Gilbert Strang; Edwin “Jed” Herman

Objetivos de aprendizaje

3.4.1 Determinar un nuevo valor de una cantidad a partir del valor anterior y la cantidad de cambio.
3.4.2 Calcular la tasa de cambio promedio y explicar en qué se diferencia de la tasa de cambio instantánea.
3.4.3 Aplicar las tasas de cambio al desplazamiento, la velocidad y la aceleración de un objeto que se mueve a lo largo de una línea recta.
3.4.4 Predecir la población futura a partir del valor actual y la tasa de crecimiento de la población.
3.4.5 Utilizar las derivadas para calcular el costo marginal y los ingresos en una situación comercial.

En esta sección veremos algunas aplicaciones de la derivada centrándonos en su interpretación como la tasa de cambio de una función. Estas aplicaciones incluyen la aceleración y la velocidad en física, las tasas de crecimiento de la población en biología y las funciones marginales en economía.

Fórmula de la cantidad de cambio

Una de las aplicaciones de las derivadas es estimar un valor desconocido de una función en un punto utilizando un valor conocido de la función en algún punto dado junto con su tasa de cambio en el punto dado. Si los valores de $f (x)$ es una función definida en un intervalo $[a, a + h],$ entonces la cantidad de cambio de $f (x)$ sobre el intervalo es el cambio en los valores $y$ de la función en ese intervalo y viene dada por

f (a + h) - f (a) .

La tasa de cambio de la función $f$ en ese mismo intervalo es la relación entre la cantidad de cambio en ese intervalo y el cambio correspondiente en los valores $x$ . Viene dado por

\frac{f (a + h) - f (a)}{h} .

Como sabemos, la tasa de cambio instantánea de $f (x)$ en $a$ es su derivada

f^{'} (a) = \underset{h \to 0}{lím} \frac{f (a + h) - f (a)}{h} .

Para valores suficientemente pequeños de $h, f^{'} (a) \approx \frac{f (a + h) - f (a)}{h} .$ Podemos entonces resolver para $f (a + h)$ a fin de obtener la fórmula de la cantidad de cambio:

f (a + h) \approx f (a) + f^{'} (a) h .

(3.10)

Podemos utilizar esta fórmula si solo conocemos $f (a)$ y $f^{'} (a)$ y deseamos estimar el valor de $f (a + h) .$ Por ejemplo, podemos utilizar la población actual de una ciudad y su tasa de crecimiento para estimar su número en un futuro próximo. Como podemos ver en la Figura 3.22, estamos aproximando $f (a + h)$ por las coordenadas $y$ en $a + h$ en la línea tangente a $f (x)$ en $x = a .$ Observe que la exactitud de esta estimación depende del valor de $h$ así como del valor de $f^{'} (a) .$

En el plano de coordenadas cartesianas con a y a + h marcados en el eje x, se grafica la función f. Pasa por (a, f(a)) y (a + h, f(a + h)). Se traza una línea recta que pasa por (a, f(a)) y cuya pendiente es la derivada en ese punto. Esta línea recta pasa por (a + h, f(a) + f'(a)h). Hay un segmento de línea que une (a + h, f(a + h)) y (a + h, f(a) + f'(a)h), y se marca que este es el error al usar f(a) + f'(a)h para estimar f(a + h).

Figura 3.22 El nuevo valor de una cantidad modificada es igual al valor original más la tasa de cambio multiplicada por el intervalo de cambio:

f (a + h) \approx f (a) + f^{'} (a) h.

Medios

He aquí una interesante demostración de la tasa de cambio.

Ejemplo 3.33

Estimación del valor de una función

Si los valores de $f (3) = 2$ y $f^{'} (3) = 5,$ estime $f (3,2) .$

Solución

Comience por calcular $h .$ Tenemos $h = 3,2 - 3 = 0,2 .$ Por lo tanto,

f (3,2) = f (3 + 0,2) \approx f (3) + (0,2) f^{'} (3) = 2 + 0,2 (5) = 3 .

