Omitir e ir al contenidoIr a la página de accesibilidadMenú de atajos de teclado
Logo de OpenStax
Cálculo volumen 1

1.1 Repaso de las funciones

Cálculo volumen 11.1 Repaso de las funciones

Menú
Índice
  1. Prefacio
  2. 1 Funciones y gráficos
    1. Introducción
    2. 1.1 Repaso de las funciones
    3. 1.2 Clases básicas de funciones
    4. 1.3 Funciones trigonométricas
    5. 1.4 Funciones inversas
    6. 1.5 Funciones exponenciales y logarítmicas
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  3. 2 Límites
    1. Introducción
    2. 2.1 Un repaso previo del cálculo
    3. 2.2 El límite de una función
    4. 2.3 Las leyes de los límites
    5. 2.4 Continuidad
    6. 2.5 La definición precisa de un límite
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  4. 3 Derivadas
    1. Introducción
    2. 3.1 Definir la derivada
    3. 3.2 La derivada como función
    4. 3.3 Reglas de diferenciación
    5. 3.4 Las derivadas como tasas de cambio
    6. 3.5 Derivadas de funciones trigonométricas
    7. 3.6 La regla de la cadena
    8. 3.7 Derivadas de funciones inversas
    9. 3.8 Diferenciación implícita
    10. 3.9 Derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas
    11. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  5. 4 Aplicaciones de las derivadas
    1. Introducción
    2. 4.1 Tasas relacionadas
    3. 4.2 Aproximaciones lineales y diferenciales
    4. 4.3 Máximos y mínimos
    5. 4.4 El teorema del valor medio
    6. 4.5 Las derivadas y la forma de un gráfico
    7. 4.6 Límites al infinito y asíntotas
    8. 4.7 Problemas de optimización aplicados
    9. 4.8 La regla de L'Hôpital
    10. 4.9 Método de Newton
    11. 4.10 Antiderivadas
    12. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  6. 5 Integración
    1. Introducción
    2. 5.1 Aproximación de áreas
    3. 5.2 La integral definida
    4. 5.3 El teorema fundamental del cálculo
    5. 5.4 Fórmulas de integración y el teorema del cambio neto
    6. 5.5 Sustitución
    7. 5.6 Integrales con funciones exponenciales y logarítmicas
    8. 5.7 Integrales que resultan en funciones trigonométricas inversas
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  7. 6 Aplicaciones de la integración
    1. Introducción
    2. 6.1 Áreas entre curvas
    3. 6.2 Determinar los volúmenes mediante el corte
    4. 6.3 Volúmenes de revolución: capas cilíndricas
    5. 6.4 Longitud del arco de una curva y superficie
    6. 6.5 Aplicaciones físicas
    7. 6.6 Momentos y centros de masa
    8. 6.7 Integrales, funciones exponenciales y logaritmos
    9. 6.8 Crecimiento y decaimiento exponencial
    10. 6.9 Cálculo de las funciones hiperbólicas
    11. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  8. A Tabla de integrales
  9. B Tabla de derivadas
  10. C Repaso de Precálculo
  11. Clave de respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
  12. Índice

Objetivos de aprendizaje

  • 1.1.1 Utilizar la notación funcional para evaluar una función.
  • 1.1.2 Determinar el dominio y el rango de una función.
  • 1.1.3 Dibujar el gráfico de una función.
  • 1.1.4 Hallar los ceros de una función.
  • 1.1.5 Reconocer una función a partir de una tabla de valores.
  • 1.1.6 Crear nuevas funciones a partir de dos o más funciones dadas.
  • 1.1.7 Describir las propiedades de simetría de una función.

En esta sección proporcionaremos una definición formal de función y examinaremos varias formas de representar funciones: como tablas, fórmulas y gráficos. Estudiaremos la notación formal y los términos relacionados con las funciones. También definiremos la composición de las funciones y las propiedades de simetría. La mayor parte de este material será un repaso para usted, pero le será útil como referencia práctica para recordar algunas de las técnicas algebraicas útiles para trabajar con funciones.

Funciones

Dados dos conjuntos AA y B,B, un conjunto con elementos que son pares ordenados (x,y),(x,y), donde xx es un elemento de AA y yy es un elemento de B,B, es una relación de AA hasta B.B. Una relación de AA hasta BB define una relación entre esos dos conjuntos. Una función es un tipo especial de relación en la que cada elemento del primer conjunto está relacionado exactamente con un elemento del segundo conjunto. El elemento del primer conjunto se llama entrada; el elemento del segundo conjunto se llama salida. En matemáticas las funciones se utilizan constantemente para describir las relaciones entre dos conjuntos. Para cualquier función, cuando conocemos la entrada la salida está determinada, por lo que decimos que la salida es una función de la entrada. Por ejemplo, el área de un cuadrado está determinada por la longitud de su lado, por lo que decimos que el área (la salida) es una función de su longitud lateral (la entrada). La velocidad de una pelota lanzada al aire puede describirse como una función de la cantidad de tiempo que la pelota está en el aire. El costo del envío de un paquete es una función del peso del mismo. Dado que las funciones tienen tantos usos, es importante contar con definiciones y terminología precisas para estudiarlas.

Definición

Una función ff consiste en un conjunto de entradas, un conjunto de salidas y una regla para asignar cada entrada a exactamente una salida. El conjunto de entradas se denomina dominio de la función. El conjunto de salidas se denomina rango de la función.

Por ejemplo, consideremos la función f,f, donde el dominio es el conjunto de todos los números reales y la regla es elevar al cuadrado la entrada. Entonces, la entrada x=3x=3 se asigna a la salida 32 =9.32 =9. Como todo número real no negativo tiene una raíz cuadrada de valor real, todo número no negativo es un elemento del rango de esta función. Como no hay ningún número real con un cuadrado negativo, los números reales negativos no son elementos del rango. Concluimos que el rango es el conjunto de números reales no negativos.

Para una función general ff con dominio D,D, utilizamos a menudo xx para denotar la entrada y yy para denotar la salida asociada a x.x. Al hacerlo, nos referimos a xx como variable independiente y yy como variable dependiente, ya que depende de x.x. Utilizando la notación de funciones, escribimos y=f(x),y=f(x), y leemos esta ecuación como yy es igual a ff de x.x. Para la función cuadrática descrita anteriormente, escribimos f(x)=x2 .f(x)=x2 .

El concepto de función se puede visualizar mediante la Figura 1.2, la Figura 1.3 y la Figura 1.4.

