Gilbert Strang; Edwin “Jed” Herman

Objetivos de aprendizaje

3.5.1 Encontrar las derivadas de las funciones seno y coseno.
3.5.2 Encontrar las derivadas de las funciones trigonométricas estándar.
3.5.3 Calcular las derivadas de orden superior del seno y del coseno.

Uno de los tipos de movimiento más importantes en física es el movimiento armónico simple, que se asocia a sistemas como un objeto con masa que oscila sobre un resorte. El movimiento armónico simple puede describirse utilizando funciones seno o coseno. En esta sección ampliaremos nuestro conocimiento de las fórmulas de las derivadas para incluir las derivadas de estas y otras funciones trigonométricas. Comenzaremos con las derivadas de las funciones seno y coseno y luego las utilizaremos para obtener las fórmulas de las derivadas de las cuatro funciones trigonométricas restantes. Al ser capaces de calcular las derivadas de las funciones seno y coseno podremos encontrar la velocidad y la aceleración del movimiento armónico simple.

Derivadas de las funciones seno y coseno

Comenzamos nuestra exploración de la derivada de la función seno utilizando la fórmula para hacer una estimación razonable de su derivada. Recordemos que para una función $f (x),$

f^{'} (x) = \underset{h \to 0}{lím} \frac{f (x + h) - f (x)}{h} .

En consecuencia, para los valores de $h$ muy cerca de 0, $f^{'} (x) \approx \frac{f (x + h) - f (x)}{h} .$ Vemos que al utilizar $h = 0,01,$

\frac{d}{d x} (sen x) \approx \frac{sen (x + 0,01) - sen x}{0,01}

Al establecer $D (x) = \frac{sen (x + 0,01) - sen x}{0,01}$ y empleando una herramienta gráfica, podemos obtener un gráfico de una aproximación a la derivada de $sen x$ (Figura 3.25).

Se grafica la función D(x) = (sen(x + 0,01) - sen x)/0,01. Se parece mucho a una curva de coseno.

Figura 3.25 El gráfico de la función

D (x)

es muy similar a una curva de coseno.

Tras la inspección, el gráfico de $D (x)$ parece estar muy cerca del gráfico de la función coseno. De hecho, demostraremos que

\frac{d}{d x} (sen x) = cos x .

Si siguiéramos los mismos pasos para aproximar la derivada de la función coseno, encontraríamos que

\frac{d}{d x} (cos x) = − sen x.

Teorema 3.8

Las derivadas de sen x y cos x

La derivada de la función seno es el coseno y la derivada de la función coseno es el seno negativo.

\frac{d}{d x} (sen x) = cos x

(3.11)

\frac{d}{d x} (cos x) = − sen x

(3.12)

Prueba

Debido a que las pruebas de $\frac{d}{d x} (sen x) = cos x$ y $\frac{d}{d x} (cos x) = − sen x$ utilizan técnicas similares, solo proporcionamos la prueba para $\frac{d}{d x} (sen x) = cos x .$ Antes de comenzar, recuerde dos importantes límites trigonométricos que aprendimos en Introducción a los límites:

\underset{h \to 0}{lím} \frac{sen h}{h} = 1 y \underset{h \to 0}{lím} \frac{cos h - 1}{h} = 0 .

Los gráficos de $y = \frac{(sen h)}{h}$ y $y = \frac{(cos h - 1)}{h}$ se muestran en la Figura 3.26.

La función y = (sen h)/h y y = (cos h - 1)/h se grafican. Ambas tienen discontinuidades en el eje y.

Figura 3.26 Estos gráficos muestran dos límites importantes necesarios para establecer las fórmulas de las derivadas de las funciones seno y coseno.

También recordamos la siguiente identidad trigonométrica para el seno de la suma de dos ángulos:

sen (x + h) = sen x cos h + cos x sen h .

