Gilbert Strang; Edwin “Jed” Herman

Objetivos de aprendizaje

1.5.1 Identificar la forma de una función exponencial.
1.5.2 Explicar la diferencia entre los gráficos de $x^{b}$ y $b^{x} .$
1.5.3 Reconocer el significado del número $e .$
1.5.4 Identificar la forma de una función logarítmica.
1.5.5 Explicar la relación entre las funciones exponenciales y logarítmicas.
1.5.6 Describir cómo calcular un logaritmo en una base diferente.
1.5.7 Identificar las funciones hiperbólicas, sus gráficos y las identidades básicas.

En esta sección examinamos las funciones exponenciales y logarítmicas. Utilizamos las propiedades de estas funciones para resolver ecuaciones que implican términos exponenciales o logarítmicos, y estudiamos el significado y la importancia del número $e .$ También definimos las funciones hiperbólicas e hiperbólicas inversas, que implican combinaciones de funciones exponenciales y logarítmicas. (Tenga en cuenta que presentamos definiciones alternativas de las funciones exponenciales y logarítmicas en el capítulo Aplicaciones de las integraciones, y demostramos que las funciones tienen las mismas propiedades con cualquiera de las dos definiciones)

Funciones exponenciales

Las funciones exponenciales aparecen en muchas aplicaciones. Un ejemplo común es el crecimiento de la población.

Por ejemplo, si una población comienza con $P_{0}$ individuos y luego crece a una tasa anual de $2 %,$ su población después de 1 año es

P (1) = P_{0} + 0,02 P_{0} = P_{0} (1 + 0,02) = P_{0} (1,02) .

Su población después de 2 años es

P (2) = P (1) + 0,02 P (1) = P (1) (1,02) = P_{0} {(1,02)}^{2} .

En general, su población después de $t$ años es

P (t) = P_{0} {(1,02)}^{t},

que es una función exponencial. De forma más general, cualquier función de la forma $f (x) = b^{x},$ donde $b > 0, b \neq 1,$ es una función exponencial con base $b$ y exponente x. Las funciones exponenciales tienen bases constantes y exponentes variables. Observe que una función de la forma $f (x) = x^{b}$ para alguna constante $b$ no es una función exponencial sino una función potencia.

Para ver la diferencia entre una función exponencial y una función potencia, comparamos las funciones $y = x^{2}$ y $y = 2^{x} .$ En la Tabla 1.10, vemos que tanto $2^{x}$ y $x^{2}$ se acercan al infinito a medida que $x \to \infty .$ Sin embargo, con el tiempo, $2^{x}$ se hace más grande que $x^{2}$ y crece más rápidamente a medida que $x \to \infty .$ En la dirección opuesta, a medida que $x \to − \infty, x^{2} \to \infty,$ mientras que $2^{x} \to 0 .$ La línea $y = 0$ es una asíntota horizontal para $y = 2^{x} .$

En la Figura 1.43, graficamos ambas $y = x^{2}$ y $y = 2^{x}$ para mostrar las diferencias entre los gráficos.

Imagen de un gráfico. El eje x va de -10 a 10 y el eje y va de 0 a 50. El gráfico es de dos funciones. La primera función es "y = x al cuadrado", que es una parábola. La función disminuye hasta llegar al origen y luego comienza a aumentar. La segunda función es "y = 2 a la potencia de x", que comienza ligeramente por encima del eje x, y empieza a aumentar muy rápidamente, más rápidamente que la primera función.

Figura 1.43 Tanto

2^{x}

y

x^{2}

se acercan al infinito a medida que

x \to \infty,

pero

2^{x}

crece más rápidamente que

x^{2} .

Dado que

x \to − \infty, x^{2} \to \infty,

mientras que

2^{x} \to 0 .

Evaluación de funciones exponenciales

Recuerde las propiedades de los exponentes: si los valores de $x$ es un número entero positivo, entonces definimos $b^{x} = b . b \dots b$ (con $x$ factores de $b) .$ Si $x$ es un número entero negativo, entonces $x = − y$ para algún número entero positivo $y,$ y definimos $b^{x} = b^{− y} = 1 / b^{y} .$ También, $b^{0}$ se define como $1 .$ Si $x$ es un número racional, entonces $x = p / q,$ donde $p$ y $q$ son números enteros y $b^{x} = b^{p / q} = \sqrt[q]{b^{p}} .$ Por ejemplo, $9^{3 / 2} = \sqrt{9^{3}} = 27 .$ Sin embargo, ¿cómo se define $b^{x}$ si $x$ es un número irracional? Por ejemplo, ¿qué entendemos por $2^{\sqrt{2}} ?$ Esta es una pregunta demasiado compleja para que podamos responderla completamente en este momento; sin embargo, podemos hacer una aproximación. En la Tabla 1.11, enumeramos algunos números racionales que se acercan a $\sqrt{2},$ y los valores de $2^{x}$ para cada número racional $x$ también se presentan. Afirmamos que si elegimos números racionales $x$ cada vez más cerca de $\sqrt{2},$ los valores de $2^{x}$ se acercan cada vez más a algún número $L .$ Definimos que ese número $L$ para que sea $2^{\sqrt{2}} .$

$x$	$1,4$	$1,41$	$1,414$	$1,4142$	$1,41421$	$1,414213$
$2^{x}$	$2,639$	$2,65737$	$2,66475$	$2,665119$	$2,665138$	$2,665143$

Tabla 1.11 Los valores de

2^{x}

para una lista de números racionales que se aproximan a

\sqrt{2}

Ejemplo 1.33

Crecimiento bacteriano

Supongamos que se sabe que una determinada población de bacterias duplica su tamaño cada $4$ horas. Si un cultivo comienza con $1.000$ bacterias, el número de bacterias después de $4$ horas es $n (4) = 1.000 . 2 .$ El número de bacterias después de $8$ horas es $n (8) = n (4) . 2 = 1.000 . 2^{2} .$ En general, el número de bacterias después de $4 m$ horas es $n (4 m) = 1.000 . 2^{m} .$ Supongamos que $t = 4 m,$ vemos que el número de bacterias después de $t$ horas es $n (t) = 1.000 . 2^{t / 4} .$ Calcule el número de bacterias después de $6$ horas, $10$ horas, y $24$ horas.

Solución

El número de bacterias después de 6 horas está dado por $n (6) = 1.000 . 2^{6 / 4} \approx 2828$ bacterias. El número de bacterias después de $10$ horas está dado por $n (10) = 1.000 . 2^{10 / 4} \approx 5657$ bacterias. El número de bacterias después de $24$ horas está dado por $n (24) = 1.000 . 2^{6} = 64.000$ bacterias.

Punto de control 1.27

Dada la función exponencial $f (x) = 100 . 3^{x / 2},$ evaluar $f (4)$ y $f (10) .$

Medios

Visite World Population Balance (balance de la población mundial) para ver otro ejemplo de crecimiento exponencial de la población.

