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Cálculo volumen 1

1.5 Funciones exponenciales y logarítmicas

Cálculo volumen 11.5 Funciones exponenciales y logarítmicas

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Índice
  1. Prefacio
  2. 1 Funciones y gráficos
    1. Introducción
    2. 1.1 Repaso de las funciones
    3. 1.2 Clases básicas de funciones
    4. 1.3 Funciones trigonométricas
    5. 1.4 Funciones inversas
    6. 1.5 Funciones exponenciales y logarítmicas
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  3. 2 Límites
    1. Introducción
    2. 2.1 Un repaso previo del cálculo
    3. 2.2 El límite de una función
    4. 2.3 Las leyes de los límites
    5. 2.4 Continuidad
    6. 2.5 La definición precisa de un límite
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  4. 3 Derivadas
    1. Introducción
    2. 3.1 Definir la derivada
    3. 3.2 La derivada como función
    4. 3.3 Reglas de diferenciación
    5. 3.4 Las derivadas como tasas de cambio
    6. 3.5 Derivadas de funciones trigonométricas
    7. 3.6 La regla de la cadena
    8. 3.7 Derivadas de funciones inversas
    9. 3.8 Diferenciación implícita
    10. 3.9 Derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas
    11. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  5. 4 Aplicaciones de las derivadas
    1. Introducción
    2. 4.1 Tasas relacionadas
    3. 4.2 Aproximaciones lineales y diferenciales
    4. 4.3 Máximos y mínimos
    5. 4.4 El teorema del valor medio
    6. 4.5 Las derivadas y la forma de un gráfico
    7. 4.6 Límites al infinito y asíntotas
    8. 4.7 Problemas de optimización aplicados
    9. 4.8 La regla de L'Hôpital
    10. 4.9 Método de Newton
    11. 4.10 Antiderivadas
    12. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  6. 5 Integración
    1. Introducción
    2. 5.1 Aproximación de áreas
    3. 5.2 La integral definida
    4. 5.3 El teorema fundamental del cálculo
    5. 5.4 Fórmulas de integración y el teorema del cambio neto
    6. 5.5 Sustitución
    7. 5.6 Integrales con funciones exponenciales y logarítmicas
    8. 5.7 Integrales que resultan en funciones trigonométricas inversas
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  7. 6 Aplicaciones de la integración
    1. Introducción
    2. 6.1 Áreas entre curvas
    3. 6.2 Determinar los volúmenes mediante el corte
    4. 6.3 Volúmenes de revolución: capas cilíndricas
    5. 6.4 Longitud del arco de una curva y superficie
    6. 6.5 Aplicaciones físicas
    7. 6.6 Momentos y centros de masa
    8. 6.7 Integrales, funciones exponenciales y logaritmos
    9. 6.8 Crecimiento y decaimiento exponencial
    10. 6.9 Cálculo de las funciones hiperbólicas
    11. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  8. A Tabla de integrales
  9. B Tabla de derivadas
  10. C Repaso de Precálculo
  11. Clave de respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
  12. Índice

Objetivos de aprendizaje

  • 1.5.1 Identificar la forma de una función exponencial.
  • 1.5.2 Explicar la diferencia entre los gráficos de x b x b y b x . b x .
  • 1.5.3 Reconocer el significado del número e . e .
  • 1.5.4 Identificar la forma de una función logarítmica.
  • 1.5.5 Explicar la relación entre las funciones exponenciales y logarítmicas.
  • 1.5.6 Describir cómo calcular un logaritmo en una base diferente.
  • 1.5.7 Identificar las funciones hiperbólicas, sus gráficos y las identidades básicas.

En esta sección examinamos las funciones exponenciales y logarítmicas. Utilizamos las propiedades de estas funciones para resolver ecuaciones que implican términos exponenciales o logarítmicos, y estudiamos el significado y la importancia del número e.e. También definimos las funciones hiperbólicas e hiperbólicas inversas, que implican combinaciones de funciones exponenciales y logarítmicas. (Tenga en cuenta que presentamos definiciones alternativas de las funciones exponenciales y logarítmicas en el capítulo Aplicaciones de las integraciones, y demostramos que las funciones tienen las mismas propiedades con cualquiera de las dos definiciones)

Funciones exponenciales

Las funciones exponenciales aparecen en muchas aplicaciones. Un ejemplo común es el crecimiento de la población.

Por ejemplo, si una población comienza con P0P0 individuos y luego crece a una tasa anual de 2  %,2  %, su población después de 1 año es

P(1)=P0+0,02P0=P0(1+0,02)=P0(1,02).P(1)=P0+0,02P0=P0(1+0,02)=P0(1,02).

Su población después de 2 años es

P(2 )=P(1)+0,02P(1)=P(1)(1,02)=P0(1,02)2 .P(2 )=P(1)+0,02P(1)=P(1)(1,02)=P0(1,02)2 .

En general, su población después de tt años es

P(t)=P0(1,02)t,P(t)=P0(1,02)t,

que es una función exponencial. De forma más general, cualquier función de la forma f(x)=bx,f(x)=bx, donde b>0,b1,b>0,b1, es una función exponencial con base bb y exponente x. Las funciones exponenciales tienen bases constantes y exponentes variables. Observe que una función de la forma f(x)=xbf(x)=xb para alguna constante bb no es una función exponencial sino una función potencia.

Para ver la diferencia entre una función exponencial y una función potencia, comparamos las funciones y=x2 y=x2 y y=2 x.y=2 x. En la Tabla 1.10, vemos que tanto 2 x2 x y x2 x2 se acercan al infinito a medida que x.x. Sin embargo, con el tiempo, 2 x2 x se hace más grande que x2 x2 y crece más rápidamente a medida que x.x. En la dirección opuesta, a medida que x,x2 ,x,x2 , mientras que 2 x0.2 x0. La línea y=0y=0 es una asíntota horizontal para y=2 x.y=2 x.

xx −3−3 −2−2 −1−1 00 11 2 2 33 44 55 66
x2 x2 99 44 11 00 11 44 99 1616 2525 3636
2 x2 x 1/81/8 1/41/4 1/2 1/2 11 2 2 44 88 1616 3232 6464
Tabla 1.10 Los valores de x 2 x 2 y 2 x 2 x

En la Figura 1.43, graficamos ambas y=x2 y=x2 y y=2 xy=2 x para mostrar las diferencias entre los gráficos.