Imagen con tres elementos. El primer elemento es un texto que dice "Entrada, x". Una flecha señala desde el primer elemento hasta el segundo, que es una caja con la marca "función". Una flecha apunta desde el segundo elemento al tercero, que es un texto que dice "Salida, f(x)".
Figura 1.2 Una función puede visualizarse como un dispositivo de entrada/salida.
Imagen con dos elementos. El primer elemento es una burbuja marcada como dominio. Dentro de la burbuja están los números 1, 2, 3 y 4. Una flecha con la marca "f" apunta desde el primer elemento hasta el segundo, que es una burbuja marcada como "rango". Dentro de esta burbuja están los números 2, 4 y 6. Una flecha señala desde el 1 de la burbuja de dominio hasta el 6 de la burbuja de rango. Una flecha señala desde el 1 de la burbuja de dominio hasta el 6 de la burbuja de rango. Una flecha señala desde el 2 de la burbuja de dominio hasta el 4 de la burbuja de rango. Una flecha señala desde el 3 de la burbuja de dominio hasta el 2 de la burbuja de rango. Una flecha señala desde el 4 de la burbuja de dominio hasta el 2 de la burbuja de rango.
Figura 1.3 Una función asigna cada elemento del dominio a exactamente un elemento del rango. Aunque cada entrada solo puede enviarse a una salida, dos entradas diferentes pueden enviarse a la misma salida.
Imagen de un gráfico. El eje y va de 0 a 3 y tiene la marca "variable dependiente, y = f(x)". El eje x va de 0 a 5 y tiene la marca "variable independiente, x". Hay tres puntos en el gráfico. El primer punto está en (1, 2) y tiene la marca "(1, f(1)) = (1, 2)". El segundo punto está en (2, 1) y tiene la marca "(2, f(2))=(2,1)". El tercer punto está en (3, 2) y tiene la marca "(3, f(3)) = (3,2)". Hay un texto en el eje y que dice "rango = {1, 2}" y un texto en el eje x que dice "dominio = {1,2,3}".
Figura 1.4 En este caso, el gráfico de una función f f tiene un dominio de { 1 , 2 , 3 } { 1 , 2 , 3 } y un rango de { 1 , 2 } . { 1 , 2 } . La variable independiente es x x y la variable dependiente es y . y .

Medios

Visite este enlace a la miniaplicación para ver más sobre gráficos de funciones.

También podemos visualizar una función trazando puntos (x,y)(x,y) en el plano de coordenadas donde y=f(x).y=f(x). El gráfico de una función es el conjunto de todos estos puntos. Por ejemplo, consideremos la función f,f, donde el dominio es el conjunto D={1,2 ,3}D={1,2 ,3} y la regla es f(x)=3x.f(x)=3x. En la Figura 1.5, trazamos un gráfico de esta función.

Imagen de un gráfico. El eje y va de 0 a 5. El eje x va de 0 a 5. Hay tres puntos en el gráfico en (1, 2), (2, 1) y (3, 0). Hay un texto a lo largo del eje y que dice "rango = {0,1,2}" y un texto a lo largo del eje x que dice "dominio = {1,2,3}".
Figura 1.5 Aquí vemos un gráfico de la función f f con dominio { 1 , 2 , 3 } { 1 , 2 , 3 } y regla f ( x ) = 3 x . f ( x ) = 3 x . El gráfico está formado por los puntos ( x , f ( x ) ) ( x , f ( x ) ) para todo x x en el dominio.

Toda función tiene un dominio. Sin embargo, a veces una función se describe mediante una ecuación, como en f(x)=x2 ,f(x)=x2 , sin que se indique un dominio específico. En este caso, el dominio se toma como el conjunto de todos los números reales xx en el que f(x)f(x) es un número real. Por ejemplo, como cualquier número real puede ser elevado al cuadrado, si no se especifica ningún otro dominio, consideramos el dominio de f(x)=x2 f(x)=x2 para ser el conjunto de todos los números reales. Por otro lado, la función raíz cuadrada f(x)=xf(x)=x solo da una salida con sentido si xx no es negativo. Por lo tanto, el dominio de la función f(x)=xf(x)=x es el conjunto de los números reales no negativos, a veces llamado dominio natural.

Para las funciones f(x)=x2 f(x)=x2 y f(x)=x,f(x)=x, los dominios son conjuntos con un número infinito de elementos. Es evidente que no podemos enumerar todos estos elementos. Cuando se describe un conjunto con un número infinito de elementos, suele ser útil utilizar la notación de conjunto o de intervalo. Cuando se utiliza la notación de construcción de conjuntos para describir un subconjunto de todos los números reales, denotado ,, escribimos

{x|xtiene alguna propiedad}.{x|xtiene alguna propiedad}.

Leemos esto como el conjunto de números reales xx tal que xx tiene alguna propiedad. Por ejemplo, si nos interesamos en el conjunto de números reales que son mayores que uno pero menores que cinco, podríamos denotar este conjunto utilizando la notación de construcción de conjuntos escribiendo

{x|1<x<5}.{x|1<x<5}.

Un conjunto como éste, que contiene todos los números mayores que aa y menores que b,b, también se puede denotar utilizando la notación intervalo (a,b).(a,b). Por lo tanto,

(1,5)={x|1<x<5}.(1,5)={x|1<x<5}.

Los números 11 y 55 se denominan puntos finales de este conjunto. Si queremos considerar el conjunto que incluye los puntos finales, lo denotaríamos escribiendo

[1,5]={x|1x5}.[1,5]={x|1x5}.

Podemos utilizar una notación similar si queremos incluir uno de los extremos, pero no el otro. Para denotar el conjunto de los números reales no negativos utilizaremos la notación de construcción de conjuntos

{x|0x}.{x|0x}.

El número más pequeño de este conjunto es el cero, pero este conjunto no tiene un número mayor. Utilizando la notación intervalo, usaríamos el símbolo ,, que se refiere al infinito positivo, y escribiríamos el conjunto como

[0,)={x|0x}.[0,)={x|0x}.

Es importante señalar que no es un número real. Su uso aquí es simbólico e indica que este conjunto incluye todos los números reales mayores o iguales a cero. Del mismo modo, si quisiéramos describir el conjunto de todos los números no positivos, podríamos escribir

(,0]={x|x0}.(,0]={x|x0}.

Aquí, la notación se refiere al infinito negativo, e indica que estamos incluyendo todos los números menores o iguales a cero, por muy pequeños que sean. El conjunto

(,)={x|xes cualquier número real}(,)={x|xes cualquier número real}

se refiere al conjunto de todos los números reales.

Algunas funciones se definen utilizando diferentes ecuaciones para diferentes partes de su dominio. Este tipo de funciones se conocen como funciones definidas a trozos. Por ejemplo, supongamos que queremos definir una función ff con un dominio que es el conjunto de todos los números reales tales que f(x)=3x+1f(x)=3x+1 para x2 x2 y f(x)=x2 f(x)=x2 por x<2 .x<2 . Denotamos esta función escribiendo

f(x)={3x+1x2 x2 x<2 .f(x)={3x+1x2 x2 x<2 .

Al evaluar esta función para una entrada x,x, la ecuación a utilizar depende de si x2 x2 o x<2 .x<2 . Por ejemplo, ya que 5>2 ,5>2 , utilizamos el hecho de que f(x)=3x+1f(x)=3x+1 para x2 x2 y observamos que f(5)=3(5)+1=16.f(5)=3(5)+1=16. Por otro lado, para x=−1,x=−1, utilizamos el hecho de que f(x)=x2 f(x)=x2 por x<2 x<2 y observamos que f(–1)=1.f(–1)=1.

Ejemplo 1.1

Evaluación de funciones

Para la función f(x)=3x2 +2 x1,f(x)=3x2 +2 x1, evaluar

  1. f(−2)f(−2) grandes.
  2. f(2 )f(2 ) grandes.
  3. f(a+h)f(a+h)

Punto de control 1.1

Para f(x)=x2 3x+5,f(x)=x2 3x+5, evaluar f(1)f(1) y f(a+h).f(a+h).

Ejemplo 1.2

Hallar el dominio y el rango

Para cada una de las siguientes funciones determine el i. dominio y el ii. rango.

