Capítulo 3

$\frac{1}{4}$

$6$

$f^{\prime }\left(1\right)=5$

$\mathrm{-32}$ ft/s.

$P^{\prime }\left(\mathrm{3,25}\right)=20>0;$ subir el precio.

$f^{\prime }\left(x\right)=2x$

$\left(0,\text{+}\infty \right)$

$a=6$ y $b=\mathrm{-9}$

$f\text{″}\left(x\right)=2$

$a\left(t\right)=6t$

0

$4x^3$

$f^{\prime }\left(x\right)=7x^6$

$f^{\prime }\left(x\right)=6x^2-12x.$

$y=12x-23$

$j^{\prime }\left(x\right)=10x^4\left(4x^2+x\right)+\left(8x+1\right)\left(2x^5\right)=56x^6+12x^5.$

$k^{\prime }\left(x\right)=-\frac{13}{{(4x-3)}^2}.$

$g^{\prime }\left(x\right)=\mathrm{-7}{x}^{\mathrm{-8}}.$

$3f^{\prime }\left(x\right)-2g^{\prime }\left(x\right).$

$\frac{5}{8}$

$\mathrm{-4,4}$

de izquierda a derecha

3.300

$2

$f^{\prime }\left(x\right)={\text{cos}}^{2}x-{\text{sen}}^{2}x$

$\frac{\text{cos}x+x\text{sen}x}{{\text{cos}}^{2}x}$

$t=\frac{\pi }{3},t=\frac{2\pi }{3}$

$f^{\prime }\left(x\right)=\text{−}{\text{csc}}^{2}x$

$f^{\prime }\left(x\right)=2{\text{sec}}^{2}x+3{\text{csc}}^{2}x$

$\frac{4}{3}$

$\text{cos}x$

$\text{−}\text{cos}x$

$v\left(\frac{5\pi }{6}\right)=\text{−}\sqrt{3}<0$ y $a\left(\frac{5\pi }{6}\right)=\mathrm{-1}<0.$ El bloque se está acelerando.

$h^{\prime }\left(x\right)=4{\left(2x^3+2x–1\right)}^3\left(6x^2+2\right)=8\left(3x^2+1\right){\left(2x^3+2x–1\right)}^3$

$y=\mathrm{-48}x-88$

$h^{\prime }\left(x\right)=7\text{cos}\left(7x+2\right)$

$h^{\prime }\left(x\right)=\frac{3-4x}{{\left(2x+3\right)}^4}$

$h^{\prime }\left(x\right)=18x^2{\text{sen}}^5\left(x^3\right)\text{cos}\left(x^3\right)$

