Gilbert Strang; Edwin “Jed” Herman

Objetivos de aprendizaje

3.3.1 Enunciar las reglas de la constante, del múltiplo constante y de la potencia.
3.3.2 Aplicar las reglas de la suma y la diferencia para combinar derivadas.
3.3.3 Utilizar la regla del producto para encontrar la derivada de un producto de funciones.
3.3.4 Utilizar la regla del cociente para encontrar la derivada de un cociente de funciones.
3.3.5 Extender la regla de la potencia a funciones con exponentes negativos.
3.3.6 Combinar las reglas de diferenciación para encontrar la derivada de una función polinómica o de una función racional.

Encontrar las derivadas de las funciones utilizando la definición de la derivada puede ser un proceso largo y, para ciertas funciones, bastante difícil. Por ejemplo, anteriormente descubrimos que $\frac{d}{d x} (\sqrt{x}) = \frac{1}{2 \sqrt{x}}$ mediante un proceso que implicaba multiplicar una expresión por un conjugado antes de evaluar un límite. El proceso que podríamos utilizar para evaluar $\frac{d}{d x} (\sqrt[3]{x})$ utilizando la definición, aunque es similar, es más complicado. En esta sección, desarrollaremos reglas para encontrar derivadas que nos permitan evitar este proceso. Empezamos por lo básico.

Reglas básicas

Las funciones $f (x) = c$ y $g (x) = x^{n}$ donde $n$ es un número entero positivo son los bloques de construcción a partir de los cuales se construyen todos los polinomios y funciones racionales. Para encontrar derivadas de polinomios y funciones racionales de forma eficiente sin recurrir a la definición de límite de la derivada, debemos primero desarrollar fórmulas para diferenciar estas funciones básicas.

La regla constante

Primero aplicamos la definición de límite de la derivada para encontrar la derivada de la función constante, $f (x) = c .$ Para esta función, tanto $f (x) = c$ como $f (x + h) = c,$ por lo que obtenemos el siguiente resultado:

\begin{matrix} f^{'} (x) & = \underset{h \to 0}{lím} \frac{f (x + h) - f (x)}{h} \\ = \underset{h \to 0}{lím} \frac{c - c}{h} \\ = \underset{h \to 0}{lím} \frac{0}{h} \\ = \underset{h \to 0}{lím} 0 = 0, \end{matrix}

La regla para diferenciar funciones constantes se llama regla de la constante. Afirma que la derivada de una función constante es cero; es decir, puesto que una función constante es una línea horizontal, la pendiente, o la tasa de cambio, de una función constante es $0 .$ En el siguiente teorema volvemos a exponer esta regla.

Teorema 3.2

La regla constante

Supongamos que $c$ es una constante.

Si los valores de $f (x) = c,$ entonces $f^{'} (x) = 0 .$

Alternativamente, podemos expresar esta regla como

\frac{d}{d x} (c) = 0,

Ejemplo 3.17

Aplicación de la regla de la constante

Calcule la derivada de $f (x) = 8 .$

Solución

Esto es solo una aplicación de la regla en un paso:

f^{'} (x) = 0,

Punto de control 3.11

Calcule la derivada de $g (x) = −3 .$

La regla de la potencia

Ya demostramos que

\frac{d}{d x} (x^{2}) = 2 x y \frac{d}{d x} (x^{1 / 2}) = \frac{1}{2} x^{– 1 / 2} .

En este punto, se puede ver un patrón que comienza a desarrollarse para las derivadas de la forma $\frac{d}{d x} (x^{n}) .$ Continuamos nuestro examen de las fórmulas de derivación diferenciando funciones de potencia de la forma $f (x) = x^{n}$ donde $n$ es un número entero positivo. Desarrollaremos fórmulas para las derivadas de este tipo de funciones por etapas, empezando por las potencias enteras positivas. Antes de enunciar y demostrar la regla general para las derivadas de funciones de esta forma, veremos un caso concreto, $\frac{d}{d x} (x^{3}) .$ A medida que avancemos en esta derivación, observe que la técnica utilizada en este caso es esencialmente la misma que la que se usa para demostrar el caso general.

Ejemplo 3.18

Diferenciando $x^{3}$

Halle $\frac{d}{d x} (x^{3}) .$

Solución

\begin{matrix} \frac{d}{d x} (x^{3}) & = \underset{h \to 0}{lím} \frac{{(x + h)}^{3} - x^{3}}{h} \\ = \underset{h \to 0}{lím} \frac{x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - x^{3}}{h} & \begin{matrix} Note que el primer término de la expansión de \\ {(x + h)}^{3} es x^{3} y el segundo término es 3 x^{2} h . Todos los \\ demás términos contienen potencias de h de dos o \\ mayores. \end{matrix} \\ = \underset{h \to 0}{lím} \frac{3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3}}{h} & \begin{matrix} En este paso se cancelaron los términos x^{3} dejando solo \\ los términos que contienen h . \end{matrix} \\ = \underset{h \to 0}{lím} \frac{h (3 x^{2} + 3 x h + h^{2})}{h} & Factorice el factor común de h . \\ = \underset{h \to 0}{lím} (3 x^{2} + 3 x h + h^{2}) & \begin{matrix} Tras cancelar el factor común de h, el \\ único término que no contiene h es 3 x^{2} . \end{matrix} \\ = 3 x^{2} & Supongamos que h llega a 0. \end{matrix}