Ahora que hemos reunido todas las ecuaciones e identidades necesarias, procedemos a realizar la prueba.

\begin{matrix} \frac{d}{d x} sen x & = \underset{h \to 0}{lím} \frac{sen (x + h) - sen x}{h} & Aplique la definición de la derivada. \\ = \underset{h \to 0}{lím} \frac{sen x cos h + cos x sen h - sen x}{h} & Utilice la identidad trigonométrica para el seno de la suma de dos ángulos. \\ = \underset{h \to 0}{lím} (\frac{sen x cos h - sen x}{h} + \frac{cos x sen h}{h}) & Reagrupe. \\ = \underset{h \to 0}{lím} (sen x (\frac{cos h - 1}{h}) + cos x (\frac{sen h}{h})) & Saque el factor común sen x y cos x . \\ = sen x . 0 + cos x . 1 & Aplique las fórmulas de límites trigonométricos. \\ = cos x & Simplifique. \end{matrix}

□

La Figura 3.27 muestra la relación entre el gráfico de $f (x) = sen x$ y su derivada $f^{'} (x) = cos x .$ Observe que en los puntos donde $f (x) = sen x$ tiene una tangente horizontal, su derivada $f^{'} (x) = cos x$ toma el valor cero. También vemos que donde $f (x) = sen x$ aumenta, $f^{'} (x) = cos x > 0$ y donde $f (x) = sen x$ disminuye, $f^{'} (x) = cos x < 0 .$

Se grafican las funciones f(x) = sen x y f'(x) = cos x. Es evidente que cuando f(x) tiene un máximo o un mínimo que f'(x) = 0.

Figura 3.27 Donde

f (x)

tiene un máximo o un mínimo,

f' (x) = 0

es decir,

f' (x) = 0

donde

f (x)

tiene una tangente horizontal. Estos puntos se marcan con puntos en los gráficos.

Ejemplo 3.39

Diferenciación de una función que contiene sen x

Calcule la derivada de $f (x) = 5 x^{3} sen x .$

Solución

Utilizando la regla del producto, tenemos

\begin{matrix} f' (x) & = \frac{d}{d x} (5 x^{3}) . sen x + \frac{d}{d x} (sen x) . 5 x^{3} \\ = 15 x^{2} . sen x + cos x . 5 x^{3} . \end{matrix}

Tras simplificar, obtenemos

f^{'} (x) = 15 x^{2} sen x + 5 x^{3} cos x .

Punto de control 3.25

Calcule la derivada de $f (x) = sen x cos x .$

Ejemplo 3.40

Encontrar la derivada de una función que contiene cos x

Calcule la derivada de $g (x) = \frac{cos x}{4 x^{2}} .$

Solución

Aplicando la regla del cociente, tenemos

g^{'} (x) = \frac{(− sen x) 4 x^{2} - 8 x (cos x)}{{(4 x^{2})}^{2}} .

Si simplificamos, obtenemos

\begin{matrix} g^{'} (x) & = \frac{−4 x^{2} sen x - 8 x cos x}{16 x^{4}} \\ = \frac{− x sen x - 2 cos x}{4 x^{3}} . \end{matrix}

Punto de control 3.26

Calcule la derivada de $f (x) = \frac{x}{cos x} .$

Ejemplo 3.41

Una aplicación para la velocidad

Una partícula se mueve a lo largo de un eje de coordenadas de tal manera que su posición en el tiempo $t$ viene dada por $s (t) = 2 sen t - t$ por $0 \leq t \leq 2 π .$ ¿En qué tiempos la partícula está en reposo?

Solución

Para determinar cuándo la partícula está en reposo, establezca $s^{'} (t) = v (t) = 0 .$ Comience por hallar $s^{'} (t) .$ Obtenemos

s^{'} (t) = 2 cos t - 1,

por lo que debemos resolver

2 cos t - 1 = 0 para 0 \leq t \leq 2 π .

Las soluciones a esta ecuación son $t = \frac{π}{3}$ y $t = \frac{5 π}{3} .$ Por tanto, la partícula está en reposo en los tiempos $t = \frac{π}{3}$ y $t = \frac{5 π}{3} .$

Punto de control 3.27

Una partícula se mueve a lo largo de un eje de coordenadas. Su posición en el tiempo $t$ viene dada por $s (t) = \sqrt{3} t + 2 cos t$ por $0 \leq t \leq 2 π .$ ¿En qué tiempos la partícula está en reposo?

Derivadas de otras funciones trigonométricas

Como las cuatro funciones trigonométricas restantes pueden expresarse como cocientes que implican al seno, al coseno o a ambos, podemos utilizar la regla del cociente para encontrar fórmulas para sus derivadas.

Ejemplo 3.42

Derivada de la función tangente

Calcule la derivada de $f (x) = tan x .$

Solución

Comience por expresar $tan x$ como el cociente de $sen x$ y $cos x :$

f (x) = tan x = \frac{sen x}{cos x} .

Ahora aplique la regla del cociente para obtener

f^{'} (x) = \frac{cos x cos x - (− sen x) sen x}{{(cos x)}^{2}} .

