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Cálculo volumen 1

1.4 Funciones inversas

Cálculo volumen 11.4 Funciones inversas

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Índice
  1. Prefacio
  2. 1 Funciones y gráficos
    1. Introducción
    2. 1.1 Repaso de las funciones
    3. 1.2 Clases básicas de funciones
    4. 1.3 Funciones trigonométricas
    5. 1.4 Funciones inversas
    6. 1.5 Funciones exponenciales y logarítmicas
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  3. 2 Límites
    1. Introducción
    2. 2.1 Un repaso previo del cálculo
    3. 2.2 El límite de una función
    4. 2.3 Las leyes de los límites
    5. 2.4 Continuidad
    6. 2.5 La definición precisa de un límite
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  4. 3 Derivadas
    1. Introducción
    2. 3.1 Definir la derivada
    3. 3.2 La derivada como función
    4. 3.3 Reglas de diferenciación
    5. 3.4 Las derivadas como tasas de cambio
    6. 3.5 Derivadas de funciones trigonométricas
    7. 3.6 La regla de la cadena
    8. 3.7 Derivadas de funciones inversas
    9. 3.8 Diferenciación implícita
    10. 3.9 Derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas
    11. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  5. 4 Aplicaciones de las derivadas
    1. Introducción
    2. 4.1 Tasas relacionadas
    3. 4.2 Aproximaciones lineales y diferenciales
    4. 4.3 Máximos y mínimos
    5. 4.4 El teorema del valor medio
    6. 4.5 Las derivadas y la forma de un gráfico
    7. 4.6 Límites al infinito y asíntotas
    8. 4.7 Problemas de optimización aplicados
    9. 4.8 La regla de L'Hôpital
    10. 4.9 Método de Newton
    11. 4.10 Antiderivadas
    12. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  6. 5 Integración
    1. Introducción
    2. 5.1 Aproximación de áreas
    3. 5.2 La integral definida
    4. 5.3 El teorema fundamental del cálculo
    5. 5.4 Fórmulas de integración y el teorema del cambio neto
    6. 5.5 Sustitución
    7. 5.6 Integrales con funciones exponenciales y logarítmicas
    8. 5.7 Integrales que resultan en funciones trigonométricas inversas
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  7. 6 Aplicaciones de la integración
    1. Introducción
    2. 6.1 Áreas entre curvas
    3. 6.2 Determinar los volúmenes mediante el corte
    4. 6.3 Volúmenes de revolución: capas cilíndricas
    5. 6.4 Longitud del arco de una curva y superficie
    6. 6.5 Aplicaciones físicas
    7. 6.6 Momentos y centros de masa
    8. 6.7 Integrales, funciones exponenciales y logaritmos
    9. 6.8 Crecimiento y decaimiento exponencial
    10. 6.9 Cálculo de las funciones hiperbólicas
    11. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  8. A Tabla de integrales
  9. B Tabla de derivadas
  10. C Repaso de Precálculo
  11. Clave de respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
  12. Índice

Objetivos de aprendizaje

  • 1.4.1 Determinar las condiciones para que una función tenga una inversa.
  • 1.4.2 Utilizar la prueba de la línea horizontal para reconocer cuándo una función es biunívoca.
  • 1.4.3 Hallar la inversa de una función dada.
  • 1.4.4 Dibujar el gráfico de una función inversa.
  • 1.4.5 Evaluar funciones trigonométricas inversas.

Una función inversa invierte la operación realizada por una determinada función. En otras palabras, lo que hace una función, lo deshace la función inversa. En esta sección, definiremos formalmente una función inversa y estableceremos las condiciones necesarias para que exista. Examinaremos cómo encontrar una función inversa y estudiaremos la relación entre el gráfico de una función y el gráfico de su inversa. A continuación, aplicaremos estas ideas para definir y discutir las propiedades de las funciones trigonométricas inversas.

Existencia de una función inversa

Comencemos con un ejemplo. Dada una función ff y una salida y=f(x),y=f(x), a menudo nos interesa encontrar qué valor o valores xx se asignaron a yy entre f.f. Por ejemplo, consideremos la función f(x)=x3+4.f(x)=x3+4. Dado que cualquier salida y=x3+4,y=x3+4, podemos resolver esta ecuación para xx y hallar que la entrada es x=y43.x=y43. Esta ecuación define xx en función de y.y. Denotando esta función como f−1,f−1, y escribiendo x=f−1(y)=y43,x=f−1(y)=y43, vemos que para cualquier xx en el dominio de f,f−1(f(x))=f−1(x3+4)=x.f,f−1(f(x))=f−1(x3+4)=x. Así, esta nueva función, f−1,f−1, "deshizo" lo que la función original ff hizo. Una función con esta propiedad se denomina función inversa de la función original.

Definición

Dada una función ff con dominio DD y rango R,R, su función inversa (si la hay) es la función f−1f−1 con dominio RR y rango DD de manera que f−1(y)=xf−1(y)=x si f(x)=y.f(x)=y. En otras palabras, para una función ff y su inversa f−1,f−1,

f−1(f(x))=xpara todoxinD,yf(f−1(y))=ypara todoyinR.f−1(f(x))=xpara todoxinD,yf(f−1(y))=ypara todoyinR.
(1.11)

Observe que f−1f−1 se lee como "f inversa" Aquí, el −1−1 no se utiliza como exponente y f−1(x)1/f(x).f−1(x)1/f(x). La Figura 1.37 muestra la relación entre el dominio y el rango de f y el dominio y el rango de f−1.f−1.