Punto de control 3.21

Dado que $f (10) = −5$ y $f^{'} (10) = 6,$ estime $f (10,1) .$

Movimiento a lo largo de una línea

Otro uso de la derivada es el de analizar el movimiento a lo largo de una línea. Describimos la velocidad como la tasa de cambio de posición. Si tomamos la derivada de la velocidad, podemos encontrar la aceleración, o la tasa de cambio de la velocidad. También es importante presentar la idea de rapidez, que es la magnitud de la velocidad. Así, podemos enunciar las siguientes definiciones matemáticas.

Definición

Supongamos que $s (t)$ es una función que da la posición de un objeto en el tiempo $t .$

La velocidad del objeto en el tiempo $t$ viene dada por $v (t) = s^{'} (t) .$

La rapidez del objeto en el momento $t$ viene dada por $| v (t) | .$

La aceleración del objeto en $t$ viene dada por $a (t) = v^{'} (t) = s ″ (t) .$

Ejemplo 3.34

Comparación de la velocidad instantánea y la velocidad media

Se deja caer una pelota desde una altura de 64 ft. Su altura sobre el suelo (en ft) $t$ segundos después viene dada por $s (t) = –16 t^{2} + 64 .$

En el plano de coordenadas cartesianas se representa gráficamente la función s(t) = -16t2 + 64. Comienza en (0, 64) y disminuye hasta (0, 2).

¿Cuál es la velocidad instantánea de la pelota cuando toca el suelo?
¿Cuál es la velocidad media durante su caída?

Solución

Lo primero que hay que hacer es determinar el tiempo que tarda la pelota en llegar al suelo. Para ello, defina $s (t) = 0 .$ Resolución de problemas $−16 t^{2} + 64 = 0,$ obtenemos $t = 2,$ para que la pelota tarde 2 segundos en llegar al suelo.

La velocidad instantánea de la pelota al golpear el suelo es $v (2) .$ Dado que $v (t) = s^{'} (t) = −32 t,$ obtenemos $v (t) = −64 ft/s .$
La velocidad media de la pelota durante su caída es

$v_{a v e} = \frac{s (2) - s (0)}{2 - 0} = \frac{0 - 64}{2} = −32 ft/s .$

Ejemplo 3.35

Interpretación de la relación entre $v (t)$ y $a (t)$

Una partícula se mueve a lo largo de un eje de coordenadas en la dirección positiva hacia la derecha. Su posición en el tiempo $t$ viene dada por $s (t) = t^{3} - 4 t + 2 .$ Calcule $v (1)$ y $a (1)$ y utilice estos valores para responder las siguientes preguntas.

La partícula se mueve de izquierda a derecha o de derecha a izquierda en el tiempo $t = 1 ?$
¿La partícula se acelera o se ralentiza en el tiempo $t = 1 ?$

Solución

Comience por calcular $v (t)$ y $a (t) .$

$v (t) = s^{'} (t) = 3 t^{2} - 4$ y $a (t) = v^{'} (t) = s ″ (t) = 6 t .$

Al evaluar estas funciones en $t = 1,$ obtenemos $v (1) = –1$ y $a (1) = 6 .$

Dado que $v (1) < 0,$ la partícula se mueve de derecha a izquierda.
Dado que $v (1) < 0$ y $a (1) > 0,$ la velocidad y la aceleración actúan en direcciones opuestas. En otras palabras, la partícula se acelera en la dirección opuesta a la que viaja, haciendo que $| v (t) |$ disminuya. La partícula se ralentiza.

Ejemplo 3.36

Posición y velocidad

La posición de una partícula que se mueve a lo largo de un eje de coordenadas viene dada por $s (t) = t^{3} - 9 t^{2} + 24 t + 4, t \geq 0 .$

Halle $v (t) .$
¿En qué tiempo(s) la partícula está en reposo?
¿En qué intervalos de tiempo se mueve la partícula de izquierda a derecha? ¿De derecha a izquierda?
Use la información obtenida para trazar la trayectoria de la partícula a lo largo de un eje de coordenadas.

Solución

La velocidad es la derivada de la función de posición:

$v (t) = s^{'} (t) = 3 t^{2} - 18 t + 24 .$
La partícula está en reposo cuando $v (t) = 0,$ así que establezca $3 t^{2} - 18 t + 24 = 0 .$ Factorizando el lado izquierdo de la ecuación se obtiene $3 (t - 2) (t - 4) = 0 .$ Al resolver encontramos que la partícula está en reposo en $t = 2$ y $t = 4 .$
La partícula se mueve de izquierda a derecha cuando $v (t) > 0$ y de derecha a izquierda cuando $v (t) < 0 .$ La Figura 3.23 ofrece el análisis del signo de $v (t)$ por $t \geq 0,$ pero no representa el eje a lo largo del cual se mueve la partícula.