Si simplificamos, obtenemos

f^{'} (x) = \frac{{cos}^{2} x + {sen}^{2} x}{{cos}^{2} x} .

Al reconocer que ${cos}^{2} x + {sen}^{2} x = 1,$ según el teorema de Pitágoras, ahora tenemos

f^{'} (x) = \frac{1}{{cos}^{2} x} .

Por último, utilice la identidad $sec x = \frac{1}{cos x}$ para obtener

f^{'} (x) = {sec}^{2} x .

Punto de control 3.28

Calcule la derivada de $f (x) = cot x .$

Las derivadas de las restantes funciones trigonométricas pueden obtenerse mediante técnicas similares. Proporcionamos estas fórmulas en el siguiente teorema.

Teorema 3.9

Derivadas de $tan x, cot x, sec x,$ y $csc x$

Las derivadas del resto de las funciones trigonométricas son las siguientes:

\frac{d}{d x} (tan x) = {sec}^{2} x

(3.13)

\frac{d}{d x} (cot x) = − {csc}^{2} x

(3.14)

\frac{d}{d x} (sec x) = sec x tan x

(3.15)

\frac{d}{d x} (csc x) = − csc x cot x.

(3.16)

Ejemplo 3.43

Halle la ecuación de una línea tangente

Halle la ecuación de una línea tangente al gráfico de $f (x) = cot x$ en $x = \frac{π}{4} .$

Solución

Para encontrar la ecuación de la línea tangente, necesitamos un punto y una pendiente en ese punto. Para hallar el punto, calcule

f (\frac{π}{4}) = cot \frac{π}{4} = 1 .

Por lo tanto, la línea tangente pasa por el punto $(\frac{π}{4}, 1) .$ A continuación, halle la pendiente encontrando la derivada de $f (x) = cot x$ y evalúela en $\frac{π}{4} :$

f^{'} (x) = − {csc}^{2} x y f^{'} (\frac{π}{4}) = − {csc}^{2} (\frac{π}{4}) = –2 .

Utilizando la ecuación punto-pendiente de la línea, obtenemos

y - 1 = −2 (x - \frac{π}{4})

o de forma equivalente,

y = –2 x + 1 + \frac{π}{2} .

Ejemplo 3.44

Encontrar la derivada de las funciones trigonométricas

Calcule la derivada de $f (x) = csc x + x tan x .$

Solución

Para encontrar esta derivada, debemos utilizar tanto la regla de la suma como la del producto. Utilizando la regla de la suma, hallamos

f^{'} (x) = \frac{d}{d x} (csc x) + \frac{d}{d x} (x tan x) .

En el primer término, $\frac{d}{d x} (csc x) = − csc x cot x,$ y aplicando la regla del producto al segundo término obtenemos

\frac{d}{d x} (x tan x) = (1) (tan x) + ({sec}^{2} x) (x) .

Por lo tanto, tenemos

f^{'} (x) = − csc x cot x + tan x + x {sec}^{2} x .

Punto de control 3.29

Calcule la derivada de $f (x) = 2 tan x - 3 cot x .$

Punto de control 3.30

Calcule la pendiente de la línea tangente al gráfico de $f (x) = tan x$ en $x = \frac{π}{6} .$

Derivadas de orden superior

Las derivadas de orden superior de $sen x$ y $cos x$ siguen un patrón de repetición. Siguiendo el patrón, podemos encontrar cualquier derivada de orden superior de $sen x$ y $cos x .$

Ejemplo 3.45

Encontrar derivadas de orden superior de $y = sen x$

Halle las cuatro primeras derivadas de $y = sen x .$

Solución

Cada paso de la cadena es sencillo:

\begin{matrix} y & = & sen x \\ \frac{d y}{d x} & = & cos x \\ \frac{d^{2} y}{d x^{2}} & = & − sen x \\ \frac{d^{3} y}{d x^{3}} & = & − cos x \\ \frac{d^{4} y}{d x^{4}} & = & sen x . \end{matrix}

Análisis

Una vez que reconocemos el patrón de derivadas, podemos encontrar cualquier derivada de orden superior determinando el paso en el patrón al que corresponde. Por ejemplo, cada cuarta derivada de sen x es igual a sen x, por lo que

\begin{array}{l} \frac{d^{4}}{d x^{4}} (sen x) = \frac{d^{8}}{d x^{8}} (sen x) = \frac{d^{12}}{d x^{12}} (sen x) = … = \frac{d^{4 n}}{d x^{4 n}} (sen x) = sen x \\ \frac{d^{5}}{d x^{5}} (sen x) = \frac{d^{9}}{d x^{9}} (sen x) = \frac{d^{13}}{d x^{13}} (sen x) = … = \frac{d^{4 n + 1}}{d x^{4 n + 1}} (sen x) = cos x . \end{array}