  1. f(x)=(x4)2 +5f(x)=(x4)2 +5
  2. f(x)=3x+2 1f(x)=3x+2 1
  3. f(x)=3x2 f(x)=3x2

Punto de control 1.2

Halle el dominio y el rango para f(x)=42 x+5.f(x)=42 x+5.

Representación de funciones

Normalmente, una función se representa utilizando una o varias de las siguientes herramientas:

  • una tabla,
  • un gráfico,
  • una fórmula

Podemos identificar una función en cada forma, pero también utilizarlas juntas. Por ejemplo, podemos representar en un gráfico los valores de una tabla o crear una tabla a partir de una fórmula.

Tablas

Las funciones descritas mediante una tabla de valores surgen con frecuencia en las aplicaciones del mundo real. Considere el siguiente ejemplo sencillo. Podemos expresar la temperatura de un día determinado en función de la hora. Supongamos que registramos la temperatura cada hora durante un periodo de 24 horas que comienza a medianoche. Entonces, deducimos que nuestra variable de entrada xx es el momento después de medianoche, medido en horas, y que la variable de salida yy es la temperatura xx horas después de la medianoche, medida en grados Fahrenheit. Registramos nuestros datos en la Tabla 1.1.

Horas después de la medianoche Temperatura (°F)(°F) Horas después de la medianoche Temperatura (°F)(°F)
0 58 12 84
1 54 13 85
2 53 14 85
3 52 15 83
4 52 16 82
5 55 17 80
6 60 18 77
7 64 19 74
8 72 20 69
9 75 21 65
10 78 22 60
11 80 23 58
Tabla 1.1 Temperatura en función de la hora del día

Podemos ver en la tabla que la temperatura es una función del tiempo, y la temperatura disminuye, luego aumenta y luego vuelve a disminuir. Sin embargo, no podemos obtener una imagen clara del comportamiento de la función sin graficarla.

Gráficos

Dada una función ff descrita por una tabla, podemos ofrecer una imagen visual de la función en forma de gráfico. La representación gráfica de las temperaturas que figuran en la Tabla 1.1 puede darnos una mejor idea de su fluctuación a lo largo del día. La Figura 1.6 muestra el gráfico en función de la temperatura.

Imagen de un gráfico. El eje y va de 0 a 90 y está marcado "Temperatura en Fahrenheit". El eje x va de 0 a 24 y está marcado "horas después de medianoche". Hay 24 puntos en el gráfico, uno en cada incremento de 1 en el eje x. El primer punto está en (0, 58) y la función va disminuyendo hasta que x = 4, donde el punto es (4, 52) y es el valor mínimo de la función. Después de x = 4, la función aumenta hasta x = 13, donde el punto es (13, 85) y es el máximo de la función junto con el punto (14, 85). Después de x = 14, la función disminuye hasta el último punto del gráfico, que es (23, 58).
Figura 1.6 El gráfico de los datos de la Tabla 1.1 muestra la temperatura en función del tiempo.

A partir de los puntos trazados en el gráfico en la Figura 1.6 podemos visualizar su forma general. A menudo es útil conectar los puntos del gráfico, lo cual representa los datos de la tabla. En este ejemplo, aunque no podemos llegar a ninguna conclusión definitiva sobre cuál era la temperatura en cualquier momento en el que esta no se registró, dado el número de puntos de datos recogidos y el patrón en estos puntos, es razonable sospechar que las temperaturas en otros momentos siguieron un patrón similar, como podemos ver en la Figura 1.7.

Imagen de un gráfico. El eje y va de 0 a 90 y está marcado "Temperatura en Fahrenheit". El eje x va de 0 a 24 y está marcado "horas después de medianoche". Hay 24 puntos en el gráfico, uno en cada incremento de 1 en el eje x. El primer punto está en (0, 58) y la función va disminuyendo hasta que x = 4, donde el punto es (4, 52) y es el valor mínimo de la función. Después de x = 4, la función aumenta hasta x = 13, donde el punto es (13, 85) y es el máximo de la función junto con el punto (14, 85). Después de x = 14, la función disminuye hasta el último punto del gráfico, que es (23, 58). Todos los puntos del grafico se conectan por una línea.
Figura 1.7 La conexión de los puntos en la Figura 1.6 muestra el patrón general de los datos.

Fórmulas algebraicas

A veces los valores de una función no se expresan en forma de una tabla, sino que se nos presentan en una fórmula explícita. Las fórmulas aparecen en muchas aplicaciones. Por ejemplo, el área de un círculo de radio rr viene dada por la fórmula A(r)=πr2 .A(r)=πr2 . Cuando se lanza un objeto desde el suelo hacia arriba con una velocidad inicial v0v0 pies/s, su altura sobre el suelo desde que se lanza hasta que cae al suelo viene dada por la fórmula s(t)=–16t2 +v0t.s(t)=–16t2 +v0t. Cuando PP dólares en una cuenta con una tasa de interés anual rr compuesto continuamente, la cantidad de dinero después de tt años viene dada por la fórmula A(t)=Pert.A(t)=Pert. Las fórmulas algebraicas son herramientas importantes para calcular los valores de las funciones. Con frecuencia también representamos estas funciones visualmente en forma de gráfico.

Dada una fórmula algebraica para una función f,f, el gráfico de ff es el conjunto de puntos (x,f(x)),(x,f(x)), donde xx está en el dominio de ff como f(x)f(x) está en el rango. Para graficar una función dada por una fórmula, es útil comenzar usando la fórmula para crear una tabla de entradas y salidas. Si el dominio de ff consta de un número infinito de valores, no podemos enumerarlos todos, pero como enumerar algunas de las entradas y salidas puede ser muy útil, esta suele ser una buena manera de empezar.

Al crear una tabla de entradas y salidas, normalmente comprobamos si el cero es una salida. Esos valores de xx donde f(x)=0f(x)=0 se denominan los ceros de una función. Por ejemplo, los ceros de f(x)=x2 4f(x)=x2 4 son x=±2 .x=±2 . Los ceros determinan dónde está el gráfico de ff interseca con el eje xx, que nos da más información sobre la forma del gráfico de la función. Es posible que gráfico de una función de una función nunca interseque el eje x, o puede intersecar múltiples (o incluso infinitas) veces.

Otro punto de interés es la intersección yy, si existe. La intersección yy viene dada por (0,f(0)).(0,f(0)).

Dado que una función tiene exactamente una salida para cada entrada, el gráfico de una función puede tener, como máximo, una intersección yy. Si x=0x=0 está en el dominio de una función f,f, entonces ff tiene exactamente una intersección yy. Si x=0x=0 no está en el dominio de f,f, entonces ff no tiene una intersección yy. Del mismo modo, para cualquier número real c,c, si cc está en el dominio de f,f, hay exactamente una salida f(c),f(c), y la línea x=cx=c interseca el gráfico de ff exactamente una vez. Por otro lado, si cc no está en el dominio de f,f(c)f,f(c) no está definida y la línea x=cx=c no interseca el gráfico de f.f. Esta propiedad se resume en la prueba de la línea vertical.

Regla: prueba de la línea vertical

Dada una función f,f, todas las líneas verticales que se puedan dibujar intersecan el gráfico de ff solo una vez. Si cualquier línea vertical interseca un conjunto de puntos más de una vez, entonces ese conjunto no representa una función.

Podemos utilizar esta prueba para determinar si un conjunto de puntos trazados representa el gráfico de una función (Figura 1.8).