Figura 3.23 El signo de v(t) determina la dirección de la partícula.

Dado que $3 t^{2} - 18 t + 24 > 0$ sobre $[0, 2) \cup (4, + \infty),$ la partícula se mueve de izquierda a derecha en estos intervalos.
Dado que $3 t^{2} - 18 t + 24 < 0$ sobre $(2, 4),$ la partícula se mueve de derecha a izquierda en este intervalo.
Antes de dibujar el gráfico de la partícula, necesitamos conocer su posición en el momento en que comienza a moverse $(t = 0)$ y en los momentos en que cambia de dirección $(t = 2, 4) .$ Tenemos $s (0) = 4, s (2) = 24,$ y $s (4) = 20 .$ Esto significa que la partícula comienza en el eje de coordenadas en 4 y cambia de dirección en 0 y 20 en el eje de coordenadas. La trayectoria de la partícula se muestra en un eje de coordenadas en la Figura 3.24.

Figura 3.24 La trayectoria de la partícula puede determinarse analizando v(t).

Punto de control 3.22

Una partícula se mueve a lo largo de un eje de coordenadas. Su posición en el tiempo $t$ viene dada por $s (t) = t^{2} - 5 t + 1 .$ ¿La partícula se mueve de derecha a izquierda o de izquierda a derecha en el momento $t = 3 ?$

Cambio de población

Además de analizar la velocidad, la rapidez, la aceleración y la posición, podemos utilizar las derivadas para analizar varios tipos de poblaciones, incluso aquellas tan diversas como colonias de bacterias y ciudades. Podemos utilizar una población actual, junto con la tasa de crecimiento, para estimar el tamaño de una población en el futuro. La tasa de crecimiento de la población es la tasa de cambio de una población y, en consecuencia, puede representarse mediante la derivada del tamaño de la población.

Definición

Si los valores de $P (t)$ es el número de individuos de una población, entonces la tasa de crecimiento de la población de $P (t)$ se define como $P^{'} (t) .$

Ejemplo 3.37

Estimación de una población

La población de una ciudad se triplica cada 5 años. Si su población actual es de 10.000 habitantes, ¿cuál será su población aproximada dentro de 2 años?

Solución

Supongamos que $P (t)$ es la población (en miles) $t$ años a partir de este momento. Así, sabemos que $P (0) = 10$ y con base a la información, prevemos $P (5) = 30 .$ Ahora estime $P^{'} (0),$ la tasa de crecimiento actual, utilizando

P^{'} (0) \approx \frac{P (5) - P (0)}{5 - 0} = \frac{30 - 10}{5} = 4 .

Al aplicar la Ecuación 3.10 a $P (t),$ podemos estimar la población dentro de 2 años escribiendo

P (2) \approx P (0) + (2) P^{'} (0) \approx 10 + 2 (4) = 18;

así, dentro de 2 años la población será de 18.000 habitantes.

Punto de control 3.23

Se sabe que la población actual de una colonia de mosquitos es de 3.000; es decir, $P (0) = 3.000 .$ Si $P^{'} (0) = 100,$ estimar el tamaño de la población en 3 días, donde $t$ se mide en días.

Cambios en los costos e ingresos

Además de analizar el movimiento a lo largo de una línea y el crecimiento de la población, las derivadas se usan para analizar los cambios en los costos, los ingresos y las ganancias. El concepto de función marginal es habitual en el ámbito de la empresa y la economía e implica el uso de derivadas. El costo marginal es la derivada de la función de costos. El ingreso marginal es la derivada de la función de ingresos. La ganancia marginal es la derivada de la función de ganancias, que se basa en la función de costos y la función de ingresos.