Gráficos de funciones exponenciales

Para cualquier base $b > 0, b \neq 1,$ la función exponencial $f (x) = b^{x}$ se define para todos los números reales $x$ y $b^{x} > 0 .$ Por lo tanto, el dominio de $f (x) = b^{x}$ es $(− \infty, \infty)$ y el rango es $(0, \infty) .$ Para graficar $b^{x},$ observamos que para $b > 1, b^{x}$ es creciente en $(− \infty, \infty)$ y $b^{x} \to \infty$ cuando $x \to \infty,$ mientras que $b^{x} \to 0$ cuando $x \to − \infty .$ Por otro lado, si $0 < b < 1, f (x) = b^{x}$ es decreciente en $(− \infty, \infty)$ y $b^{x} \to 0$ cuando $x \to \infty$ mientras que $b^{x} \to \infty$ cuando $x \to − \infty$ (Figura 1.44).

Imagen de un gráfico. El eje x va de -3 a 3 y el eje y va de 0 a 4. El gráfico es de cuatro funciones. La primera función es "f(x) = 2 a la potencia de x", una función curva creciente, que empieza ligeramente por encima del eje x y comienza a aumentar. La segunda función es "f(x) = 4 a la potencia de x", una función curva creciente, que empieza ligeramente por encima del eje x y comienza a aumentar rápidamente, más rápidamente que la primera función. La tercera función es "f(x) = (1/2) a la potencia de x", una función curva decreciente que disminuye hasta acercarse al eje x sin tocarlo. La tercera función es "f(x) = (1/4) a la potencia de x", una función curva decreciente que disminuye hasta acercarse al eje x sin tocarlo. Disminuye a un ritmo más rápido que la tercera función.

Figura 1.44 Si los valores de

b > 1,

entonces

b^{x}

es creciente en

(− \infty, \infty) .

Si

0 < b < 1,

entonces

b^{x}

es decreciente en

(− \infty, \infty) .

Medios

Visite este sitio para explorar más los gráficos de las funciones exponenciales.

Observe que las funciones exponenciales cumplen las leyes generales de los exponentes. Para recordar estas leyes, las exponemos como reglas.

Regla: leyes de los exponentes

Para cualquier constante $a > 0, b > 0,$ y para todo x y y,

$b^{x} . b^{y} = b^{x + y}$
$\frac{b^{x}}{b^{y}} = b^{x - y}$
${(b^{x})}^{y} = b^{x y}$
${(a b)}^{x} = a^{x} b^{x}$
$\frac{a^{x}}{b^{x}} = {(\frac{a}{b})}^{x}$

Ejemplo 1.34

Uso de las leyes de los exponentes

Utilice las leyes de los exponentes para simplificar cada una de las siguientes expresiones.

$\frac{{(2 x^{2 / 3})}^{3}}{{(4 x^{−1 / 3})}^{2}}$
$\frac{{(x^{3} y^{−1})}^{2}}{{(x y^{2})}^{−2}}$

Solución

Podemos simplificar de la siguiente manera:
$\frac{{(2 x^{2 / 3})}^{3}}{{(4 x^{−1 / 3})}^{2}} = \frac{2^{3} {(x^{2 / 3})}^{3}}{4^{2} {(x^{−1 / 3})}^{2}} = \frac{8 x^{2}}{16 x^{−2 / 3}} = \frac{x^{2} x^{2 / 3}}{2} = \frac{x^{8 / 3}}{2} .$
Podemos simplificar de la siguiente manera:
$\frac{{(x^{3} y^{−1})}^{2}}{{(x y^{2})}^{−2}} = \frac{{(x^{3})}^{2} {(y^{−1})}^{2}}{x^{−2} {(y^{2})}^{−2}} = \frac{x^{6} y^{−2}}{x^{−2} y^{−4}} = x^{6} x^{2} y^{−2} y^{4} = x^{8} y^{2} .$

Punto de control 1.28

Utilice las leyes de los exponentes para simplificar $(6 x^{−3} y^{2}) / (12 x^{−4} y^{5}) .$

El número e

Un tipo especial de función exponencial aparece con frecuencia en aplicaciones del mundo real. Para describirlo, consideremos el siguiente ejemplo de crecimiento exponencial, que surge del interés compuesto en una cuenta de ahorros. Supongamos que una persona invierte $P$ dólares en una cuenta de ahorros con una tasa de interés anual $r,$ calculada anualmente. La cantidad de dinero después de 1 año es

A (1) = P + r P = P (1 + r) .

La cantidad de dinero después de $2$ años es

A (2) = A (1) + r A (1) = P (1 + r) + r P (1 + r) = P {(1 + r)}^{2} .

En general, la cantidad después de $t$ años es

A (t) = P {(1 + r)}^{t} .

Si el dinero se calcula 2 veces al año, la cantidad de dinero después de medio año es

A (\frac{1}{2}) = P + (\frac{r}{2}) P = P (1 + (\frac{r}{2})) .

La cantidad de dinero después de $1$ año es

A (1) = A (\frac{1}{2}) + (\frac{r}{2}) A (\frac{1}{2}) = P (1 + \frac{r}{2}) + \frac{r}{2} (P (1 + \frac{r}{2})) = P {(1 + \frac{r}{2})}^{2} .

Después de $t$ años, la cantidad de dinero en la cuenta es

A (t) = P {(1 + \frac{r}{2})}^{2 t} .

En general, si el dinero se calcula $n$ veces al año, la cantidad de dinero en la cuenta después de $t$ años está dada por la función

A (t) = P {(1 + \frac{r}{n})}^{n t} .

¿Qué sucede a medida que $n \to \infty ?$ Para responder esta pregunta, suponemos que $m = n / r$ y escribimos

{(1 + \frac{r}{n})}^{n t} = {(1 + \frac{1}{m})}^{m r t},

y examinamos el comportamiento de ${(1 + 1 / m)}^{m}$ a medida que $m \to \infty,$ utilizando una tabla de valores (Tabla 1.12).

$m$	$10$	$100$	$1.000$	$10.000$	$100.000$	$1.000.000$
${(1 + \frac{1}{m}).}^{m}$	$2,5937$	$2,7048$	$2,71692$	$2,71815$	$2,718268$	$2,718280$

Tabla 1.12 Los valores de

{(1 + \frac{1}{m})}^{m}

a medida que

m \to \infty

De esta tabla se desprende que ${(1 + 1 / m)}^{m}$ se acerca a un número entre $2,7$ y $2,8$ a medida que $m \to \infty .$ De hecho, ${(1 + 1 / m)}^{m}$ se acerca a algún número a medida que $m \to \infty .$ Llamamos a este número $e$ . Con seis decimales de exactitud,

e \approx 2,718282 .

La letra $e$ fue utilizada por primera vez para representar este número por el matemático suizo Leonhard Euler durante la década de 1720. Aunque Euler no descubrió el número, mostró muchas conexiones importantes entre $e$ y las funciones logarítmicas. Seguimos utilizando la notación $e$ hoy para honrar el trabajo de Euler porque aparece en muchas áreas de las matemáticas y porque podemos utilizarla en muchas aplicaciones prácticas.