Punto de control 3.12

Halle $\frac{d}{d x} (x^{4}) .$

Como veremos, el procedimiento para encontrar la derivada de la forma general $f (x) = x^{n}$ es bastante similar. Aunque a menudo no es prudente sacar conclusiones generales a partir de ejemplos concretos, observamos que cuando diferenciamos $f (x) = x^{3},$ la potencia en $x$ se convierte en el coeficiente de $x^{2}$ en la derivada y la potencia $x$ en la derivada disminuye en 1. El siguiente teorema afirma que la regla de la potencia se cumple para todas las potencias enteras positivas de $x .$ En su momento ampliaremos este resultado a las potencias enteras negativas. Más adelante veremos que esta regla también puede extenderse primero a las potencias racionales de $x$ y luego a las potencias arbitrarias de $x .$ No obstante tenga en cuenta que esta regla no se aplica a las funciones en las que una constante se eleva a una potencia variable, como por ejemplo $f (x) = 3^{x} .$

Teorema 3.3

La regla de la potencia

Supongamos que $n$ es un número entero positivo. Si los valores de $f (x) = x^{n},$ entonces

f^{'} (x) = n x^{n - 1} .

Alternativamente, podemos expresar esta regla como

\frac{d}{d x} x^{n} = n x^{n - 1} .

Prueba

Para $f (x) = x^{n}$ donde $n$ es un número entero positivo, tenemos

f^{'} (x) = \underset{h \to 0}{lím} \frac{{(x + h)}^{n} - x^{n}}{h} .

Dado que {(x + h)}^{n} = x^{n} + n x^{n - 1} h + (\begin{matrix} n \\ 2 \end{matrix}) x^{n - 2} h^{2} + (\begin{matrix} n \\ 3 \end{matrix}) x^{n - 3} h^{3} + … + n x h^{n - 1} + h^{n},

vemos que

{(x + h)}^{n} - x^{n} = n x^{n - 1} h + (\begin{matrix} n \\ 2 \end{matrix}) x^{n - 2} h^{2} + (\begin{matrix} n \\ 3 \end{matrix}) x^{n - 3} h^{3} + … + n x h^{n - 1} + h^{n} .

A continuación, divida ambos lados entre h:

\frac{{(x + h)}^{n} - x^{n}}{h} = \frac{n x^{n - 1} h + (\begin{matrix} n \\ 2 \end{matrix}) x^{n - 2} h^{2} + (\begin{matrix} n \\ 3 \end{matrix}) x^{n - 3} h^{3} + … + n x h^{n - 1} + h^{n}}{h} .

Por lo tanto,

\frac{{(x + h)}^{n} - x^{n}}{h} = n x^{n - 1} + (\begin{matrix} n \\ 2 \end{matrix}) x^{n - 2} h + (\begin{matrix} n \\ 3 \end{matrix}) x^{n - 3} h^{2} + … + n x h^{n - 2} + h^{n - 1} .

Finalmente,

\begin{matrix} f^{'} (x) & = \underset{h \to 0}{lím} (n x^{n - 1} + (\begin{matrix} n \\ 2 \end{matrix}) x^{n - 2} h + (\begin{matrix} n \\ 3 \end{matrix}) x^{n - 3} h^{2} + … + n x h^{n - 1} + h^{n}) \\ = n x^{n - 1} . \end{matrix}

□

Ejemplo 3.19

Aplicación de la regla de la potencia

Halle la derivada de la función $f (x) = x^{10}$ aplicando la regla de la potencia.

Solución

Utilizando la regla de la potencia con $n = 10,$ obtenemos

f' (x) = 10 x^{10 - 1} = 10 x^{9} .

Punto de control 3.13

Calcule la derivada de $f (x) = x^{7} .$

Reglas de la suma, la diferencia y del múltiplo constante

Encontramos nuestras siguientes reglas de diferenciación observando las derivadas de sumas, diferencias y múltiplos constantes de funciones. Al igual que cuando trabajamos con funciones, hay reglas que facilitan encontrar derivadas de funciones que sumamos, restamos o multiplicamos por una constante. Estas reglas se resumen en el siguiente teorema.

Teorema 3.4

Reglas de la suma, la diferencia y del múltiplo constante

Supongamos que $f (x)$ y $g (x)$ son funciones diferenciables y que $k$ es una constante. Entonces cada una de las siguientes ecuaciones se cumple.

Regla de la suma. La derivada de la suma de una función $f$ y una función $g$ es igual a la suma de la derivada de $f$ y la derivada de $g .$

\frac{d}{d x} (f (x) + g (x)) = \frac{d}{d x} (f (x)) + \frac{d}{d x} (g (x));

es decir,

para j (x) = f (x) + g (x), j^{'} (x) = f^{'} (x) + g^{'} (x) .

Regla de la diferencia. La derivada de la diferencia de una función f y una función g es la misma que la diferencia de la derivada de f y la derivada de $g :$

\frac{d}{d x} (f (x) - g (x)) = \frac{d}{d x} (f (x)) - \frac{d}{d x} (g (x));

es decir,

para j (x) = f (x) - g (x), j^{'} (x) = f^{'} (x) - g^{'} (x) .

Regla del múltiplo constante. La derivada de una constante k multiplicada por una función f es lo mismo que la constante multiplicada por la derivada:

\frac{d}{d x} (k f (x)) = k \frac{d}{d x} (f (x));

es decir,

para j (x) = k f (x), j^{'} (x) = k f^{'} (x) .

Prueba

Aquí solo proporcionamos la prueba de la regla de la suma. El resto permanece similar.

