje y que va de -2 a 5. El primer gráfico está marcado como "a" y es de dos funciones. El primer gráfico es de dos funciones. La primera función es "f(x) = raíz cuadrada de x", que es una función curva que empieza en el origen y aumenta. La segunda función es "f(x) = raíz cuadrada de 2x", que es una función curva que comienza en el origen y aumenta, pero a un ritmo más rápido que la primera función. El segundo gráfico está marcado como "b" y es de dos funciones. La primera función es "f(x) = raíz cuadrada de x", que es una función curva que empieza en el origen y aumenta. La segunda función es "f(x) = raíz cuadrada de (x/2)", que es una función curva que comienza en el origen y aumenta, pero a un ritmo más lento que la primera función.
Figura 1.26 (a) Si c > 1 , c > 1 , el gráfico de y = f ( c x ) y = f ( c x ) es una compresión horizontal del gráfico de y = f ( x ) . y = f ( x ) . (b) Si 0 < c < 1 , 0 < c < 1 , el gráfico de y = f ( c x ) y = f ( c x ) es un estiramiento horizontal del gráfico de y = f ( x ) . y = f ( x ) .

Hemos explorado lo que ocurre con el gráfico de una función ff cuando multiplicamos ff por una constante c>0c>0 para obtener una nueva función cf(x).cf(x). También hemos hablado de lo que ocurre con el gráfico de una función ff cuando multiplicamos la variable independiente xx por c>0c>0 para obtener una nueva función f(cx).f(cx). Sin embargo, no hemos abordado qué ocurre con el gráfico de la función si la constante cc es negativa. Si tenemos una constante c<0,c<0, podemos escribir c como un número positivo multiplicado por −1;−1; pero, ¿qué tipo de transformación obtenemos cuando multiplicamos la función o su argumento por −1?−1? Cuando multiplicamos todas las salidas por −1,−1, obtenemos una reflexión sobre el eje xx. Cuando multiplicamos todas las entradas por −1,−1, obtenemos una reflexión sobre el eje yy. Por ejemplo, el gráfico de f(x)=(x3+1)f(x)=(x3+1) es el gráfico de y=(x3+1)y=(x3+1) reflejado sobre el eje xx. El gráfico de f(x)=(x)3+1f(x)=(x)3+1 es el gráfico de y=x3+1y=x3+1 reflejado sobre el eje yy (Figura 1.27).

Imagen de dos gráficos. Ambos gráficos tienen un eje x que va de -3 a 3 y un eje y que va de -5 a 6. El primer gráfico está marcado como "a" y es de dos funciones. El primer gráfico es de dos funciones. La primera función es "f(x) = x al cubo + 1", que es una función curva creciente con una intersección x en (-1, 0) y una intersección y en (0, 1). La segunda función es "f(x) = -(x al cubo + 1)", que es una función curva decreciente con una intersección x en (-1, 0) y una intersección y en (0, -1). El segundo gráfico está marcado como "b" y es de dos funciones. La primera función es "f(x) = x al cubo + 1", que es una función curva creciente con una intersección x en (-1, 0) y una intersección y en (0, 1). La segunda función es "f(x) = (-x) al cubo + 1", que es una función curva decreciente con una intersección x en (1, 0) y una intersección y en (0, 1). La primera función aumenta al mismo ritmo que la segunda función disminuye para los mismos valores de x.
Figura 1.27 (a) El gráfico de y = f ( x ) y = f ( x ) es el gráfico de y = f ( x ) y = f ( x ) reflejado sobre el eje x x . (b) El gráfico de y = f ( x ) y = f ( x ) es el gráfico de y = f ( x ) y = f ( x ) reflejado sobre el eje
y y .

Si el gráfico de una función consiste en más de una transformación de otro gráfico, es importante transformar el gráfico en el orden correcto. Dada una función f(x),f(x), el gráfico de la función relacionada y=cf(a(x+b))+dy=cf(a(x+b))+d puede obtenerse del gráfico de y=f(x)y=f(x) realizando las transformaciones en el orden siguiente.