Imagen de dos burbujas. La primera burbuja es anaranjada y tiene dos identificaciones: la de arriba es "Dominio de f" y la de abajo es "Rango de f inversa". Dentro de esta burbuja está la variable "x". Una flecha anaranjada marcada como "f" apunta desde esta burbuja a la segunda burbuja. La segunda burbuja es azul y tiene dos marcas: la de arriba es "rango de f" y la de abajo es "dominio de f inversa". Dentro de esta burbuja está la variable "y". Una flecha azul con la marca "f inversa" apunta desde esta burbuja a la primera.
Figura 1.37 Dada una función f f y su inversa f −1 , f −1 ( y ) = x f −1 , f −1 ( y ) = x si y solo si f ( x ) = y . f ( x ) = y . El rango de f f se convierte en el dominio de f −1 f −1 y el dominio de f f se convierte en el rango de f −1 . f −1 .

Recordemos que una función tiene exactamente una salida para cada entrada. Por lo tanto, para definir una función inversa, necesitamos asignar cada entrada a una sola salida. Por ejemplo, intentemos encontrar la función inversa de f(x)=x2 .f(x)=x2 . Si resolvemos la ecuación y=x2 y=x2 por x,x, llegamos a la ecuación x=±y.x=±y. Esta ecuación no describe xx en función de yy porque hay dos soluciones a esta ecuación para cada y>0.y>0. El problema de intentar encontrar una función inversa para f(x)=x2 f(x)=x2 es que se envían dos entradas a una sola salida en cada salida y>0.y>0. La función f(x)=x3+4f(x)=x3+4 que se comentó anteriormente no presentaba ese problema. En esa función, cada entrada se enviaba a una salida diferente. Una función que envía cada entrada a una salida diferente se llama función biunívoca.

Definición

Decimos que ff es una función biunívoca si f(x1)f(x2 )f(x1)f(x2 ) cuando x1x2 .x1x2 .

Una forma de determinar si una función es biunívoca es observando su gráfico. Si una función es biunívoca, entonces no se pueden enviar dos entradas a la misma salida. Entonces, si dibujamos una línea horizontal en cualquier parte del plano xyxy según la prueba de la línea horizontal, esta no puede intersecar el gráfico más de una vez. Podemos notar que la prueba de la línea horizontal es diferente de la prueba de la línea vertical. La prueba de la línea vertical determina si un gráfico es el de una función. La prueba de la línea horizontal determina si una función es biunívoca (Figura 1.38).

Regla: prueba de la línea horizontal

Una función ff es biunívoca si y solo si cada línea horizontal interseca el gráfico de ff solo una vez.

Imagen de dos gráficos. Ambos gráficos tienen un eje x que va de -3 a 3 y un eje y que va de -3 a 4. El primer gráfico es de la función "f(x) = x al cuadrado", que es una parábola. La función disminuye hasta llegar al origen, donde comienza a aumentar. La intersección en x y la intersección en y están ambas en el origen. También hay dos líneas horizontales anaranjadas en el gráfico, que pasan por la función en dos puntos cada una. El segundo gráfico es de la función "f(x) = x al cubo", que es una función curva creciente. La intersección en x y la intersección en y están ambas en el origen. También hay tres líneas anaranjadas en el gráfico y cada una cruza la función en un solo punto.
Figura 1.38 (a) La función f ( x ) = x 2 f ( x ) = x 2 no es biunívoca porque falla la prueba de la línea horizontal. (b) La función f ( x ) = x 3 f ( x ) = x 3 es biunívoca porque pasa la prueba de la línea horizontal.

Ejemplo 1.28

Cómo determinar si una función es biunívoca

En cada una de las siguientes funciones, utilice la prueba de la línea horizontal para determinar si son biunívocas.

  1. Imagen de un gráfico. El eje x va de -3 a 11 y el eje y va de -3 a 11. El gráfico es de una función escalonada que contiene 10 pasos horizontales. Cada paso comienza con un círculo cerrado y termina con un círculo abierto. El primer paso comienza en el origen y termina en el punto (1, 0). El segundo paso comienza en el punto (1, 1) y termina en el punto (1, 2). Cada uno de los siguientes 8 pasos comienza 1 unidad más arriba en la dirección y que donde terminó el paso anterior. El décimo y último paso comienza en el punto (9, 9) y termina en el punto (10, 9)
  2. Imagen de un gráfico. El eje x va de -3 a 6 y el eje y va de -3 a 6. El gráfico es de la función "f(x) = (1/x)", una función curva decreciente. El gráfico de la función comienza justo debajo del eje x en el 4.º cuadrante y comienza a disminuir hasta acercarse al eje y. El gráfico va disminuyendo a medida que se acerca al eje y, pero nunca lo toca debido a la asíntota vertical. En el primer cuadrante, el gráfico de la función comienza cerca del eje y y sigue disminuyendo hasta acercarse al eje x. A medida que la función sigue disminuyendo se acerca cada vez más al eje x sin tocarlo, donde hay una asíntota horizontal.

Punto de control 1.23

¿La función ff graficada biunívoca en la siguiente imagen?