Volviendo a nuestro ejemplo de la cuenta de ahorros, podemos concluir que si una persona pone $P$ dólares en una cuenta con una tasa de interés anual $r,$ calculada continuamente, entonces $A (t) = P e^{r t} .$ Esta función puede resultar familiar. Dado que las funciones que involucran a la base $e$ surgen a menudo en aplicaciones, llamamos a la función $f (x) = e^{x}$ la función exponencial natural. Esta función no solo es interesante por la definición del número $e,$ pero además, como se verá a continuación, su gráfico tiene una propiedad importante.

Dado que $e > 1,$ sabemos que $e^{x}$ es creciente en $(− \infty, \infty) .$ En la Figura 1.45, mostramos un gráfico de $f (x) = e^{x}$ junto con una línea tangente al gráfico de en $x = 0 .$ Damos una definición precisa de línea tangente en el próximo capítulo; pero, de manera informal, decimos que una línea tangente a un gráfico de $f$ en $x = a$ es una línea que pasa por el punto $(a, f (a))$ y tiene la misma "pendiente" que $f$ en ese punto $.$ La función $f (x) = e^{x}$ es la única función exponencial $b^{x}$ con la línea tangente en $x = 0$ que tiene una pendiente de 1. Como veremos más adelante en el texto, tener esta propiedad hace que la función exponencial natural sea la función exponencial más sencilla de utilizar en muchos casos.

Imagen de un gráfico. El eje x va de -3 a 3 y el eje y va de 0 a 4. El gráfico es de la función "f(x) = e a la potencia de x", una función curva creciente que comienza ligeramente por encima del eje x. La intersección en y está en el punto (0, 1). En este punto, se traza una línea tangente a la función. Esta línea tiene la marca "pendiente = 1".

Figura 1.45 El gráfico de

f (x) = e^{x}

tiene una línea tangente con pendiente

1

en

x = 0 .

Ejemplo 1.35

Interés compuesto

Supongamos que se invierten $$ 500$ en una cuenta con una tasa de interés anual de $r = 5,5 %,$ calculada continuamente.

Supongamos que $t$ denota el número de años después de la inversión inicial y $A (t)$ denota la cantidad de dinero en la cuenta en el tiempo $t .$ Halle una fórmula para $A (t) .$
Calcule la cantidad de dinero en la cuenta después de $10$ años y después de $20$ años.

Solución

Si se invierten $P$ dólares en una cuenta con una tasa de interés anual $r,$ calculada continuamente, entonces $A (t) = P e^{r t} .$ Aquí $P = $ 500$ dólares y $r = 0,055 .$ Por lo tanto, $A (t) = 500 e^{0,055 t} .$
Después de $10$ años, la cantidad de dinero en la cuenta es
$A (10) = 500 e^{0,055 . 10} = 500 e^{0,55} \approx $ 866,63 .$

Después de $20$ años, la cantidad de dinero en la cuenta es
$A (20) = 500 e^{0,055 . 20} = 500 e^{1,1} \approx $ 1 . 502,08 .$

Punto de control 1.29

Si se invierten $$ 750$ dólares en una cuenta con una tasa de interés anual de $4 %,$ calculada continuamente, halle una fórmula para la cantidad de dinero en la cuenta después de $t$ años. Calcule la cantidad de dinero después de $30$ años.

Funciones logarítmicas

Utilizando nuestra comprensión de las funciones exponenciales, podemos discutir sus inversas, que son las funciones logarítmicas. Resultan útiles cuando tenemos que considerar cualquier fenómeno que varía en un amplio rango de valores, como el pH en química o los decibeles en niveles de sonido.

La función exponencial $f (x) = b^{x}$ es biunívoca, con dominio $(− \infty, \infty)$ y rango $(0, \infty) .$ Por lo tanto, tiene una función inversa, llamada función logarítmica con base $b .$ Para cualquier $b > 0, b \neq 1,$ la función logarítmica con base b, denotada ${log}_{b},$ tiene dominio $(0, \infty)$ y rango $(− \infty, \infty),$ y satisface

{log}_{b} (x) = y si y solo si b^{y} = x .

Por ejemplo,

\begin{matrix} {log}_{2} (8) = 3 & dado que 2^{3} = 8, \\ {log}_{10} (\frac{1}{100}) = −2 & dado que 10^{−2} = \frac{1}{10^{2}} = \frac{1}{100}, \\ {log}_{b} (1) = 0 & dado que b^{0} = 1 para cualquier base b > 0 . \end{matrix}

Además, como $y = {log}_{b} (x)$ y de $y = b^{x}$ son funciones inversas,

{log}_{b} (b^{x}) = x y b^{{log}_{b} (x)} = x .

La función logarítmica más utilizada es la función ${log}_{e} .$ Dado que esta función utiliza $e$ natural como base, se llama logaritmo natural. Aquí utilizamos la notación $ln (x)$ o $ln x$ con el significado de ${log}_{e} (x) .$ Por ejemplo,

ln (e) = {log}_{e} (e) = 1, ln (e^{3}) = {log}_{e} (e^{3}) = 3, ln (1) = {log}_{e} (1) = 0 .

Dado que las funciones $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = ln (x)$ son inversas entre sí,

ln (e^{x}) = x y e^{ln x} = x,

y sus gráficos son simétricos respecto a la línea $y = x$ (Figura 1.46).

Imagen de un gráfico. El eje x va de -3 a 3 y el eje y va de -3 a 4. El gráfico es de dos funciones. La primera función es "f(x) = e a la potencia de x", una función curva creciente que comienza ligeramente por encima del eje x. La intersección y está en el punto (0, 1) y no hay intersección x. La segunda función es "f(x) = ln(x)", una función curva creciente. La intersección x está en el punto (1, 0) y no hay intersección y. También se ha trazado una línea de puntos con la marca "y = x" en el gráfico, para mostrar que las funciones son imágenes reflejadas sobre esta línea.

Figura 1.46 Las funciones

y = e^{x}

como

y = ln (x)

son inversas entre sí, por lo que sus gráficos son simétricos respecto a la línea

y = x .

Medios

En este sitio puede ver un ejemplo de escala logarítmica de base 10.

En general, para cualquier base $b > 0, b \neq 1,$ la función $g (x) = {log}_{b} (x)$ es simétrica respecto a la línea $y = x$ con la función $f (x) = b^{x} .$ Utilizando este hecho y los gráficos de las funciones exponenciales, graficamos las funciones ${log}_{b}$ para varios valores de $b > 1$ (Figura 1.47).

Imagen de un gráfico. El eje x va de -3 a 3 y el eje y va de 0 a 4. El gráfico es de tres funciones. Las tres funciones son funciones logarítmicas crecientes que comienzan ligeramente a la derecha del eje y y tienen una intersección x en (1, 0). La primera función es "y = log base 10 (x)", la segunda función es "f(x) = ln(x)", y la tercera función es "y = log base 2 (x)". La tercera función es la que aumenta más rápidamente, la segunda función es la siguiente más rápida y la tercera función es la más lenta.

