1.1 Repaso de las funciones

Funciones

Dados dos conjuntos $A$ y $B,$ un conjunto con elementos que son pares ordenados $(x,y),$ donde $x$ es un elemento de $A$ y $y$ es un elemento de $B,$ es una relación de $A$ hasta $B.$ Una relación de $A$ hasta $B$ define una relación entre esos dos conjuntos. Una función es un tipo especial de relación en la que cada elemento del primer conjunto está relacionado exactamente con un elemento del segundo conjunto. El elemento del primer conjunto se llama entrada; el elemento del segundo conjunto se llama salida. En matemáticas las funciones se utilizan constantemente para describir las relaciones entre dos conjuntos. Para cualquier función, cuando conocemos la entrada la salida está determinada, por lo que decimos que la salida es una función de la entrada. Por ejemplo, el área de un cuadrado está determinada por la longitud de su lado, por lo que decimos que el área (la salida) es una función de su longitud lateral (la entrada). La velocidad de una pelota lanzada al aire puede describirse como una función de la cantidad de tiempo que la pelota está en el aire. El costo del envío de un paquete es una función del peso del mismo. Dado que las funciones tienen tantos usos, es importante contar con definiciones y terminología precisas para estudiarlas.

Por ejemplo, consideremos la función $f,$ donde el dominio es el conjunto de todos los números reales y la regla es elevar al cuadrado la entrada. Entonces, la entrada $x=3$ se asigna a la salida $3^2=9.$ Como todo número real no negativo tiene una raíz cuadrada de valor real, todo número no negativo es un elemento del rango de esta función. Como no hay ningún número real con un cuadrado negativo, los números reales negativos no son elementos del rango. Concluimos que el rango es el conjunto de números reales no negativos.

Para una función general $f$ con dominio $D,$ utilizamos a menudo $x$ para denotar la entrada y $y$ para denotar la salida asociada a $x.$ Al hacerlo, nos referimos a $x$ como variable independiente y $y$ como variable dependiente, ya que depende de $x.$ Utilizando la notación de funciones, escribimos $y=f(x),$ y leemos esta ecuación como $\text{“}y$ es igual a $f$ de $x.\text{”}$ Para la función cuadrática descrita anteriormente, escribimos $f(x)=x^2.$

El concepto de función se puede visualizar mediante la Figura 1.2, la Figura 1.3 y la Figura 1.4.

Figura 1.2 Una función puede visualizarse como un dispositivo de entrada/salida.

Figura 1.3 Una función asigna cada elemento del dominio a exactamente un elemento del rango. Aunque cada entrada solo puede enviarse a una salida, dos entradas diferentes pueden enviarse a la misma salida.

Figura 1.4 En este caso, el gráfico de una función $f$ tiene un dominio de $\{1,2,3\}$ y un rango de $\{1,2\}.$ La variable independiente es $x$ y la variable dependiente es $y.$

También podemos visualizar una función trazando puntos $(x,y)$ en el plano de coordenadas donde $y=f(x).$ El gráfico de una función es el conjunto de todos estos puntos. Por ejemplo, consideremos la función $f,$ donde el dominio es el conjunto $D=\{1,2,3\}$ y la regla es $f(x)=3-x.$ En la Figura 1.5, trazamos un gráfico de esta función.

Figura 1.5 Aquí vemos un gráfico de la función $f$ con dominio $\{1,2,3\}$ y regla $f(x)=3-x.$ El gráfico está formado por los puntos $(x,f\left(x\right))$ para todo $x$ en el dominio.

Toda función tiene un dominio. Sin embargo, a veces una función se describe mediante una ecuación, como en $f(x)=x^2,$ sin que se indique un dominio específico. En este caso, el dominio se toma como el conjunto de todos los números reales $x$ en el que $f(x)$ es un número real. Por ejemplo, como cualquier número real puede ser elevado al cuadrado, si no se especifica ningún otro dominio, consideramos el dominio de $f(x)=x^2$ para ser el conjunto de todos los números reales. Por otro lado, la función raíz cuadrada $f(x)=\sqrt{x}$ solo da una salida con sentido si $x$ no es negativo. Por lo tanto, el dominio de la función $f\left(x\right)=\sqrt{x}$ es el conjunto de los números reales no negativos, a veces llamado dominio natural.