Imagen de un gráfico. El eje x va de -3 a 4 y el eje y va de -3 a 5. El gráfico es de la función "f(x) = (x al cubo) - x" que es una función curva. La función aumenta, disminuye y vuelve a aumentar. Las intersecciones en x están en los puntos (-1, 0), (0,0) y (1, 0). La intersección en y está en el origen.

Encontrar la inversa de una función

Ahora podemos considerar las funciones biunívocas y mostrar cómo encontrar sus inversas. Recordemos que una función asigna elementos en el dominio de ff a elementos en el rango de f.f. La función inversa asigna cada elemento del rango de ff a su elemento correspondiente del dominio de f.f. Por lo tanto, para encontrar la función inversa de una función biunívoca f,f, dada cualquier yy en el rango de f,f, tenemos que determinar cuál xx en el dominio de ff satisface f(x)=y.f(x)=y. Dado que ff es biunívoca, hay exactamente un valor de este tipo x.x. Podemos encontrar ese valor xx resolviendo la ecuación f(x)=yf(x)=y para x.x. Al hacer esto, podemos escribir xx en función de yy donde el dominio de esta función es el rango de ff y el rango de esta nueva función es el dominio de f.f. En consecuencia, esta función es la inversa de f,f, y escribimos x=f−1(y).x=f−1(y). Dado que normalmente utilizamos la variable xx para denotar la variable independiente y yy para denotar la variable dependiente, a menudo intercambiamos los papeles de xx como y,y, y se escribe y=f−1(x).y=f−1(x). Representar la función inversa de esta manera también es útil más adelante cuando grafiquemos una función ff y su inversa f−1f−1 en los mismos ejes.

Estrategia de resolución de problemas

Estrategia para la resolución de problemas: hallar una función inversa

  1. Resuelva la ecuación y=f(x)y=f(x) para x.x.
  2. Intercambie las variables de xx como yy y escriba y=f−1(x).y=f−1(x).

Ejemplo 1.29

Hallar una función inversa

Halle la inversa de la función f(x)=3x4.f(x)=3x4. Indique el dominio y el rango de la función inversa. Verifique que f−1(f(x))=x.f−1(f(x))=x.

Punto de control 1.24

Halle la inversa de la función f(x)=3x/(x2 ).f(x)=3x/(x2 ). Indique el dominio y el rango de la función inversa.

Gráficos de funciones inversas

Consideremos la relación entre el gráfico de una función ff y el gráfico de su inversa. Consideremos el gráfico de ff que se muestra en la Figura 1.39 y un punto (a,b)(a,b) en el gráfico. Dado que b=f(a),b=f(a), entonces f−1(b)=a.f−1(b)=a. Por lo tanto, cuando graficamos f−1,f−1, el punto (b,a)(b,a) está en el gráfico. Como resultado, el gráfico de f−1f−1 es un reflejo del gráfico de ff sobre la línea y=x.y=x.

Imagen de dos gráficos. El primer gráfico es de "y = f(x)", que es una función curva creciente, que aumenta a un ritmo más rápido a medida que aumenta x. El punto (a, b) está en el gráfico de la función en el primer cuadrante. El segundo gráfico también grafica "y = f(x)" con el punto (a, b), pero también grafica la función "y = f inversa (x)", una función curva creciente, que aumenta a un ritmo más lento a medida que x aumenta. Esta función incluye el punto (b, a). Además de las dos funciones, hay una línea diagonal punteada con la ecuación "y =x", que muestra que "f(x)" y "f inversa (x)" son imágenes reflejadas sobre la línea "y =x".
Figura 1.39 (a) El gráfico de esta función f f muestra el punto ( a , b ) ( a , b ) en el gráfico de f . f . (b) Ya que ( a , b ) ( a , b ) está en el gráfico de f , f , el punto ( b , a ) ( b , a ) está en el gráfico de f −1 . f −1 . El gráfico de f −1 f −1 es un reflejo del gráfico de f f sobre la línea y = x . y = x .

Ejemplo 1.30

Trazado de gráficos de funciones inversas

En el gráfico de ff en la siguiente imagen dibuje un gráfico de f−1f−1 trazando la línea y=xy=x y utilizando la simetría. Identifique el dominio y el rango de f−1.f−1.

Imagen de un gráfico. El eje x va de -2 a 2 y el eje y va de 0 a 2. El gráfico es de la función "f(x) = raíz cuadrada de (x +2)", una función curva creciente. La función comienza en el punto (-2, 0). La intersección x está en (-2, 0) y la intersección y está en el punto aproximado (0, 1,4).

Punto de control 1.25

Dibuje la gráfica de f(x)=2 x+3f(x)=2 x+3 y el gráfico de su inversa utilizando la propiedad de simetría de las funciones inversas.