Imagen de un gráfico. El eje x va de -10 a 10 y el eje y va de 0 a 50. El gráfico es de dos funciones. La primera función es "y = x al cuadrado", que es una parábola. La función disminuye hasta llegar al origen y luego comienza a aumentar. La segunda función es "y = 2 a la potencia de x", que comienza ligeramente por encima del eje x, y empieza a aumentar muy rápidamente, más rápidamente que la primera función.
Figura 1.43 Tanto 2 x 2 x y x 2 x 2 se acercan al infinito a medida que x , x , pero 2 x 2 x crece más rápidamente que x 2 . x 2 . Dado que x , x 2 , x , x 2 , mientras que 2 x 0 . 2 x 0 .

Evaluación de funciones exponenciales

Recuerde las propiedades de los exponentes: si los valores de xx es un número entero positivo, entonces definimos bx=b.bbbx=b.bb (con xx factores de b).b). Si xx es un número entero negativo, entonces x=yx=y para algún número entero positivo y,y, y definimos bx=by=1/by.bx=by=1/by. También, b0b0 se define como 1.1. Si xx es un número racional, entonces x=p/q,x=p/q, donde pp y qq son números enteros y bx=bp/q=bpq.bx=bp/q=bpq. Por ejemplo, 93/2 =93=27.93/2 =93=27. Sin embargo, ¿cómo se define bxbx si xx es un número irracional? Por ejemplo, ¿qué entendemos por 2 2 ?2 2 ? Esta es una pregunta demasiado compleja para que podamos responderla completamente en este momento; sin embargo, podemos hacer una aproximación. En la Tabla 1.11, enumeramos algunos números racionales que se acercan a 2 ,2 , y los valores de 2 x2 x para cada número racional xx también se presentan. Afirmamos que si elegimos números racionales xx cada vez más cerca de 2 ,2 , los valores de 2 x2 x se acercan cada vez más a algún número L.L. Definimos que ese número LL para que sea 2 2 .2 2 .

xx 1,41,4 1,411,41 1,4141,414 1,41421,4142 1,414211,41421 1,4142131,414213
2 x2 x 2,6392,639 2,657372,65737 2,664752,66475 2,6651192,665119 2,6651382,665138 2,6651432,665143
Tabla 1.11 Los valores de 2 x 2 x para una lista de números racionales que se aproximan a 2 2

Ejemplo 1.33

Crecimiento bacteriano

Supongamos que se sabe que una determinada población de bacterias duplica su tamaño cada 44 horas. Si un cultivo comienza con 1.0001.000 bacterias, el número de bacterias después de 44 horas es n(4)=1.000.2 .n(4)=1.000.2 . El número de bacterias después de 88 horas es n(8)=n(4).2 =1.000.2 2 .n(8)=n(4).2 =1.000.2 2 . En general, el número de bacterias después de 4m4m horas es n(4m)=1.000.2 m.n(4m)=1.000.2 m. Supongamos que t=4m,t=4m, vemos que el número de bacterias después de tt horas es n(t)=1.000.2 t/4.n(t)=1.000.2 t/4. Calcule el número de bacterias después de 66 horas, 1010 horas, y 2424 horas.

Punto de control 1.27

Dada la función exponencial f(x)=100.3x/2 ,f(x)=100.3x/2 , evaluar f(4)f(4) y f(10).f(10).

Medios

Visite World Population Balance (balance de la población mundial) para ver otro ejemplo de crecimiento exponencial de la población.

Gráficos de funciones exponenciales

Para cualquier base b>0,b1,b>0,b1, la función exponencial f(x)=bxf(x)=bx se define para todos los números reales xx y bx>0.bx>0. Por lo tanto, el dominio de f(x)=bxf(x)=bx es (,)(,) y el rango es (0,).(0,). Para graficar bx,bx, observamos que para b>1,bxb>1,bx es creciente en (,)(,) y bxbx cuando x,x, mientras que bx0bx0 cuando x.x. Por otro lado, si 0<b<1,f(x)=bx0<b<1,f(x)=bx es decreciente en (,)(,) y bx0bx0 cuando xx mientras que bxbx cuando xx (Figura 1.44).

Imagen de un gráfico. El eje x va de -3 a 3 y el eje y va de 0 a 4. El gráfico es de cuatro funciones. La primera función es "f(x) = 2 a la potencia de x", una función curva creciente, que empieza ligeramente por encima del eje x y comienza a aumentar. La segunda función es "f(x) = 4 a la potencia de x", una función curva creciente, que empieza ligeramente por encima del eje x y comienza a aumentar rápidamente, más rápidamente que la primera función. La tercera función es "f(x) = (1/2) a la potencia de x", una función curva decreciente que disminuye hasta acercarse al eje x sin tocarlo. La tercera función es "f(x) = (1/4) a la potencia de x", una función curva decreciente que disminuye hasta acercarse al eje x sin tocarlo. Disminuye a un ritmo más rápido que la tercera función.
Figura 1.44 Si los valores de b > 1 , b > 1 , entonces b x b x es creciente en ( , ) . ( , ) . Si 0 < b < 1 , 0 < b < 1 , entonces b x b x es decreciente en ( , ) . ( , ) .

Medios

Visite este sitio para explorar más los gráficos de las funciones exponenciales.

Observe que las funciones exponenciales cumplen las leyes generales de los exponentes. Para recordar estas leyes, las exponemos como reglas.

Regla: leyes de los exponentes

Para cualquier constante a>0,b>0,a>0,b>0, y para todo x y y,

  1. bx.by=bx+ybx.by=bx+y
  2. bxby=bxybxby=bxy
  3. (bx)y=bxy(bx)y=bxy
  4. (ab)x=axbx(ab)x=axbx
  5. axbx=(ab)xaxbx=(ab)x

Ejemplo 1.34

Uso de las leyes de los exponentes

Utilice las leyes de los exponentes para simplificar cada una de las siguientes expresiones.

  1. (2 x2 /3)3(4x−1/3)2 (2 x2 /3)3(4x−1/3)2
  2. (x3y−1)2 (xy2 )−2(x3y−1)2 (xy2 )−2

Punto de control 1.28

Utilice las leyes de los exponentes para simplificar (6x−3y2 )/(12x−4y5).(6x−3y2 )/(12x−4y5).

El número e

Un tipo especial de función exponencial aparece con frecuencia en aplicaciones del mundo real. Para describirlo, consideremos el siguiente ejemplo de crecimiento exponencial, que surge del interés compuesto en una cuenta de ahorros. Supongamos que una persona invierte PP dólares en una cuenta de ahorros con una tasa de interés anual r,r, calculada anualmente. La cantidad de dinero después de 1 año es

A(1)=P+rP=P(1+r).A(1)=P+rP=P(1+r).

