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Cálculo volumen 1

3.5 Derivadas de funciones trigonométricas

Cálculo volumen 13.5 Derivadas de funciones trigonométricas

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Índice
  1. Prefacio
  2. 1 Funciones y gráficos
    1. Introducción
    2. 1.1 Repaso de las funciones
    3. 1.2 Clases básicas de funciones
    4. 1.3 Funciones trigonométricas
    5. 1.4 Funciones inversas
    6. 1.5 Funciones exponenciales y logarítmicas
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  3. 2 Límites
    1. Introducción
    2. 2.1 Un repaso previo del cálculo
    3. 2.2 El límite de una función
    4. 2.3 Las leyes de los límites
    5. 2.4 Continuidad
    6. 2.5 La definición precisa de un límite
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  4. 3 Derivadas
    1. Introducción
    2. 3.1 Definir la derivada
    3. 3.2 La derivada como función
    4. 3.3 Reglas de diferenciación
    5. 3.4 Las derivadas como tasas de cambio
    6. 3.5 Derivadas de funciones trigonométricas
    7. 3.6 La regla de la cadena
    8. 3.7 Derivadas de funciones inversas
    9. 3.8 Diferenciación implícita
    10. 3.9 Derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas
    11. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  5. 4 Aplicaciones de las derivadas
    1. Introducción
    2. 4.1 Tasas relacionadas
    3. 4.2 Aproximaciones lineales y diferenciales
    4. 4.3 Máximos y mínimos
    5. 4.4 El teorema del valor medio
    6. 4.5 Las derivadas y la forma de un gráfico
    7. 4.6 Límites al infinito y asíntotas
    8. 4.7 Problemas de optimización aplicados
    9. 4.8 La regla de L'Hôpital
    10. 4.9 Método de Newton
    11. 4.10 Antiderivadas
    12. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  6. 5 Integración
    1. Introducción
    2. 5.1 Aproximación de áreas
    3. 5.2 La integral definida
    4. 5.3 El teorema fundamental del cálculo
    5. 5.4 Fórmulas de integración y el teorema del cambio neto
    6. 5.5 Sustitución
    7. 5.6 Integrales con funciones exponenciales y logarítmicas
    8. 5.7 Integrales que resultan en funciones trigonométricas inversas
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  7. 6 Aplicaciones de la integración
    1. Introducción
    2. 6.1 Áreas entre curvas
    3. 6.2 Determinar los volúmenes mediante el corte
    4. 6.3 Volúmenes de revolución: capas cilíndricas
    5. 6.4 Longitud del arco de una curva y superficie
    6. 6.5 Aplicaciones físicas
    7. 6.6 Momentos y centros de masa
    8. 6.7 Integrales, funciones exponenciales y logaritmos
    9. 6.8 Crecimiento y decaimiento exponencial
    10. 6.9 Cálculo de las funciones hiperbólicas
    11. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  8. A Tabla de integrales
  9. B Tabla de derivadas
  10. C Repaso de Precálculo
  11. Clave de respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
  12. Índice

Objetivos de aprendizaje

  • 3.5.1 Encontrar las derivadas de las funciones seno y coseno.
  • 3.5.2 Encontrar las derivadas de las funciones trigonométricas estándar.
  • 3.5.3 Calcular las derivadas de orden superior del seno y del coseno.

Uno de los tipos de movimiento más importantes en física es el movimiento armónico simple, que se asocia a sistemas como un objeto con masa que oscila sobre un resorte. El movimiento armónico simple puede describirse utilizando funciones seno o coseno. En esta sección ampliaremos nuestro conocimiento de las fórmulas de las derivadas para incluir las derivadas de estas y otras funciones trigonométricas. Comenzaremos con las derivadas de las funciones seno y coseno y luego las utilizaremos para obtener las fórmulas de las derivadas de las cuatro funciones trigonométricas restantes. Al ser capaces de calcular las derivadas de las funciones seno y coseno podremos encontrar la velocidad y la aceleración del movimiento armónico simple.