Restricciones de dominio

Como hemos visto, f(x)=x2 f(x)=x2 no tiene una función inversa porque no es biunívoca. Sin embargo, podemos elegir un subconjunto del dominio de ff tal que la función es biunívoca. Este subconjunto se denomina dominio restringido. Al restringir el dominio de f,f, podemos definir una nueva función gg tal que el dominio de gg es el dominio restringido de ff y g(x)=f(x)g(x)=f(x) para todo xx en el dominio de g.g. Entonces podemos definir una función inversa para gg en ese dominio. Por ejemplo, ya que f(x)=x2 f(x)=x2 es biunívoca en el intervalo [0,),[0,), podemos definir una nueva función gg tal que el dominio de gg ¿es [0,)[0,) y g(x)=x2 g(x)=x2 para todas las xx en su dominio. Dado que gg es una función biunívoca, tiene una función inversa, dada por la fórmula g−1(x)=x.g−1(x)=x. Por otro lado, la función f(x)=x2 f(x)=x2 también es biunívoca en el dominio (,0].(,0]. Por lo tanto, también podríamos definir una nueva función hh tal que el dominio de hh ¿es (,0](,0] y h(x)=x2 h(x)=x2 para todas las xx en el dominio de h.h. Entonces hh es una función biunívoca y también debe tener una inversa. Su inversa viene dada por la fórmula h−1(x)=xh−1(x)=x (Figura 1.40).

Imagen de dos gráficos. Ambos gráficos tienen un eje x que va de -2 a 5 y un eje y que va de -2 a 5. El primer gráfico es de dos funciones. La primera función es "g(x) = x al cuadrado", una función curva creciente que parte del punto (0, 0). Esta función aumenta a un ritmo más rápido para valores mayores de x. La segunda función es "g inversa (x) = raíz cuadrada de x", una función curva creciente que parte del punto (0, 0). Esta función aumenta a un ritmo más lento para valores mayores de x. La primera función es "h(x) = x al cuadrado", una función curva decreciente que termina en el punto (0, 0). Esta función disminuye a un ritmo más lento para valores mayores de x. La segunda función es "h inversa (x) = -(raíz cuadrada de x)", una función curva creciente que parte del punto (0, 0). Esta función disminuye a un ritmo más lento para valores mayores de x. Además de las dos funciones, hay una línea diagonal punteada con la ecuación "y =x", que muestra que "f(x)" y "f inversa (x)" son imágenes reflejadas sobre la línea "y =x".
Figura 1.40 (a) Para g ( x ) = x 2 g ( x ) = x 2 limitada a [ 0 , ) , g −1 ( x ) = x . [ 0 , ) , g −1 ( x ) = x . (b) Para h ( x ) = x 2 h ( x ) = x 2 limitada a ( , 0 ] , h −1 ( x ) = x . ( , 0 ] , h −1 ( x ) = x .

Ejemplo 1.31

Restringir el dominio

Considere la función f(x)=(x+1)2 .f(x)=(x+1)2 .

  1. Dibuje la gráfica de ff y utilice la prueba de la línea horizontal para demostrar que ff no es biunívoca.
  2. Demuestre que ff es biunívoca en el dominio restringido [−1,).[−1,). Determine el dominio y el rango de la inversa de ff en este dominio restringido y halle una fórmula para f−1.f−1.

Punto de control 1.26

Considere f(x)=1/x2 f(x)=1/x2 restringida al dominio (,0).(,0). Verifique que ff es biunívoca en este dominio. Determine el dominio y el rango de la inversa de ff y halle una fórmula para f−1.f−1.

Funciones trigonométricas inversas

Las seis funciones trigonométricas básicas son periódicas y, por tanto, no son biunívocas. Sin embargo, si restringimos el dominio de una función trigonométrica a un intervalo en el que es biunívoca, podemos definir su inversa. Consideremos la función seno (Figura 1.34). La función seno es biunívoca en un número infinito de intervalos, pero la convención estándar es restringir el dominio al intervalo [π2 ,π2 ].[π2 ,π2 ]. Al hacerlo, definimos la función seno inversa en el dominio [−1,1][−1,1] tal que para cualquier xx en el intervalo [−1,1],[−1,1], la función seno inversa nos dice qué ángulo θθ en el intervalo [π2 ,π2 ][π2 ,π2 ] satisface senθ=x.senθ=x. Del mismo modo, podemos restringir los dominios de las otras funciones trigonométricas para definir las funciones trigonométricas inversas, que son funciones que nos dicen qué ángulo en un determinado intervalo tiene un valor trigonométrico específico.

Definición

La función seno inversa, denotada sen−1sen−1 o arcsen, y la función coseno inversa, denotada cos−1cos−1 o arccos, se definen en el dominio D={x|1x1}D={x|1x1} de la siguiente forma:

sen−1(x)=ysi y solo sisen(y)=xyπ2 yπ2 ;cos−1(x)=ysi y solo sicos(y)=xy0yπ.sen−1(x)=ysi y solo sisen(y)=xyπ2 yπ2 ;cos−1(x)=ysi y solo sicos(y)=xy0yπ.
(1.12)

La función tangente inversa, denotada tan−1tan−1 o arctan, y la función cotangente inversa, denotada cot−1cot−1 o arccot, se definen en el dominio D={x|<x<}D={x|<x<} de la siguiente forma:

tan–1(x)=ysi y solo sitan(y)=xyπ2 <y<π2 ;cot−1(x)=ysi y solo sicot(y)=xy0<y<π.tan–1(x)=ysi y solo sitan(y)=xyπ2 <y<π2 ;cot−1(x)=ysi y solo sicot(y)=xy0<y<π.
(1.13)

La función cosecante inversa, denotada csc−1csc−1 o arccsc, y la función secante inversa, denotada sec−1sec−1 o arcsec, se definen en el dominio D={x||x|1}D={x||x|1} de la siguiente forma:

csc−1(x)=ysi y solo sicsc(y)=xyπ2 yπ2 ,y0;sec−1(x)=ysi y solo sisec(y)=xy0yπ,yπ/2 .csc−1(x)=ysi y solo sicsc(y)=xyπ2 yπ2 ,y0;sec−1(x)=ysi y solo sisec(y)=xy0yπ,yπ/2 .
(1.14)

Para graficar las funciones trigonométricas inversas utilizamos los gráficos de las funciones trigonométricas restringidas a los dominios definidos anteriormente y reflejamos los gráficos sobre la línea y=xy=x (Figura 1.41).