Definición

Si los valores de $C (x)$ es el costo de producción de x artículos, entonces el costo marginal $M C (x)$ ¿es $M C (x) = C^{'} (x) .$

Si los valores de $R (x)$ son los ingresos obtenidos por la venta de $x$ artículos, entonces el ingreso marginal $M R (x)$ ¿es $M R (x) = R^{'} (x) .$

Si los valores de $P (x) = R (x) - C (x)$ es la ganancia obtenida por la venta de x artículos, entonces la ganancia marginal $M P (x)$ se define como $M P (x) = P^{'} (x) = M R (x) - M C (x) = R^{'} (x) - C^{'} (x) .$

Podemos hacer una aproximación

M C (x) = C^{'} (x) = \underset{h \to 0}{lím} \frac{C (x + h) - C (x)}{h}

eligiendo un valor adecuado para $h .$ Como x representa objetos, un valor razonable y pequeño para $h$ es 1. Así, sustituyendo $h = 1,$ obtenemos la aproximación $M C (x) = C^{'} (x) \approx C (x + 1) - C (x) .$ En consecuencia, $C^{'} (x)$ para un valor determinado de $x$ puede considerarse como el cambio en el costo asociado a la producción de un artículo adicional. De manera similar, $M R (x) = R^{'} (x)$ se aproxima a los ingresos obtenidos por la venta de un artículo adicional, y $M P (x) = P^{'} (x)$ se aproxima la ganancia obtenida por la producción y venta de un artículo adicional.

Ejemplo 3.38

Aplicación de los ingresos marginales

Supongamos que el número de raciones de barbacoa que se pueden vender, $x,$ puede estar relacionado con el precio aplicado, $p,$ por la ecuación $p (x) = 9 - 0,03 x, 0 \leq x \leq 300 .$

En este caso, el ingreso en dólares obtenidos por la venta de $x$ raciones de barbacoa viene dado por

R (x) = x p (x) = x (9 - 0,03 x) = −0,03 x^{2} + 9 x para 0 \leq x \leq 300 .

Utilice la función de ingresos marginales para estimar los ingresos obtenidos por la venta de la ración número 101 de barbacoa. Compárela con el ingreso real obtenido por la venta de esta ración.

Solución

En primer lugar, halle la función de ingresos marginales: $M R (x) = R^{'} (x) = −0,06 x + 9 .$

A continuación, utilice $R^{'} (100)$ para aproximar a $R (101) - R (100),$ los ingresos obtenidos por la venta de la ración número 101. Dado que $R^{'} (100) = 3,$ los ingresos obtenidos por la venta de la ración número 101 son de aproximadamente 3 dólares.

Los ingresos reales obtenidos por la venta de la ración número 101 son

R (101) - R (100) = 602,97 - 600 = 2,97, o $2,97 .

El ingreso marginal es una estimación razonablemente buena en este caso y tiene la ventaja de ser fácil de calcular.

Punto de control 3.24

Supongamos que el beneficio obtenido por la venta de $x$ raciones de pescado frito viene dada por $P (x) = −0,03 x^{2} + 8 x - 50 .$ Utilice la función de ganancia marginal para estimar la ganancia de la venta de la ración número 101 de pescado frito.

Sección 3.4 ejercicios

En los siguientes ejercicios, las funciones dadas representan la posición de una partícula que viaja a lo largo de una línea horizontal.

Halle las funciones de velocidad y aceleración.
Determine los intervalos de tiempo en los que el objeto se ralentiza o se acelera.

150.

$s (t) = 2 t^{3} - 3 t^{2} - 12 t + 8$

151.

$s (t) = 2 t^{3} - 15 t^{2} + 36 t - 10$

152.

$s (t) = \frac{t}{1 + t^{2}}$

153.

Un cohete se dispara verticalmente hacia arriba desde el suelo. La distancia $s$ en ft que el cohete viaja desde el suelo después de $t$ segundos viene dada por $s (t) = –16 t^{2} + 560 t .$

Halle la velocidad del cohete 3 segundos después de su lanzamiento.
Halle la aceleración del cohete 3 segundos después de su lanzamiento.

154.

Se lanza una pelota hacia abajo con una velocidad de 8 ft/s desde lo alto de un edificio de 64 ft de altura. Después de t segundos, su altura sobre el suelo viene dada por $s (t) = –16 t^{2} - 8 t + 64 .$

Determine el tiempo que tarda la pelota en llegar al suelo.
Determine la velocidad de la pelota cuando toca el suelo.