Para las funciones $f(x)=x^2$ y $f(x)=\sqrt{x},$ los dominios son conjuntos con un número infinito de elementos. Es evidente que no podemos enumerar todos estos elementos. Cuando se describe un conjunto con un número infinito de elementos, suele ser útil utilizar la notación de conjunto o de intervalo. Cuando se utiliza la notación de construcción de conjuntos para describir un subconjunto de todos los números reales, denotado $ℝ,$ escribimos

Leemos esto como el conjunto de números reales $x$ tal que $x$ tiene alguna propiedad. Por ejemplo, si nos interesamos en el conjunto de números reales que son mayores que uno pero menores que cinco, podríamos denotar este conjunto utilizando la notación de construcción de conjuntos escribiendo

Un conjunto como éste, que contiene todos los números mayores que $a$ y menores que $b,$ también se puede denotar utilizando la notación intervalo $(a,b).$ Por lo tanto,

Los números $1$ y $5$ se denominan puntos finales de este conjunto. Si queremos considerar el conjunto que incluye los puntos finales, lo denotaríamos escribiendo

Podemos utilizar una notación similar si queremos incluir uno de los extremos, pero no el otro. Para denotar el conjunto de los números reales no negativos utilizaremos la notación de construcción de conjuntos

El número más pequeño de este conjunto es el cero, pero este conjunto no tiene un número mayor. Utilizando la notación intervalo, usaríamos el símbolo $\infty ,$ que se refiere al infinito positivo, y escribiríamos el conjunto como

Es importante señalar que $\infty$ no es un número real. Su uso aquí es simbólico e indica que este conjunto incluye todos los números reales mayores o iguales a cero. Del mismo modo, si quisiéramos describir el conjunto de todos los números no positivos, podríamos escribir

Aquí, la notación $\text{−}\infty$ se refiere al infinito negativo, e indica que estamos incluyendo todos los números menores o iguales a cero, por muy pequeños que sean. El conjunto

se refiere al conjunto de todos los números reales.

Algunas funciones se definen utilizando diferentes ecuaciones para diferentes partes de su dominio. Este tipo de funciones se conocen como funciones definidas a trozos. Por ejemplo, supongamos que queremos definir una función $f$ con un dominio que es el conjunto de todos los números reales tales que $f(x)=3x+1$ para $x\ge 2$ y $f(x)=x^2$ por $x<2.$ Denotamos esta función escribiendo

Al evaluar esta función para una entrada $x,$ la ecuación a utilizar depende de si $x\ge 2$ o $x<2.$ Por ejemplo, ya que $5>2,$ utilizamos el hecho de que $f(x)=3x+1$ para $x\ge 2$ y observamos que $f(5)=3(5)+1=16.$ Por otro lado, para $x=\mathrm{-1},$ utilizamos el hecho de que $f(x)=x^2$ por $x<2$ y observamos que $f(\mathrm{–1})=1.$

Representación de funciones

Normalmente, una función se representa utilizando una o varias de las siguientes herramientas:

• una tabla,
• un gráfico,
• una fórmula

Podemos identificar una función en cada forma, pero también utilizarlas juntas. Por ejemplo, podemos representar en un gráfico los valores de una tabla o crear una tabla a partir de una fórmula.

Gráficos

Dada una función $f$ descrita por una tabla, podemos ofrecer una imagen visual de la función en forma de gráfico. La representación gráfica de las temperaturas que figuran en la Tabla 1.1 puede darnos una mejor idea de su fluctuación a lo largo del día. La Figura 1.6 muestra el gráfico en función de la temperatura.

Figura 1.6 El gráfico de los datos de la Tabla 1.1 muestra la temperatura en función del tiempo.