Una imagen de seis gráficos. El primer gráfico es de la función "f(x) = sen inversa(x)", que es una función de curva creciente. La función comienza en el punto (–1, –(pi/2)) y aumenta hasta terminar en el punto (1, (pi/2)). La intersección x y la intersección y están en el origen. El segundo gráfico es de la función "f(x) = cos inversa (x)", que es una función curva decreciente. La función comienza en el punto (-1, pi) y disminuye hasta terminar en el punto (1, 0). La intersección x está en el punto (1, 0). La intersección y está en el punto (0, (pi/2)). El tercer gráfico es de la función f(x) = tan inversa (x)", que es una función de curva creciente. La función comienza cerca de la línea horizontal "y = -(pi/2)" y aumenta hasta acercarse a la "y = (pi/2)". La función nunca interseca ninguna de estas líneas, siempre se mantiene entre ellas; son asíntotas horizontales. La intersección en x y la intersección en y están ambas en el origen. El cuarto gráfico es de la función "f(x) = cot inversa (x)", que es una función curva decreciente. La función comienza ligeramente por debajo de la línea horizontal "y = pi" y va disminuyendo hasta acercarse al eje x. La función nunca interseca ninguna de estas líneas, siempre se mantiene entre ellas; son asíntotas horizontales. El quinto gráfico es de la función "f(x) = csc inversa (x)", una función curva decreciente. La función comienza ligeramente por debajo del eje x, y luego disminuye hasta llegar a un punto de círculo cerrado en (-1, -(pi/2)). A continuación, la función retoma el punto (1, (pi/2)), donde comienza a disminuir y a acercarse al eje x, sin llegar a tocarlo. Hay una asíntota horizontal en el eje x. El sexto gráfico es de la función "f(x) = sec inversa (x)", una función curva creciente. La función comienza ligeramente por encima de la línea horizontal "y = (pi/2)", y luego aumenta hasta llegar a un punto de círculo cerrado en (-1, pi). La función retoma su curso en el punto (1, 0), donde comienza a aumentar y a acercarse a la línea horizontal "y = (pi/2)", sin llegar a tocarla. Hay una asíntota horizontal en la "y = (pi/2)".
Figura 1.41 El gráfico de cada una de las funciones trigonométricas inversas es una reflexión sobre la línea y = x y = x de la correspondiente función trigonométrica restringida.

Medios

Visite el siguiente sitio para ver más comparaciones de funciones y sus inversas.

Al evaluar una función trigonométrica inversa, la salida es un ángulo. Por ejemplo, para evaluar cos−1(12 ),cos−1(12 ), necesitamos encontrar un ángulo θθ de manera que cosθ=12 .cosθ=12 . Evidentemente, muchos ángulos tienen esta propiedad. Sin embargo, dada la definición de cos−1,cos−1, necesitamos el ángulo θθ que no solo resuelve esta ecuación, sino que se encuentra en el intervalo [0,π].[0,π]. Concluimos que cos−1(12 )=π3.cos−1(12 )=π3.

Ahora consideraremos una composición de una función trigonométrica y su inversa. Por ejemplo, veamos las dos expresiones sen(sen−1(2 2 ))sen(sen−1(2 2 )) y sen−1(sen(π)).sen−1(sen(π)). En la primera, simplificamos como sigue:

sen(sen−1(2 2 ))=sen(π4)=2 2 .sen(sen−1(2 2 ))=sen(π4)=2 2 .

En la segunda, tenemos

sen−1(sen(π))=sen−1(0)=0.sen−1(sen(π))=sen−1(0)=0.

La función inversa se supone que "deshace" la función original, así que ¿por qué no es sen−1(sen(π))=π?sen−1(sen(π))=π? Recordando nuestra definición de funciones inversas, una función ff y su inversa f−1f−1 cumplen las condiciones f(f−1(y))=yf(f−1(y))=y para todos los yy en el dominio de f−1f−1 y f−1(f(x))=xf−1(f(x))=x para todos los valores xx en el dominio de f,f, ¿Qué pasó aquí? La cuestión es que la función inversa del seno, sen−1,sen−1, es la inversa de la función seno restringida definida en el dominio [π2 ,π2 ].[π2 ,π2 ]. Por lo tanto, para xx en el intervalo [π2 ,π2 ],[π2 ,π2 ], es cierto que sen−1(senx)=x.sen−1(senx)=x. Sin embargo, para valores de xx fuera de este intervalo, la ecuación no se cumple, aunque sen−1(senx)sen−1(senx) se define para todos los números reales x.x.

¿Qué pasa con sen(sen−1y)?sen(sen−1y)? ¿Presenta un problema similar? La respuesta es no. Dado que el dominio de sen−1sen−1 es el intervalo [−1,1],[−1,1], concluimos que sen(sen−1y)=ysen(sen−1y)=y si −1y1−1y1 y la expresión no está definida para otros valores de y.y. En resumen,

sen(sen−1y)=ysi−1y1sen(sen−1y)=ysi−1y1

y

sen−1(senx)=xsiπ2 xπ2 .sen−1(senx)=xsiπ2 xπ2 .