Derivadas de las funciones seno y coseno

Comenzamos nuestra exploración de la derivada de la función seno utilizando la fórmula para hacer una estimación razonable de su derivada. Recordemos que para una función f(x),f(x),

f(x)=límh0f(x+h)f(x)h.f(x)=límh0f(x+h)f(x)h.

En consecuencia, para los valores de hh muy cerca de 0, f(x)f(x+h)f(x)h.f(x)f(x+h)f(x)h. Vemos que al utilizar h=0,01,h=0,01,

ddx(senx)sen(x+0,01)senx0,01ddx(senx)sen(x+0,01)senx0,01

Al establecer D(x)=sen(x+0,01)senx0,01D(x)=sen(x+0,01)senx0,01 y empleando una herramienta gráfica, podemos obtener un gráfico de una aproximación a la derivada de senxsenx (Figura 3.25).

Se grafica la función D(x) = (sen(x + 0,01) - sen x)/0,01. Se parece mucho a una curva de coseno.
Figura 3.25 El gráfico de la función D ( x ) D ( x ) es muy similar a una curva de coseno.

Tras la inspección, el gráfico de D(x)D(x) parece estar muy cerca del gráfico de la función coseno. De hecho, demostraremos que

ddx(senx)=cosx.ddx(senx)=cosx.

Si siguiéramos los mismos pasos para aproximar la derivada de la función coseno, encontraríamos que

ddx(cosx)=senx.ddx(cosx)=senx.

Teorema 3.8

Las derivadas de sen x y cos x

La derivada de la función seno es el coseno y la derivada de la función coseno es el seno negativo.

ddx(senx)=cosxddx(senx)=cosx
(3.11)
ddx(cosx)=senxddx(cosx)=senx
(3.12)

Prueba

Debido a que las pruebas de ddx(senx)=cosxddx(senx)=cosx y ddx(cosx)=senxddx(cosx)=senx utilizan técnicas similares, solo proporcionamos la prueba para ddx(senx)=cosx.ddx(senx)=cosx. Antes de comenzar, recuerde dos importantes límites trigonométricos que aprendimos en Introducción a los límites:

límh0senhh=1ylímh0cosh1h=0.límh0senhh=1ylímh0cosh1h=0.

Los gráficos de y=(senh)hy=(senh)h y y=(cosh1)hy=(cosh1)h se muestran en la Figura 3.26.

La función y = (sen h)/h y y = (cos h - 1)/h se grafican. Ambas tienen discontinuidades en el eje y.
Figura 3.26 Estos gráficos muestran dos límites importantes necesarios para establecer las fórmulas de las derivadas de las funciones seno y coseno.

También recordamos la siguiente identidad trigonométrica para el seno de la suma de dos ángulos:

sen(x+h)=senxcosh+cosxsenh.sen(x+h)=senxcosh+cosxsenh.

Ahora que hemos reunido todas las ecuaciones e identidades necesarias, procedemos a realizar la prueba.

ddxsenx=límh0sen(x+h)senxhAplique la definiciónde la derivada.=límh0senxcosh+cosxsenhsenxhUtilice la identidad trigonométrica para el seno de la suma de dos ángulos.=límh0(senxcoshsenxh+cosxsenhh)Reagrupe.=límh0(senx(cosh1h)+cosx(senhh))Saque el factor comúnsenxycosx. =senx.0+cosx.1Aplique las fórmulas de límites trigonométricos.=cosxSimplifique.ddxsenx=límh0sen(x+h)senxhAplique la definiciónde la derivada.=límh0senxcosh+cosxsenhsenxhUtilice la identidad trigonométrica para el seno de la suma de dos ángulos.=límh0(senxcoshsenxh+cosxsenhh)Reagrupe.=límh0(senx(cosh1h)+cosx(senhh))Saque el factor comúnsenxycosx. =senx.0+cosx.1Aplique las fórmulas de límites trigonométricos.=cosxSimplifique.