  1. El escalado horizontal del gráfico de y=f(x+b)y=f(x+b) por un factor de |a|.|a|. Si a<0,a<0, el gráfico se refleja sobre el eje yy.
  2. Desplazamiento horizontal del gráfico de y=f(x).y=f(x). Si b>0,b>0, el desplazamiento es hacia la izquierda. Si los valores de b<0,b<0, el desplazamiento es hacia la derecha.
  3. El escalado vertical del gráfico de y=f(a(x+b))y=f(a(x+b)) por un factor de |c|.|c|. Si c<0,c<0, el gráfico se refleja sobre el eje xx.
  4. Desplazamiento vertical del gráfico de y=cf(a(x+b)).y=cf(a(x+b)). Si d>0,d>0, se desplaza hacia arriba. Si los valores de d<0,d<0, se desplaza hacia abajo.

En la siguiente tabla podemos resumir las diferentes transformaciones y sus efectos relacionados en el gráfico de una función.

Transformación de f(c>0)f(c>0) Efecto en el gráfico de ff
f(x)+cf(x)+c Desplazamiento vertical hacia arriba en cc unidades
f(x)cf(x)c Desplazamiento vertical hacia abajo en cc unidades
f(x+c)f(x+c) Desplazamiento a la izquierda por cc unidades
f(xc)f(xc) Desplazamiento a la derecha en cc unidades
cf(x)cf(x) Estiramiento vertical si c>1;c>1;
compresión vertical si 0<c<10<c<1
f(cx)f(cx) Estiramiento horizontal si 0<c<1;0<c<1; compresión horizontal si c>1c>1
f(x)f(x) Reflexión sobre el eje xx
f(x)f(x) Reflexión sobre el eje yy
Tabla 1.7 Transformaciones de funciones

Ejemplo 1.21

Transformación de una función

Para cada una de las siguientes funciones, a. y b., dibuje un gráfico utilizando una secuencia de transformaciones de una función conocida.

  1. f(x)=|x+2 |3f(x)=|x+2 |3
  2. f(x)=3x+1f(x)=3x+1

Punto de control 1.16

Describa cómo la función f(x)=(x+1)2 4f(x)=(x+1)2 4 se puede graficar utilizando el gráfico de y=x2 y=x2 y una secuencia de transformaciones.

Sección 1.2 ejercicios

En los siguientes ejercicios, para cada par de puntos, a. halle la pendiente de la línea que pasa por los puntos y b. indique si la línea es creciente, decreciente, horizontal o vertical.

59.

(–2,4)(–2,4) y (1,1)(1,1)

60.

(–1,4)(–1,4) y (3,–1)(3,–1) grandes.

61.

(3,5)(3,5) y (–1,2 )(–1,2 )

62.

(6,4)(6,4) y (4,−3)(4,−3) grandes.

63.

(2 ,3)(2 ,3) y (5,7)(5,7)

64.

(1,9)(1,9) y (–8,5)(–8,5) grandes.

65.

(2 ,4)(2 ,4) y (1,4)(1,4)

66.

(1,4)(1,4) y (1,0)(1,0)

En los siguientes ejercicios, escriba la ecuación de la línea que satisface las condiciones dadas en la forma pendiente-intersección.

67.

La pendiente =–6,=–6, pasa por (1,3)(1,3) grandes.

68.

La pendiente de intersección =3,=3, pasa por (−3,2 )(−3,2 )

69.

La pendiente de intersección =13,=13, pasa por (0,4)(0,4) grandes.

70.

La pendiente de intersección =2 5,x=2 5,x =8=8

71.

Pasa por la intersección (2 ,1)(2 ,1) y (–2,–1)(–2,–1) grandes.

72.

Pasa por la intersección (−3,7)(−3,7) y (1,2 )(1,2 ) grandes.

73.

xx =5=5 y la intersección yy =−3=−3

74.

xx =–6=–6 y yy =9=9

En los siguientes ejercicios, para cada ecuación lineal, a. indique la pendiente mm y la intersección yy b, si la hay, y b. grafique la línea.

75.

y = 2 x 3 y = 2 x 3

76.

y = 1 7 x + 1 y = 1 7 x + 1

77.

f ( x ) = −6 x f ( x ) = −6 x

78.

f ( x ) = −5 x + 4 f ( x ) = −5 x + 4

79.