Para las funciones diferenciables $f (x)$ y $g (x),$ establecemos $j (x) = f (x) + g (x) .$ Utilizando la definición de límite de la derivada tenemos

j^{'} (x) = \underset{h \to 0}{lím} \frac{j (x + h) - j (x)}{h} .

Al sustituir $j (x + h) = f (x + h) + g (x + h)$ y $j (x) = f (x) + g (x),$ obtenemos

j^{'} (x) = \underset{h \to 0}{lím} \frac{(f (x + h) + g (x + h)) - (f (x) + g (x))}{h} .

Si reordenamos y reagrupamos los términos, tenemos

j^{'} (x) = \underset{h \to 0}{lím} (\frac{f (x + h) - f (x)}{h} + \frac{g (x + h) - g (x)}{h}) .

Ahora aplicamos la ley de suma para los límites y la definición de la derivada para obtener

j^{'} (x) = \underset{h \to 0}{lím} (\frac{f (x + h) - f (x)}{h}) + \underset{h \to 0}{lím} (\frac{g (x + h) - g (x)}{h}) = f^{'} (x) + g^{'} (x) .

□

Ejemplo 3.20

Aplicación de la regla del múltiplo constante

Calcule la derivada de $g (x) = 3 x^{2}$ y compárela con la derivada de $f (x) = x^{2} .$

Solución

Utilicemos directamente la regla de la potencia:

g^{'} (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) = 3 (2 x) = 6 x .

Dado que $f (x) = x^{2}$ tiene la derivada $f^{'} (x) = 2 x,$ vemos que la derivada de $g (x)$ es 3 veces la derivada de $f (x) .$ Esta relación se ilustra en la Figura 3.18.

Se muestran dos gráficos. El primero muestra g(x) = 3x2 y f(x) = x al cuadrado. El segundo muestra g'(x) = 6x y f'(x) = 2x. En el primer gráfico, g(x) aumenta tres veces más rápido que f(x). En el segundo gráfico, g'(x) aumenta tres veces más rápido que f'(x).

Figura 3.18 La derivada de

g (x)

es 3 veces la derivada de

f (x) .

Ejemplo 3.21

Aplicación de las reglas básicas de las derivadas

Calcule la derivada de $f (x) = 2 x^{5} + 7 .$

Solución

Comenzamos aplicando la regla para diferenciar la suma de dos funciones, seguida de las reglas de diferenciación de múltiplos constantes de funciones y de la regla para diferenciar potencias. Para entender mejor la secuencia en la que se aplican las reglas de diferenciación, utilicemos la notación de Leibniz a lo largo de la solución:

\begin{matrix} f^{'} (x) & = \frac{d}{d x} (2 x^{5} + 7) \\ = \frac{d}{d x} (2 x^{5}) + \frac{d}{d x} (7) & Aplique la regla de la suma. \\ = 2 \frac{d}{d x} (x^{5}) + \frac{d}{d x} (7) & Aplique la regla del múltiplo constante. \\ = 2 (5 x^{4}) + 0 & Aplique la regla de la potencia y la regla de la constante. \\ = 10 x^{4} . & Simplifique. \end{matrix}

Punto de control 3.14

Calcule la derivada de $f (x) = 2 x^{3} - 6 x^{2} + 3 .$

Ejemplo 3.22

Halle la ecuación de una línea tangente

Halle la ecuación de la línea tangente al gráfico de $f (x) = x^{2} - 4 x + 6$ a las $x = 1 .$

Solución

Para encontrar la ecuación de la línea tangente, necesitamos un punto y una pendiente. Para hallar el punto, calcule

f (1) = 1^{2} - 4 (1) + 6 = 3 .

Esto nos da el punto $(1, 3) .$ Como la pendiente de la línea tangente en 1 es $f^{'} (1),$ primero debemos encontrar $f^{'} (x) .$ Utilizando la definición de una derivada, tenemos

f^{'} (x) = 2 x - 4

por lo que la pendiente de la línea tangente es $f^{'} (1) = –2 .$ Utilizando la fórmula punto-pendiente, vemos que la ecuación de la línea tangente es

y - 3 = −2 (x - 1) .

Poniendo la ecuación de la línea en forma pendiente-intersección, obtenemos

y = –2 x + 5 .

Punto de control 3.15

Halle la ecuación de la línea tangente al gráfico de $f (x) = 3 x^{2} - 11$ a las $x = 2 .$ Utilice la forma punto-pendiente.

La regla del producto

Ya que examinamos las reglas básicas, podemos empezar a ver algunas de las reglas más avanzadas. La primera examina la derivada del producto de dos funciones. Aunque podría ser tentador asumir que la derivada del producto es el producto de las derivadas, de forma similar a las reglas de la suma y la diferencia, la regla del producto no sigue este patrón. Para ver por qué no podemos utilizarlo, analicemos la función $f (x) = x^{2},$ cuya derivada es $f^{'} (x) = 2 x$ y no $\frac{d}{d x} (x) . \frac{d}{d x} (x) = 1.1 = 1 .$

Teorema 3.5

Regla del producto

Supongamos que $f (x)$ y $g (x)$ son funciones diferenciables. Entonces

\frac{d}{d x} (f (x) g (x)) = \frac{d}{d x} (f (x)) . g (x) + \frac{d}{d x} (g (x)) . f (x) .

Eso es,

si j (x) = f (x) g (x), entonces j^{'} (x) = f^{'} (x) g (x) + g^{'} (x) f (x) .

Esto significa que la derivada de un producto de dos funciones es la derivada de la primera función multiplicada por la segunda más la derivada de la segunda función multiplicada por la primera.