A partir de los puntos trazados en el gráfico en la Figura 1.6 podemos visualizar su forma general. A menudo es útil conectar los puntos del gráfico, lo cual representa los datos de la tabla. En este ejemplo, aunque no podemos llegar a ninguna conclusión definitiva sobre cuál era la temperatura en cualquier momento en el que esta no se registró, dado el número de puntos de datos recogidos y el patrón en estos puntos, es razonable sospechar que las temperaturas en otros momentos siguieron un patrón similar, como podemos ver en la Figura 1.7.

Figura 1.7 La conexión de los puntos en la Figura 1.6 muestra el patrón general de los datos.

Fórmulas algebraicas

A veces los valores de una función no se expresan en forma de una tabla, sino que se nos presentan en una fórmula explícita. Las fórmulas aparecen en muchas aplicaciones. Por ejemplo, el área de un círculo de radio $r$ viene dada por la fórmula $A\left(r\right)=\pi r^2.$ Cuando se lanza un objeto desde el suelo hacia arriba con una velocidad inicial $v_0$ pies/s, su altura sobre el suelo desde que se lanza hasta que cae al suelo viene dada por la fórmula $s\left(t\right)=\mathrm{–16}{t}^2+v_{0}t.$ Cuando $P$ dólares en una cuenta con una tasa de interés anual $r$ compuesto continuamente, la cantidad de dinero después de $t$ años viene dada por la fórmula $A\left(t\right)=P{e}^{rt}.$ Las fórmulas algebraicas son herramientas importantes para calcular los valores de las funciones. Con frecuencia también representamos estas funciones visualmente en forma de gráfico.

Dada una fórmula algebraica para una función $f,$ el gráfico de $f$ es el conjunto de puntos $\left(x,f\left(x\right)\right),$ donde $x$ está en el dominio de $f$ como $f(x)$ está en el rango. Para graficar una función dada por una fórmula, es útil comenzar usando la fórmula para crear una tabla de entradas y salidas. Si el dominio de $f$ consta de un número infinito de valores, no podemos enumerarlos todos, pero como enumerar algunas de las entradas y salidas puede ser muy útil, esta suele ser una buena manera de empezar.

Al crear una tabla de entradas y salidas, normalmente comprobamos si el cero es una salida. Esos valores de $x$ donde $f\left(x\right)=0$ se denominan los ceros de una función. Por ejemplo, los ceros de $f\left(x\right)=x^2-4$ son $x=\pm 2.$ Los ceros determinan dónde está el gráfico de $f$ interseca con el eje $x$, que nos da más información sobre la forma del gráfico de la función. Es posible que gráfico de una función de una función nunca interseque el eje x, o puede intersecar múltiples (o incluso infinitas) veces.

Otro punto de interés es la intersección $y$, si existe. La intersección $y$ viene dada por $\left(0,f\left(0\right)\right).$

Dado que una función tiene exactamente una salida para cada entrada, el gráfico de una función puede tener, como máximo, una intersección $y$. Si $x=0$ está en el dominio de una función $f,$ entonces $f$ tiene exactamente una intersección $y$. Si $x=0$ no está en el dominio de $f,$ entonces $f$ no tiene una intersección $y$. Del mismo modo, para cualquier número real $c,$ si $c$ está en el dominio de $f,$ hay exactamente una salida $f\left(c\right),$ y la línea $x=c$ interseca el gráfico de $f$ exactamente una vez. Por otro lado, si $c$ no está en el dominio de $f,f(c)$ no está definida y la línea $x=c$ no interseca el gráfico de $f.$ Esta propiedad se resume en la prueba de la línea vertical.

Regla: prueba de la línea vertical

Dada una función $f,$ todas las líneas verticales que se puedan dibujar intersecan el gráfico de $f$ solo una vez. Si cualquier línea vertical interseca un conjunto de puntos más de una vez, entonces ese conjunto no representa una función.

Podemos utilizar esta prueba para determinar si un conjunto de puntos trazados representa el gráfico de una función (Figura 1.8).