4 y + 24 = 0 4 y + 24 = 0

80.

8 x 4 = 0 8 x 4 = 0

81.

2 x + 3 y = 6 2 x + 3 y = 6

82.

6 x 5 y + 15 = 0 6 x 5 y + 15 = 0

En los siguientes ejercicios, para cada polinomio, a. halle el grado; b. halle los ceros, si los hay; c. halle la(s) intersección(es) yy, si la(s) hay; d. utilice el coeficiente líder para determinar el comportamiento final del gráfico; y e. determine algebraicamente si el polinomio es par, impar o ninguno de los dos.

83.

f ( x ) = 2 x 2 3 x 5 f ( x ) = 2 x 2 3 x 5

84.

f ( x ) = −3 x 2 + 6 x f ( x ) = −3 x 2 + 6 x

85.

f ( x ) = 1 2 x 2 1 f ( x ) = 1 2 x 2 1

86.

f ( x ) = x 3 + 3 x 2 x 3 f ( x ) = x 3 + 3 x 2 x 3

87.

f ( x ) = 3 x x 3 f ( x ) = 3 x x 3

Para los siguientes ejercicios, utilice el gráfico de f(x)=x2 f(x)=x2 para graficar cada función transformada g.g.

88.

g ( x ) = x 2 1 g ( x ) = x 2 1

89.

g ( x ) = ( x + 3 ) 2 + 1 g ( x ) = ( x + 3 ) 2 + 1

En los siguientes ejercicios, utilice el gráfico de f(x)=xf(x)=x para graficar cada función transformada g.g.

90.

g ( x ) = x + 2 g ( x ) = x + 2

91.

g ( x ) = x 1 g ( x ) = x 1

En los siguientes ejercicios, utilice el gráfico de y=f(x)y=f(x) para graficar cada función transformada g.g.

Imagen de un gráfico. El eje x va de -5 a 5 y el eje y va de -5 a 5. El gráfico muestra una función que comienza en el punto (-3, 0), donde empieza a aumentar hasta el punto (-1, 2). Después del punto (-1, 2), la función se convierte en una línea horizontal y se mantiene así hasta el punto (1, 2). Después del punto (1, 2), la función comienza a disminuir hasta el punto (3, 0), donde termina.
92.

g ( x ) = f ( x ) + 1 g ( x ) = f ( x ) + 1

93.

g ( x ) = f ( x 1 ) + 2 g ( x ) = f ( x 1 ) + 2

En los siguientes ejercicios, para cada una de las funciones definidas a trozos, a. considere los valores dados de la variable independiente y b. dibuje el gráfico.

94.

f(x)={4x+3,x0x+1,x>0;f(−3);f(0);f(2 )f(x)={4x+3,x0x+1,x>0;f(−3);f(0);f(2 ) grandes.

95.

f ( x ) = { x 2 3 , x < 0 4 x 3 , x 0 ; f ( –4 ) ; f ( 0 ) ; f ( 2 ) f ( x ) = { x 2 3 , x < 0 4 x 3 , x 0 ; f ( –4 ) ; f ( 0 ) ; f ( 2 )

96.

h(x)={x+1,x54,x>5;h(0);h(π);h(5)h(x)={x+1,x54,x>5;h(0);h(π);h(5) grandes.

97.

g ( x ) = { 3x2 ,x2 4,x=2 ; g ( 0 ) ; g ( –4 ) ; g ( 2 ) g ( x ) = { 3x2 ,x2 4,x=2 ; g ( 0 ) ; g ( –4 ) ; g ( 2 )

En los siguientes ejercicios, determine si la afirmación es verdadera o falsa. Explique por qué.

98.

f(x)=(4x+1)/(7x2 )f(x)=(4x+1)/(7x2 ) es una función trascendental.

99.

g(x)=x3g(x)=x3 es una función raíz impar

100.

Una función logarítmica es una función algebraica.

101.

Una función de la forma f(x)=xb,f(x)=xb, donde bb es una constante de valor real, es una función exponencial.

102.

El dominio de una función raíz par son todos los números reales.

103.

[T] Una compañía compra un equipo informático por 20.500 dólares. Al final de un periodo de 3 años, el valor del equipo ha disminuido linealmente a 12.300 dólares.