Prueba

Comenzamos asumiendo que $f (x)$ y $g (x)$ son funciones diferenciables. En un punto clave de esta prueba tenemos que tener en cuenta el hecho de que, como $g (x)$ es diferenciable, también es continua. En particular, tenemos en cuenta el hecho de que ya que $g (x)$ es continua, $\underset{h \to 0}{lím} g (x + h) = g (x) .$

Al aplicar la definición de límite de la derivada a $j (x) = f (x) g (x),$ obtenemos

j^{'} (x) = \underset{h \to 0}{lím} \frac{f (x + h) g (x + h) - f (x) g (x)}{h} .

Al sumar y restar $f (x) g (x + h)$ en el numerador, tenemos

j^{'} (x) = \underset{h \to 0}{lím} \frac{f (x + h) g (x + h) - f (x) g (x + h) + f (x) g (x + h) - f (x) g (x)}{h} .

Tras descomponer este cociente y aplicar la ley de suma para los límites, la derivada se convierte en

j^{'} (x) = \underset{h \to 0}{lím} (\frac{f (x + h) g (x + h) - f (x) g (x + h)}{h}) + \underset{h \to 0}{lím} (\frac{f (x) g (x + h) - f (x) g (x)}{h}) .

Reordenando, obtenemos

j^{'} (x) = \underset{h \to 0}{lím} (\frac{f (x + h) - f (x)}{h} . g (x + h)) + \underset{h \to 0}{lím} (\frac{g (x + h) - g (x)}{h} . f (x)) .

Utilizando la continuidad de $g (x),$ la definición de las derivadas de $f (x)$ y $g (x),$ y aplicando las leyes de los límites, llegamos a la regla del producto,

j^{'} (x) = f^{'} (x) g (x) + g^{'} (x) f (x) .

□

Ejemplo 3.23

Aplicación de la regla del producto a las funciones en un punto

Para $j (x) = f (x) g (x),$ utilice la regla del producto para hallar $j^{'} (2)$ si $f (2) = 3, f^{'} (2) = −4, g (2) = 1,$ y $g^{'} (2) = 6 .$

Solución

Dado que $j (x) = f (x) g (x), j^{'} (x) = f^{'} (x) g (x) + g^{'} (x) f (x),$ y por lo tanto

j^{'} (2) = f^{'} (2) g (2) + g^{'} (2) f (2) = (–4) (1) + (6) (3) = 14 .

Ejemplo 3.24

Aplicación de la regla del producto a los binomios

Para $j (x) = (x^{2} + 2) (3 x^{3} - 5 x),$ calcule $j^{'} (x)$ aplicando la regla del producto. Compruebe el resultado encontrando primero el producto y luego diferenciando.

Solución

Si establecemos $f (x) = x^{2} + 2$ y $g (x) = 3 x^{3} - 5 x,$ entonces $f^{'} (x) = 2 x$ y $g^{'} (x) = 9 x^{2} - 5 .$ Por lo tanto,

j^{'} (x) = f^{'} (x) g (x) + g^{'} (x) f (x) = (2 x) (3 x^{3} - 5 x) + (9 x^{2} - 5) (x^{2} + 2) .

Simplificando, tenemos

j^{'} (x) = 15 x^{4} + 3 x^{2} - 10 .

Para comprobarlo, observamos que $j (x) = 3 x^{5} + x^{3} - 10 x$ y en consecuencia, $j^{'} (x) = 15 x^{4} + 3 x^{2} - 10 .$

Punto de control 3.16

Utilice la regla del producto para obtener la derivada de $j (x) = 2 x^{5} (4 x^{2} + x) .$

La regla del cociente

Después de haber desarrollado y practicado la regla del producto, ahora consideraremos la diferenciación de cocientes de funciones. Como vemos en el siguiente teorema, la derivada del cociente no es el cociente de las derivadas, sino que es la derivada de la función del numerador multiplicada por la función del denominador menos la derivada de la función del denominador multiplicada por la función del numerador, todo ello dividido entre el cuadrado de la función del denominador. Para entender mejor por qué no podemos tomar simplemente el cociente de las derivadas, hay que tener en cuenta que

\frac{d}{d x} (x^{2}) = 2 x, no \frac{\frac{d}{d x} (x^{3})}{\frac{d}{d x} (x)} = \frac{3 x^{2}}{1} = 3 x^{2} .

Teorema 3.6

La regla del cociente

Supongamos que $f (x)$ y $g (x)$ son funciones diferenciables. Entonces

\frac{d}{d x} (\frac{f (x)}{g (x)}) = \frac{\frac{d}{d x} (f (x)) . g (x) - \frac{d}{d x} (g (x)) . f (x)}{{(g (x))}^{2}} .

Eso es,

si j (x) = \frac{f (x)}{g (x)}, entonces j^{'} (x) = \frac{f^{'} (x) g (x) - g^{'} (x) f (x)}{{(g (x))}^{2}} .

La prueba de la regla del cociente es muy similar a la de la regla del producto, por lo que se omite aquí. En su lugar, aplicamos esta nueva regla para encontrar derivadas en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 3.25

Aplicación de la regla del cociente

Use la regla del cociente para encontrar la derivada de $k (x) = \frac{5 x^{2}}{4 x + 3} .$

Solución

Supongamos que $f (x) = 5 x^{2}$ y $g (x) = 4 x + 3 .$ Por lo tanto, $f^{'} (x) = 10 x$ y $g^{'} (x) = 4 .$ Sustituyendo por la regla del cociente, tenemos

k^{'} (x) = \frac{f^{'} (x) g (x) - g^{'} (x) f (x)}{{(g (x))}^{2}} = \frac{10 x (4 x + 3) - 4 (5 x^{2})}{{(4 x + 3)}^{2}} .