Imagen de dos gráficos. El primer gráfico se denomina "a" y es de la función "y = f(x)". Tres rectas verticales pasan por 3 puntos de la función, y cada una pasa por la función una vez. El segundo gráfico está marcado como "b" y es de la relación "y no es igual a f(x)". Dos rectas verticales atraviesan la relación, una interseca la relación en 3 puntos y la otra línea interseca la relación en 3 puntos diferentes.
Figura 1.8 (a) El conjunto de puntos trazados representa el gráfico de una función porque cada línea vertical interseca el conjunto de puntos solo una vez. (b) El conjunto de puntos trazados no representa el gráfico de una función porque algunas líneas verticales intersecan el conjunto de puntos más de una vez.

Ejemplo 1.3

Hallar ceros e intersecciones yy de una función

Considere la función f(x)=−4x+2 .f(x)=−4x+2 .

  1. Halle todos los ceros de f.f.
  2. Halle la intersección yy (si la hay).
  3. Dibuje un gráfico de f.f.

Ejemplo 1.4

Uso de ceros e intersecciones yy para dibujar un gráfico

Considere la función f(x)=x+3+1.f(x)=x+3+1.

  1. Halle todos los ceros de f.f.
  2. Halle la intersección yy (si la hay).
  3. Dibuje un gráfico de f.f.

Punto de control 1.3

Halle los ceros de f(x)=x35x2 +6x.f(x)=x35x2 +6x.

Ejemplo 1.5

Hallar la altura de un objeto en caída libre

Si se deja caer una bola desde una altura de 100100 ft, su altura ss en el momento tt viene dada por la función s(t)=–16t2 +100,s(t)=–16t2 +100, donde ss se mide en pies y tt se mide en segundos. El dominio se restringe al intervalo [0,c],[0,c], donde t=0t=0 es el momento en el que se deja caer la bola y t=ct=c es el momento en que la bola toca el suelo.

  1. Elabore una tabla que muestre la altura s(t)s(t) cuando t=0,0,5,1,1,5,2 ,y2,5.t=0,0,5,1,1,5,2 ,y2,5. Con los datos de la tabla, determine el dominio de esta función. Es decir, hallar el momento cc cuando la bola toca el suelo.
  2. Dibuje un gráfico de s.s.

Tenga en cuenta que para esta función y la función f(x)=−4x+2 f(x)=−4x+2 graficada en la Figura 1.9, los valores de f(x)f(x) son cada vez más pequeños ya que xx es cada vez más grande. Una función con esta propiedad se denomina decreciente. Por otro lado, para la función f(x)=x+3+1f(x)=x+3+1 graficada en la Figura 1.10, los valores de f(x)f(x) se hacen más grandes a medida que los valores de xx son cada vez más grandes. Una función con esta propiedad se denomina creciente. Sin embargo, es importante señalar que una función puede ser creciente en algún intervalo o intervalos y decreciente en otro u otros intervalos. Por ejemplo, al utilizar nuestra función de temperatura en la Figura 1.6, podemos ver que la función es decreciente en el intervalo (0,4),(0,4), creciente en el intervalo (4,14),(4,14), y luego decreciente en el intervalo (14,23).(14,23). En la siguiente definición precisamos la idea de que una función aumenta o disminuye en un intervalo determinado.

Definición

Decimos que una función ff es creciente en el intervalo II si para todas x1,x2 I,x1,x2 I,

f(x1)f(x2 )cuandox1<x2 .f(x1)f(x2 )cuandox1<x2 .

Decimos que ff es estrictamente creciente en el intervalo II si para todas x1,x2 I,x1,x2 I,

f(x1)<f(x2 )cuandox1<x2 .f(x1)<f(x2 )cuandox1<x2 .

Decimos que una función ff es decreciente en el intervalo II si para todas x1,x2 I,x1,x2 I,

f(x1)f(x2 )six1<x2 .f(x1)f(x2 )six1<x2 .

Decimos que una función ff es estrictamente decreciente en el intervalo II si para todas x1,x2 I,x1,x2 I,

f(x1)>f(x2 )six1<x2 .f(x1)>f(x2 )six1<x2 .

Por ejemplo, la función f(x)=3xf(x)=3x es creciente en el intervalo (,)(,) porque 3x1<3x2 3x1<3x2 siempre que x1<x2 .x1<x2 . Por otro lado, la función f(x)=x3f(x)=x3 es decreciente en el intervalo (,)(,) porque x13>x2 3x13>x2 3 siempre que x1<x2 x1<x2 (Figura 1.11).

Imagen de dos gráficos. El primer gráfico se denomina "a" y es de la función "f(x) = 3x", que es una línea recta creciente que pasa por el origen. El segundo gráfico está marcado como "b" y es de la función "f(x) = –x al cubo", que es una función curva que disminuye hasta que llega al origen donde se nivela, y luego vuelve a disminuir después del origen.
Figura 1.11 (a) La función f ( x ) = 3 x f ( x ) = 3 x es creciente en el intervalo ( , ) . ( , ) . (b) La función f ( x ) = x 3 f ( x ) = x 3 es decreciente en el intervalo ( , ) . ( , ) .

Combinación de funciones

Ya revisamos las características básicas de las funciones y podemos ver qué ocurre con estas propiedades cuando combinamos funciones de diferentes maneras, utilizando operaciones matemáticas básicas para crear nuevas funciones. Por ejemplo, si el costo para una empresa por la fabricación de xx artículos se describe mediante la función C(x)C(x) y los ingresos creados por la venta de xx artículos se describe mediante la función R(x),R(x), luego el beneficio de la fabricación y venta de xx se define como P(x)=R(x)C(x).P(x)=R(x)C(x). Al utilizar la diferencia entre dos funciones, creamos una nueva función.

De manera alternativa podemos crear una nueva función componiendo dos funciones. Por ejemplo, dadas las funciones f(x)=x2 f(x)=x2 y g(x)=3x+1,g(x)=3x+1, la función compuesta fgfg se define de forma que

(fg)(x)=f(g(x))=(g(x))2 =(3x+1)2 .(fg)(x)=f(g(x))=(g(x))2 =(3x+1)2 .

La función compuesta gfgf se define de forma que

(gf)(x)=g(f(x))=3f(x)+1=3x2 +1.(gf)(x)=g(f(x))=3f(x)+1=3x2 +1.

Tenga en cuenta que estas dos nuevas funciones son diferentes entre sí.

Combinación de funciones con operadores matemáticos

Para combinar funciones utilizando operadores matemáticos, simplemente escribimos las funciones con el operador y simplificamos. Dadas dos funciones ff y g,g, podemos definir cuatro funciones nuevas:

(f+g)(x)=f(x)+g(x)Suma(fg)(x)=f(x)g(x)Diferencia(f.g)(x)=f(x)g(x)Producto(fg)(x)=f(x)g(x)parag(x)0Cociente(f+g)(x)=f(x)+g(x)Suma(fg)(x)=f(x)g(x)Diferencia(f.g)(x)=f(x)g(x)Producto(fg)(x)=f(x)g(x)parag(x)0Cociente

Ejemplo 1.6

Combinación de funciones mediante operaciones matemáticas

Dadas las funciones f(x)=2 x3f(x)=2 x3 y g(x)=x2 1,g(x)=x2 1, halle cada una de las siguientes funciones y enuncie su dominio.