$a\left(t\right)=\mathrm{-16}\text{sen}(4t)$

$28$

$\frac{dy}{dx}=\mathrm{-3}{x}^2\text{sen}\left(x^3\right)$

$g^{\prime }\left(x\right)=-\frac{1}{{(x+2)}^2}$

$g\left(x\right)=\frac{1}{5}{x}^{\text{−}4\text{/}5}$

$s^{\prime }\left(t\right)={\left(2t+1\right)}^{\text{−}1\text{/}2}$

$g^{\prime }\left(x\right)=\frac{1}{1+x^2}$

$h^{\prime }\left(x\right)=\frac{\mathrm{-3}}{\sqrt{6x-9x^2}}$

$y=x$

$\frac{dy}{dx}=\frac{5-20x^4}{{\text{sec}}^{2}y-2y}$

$y=\frac{5}{3}x-\frac{16}{3}$

$h^{\prime }\left(x\right)=e^{2x}+2x{e}^{2x}$

996

$f^{\prime }\left(x\right)=\frac{15}{3x+2}$

$9\text{ln}\left(3\right)$

$\frac{dy}{dx}=x^x\left(1+\text{ln}x\right)$

$y^{\prime }=\pi {\left(\text{tan}x\right)}^{\pi -1}{\text{sec}}^{2}x$

$4$

$\mathrm{8,5}$

$-\frac{3}{4}$

$\mathrm{0,2}$

$\mathrm{0,25}$

a. $\mathrm{-4}$ b. $y=3-4x$

a. $3$ b. $y=3x–1$

a. $\frac{\mathrm{-7}}{9}$ b. $y=\frac{\mathrm{-7}}{9}x+\frac{14}{3}$

a. $12$ b. $y=12x+14$

a. $\mathrm{-2}$ b. $y=\mathrm{–2}x-10$

$5$

$13$

$\frac{1}{4}$

$-\frac{1}{4}$

$\mathrm{-3}$

a. $\text{(i)}\mathrm{5,100000},$ $\text{(ii)}\mathrm{5,010000},$ $\text{(iii)}\mathrm{5,001000},$ $\text{(iv)}\mathrm{5,000100},$ $\text{(v)}\mathrm{5,000010},$ $\text{(vi)}\mathrm{5,000001},$ $\text{(vii)}\mathrm{4,900000},$ $\text{(viii)}\mathrm{4,990000},$ $\text{(ix)}\mathrm{4,999000},$ $\text{(x)}\mathrm{4,999900},$ $\text{(xi)}\mathrm{4,999990},$ $\text{(x)}\mathrm{4,999999}$ b. $m_{\text{tan}}=5$ c. $y=5x+3$

a. $\text{(i)}\mathrm{4,8771},$ $\text{(ii)}\mathrm{4,9875}\text{(iii)}\mathrm{4,9988},$ $\text{(iv)}\mathrm{4,9999},$ $\text{(v)}\mathrm{4,9999},$ $\text{(vi)}\mathrm{4,9999}$ b. $m_{\text{tan}}=5$ c. $y=5x+10$

a. $\frac{1}{3};$ b. $\text{(i)}\mathrm{0,}\bar{3}$ m/s, $\text{(ii)}\mathrm{0,}\bar{3}$ m/s, $\text{(iii)}\mathrm{0,}\bar{3}$ m/s, $\text{(iv)}\mathrm{0,}\bar{3}$ m/s; c $\mathrm{0,}\bar{3}=\frac{1}{3}$ m/s

a. $2\left(h^2+6h+12\right);$ b. $\text{(i)}\mathrm{25,22}$ m/s, $\text{(ii)}\mathrm{24,12}$ m/s, $\text{(iii)}\mathrm{24,01}$ m/s, $\text{(iv)}24$ m/s; c $24$ m/s

a. $\mathrm{1,25};$ b. $\mathrm{0,5}$

$\underset{x\to 0^{-}}{\text{lím}}\frac{x^{1\text{/}3}-0}{x-0}=\underset{x\to 0^{-}}{\text{lím}}\frac{1}{x^{2\text{/}3}}=\infty$

$\underset{x\to 1^{-}}{\text{lím}}\frac{1-1}{x–1}=0\ne 1=\underset{x\to 1^{+}}{\text{lím}}\frac{x–1}{x–1}$

a. $\text{(i)}\mathrm{61,7244}$ pies/s, $\text{(ii)}\mathrm{61,0725}$ pies/s $\text{(iii)}\mathrm{61,0072}$ pies/s $\text{(iv)}\mathrm{61,0007}$ ft/s b. A $4$ segundos el auto de carreras se desplaza a una tasa/velocidad de $61$ ft/s.

a. El vehículo representado por $f\left(t\right),$ porque recorrió $2$ ft, mientras que $g\left(t\right)$ recorrió $1$ ft. b. La velocidad de $f\left(t\right)$ es constante en $1$ ft/s, mientras que la velocidad de $g\left(t\right)$ es, aproximadamente, $2$ ft/s. c. El vehículo representado por $g\left(t\right),$ con una velocidad de aproximadamente $4$ ft/s. d. Ambos han recorrido $4$ pies en $4$ segundos.

a.

b. $a\approx -\mathrm{1,361},\mathrm{2,694}$

a. $N\left(x\right)=\frac{x}{30}$ b. $\sim \mathrm{3,3}$ galones. Cuando el vehículo recorre $100$ millas, ha consumido $\mathrm{3,3}$ galones de gasolina. c. $\frac{1}{30}.$ La tasa de consumo de gasolina en galones por milla que el vehículo está logrando después de haber recorrido $100$ millas.