Figura 1.47 Gráficos de

y = {log}_{b} (x)

se representan para

b = 2, e, 10 .

Antes de resolver algunas ecuaciones que implican funciones exponenciales y logarítmicas, vamos a repasar las propiedades básicas de los logaritmos.

Regla: propiedades de los logaritmos

Si los valores de $a, b, c > 0, b \neq 1,$ y $r$ es un número real cualquiera, entonces

\begin{matrix} 1 {log}_{b} (a c) = {log}_{b} (a) + {log}_{b} (c) & (Propiedad del producto) \\ 2. {log}_{b} (\frac{a}{c}) = {log}_{b} (a) - {log}_{b} (c) & (Propiedad del cociente) \\ 3. {log}_{b} (a^{r}) = r {log}_{b} (a) & (Propiedad de la potencia) \end{matrix}

Ejemplo 1.36

Resolución de ecuaciones con funciones exponenciales

Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones para $x .$

$5^{x} = 2$
$e^{x} + 6 e^{– x} = 5$

Solución

Aplicando la función de logaritmo natural a ambos lados de la ecuación, tenemos
$ln 5^{x} = ln 2 .$

Utilizando la propiedad de la potencia de los logaritmos,
$x ln 5 = ln 2 .$

Por lo tanto, $x = ln 2 / ln 5 .$
Multiplicando ambos lados de la ecuación por $e^{x},$ llegamos a la ecuación
$e^{2 x} + 6 = 5 e^{x} .$

Reescribiendo esta ecuación como
$e^{2 x} - 5 e^{x} + 6 = 0,$

podemos entonces reescribirla como una ecuación cuadrática en $e^{x} :$

${(e^{x})}^{2} - 5 (e^{x}) + 6 = 0 .$

Ahora podemos resolver la ecuación cuadrática. Factorizando esta ecuación, obtenemos
$(e^{x} - 3) (e^{x} - 2) = 0 .$

Por lo tanto, las soluciones satisfacen $e^{x} = 3$ y $e^{x} = 2 .$ Tomando el logaritmo natural de ambos lados nos da las soluciones $x = ln 3, ln 2 .$

Punto de control 1.30

Resuelva $e^{2 x} / (3 + e^{2 x}) = 1 / 2 .$

Ejemplo 1.37

Resolución de ecuaciones con funciones logarítmicas

Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones para $x .$

$ln (\frac{1}{x}) = 4$
${log}_{10} \sqrt{x} + {log}_{10} x = 2$
$ln (2 x) - 3 ln (x^{2}) = 0$

Solución

Por la definición de la función de logaritmo natural,
$ln (\frac{1}{x}) = 4 si y solo si e^{4} = \frac{1}{x} .$

Por lo tanto, la solución es $x = 1 / e^{4} .$
Utilizando las propiedades del producto y la potencia de las funciones logarítmicas, reescriba el lado izquierdo de la ecuación como
${log}_{10} \sqrt{x} + {log}_{10} x = {log}_{10} x \sqrt{x} = {log}_{10} x^{3 / 2} = \frac{3}{2} {log}_{10} x .$

Por lo tanto, la ecuación puede reescribirse como
$\frac{3}{2} {log}_{10} x = 2 o {log}_{10} x = \frac{4}{3} .$

La solución es $x = 10^{4 / 3} = 10 \sqrt[3]{10} .$
Utilizando la propiedad de la potencia de las funciones logarítmicas, podemos reescribir la ecuación como $ln (2 x) - ln (x^{6}) = 0 .$
Utilizando la propiedad del cociente, esto se convierte en
$ln (\frac{2}{x^{5}}) = 0 .$

Por lo tanto, $2 / x^{5} = 1,$ lo que implica $x = \sqrt[5]{2} .$ A continuación, debemos comprobar si hay soluciones extrañas.

Punto de control 1.31

Resuelva $ln (x^{3}) - 4 ln (x) = 1 .$

Cuando se evalúa una función logarítmica con una calculadora, es posible que haya notado que las únicas opciones son ${log}_{10}$ o log, llamado el logaritmo común o ln, que es el logaritmo natural. Sin embargo, las funciones exponenciales y las funciones logarítmicas pueden expresarse en términos de cualquier base deseada $b .$ Si necesita usar una calculadora para evaluar una expresión con una base diferente, puede aplicar primero las fórmulas de cambio de base. Utilizando este cambio de base, solemos escribir una función exponencial o logarítmica dada en términos de las funciones exponencial natural y de logaritmo natural.

Regla: fórmulas de cambio de base

Supongamos que $a > 0, b > 0,$ y $a \neq 1, b \neq 1 .$

$a^{x} = b^{x {log}_{b} a}$ para cualquier número real $x .$
Si $b = e,$ esta ecuación se reduce a $a^{x} = e^{x {log}_{e} a} = e^{x ln a} .$
${log}_{a} x = \frac{{log}_{b} x}{{log}_{b} a}$ para cualquier número real $x > 0 .$
Si $b = e,$ esta ecuación se reduce a ${log}_{a} x = \frac{ln x}{ln a} .$

Prueba

Para la primera fórmula de cambio de base, comenzamos haciendo uso de la propiedad de potencia de las funciones logarítmicas. Sabemos que para cualquier base $b > 0, b \neq 1, {log}_{b} (a^{x}) = x {log}_{b} a .$ Por lo tanto,

b^{{log}_{b} (a^{x})} = b^{x {log}_{b} a} .

Además, sabemos que $b^{x}$ y ${log}_{b} (x)$ son funciones inversas. Por lo tanto,

b^{{log}_{b} (a^{x})} = a^{x} .

Combinando estas dos últimas igualdades, concluimos que $a^{x} = b^{x {log}_{b} a} .$

Para demostrar la segunda propiedad, demostramos que

({log}_{b} a) . ({log}_{a} x) = {log}_{b} x .

Supongamos que $u = {log}_{b} a, v = {log}_{a} x,$ y $w = {log}_{b} x .$ Demostraremos que $u . v = w .$ Por la definición de las funciones logarítmicas, sabemos que $b^{u} = a, a^{v} = x,$ y $b^{w} = x .$ De las ecuaciones anteriores, vemos que

b^{u v} = {(b^{u})}^{v} = a^{v} = x = b^{w} .

Por lo tanto, $b^{u v} = b^{w} .$ Como las funciones exponenciales son biunívocas, podemos concluir que $u . v = w .$

□

Ejemplo 1.38

Cambio de bases

Utilice una calculadora para evaluar ${log}_{3} 7$ con la fórmula de cambio de base presentada anteriormente.