  1. (f+g)(x)(f+g)(x) grandes.
  2. (fg)(x)(fg)(x) grandes.
  3. (f.g)(x)(f.g)(x) grandes.
  4. (fg)(x)(fg)(x)

Punto de control 1.4

Para f(x)=x2 +3f(x)=x2 +3 y g(x)=2 x5,g(x)=2 x5, halle (f/g)(x)(f/g)(x) e indique su dominio.

Composición de funciones

Cuando componemos funciones, tomamos una función de una función. Por ejemplo, supongamos que la temperatura TT en un día determinado se describe en función del tiempo tt (medido en horas después de la medianoche) como en la Tabla 1.1. Supongamos que el costo C,C, para calentar o enfriar un edificio por 1 hora, puede describirse en función de la temperatura T.T. Al combinar estas dos funciones, podemos describir el costo de calefacción o refrigeración de un edificio en función del tiempo, evaluando C(T(t)).C(T(t)). Definimos una nueva función, que se denota CT,CT, y que se define tal que (CT)(t)=C(T(t))(CT)(t)=C(T(t)) para todos los tt en el dominio de T.T. Esta nueva función se denomina función compuesta. Observamos que como el costo es una función de la temperatura y la temperatura es una función del tiempo, tiene sentido definir esta nueva función (CT)(t).(CT)(t). No tiene sentido considerar (TC)(t),(TC)(t), porque la temperatura no es una función del costo.

Definición

Considere la función ff con dominio AA y rango B,B, y la función gg con dominio DD y rango E.E. Si BB es un subconjunto de D,D, entonces la función compuesta (gf)(x)(gf)(x) es la función con dominio AA tal que

(gf)(x)=g(f(x)).(gf)(x)=g(f(x)).
(1.1)

Una función compuesta gfgf puede verse en dos pasos. En primer lugar, la función ff asigna cada entrada xx en el dominio de ff a su salida f(x)f(x) en el rango de f.f. En segundo lugar, puesto que el rango de ff es un subconjunto del dominio de g,g, la salida f(x)f(x) es un elemento del dominio de g,g, y por lo tanto se asigna a una salida g(f(x))g(f(x)) en el rango de g.g. En la Figura 1.12, vemos una imagen de una función compuesta.

Imagen con tres elementos. El primer elemento es una burbuja azul que tiene dos marcas: "dominio de f" y "dominio de g de f". Este artículo contiene los números 1, 2 y 3. El segundo elemento son dos burbujas: una burbuja anaranjada marcada como "dominio de g" y una burbuja azul que está totalmente dentro de la burbuja anaranjada y está marcada como "rango de f". La burbuja azul contiene los números 0 y 1, que por tanto también están contenidos en la burbuja anaranjada más grande. La burbuja anaranjada contiene dos números no contenidos en la burbuja azul más pequeña: el 2 y el 3. El tercer elemento son dos burbujas: una burbuja anaranjada marcada como "rango de g" y una burbuja azul que está totalmente dentro de la burbuja anaranjada y está marcada como "rango de g de f". La burbuja azul contiene los números 4 y 5, que por tanto también están contenidos en la burbuja anaranjada más grande. La burbuja anaranjada contiene un número no contenido en la burbuja azul más pequeña: el número 3. Los primeros puntos del elemento tienen una flecha azul con la marca "f" que apunta a la burbuja azul del segundo punto. La burbuja anaranjada del segundo elemento tiene una flecha anaranjada marcada como "g" que señala la burbuja naranja del tercer elemento. El primer elemento tiene una flecha azul marcada como "g de f" que apunta a la burbuja azul del tercer elemento. Hay tres flechas azules que apuntan desde los números del primer elemento a los números contenidos en la burbuja azul del segundo elemento. La primera flecha azul apunta del 1 al 0, la segunda flecha azul apunta del 2 al 1 y la tercera flecha azul apunta del 3 al 0. Hay 4 flechas anaranjadas que apuntan desde los números contenidos en la burbuja anaranjada del segundo elemento, incluyendo los que se encuentran en la burbuja azul del segundo elemento, hasta los números contenidos en la burbuja anaranjada del tercer elemento, lo que incluye los números de la burbuja azul del tercer elemento. La primera flecha anaranjada señala de 2 a 3, la segunda flecha anaranjada señala de 3 a 5, la tercera flecha anaranjada señala de 0 a 4 y la cuarta flecha anaranjada señala de 1 a 5.
Figura 1.12 Para la función compuesta g f , g f , tenemos ( g f ) ( 1 ) = 4 , ( g f ) ( 2 ) = 5 , ( g f ) ( 1 ) = 4 , ( g f ) ( 2 ) = 5 , y ( g f ) ( 3 ) = 4 . ( g f ) ( 3 ) = 4 .

Ejemplo 1.7

Composición de funciones definidas por fórmulas

Considere las funciones f(x)=x2 +1f(x)=x2 +1 y g(x)=1/x.g(x)=1/x.

  1. Halle (gf)(x)(gf)(x) e indique su dominio y rango.
  2. Evalúe (gf)(4),(gf)(−1/2 ).(gf)(4),(gf)(−1/2 ).
  3. Halle (fg)(x)(fg)(x) e indique su dominio y rango.
  4. Evalúe (fg)(4),(fg)(−1/2 ).(fg)(4),(fg)(−1/2 ).

En el Ejemplo 1.7 podemos ver que (fg)(x)(gf)(x).(fg)(x)(gf)(x). En términos generales, esto nos dice que el orden en que componemos las funciones es importante.

Punto de control 1.5

Supongamos que f(x)=2 5x.f(x)=2 5x. Supongamos que g(x)=x.g(x)=x. Halle (fg)(x).(fg)(x).

Ejemplo 1.8

Composición de funciones definidas por tablas

Considere las funciones ff y gg descritas por la Tabla 1.4 y la Tabla 1.5.

xx −3−3 −2−2 −1−1 0 1 2 3 4
f(x).f(x). 0 4 2 4 −2−2 0 −2−2 4
Tabla 1.4
xx −4−4 −2−2 0 2 4
g(x).g(x). 1 0 3 0 5
Tabla 1.5
  1. Evalúe (gf)(3),(gf)(0).(gf)(3),(gf)(0).
  2. Indique el dominio y el rango de (gf)(x).(gf)(x).
  3. Evalúe (ff)(3),(ff)(1).(ff)(3),(ff)(1).
  4. Indique el dominio y el rango de (ff)(x).(ff)(x).

Ejemplo 1.9

Aplicación que implica una función compuesta

Una tienda anuncia una venta de 20 %20 % de descuento en toda la mercancía. Caroline tiene un cupón que le da derecho a un descuento adicional del 15 %15 % en cualquier artículo, incluido los que están de rebaja. Si Caroline decide comprar un artículo con un precio original de xx dólares, ¿cuánto acabará pagando si aplica su cupón al precio de venta? Resuelva este problema utilizando una función compuesta.

Punto de control 1.6

Si los artículos están a la venta por 10  %10  % de descuento de su precio original y un cliente tiene un cupón para un descuento adicional de 30 %30 %, ¿cuál será el precio definitivo de un artículo que originalmente cuesta xx dólares, después de aplicar el cupón al precio de venta?