Punto de control 3.31

Para $y = cos x,$ calcule $\frac{d^{4} y}{d x^{4}} .$

Ejemplo 3.46

Utilizando el patrón para las derivadas de orden superior de $y = sen x$

Halle $\frac{d^{74}}{d x^{74}} (sen x) .$

Solución

Podemos ver de inmediato que para la derivada 74 de $sen x, 74 = 4 (18) + 2,$ así que

\frac{d^{74}}{d x^{74}} (sen x) = \frac{d^{72 + 2}}{d x^{72 + 2}} (sen x) = \frac{d^{2}}{d x^{2}} (sen x) = − sen x .

Punto de control 3.32

Para $y = sen x,$ calcule $\frac{d^{59}}{d x^{59}} (sen x) .$

Ejemplo 3.47

Una aplicación a la aceleración

Una partícula se mueve a lo largo de un eje de coordenadas de tal manera que su posición en el tiempo $t$ viene dada por $s (t) = 2 - sen t .$ Calcule $v (π / 4)$ y $a (π / 4) .$ Compare estos valores y decida si la partícula se está acelerando o ralentizando.

Solución

Primero calcule $v (t) = s^{'} (t) :$

v (t) = s^{'} (t) = − cos t .

Por lo tanto,

v (\frac{π}{4}) = - \frac{1}{\sqrt{2}} .

A continuación, calcule $a (t) = v^{'} (t) .$ Por lo tanto, $a (t) = v^{'} (t) = sen t$ y tenemos

a (\frac{π}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}} .

Dado que $v (\frac{π}{4}) = - \frac{1}{\sqrt{2}} < 0$ y $a (\frac{π}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}} > 0,$ vemos que la velocidad y la aceleración actúan en direcciones opuestas; es decir, el objeto está siendo acelerado en la dirección opuesta a la dirección en la que se desplaza. En consecuencia, la partícula se ralentiza.

Punto de control 3.33

Un bloque unido a un resorte se mueve verticalmente. Su posición en el tiempo $t$ viene dada por $s (t) = 2 sen t .$ Calcule $v (\frac{5 π}{6})$ y $a (\frac{5 π}{6}) .$ Compare estos valores y decida si el bloque se está acelerando o ralentizando.

Sección 3.5 ejercicios

En los siguientes ejercicios, calcule $\frac{d y}{d x}$ para las funciones dadas.

175.

$y = x^{2} - sec x + 1$

176.

$y = 3 csc x + \frac{5}{x}$

177.

$y = x^{2} cot x$

178.

$y = x - x^{3} sen x$

179.

$y = \frac{sec x}{x}$

180.

$y = sen x tan x$

181.

$y = (x + cos x) (1 - sen x)$ grandes.

182.

$y = \frac{tan x}{1 - sec x}$

183.

$y = \frac{1 - cot x}{1 + cot x}$

184.

$y = cos x (1 + csc x)$

En los siguientes ejercicios, halle la ecuación de la línea tangente en cada una de las funciones dadas en los valores indicados de $x .$ A continuación, utilice una calculadora para representar gráficamente tanto la función como la línea tangente para asegurarse de que la ecuación de la línea tangente es correcta.

185.

[T] $f (x) = − sen x, x = 0$

186.

[T] $f (x) = csc x, x = \frac{π}{2}$

187.

[T] $f (x) = 1 + cos x, x = \frac{3 π}{2}$

188.

[T] $f (x) = sec x, x = \frac{π}{4}$

189.

[T] $f (x) = x^{2} - tan x, x = 0$

190.

[T] $f (x) = 5 cot x, x = \frac{π}{4}$

En los siguientes ejercicios, calcule $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ para las funciones dadas.

191.

$y = x sen x - cos x$

192.

$y = sen x cos x$

193.

$y = x - \frac{1}{2} sen x$

194.

$y = \frac{1}{x} + tan x$

195.

$y = 2 csc x$

196.

$y = {sec}^{2} x$

197.

Halle todos $x$ los valores en el gráfico de $f (x) = −3 sen x cos x$ donde la línea tangente es horizontal.