Solución

Utilice la segunda ecuación con $a = 3$ y $e = 3 :$

${log}_{3} 7 = \frac{ln 7}{ln 3} \approx 1,77124 .$

Punto de control 1.32

Utilice la fórmula de cambio de base y una calculadora para evaluar ${log}_{4} 6 .$

Ejemplo 1.39

Inicio del capítulo: La escala de Richter para los terremotos

Figura 1.48 (créditos: modificación del trabajo de Robb Hannawacker, NPS).

En 1935, Charles Richter desarrolló una escala (ahora conocida como escala de Richter) para medir la magnitud de un terremoto. La escala es una escala logarítmica de base 10, y puede describirse de la siguiente forma: consideremos un terremoto de magnitud $R_{1}$ en la escala de Richter y un segundo terremoto de magnitud $R_{2}$ en la escala de Richter. Supongamos que $R_{1} > R_{2},$ lo que significa que el terremoto de magnitud $R_{1}$ es más fuerte, pero ¿cuánto más fuerte es que el otro terremoto? Una forma de medir la intensidad de un terremoto es utilizar un sismógrafo para medir la amplitud de las ondas sísmicas. Si los valores de $A_{1}$ es la amplitud medida para el primer terremoto y $A_{2}$ es la amplitud medida para el segundo terremoto, entonces las amplitudes y magnitudes de los dos terremotos satisfacen la siguiente ecuación:

R_{1} - R_{2} = {log}_{10} (\frac{A_{1}}{A_{2}}) .

Considere un terremoto de magnitud 8 en la escala de Richter y un terremoto de magnitud 7 en la escala de Richter. Entonces,

8 - 7 = {log}_{10} (\frac{A_{1}}{A_{2}}) .

Por lo tanto,

{log}_{10} (\frac{A_{1}}{A_{2}}) = 1,

lo que implica $A_{1} / A_{2} = 10$ o $A_{1} = 10 A_{2} .$ Dado que $A_{1}$ es 10 veces más grande que $A_{2},$ decimos que el primer terremoto es 10 veces más intenso que el segundo. Por otro lado, si un terremoto de magnitud 8 en la escala de Richter y otro de magnitud 6, entonces la intensidad relativa de los dos terremotos satisface la ecuación

{log}_{10} (\frac{A_{1}}{A_{2}}) = 8 - 6 = 2 .

Por lo tanto, $A_{1} = 100 A_{2} .$ Es decir, el primer terremoto es 100 veces más intenso que el segundo.

¿Cómo podemos utilizar las funciones logarítmicas para comparar la gravedad relativa del terremoto de magnitud 9 en Japón en 2011 con el terremoto de magnitud 7,3 en Haití en 2010?

Solución

Para comparar los terremotos de Japón y Haití, podemos utilizar una ecuación presentada anteriormente:

$9 - 7,3 = {log}_{10} (\frac{A_{1}}{A_{2}}) .$

Por lo tanto, $A_{1} / A_{2} = 10^{1,7},$ y concluimos que el terremoto de Japón fue aproximadamente $50$ veces más intenso que el terremoto de Haití.

Punto de control 1.33

Compare la gravedad relativa de un terremoto de magnitud $8,4$ con uno de magnitud $7,4$ .

Funciones hiperbólicas

Las funciones hiperbólicas se definen en términos de ciertas combinaciones de $e^{x}$ y $e^{– x} .$ Estas funciones surgen de forma natural en diversas aplicaciones de ingeniería y física, como el estudio de las ondas de agua y las vibraciones de las membranas elásticas. Otro uso común de una función hiperbólica es la representación de una cadena o cable colgante, también conocida como catenaria (Figura 1.49). Si introducimos un sistema de coordenadas para que el punto bajo de la cadena se encuentre a lo largo del eje $y$ , podemos describir la altura de la cadena en términos de una función hiperbólica. En primer lugar, definimos las funciones hiperbólicas.

Una fotografía de una tela de araña que recoge gotas de rocío.

Figura 1.49 La forma de una hebra de seda en una tela de araña puede describirse en términos de una función hiperbólica. La misma forma se aplica a una cadena o cable que cuelga de dos soportes solo con su propio peso (créditos: "Mtpaley", Wikimedia Commons).

Definición

Coseno hiperbólico

cosh x = \frac{e^{x} + e^{– x}}{2}

Seno hiperbólico

senoh x = \frac{e^{x} - e^{– x}}{2}

Tangente hiperbólica

tanh x = \frac{senoh x}{cosh x} = \frac{e^{x} - e^{– x}}{e^{x} + e^{– x}}

Cosecante hiperbólica

csch x = \frac{1}{senoh x} = \frac{2}{e^{x} - e^{– x}}

Secante hiperbólica

sech x = \frac{1}{cosh x} = \frac{2}{e^{x} + e^{– x}}

Cotangente hiperbólica

coth x = \frac{cosh x}{senoh x} = \frac{e^{x} + e^{– x}}{e^{x} - e^{– x}}

El nombre cosh rima con "gosh", mientras que el nombre senh se pronuncia “cench". Tanh, sech, csch y coth se pronuncian "tanch", "seech", "coseech" y "cotanch", respectivamente.

Utilizando la definición de $cosh (x)$ y los principios de la física, se puede demostrar que la altura de una cadena colgante, como la que aparece en la Figura 1.49, se puede describir mediante la función $h (x) = a cosh (x / a) + c$ para ciertas constantes $a$ y $c .$

Pero, ¿por qué estas funciones se llaman funciones hiperbólicas? Para responder esta pregunta, consideremos la cantidad ${cosh}^{2} t - {senoh}^{2} t .$ Utilizando la definición de $cosh$ y $senoh,$ vemos que

{cosh}^{2} t - {senoh}^{2} t = \frac{e^{2 t} + 2 + e^{−2 t}}{4} - \frac{e^{2 t} - 2 + e^{−2 t}}{4} = 1 .

Esta identidad es el análogo de la identidad trigonométrica ${cos}^{2} t + {sen}^{2} t = 1 .$ Aquí, dado un valor $t,$ el punto $(x, y) = (cosh t, senoh t)$ se encuentra en la hipérbola unitaria $x^{2} - y^{2} = 1$ (Figura 1.50).

Imagen de un gráfico. El eje x va de -1 a 3 y el eje y va de -3 a 3. El gráfico es de la relación "(x al cuadrado) - (y al cuadrado) -1". El punto más a la izquierda de la relación está en la intersección x, que está en el punto (1, 0). A partir de este punto la relación aumenta y disminuye en las curvas a medida que aumenta x. Esta relación se conoce como hipérbola y se asemeja a una forma de "U" lateral. En el gráfico de la relación hay un punto marcado como "(cosh(1), senh(1))", que está en el punto aproximado (1,5, 1,2).

Figura 1.50 La hipérbola unitaria

{cosh}^{2} t - {senoh}^{2} t = 1 .