Simetría de las funciones

Los gráficos de ciertas funciones tienen propiedades de simetría que nos ayudan a entender la función y la forma de su gráfico. Por ejemplo, consideremos la función f(x)=x42 x2 3f(x)=x42 x2 3 que se muestra en la Figura 1.13(a). Si tomamos la parte de la curva que se encuentra a la derecha del eje y y la volteamos sobre el eje y, queda exactamente encima de la curva a la izquierda del eje y. En este caso, decimos que la función tiene simetría en torno al eje y. Por otro lado, la función f(x)=x34xf(x)=x34x que se muestra en la Figura 1.13(b). Si tomamos el gráfico y lo giramos 180°180° sobre el origen, el nuevo gráfico tendrá exactamente el mismo aspecto. En este caso, decimos que la función tiene simetría respecto al origen.

Imagen de dos gráficos. El primer gráfico está marcado como "(a), simetría respecto al eje y" y es de la función curva "f(x) = (x a la 4.ª) - 2(x al cuadrado) - 3". El eje x va de -3 a 4 y el eje y va de -4 a 5. Esta función disminuye hasta llegar al punto (-1, -4), que es el mínimo de la función. Entonces el gráfico aumenta hasta el punto (0,3), que es un máximo local. A continuación, el gráfico disminuye hasta llegar al punto (1, -4), antes de volver a aumentar. El segundo gráfico está marcado como "(b), simetría respecto al origen" y es de la función curva "f(x) = x al cubo - 4x". El eje x va de -3 a 4 y el eje y va de -4 a 5. El gráfico de la función comienza en la intersección x en (-2, 0) y aumenta hasta el punto aproximado de (-1,2, 3,1). A continuación, la función disminuye, pasando por el origen, hasta llegar al punto aproximado de (1,2, -3,1). A continuación, la función comienza a aumentar de nuevo y tiene otra intersección x en (2, 0).
Figura 1.13 (a) Un gráfico que es simétrico respecto al eje y y . (b) Un gráfico que es simétrico respecto al origen.

Si nos dan el gráfico de una función, es fácil ver si aquel tiene una de estas propiedades de simetría. Pero sin un gráfico, ¿cómo podemos determinar algebraicamente si una función ff presenta simetría? Observando de nuevo la Figura 1.14, vemos que ya que ff es simétrico respecto al eje yy, si el punto (x,y)(x,y) esté en el gráfico, el punto (x,y)(x,y) está en el gráfico. En otras palabras, f(x)=f(x).f(x)=f(x). Si una función ff tiene esa propiedad, decimos que ff es una función par, que tiene simetría en torno al eje y. Por ejemplo, f(x)=x2 f(x)=x2 es par porque

f(x)=(x)2 =x2 =f(x).f(x)=(x)2 =x2 =f(x).

En cambio, si volvemos a mirar la Figura 1.14, si una función ff es simétrica respecto al origen, entonces siempre que el punto (x,y)(x,y) esté en el gráfico, el punto (x,y)(x,y) también está en el gráfico. En otras palabras, f(x)=f(x).f(x)=f(x). Si ff tiene esa propiedad, decimos que ff es una función impar, que tiene simetría respecto al origen. Por ejemplo, f(x)=x3f(x)=x3 es impar porque

f(x)=(x)3=x3=f(x).f(x)=(x)3=x3=f(x).

Definición

Si f(x)=f(x)f(x)=f(x) para todo xx en el dominio de f,f, entonces ff es una función par. Una función par es simétrica con respecto al y.

Si los valores de f(x)=f(x)f(x)=f(x) para todo xx en el dominio de f,f, entonces ff es una función impar. Una función impar es simétrica respecto al origen.

Ejemplo 1.10

Funciones pares e impares

Determine si cada una de las siguientes funciones es par, impar o ninguna de las dos.

  1. f(x)=−5x4+7x2 2 f(x)=−5x4+7x2 2
  2. f(x)=2 x54x+5f(x)=2 x54x+5
  3. f(x)=3xx2 +1f(x)=3xx2 +1

Punto de control 1.7

Determine si f(x)=4x35xf(x)=4x35x es par, impar o ninguna de las dos.

Una función simétrica que aparece con frecuencia es la función de valor absoluto, que se escribe como |x|.|x|. La función de valor absoluto se define como

f(x)={x,x<0x,x0.f(x)={x,x<0x,x0.
(1.2)

Algunos estudiantes describen esta función afirmando que "convierte todo en positivo" Por la definición de la función de valor absoluto, vemos que si x<0,x<0, entonces |x|=x>0,|x|=x>0, y si x>0,x>0, entonces |x|=x>0.|x|=x>0. Sin embargo, para x=0,|x|=0.x=0,|x|=0. Por lo tanto es más exacto decir que para todas las entradas diferentes a cero la salida es positiva, pero si x=0,x=0, la salida |x|=0.|x|=0. Concluimos que el rango de la función de valor absoluto es {y|y0}.{y|y0}. En la Figura 1.14 vemos que la función de valor absoluto es simétrica con respecto al eje y; por lo tanto, es una función par.

Imagen de un gráfico. El eje x va de -3 a 3 y el eje y va de -4 a 4. El gráfico es de la función "f(x) = valor absoluto de x". El gráfico comienza en el punto (–3, 3) y disminuye en línea recta hasta llegar al origen. Entonces el gráfico aumenta en línea recta hasta llegar al punto (3, 3).
Figura 1.14 El gráfico de f ( x ) = | x | f ( x ) = | x | es simétrico respecto al eje de la y y .

Ejemplo 1.11

Trabajar con la función de valor absoluto

Calcule el dominio y el rango de la función f(x)=2 |x3|+4.f(x)=2 |x3|+4.

Punto de control 1.8

Para que la función f(x)=|x+2 |4,f(x)=|x+2 |4, halle el dominio y el rango.

Sección 1.1 ejercicios

En los siguientes ejercicios, (a) determine el dominio y el rango de cada relación y (b) diga si la relación es una función.

1.
xx yy xx yy
−3 9 1 1
−2 4 2 4
−1 1 3 9
0 0
2.
xx yy xx yy
−3 −2 1 1
−2 −8 2 8
−1 −1 3 −2
0 0
3.
xx yy xx yy
1 −3 1 1
2 −2 2 2
3 −1 3 3
0 0
4.
xx yy xx yy
1 1 5 1
2 1 6 1
3 1 7 1
4 1
5.
xx yy xx yy
3 3 15 1
5 2 21 2
8 1 33 3
10 0
6.
xx yy xx yy
−7 11 1 −2
−2 5 3 4
−2 1 6 11
0 −1

En los siguientes ejercicios, halle los valores de cada función, si existen, y luego simplifique.

a. f(0)f(0) b. f(1)f(1) c. f(3)f(3) d. f(x)f(x) e. f(a)f(a) f. f(a+h)f(a+h) grandes.

7.

f ( x ) = 5 x 2 f ( x ) = 5 x 2

8.

f ( x ) = 4 x 2 3 x + 1 f ( x ) = 4 x 2 3 x + 1

9.

f ( x ) = 2 x f ( x ) = 2 x

10.

f ( x ) = | x 7 | + 8 f ( x ) = | x 7 | + 8

11.

f ( x ) = 6 x + 5 f ( x ) = 6 x + 5

12.

f ( x ) = x 2 3 x + 7 f ( x ) = x 2 3 x + 7

13.

f ( x ) = 9 f ( x ) = 9

En los siguientes ejercicios, halle el dominio, el rango y todos los ceros/intersecciones de las funciones, si los hay.

