Objetivos de aprendizaje
- 3.6.1 Indique la regla de la cadena para la composición de dos funciones.
- 3.6.2 Aplique la regla de la cadena junto con la regla de la potencia.
- 3.6.3 Aplique correctamente la regla de la cadena y las reglas del producto/cociente en combinación cuando ambas son necesarias.
- 3.6.4 Reconozca la regla de la cadena para una composición de tres funciones o más.
- 3.6.5 Describa la prueba de la regla de la cadena.
Hemos visto las técnicas de diferenciación de funciones básicas así como sumas, diferencias, productos, cocientes y múltiplos constantes de estas funciones. Sin embargo, estas técnicas no permiten diferenciar composiciones de funciones, como o En esta sección estudiamos la regla para calcular la derivada de la composición de dos o más funciones.
Derivar la regla de la cadena
Cuando tenemos una función que es una composición de dos o más funciones, podríamos utilizar todas las técnicas que ya hemos aprendido para diferenciarla. Sin embargo, utilizar todas esas técnicas para descomponer una función en partes más simples que podamos diferenciar puede resultar tedioso. En vez de eso, utilizamos la regla de la cadena, que establece que la derivada de una función compuesta es la derivada de la función exterior evaluada en la función interior por la derivada de la función interior.
Para poner esta regla en contexto, veamos un ejemplo: Podemos pensar en la derivada de esta función con respecto a x como la tasa de cambio de en relación con el cambio en En consecuencia, queremos saber cómo cambia, a medida que cambia. Podemos pensar en este evento como una reacción en cadena: Dado que cambia, cambia, lo que lleva a un cambio en Esta reacción en cadena nos da pistas sobre lo que implica el cálculo de la derivada de Primero que nada, un cambio en , lo que fuerza un cambio en sugiere que de alguna manera la derivada de está involucrada. Además, el cambio en , lo que fuerza un cambio en sugiere que la derivada de con respecto a donde también forma parte de la derivada final.
Podemos echar un vistazo más formal a la derivada de fijando el límite que nos daría la derivada en un valor específico en el dominio de
Esta expresión no parece especialmente útil; sin embargo, podemos modificarla al multiplicar por y dividir entre la expresión para obtener
A partir de la definición de la derivada, podemos ver que el segundo factor es la derivada de en Eso es,
Sin embargo, puede ser un poco más difícil reconocer que el primer término es también una derivada. Podemos ver esto suponiendo que y observando que a medida que
Así,
En otras palabras, si entonces Por lo tanto, si pensamos en como la composición donde sen y entonces la derivada es el producto de la derivada de y la derivada de la función evaluada en la función En este punto, prevemos que para es muy probable que Como determinamos anteriormente, este es el caso de
Ahora que hemos derivado un caso especial de la regla de la cadena, exponemos el caso general y lo aplicamos de forma general a otras funciones compuestas. Al final de la sección se ofrece una prueba informal.
Regla: la regla de la cadena
Supongamos que y son funciones. Para todo x en el dominio de para la cual es diferenciable en el punto x y es diferenciable en la derivada de la función compuesta
viene dada por
Alternativamente, si es una función de y es una función de entonces
Medios
Vea una animación de la regla de la cadena.
Estrategia de resolución de problemas
Estrategia para la resolución de problemas: Aplicar la regla de la cadena
- Para diferenciar empiece por identificar y
- Calcule y evalúela en para obtener
- Halle
- Escriba
Nota: Cuando se aplica la regla de la cadena a la composición de dos o más funciones, hay que tener en cuenta que se trabaja desde la función exterior hacia dentro. También es útil recordar que la derivada de la composición de dos funciones puede considerarse que tiene dos partes, la derivada de la composición de tres funciones tiene tres partes y así sucesivamente. Además, recuerde que nunca evaluamos una derivada en una derivada.
La regla de la cadena y la regla de la potencia combinadas
Ahora podemos aplicar la regla de la cadena a las funciones compuestas, pero tenga en cuenta que, a menudo, tenemos que utilizarla con otras reglas. Por ejemplo, para hallar las derivadas de funciones de la forma tenemos que utilizar la regla de la cadena combinada con la regla de la potencia. Para hacerlo, podemos pensar en como donde Entonces Por lo tanto, Esto nos lleva a la derivada de una función de potencia utilizando la regla de la cadena,
Regla: regla de la potencia para composición de funciones
Para todos los valores de x para los que está definida la derivada, si
Entonces
Ejemplo 3.48
Utilizar la regla de la cadena y la regla de la potencia
Calcule la derivada de
Solución
Primero, reescriba
Si aplicamos la regla de la potencia con tenemos
Al reescribir en la forma original obtenemos
Punto de control 3.34
Calcule la derivada de
Ejemplo 3.49
Utilizar la regla de la cadena y la regla de la potencia con una función trigonométrica
Calcule la derivada de
Solución
Primero recordemos que por lo que podemos reescribir cuando
Si aplicamos la regla de la potencia con obtenemos
Ejemplo 3.50
Halle la ecuación de una línea tangente
Halle la ecuación de una línea tangente al gráfico de en
Solución
Como estamos hallando la ecuación de una línea, necesitamos un punto. La coordenada x del punto es 2. Para hallar la coordenada y, sustituya 2 en Dado que el punto es
Para la pendiente, necesitamos Para calcular primero escribimos y aplique la regla de la potencia para obtener
Al sustituir, tenemos Por lo tanto, la línea tiene la ecuación Al reescribirla, la ecuación de la línea es
Punto de control 3.35
Halle la ecuación de la línea tangente al gráfico de en
Combinar la regla de la cadena con otras reglas
Ahora que podemos combinar la regla de la cadena y la regla de la potencia, examinamos cómo combinar la regla de la cadena con las otras reglas que aprendimos. En particular, podemos utilizarla con las fórmulas de las derivadas de las funciones trigonométricas o con la regla del producto.