Figura 1.8 (a) El conjunto de puntos trazados representa el gráfico de una función porque cada línea vertical interseca el conjunto de puntos solo una vez. (b) El conjunto de puntos trazados no representa el gráfico de una función porque algunas líneas verticales intersecan el conjunto de puntos más de una vez.

Ejemplo 1.3

Hallar ceros e intersecciones $y$ de una función

Considere la función $f\left(x\right)=\mathrm{-4}x+2.$

1. Halle todos los ceros de $f.$
2. Halle la intersección $y$ (si la hay).
3. Dibuje un gráfico de $f.$

Solución

1. Para encontrar los ceros, resuelva $f(x)=\mathrm{-4}x+2=0.$ Descubrimos que $f$ tiene un cero en $x=1\text{/}2.$
2. La intersección en $y$ viene dada por $\left(0,f\left(0\right)\right)=\left(0,2\right).$
3. Dado que $f$ es una función lineal de la forma $f\left(x\right)=mx+b$ que pasa por los puntos $(1\text{/}2,0)$ y $(0,2),$ podemos dibujar el gráfico de $f$ (Figura 1.9).

   Figura 1.9 La función $f(x)=\mathrm{-4}x+2$ es una línea con una intersección
   $x$ $(1\text{/}2,0)$ y de $y$ $(0,2).$

Ejemplo 1.4

Uso de ceros e intersecciones $y$ para dibujar un gráfico

Considere la función $f(x)=\sqrt{x+3}+1.$

1. Halle todos los ceros de $f.$
2. Halle la intersección $y$ (si la hay).
3. Dibuje un gráfico de $f.$

Solución

1. Para encontrar los ceros, resuelva $\sqrt{x+3}+1=0.$ Esta ecuación implica $\sqrt{x+3}=\mathrm{-1}.$ Dado que $\sqrt{x+3}\ge 0$ para todo $x,$ esta ecuación no tiene solución, y por lo tanto $f$ no tiene ceros.
2. La intersección $y$ viene dada por $\left(0,f\left(0\right)\right)=(0,\sqrt{3}+1).$
3. Para graficar esta función hacemos una tabla de valores. Dado que necesitamos $x+3\ge 0,$ tenemos que elegir los valores de $x\ge \mathrm{-3}.$ Elegimos valores que facilitan la evaluación de la función raíz cuadrada.

   $\mathit{\text{x}}$	$\mathrm{-3}$	$\mathrm{-2}$	$1$
   $\mathit{\text{f}}\mathbf{(}\mathit{\text{x}}\mathbf{).}$ grandes.	$1$	$2$	$3$

   Tabla 1.2

Al utilizar la tabla y saber que la función es una raíz cuadrada, el gráfico de $f$ debería ser similar al gráfico de $y=\sqrt{x},$ y entonces dibujamos el gráfico (Figura 1.10).

Figura 1.10 El gráfico de $f(x)=\sqrt{x+3}+1$ tiene una intersección
$y$, pero no intersecciones $x$.

Punto de control 1.3

Halle los ceros de $f\left(x\right)=x^3-5x^2+6x.$

Ejemplo 1.5

Hallar la altura de un objeto en caída libre

Si se deja caer una bola desde una altura de $100$ ft, su altura $s$ en el momento $t$ viene dada por la función $s\left(t\right)=\mathrm{–16}{t}^2+100,$ donde $s$ se mide en pies y $t$ se mide en segundos. El dominio se restringe al intervalo $[0,c],$ donde $t=0$ es el momento en el que se deja caer la bola y $t=c$ es el momento en que la bola toca el suelo.

1. Elabore una tabla que muestre la altura $s(t)$ cuando $t=0,\mathrm{0,5},1,\mathrm{1,5},2,\text{y}\mathrm{2,5}.$ Con los datos de la tabla, determine el dominio de esta función. Es decir, hallar el momento $c$ cuando la bola toca el suelo.
2. Dibuje un gráfico de $s.$

Solución

1. 
   