La cantidad de dinero después de 2 2 años es

A(2 )=A(1)+rA(1)=P(1+r)+rP(1+r)=P(1+r)2 .A(2 )=A(1)+rA(1)=P(1+r)+rP(1+r)=P(1+r)2 .

En general, la cantidad después de tt años es

A(t)=P(1+r)t.A(t)=P(1+r)t.

Si el dinero se calcula 2 veces al año, la cantidad de dinero después de medio año es

A(12 )=P+(r2 )P=P(1+(r2 )).A(12 )=P+(r2 )P=P(1+(r2 )).

La cantidad de dinero después de 11 año es

A(1)=A(12 )+(r2 )A(12 )=P(1+r2 )+r2 (P(1+r2 ))=P(1+r2 )2 .A(1)=A(12 )+(r2 )A(12 )=P(1+r2 )+r2 (P(1+r2 ))=P(1+r2 )2 .

Después de tt años, la cantidad de dinero en la cuenta es

A(t)=P(1+r2 )2 t.A(t)=P(1+r2 )2 t.

En general, si el dinero se calcula nn veces al año, la cantidad de dinero en la cuenta después de tt años está dada por la función

A(t)=P(1+rn)nt.A(t)=P(1+rn)nt.

¿Qué sucede a medida que n?n? Para responder esta pregunta, suponemos que m=n/rm=n/r y escribimos

(1+rn)nt=(1+1m)mrt,(1+rn)nt=(1+1m)mrt,

y examinamos el comportamiento de (1+1/m)m(1+1/m)m a medida que m,m, utilizando una tabla de valores (Tabla 1.12).

mm 1010 100100 1.0001.000 10.00010.000 100.000100.000 1.000.0001.000.000
(1+1m).m(1+1m).m 2,59372,5937 2,70482,7048 2,716922,71692 2,718152,71815 2,7182682,718268 2,7182802,718280
Tabla 1.12 Los valores de ( 1 + 1 m ) m ( 1 + 1 m ) m a medida que m m

De esta tabla se desprende que (1+1/m)m(1+1/m)m se acerca a un número entre 2,72,7 y 2,82,8 a medida que m.m. De hecho, (1+1/m)m(1+1/m)m se acerca a algún número a medida que m.m. Llamamos a este número ee. Con seis decimales de exactitud,

e2,718282.e2,718282.

La letra ee fue utilizada por primera vez para representar este número por el matemático suizo Leonhard Euler durante la década de 1720. Aunque Euler no descubrió el número, mostró muchas conexiones importantes entre ee y las funciones logarítmicas. Seguimos utilizando la notación ee hoy para honrar el trabajo de Euler porque aparece en muchas áreas de las matemáticas y porque podemos utilizarla en muchas aplicaciones prácticas.

Volviendo a nuestro ejemplo de la cuenta de ahorros, podemos concluir que si una persona pone PP dólares en una cuenta con una tasa de interés anual r,r, calculada continuamente, entonces A(t)=Pert.A(t)=Pert. Esta función puede resultar familiar. Dado que las funciones que involucran a la base ee surgen a menudo en aplicaciones, llamamos a la función f(x)=exf(x)=ex la función exponencial natural. Esta función no solo es interesante por la definición del número e,e, pero además, como se verá a continuación, su gráfico tiene una propiedad importante.

Dado que e>1,e>1, sabemos que exex es creciente en (,).(,). En la Figura 1.45, mostramos un gráfico de f(x)=exf(x)=ex junto con una línea tangente al gráfico de en x=0.x=0. Damos una definición precisa de línea tangente en el próximo capítulo; pero, de manera informal, decimos que una línea tangente a un gráfico de ff en x=ax=a es una línea que pasa por el punto (a,f(a))(a,f(a)) y tiene la misma "pendiente" que ff en ese punto .. La función f(x)=exf(x)=ex es la única función exponencial bxbx con la línea tangente en x=0x=0 que tiene una pendiente de 1. Como veremos más adelante en el texto, tener esta propiedad hace que la función exponencial natural sea la función exponencial más sencilla de utilizar en muchos casos.

Imagen de un gráfico. El eje x va de -3 a 3 y el eje y va de 0 a 4. El gráfico es de la función "f(x) = e a la potencia de x", una función curva creciente que comienza ligeramente por encima del eje x. La intersección en y está en el punto (0, 1). En este punto, se traza una línea tangente a la función. Esta línea tiene la marca "pendiente = 1".
Figura 1.45 El gráfico de f ( x ) = e x f ( x ) = e x tiene una línea tangente con pendiente 1 1 en x = 0 . x = 0 .

Ejemplo 1.35

Interés compuesto

Supongamos que se invierten $500$500 en una cuenta con una tasa de interés anual de r=5,5 %,r=5,5 %, calculada continuamente.

  1. Supongamos que tt denota el número de años después de la inversión inicial y A(t)A(t) denota la cantidad de dinero en la cuenta en el tiempo t.t. Halle una fórmula para A(t).A(t).
  2. Calcule la cantidad de dinero en la cuenta después de 1010 años y después de 2020 años.

Punto de control 1.29

Si se invierten $750$750 dólares en una cuenta con una tasa de interés anual de 4 %,4 %, calculada continuamente, halle una fórmula para la cantidad de dinero en la cuenta después de tt años. Calcule la cantidad de dinero después de 3030 años.

Funciones logarítmicas

Utilizando nuestra comprensión de las funciones exponenciales, podemos discutir sus inversas, que son las funciones logarítmicas. Resultan útiles cuando tenemos que considerar cualquier fenómeno que varía en un amplio rango de valores, como el pH en química o los decibeles en niveles de sonido.

La función exponencial f(x)=bxf(x)=bx es biunívoca, con dominio (,)(,) y rango (0,).(0,). Por lo tanto, tiene una función inversa, llamada función logarítmica con base b.b. Para cualquier b>0,b1,b>0,b1, la función logarítmica con base b, denotada logb,logb, tiene dominio (0,)(0,) y rango (,),(,), y satisface

logb(x)=ysi y solo siby=x.logb(x)=ysi y solo siby=x.

Por ejemplo,

log2 (8)=3dado que2 3=8,log10(1100)=−2dado que10−2=1102 =1100,logb(1)=0dado queb0=1para cualquier baseb>0.log2 (8)=3dado que2 3=8,log10(1100)=−2dado que10−2=1102 =1100,logb(1)=0dado queb0=1para cualquier baseb>0.

Además, como y=logb(x)y=logb(x) y de y=bxy=bx son funciones inversas,

logb(bx)=xyblogb(x)=x.logb(bx)=xyblogb(x)=x.