Si simplificamos, obtenemos

k^{'} (x) = \frac{20 x^{2} + 30 x}{{(4 x + 3)}^{2}} .

Punto de control 3.17

Calcule la derivada de $h (x) = \frac{3 x + 1}{4 x - 3} .$

Ahora es posible utilizar la regla del cociente para ampliar la regla de la potencia para encontrar derivadas de funciones de la forma $x^{k}$ donde $k$ es un número entero negativo.

Teorema 3.7

Regla de la potencia ampliada

Si los valores de $k$ es un número entero negativo, entonces

\frac{d}{d x} (x^{k}) = k x^{k - 1} .

Prueba

Si los valores de $k$ es un número entero negativo, podemos establecer $n = − k,$ para que n sea un número entero positivo con $k = − n .$ Ya que para cada entero positivo $n, x^{− n} = \frac{1}{x^{n}},$ ahora podemos aplicar la regla del cociente al establecer $f (x) = 1$ y $g (x) = x^{n} .$ En este caso, $f^{'} (x) = 0$ y $g^{'} (x) = n x^{n - 1} .$ Por lo tanto,

\frac{d}{dx} (x^{− n}) = \frac{0 (x^{n}) - 1 (n x^{n - 1})}{{(x^{n})}^{2}} .

Simplificando, vemos que

\frac{d}{dx} (x^{− n}) = \frac{− n x^{n - 1}}{x^{2 n}} = − n x^{(n - 1) - 2 n} = − n x^{− n - 1} .

Por último, note que ya que $k = − n,$ al sustituir tenemos

\frac{d}{d x} (x^{k}) = k x^{k - 1} .

□

Ejemplo 3.26

Uso de la regla de la potencia ampliada

Halle $\frac{d}{d x} (x^{−4}) .$

Solución

Si aplicamos la regla de la potencia ampliada con $k = −4,$ obtenemos

\frac{d}{d x} (x^{−4}) = −4 x^{−4 - 1} = −4 x^{−5} .

Ejemplo 3.27

Uso de la regla de la potencia ampliada y de la regla del múltiplo constante

Utilice la regla de la potencia ampliada y la regla del múltiplo constante para encontrar la derivada de $f (x) = \frac{6}{x^{2}} .$

Solución

Puede parecer tentador utilizar la regla del cociente para encontrar esta derivada, y ciertamente no sería incorrecto hacerlo. Sin embargo, es mucho más fácil diferenciar esta función reescribiéndola primero como $f (x) = 6 x^{−2} .$

\begin{matrix} f^{'} (x) & = \frac{d}{d x} (\frac{6}{x^{2}}) = \frac{d}{d x} (6 x^{−2}) & Reescriba \frac{6}{x^{2}} dado que 6 x^{−2} . \\ = 6 \frac{d}{d x} (x^{−2}) & Aplique la regla del múltiplo constante. \\ = 6 (−2 x^{−3}) & Utilice la regla de la potencia ampliada para diferenciar x^{−2} . \\ = −12 x^{−3} & Simplifique. \end{matrix}

Punto de control 3.18

Calcule la derivada de $g (x) = \frac{1}{x^{7}}$ utilizando la regla de la potencia ampliada.

Combinación de reglas de diferenciación

Como vimos en los ejemplos de esta sección, rara vez se nos pide que apliquemos una sola regla de diferenciación para encontrar la derivada de una función dada. En este punto, combinando las reglas de diferenciación, podemos encontrar las derivadas de cualquier función polinómica o racional. Más adelante nos encontraremos con combinaciones más complejas de reglas de diferenciación. Una regla de oro para aplicar varias reglas es aplicarlas en el orden inverso al de la evaluación de la función.

Ejemplo 3.28

Combinación de reglas de diferenciación

Para $k (x) = 3 h (x) + x^{2} g (x),$ calcule $k^{'} (x) .$

Solución

Para encontrar esta derivada se necesita la regla de la suma, la regla del múltiplo constante y la regla del producto.

\begin{matrix} k^{'} (x) & = \frac{d}{d x} (3 h (x) + x^{2} g (x)) = \frac{d}{d x} (3 h (x)) + \frac{d}{d x} (x^{2} g (x)) & Aplique la regla de la suma. \\ = 3 \frac{d}{d x} (h (x)) + (\frac{d}{d x} (x^{2}) g (x) + \frac{d}{d x} (g (x)) x^{2}) & \begin{matrix} Aplique la regla del múltiplo constante para \\ diferenciar 3 h (x) y el producto \\ regla para diferenciar x^{2} g (x) . \end{matrix} \\ = 3 h^{'} (x) + 2 x g (x) + g^{'} (x) x^{2} \end{matrix}

Ejemplo 3.29

Ampliación de la regla del producto

Para $k (x) = f (x) g (x) h (x),$ exprese $k^{'} (x)$ en términos de $f (x), g (x), h (x),$ y sus derivadas.