Del mismo modo, para la función coseno,

cos(cos−1y)=ysi−1y1cos(cos−1y)=ysi−1y1

y

cos−1(cosx)=xsi0xπ.cos−1(cosx)=xsi0xπ.

Propiedades similares son válidas para las demás funciones trigonométricas y sus inversas.

Ejemplo 1.32

Evaluación de expresiones que implican funciones trigonométricas inversas

Evalúe cada una de las siguientes expresiones.

  1. sen−1(32 )sen−1(32 ) grandes.
  2. tan(tan–1(13))tan(tan–1(13)) grandes.
  3. cos−1(cos(5π4))cos−1(cos(5π4)) grandes.
  4. sen−1(cos(2 π3))sen−1(cos(2 π3))

Proyecto de estudiante

Valor máximo de una función

En muchas áreas de la ciencia, la ingeniería y las matemáticas es útil conocer el valor máximo que puede obtener una función, aunque no conozcamos su valor exacto en un instante determinado. Por ejemplo, si tenemos una función que describe la resistencia de una viga del tejado, querremos saber el peso máximo que puede soportar la viga sin romperse. Si tenemos una función que describe la velocidad de un tren, nos gustaría saber su velocidad máxima antes de que salte de los raíles. El diseño seguro depende a menudo de conocer los valores máximos.

Este proyecto describe un ejemplo sencillo de una función con un valor máximo dependiente de los coeficientes de dos ecuaciones. Veremos que los valores máximos pueden depender de varios factores distintos de la variable independiente x.

  1. Consideremos el gráfico en la Figura 1.42 de la función y=senx+cosx.y=senx+cosx. Describa su forma general. ¿Es periódico? ¿Cómo lo sabe?
    Imagen de un gráfico. El eje x va de –4 a 4 y el eje y va de –4 a 4. El gráfico es de la función "y = sen(x) + cos(x)", una función de onda curva. El gráfico de la función disminuye hasta llegar al punto aproximado (–(3pi/4), –1,4), donde aumenta hasta el punto aproximado ((pi/4), 1,4), donde comienza a disminuir de nuevo. Las intersecciones x que se muestran en este gráfico de la función están en (–(5pi/4), 0), (–(pi/4), 0) y ((3pi/4), 0). La intersección y está en (0, 1).
    Figura 1.42 El gráfico de y = sen x + cos x . y = sen x + cos x .

    Utilizando una calculadora gráfica u otro dispositivo para graficar estime los valores xx y yy del punto máximo del gráfico (el primer punto de este tipo donde x > 0). Puede ser útil expresar el valor de xx como múltiplo de π.
  2. Consideremos ahora otros gráficos de la forma y=Asenx+Bcosxy=Asenx+Bcosx para varios valores de A y B. Dibuje el gráfico cuando A = 2 y B = 1, y halle los valores xx y los y para el punto máximo (recuerde expresar el valor x como un múltiplo de π, si es posible). ¿Se movió?
  3. Repita para A = 1, B = 2. ¿Hay alguna relación con lo que encontró en la parte (2)?
  4. Complete la siguiente tabla añadiendo algunas opciones propias para A y B:
    A B x y A B x y
    0 1 33 1
    1 0 1 33
    1 1 12 5
    1 2 5 12
    2 1
    2 2
    3 4
    4 3
  5. Trate de averiguar la fórmula de los valores y.
  6. La fórmula de los valores xx es un poco más difícil. Los puntos más útiles de la tabla son (1,1),(1,3),(3,1).(1,1),(1,3),(3,1). (Pista: Considere las funciones trigonométricas inversas)
  7. Si halló fórmulas para las partes (5) y (6), demuestre que funcionan juntas. Es decir, sustituya la fórmula de valor xx que encontró en y=Asenx+Bcosxy=Asenx+Bcosx y simplifíquela para llegar a la fórmula de valor yy que encontró.

Sección 1.4 ejercicios

En los siguientes ejercicios, utilice la prueba de la línea horizontal para determinar si las funciones en cada uno de los gráficos dados son biunívocas.

183.
Imagen de un gráfico. El eje x va de -4 a 4 y el eje y va de -4 a 4. El gráfico es de una función que disminuye en línea recta hasta el origen, donde comienza a aumentar en línea recta. La intersección en x y la intersección en y están ambas en el origen.
184.
Imagen de un gráfico. El eje x va de 0 a 7 y el eje y va de -4 a 4. El gráfico es de una función que siempre es creciente. Hay una intersección x aproximada en el punto (1, 0) y no se muestra ninguna intersección y.
185.
Imagen de un gráfico. El eje x va de -4 a 4 y el eje y va de -4 a 4. El gráfico es de una función que se asemeja a un semicírculo, la mitad superior de un círculo. La función comienza en el punto (-3, 0) y aumenta hasta el punto (0, 3), donde comienza a disminuir hasta terminar en el punto (3, 0). Las intersecciones en x están en (-3, 0) y (3, 0). La intersección y está en (0, 3).
186.
Imagen de un gráfico. El eje x va de -4 a 4 y el eje y va de -4 a 4. El gráfico es de una función curva. La función aumenta hasta llegar al origen, luego disminuye hasta llegar al punto (2, -4), donde comienza a aumentar de nuevo. Hay intersecciones en x en el origen y en el punto (3, 0). La intersección en y está en el origen.
187.
Imagen de un gráfico. El eje x va de -4 a 4 y el eje y va de -4 a 4. El gráfico es de una función curva que siempre es creciente. La intersección en x y la intersección en y están ambas en el origen.
188.
Imagen de un gráfico. El eje x va de -4 a 7 y el eje y va de -4 a 4. El gráfico es de una función que aumenta en línea recta hasta el punto aproximado (0, 3). Después de este punto, la función se convierte en una línea recta horizontal. La intersección en x y la intersección en y están ambas en el origen.