La función logarítmica más utilizada es la función loge.loge. Dado que esta función utiliza ee natural como base, se llama logaritmo natural. Aquí utilizamos la notación ln(x)ln(x) o lnxlnx con el significado de loge(x).loge(x). Por ejemplo,

ln(e)=loge(e)=1,ln(e3)=loge(e3)=3,ln(1)=loge(1)=0.ln(e)=loge(e)=1,ln(e3)=loge(e3)=3,ln(1)=loge(1)=0.

Dado que las funciones f(x)=exf(x)=ex y g(x)=ln(x)g(x)=ln(x) son inversas entre sí,

ln(ex)=xyelnx=x,ln(ex)=xyelnx=x,

y sus gráficos son simétricos respecto a la línea y=xy=x (Figura 1.46).

Imagen de un gráfico. El eje x va de -3 a 3 y el eje y va de -3 a 4. El gráfico es de dos funciones. La primera función es "f(x) = e a la potencia de x", una función curva creciente que comienza ligeramente por encima del eje x. La intersección y está en el punto (0, 1) y no hay intersección x. La segunda función es "f(x) = ln(x)", una función curva creciente. La intersección x está en el punto (1, 0) y no hay intersección y. También se ha trazado una línea de puntos con la marca "y = x" en el gráfico, para mostrar que las funciones son imágenes reflejadas sobre esta línea.
Figura 1.46 Las funciones y = e x y = e x como y = ln ( x ) y = ln ( x ) son inversas entre sí, por lo que sus gráficos son simétricos respecto a la línea y = x . y = x .

Medios

En este sitio puede ver un ejemplo de escala logarítmica de base 10.

En general, para cualquier base b>0,b1,b>0,b1, la función g(x)=logb(x)g(x)=logb(x) es simétrica respecto a la línea y=xy=x con la función f(x)=bx.f(x)=bx. Utilizando este hecho y los gráficos de las funciones exponenciales, graficamos las funciones logblogb para varios valores de b>1b>1 (Figura 1.47).

Imagen de un gráfico. El eje x va de -3 a 3 y el eje y va de 0 a 4. El gráfico es de tres funciones. Las tres funciones son funciones logarítmicas crecientes que comienzan ligeramente a la derecha del eje y y tienen una intersección x en (1, 0). La primera función es "y = log base 10 (x)", la segunda función es "f(x) = ln(x)", y la tercera función es "y = log base 2 (x)". La tercera función es la que aumenta más rápidamente, la segunda función es la siguiente más rápida y la tercera función es la más lenta.
Figura 1.47 Gráficos de y = log b ( x ) y = log b ( x ) se representan para b = 2 , e , 10 . b = 2 , e , 10 .

Antes de resolver algunas ecuaciones que implican funciones exponenciales y logarítmicas, vamos a repasar las propiedades básicas de los logaritmos.

Regla: propiedades de los logaritmos

Si los valores de a,b,c>0,b1,a,b,c>0,b1, y rr es un número real cualquiera, entonces

1logb(ac)=logb(a)+logb(c)(Propiedad del producto)2.logb(ac)=logb(a)logb(c)(Propiedad del cociente)3.logb(ar)=rlogb(a)(Propiedad de la potencia)1logb(ac)=logb(a)+logb(c)(Propiedad del producto)2.logb(ac)=logb(a)logb(c)(Propiedad del cociente)3.logb(ar)=rlogb(a)(Propiedad de la potencia)

Ejemplo 1.36

Resolución de ecuaciones con funciones exponenciales

Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones para x.x.

  1. 5x=2 5x=2
  2. ex+6ex=5ex+6ex=5

Punto de control 1.30

Resuelva e2 x/(3+e2 x)=1/2 .e2 x/(3+e2 x)=1/2 .

Ejemplo 1.37

Resolución de ecuaciones con funciones logarítmicas

Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones para x.x.

  1. ln(1x)=4ln(1x)=4
  2. log10x+log10x=2 log10x+log10x=2
  3. ln(2 x)3ln(x2 )=0ln(2 x)3ln(x2 )=0

Punto de control 1.31

Resuelva ln(x3)4ln(x)=1.ln(x3)4ln(x)=1.

Cuando se evalúa una función logarítmica con una calculadora, es posible que haya notado que las únicas opciones son log10log10 o log, llamado el logaritmo común o ln, que es el logaritmo natural. Sin embargo, las funciones exponenciales y las funciones logarítmicas pueden expresarse en términos de cualquier base deseada b.b. Si necesita usar una calculadora para evaluar una expresión con una base diferente, puede aplicar primero las fórmulas de cambio de base. Utilizando este cambio de base, solemos escribir una función exponencial o logarítmica dada en términos de las funciones exponencial natural y de logaritmo natural.

Regla: fórmulas de cambio de base

Supongamos que a>0,b>0,a>0,b>0, y a1,b1.a1,b1.

  1. ax=bxlogbaax=bxlogba para cualquier número real x.x.
    Si b=e,b=e, esta ecuación se reduce a ax=exlogea=exlna.ax=exlogea=exlna.
  2. logax=logbxlogbalogax=logbxlogba para cualquier número real x>0.x>0.
    Si b=e,b=e, esta ecuación se reduce a logax=lnxlna.logax=lnxlna.

Prueba

Para la primera fórmula de cambio de base, comenzamos haciendo uso de la propiedad de potencia de las funciones logarítmicas. Sabemos que para cualquier base b>0,b1,logb(ax)=xlogba.b>0,b1,logb(ax)=xlogba. Por lo tanto,

blogb(ax)=bxlogba.blogb(ax)=bxlogba.

Además, sabemos que bxbx y logb(x)logb(x) son funciones inversas. Por lo tanto,

blogb(ax)=ax.blogb(ax)=ax.

Combinando estas dos últimas igualdades, concluimos que ax=bxlogba.ax=bxlogba.

Para demostrar la segunda propiedad, demostramos que

(logba).(logax)=logbx.(logba).(logax)=logbx.

Supongamos que u=logba,v=logax,u=logba,v=logax, y w=logbx.w=logbx. Demostraremos que u.v=w.u.v=w. Por la definición de las funciones logarítmicas, sabemos que bu=a,av=x,bu=a,av=x, y bw=x.bw=x. De las ecuaciones anteriores, vemos que

buv=(bu)v=av=x=bw.buv=(bu)v=av=x=bw.

Por lo tanto, buv=bw.buv=bw. Como las funciones exponenciales son biunívocas, podemos concluir que u.v=w.u.v=w.

Ejemplo 1.38

Cambio de bases

Utilice una calculadora para evaluar log37log37 con la fórmula de cambio de base presentada anteriormente.