Gráficos de funciones hiperbólicas

Para graficar $cosh x$ y $senoh x,$ aprovechamos el hecho de que ambas funciones se acercan a $(1 / 2) e^{x}$ a medida que $x \to \infty,$ dado que $e^{– x} \to 0$ cuando $x \to \infty .$ Dado que $x \to − \infty, cosh x$ se acerca a $1 / 2 e^{– x},$ mientras que $senoh x$ se acerca a $−1 / 2 e^{– x} .$ Por lo tanto, utilizando los gráficos de $1 / 2 e^{x}, 1 / 2 e^{– x},$ y $− 1 / 2 e^{– x}$ como guías, graficamos $cosh x$ y $senoh x .$ Para graficar $tanh x,$ utilizamos el hecho de que $tanh (0) = 0, −1 < tanh (x) < 1$ para todo $x, tanh x \to 1$ cuando $x \to \infty,$ y $tanh x \to − 1$ cuando $x \to − \infty .$ Los gráficos de las otras tres funciones hiperbólicas se pueden dibujar utilizando los gráficos de $cosh x, senoh x,$ y $tanh x$ (Figura 1.51).

Una imagen de seis gráficos. Cada gráfico tiene un eje x que va de -3 a 3 y un eje y que va de -4 a 4. El primer gráfico es de la función "y = cosh(x)", que es una hipérbola. La función disminuye hasta llegar al punto (0, 1), donde comienza a aumentar. También hay dos funciones que sirven de límite para esta función. La primera de estas funciones es "y = (1/2)(e a potencia de -x)", una función curva decreciente y la segunda de estas funciones es "y = (1/2)(e a potencia de x)", una función curva creciente. La función "y = cosh(x)" está siempre por encima de estas dos funciones sin tocarlas nunca. El segundo gráfico es de la función "y = senh(x)", que es una función curva creciente. También hay dos funciones que sirven de límite para esta función. La primera de estas funciones es "y = (1/2)(e a la potencia de x)", una función curva creciente y la segunda de estas funciones es "y = -(1/2)(e a la potencia de -x)", una función curva creciente que se acerca al eje x sin tocarlo. La función "y = senh(x)" está siempre entre estas dos funciones sin tocarlas nunca. El tercer gráfico es de la función "y = sech(x)", que aumenta hasta el punto (0, 1), donde empieza a disminuir. El gráfico de la función tiene una joroba. El cuarto gráfico es de la función "y = csch(x)". En el lado izquierdo del eje y, la función comienza ligeramente por debajo del eje x y va disminuyendo hasta acercarse al eje y, que nunca toca. En el lado derecho del eje y, la función comienza ligeramente a la derecha del eje y y va disminuyendo hasta acercarse al eje x, que nunca toca. El quinto gráfico es de la función "y = tanh(x)", una función curva creciente. También hay dos funciones que sirven de límite para esta función. La primera de estas funciones es "y = 1", una función de línea horizontal y la segunda de estas funciones es "y = -1", otra función de línea horizontal. La función "y = tanh(x)" está siempre entre estas dos funciones sin tocarlas nunca. El sexto gráfico es de la función "y = coth(x)". En el lado izquierdo del eje y, la función comienza ligeramente por debajo de la línea límite "y = 1" y va disminuyendo hasta acercarse al eje y, que nunca toca. En el lado derecho del eje y, la función comienza ligeramente a la derecha del eje y y va disminuyendo hasta acercarse a la línea límite "y = –1", que nunca toca.

Figura 1.51 Las funciones hiperbólicas son combinaciones de

e^{x}

y

e^{– x} .

Identidades que involucran funciones hiperbólicas

La identidad ${cosh}^{2} t - {senoh}^{2} t,$ mostrada en la Figura 1.50, es una de las varias identidades que involucran funciones hiperbólicas, algunas de las cuales se enumeran a continuación. Las cuatro primeras propiedades se deducen fácilmente de las definiciones de seno hiperbólico y coseno hiperbólico. Salvo algunas diferencias de signo, la mayoría de estas propiedades son análogas a las identidades de las funciones trigonométricas.

Regla: identidades que involucran funciones hiperbólicas

$cosh (− x) = cosh x$
$senoh (− x) = − senoh x$
$cosh x + senoh x = e^{x}$
$cosh x - senoh x = e^{– x}$
${cosh}^{2} x - {senoh}^{2} x = 1$
$1 - {tanh}^{2} x = {sech}^{2} x$
${coth}^{2} x - 1 = {csch}^{2} x$
$senoh (x \pm y) = senoh x cosh y \pm cosh x senoh y$
$cosh (x \pm y) = cosh x cosh y \pm senoh x senoh y$

Ejemplo 1.40

Evaluación de funciones hiperbólicas

Simplifique $senoh (5 ln x) .$
Si los valores de $senoh x = 3 / 4,$ calcule los valores de las cinco funciones hiperbólicas restantes.

Solución

Utilizando la definición del $senoh$ , escribimos
$senoh (5 ln x) = \frac{e^{5 ln x} - e^{−5 ln x}}{2} = \frac{e^{ln (x^{5})} - e^{ln (x^{−5})}}{2} = \frac{x^{5} - x^{−5}}{2} .$
Utilizando la identidad ${cosh}^{2} x - {senoh}^{2} x = 1,$ vemos que
${cosh}^{2} x = 1 + {(\frac{3}{4})}^{2} = \frac{25}{16} .$

Dado que $cosh x \geq 1$ para todo $x,$ debemos tener $cosh x = 5 / 4 .$ Entonces, utilizando las definiciones para las otras funciones hiperbólicas, concluimos que $tanh x = 3 / 5, csch x = 4 / 3, sech x = 4 / 5,$ y $coth x = 5 / 3 .$

Punto de control 1.34

Simplifique $cosh (2 ln x) .$

Funciones hiperbólicas inversas

A partir de los gráficos de las funciones hiperbólicas, vemos que todas ellas son biunívocas excepto $cosh x$ y $sech x .$ Si restringimos los dominios de estas dos funciones al intervalo $[0, \infty),$ entonces todas las funciones hiperbólicas son biunívocas, y podemos definir las funciones hiperbólicas inversas. Dado que las funciones hiperbólicas propiamente dichas implican funciones exponenciales, las funciones hiperbólicas inversas implican funciones logarítmicas.

Definición

Funciones hiperbólicas inversas

\begin{matrix} {senoh}^{−1} x = arcsenh x = ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) & {cosh}^{−1} x = arccosh x = ln (x + \sqrt{x^{2} - 1}) \\ {tanh}^{−1} x = arctanh x = \frac{1}{2} ln (\frac{1 + x}{1 - x}) & {coth}^{−1} x = arccot x = \frac{1}{2} ln (\frac{x + 1}{x - 1}) \\ {sech}^{−1} x = arcsech x = ln (\frac{1 + \sqrt{1 - x^{2}}}{x}) & {csch}^{−1} x = arccsch x = ln (\frac{1}{x} + \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{| x |}) \end{matrix}

Veamos cómo derivar la primera ecuación. Las demás siguen el mismo camino. Supongamos que $y = {senoh}^{−1} x .$ Entonces, $x = senoh y$ y, por la definición de la función de seno hiperbólico, $x = \frac{e^{y} - e^{− y}}{2} .$ Por lo tanto,

e^{y} - 2 x - e^{− y} = 0 .