155.

La función de posición $s (t) = t^{2} - 3 t - 4$ representa la posición de la parte trasera de un automóvil que sale en marcha atrás de un camino de entrada y luego conduciendo en línea recta, donde $s$ está en pies y $t$ está en segundos. En este caso, $s (t) = 0$ representa el momento en que la parte trasera del auto está en la puerta del garaje, por lo que $s (0) = −4$ es la posición inicial del automóvil, 4 ft dentro del garaje.

Determine la velocidad del auto cuando $s (t) = 0 .$
Determine la velocidad del auto cuando $s (t) = 14 .$

156.

La posición de un colibrí volando a lo largo de una línea recta en $t$ segundos viene dada por $s (t) = 3 t^{3} - 7 t$ metros.

Determine la velocidad del pájaro en $t = 1$ seg.
Determine la aceleración del pájaro en $t = 1$ seg.
Determine la aceleración del pájaro cuando la velocidad es igual a 0.

157.

Se lanza una papa verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 100 ft/s desde una pistola de papas en la cima de un edificio de 85 ft de altura. La distancia en pies que la papa recorre desde el suelo tras $t$ segundos viene dada por $s (t) = –16 t^{2} + 100 t + 85 .$

Halle la velocidad de la papa después de $0,5 s$ y $5,75 s .$
Halle la velocidad de la papa a los 0,5 s y a los 5,75 s.
Determine cuándo la papa alcanza su máxima altura.
Halle la aceleración de la papa a los 0,5 s y a los 1,5 s.
Determine el tiempo que la papa está en el aire.
Determine la velocidad de la papa al caer al suelo.

158.

La función de posición $s (t) = t^{3} - 8 t$ da la posición en millas de un tren de mercancías donde el este es la dirección positiva y $t$ se mide en horas.

Determine la dirección en la que viaja el tren cuando $s (t) = 0 .$
Determine la dirección en la que viaja el tren cuando $a (t) = 0 .$
Determine los intervalos de tiempo en los que la velocidad del tren aumenta o disminuye.

159.

El siguiente gráfico muestra la posición $y = s (t)$ de un objeto que se mueve en línea recta.

En el plano de coordenadas cartesianas se grafica una función que forma parte de una parábola desde el origen hasta (2, 2) con máximo en (1,5, 2,25). Entonces la función es constante hasta el punto (5, 2), en el que se convierte de nuevo en una parábola que disminuye hasta un mínimo en (6, 1) y luego aumenta hasta (7, 2).

Utilice el gráfico de la función de posición para determinar los intervalos de tiempo en los que la velocidad es positiva, negativa o cero.
Dibuje el gráfico de la función de velocidad.
Utilice el gráfico de la función velocidad para determinar los intervalos de tiempo en los que la aceleración es positiva, negativa o cero.
Determine los intervalos de tiempo en los que el objeto se acelera o desacelera.

160.

La función de costos en dólares de una empresa que fabrica procesadores de alimentos viene dada por $C (x) = 200 + \frac{7}{x} + \frac{x^{2}}{7},$ donde $x$ es el número de procesadores de alimentos fabricados.

Calcule la función de costo marginal.
Utilice la función de costo marginal para estimar el costo de fabricación del decimotercer procesador de alimentos.
Halle el costo real de fabricación del decimotercer procesador de alimentos.

161.

El precio $p$ (en dólares) y la demanda $x$ para un determinado radio-reloj digital viene dado por la función precio-demanda $p = 10 - 0,001 x .$

Halle la función de ingresos $R (x) .$
Halle la función de ingreso marginal.
Halle el ingreso marginal en $x = 2000$ y $5.000 .$

162.

[T] Se obtiene una ganancia cuando los ingresos superan los costos. Supongamos que la función de ganancias de un fabricante de patinetas viene dada por $P (x) = 30 x - 0,3 x^{2} - 250,$ donde $x$ es el número de patinetas vendidas.

Halle la ganancia exacta de la venta de la trigésima patineta.
Halle la función de ganancia marginal y utilícela para estimar la ganancia de la venta de la trigésima patineta.

163.