14.

f ( x ) = x x 2 16 f ( x ) = x x 2 16

15.

g ( x ) = 8 x 1 g ( x ) = 8 x 1

16.

h ( x ) = 3 x 2 + 4 h ( x ) = 3 x 2 + 4

17.

f ( x ) = −1 + x + 2 f ( x ) = −1 + x + 2

18.

f ( x ) = 1 x 9 f ( x ) = 1 x 9

19.

g ( x ) = 3 x 4 g ( x ) = 3 x 4

20.

f ( x ) = 4 | x + 5 | f ( x ) = 4 | x + 5 |

21.

g ( x ) = 7 x 5 g ( x ) = 7 x 5

En los siguientes ejercicios, realice una tabla para dibujar el gráfico de cada función utilizando los siguientes valores: x=−3,–2,–1,0,1,2 ,3.x=−3,–2,–1,0,1,2 ,3.

22.

f ( x ) = x 2 + 1 f ( x ) = x 2 + 1

xx yy xx yy
−3 10 1 2
−2 5 2 5
−1 2 3 10
0 1
23.

f ( x ) = 3 x 6 f ( x ) = 3 x 6

xx yy xx yy
−3 −15 1 −3
−2 −12 2 0
−1 −9 3 3
0 −6
24.

f ( x ) = 1 2 x + 1 f ( x ) = 1 2 x + 1

xx yy xx yy
−3 12 12 1 32 32
−2 0 2 2
−1 12 12 3 52 52
0 1
25.

f ( x ) = 2 | x | f ( x ) = 2 | x |

xx yy xx yy
−3 6 1 2
−2 4 2 4
−1 2 3 6
0 0
26.

f ( x ) = x 2 f ( x ) = x 2

xx yy xx yy
−3 −9 1 −1
−2 −4 2 −4
−1 −1 3 −9
0 0
27.

f ( x ) = x 3 f ( x ) = x 3

xx yy xx yy
−3 −27 1 1
−2 −8 2 8
−1 −1 3 27
0 0

En los siguientes ejercicios, utilice la prueba de la línea vertical para determinar si cada uno de los gráficos dados representa una función. Supongamos que un gráfico continúa en ambos extremos si se extiende más allá de la cuadrícula dada. Si el gráfico representa una función, determine lo siguiente para cada gráfico.

  1. Dominio y rango
  2. intersección en xintersección en x, si la hay (estimar si es necesario).
  3. intersección yintersección y, si la hay (estimar si es necesario).
  4. Los intervalos para los que la función es creciente.
  5. Los intervalos para los que la función es decreciente.
  6. Los intervalos para los que la función es constante.
  7. Simetría alrededor de cualquier eje o del origen.
  8. Si la función es par, impar o ninguna de las dos.
28.
Imagen de un gráfico. El eje x va de -5 a 5 y el eje y va de -5 a 5. El gráfico es de una relación que es circular, con intersecciones en x en (-1, 0) y (1, 0) e intersecciones en y en (0, 1) y (0, -1).
29.
Imagen de un gráfico. El eje x va de -5 a 5 y el eje y va de -5 a 5. El gráfico es de una relación que es curva. La relación disminuye hasta llegar al punto (-1, 0), luego aumenta hasta llegar al punto (0, 1), luego disminuye hasta llegar al punto (1, 0), luego vuelve a aumentar.
30.
Imagen de un gráfico. El eje x va de -5 a 5 y el eje y va de -5 a 5. El gráfico es de una relación que es una parábola. La relación de curvatura aumenta hasta llegar al punto (2, 3), y luego comienza a disminuir. Las intersecciones en x aproximadas están en (0,3, 0) y (3,7, 0) y la intersección y es (-1, 0).
31.
Imagen de un gráfico. El eje x va de -5 a 5 y el eje y va de -5 a 5. El gráfico es de una relación que es curva. La relación de curvatura aumenta todo el tiempo. La intersección en x y la intersección en y están ambas en el origen.
32.
Imagen de un gráfico. El eje x va de -5 a 5 y el eje y va de -5 a 5. El gráfico es de una relación que es una parábola lateral, que se abre hacia la derecha. La intersección x y la intersección y están en el origen y la relación no tiene puntos a la izquierda del eje y. La relación incluye los puntos (1, -1) y (1, 1).
33.
Imagen de un gráfico. El eje x va de -5 a 5 y el eje y va de -5 a 5. El gráfico es de una relación que es una línea recta horizontal hasta el punto (–2, –2), luego comienza a aumentar en línea recta hasta el punto (2, 2). Después de estos puntos, la relación vuelve a ser una línea horizontal. La intersección en x y la intersección en y están ambas en el origen.
34.
Imagen de un gráfico. El eje x va de -5 a 5 y el eje y va de -5 a 5. El gráfico es de una relación que es una línea recta horizontal hasta el origen y luego comienza a aumentar en línea recta. La intersección x y la intersección y están en el origen y no hay puntos debajo del eje x.
35.
Imagen de un gráfico. El eje x va de -5 a 5 y el eje y va de -5 a 5. El gráfico es de una relación que comienza en el punto (-4, 4) y es una línea horizontal hasta el punto (0, 4), luego comienza a decrecer en línea curva hasta llegar al punto (4, -4), donde el gráfico termina. La intersección x está en el punto (1,2, 0) y la intersección y está en el punto (0, 4).

En los siguientes ejercicios, para cada par de funciones, calcule a. f+gf+g b. fgfg c. f.gf.g d. f/g.f/g. Determine el dominio de cada una de estas nuevas funciones.

36.

f ( x ) = 3 x + 4 , g ( x ) = x 2 f ( x ) = 3 x + 4 , g ( x ) = x 2

37.

f ( x ) = x 8 , g ( x ) = 5 x 2 f ( x ) = x 8 , g ( x ) = 5 x 2

38.

f ( x ) = 3 x 2 + 4 x + 1 , g ( x ) = x + 1 f ( x ) = 3 x 2 + 4 x + 1 , g ( x ) = x + 1

39.

f ( x ) = 9 x 2 , g ( x ) = x 2 2 x 3 f ( x ) = 9 x 2 , g ( x ) = x 2 2 x 3

40.

f ( x ) = x , g ( x ) = x 2 f ( x ) = x , g ( x ) = x 2

41.

f ( x ) = 6 + 1 x , g ( x ) = 1 x f ( x ) = 6 + 1 x , g ( x ) = 1 x

En los siguientes ejercicios, para cada par de funciones, calcule a. (fg)(x)(fg)(x) y b. (gf)(x)(gf)(x) Simplifique los resultados. Halle el dominio de cada uno de los resultados.

42.

f ( x ) = 3 x , g ( x ) = x + 5 f ( x ) = 3 x , g ( x ) = x + 5

43.

f ( x ) = x + 4 , g ( x ) = 4 x 1 f ( x ) = x + 4 , g ( x ) = 4 x 1

44.

f ( x ) = 2 x + 4 , g ( x ) = x 2 2 f ( x ) = 2 x + 4 , g ( x ) = x 2 2

45.

f ( x ) = x 2 + 7 , g ( x ) = x 2 3 f ( x ) = x 2 + 7 , g ( x ) = x 2 3

46.

f ( x ) = x , g ( x ) = x + 9 f ( x ) = x , g ( x ) = x + 9

47.

f ( x ) = 3 2 x + 1 , g ( x ) = 2 x f ( x ) = 3 2 x + 1 , g ( x ) = 2 x

48.

f ( x ) = | x + 1 | , g ( x ) = x 2 + x 4 f ( x ) = | x + 1 | , g ( x ) = x 2 + x 4

49.