a.

b. $\mathrm{-0,028},\mathrm{-0,16},\mathrm{0,16},\mathrm{0,028}$

$\mathrm{-3}$

$8x$

$\frac{1}{\sqrt{2x}}$

$\frac{\mathrm{-9}}{x^2}$

$\frac{\mathrm{-1}}{2x^{3\text{/}2}}$

$f\left(x\right)=3x^2+2,a=2$

$f\left(x\right)=x^4,a=2$

$f\left(x\right)=e^x,a=0$

a.

b. $\underset{h\to 1^{-}}{\text{lím}}\frac{3-3}{h}\ne \underset{h\to 1^{+}}{\text{lím}}\frac{3h}{h}$

a.

b. $\underset{h\to 1^{-}}{\text{lím}}\frac{2h}{h}\ne \underset{h\to 1^{+}}{\text{lím}}\frac{\frac{2}{x+h}-\frac{2}{x}}{h}.$

a. $x=1,$ b. $x=2$

$0$

$\frac{2}{x^3}$

$f^{\prime }\left(x\right)=6x+2$

$f^{\prime }\left(x\right)=-\frac{1}{{\left(2x\right)}^{3\text{/}2}}$

$f^{\prime }\left(x\right)=3x^2$

a. Tasa promedio de gasto de los clientes en las concesiones, en miles de dólares por cliente. b. Tasa (en miles de dólares por cliente) en la que $x$ clientes gastaron dinero en concesiones en miles de dólares por cliente.

a. La nota promedio recibida en la prueba con un tiempo promedio de estudio entre dos valores. b. Tasa (en puntos porcentuales por hora) en el que la nota del examen aumentó o disminuyó según un determinado tiempo promedio de estudio de $x$ horas.

a. Cambio promedio de la presión atmosférica entre dos altitudes diferentes. b. Tasa (torr por pie) a la que aumenta o disminuye la presión atmosférica en $x$ pies.

a. La velocidad (en grados por pie) a la que aumenta o disminuye la temperatura para una altura determinada $x.$ b. La tasa de cambio de la temperatura al cambiar la altitud en $1.000$ pies es $\mathrm{-0,1}$ grados por pie.

a. El ritmo al que cambia el número de personas que han contraído la gripe $t$ semanas después del brote inicial. b. La tasa aumenta considerablemente hasta la tercera semana, momento en el que se ralentiza y luego se vuelve constante.

$G^{\prime }\left(t\right)=\mathrm{2,858}t+\mathrm{0,0857}$

$H\text{″}\left(t\right)=0,G\text{″}\left(t\right)=\mathrm{2,858}\text{y}f\text{″}\left(t\right)=\mathrm{1,222}t+\mathrm{5,912}$ representa la aceleración del cohete, con unidades de metros por segundo al cuadrado $\left({\text{m/s}}^2\right)$

$f^{\prime }\left(x\right)=15x^2–1$

$f^{\prime }\left(x\right)=32x^3+18x$

$f^{\prime }\left(x\right)=270x^4+\frac{39}{{\left(x+1\right)}^2}$

$f^{\prime }\left(x\right)=\frac{\mathrm{-5}}{x^2}$

$f^{\prime }\left(x\right)=\frac{4x^4+2x^2-2x}{x^4}$

$f^{\prime }\left(x\right)=\frac{\text{−}{x}^2-18x+64}{{\left(x^2-7x+1\right)}^2}$

$T\left(x\right)=–4x+7$

$T\left(x\right)=4x-5$

$h^{\prime }\left(x\right)=3x^{2}f\left(x\right)+x^3{f}^{\prime }\left(x\right)$ grandes.