La Figura 3.27 muestra la relación entre el gráfico de f(x)=senxf(x)=senx y su derivada f(x)=cosx.f(x)=cosx. Observe que en los puntos donde f(x)=senxf(x)=senx tiene una tangente horizontal, su derivada f(x)=cosxf(x)=cosx toma el valor cero. También vemos que donde f(x)=senxf(x)=senx aumenta, f(x)=cosx>0f(x)=cosx>0 y donde f(x)=senxf(x)=senx disminuye, f(x)=cosx<0.f(x)=cosx<0.

Se grafican las funciones f(x) = sen x y f'(x) = cos x. Es evidente que cuando f(x) tiene un máximo o un mínimo que f'(x) = 0.
Figura 3.27 Donde f ( x ) f ( x ) tiene un máximo o un mínimo, f ( x ) = 0 f ( x ) = 0 es decir, f ( x ) = 0 f ( x ) = 0 donde f ( x ) f ( x ) tiene una tangente horizontal. Estos puntos se marcan con puntos en los gráficos.

Ejemplo 3.39

Diferenciación de una función que contiene sen x

Calcule la derivada de f(x)=5x3senx.f(x)=5x3senx.

Punto de control 3.25

Calcule la derivada de f(x)=senxcosx.f(x)=senxcosx.

Ejemplo 3.40

Encontrar la derivada de una función que contiene cos x

Calcule la derivada de g(x)=cosx4x2 .g(x)=cosx4x2 .

Punto de control 3.26

Calcule la derivada de f(x)=xcosx.f(x)=xcosx.

Ejemplo 3.41

Una aplicación para la velocidad

Una partícula se mueve a lo largo de un eje de coordenadas de tal manera que su posición en el tiempo tt viene dada por s(t)=2 sentts(t)=2 sentt por 0t2 π.0t2 π. ¿En qué tiempos la partícula está en reposo?

Punto de control 3.27

Una partícula se mueve a lo largo de un eje de coordenadas. Su posición en el tiempo tt viene dada por s(t)=3t+2 costs(t)=3t+2 cost por 0t2 π.0t2 π. ¿En qué tiempos la partícula está en reposo?

Derivadas de otras funciones trigonométricas

Como las cuatro funciones trigonométricas restantes pueden expresarse como cocientes que implican al seno, al coseno o a ambos, podemos utilizar la regla del cociente para encontrar fórmulas para sus derivadas.

Ejemplo 3.42

Derivada de la función tangente

Calcule la derivada de f(x)=tanx.f(x)=tanx.

Punto de control 3.28

Calcule la derivada de f(x)=cotx.f(x)=cotx.

Las derivadas de las restantes funciones trigonométricas pueden obtenerse mediante técnicas similares. Proporcionamos estas fórmulas en el siguiente teorema.

Teorema 3.9

Derivadas de tanx,cotx,secx,tanx,cotx,secx, y cscxcscx

Las derivadas del resto de las funciones trigonométricas son las siguientes:

ddx(tanx)=sec2 xddx(tanx)=sec2 x
(3.13)
ddx(cotx)=csc2 xddx(cotx)=csc2 x
(3.14)
ddx(secx)=secxtanxddx(secx)=secxtanx
(3.15)
ddx(cscx)=cscxcotx.ddx(cscx)=cscxcotx.
(3.16)

Ejemplo 3.43

Halle la ecuación de una línea tangente

Halle la ecuación de una línea tangente al gráfico de f(x)=cotxf(x)=cotx en x=π4.x=π4.

Ejemplo 3.44

Encontrar la derivada de las funciones trigonométricas

Calcule la derivada de f(x)=cscx+xtanx.f(x)=cscx+xtanx.

Punto de control 3.29

Calcule la derivada de f(x)=2 tanx3cotx.f(x)=2 tanx3cotx.

Punto de control 3.30

Calcule la pendiente de la línea tangente al gráfico de f(x)=tanxf(x)=tanx en x=π6.x=π6.