Solución

Podemos pensar en la función $k (x)$ como el producto de la función $f (x) g (x)$ y la función $h (x) .$ Es decir, $k (x) = (f (x) g (x)) . h (x) .$ Por lo tanto,

\begin{matrix} k^{'} (x) & = \frac{d}{d x} (f (x) g (x)) . h (x) + \frac{d}{d x} (h (x)) . (f (x) g (x)) & \begin{matrix} Aplicar la regla del producto al producto \\ de f (x) g (x) y h (x) . \end{matrix} \\ = (f^{'} (x) g (x) + g^{'} (x) f (x)) h (x) + h^{'} (x) f (x) g (x) & Aplique la regla del producto a f (x) g (x) . \\ = f^{'} (x) g (x) h (x) + f (x) g^{'} (x) h (x) + f (x) g (x) h^{'} (x) & Simplifique. \end{matrix}

Ejemplo 3.30

Combinación de la regla del cociente y la regla del producto

Para $h (x) = \frac{2 x^{3} k (x)}{3 x + 2},$ calcule $h^{'} (x) .$

Solución

Este procedimiento es típico para encontrar la derivada de una función racional.

\begin{matrix} h^{'} (x) & = \frac{\frac{d}{d x} (2 x^{3} k (x)) . (3 x + 2) - \frac{d}{d x} (3 x + 2) . (2 x^{3} k (x))}{{(3 x + 2)}^{2}} & Aplique la regla del cociente. \\ = \frac{(6 x^{2} k (x) + k^{'} (x) . 2 x^{3}) (3 x + 2) - 3 (2 x^{3} k (x))}{{(3 x + 2)}^{2}} & \begin{matrix} Aplique la regla del producto para hallar \\ \frac{d}{d x} (2 x^{3} k (x)) . Uso \frac{d}{d x} (3 x + 2) = 3 . \end{matrix} \\ = \frac{−6 x^{3} k (x) + 18 x^{3} k (x) + 12 x^{2} k (x) + 6 x^{4} k^{'} (x) + 4 x^{3} k^{'} (x)}{{(3 x + 2)}^{2}} & Simplifique. \end{matrix}

Punto de control 3.19

Halle $\frac{d}{d x} (3 f (x) - 2 g (x)) .$

Ejemplo 3.31

Determinar si una función tiene una tangente horizontal

Determine los valores de $x$ en el que $f (x) = x^{3} - 7 x^{2} + 8 x + 1$ tiene una línea tangente horizontal.

Solución

Para encontrar los valores de $x$ en el que $f (x)$ tiene una línea tangente horizontal, debemos resolver $f^{'} (x) = 0 .$ Dado que

f^{'} (x) = 3 x^{2} - 14 x + 8 = (3 x - 2) (x - 4),

debemos resolver $(3 x - 2) (x - 4) = 0 .$ Así vemos que la función tiene líneas tangentes horizontales en $x = \frac{2}{3}$ y $x = 4$ como se muestra en la siguiente gráfica.

El gráfico muestra f(x) = x3 - 7x2 + 8x + 1, y las líneas tangentes se muestran como x = 2/3 y x = 4.

Figura 3.19 Esta función tiene líneas tangentes horizontales en x = 2/3 y x = 4.

Ejemplo 3.32

Encontrar una velocidad

La posición de un objeto en un eje de coordenadas en el tiempo $t$ viene dada por $s (t) = \frac{t}{t^{2} + 1} .$ ¿Cuál es la velocidad inicial del objeto?

Solución

Dado que la velocidad inicial es $v (0) = s^{'} (0),$ comience por hallar $s^{'} (t)$ aplicando la regla del cociente:

s^{'} (t) = \frac{1 (t^{2} + 1) - 2 t (t)}{{(t^{2} + 1)}^{2}} = \frac{1 - t^{2}}{{(t^{2} + 1)}^{2}} .

Después de la evaluación, vemos que $v (0) = 1 .$

Punto de control 3.20

Halle los valores de $x$ para los que el gráfico de $f (x) = 4 x^{2} - 3 x + 2$ tiene una línea tangente paralela a la línea $y = 2 x + 3 .$

Proyecto de estudiante

Las tribunas de la Fórmula 1

Las carreras de automóviles de Fórmula 1 pueden ser muy emocionantes y de hecho atraen muchos espectadores. Los diseñadores de los circuitos de Fórmula 1 tienen que asegurarse de que haya suficiente espacio en las gradas alrededor de la pista para acomodar al público. Sin embargo, esas carreras pueden ser peligrosas, y los aspectos de seguridad son primordiales. Las tribunas deben estar situadas donde los espectadores no corran peligro en caso de que un piloto pierda el control de un automóvil (Figura 3.20).

Foto de una tribuna junto a una recta de carreras.

Figura 3.20 La tribuna junto a una recta del circuito de Barcelona-Catalunya, situada donde los espectadores no corren peligro.

La seguridad es un problema sobre todo en las curvas. Si un conductor no frena lo suficiente antes de entrar en la curva, su auto puede salirse de la pista. Por lo general esto solo da lugar a un giro más amplio que ralentiza al conductor, pero si este pierde completamente el control, el auto puede salirse de la pista por completo, en una trayectoria tangente a la curva del circuito.

Supongamos que está diseñando una nueva pista de Fórmula 1. Una sección de la vía puede ser modelada por la función $f (x) = x^{3} + 3 x^{2} + x$ (Figura 3.21). El plan actual prevé la construcción de tribunas a lo largo de la primera recta y alrededor de una parte de la primera curva. Los planes prevén que la esquina delantera de la tribuna se sitúe en el punto $(−1,9, 2,8) .$ Queremos determinar si esta ubicación pone en peligro a los espectadores si un conductor pierde el control de su automóvil.