Punto de control 1.32

Utilice la fórmula de cambio de base y una calculadora para evaluar log46.log46.

Ejemplo 1.39

Inicio del capítulo: La escala de Richter para los terremotos

Una fotografía de una falla sísmica
Figura 1.48 (créditos: modificación del trabajo de Robb Hannawacker, NPS).

En 1935, Charles Richter desarrolló una escala (ahora conocida como escala de Richter) para medir la magnitud de un terremoto. La escala es una escala logarítmica de base 10, y puede describirse de la siguiente forma: consideremos un terremoto de magnitud R1R1 en la escala de Richter y un segundo terremoto de magnitud R2 R2 en la escala de Richter. Supongamos que R1>R2 ,R1>R2 , lo que significa que el terremoto de magnitud R1R1 es más fuerte, pero ¿cuánto más fuerte es que el otro terremoto? Una forma de medir la intensidad de un terremoto es utilizar un sismógrafo para medir la amplitud de las ondas sísmicas. Si los valores de A1A1 es la amplitud medida para el primer terremoto y A2 A2 es la amplitud medida para el segundo terremoto, entonces las amplitudes y magnitudes de los dos terremotos satisfacen la siguiente ecuación:

R1R2 =log10(A1A2 ).R1R2 =log10(A1A2 ).

Considere un terremoto de magnitud 8 en la escala de Richter y un terremoto de magnitud 7 en la escala de Richter. Entonces,

87=log10(A1A2 ).87=log10(A1A2 ).

Por lo tanto,

log10(A1A2 )=1,log10(A1A2 )=1,

lo que implica A1/A2 =10A1/A2 =10 o A1=10A2 .A1=10A2 . Dado que A1A1 es 10 veces más grande que A2 ,A2 , decimos que el primer terremoto es 10 veces más intenso que el segundo. Por otro lado, si un terremoto de magnitud 8 en la escala de Richter y otro de magnitud 6, entonces la intensidad relativa de los dos terremotos satisface la ecuación

log10(A1A2 )=86=2 .log10(A1A2 )=86=2 .

Por lo tanto, A1=100A2 .A1=100A2 . Es decir, el primer terremoto es 100 veces más intenso que el segundo.

¿Cómo podemos utilizar las funciones logarítmicas para comparar la gravedad relativa del terremoto de magnitud 9 en Japón en 2011 con el terremoto de magnitud 7,3 en Haití en 2010?

Punto de control 1.33

Compare la gravedad relativa de un terremoto de magnitud 8,48,4 con uno de magnitud 7,47,4.

Funciones hiperbólicas

Las funciones hiperbólicas se definen en términos de ciertas combinaciones de exex y ex.ex. Estas funciones surgen de forma natural en diversas aplicaciones de ingeniería y física, como el estudio de las ondas de agua y las vibraciones de las membranas elásticas. Otro uso común de una función hiperbólica es la representación de una cadena o cable colgante, también conocida como catenaria (Figura 1.49). Si introducimos un sistema de coordenadas para que el punto bajo de la cadena se encuentre a lo largo del eje yy, podemos describir la altura de la cadena en términos de una función hiperbólica. En primer lugar, definimos las funciones hiperbólicas.

Una fotografía de una tela de araña que recoge gotas de rocío.
Figura 1.49 La forma de una hebra de seda en una tela de araña puede describirse en términos de una función hiperbólica. La misma forma se aplica a una cadena o cable que cuelga de dos soportes solo con su propio peso (créditos: "Mtpaley", Wikimedia Commons).

Definición

Coseno hiperbólico

coshx=ex+ex2 coshx=ex+ex2

Seno hiperbólico

senohx=exex2 senohx=exex2

Tangente hiperbólica

tanhx=senohxcoshx=exexex+extanhx=senohxcoshx=exexex+ex

Cosecante hiperbólica

cschx=1senohx=2 exexcschx=1senohx=2 exex

Secante hiperbólica

sechx=1coshx=2 ex+exsechx=1coshx=2 ex+ex

Cotangente hiperbólica

cothx=coshxsenohx=ex+exexexcothx=coshxsenohx=ex+exexex

El nombre cosh rima con "gosh", mientras que el nombre senh se pronuncia “cench". Tanh, sech, csch y coth se pronuncian "tanch", "seech", "coseech" y "cotanch", respectivamente.

Utilizando la definición de cosh(x)cosh(x) y los principios de la física, se puede demostrar que la altura de una cadena colgante, como la que aparece en la Figura 1.49, se puede describir mediante la función h(x)=acosh(x/a)+ch(x)=acosh(x/a)+c para ciertas constantes aa y c.c.

Pero, ¿por qué estas funciones se llaman funciones hiperbólicas? Para responder esta pregunta, consideremos la cantidad cosh2 tsenoh2 t.cosh2 tsenoh2 t. Utilizando la definición de coshcosh y senoh,senoh, vemos que

cosh2 tsenoh2 t=e2 t+2 +e−2t4e2 t2 +e−2t4=1.cosh2 tsenoh2 t=e2 t+2 +e−2t4e2 t2 +e−2t4=1.

Esta identidad es el análogo de la identidad trigonométrica cos2 t+sen2 t=1.cos2 t+sen2 t=1. Aquí, dado un valor t,t, el punto (x,y)=(cosht,senoht)(x,y)=(cosht,senoht) se encuentra en la hipérbola unitaria x2 y2 =1x2 y2 =1 (Figura 1.50).

Imagen de un gráfico. El eje x va de -1 a 3 y el eje y va de -3 a 3. El gráfico es de la relación "(x al cuadrado) - (y al cuadrado) -1". El punto más a la izquierda de la relación está en la intersección x, que está en el punto (1, 0). A partir de este punto la relación aumenta y disminuye en las curvas a medida que aumenta x. Esta relación se conoce como hipérbola y se asemeja a una forma de "U" lateral. En el gráfico de la relación hay un punto marcado como "(cosh(1), senh(1))", que está en el punto aproximado (1,5, 1,2).
Figura 1.50 La hipérbola unitaria cosh 2 t senoh 2 t = 1 . cosh 2 t senoh 2 t = 1 .