Derivadas de orden superior

Las derivadas de orden superior de senxsenx y cosxcosx siguen un patrón de repetición. Siguiendo el patrón, podemos encontrar cualquier derivada de orden superior de senxsenx y cosx.cosx.

Ejemplo 3.45

Encontrar derivadas de orden superior de y=senxy=senx

Halle las cuatro primeras derivadas de y=senx.y=senx.

Análisis

Una vez que reconocemos el patrón de derivadas, podemos encontrar cualquier derivada de orden superior determinando el paso en el patrón al que corresponde. Por ejemplo, cada cuarta derivada de sen x es igual a sen x, por lo que

d4dx4(senx)=d8dx8(senx)=d12dx12(senx)==d4ndx4n(senx)=senxd5dx5(senx)=d9dx9(senx)=d13dx13(senx)==d4n+1dx4n+1(senx)=cosx.d4dx4(senx)=d8dx8(senx)=d12dx12(senx)==d4ndx4n(senx)=senxd5dx5(senx)=d9dx9(senx)=d13dx13(senx)==d4n+1dx4n+1(senx)=cosx.

Punto de control 3.31

Para y=cosx,y=cosx, calcule d4ydx4.d4ydx4.

Ejemplo 3.46

Utilizando el patrón para las derivadas de orden superior de y=senxy=senx

Halle d74dx74(senx).d74dx74(senx).

Punto de control 3.32

Para y=senx,y=senx, calcule d59dx59(senx).d59dx59(senx).

Ejemplo 3.47

Una aplicación a la aceleración

Una partícula se mueve a lo largo de un eje de coordenadas de tal manera que su posición en el tiempo tt viene dada por s(t)=2 sent.s(t)=2 sent. Calcule v(π/4)v(π/4) y a(π/4).a(π/4). Compare estos valores y decida si la partícula se está acelerando o ralentizando.

Punto de control 3.33

Un bloque unido a un resorte se mueve verticalmente. Su posición en el tiempo tt viene dada por s(t)=2 sent.s(t)=2 sent. Calcule v(5π6)v(5π6) y a(5π6).a(5π6). Compare estos valores y decida si el bloque se está acelerando o ralentizando.

Sección 3.5 ejercicios

En los siguientes ejercicios, calcule dydxdydx para las funciones dadas.

175.

y = x 2 sec x + 1 y = x 2 sec x + 1

176.

y = 3 csc x + 5 x y = 3 csc x + 5 x

177.

y = x 2 cot x y = x 2 cot x

178.

y = x x 3 sen x y = x x 3 sen x

179.

y = sec x x y = sec x x

180.

y = sen x tan x y = sen x tan x

181.

y=(x+cosx)(1senx)y=(x+cosx)(1senx) grandes.

182.

y = tan x 1 sec x y = tan x 1 sec x

183.

y = 1 cot x 1 + cot x y = 1 cot x 1 + cot x

184.

y = cos x ( 1 + csc x ) y = cos x ( 1 + csc x )

En los siguientes ejercicios, halle la ecuación de la línea tangente en cada una de las funciones dadas en los valores indicados de x.x. A continuación, utilice una calculadora para representar gráficamente tanto la función como la línea tangente para asegurarse de que la ecuación de la línea tangente es correcta.

185.

[T] f(x)=senx,x=0f(x)=senx,x=0

186.

[T] f(x)=cscx,x=π2 f(x)=cscx,x=π2

187.

[T] f(x)=1+cosx,x=3π2 f(x)=1+cosx,x=3π2

188.

[T] f(x)=secx,x=π4f(x)=secx,x=π4

189.

[T] f(x)=x2 tanx,x=0f(x)=x2 tanx,x=0

190.

[T] f(x)=5cotx,x=π4f(x)=5cotx,x=π4

En los siguientes ejercicios, calcule d2 ydx2 d2 ydx2 para las funciones dadas.