La siguiente tabla muestra los ganadores del campeonato de la NBA de los años 2001 a 2012.

Año Ganador
2001 LA Lakers
2002 LA Lakers
2003 San Antonio Spurs
2004 Detroit Pistons
2005 San Antonio Spurs
2006 Miami Heat
2007 San Antonio Spurs
2008 Boston Celtics
2009 LA Lakers
2010 LA Lakers
2011 Dallas Mavericks
2012 Miami Heat
  1. Considere la relación en la que los valores del dominio son los años 2001 a 2012 y el rango es el ganador correspondiente. ¿Esta relación es una función? Explique por qué sí o por qué no.
  2. Considere la relación en la que los valores del dominio son los ganadores y el rango son los años correspondientes. ¿Esta relación es una función? Explique por qué sí o por qué no.
50.

[T] El área AA de un cuadrado depende de la longitud del lado s.s.

  1. Escriba una función A(s)A(s) para el área de un cuadrado.
  2. Encuentre e interprete A(6,5).A(6,5).
  3. Halle la aproximación exacta y de dos dígitos significativos de la longitud de los lados de un cuadrado con un área de 56 unidades cuadradas.
51.

[T] El volumen de un cubo depende de la longitud de sus lados s.s.

  1. Escriba una función V(s)V(s) para el volumen de un cubo.
  2. Encuentre e interprete V(11,8).V(11,8).
52.

[T] Una compañía de alquiler de vehículos alquila automóviles por una tarifa fija de 20 dólares y una tarifa por hora de 10,25 dólares. Por lo tanto, el costo total CC para alquilar un automóvil está en función de las horas tt en que el auto se alquila más la tarifa plana.

  1. Escriba la fórmula de la función que modela esta situación.
  2. Halle el costo total de alquilar un auto durante 2 días y 7 horas.
  3. Determine cuánto tiempo estuvo alquilado el automóvil si la factura es de 432,73 dólares.
53.

[T] Un vehículo tiene un tanque de 20 galones y obtiene 15 mpg (millas por galón). El número de millas N que se pueden recorrer depende de la cantidad de gasolina x que haya en el tanque.

  1. Escriba una fórmula que modele esta situación.
  2. Determine el número de millas que puede recorrer el vehículo con (i) un tanque de gasolina lleno y (ii) con 3/4 de un tanque de gasolina.
  3. Determine el dominio y el rango de la función.
  4. Determine cuántas veces la conductora ha tenido que parar a recargar si ha conducido un total de 578 millas.
54.

[T] El volumen V de una esfera depende de la longitud de su radio tal que V=(4/3)πr3.V=(4/3)πr3. Dado que la Tierra no es una esfera perfecta, podemos utilizar el radio medio al medir desde el centro hasta su superficie. El radio medio es la distancia promedio del centro físico a la superficie, con base en un gran número de muestras. Halle el volumen de la Tierra con radio medio 6,371×1066,371×106 m.

55.

[T] Una determinada bacteria crece en cultivo en una zona circular. El radio del círculo, medido en centímetros, viene dado por r(t)=6[5/(t2 +1)],r(t)=6[5/(t2 +1)], donde t es el tiempo medido en horas desde que se introdujo en el cultivo un círculo de 1 cm de radio de la bacteria.

  1. Exprese el área de la bacteria en función del tiempo.
  2. Halle el área exacta y aproximada del cultivo bacteriano en 3 horas.
  3. Exprese la circunferencia de la bacteria en función del tiempo.
  4. Halle la circunferencia exacta y aproximada de la bacteria en 3 horas.
56.

[T] Un turista estadounidense visita París y debe convertir dólares estadounidenses a euros, lo que puede hacer con la función E(x)=0,79x,E(x)=0,79x, donde x es el número de dólares americanos y E(x)E(x) es el número equivalente de euros. Como los tipos de cambio fluctúan, cuando el turista regresa a Estados Unidos 2 semanas después, la conversión de euros a dólares estadounidenses es D(x)=1,245x,D(x)=1,245x, donde x es el número de euros y D(x)D(x) es el número equivalente de dólares estadounidenses.

  1. Halle la función compuesta que convierte directamente de dólares americanos a dólares americanos a través de euros. ¿Perdió valor el dinero del turista en el proceso de conversión?
  2. Utilice (a) para determinar cuántos dólares estadounidenses recibiría el turista al final de su viaje si convirtiera 200 dólares más al llegar a París.
57.

[T] El gerente de una tienda de patinetas paga a sus trabajadores un salario mensual S de 750 dólares más una comisión de 8,50 dólares por cada patineta que se vende.

  1. Escriba una función y=S(x)y=S(x) que modele el salario mensual de un trabajador en función del número de patinetas x que vende.
  2. Halle el salario mensual aproximado cuando un trabajador vende 25, 40 o 55 patinetas.
  3. Utilice la función INTERSECT de una calculadora gráfica para determinar el número de patinetas que deben venderse para que un trabajador obtenga unos ingresos mensuales de 1400 dólares. (Pista: Halle la intersección de la función y la línea y=1.400).y=1.400).
Imagen de un gráfico. El eje y va de 0 a 1800 y el eje x va de 0 a 100. El gráfico es de la función "S(x) = 8,5x + 750", que es una línea recta creciente. La función tiene una intersección y en (0, 750) y la intersección x no se muestra.
58.

[T] Utilice una calculadora gráfica para representar el semicírculo y=25(x4)2 .y=25(x4)2 . Luego, utilice la función INTERCEPT de la calculadora para hallar el valor de ambas xx y yy.

Imagen de un gráfico. El eje y va de -6 a 6 y el eje x va de -1 a 10. El gráfico es de la función que es un semicírculo (la mitad superior de un círculo). La función tiene el comienza en el punto (–1, 0), pasa por el punto (0, 3), tiene el máximo en el punto (4, 5) y termina en el punto (9, 0). Ninguno de estos puntos está marcado, son solo de referencia.
Solicitar una copia impresa

As an Amazon Associate we earn from qualifying purchases.

Cita/Atribución

¿Desea citar, compartir o modificar este libro? Este libro utiliza la Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike License y debe atribuir a OpenStax.

Información de atribución
  • Si redistribuye todo o parte de este libro en formato impreso, debe incluir en cada página física la siguiente atribución:
    Acceso gratis en https://openstax.org/books/c%C3%A1lculo-volumen-1/pages/1-introduccion
  • Si redistribuye todo o parte de este libro en formato digital, debe incluir en cada vista de la página digital la siguiente atribución:
    Acceso gratuito en https://openstax.org/books/c%C3%A1lculo-volumen-1/pages/1-introduccion
Información sobre citas

© 2 mar. 2022 OpenStax. El contenido de los libros de texto que produce OpenStax tiene una licencia de Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike License . El nombre de OpenStax, el logotipo de OpenStax, las portadas de libros de OpenStax, el nombre de OpenStax CNX y el logotipo de OpenStax CNX no están sujetos a la licencia de Creative Commons y no se pueden reproducir sin el previo y expreso consentimiento por escrito de Rice University.