Gráficos de funciones hiperbólicas

Para graficar coshxcoshx y senohx,senohx, aprovechamos el hecho de que ambas funciones se acercan a (1/2 )ex(1/2 )ex a medida que x,x, dado que ex0ex0 cuando x.x. Dado que x,coshxx,coshx se acerca a 1/2 ex,1/2 ex, mientras que senohxsenohx se acerca a −1/2 ex.−1/2 ex. Por lo tanto, utilizando los gráficos de 1/2 ex,1/2 ex,1/2 ex,1/2 ex, y 1/2 ex1/2 ex como guías, graficamos coshxcoshx y senohx.senohx. Para graficar tanhx,tanhx, utilizamos el hecho de que tanh(0)=0,−1<tanh(x)<1tanh(0)=0,−1<tanh(x)<1 para todo x,tanhx1x,tanhx1 cuando x,x, y tanhx1tanhx1 cuando x.x. Los gráficos de las otras tres funciones hiperbólicas se pueden dibujar utilizando los gráficos de coshx,senohx,coshx,senohx, y tanhxtanhx (Figura 1.51).

Una imagen de seis gráficos. Cada gráfico tiene un eje x que va de -3 a 3 y un eje y que va de -4 a 4. El primer gráfico es de la función "y = cosh(x)", que es una hipérbola. La función disminuye hasta llegar al punto (0, 1), donde comienza a aumentar. También hay dos funciones que sirven de límite para esta función. La primera de estas funciones es "y = (1/2)(e a potencia de -x)", una función curva decreciente y la segunda de estas funciones es "y = (1/2)(e a potencia de x)", una función curva creciente. La función "y = cosh(x)" está siempre por encima de estas dos funciones sin tocarlas nunca. El segundo gráfico es de la función "y = senh(x)", que es una función curva creciente. También hay dos funciones que sirven de límite para esta función. La primera de estas funciones es "y = (1/2)(e a la potencia de x)", una función curva creciente y la segunda de estas funciones es "y = -(1/2)(e a la potencia de -x)", una función curva creciente que se acerca al eje x sin tocarlo. La función "y = senh(x)" está siempre entre estas dos funciones sin tocarlas nunca. El tercer gráfico es de la función "y = sech(x)", que aumenta hasta el punto (0, 1), donde empieza a disminuir. El gráfico de la función tiene una joroba. El cuarto gráfico es de la función "y = csch(x)". En el lado izquierdo del eje y, la función comienza ligeramente por debajo del eje x y va disminuyendo hasta acercarse al eje y, que nunca toca. En el lado derecho del eje y, la función comienza ligeramente a la derecha del eje y y va disminuyendo hasta acercarse al eje x, que nunca toca. El quinto gráfico es de la función "y = tanh(x)", una función curva creciente. También hay dos funciones que sirven de límite para esta función. La primera de estas funciones es "y = 1", una función de línea horizontal y la segunda de estas funciones es "y = -1", otra función de línea horizontal. La función "y = tanh(x)" está siempre entre estas dos funciones sin tocarlas nunca. El sexto gráfico es de la función "y = coth(x)". En el lado izquierdo del eje y, la función comienza ligeramente por debajo de la línea límite "y = 1" y va disminuyendo hasta acercarse al eje y, que nunca toca. En el lado derecho del eje y, la función comienza ligeramente a la derecha del eje y y va disminuyendo hasta acercarse a la línea límite "y = –1", que nunca toca.
Figura 1.51 Las funciones hiperbólicas son combinaciones de e x e x y e x . e x .

Identidades que involucran funciones hiperbólicas

La identidad cosh2 tsenoh2 t,cosh2 tsenoh2 t, mostrada en la Figura 1.50, es una de las varias identidades que involucran funciones hiperbólicas, algunas de las cuales se enumeran a continuación. Las cuatro primeras propiedades se deducen fácilmente de las definiciones de seno hiperbólico y coseno hiperbólico. Salvo algunas diferencias de signo, la mayoría de estas propiedades son análogas a las identidades de las funciones trigonométricas.

Regla: identidades que involucran funciones hiperbólicas

  1. cosh(x)=coshxcosh(x)=coshx
  2. senoh(x)=senohxsenoh(x)=senohx
  3. coshx+senohx=excoshx+senohx=ex
  4. coshxsenohx=excoshxsenohx=ex
  5. cosh2 xsenoh2 x=1cosh2 xsenoh2 x=1
  6. 1tanh2 x=sech2 x1tanh2 x=sech2 x
  7. coth2 x1=csch2 xcoth2 x1=csch2 x
  8. senoh(x±y)=senohxcoshy±coshxsenohysenoh(x±y)=senohxcoshy±coshxsenohy
  9. cosh(x±y)=coshxcoshy±senohxsenohycosh(x±y)=coshxcoshy±senohxsenohy

Ejemplo 1.40

Evaluación de funciones hiperbólicas

  1. Simplifique senoh(5lnx).senoh(5lnx).
  2. Si los valores de senohx=3/4,senohx=3/4, calcule los valores de las cinco funciones hiperbólicas restantes.

Punto de control 1.34

Simplifique cosh(2 lnx).cosh(2 lnx).

Funciones hiperbólicas inversas

A partir de los gráficos de las funciones hiperbólicas, vemos que todas ellas son biunívocas excepto coshxcoshx y sechx.sechx. Si restringimos los dominios de estas dos funciones al intervalo [0,),[0,), entonces todas las funciones hiperbólicas son biunívocas, y podemos definir las funciones hiperbólicas inversas. Dado que las funciones hiperbólicas propiamente dichas implican funciones exponenciales, las funciones hiperbólicas inversas implican funciones logarítmicas.

Definición

Funciones hiperbólicas inversas

senoh−1x=arcsenhx=ln(x+x2 +1)cosh−1x=arccoshx=ln(x+x2 1)tanh−1x=arctanhx=12 ln(1+x1x)coth−1x=arccotx=12 ln(x+1x1)sech−1x=arcsechx=ln(1+1x2 x)csch−1x=arccschx=ln(1x+1+x2 |x|)senoh−1x=arcsenhx=ln(x+x2 +1)cosh−1x=arccoshx=ln(x+x2 1)tanh−1x=arctanhx=12 ln(1+x1x)coth−1x=arccotx=12 ln(x+1x1)sech−1x=arcsechx=ln(1+1x2 x)csch−1x=arccschx=ln(1x+1+x2 |x|)

Veamos cómo derivar la primera ecuación. Las demás siguen el mismo camino. Supongamos que y=senoh−1x.y=senoh−1x. Entonces, x=senohyx=senohy y, por la definición de la función de seno hiperbólico, x=eyey2 .x=eyey2 . Por lo tanto,

ey2 xey=0.ey2 xey=0.

Multiplicando esta ecuación por ey,ey, obtenemos

e2 y2 xey1=0.e2 y2 xey1=0.

Esto se puede resolver como una ecuación cuadrática, con la solución

ey=2 x±4x2 +42 =x±x2 +1.ey=2 x±4x2 +42 =x±x2 +1.