En los siguientes ejercicios, a. halle la función inversa, y b. halle el dominio y el rango de la función inversa.

189.

f ( x ) = x 2 4 , x 0 f ( x ) = x 2 4 , x 0

190.

f ( x ) = x 4 3 f ( x ) = x 4 3

191.

f ( x ) = x 3 + 1 f ( x ) = x 3 + 1

192.

f ( x ) = ( x 1 ) 2 , x 1 f ( x ) = ( x 1 ) 2 , x 1

193.

f ( x ) = x 1 f ( x ) = x 1

194.

f ( x ) = 1 x + 2 f ( x ) = 1 x + 2

En los siguientes ejercicios, utilice el gráfico de ff para dibujar el gráfico de su función inversa.

195.
Imagen de un gráfico. El eje x va de -4 a 4 y el eje y va de -4 a 4. El gráfico es de una función línea creciente denominada "f" que siempre es creciente. La intersección x está en (-2, 0) y la intersección y está en (0, 1).
196.
Imagen de un gráfico. El eje x va de -4 a 4 y el eje y va de -4 a 4. El gráfico es de una función curva decreciente marcada "f". A medida que la función disminuye, se acerca al eje x pero nunca lo toca. La función no tiene intersección x y la intersección y es (0, 1).
197.
Imagen de un gráfico. El eje x va de -8 a 8 y el eje y va de -8 a 8. El gráfico es de una función en línea recta creciente denominada "f". La función comienza en el punto (0, 1) y aumenta en línea recta hasta el punto (4, 6). Después de este punto, la función sigue aumentando, pero a un ritmo más lento que antes, a medida que se acerca al punto (8, 8). La función no tiene intersección x y la intersección y es (0, 1).
198.
Imagen de un gráfico. El eje x va de -4 a 4 y el eje y va de -4 a 4. El gráfico es de una función curva decreciente denominada "f", que termina en el origen, que es a la vez la intersección x y la intersección y. Otro punto de la función es (-4, 2).

En los siguientes ejercicios, utilice la composición para determinar qué pares de funciones son inversas.

199.

f ( x ) = 8 x , g ( x ) = x 8 f ( x ) = 8 x , g ( x ) = x 8

200.

f ( x ) = 8 x + 3 , g ( x ) = x 3 8 f ( x ) = 8 x + 3 , g ( x ) = x 3 8

201.

f ( x ) = 5 x 7 , g ( x ) = x + 5 7 f ( x ) = 5 x 7 , g ( x ) = x + 5 7

202.

f ( x ) = 2 3 x + 2 , g ( x ) = 3 2 x + 3 f ( x ) = 2 3 x + 2 , g ( x ) = 3 2 x + 3

203.

f ( x ) = 1 x 1 , x 1 , g ( x ) = 1 x + 1 , x 0 f ( x ) = 1 x 1 , x 1 , g ( x ) = 1 x + 1 , x 0

204.

f ( x ) = x 3 + 1 , g ( x ) = ( x 1 ) 1 / 3 f ( x ) = x 3 + 1 , g ( x ) = ( x 1 ) 1 / 3

205.

f ( x ) = x 2 + 2 x + 1 , x −1 , g ( x ) = −1 + x , x 0 f ( x ) = x 2 + 2 x + 1 , x −1 , g ( x ) = −1 + x , x 0

206.

f ( x ) = 4 x 2 , 0 x 2 , g ( x ) = 4 x 2 , 0 x 2 f ( x ) = 4 x 2 , 0 x 2 , g ( x ) = 4 x 2 , 0 x 2

En los siguientes ejercicios, evalúe las funciones. Indique el valor exacto.

207.

tan–1(33)tan–1(33) grandes.

208.

cos−1(2 2 )cos−1(2 2 ) grandes.

209.

cot−1(1)cot−1(1) grandes.

210.

sen−1(–1)sen−1(–1) grandes.

211.

cos−1(32 )cos−1(32 ) grandes.

212.

cos(tan–1(3))cos(tan–1(3)) grandes.

213.

sen(cos−1(2 2 ))sen(cos−1(2 2 )) grandes.

214.

sen−1(sen(π3))sen−1(sen(π3)) grandes.

215.

tan–1(tan(π6))tan–1(tan(π6)) grandes.

216.

La función C=T(F)=(5/9)(F32)C=T(F)=(5/9)(F32) convierte los grados Fahrenheit en grados Celsius.

  1. Halle la función inversa F=T−1(C)F=T−1(C)
  2. ¿Para qué sirve la función inversa?
217.

[T] La velocidad V (en centímetros por segundo) de la sangre en una arteria a una distancia x cm del centro de esta puede modelarse por la función V=f(x)=500(0,04x2 )V=f(x)=500(0,04x2 ) para 0x0,2.0x0,2.