198.

Halle todos $x$ los valores en el gráfico de $f (x) = x - 2 cos x$ por $0 < x < 2 π$ donde la línea tangente tiene pendiente 2.

199.

Supongamos que $f (x) = cot x .$ Determine los puntos del gráfico de $f$ por $0 < x < 2 π$ donde la(s) recta(s) tangente(s) es (son) paralela(s) a la línea $y = –2 x .$

200.

[T] Una masa sobre un resorte rebota hacia arriba y hacia abajo en movimiento armónico simple, modelado por la función $s (t) = −6 cos t$ donde $s$ se mide en pulgadas y $t$ se mide en segundos. Halle la velocidad a la que oscila el resorte en $t = 5$ s.

201.

Supongamos que la posición de un péndulo en movimiento armónico simple dada por $s (t) = a cos t + b sen t$ donde $a$ y $b$ son constantes, $t$ mide el tiempo en segundos, y $s$ mide la posición en centímetros. Si la posición es 0 cm y la velocidad es de 3 cm/s dado que $t = 0$ , halle los valores de $a$ y $b$ .

202.

Después de que un buceador salte de un trampolín, el borde del trampolín oscila con la posición dada por $s (t) = −5 cos t$ cm en $t$ segundos después del salto.

Trace un periodo de la función de posición para $t \geq 0 .$
Halle la función de velocidad.
Trace un periodo de la función de velocidad para $t \geq 0 .$
Determine los tiempos en los que la velocidad es 0 en un periodo.
Halle la función de aceleración.
Trace un periodo de la función de aceleración para $t \geq 0 .$

203.

El número de hamburguesas vendidas en un restaurante de comida rápida en Pasadena, California, viene dado por $y = 10 + 5 sen x$ donde $y$ es el número de hamburguesas vendidas y $x$ representa el número de horas transcurridas desde la apertura del restaurante a las 11 a. m. hasta las 11 p. m. momento en el que el establecimiento cierra. Halle $y'$ y determine los intervalos en los que aumenta el número de hamburguesas que se venden.

204.

[T] La cantidad de lluvia por mes en Phoenix, Arizona, puede aproximarse mediante $y (t) = 0,5 + 0,3 cos t,$ donde $t$ son los meses desde enero. Halle $y^{'}$ y utilice una calculadora para determinar los intervalos en los que la cantidad de lluvia caída disminuye.

En los siguientes ejercicios, utilice la regla del cociente para derivar las ecuaciones dadas.

205.

$\frac{d}{d x} (cot x) = − {csc}^{2} x$

206.

$\frac{d}{d x} (sec x) = sec x tan x$

207.

$\frac{d}{d x} (csc x) = − csc x cot x$

208.

Utilice la definición de derivada y la identidad

$cos (x + h) = cos x cos h - sen x sen h$ para demostrar que $\frac{d (cos x)}{d x} = − sen x .$

En los siguientes ejercicios halle la derivada de orden superior solicitada para las funciones dadas.

209.

$\frac{d^{3} y}{d x^{3}}$ de $y = 3 cos x$

210.

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ de $y = 3 sen x + x^{2} cos x$

211.

$\frac{d^{4} y}{d x^{4}}$ de $y = 5 cos x$

212.

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ de $y = sec x + cot x$

213.

$\frac{d^{3} y}{d x^{3}}$ de $y = x^{10} - sec x$

3.5 Derivadas de funciones trigonométricas

Derivadas de las funciones seno y coseno

Las derivadas de sen x y cos x

Prueba

Diferenciación de una función que contiene sen x

Solución

Encontrar la derivada de una función que contiene cos x

Solución

Una aplicación para la velocidad

Solución

Derivadas de otras funciones trigonométricas

Derivada de la función tangente

Solución

Derivadas de tanx,cotx,secx,tanx,cotx,secx, y cscxcscx

Halle la ecuación de una línea tangente

Solución

Encontrar la derivada de las funciones trigonométricas

Solución

Derivadas de orden superior

Encontrar derivadas de orden superior de y=senxy=senx

Solución

Análisis

Utilizando el patrón para las derivadas de orden superior de y=senxy=senx

Solución

Una aplicación a la aceleración

Solución

Sección 3.5 ejercicios

Derivadas de $tan x, cot x, sec x,$ y $csc x$

Encontrar derivadas de orden superior de $y = sen x$

Utilizando el patrón para las derivadas de orden superior de $y = sen x$