$h^{\prime }\left(x\right)=\frac{3f^{\prime }\left(x\right)\left(g\left(x\right)+2\right)-3f\left(x\right)g^{\prime }\left(x\right)}{{\left(g\left(x\right)+2\right)}^2}$

$\frac{16}{9}$

Indefinida

a. $2,$ b. no existe, c. $\mathrm{2,5}$

a. 23, b. $y=23x-28$

a. 3, b. $y=3x+2$

$y=\mathrm{-7}x-3$

$y=\mathrm{-5}x+7$

$y=-\frac{3}{2}x+\frac{15}{2}$

$y=\mathrm{-3}{x}^2+9x–1$

$\frac{12}{121}$ o 0,0992 ft/s

a. $\frac{\mathrm{-2}{t}^4–2t^3+200t+50}{{\left(t^3+50\right)}^2}$ b. $\mathrm{-0,02395}$ mg/L-h, –0,01344 mg/L-h, –0,003566 mg/L-h, –0,001579 mg/L-h c. La tasa a la que disminuye la concentración del fármaco en el torrente sanguíneo se reduce a 0 a medida que pasa el tiempo.

a. $F\prime (d)=\frac{\mathrm{-2}G{m}_1{m}_2}{d^3}$ b. $\mathrm{-1,33}\times {10}^{\mathrm{-7}}$ N/m

a. $v\left(t\right)=6t^2-30t+36,a\left(t\right)=12t-30;$ b. se acelera $\left(2,\mathrm{2,5}\right){\displaystyle \cup }\left(3,\infty \right),$ se ralentiza $\left(0,2\right){\displaystyle \cup }\left(\mathrm{2,5},3\right)$ grandes.

a. $464{\text{ft/s}}^2$ b. $\mathrm{-32}{\text{ft/s}}^2$

a. 5 ft/s b. 9 ft/s

a. 84 ft/s, -84 ft/s b. 84 ft/s c $\frac{25}{8}\text{s}$ d. $\mathrm{-32}{\text{ft/s}}^2$ en ambos casos e. $\frac{1}{8}\left(25+\sqrt{965}\right)\text{s}$ f. $\mathrm{-4}\sqrt{965}\text{ft/s}$

a. La velocidad es positiva en $\left(0,\mathrm{1,5}\right){\displaystyle \cup }\left(6,7\right),$ negativo en $\left(\mathrm{1,5},2\right){\displaystyle \cup }\left(5,6\right),$ y cero en $\left(2,5\right).$ b.

c. La aceleración es positiva en $\left(5,7\right),$ negativo en $\left(0,2\right),$ y cero en $\left(2,5\right).$ d. El objeto acelera en $\left(6,7\right){\displaystyle \cup }\left(\mathrm{1,5},2\right)$ y se ralentiza en $\left(0,\mathrm{1,5}\right){\displaystyle \cup }\left(5,6\right).$

a. $R\left(x\right)=10x-\mathrm{0,001}{x}^2$ b. $R^{\prime }\left(x\right)=10-\mathrm{0,002}x$ c. 6 dólares por artículo, 0 dólares por artículo

a. $C^{\prime }\left(x\right)=65$ b. $R\left(x\right)=143x-\mathrm{0,03}{x}^2,R^{\prime }\left(x\right)=143-\mathrm{0,06}x$ c. $83,\mathrm{-97}.$ A un nivel de producción de 1.000 taladros inalámbricos, los ingresos aumentan a una tasa de 83 dólares por taladro; a un nivel de producción de 4.000 taladros inalámbricos, los ingresos disminuyen a una tasa de 97 dólares por taladro. d $P\left(x\right)=\mathrm{-0,03}{x}^2+78x-75.000,P^{\prime }\left(x\right)=\mathrm{-0,06}x+78$ e. $18,\mathrm{-162}.$ A un nivel de producción de 1.000 taladros inalámbricos, la ganancia aumenta a una tasa de 18 dólares por taladro; a un nivel de producción de 4.000 taladros inalámbricos, la ganancia disminuye a una tasa de 162 dólares por taladro.

a. $N^{\prime }\left(t\right)=3.000\left(\frac{\mathrm{-4}{t}^2+400}{{\left(t^2+100\right)}^2}\right)$ b. $120,0,\mathrm{-14,4},\mathrm{-9,6}$ c. La población de bacterias aumenta desde el tiempo de 0 hasta las 10 horas; posteriormente, la población de bacterias disminuye. d. $0,\mathrm{–6},\mathrm{0,384},\mathrm{0,432}.$ La tasa de aumento de las bacterias decrece durante las primeras 10 horas. Después, la población de bacterias va disminuyendo a un ritmo decreciente.