  1. Halle una función y=V(t)y=V(t) que determine el valor V del equipo al cabo de t años.
  2. Halle e interprete el significado de las intersecciones xx y yy para esta situación.
  3. ¿Cuál es el valor del equipo al cabo de 5 años?
  4. ¿Cuándo el valor del equipo será de 3.000 dólares?
104.

[T] El total de las compras en línea durante las fiestas navideñas ha aumentado considerablemente en los últimos 5 años. En 2012 (t=0),(t=0), las ventas navideñas totales en línea fueron de 42.300 millones de dólares, mientras que en 2013 fueron de 48.100 millones de dólares.

  1. Halle una función lineal S que estime el total de las ventas navideñas en línea en el año t.
  2. Interprete la pendiente del gráfico de S.
  3. Utilice la parte a. para predecir el año en que las compras en línea de la Navidad alcanzarán los 60.000 millones de dólares.
105.

[T] Una panadería familiar hace cupcakes y los vende en festivales locales al aire libre. Para un festival de música, hay un costo fijo de 125 dólares para montar un puesto de cupcakes. La propietaria calcula que hacer cada uno cuesta 0,75 dólares, y está interesada en determinar el costo total CC en función del número de cupcakes elaborados.

  1. Halle una función lineal que relacione el costo C con x, el número de cupcakes hechos.
  2. Halle el costo de hornear 160 cupcakes.
  3. Si la propietaria vende los cupcakes a 1,50 dólares cada uno, ¿cuántos necesita vender para empezar a obtener beneficios? (Pista: Utiliza la función INTERSECCIÓN en una calculadora para encontrar este número).
106.

[T] Se espera que una casa que costó 250.000 dólares valga el doble de su precio de compra en 18 años.

  1. Halle una función lineal que modele el precio P de la casa frente al número de años t desde la compra original.
  2. Interpreta la pendiente del gráfico de P.
  3. Halle el precio de la casa 15 años después de su compra.
107.

[T] Alguien compró un automóvil por 26.000 dólares. El valor del auto se deprecia 1.500 dólares al año.

  1. Halle una función lineal que modele el valor V del automóvil después de t años.
  2. Halle e interprete V(4).V(4).
108.

[T] Se compró un condominio en una zona exclusiva de la ciudad por 432.000 dólares. En 35 años valdrá 60.500 dólares. Halle la tasa de depreciación.

109.

[T] El costo total C para producir un determinado artículo se modela mediante la función C(x)=10,50x+28.500,C(x)=10,50x+28.500, donde x es el número de artículos producidos. Determine el costo de producción de 175 artículos.

110.

[T] Un profesor le pide a su clase que informe la cantidad de tiempo t que han dedicado a escribir dos tareas. La mayoría de los estudiantes afirman que les toma unos 45 minutos teclear un trabajo de cuatro páginas y 1,5 horas teclear uno de nueve.

  1. Halle la función lineal y=N(t)y=N(t) que modela esta situación, donde NN es el número de páginas escritas y t es el tiempo en minutos.
  2. Utilice la parte a. para determinar cuántas páginas se pueden escribir en 2 horas.
  3. Utilice la parte a. para determinar el tiempo que se tarda en escribir una tarea de 20 páginas.
111.

[T] El rendimiento (como porcentaje de la capacidad total) de las centrales nucleares de Estados Unidos puede modelarse mediante la función P(t)=1,8576t+68,052,P(t)=1,8576t+68,052, donde t es el tiempo en años y t=0t=0 corresponde a principios del año 2000. Utilice el modelo para predecir el porcentaje de rendimiento en 2015.

112.

[T] La oficina de admisiones de una universidad pública estima que el 65 % de los estudiantes a los que se les ofreció la admisión en la clase de 2019 se matricularán realmente.

  1. Halle la función lineal y=N(x),y=N(x), donde NN es el número de estudiantes que realmente se matriculan y xx es el número de todos los estudiantes a los que se les ofreció la admisión en la clase de 2019.
  2. Si la universidad quiere que el tamaño de la clase de primer año de 2019 sea de 1350, determine cuántos estudiantes deben admitirse.
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