Multiplicando esta ecuación por $e^{y},$ obtenemos

e^{2 y} - 2 x e^{y} - 1 = 0 .

Esto se puede resolver como una ecuación cuadrática, con la solución

e^{y} = \frac{2 x \pm \sqrt{4 x^{2} + 4}}{2} = x \pm \sqrt{x^{2} + 1} .

Dado que $e^{y} > 0,$ la única solución es la del signo positivo. Aplicando el logaritmo natural a ambos lados de la ecuación, concluimos que

y = ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) .

Ejemplo 1.41

Evaluación de funciones hiperbólicas inversas

Evalúe cada una de las siguientes expresiones.

{senoh}^{−1} (2)

grandes.

{tanh}^{−1} (1 / 4)

grandes.

Solución

${senoh}^{−1} (2) = ln (2 + \sqrt{2^{2} + 1}) = ln (2 + \sqrt{5}) \approx 1,4436$

${tanh}^{−1} (1 / 4) = \frac{1}{2} ln (\frac{1 + 1 / 4}{1 - 1 / 4}) = \frac{1}{2} ln (\frac{5 / 4}{3 / 4}) = \frac{1}{2} ln (\frac{5}{3}) \approx 0,2554$

Punto de control 1.35

Evalúe ${tanh}^{−1} (1 / 2) .$

Sección 1.5 ejercicios

En los siguientes ejercicios, evalúe las funciones exponenciales dadas como se indica, con precisión de dos dígitos significativos después del decimal.

229.

$f (x) = 5^{x}$ a. $x = 3$ b. $x = \frac{1}{2}$ c. $x = \sqrt{2}$

230.

$f (x) = {(0,3)}^{x}$ a. $x = −1$ b. $x = 4$ c. $x = −1,5$

231.

$f (x) = 10^{x}$ a. $x = −2$ b. $x = 4$ c. $x = \frac{5}{3}$

232.

$f (x) = e^{x}$ a. $x = 2$ b. $x = −3,2$ c. $x = π$

En los siguientes ejercicios, relacione la ecuación exponencial con el gráfico correcto.

$y = 4^{− x}$
$y = 3^{x - 1}$
$y = 2^{x + 1}$
$y = {(\frac{1}{2})}^{x} + 2$
$y = − 3^{− x}$
$y = 1 - 5^{x}$

233.

Imagen de un gráfico. El eje x va de -5 a 5 y el eje y va de -2 a 8. El gráfico es de una función curva decreciente. La función disminuye hasta acercarse a la línea "y = 2", pero nunca toca esta línea. La intersección y está en el punto (0, 3) y no hay intersección x.

234.

Imagen de un gráfico. El eje x va de -4 a 4 y el eje y va de -9 a 2. El gráfico es de una función que empieza ligeramente por debajo de la línea "y = 1" y comienza a decrecer rápidamente en una curva. La intersección x y la intersección y están ambas en el origen.

235.

Imagen de un gráfico. El eje x va de -5 a 5 y el eje y va de -5 a 5. El gráfico es de una función curva creciente que empieza ligeramente por encima del eje x y comienza a aumentar rápidamente. No hay intersección x y la intersección y está en el punto (0, (1/3)). Otro punto del gráfico está en (1, 1).

236.

Imagen de un gráfico. El eje x va de -5 a 5 y el eje y va de -5 a 5. El gráfico es de una función curva decreciente que disminuye hasta acercarse al eje x sin tocarlo. No hay intersección x y la intersección y está en el punto (0, 1). Otro punto del gráfico está en (-1, 4).

237.

Imagen de un gráfico. El eje x va de -5 a 5 y el eje y va de -5 a 5. El gráfico es de una función curva creciente que aumenta hasta acercarse al eje x sin tocarlo. No hay intersección x y la intersección y está en el punto (0, -1). Otro punto del gráfico está en (-1, -3).

238.

En los siguientes ejercicios, dibuje el gráfico de la función exponencial. Determine el dominio, el rango y la asíntota horizontal.

239.

$f (x) = e^{x} + 2$

240.

$f (x) = − 2^{x}$

241.

$f (x) = 3^{x + 1}$

242.

$f (x) = 4^{x} - 1$

243.

$f (x) = 1 - 2^{− x}$

244.

$f (x) = 5^{x + 1} + 2$

245.

$f (x) = e^{– x} - 1$

En los siguientes ejercicios, escriba la ecuación en forma exponencial equivalente.

246.

${log}_{3} 81 = 4$

247.

${log}_{8} 2 = \frac{1}{3}$

248.

${log}_{5} 1 = 0$

249.

${log}_{5} 25 = 2$

250.

$log 0,1 = –1$

251.

$ln (\frac{1}{e^{3}}) = −3$

252.

${log}_{9} 3 = 0,5$

253.

$ln 1 = 0$

En los siguientes ejercicios, escriba la ecuación en forma logarítmica equivalente.

254.

$2^{3} = 8$

255.

$4^{−2} = \frac{1}{16}$

256.

$10^{2} = 100$

257.

$9^{0} = 1$

258.

${(\frac{1}{3})}^{3} = \frac{1}{27}$

259.

$\sqrt[3]{64} = 4$

260.

$e^{x} = y$

261.

$9^{y} = 150$

262.

$b^{3} = 45$

263.

$4^{−3 / 2} = 0,125$

En los siguientes ejercicios, dibuje el gráfico de la función logarítmica. Determine el dominio, el rango y la asíntota vertical.

264.

$f (x) = 3 + ln x$

265.

$f (x) = ln (x - 1)$

266.

$f (x) = ln (− x)$ grandes.

267.

$f (x) = 1 - ln x$

268.

$f (x) = log x - 1$

269.

$f (x) = ln (x + 1)$

En los siguientes ejercicios, utilice las propiedades de los logaritmos para escribir las expresiones como suma, diferencia o producto de logaritmos.

270.

$log x^{4} y$

271.

${log}_{3} \frac{9 a^{3}}{b}$

272.

$ln a \sqrt[3]{b}$

273.

${log}_{5} \sqrt{125 x y^{3}}$

274.

${log}_{4} \frac{\sqrt[3]{x y}}{64}$

275.

$ln (\frac{6}{\sqrt{e^{3}}})$ grandes.

En los siguientes ejercicios, resuelva la ecuación exponencial de manera exacta.

276.

$5^{x} = 125$

277.

$e^{3 x} - 15 = 0$

278.

$8^{x} = 4$

279.

$4^{x + 1} - 32 = 0$

280.

$3^{x / 14} = \frac{1}{10}$

281.

$10^{x} = 7,21$

282.

$4 . 2^{3 x} - 20 = 0$

283.

$7^{3 x - 2} = 11$

En los siguientes ejercicios, resuelva la ecuación logarítmica de manera exacta, si es posible.