Dado que ey>0,ey>0, la única solución es la del signo positivo. Aplicando el logaritmo natural a ambos lados de la ecuación, concluimos que

y=ln(x+x2 +1).y=ln(x+x2 +1).

Ejemplo 1.41

Evaluación de funciones hiperbólicas inversas

Evalúe cada una de las siguientes expresiones.

senoh−1(2 )senoh−1(2 ) grandes.
tanh−1(1/4)tanh−1(1/4) grandes.

Punto de control 1.35

Evalúe tanh−1(1/2 ).tanh−1(1/2 ).

Sección 1.5 ejercicios

En los siguientes ejercicios, evalúe las funciones exponenciales dadas como se indica, con precisión de dos dígitos significativos después del decimal.

229.

f(x)=5xf(x)=5x a. x=3x=3 b. x=12 x=12 c. x=2 x=2

230.

f(x)=(0,3)xf(x)=(0,3)x a. x=−1x=−1 b. x=4x=4 c. x=−1,5x=−1,5

231.

f(x)=10xf(x)=10x a. x=−2x=−2 b. x=4x=4 c. x=53x=53

232.

f(x)=exf(x)=ex a. x=2 x=2 b. x=−3,2x=−3,2 c. x=πx=π

En los siguientes ejercicios, relacione la ecuación exponencial con el gráfico correcto.

  1. y=4xy=4x
  2. y=3x1y=3x1
  3. y=2 x+1y=2 x+1
  4. y=(12 )x+2 y=(12 )x+2
  5. y=3xy=3x
  6. y=15xy=15x
233.
Imagen de un gráfico. El eje x va de -5 a 5 y el eje y va de -2 a 8. El gráfico es de una función curva decreciente. La función disminuye hasta acercarse a la línea "y = 2", pero nunca toca esta línea. La intersección y está en el punto (0, 3) y no hay intersección x.
234.
Imagen de un gráfico. El eje x va de -4 a 4 y el eje y va de -9 a 2. El gráfico es de una función que empieza ligeramente por debajo de la línea "y = 1" y comienza a decrecer rápidamente en una curva. La intersección x y la intersección y están ambas en el origen.
235.
Imagen de un gráfico. El eje x va de -5 a 5 y el eje y va de -5 a 5. El gráfico es de una función curva creciente que empieza ligeramente por encima del eje x y comienza a aumentar rápidamente. No hay intersección x y la intersección y está en el punto (0, (1/3)). Otro punto del gráfico está en (1, 1).
236.
Imagen de un gráfico. El eje x va de -5 a 5 y el eje y va de -5 a 5. El gráfico es de una función curva decreciente que disminuye hasta acercarse al eje x sin tocarlo. No hay intersección x y la intersección y está en el punto (0, 1). Otro punto del gráfico está en (-1, 4).
237.
Imagen de un gráfico. El eje x va de -5 a 5 y el eje y va de -5 a 5. El gráfico es de una función curva creciente que aumenta hasta acercarse al eje x sin tocarlo. No hay intersección x y la intersección y está en el punto (0, -1). Otro punto del gráfico está en (-1, -3).
238.
Imagen de un gráfico. El eje x va de -5 a 5 y el eje y va de -5 a 5. El gráfico es de una función curva creciente que empieza ligeramente por encima del eje x y comienza a aumentar rápidamente. No hay intersección x y la intersección y está en el punto (0, 2). Otro punto del gráfico está en (-1, 1).

En los siguientes ejercicios, dibuje el gráfico de la función exponencial. Determine el dominio, el rango y la asíntota horizontal.

239.

f ( x ) = e x + 2 f ( x ) = e x + 2

240.

f ( x ) = 2 x f ( x ) = 2 x

241.

f ( x ) = 3 x + 1 f ( x ) = 3 x + 1

242.

f ( x ) = 4 x 1 f ( x ) = 4 x 1

243.

f ( x ) = 1 2 x f ( x ) = 1 2 x

244.

f ( x ) = 5 x + 1 + 2 f ( x ) = 5 x + 1 + 2

245.

f ( x ) = e x 1 f ( x ) = e x 1

En los siguientes ejercicios, escriba la ecuación en forma exponencial equivalente.

246.

log 3 81 = 4 log 3 81 = 4

247.

log 8 2 = 1 3 log 8 2 = 1 3

248.

log 5 1 = 0 log 5 1 = 0

249.

log 5 25 = 2 log 5 25 = 2

250.

log 0,1 = –1 log 0,1 = –1

251.

ln ( 1 e 3 ) = −3 ln ( 1 e 3 ) = −3

252.

log 9 3 = 0,5 log 9 3 = 0,5

253.

ln 1 = 0 ln 1 = 0

En los siguientes ejercicios, escriba la ecuación en forma logarítmica equivalente.

254.

2 3 = 8 2 3 = 8

255.

4 −2 = 1 16 4 −2 = 1 16

256.

10 2 = 100 10 2 = 100

257.

9 0 = 1 9 0 = 1

258.

( 1 3 ) 3 = 1 27 ( 1 3 ) 3 = 1 27

259.

64 3 = 4 64 3 = 4

260.

e x = y e x = y

261.

9 y = 150 9 y = 150

262.

b 3 = 45 b 3 = 45

263.

4 −3 / 2 = 0,125 4 −3 / 2 = 0,125

En los siguientes ejercicios, dibuje el gráfico de la función logarítmica. Determine el dominio, el rango y la asíntota vertical.

264.

f ( x ) = 3 + ln x f ( x ) = 3 + ln x

265.

f ( x ) = ln ( x 1 ) f ( x ) = ln ( x 1 )

266.

f(x)=ln(x)f(x)=ln(x) grandes.

267.

f ( x ) = 1 ln x f ( x ) = 1 ln x

268.

f ( x ) = log x 1 f ( x ) = log x 1

269.

f ( x ) = ln ( x + 1 ) f ( x ) = ln ( x + 1 )

En los siguientes ejercicios, utilice las propiedades de los logaritmos para escribir las expresiones como suma, diferencia o producto de logaritmos.

270.

log x 4 y log x 4 y

271.

log 3 9 a 3 b log 3 9 a 3 b

272.

ln a b 3 ln a b 3

273.

log 5 125 x y 3 log 5 125 x y 3

274.

log 4 x y 3 64 log 4 x y 3 64

275.

ln(6e3)ln(6e3) grandes.

En los siguientes ejercicios, resuelva la ecuación exponencial de manera exacta.

276.

5 x = 125 5 x = 125

277.

e 3 x 15 = 0 e 3 x 15 = 0

278.

8 x = 4 8 x = 4

279.

4 x + 1 32 = 0 4 x + 1 32 = 0

280.