[T] En general, la función de ganancias es la diferencia entre las funciones de ingresos y costos: $P (x) = R (x) - C (x) .$

Supongamos que las funciones de precio-demanda y de costo para la producción de taladros inalámbricos vienen dadas, respectivamente, por $p = 143 - 0,03 x$ y $C (x) = 75.000 + 65 x,$ donde $x$ es el número de taladros inalámbricos que se venden a un precio de $p$ dólares por taladro y $C (x)$ es el costo de producción de $x$ taladros inalámbricos.

Calcule la función de costo marginal.
Halle las funciones de ingresos y de ingresos marginales.
Halle $R^{'} (1.000)$ y $R^{'} (4,000) .$ Interprete los resultados.
Halle las funciones de ganancias y de ganancia marginal.
Halle $P^{'} (1.000)$ y $P^{'} (4,000) .$ Interprete los resultados.

164.

Una pequeña ciudad de Ohio encargó a una empresa de servicios actuariales un estudio que modelara la tasa de cambio de la población de la ciudad. El estudio reveló que la población de la ciudad (medida en miles de personas) puede modelarse mediante la función $P (t) = - \frac{1}{3} t^{3} + 64 t + 3.000,$ donde $t$ se mide en años.

Halle la función de tasa de cambio $P^{'} (t)$ de la función de población.
Halle $P^{'} (1), P^{'} (2), P^{'} (3),$ y $P^{'} (4) .$ Interprete lo que los resultados significan para la ciudad.
Halle $P ″ (1), P ″ (2), P ″ (3),$ y $P ″ (4) .$ Interprete lo que los resultados significan para la población de la ciudad.

165.

[T] Un cultivo de bacterias crece en número según la función $N (t) = 3.000 (1 + \frac{4 t}{t^{2} + 100}),$ donde $t$ se mide en horas.

Halle la tasa de cambio del número de bacterias.
Halle $N^{'} (0), N^{'} (10), N^{'} (20),$ y $N^{'} (30) .$
Interprete los resultados en (b).
Halle $N ″ (0), N ″ (10), N ″ (20),$ y $N ″ (30) .$ Interprete lo que implican las respuestas sobre el crecimiento de la población de bacterias.

166.

La fuerza centrípeta de un objeto de masa $m$ viene dada por $F (r) = \frac{m v^{2}}{r},$ donde $v$ es la velocidad de rotación y $r$ es la distancia desde el centro de rotación.

Halle la tasa de cambio de la fuerza centrípeta con respecto a la distancia desde el centro de rotación.
Halle la tasa de cambio de la fuerza centrípeta de un objeto con una masa de 1.000 kilogramos, una velocidad de 13,89 m/s y una distancia de 200 metros desde el centro de rotación.

Las siguientes preguntas se refieren a la población de Londres (en millones) por década en el siglo XIX, que se muestra en la siguiente tabla.

Años desde 1800	Población (millones)
1	0,8795
11	1,040
21	1,264
31	1,516
41	1,661
51	2,000
61	2,634
71	3,272
81	3,911
91	4,422

Tabla 3.4 Población de Londres Fuente: http://en.wikipedia.org/wiki/Demographics_of_London.

167.

[T]

Utilizando una calculadora o un programa informático halle la función lineal de mejor ajuste para medir la población.
Halle la derivada de la ecuación en a. y explica su significado físico.
Calcule la segunda derivada de la ecuación y explique su significado físico.

168.

[T]

Utilizando una calculadora o un programa informático, halle la curva cuadrática que mejor se ajuste a los datos.
Halle la derivada de la ecuación y explique su significado físico.
Calcule la segunda derivada de la ecuación y explique su significado físico.

En los siguientes ejercicios, piense en un astronauta en un gran planeta de otra galaxia. Para conocer mejor la composición de este planeta, el astronauta deja caer un sensor electrónico en una zanja profunda. El sensor transmite su posición vertical cada segundo en relación con la posición del astronauta. El resumen de los datos del sensor mientras cae se muestra en la siguiente tabla.

Tiempo después de la caída (s)	Posición (m)
0	0
1	−1
2	−2
3	−5
4	−7
5	−14

169.

[T]

Utilizando una calculadora o un programa informático, halle la curva cuadrática que mejor se ajuste a los datos.
Calcule la derivada de la función de posición y explique su significado físico.
Calcule la segunda derivada de la función de posición y explique su significado físico.