284.

${log}_{3} x = 0$

285.

${log}_{5} x = –2$

286.

${log}_{4} (x + 5) = 0$

287.

$log (2 x - 7) = 0$

288.

$ln \sqrt{x + 3} = 2$

289.

${log}_{6} (x + 9) + {log}_{6} x = 2$

290.

${log}_{4} (x + 2) - {log}_{4} (x - 1) = 0$

291.

$ln x + ln (x - 2) = ln 4$

En los siguientes ejercicios, utilice la fórmula de cambio de base y la base 10 o la base e para evaluar las expresiones dadas. Responda en forma exacta y en forma aproximada, redondeando a cuatro decimales.

292.

${log}_{5} 47$

293.

${log}_{7} 82$

294.

${log}_{6} 103$

295.

${log}_{0,5} 211$

296.

${log}_{2} π$

297.

${log}_{0,2} 0,452$

298.

Reescriba las siguientes expresiones en términos de exponenciales y simplifique.

a. $2 cosh (ln x)$ b. $cosh 4 x + senoh 4 x$ c. $cosh 2 x - senoh 2 x$ d. $ln (cosh x + senoh x) + ln (cosh x - senoh x)$

299.

[T] El número de bacterias N en un cultivo después de t días puede modelarse mediante la función $N (t) = 1300 . {(2)}^{t / 4} .$ Calcule el número de bacterias presentes después de 15 días.

300.

[T] La demanda D (en millones de barriles) de petróleo en un país rico en petróleo viene dada por la función $D (p) = 150 . {(2,7)}^{−0,25 p},$ donde p es el precio (en dólares) del barril de petróleo. Calcule la cantidad de petróleo demandada (al millón de barriles más cercano) cuando el precio está entre 15 y 20 dólares.

301.

[T] El monto A de una inversión de 100.000 dólares que se paga de forma continua y compuesta durante t años está dado por $A (t) = 100.000 . e^{0,055 t} .$ Calcule el monto A acumulado en 5 años.

302.

[T] Una inversión se calcula mensual, trimestral o anualmente y está dada por la función $A = P {(1 + \frac{j}{n})}^{n t},$ donde $A$ es el valor de la inversión en el tiempo $t, P$ es el capital inicial que se invirtió, $j$ es la tasa de interés anual y $n$ es el número de veces que se calculan los intereses al año. Dada una tasa de interés anual del 3,5 % y un capital inicial de 100.000 dólares, calcule el monto $A$ acumulado en 5 años para los intereses que se calculan a. diariamente, b., mensualmente, c. trimestralmente y d. anualmente.

303.

[T] La concentración de iones de hidrógeno en una sustancia se denota mediante $[H^{+}],$ medida en moles por litro. El pH de una sustancia se define mediante la función logarítmica $pH = − log [H^{+}] .$ Esta función se utiliza para medir la acidez de una sustancia. El pH del agua es de 7. Una sustancia con un pH inferior a 7 es un ácido, mientras que la que tiene un pH superior a 7 es una base.

Calcule el pH de las siguientes sustancias. Redondee las respuestas a un dígito.
Determine si la sustancia es un ácido o una base.
1. Huevos: $[H^{+}] = 1,6 \times 10^{−8}$ mol/L
2. Cerveza: $[H^{+}] = 3,16 \times 10^{−3}$ mol/L
3. Jugo de tomate: $[H^{+}] = 7,94 \times 10^{−5}$ mol/L

304.

[T] El yodo-131 es una sustancia radiactiva que se descompone según la función $Q (t) = Q_{0} . e^{−0,08664 t},$ donde $Q_{0}$ es la cantidad inicial de una muestra de la sustancia y t está en días. Determine el tiempo que tarda (al día más cercano) en descomponerse el 95 % de una cantidad.

305.

[T] Según el Banco Mundial, a finales de 2013 ( $t = 0$ ) la población de EE. UU. era de 316 millones de habitantes y aumentaba de acuerdo con el siguiente modelo:

$P (t) = 316 e^{0,0074 t},$ donde P se mide en millones de personas y t se mide en años después de 2013.

Según este modelo, ¿cuál será la población de Estados Unidos en 2020?
Determine cuándo la población de Estados Unidos será el doble que en 2013.

306.

[T] El monto A acumulado después de invertir 1.000 dólares durante t años a una tasa de interés del 4 % se modela mediante la función $A (t) = 1.000 {(1,04)}^{t} .$

Calcule el monto acumulado después de 5 años y 10 años.
Determine el tiempo que tarda en triplicarse la inversión original.

307.

[T] Se sabe que una colonia bacteriana cultivada en un laboratorio duplica su número en 12 horas. Supongamos que, inicialmente, hay 1.000 bacterias presentes.

Utilice la función exponencial $Q = Q_{0} e^{k t}$ para determinar el valor $k,$ que es la tasa de crecimiento de la bacteria. Redondee a cuatro decimales.
Determine aproximadamente el tiempo que tardan en crecer 200.000 bacterias.

308.

[T] La población de conejos en una reserva de caza se duplica cada 6 meses. Supongamos que hay 120 conejos inicialmente.

Utilice la función exponencial $P = P_{0} a^{t}$ para determinar la tasa de crecimiento constante $a .$ Redondee a cuatro decimales.
Utilice la función de la parte a. para determinar aproximadamente el tiempo que tarda la población de conejos en llegar a 3500.

309.

[T] El terremoto de 1906 en San Francisco tuvo una magnitud de 8,3 en la escala de Richter. Al mismo tiempo, en Japón, un terremoto de magnitud 4,9 solo causó daños menores. ¿Aproximadamente cuánta más energía liberó el terremoto de San Francisco que el de Japón? Consulte la definición de la escala de Richter en el Figura 1.48 de esta sección.

$x$	$−3$	$−2$	$−1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
$x^{2}$	$9$	$4$	$1$	$0$	$1$	$4$	$9$	$16$	$25$	$36$
$2^{x}$	$1 / 8$	$1 / 4$	$1 / 2$	$1$	$2$	$4$	$8$	$16$	$32$	$64$

1.5 Funciones exponenciales y logarítmicas

Funciones exponenciales

Evaluación de funciones exponenciales

Crecimiento bacteriano

Solución

Gráficos de funciones exponenciales

Uso de las leyes de los exponentes

Solución

El número e

Interés compuesto

Solución

Funciones logarítmicas

Resolución de ecuaciones con funciones exponenciales

Solución

Resolución de ecuaciones con funciones logarítmicas

Solución

Prueba

Cambio de bases

Solución

Inicio del capítulo: La escala de Richter para los terremotos

Solución

Funciones hiperbólicas

Gráficos de funciones hiperbólicas

Identidades que involucran funciones hiperbólicas

Evaluación de funciones hiperbólicas

Solución

Funciones hiperbólicas inversas

Evaluación de funciones hiperbólicas inversas

Solución

Sección 1.5 ejercicios