3 x / 14 = 1 10 3 x / 14 = 1 10

281.

10 x = 7,21 10 x = 7,21

282.

4 . 2 3 x 20 = 0 4 . 2 3 x 20 = 0

283.

7 3 x 2 = 11 7 3 x 2 = 11

En los siguientes ejercicios, resuelva la ecuación logarítmica de manera exacta, si es posible.

284.

log 3 x = 0 log 3 x = 0

285.

log 5 x = –2 log 5 x = –2

286.

log 4 ( x + 5 ) = 0 log 4 ( x + 5 ) = 0

287.

log ( 2 x 7 ) = 0 log ( 2 x 7 ) = 0

288.

ln x + 3 = 2 ln x + 3 = 2

289.

log 6 ( x + 9 ) + log 6 x = 2 log 6 ( x + 9 ) + log 6 x = 2

290.

log 4 ( x + 2 ) log 4 ( x 1 ) = 0 log 4 ( x + 2 ) log 4 ( x 1 ) = 0

291.

ln x + ln ( x 2 ) = ln 4 ln x + ln ( x 2 ) = ln 4

En los siguientes ejercicios, utilice la fórmula de cambio de base y la base 10 o la base e para evaluar las expresiones dadas. Responda en forma exacta y en forma aproximada, redondeando a cuatro decimales.

292.

log 5 47 log 5 47

293.

log 7 82 log 7 82

294.

log 6 103 log 6 103

295.

log 0,5 211 log 0,5 211

296.

log 2 π log 2 π

297.

log 0,2 0,452 log 0,2 0,452

298.

Reescriba las siguientes expresiones en términos de exponenciales y simplifique.

a. 2 cosh(lnx)2 cosh(lnx) b. cosh4x+senoh4xcosh4x+senoh4x c. cosh2 xsenoh2 xcosh2 xsenoh2 x d. ln(coshx+senohx)+ln(coshxsenohx)ln(coshx+senohx)+ln(coshxsenohx)

299.

[T] El número de bacterias N en un cultivo después de t días puede modelarse mediante la función N(t)=1300.(2 )t/4.N(t)=1300.(2 )t/4. Calcule el número de bacterias presentes después de 15 días.

300.

[T] La demanda D (en millones de barriles) de petróleo en un país rico en petróleo viene dada por la función D(p)=150.(2,7)−0,25p,D(p)=150.(2,7)−0,25p, donde p es el precio (en dólares) del barril de petróleo. Calcule la cantidad de petróleo demandada (al millón de barriles más cercano) cuando el precio está entre 15 y 20 dólares.

301.

[T] El monto A de una inversión de 100.000 dólares que se paga de forma continua y compuesta durante t años está dado por A(t)=100.000.e0,055t.A(t)=100.000.e0,055t. Calcule el monto A acumulado en 5 años.

302.

[T] Una inversión se calcula mensual, trimestral o anualmente y está dada por la función A=P(1+jn)nt,A=P(1+jn)nt, donde AA es el valor de la inversión en el tiempo t,Pt,P es el capital inicial que se invirtió, jj es la tasa de interés anual y nn es el número de veces que se calculan los intereses al año. Dada una tasa de interés anual del 3,5 % y un capital inicial de 100.000 dólares, calcule el monto AA acumulado en 5 años para los intereses que se calculan a. diariamente, b., mensualmente, c. trimestralmente y d. anualmente.

303.

[T] La concentración de iones de hidrógeno en una sustancia se denota mediante [H+],[H+], medida en moles por litro. El pH de una sustancia se define mediante la función logarítmica pH=log[H+].pH=log[H+]. Esta función se utiliza para medir la acidez de una sustancia. El pH del agua es de 7. Una sustancia con un pH inferior a 7 es un ácido, mientras que la que tiene un pH superior a 7 es una base.

  1. Calcule el pH de las siguientes sustancias. Redondee las respuestas a un dígito.
  2. Determine si la sustancia es un ácido o una base.
    1. Huevos: [H+]=1,6×10−8[H+]=1,6×10−8 mol/L
    2. Cerveza: [H+]=3,16×10−3[H+]=3,16×10−3 mol/L
    3. Jugo de tomate: [H+]=7,94×10−5[H+]=7,94×10−5 mol/L
304.

[T] El yodo-131 es una sustancia radiactiva que se descompone según la función Q(t)=Q0.e−0,08664t,Q(t)=Q0.e−0,08664t, donde Q0Q0 es la cantidad inicial de una muestra de la sustancia y t está en días. Determine el tiempo que tarda (al día más cercano) en descomponerse el 95 % de una cantidad.

305.

[T] Según el Banco Mundial, a finales de 2013 (t=0t=0 ) la población de EE. UU. era de 316 millones de habitantes y aumentaba de acuerdo con el siguiente modelo:

P(t)=316e0,0074t,P(t)=316e0,0074t, donde P se mide en millones de personas y t se mide en años después de 2013.

  1. Según este modelo, ¿cuál será la población de Estados Unidos en 2020?
  2. Determine cuándo la población de Estados Unidos será el doble que en 2013.
306.

[T] El monto A acumulado después de invertir 1.000 dólares durante t años a una tasa de interés del 4 % se modela mediante la función A(t)=1.000(1,04)t.A(t)=1.000(1,04)t.

  1. Calcule el monto acumulado después de 5 años y 10 años.
  2. Determine el tiempo que tarda en triplicarse la inversión original.
307.

[T] Se sabe que una colonia bacteriana cultivada en un laboratorio duplica su número en 12 horas. Supongamos que, inicialmente, hay 1.000 bacterias presentes.

  1. Utilice la función exponencial Q=Q0ektQ=Q0ekt para determinar el valor k,k, que es la tasa de crecimiento de la bacteria. Redondee a cuatro decimales.
  2. Determine aproximadamente el tiempo que tardan en crecer 200.000 bacterias.
308.

[T] La población de conejos en una reserva de caza se duplica cada 6 meses. Supongamos que hay 120 conejos inicialmente.

  1. Utilice la función exponencial P=P0atP=P0at para determinar la tasa de crecimiento constante a.a. Redondee a cuatro decimales.
  2. Utilice la función de la parte a. para determinar aproximadamente el tiempo que tarda la población de conejos en llegar a 3500.
309.

[T] El terremoto de 1906 en San Francisco tuvo una magnitud de 8,3 en la escala de Richter. Al mismo tiempo, en Japón, un terremoto de magnitud 4,9 solo causó daños menores. ¿Aproximadamente cuánta más energía liberó el terremoto de San Francisco que el de Japón? Consulte la definición de la escala de Richter en el Figura 1.48 de esta sección.

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