  1. Calcule x=f−1(V).x=f−1(V).
  2. Interprete para qué sirve la función inversa.
  3. Halle la distancia del centro de una arteria con una velocidad de 15 cm/s, 10 cm/s y 5 cm/s.
218.

Una función que convierte las tallas de los vestidos en Estados Unidos a las de Europa viene dada por D(x)=2 x+24.D(x)=2 x+24.

  1. Calcule las tallas europeas de vestidos que corresponden a las tallas 6, 8, 10 y 12 en Estados Unidos.
  2. Halle la función que convierte las tallas de vestidos europeas en tallas estadounidenses de vestidos.
  3. Utilice la parte b. para encontrar las tallas de vestido en Estados Unidos que corresponden a la 46, 52, 62 y 70.
219.

[T] El costo de eliminar una toxina de un lago se modela mediante la función

C(p)=75p/(85p),C(p)=75p/(85p), donde CC es el costo (en miles de dólares) y pp es la cantidad de toxina en un lago pequeño (medida en partes por mil millones [parts per billion, ppb]). Este modelo solo es válido cuando la cantidad de toxina es inferior a 85 ppb.

  1. Calcule el costo de eliminar 25 ppb, 40 ppb y 50 ppb de la toxina del lago.
  2. Halle la función inversa. c. Utilice la parte b. para determinar qué cantidad de toxina se elimina por 50.000 dólares.
220.

[T] Un automóvil de carreras acelera a una velocidad dada por

v(t)=254t+54,v(t)=254t+54, donde v es la velocidad (en pies por segundo) en el tiempo t.

  1. Halle la velocidad del automóvil a los 10 s.
  2. Halle la función inversa.
  3. Utilice la parte b. para determinar el tiempo que tarda el automóvil en alcanzar una velocidad de 150 ft/s.
221.

[T] El número Mach M de un avión es la relación entre su velocidad y la velocidad del sonido. Cuando un avión vuela a una altitud constante, su ángulo de Mach viene dado por μ=2 sen−1(1M).μ=2 sen−1(1M).

Halle el ángulo de Mach (al grado más cercano) para los siguientes números Mach.

Imagen de un avión a vuelo de pájaro. Directamente delante del avión hay una forma de "V" lateral, con el avión volando directamente hacia la apertura de dicha forma. La forma de "V" se denomina "onda mach". Hay dos flechas marcadas. La primera flecha señala desde el morro del avión hasta la esquina de la "V". Esta flecha tiene la marca "velocidad = v". La segunda flecha apunta en diagonal desde el morro del avión hasta el borde de la parte superior de la forma de "V". Esta flecha tiene la marca "velocidad del sonido = a". Entre estas dos flechas hay un ángulo denominado "ángulo de Mach". También hay un texto en la imagen que dice "mach = M > 1,0".
  1. M=1,4M=1,4
  2. M=2,8M=2,8
  3. M=4,3 M=4,3
222.

[T] Usando μ=2 sen−1(1M),μ=2 sen−1(1M), halle el número Mach M para los siguientes ángulos.

  1. μ=π6μ=π6
  2. μ=2 π7μ=2 π7
  3. μ=3π8μ=3π8
223.

[T] La temperatura promedio (en grados Celsius) de una ciudad del norte de Estados Unidos se puede modelar mediante la función

T(x)=5+18sen[π6(x4,6)],T(x)=5+18sen[π6(x4,6)], donde xx es el tiempo en meses y x=1,00x=1,00 corresponde al 1 de enero. Determine el/los día(s) (mes y día) en que la temperatura promedio es 21 °C.21 °C.Utilice la parte entera de su(s) respuesta(s) como el mes y calcule el día del mes a partir de la parte decimal.

224.

[T] La profundidad (en pies) del agua en un muelle cambia con la subida y bajada de las mareas. Se modela mediante la función

D(t)=5sen(π6t7π6)+8,D(t)=5sen(π6t7π6)+8, donde tt es el número de horas después de la medianoche. Determine el primer momento después de medianoche cuando la profundidad es de 11,75 ft.

225.

[T] Un objeto que se mueve con movimiento armónico simple se modela mediante la función

s(t)=−6cos(πt2 ),s(t)=−6cos(πt2 ), donde ss se mide en pulgadas y tt se mide en segundos. Determine el primer tiempo cuando la distancia recorrida es de 4,5 in

226.

[T] Una galería de arte local tiene un retrato de 3 ft de altura que está colgado a 2,5 ft por encima del nivel de los ojos de una persona de estatura promedio. El ángulo de visión θθ se puede modelar mediante la función

θ=tan−15,5xtan−12,5x,θ=tan−15,5xtan−12,5x, donde xx es la distancia (en pies) desde el retrato. Halle el ángulo de visión de una persona que está a 4 ft del retrato.

227.

[T] Utilice una calculadora para evaluar tan–1(tan(2,1))tan–1(tan(2,1)) y cos−1(cos(2,1)).cos−1(cos(2,1)). Explique los resultados de cada uno.

228.

[T] Utilice una calculadora para evaluar sen(sen−1(−2))sen(sen−1(−2)) y tan(tan–1(−2)).tan(tan–1(−2)). Explique los resultados de cada uno.

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