170.

[T]

Utilizando una calculadora o un programa informático halle la curva cúbica que mejor se ajusta a los datos.
Calcule la derivada de la función de posición y explique su significado físico.
Calcule la segunda derivada de la función de posición y explique su significado físico.
Utilizando el resultado de c. explica por qué una función cúbica no es una buena opción para este problema.

Los siguientes problemas tratan de las ecuaciones de Holling tipo I, II y III. Estas ecuaciones describen el evento ecológico de crecimiento de una población de depredadores dada la cantidad de presas disponibles para su consumo.

171.

[T] La ecuación de Holling tipo I se describe mediante $f (x) = a x,$ donde $x$ es la cantidad de presas disponibles y $a > 0$ es la velocidad a la que el depredador se encuentra con la presa para consumirla.

Grafique la ecuación de Holling tipo I, dada $a = 0,5 .$
Determine la primera derivada de la ecuación de Holling tipo I y explique físicamente lo que la derivada implica.
Determine la segunda derivada de la ecuación de Holling tipo I y explica físicamente lo que la derivada implica.
Utilizando las interpretaciones de b. y c. explique por qué la ecuación de Holling tipo I puede no ser realista.

172.

[T] La ecuación de Holling tipo II está descrita por $f (x) = \frac{a x}{n + x},$ donde $x$ es la cantidad de presas disponibles y $a > 0$ es la tasa máxima de consumo del depredador.

Grafique la ecuación de Holling tipo II dada $a = 0,5$ y $n = 5 .$ ¿Cuáles son las diferencias entre las ecuaciones de Holling tipo I y II?
Tome la primera derivada de la ecuación de Holling tipo II e interprete su significado físico.
Demuestre que $f (n) = \frac{1}{2} a$ e interprete el significado del parámetro $n .$
Halle e interprete el significado de la segunda derivada. ¿Qué hace que la función de Holling tipo II sea más realista que la función de Holling tipo I?

173.

[T] La ecuación de Holling tipo III se describe mediante $f (x) = \frac{a x^{2}}{n^{2} + x^{2}},$ donde $x$ es la cantidad de presas disponibles y $a > 0$ es la tasa máxima de consumo del depredador.

Grafique la ecuación de Holling tipo III dada $a = 0,5$ y $n = 5 .$ ¿Cuáles son las diferencias entre las ecuaciones de Holling tipo II y III?
Tome la primera derivada de la ecuación de Holling tipo III e interprete su significado físico.
Halle e interprete el significado de la segunda derivada (puede ser útil graficarla).
¿Qué otros fenómenos ecológicos describen la función de Holling tipo III en comparación con la de tipo II?

174.

[T] Las poblaciones de la liebre americana (en miles) y del lince (en cientos) recogidas a lo largo de 7 años, de 1937 a 1943, se muestran en la siguiente tabla. La liebre americana es la presa principal del lince.

Población de liebre americana (en miles)	Población de linces (en cientos)
20	10
55	15
65	55
95	60

Tabla 3.5 Poblaciones de liebres americanas y de linces. Fuente: http://www.biotopics.co.uk/newgcse/predatorprey.html.

Grafique los puntos de datos y determine qué función de tipo Holling se ajusta mejor a los datos.
Utilizando los significados de los parámetros $a$ y $n,$ determine los valores de los mismos examinando un gráfico de los datos. Recordemos que $n$ mida qué valor de la presa resulta en el medio máximo del valor del depredador.
Trace las funciones resultantes de tipo Holling I, II y III sobre los datos. ¿Es correcto el resultado de la parte a.?

3.4 Las derivadas como tasas de cambio

Fórmula de la cantidad de cambio

Estimación del valor de una función

Solución

Movimiento a lo largo de una línea

Comparación de la velocidad instantánea y la velocidad media

Solución

Interpretación de la relación entre v(t)v(t) y a(t)a(t)

Solución

Posición y velocidad

Solución

Cambio de población

Estimación de una población

Solución

Cambios en los costos e ingresos

Aplicación de los ingresos marginales

Solución

Sección 3.4 ejercicios

Interpretación de la relación entre $v (t)$ y $a (t)$