a. $P\left(t\right)=\mathrm{0,03983}+\mathrm{0,4280}$ b. $P^{\prime }\left(t\right)=\mathrm{0,03983}.$ La población está aumentando. c. $P\text{″}\left(t\right)=0.$ El ritmo de aumento de la población es constante.

a. $p(t)=\mathrm{-0,6071}{x}^2+\mathrm{0,4357}x-\mathrm{0,3571}$ b. $p^{\prime }\left(t\right)=\mathrm{-1,214}x+\mathrm{0,4357}.$ Esta es la velocidad del sensor. c $p\text{″}\left(t\right)=\mathrm{-1,214}.$ Esta es la aceleración del sensor; es una aceleración constante hacia abajo.

a.

b. $f^{\prime }\left(x\right)=a.$ Cuanto mayor sea el aumento de presas, mayor será el crecimiento de los depredadores c $f\text{″}\left(x\right)=0.$ A medida que aumenta la cantidad de presas, la tasa de crecimiento demográfico de depredadores es constante. d. Esta ecuación supone que si hay más presas, el depredador es capaz de aumentar el consumo linealmente. Esta suposición no es física porque esperaríamos que hubiera algún punto de saturación en el que hubiera demasiadas presas para que el depredador las consumiera adecuadamente.

a.

b. $f^{\prime }\left(x\right)=\frac{2ax{n}^2}{{\left(n^2+x^2\right)}^2}.$ Cuando aumenta la cantidad de presas, aumenta el crecimiento de los depredadores. c $f\text{″}\left(x\right)=\frac{2a{n}^2\left(n^2-3x^2\right)}{{\left(n^2+x^2\right)}^3}.$ Cuando la cantidad de presas es extremadamente pequeña, la tasa de crecimiento de los depredadores es creciente, pero cuando la cantidad de presas supera un determinado umbral, la tasa de crecimiento de los depredadores comienza a disminuir. d. Mientras menos presas hay, es más fácil que eviten ser vistas por el depredador, por lo que se consumen menos individuos, lo que resulta en un menor crecimiento del depredador.

$\frac{dy}{dx}=2x-\text{sec}x\text{tan}x$

$\frac{dy}{dx}=2x\text{cot}x–x^2{\text{csc}}^{2}x$

$\frac{dy}{dx}=\frac{x\text{sec}x\text{tan}x-\text{sec}x}{x^2}$

$\frac{dy}{dx}=\left(1-\text{sen}x\right)\left(1-\text{sen}x\right)-\text{cos}x\left(x+\text{cos}x\right)$ grandes.

$\frac{dy}{dx}=\frac{2{\text{csc}}^{2}x}{{\left(1+\text{cot}x\right)}^2}$

$y=\text{−}x$

$y=x+\frac{2-3\pi }{2}$

$y=\text{−}x$

$3\text{cos}x–x\text{sen}x$

$\frac{1}{2}\text{sen}x$

$2\text{csc}x\left({\text{csc}}^{2}x+{\text{cot}}^{2}x\right)$ grandes.

$\frac{(2n+1)\pi }{4},\text{donde}n\text{es un número entero}$

$(\frac{\pi }{4}, 1), (\frac{3\pi }{4}, \mathrm{–1}), (\frac{5\mathrm{\pi }}{4}, 1), (\frac{7\mathrm{\pi }}{4}, –1)$

$a=0,b=3$

$y^{\prime }=5\text{cos}\left(x\right),$ creciente en $\left(0,\frac{\pi }{2}\right),\left(\frac{3\pi }{2},\frac{5\pi }{2}\right),$ y $\left(\frac{7\pi }{2},12\right)$

$3\text{sen}x$

$5\text{cos}x$

$720x^7-5\text{tan}\left(x\right){\text{sec}}^3\left(x\right)-{\text{tan}}^3\left(x\right)\text{sec}\left(x\right)$

$18u^2.7=18{\left(7x-4\right)}^2.7$