   $\mathit{\text{t}}$	$0$	$\mathrm{0,5}$	$1$	$\mathrm{1,5}$	$2$	$\mathrm{2,5}$
   $\mathit{\text{s}}\mathbf{(}\mathit{\text{t}}\mathbf{).}$ grandes.	$100$	$96$	$84$	$64$	$36$	$0$

   Tabla 1.3 Altura $s$ en función del tiempo $t$

   Dado que el balón toca el suelo cuando $t=\mathrm{2,5},$ el dominio de esta función es el intervalo $[0,\mathrm{2,5}].$

2. 
   

Tenga en cuenta que para esta función y la función $f\left(x\right)=\mathrm{-4}x+2$ graficada en la Figura 1.9, los valores de $f(x)$ son cada vez más pequeños ya que $x$ es cada vez más grande. Una función con esta propiedad se denomina decreciente. Por otro lado, para la función $f\left(x\right)=\sqrt{x+3}+1$ graficada en la Figura 1.10, los valores de $f(x)$ se hacen más grandes a medida que los valores de $x$ son cada vez más grandes. Una función con esta propiedad se denomina creciente. Sin embargo, es importante señalar que una función puede ser creciente en algún intervalo o intervalos y decreciente en otro u otros intervalos. Por ejemplo, al utilizar nuestra función de temperatura en la Figura 1.6, podemos ver que la función es decreciente en el intervalo $(0,4),$ creciente en el intervalo $(4,14),$ y luego decreciente en el intervalo $\left(14,23\right).$ En la siguiente definición precisamos la idea de que una función aumenta o disminuye en un intervalo determinado.

Definición

Decimos que una función $f$ es creciente en el intervalo $I$ si para todas $x_1,x_2\in I,$

$$f(x_1)\le f(x_2)\text{cuando}{x}_1<x_2.$$

Decimos que $f$ es estrictamente creciente en el intervalo $I$ si para todas $x_1,x_2\in I,$

$$f(x_1)<f(x_2)\text{cuando}{x}_1<x_2.$$

Decimos que una función $f$ es decreciente en el intervalo $I$ si para todas $x_1,x_2\in I,$

$$f(x_1)\ge f(x_2)\text{si}{x}_1<x_2.$$

Decimos que una función $f$ es estrictamente decreciente en el intervalo $I$ si para todas $x_1,x_2\in I,$

$$f(x_1)>f(x_2)\text{si}{x}_1<x_2.$$

Por ejemplo, la función $f(x)=3x$ es creciente en el intervalo $(\text{−}\infty ,\infty )$ porque $3x_1<3x_2$ siempre que $x_1<x_2.$ Por otro lado, la función $f\left(x\right)=\text{−}{x}^3$ es decreciente en el intervalo $(\text{−}\infty ,\infty )$ porque $\text{−}{x}_1^3>-x_2^3$ siempre que $x_1<x_2$ (Figura 1.11).

Figura 1.11 (a) La función $f(x)=3x$ es creciente en el intervalo $(\text{−}\infty ,\infty ).$ (b) La función $f\left(x\right)=\text{−}{x}^3$ es decreciente en el intervalo $(\text{−}\infty ,\infty ).$

Combinación de funciones

Ya revisamos las características básicas de las funciones y podemos ver qué ocurre con estas propiedades cuando combinamos funciones de diferentes maneras, utilizando operaciones matemáticas básicas para crear nuevas funciones. Por ejemplo, si el costo para una empresa por la fabricación de $x$ artículos se describe mediante la función $C(x)$ y los ingresos creados por la venta de $x$ artículos se describe mediante la función $R\left(x\right),$ luego el beneficio de la fabricación y venta de $x$ se define como $P\left(x\right)=R\left(x\right)-C\left(x\right).$ Al utilizar la diferencia entre dos funciones, creamos una nueva función.

De manera alternativa podemos crear una nueva función componiendo dos funciones. Por ejemplo, dadas las funciones $f\left(x\right)=x^2$ y $g\left(x\right)=3x+1,$ la función compuesta $f\circ g$ se define de forma que

La función compuesta $g\circ f$ se define de forma que

Tenga en cuenta que estas dos nuevas funciones son diferentes entre sí.