191.

y = x sen x cos x y = x sen x cos x

192.

y = sen x cos x y = sen x cos x

193.

y = x 1 2 sen x y = x 1 2 sen x

194.

y = 1 x + tan x y = 1 x + tan x

195.

y = 2 csc x y = 2 csc x

196.

y = sec 2 x y = sec 2 x

197.

Halle todos xx los valores en el gráfico de f(x)=−3senxcosxf(x)=−3senxcosx donde la línea tangente es horizontal.

198.

Halle todos xx los valores en el gráfico de f(x)=x2 cosxf(x)=x2 cosx por 0<x<2 π0<x<2 π donde la línea tangente tiene pendiente 2.

199.

Supongamos que f(x)=cotx.f(x)=cotx. Determine los puntos del gráfico de ff por 0<x<2 π0<x<2 π donde la(s) recta(s) tangente(s) es (son) paralela(s) a la línea y=–2x.y=–2x.

200.

[T] Una masa sobre un resorte rebota hacia arriba y hacia abajo en movimiento armónico simple, modelado por la función s(t)=−6costs(t)=−6cost donde ss se mide en pulgadas y tt se mide en segundos. Halle la velocidad a la que oscila el resorte en t=5t=5 s.

201.

Supongamos que la posición de un péndulo en movimiento armónico simple dada por s(t)=acost+bsents(t)=acost+bsent donde aa y bb son constantes, tt mide el tiempo en segundos, y ss mide la posición en centímetros. Si la posición es 0 cm y la velocidad es de 3 cm/s dado que t=0t=0, halle los valores de aa y bb.

202.

Después de que un buceador salte de un trampolín, el borde del trampolín oscila con la posición dada por s(t)=−5costs(t)=−5cost cm en tt segundos después del salto.

  1. Trace un periodo de la función de posición para t0.t0.
  2. Halle la función de velocidad.
  3. Trace un periodo de la función de velocidad para t0.t0.
  4. Determine los tiempos en los que la velocidad es 0 en un periodo.
  5. Halle la función de aceleración.
  6. Trace un periodo de la función de aceleración para t0.t0.
203.

El número de hamburguesas vendidas en un restaurante de comida rápida en Pasadena, California, viene dado por y=10+5senxy=10+5senx donde yy es el número de hamburguesas vendidas y xx representa el número de horas transcurridas desde la apertura del restaurante a las 11 a. m. hasta las 11 p. m. momento en el que el establecimiento cierra. Halle yy y determine los intervalos en los que aumenta el número de hamburguesas que se venden.

204.

[T] La cantidad de lluvia por mes en Phoenix, Arizona, puede aproximarse mediante y(t)=0,5+0,3cost,y(t)=0,5+0,3cost, donde tt son los meses desde enero. Halle yy y utilice una calculadora para determinar los intervalos en los que la cantidad de lluvia caída disminuye.

En los siguientes ejercicios, utilice la regla del cociente para derivar las ecuaciones dadas.

205.

d d x ( cot x ) = csc 2 x d d x ( cot x ) = csc 2 x

206.

d d x ( sec x ) = sec x tan x d d x ( sec x ) = sec x tan x

207.

d d x ( csc x ) = csc x cot x d d x ( csc x ) = csc x cot x

208.

Utilice la definición de derivada y la identidad

cos(x+h)=cosxcoshsenxsenhcos(x+h)=cosxcoshsenxsenh para demostrar que d(cosx)dx=senx.d(cosx)dx=senx.

En los siguientes ejercicios halle la derivada de orden superior solicitada para las funciones dadas.

209.

d3ydx3d3ydx3 de y=3cosxy=3cosx

210.

d2 ydx2 d2 ydx2 de y=3senx+x2 cosxy=3senx+x2 cosx

211.

d4ydx4d4ydx4 de y=5cosxy=5cosx

212.

d2 ydx2 d2 ydx2 de y=secx+cotxy=secx+cotx

213.

d3ydx3d3ydx3 de y=x10secxy=x10secx

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