Esta figura tiene dos partes denominadas a y b. La figura a muestra el gráfico de f(x) = x3 + 3x2 + x. La figura b muestra el mismo gráfico, pero esta vez con dos casillas. La primera casilla aparece a lo largo del lado izquierdo del gráfico a lo largo del eje x aproximadamente paralelo a f(x). La segunda casilla aparece un poco más arriba, también aproximadamente paralela a f(x), con su esquina frontal situada en (-1,9, 2,8). Observe que esta esquina está más o menos en línea con la trayectoria directa de la vía antes de empezar a girar.

Figura 3.21 (a) Una sección de la pista puede ser modelada por la función

f (x) = x^{3} + 3 x^{2} + x .

b) La esquina delantera de la tribuna está situada en

(−1,9, 2,8) .

Los físicos han determinado que los conductores tienen más probabilidades de perder el control de sus autos al entrar en una curva, en el punto donde la pendiente de la línea tangente es 1. Halle las intersecciones en $(x, y)$ coordenadas de este punto cerca del giro.
Halle la ecuación de la línea tangente a la curva en este punto.
Para determinar si los espectadores están en peligro en este escenario, halle la coordenada x del punto donde la línea tangente interseca la línea $y = 2,8 .$ ¿Este punto a la derecha de la tribuna es seguro? ¿O los espectadores están en peligro?
¿Qué pasa si un conductor pierde el control antes de lo previsto según los físicos? Supongamos que un conductor pierde el control en el punto $(−2,5, 0,625) .$ ¿Cuál es la pendiente de la línea tangente en este punto?
Si un conductor pierde el control como se describe en la parte 4, ¿los espectadores no corren peligro?
¿Debe mantener el diseño actual de la tribuna, o esta debe trasladarse?

Sección 3.3 ejercicios

En los siguientes ejercicios, calcule $f^{'} (x)$ por cada función.

106.

$f (x) = x^{7} + 10$

107.

$f (x) = 5 x^{3} - x + 1$

108.

$f (x) = 4 x^{2} - 7 x$

109.

$f (x) = 8 x^{4} + 9 x^{2} - 1$

110.

$f (x) = x^{4} + \frac{2}{x}$

111.

$f (x) = 3 x (18 x^{4} + \frac{13}{x + 1})$ grandes.

112.

$f (x) = (x + 2) (2 x^{2} - 3)$ grandes.

113.

$f (x) = x^{2} (\frac{2}{x^{2}} + \frac{5}{x^{3}})$ grandes.

114.

$f (x) = \frac{x^{3} + 2 x^{2} - 4}{3}$

115.

$f (x) = \frac{4 x^{3} - 2 x + 1}{x^{2}}$

116.

$f (x) = \frac{x^{2} + 4}{x^{2} - 4}$

117.

$f (x) = \frac{x + 9}{x^{2} - 7 x + 1}$

En los siguientes ejercicios, halle la ecuación de la línea tangente $T (x)$ al gráfico de la función dada en el punto indicado. Utilice una calculadora gráfica para representar la función y la línea tangente.

118.

[T] $y = 3 x^{2} + 4 x + 1$ a las $(0, 1)$

119.

[T] $y = \frac{2}{x^{2}} + 1$ a las $(1, 3)$

120.

[T] $y = \frac{2 x}{x - 1}$ a las $(–1, 1)$

121.

[T] $y = \frac{2}{x} - \frac{3}{x^{2}}$ en $(1, –1)$

En los siguientes ejercicios, suponga que $f (x)$ y $g (x)$ son ambas funciones diferenciables para toda $x .$ Halle la derivada de cada una de las funciones $h (x) .$

122.

$h (x) = 4 f (x) + \frac{g (x)}{7}$

123.

$h (x) = x^{3} f (x)$ grandes.

124.

$h (x) = \frac{f (x) g (x)}{2}$

125.

$h (x) = \frac{3 f (x)}{g (x) + 2}$

En los siguientes ejercicios, suponga que $f (x)$ y $g (x)$ son funciones diferenciables con los valores que se indican en la siguiente tabla. Utilice la siguiente tabla para calcular las siguientes derivadas.

126.

Halle $h^{'} (1)$ si $h (x) = x f (x) + 4 g (x) .$

127.

Halle $h^{'} (2)$ si $h (x) = \frac{f (x)}{g (x)} .$

128.

Halle $h^{'} (3)$ si $h (x) = 2 x + f (x) g (x) .$

129.

Halle $h^{'} (4)$ si $h (x) = \frac{1}{x} + \frac{g (x)}{f (x)} .$

En los siguientes ejercicios, utilice la siguiente figura para hallar las derivadas indicadas, si es que existen.

Se grafican dos funciones: f(x) y g(x). La función f(x) comienza en (-1, 5) y disminuye linealmente hasta (3, 1), punto en el que aumenta linealmente hasta (5, 3). La función g(x) comienza en el origen, aumenta linealmente hasta (2,5, 2,5) y luego se mantiene constante en y = 2,5.

130.

Supongamos que $h (x) = f (x) + g (x) .$ Calcule

$h^{'} (1),$
$h^{'} (3),$ y
$h^{'} (4) .$

131.

Supongamos que $h (x) = f (x) g (x) .$ Calcule

$h^{'} (1),$
$h^{'} (3),$ y
$h^{'} (4) .$

132.

Supongamos que $h (x) = \frac{f (x)}{g (x)} .$ Calcule

$h^{'} (1),$
$h^{'} (3),$ y
$h^{'} (4) .$

En los siguientes ejercicios,

evalúe $f^{'} (a),$ y
grafique la función $f (x)$ y la línea tangente en $x = a .$

133.

[T] $f (x) = 2 x^{3} + 3 x - x^{2}, a = 2$

134.

[T] $f (x) = \frac{1}{x} - x^{2}, a = 1$

135.

[T] $f (x) = x^{2} - x^{12} + 3 x + 2, a = 0$

136.

[T] $f (x) = \frac{1}{x} - x^{2}, a = –1$

137.

Halle la ecuación de la línea tangente al gráfico de $f (x) = 2 x^{3} + 4 x^{2} - 5 x - 3$ en $x = −1 .$

138.

Halle la ecuación de la línea tangente al gráfico de $f (x) = x^{2} + \frac{4}{x} - 10$ a las $x = 8 .$

139.

Halle la ecuación de la línea tangente al gráfico de $f (x) = (3 x - x^{2}) (3 - x - x^{2})$ en $x = 1 .$

140.

Halle el punto en el gráfico de $f (x) = x^{3}$ tal que la línea tangente en ese punto tenga una intersección en $x$ de 6.

141.

Halle la ecuación de la línea que pasa por el punto $P (3, 3)$ y es tangente al gráfico de $f (x) = \frac{6}{x - 1} .$

142.

Determine todos los puntos del gráfico de $f (x) = x^{3} + x^{2} - x - 1$ para el cual

la línea tangente es horizontal
la línea tangente tiene una pendiente de $−1 .$

143.

Halle un polinomio cuadrático tal que $f (1) = 5, f^{'} (1) = 3$ y $f ″ (1) = −6 .$

144.

Un auto que circula por una autopista con tráfico ha recorrido $s (t) = t^{3} - 6 t^{2} + 9 t$ metros en $t$ segundos.

Determine el tiempo en segundos en que la velocidad del auto es 0.
Determine la aceleración del auto cuando la velocidad es 0.

145.

[T] Un arenque nadando en línea recta ha recorrido $s (t) = \frac{t^{2}}{t^{2} + 2}$ pies en $t$ segundos.

Determine la velocidad del arenque cuando haya recorrido 3 segundos.

146.

La población en millones de platija ártica en el Océano Atlántico se modela mediante la función $P (t) = \frac{8 t + 3}{0,2 t^{2} + 1},$ donde $t$ se mide en años.

Determine la población inicial de platijas.
Determine $P^{'} (10)$ e interprete brevemente el resultado.

147.

[T] La concentración de antibióticos en el torrente sanguíneo $t$ horas después de haber sido inyectados viene dada por la función $C (t) = \frac{2 t^{2} + t}{t^{3} + 50},$ donde $C$ se mide en miligramos por litro de sangre.

Calcule la tasa de cambio de $C (t) .$
Determine la tasa de cambio de $t = 8, 12, 24,$ y $36.$
Describa brevemente lo que parece ocurrir a medida que aumenta el número de horas.

148.

Un editor de libros tiene una función de costo dada por $C (x) = \frac{x^{3} + 2 x + 3}{x^{2}},$ donde x es el número de ejemplares de un libro en miles y C es el costo por libro en dólares. Evalúe $C^{'} (2)$ y explique su significado.

149.

[T] Según la ley de gravitación universal de Newton, la fuerza $F$ entre dos cuerpos de masa constante $m_{1}$ y $m_{2}$ está dado por la fórmula $F = \frac{G m_{1} m_{2}}{d^{2}},$ donde $G$ es la constante gravitacional y $d$ es la distancia entre los cuerpos.

Supongamos que $G, m_{1}, y m_{2}$ son constantes. Calcule la tasa de cambio de la fuerza $F$ con respecto a la distancia $d .$
Calcule la tasa de cambio de la fuerza $F$ con la constante gravitacional $G = 6,67 \times 10^{−11}$ ${Nm}^{2} / {kg}^{2},$ en dos cuerpos separados por 10 metros, cada uno con una masa de 1.000 kilogramos.

$x$	$1$	$2$	$3$	$4$
$f (x)$	$3$	$5$	$−2$	$0$
$g (x)$	$2$	$3$	$−4$	$6$
$f^{'} (x)$	$−1$	$7$	$8$	$−3$
$g^{'} (x)$	$4$	$1$	$2$	$9$

3.3 Reglas de diferenciación

Reglas básicas

La regla constante

La regla constante

Aplicación de la regla de la constante

Solución

La regla de la potencia

Diferenciando x3x3

Solución

La regla de la potencia

Prueba

Aplicación de la regla de la potencia

Solución

Reglas de la suma, la diferencia y del múltiplo constante

Reglas de la suma, la diferencia y del múltiplo constante

Prueba

Aplicación de la regla del múltiplo constante

Solución

Aplicación de las reglas básicas de las derivadas

Solución

Halle la ecuación de una línea tangente

Solución

La regla del producto

Regla del producto

Prueba

Aplicación de la regla del producto a las funciones en un punto

Solución

Aplicación de la regla del producto a los binomios

Solución

La regla del cociente

La regla del cociente

Aplicación de la regla del cociente

Solución

Regla de la potencia ampliada

Prueba

Uso de la regla de la potencia ampliada

Solución

Uso de la regla de la potencia ampliada y de la regla del múltiplo constante

Solución

Combinación de reglas de diferenciación

Combinación de reglas de diferenciación

Solución

Ampliación de la regla del producto

Solución

Combinación de la regla del cociente y la regla del producto

Solución

Determinar si una función tiene una tangente horizontal

Solución

Encontrar una velocidad

Solución

Las tribunas de la Fórmula 1

Sección 3.3 ejercicios

Diferenciando $x^{3}$