Ejemplo 3.51
Usar la regla de la cadena en una función coseno general
Calcule la derivada de
Solución
Piense en cuando donde Dado que tenemos Luego, hacemos el siguiente cálculo.
Por lo tanto, la derivada de viene dada por
En el siguiente ejemplo aplicamos la regla que acabamos de derivar.
Ejemplo 3.52
Usar la regla de la cadena en una función coseno
Calcule la derivada de
Solución
Supongamos que Entonces Utilizando el resultado del ejemplo anterior,
Ejemplo 3.53
Usar la regla de la cadena en otra función trigonométrica
Calcule la derivada de
Solución
Aplique la regla de la cadena a para obtener
En este problema, por lo que tenemos Por lo tanto, obtenemos
Punto de control 3.36
Calcule la derivada de
En este punto proporcionamos una lista de fórmulas de derivadas que se pueden obtener aplicando la regla de la cadena junto con las fórmulas de derivadas de funciones trigonométricas. Sus derivaciones son similares a las utilizadas en el Ejemplo 3.51 y el Ejemplo 3.53. Para más facilidad, las fórmulas también se dan en la notación de Leibniz, que algunos estudiantes encuentran más fácil de recordar (analizamos la regla de la cadena utilizando la notación de Leibniz al final de esta sección). No es absolutamente necesario memorizarlas como fórmulas separadas, ya que todas son aplicaciones de la regla de la cadena a fórmulas previamente aprendidas.
Teorema 3.10
Usar la regla de la cadena en funciones trigonométricas
Para todos los valores de para los que se define la derivada,
Ejemplo 3.54
Combinar la regla de la cadena con la regla del producto
Calcule la derivada de
Solución
Primero aplique la regla del producto, luego aplique la regla de la cadena a cada término del producto.
Punto de control 3.37
Calcule la derivada de
Compuestos de tres o más funciones
Ahora podemos combinar la regla de la cadena con otras reglas para diferenciar funciones, pero cuando diferenciamos la composición de tres o más funciones, necesitamos aplicar la regla de la cadena más de una vez. Si consideramos esta situación en términos generales, podemos generar una fórmula que no necesitaremos recordar, ya que simplemente podemos aplicar la regla de la cadena varias veces.
En términos generales, primero dejamos que
Entonces, aplicando la regla de la cadena una vez obtenemos
Aplicando de nuevo la regla de la cadena, obtenemos
Regla: regla de la cadena para una composición de tres funciones
Para todos los valores de x en los que la función es diferenciable, si
entonces
En otras palabras, estamos aplicando la regla de la cadena dos veces.
Observe que la derivada de la composición de tres funciones tiene tres partes (del mismo modo, la derivada de la composición de cuatro funciones tiene cuatro partes, y así sucesivamente). Además , recuerde que siempre podemos trabajar desde afuera hacia dentro tomando una derivada cada vez.
Ejemplo 3.55
Diferenciación de un compuesto de tres funciones
Calcule la derivada de
Solución
Primero, reescriba como
A continuación, aplique la regla de la cadena varias veces.
Punto de control 3.38
Calcule la derivada de
Ejemplo 3.56
Uso de la regla de la cadena en un problema de velocidad
Una partícula se mueve a lo largo de un eje de coordenadas. Su posición en el tiempo t viene dada por ¿Cuál es la velocidad de la partícula en el tiempo
Solución
Para hallar la velocidad de la partícula en el tiempo debemos diferenciar Por lo tanto,
Al sustituir en obtenemos
Punto de control 3.39
Una partícula se mueve a lo largo de un eje de coordenadas. Su posición en el tiempo viene dada por Calcule su aceleración en el tiempo
Prueba
En este punto, presentamos una prueba muy informal de la regla de la cadena. En aras de la simplicidad, pasamos por alto algunas cuestiones: Por ejemplo, suponemos que para en algún intervalo abierto que contenga Comenzamos aplicando la definición de límite de la derivada a la función para obtener
Reescribiendo, obtenemos
Aunque está claro que
no es obvio que
Para comprobar esto, primero hay que recordar que como g es diferenciable en también es continua en Por lo tanto,
A continuación, sustituya y y utilice el cambio de variables en el límite para obtener
Finalmente,
□
Ejemplo 3.57
Uso de la regla de la cadena con los valores funcionales
Supongamos que Si y calcule
Solución
Utilice la regla de la cadena y luego sustituya.
Punto de control 3.40
Dados Si y calcule
La regla de la cadena mediante la notación de Leibniz
Al igual que con otras derivadas que ya vimos, podemos expresar la regla de la cadena utilizando la notación de Leibniz. Esta notación para la regla de la cadena se utiliza mucho en aplicaciones de física.
supongamos que y de Por lo tanto,
En consecuencia,
Regla: regla de la cadena mediante la notación de Leibniz
Si los valores de es una función de y es una función de entonces
Ejemplo 3.58
Tomar una derivada utilizando la notación de Leibniz, ejemplo 1
Calcule la derivada de
Solución
En primer lugar, supongamos que Por lo tanto, A continuación, calcule y Utilizando la regla del cociente,
y
Finalmente, lo juntamos todo.
Es importante recordar que, cuando se utiliza la forma de Leibniz de la regla de la cadena, la respuesta final debe expresarse completamente en términos de la variable original del problema.
Ejemplo 3.59
Tomar una derivada utilizando la notación de Leibniz, ejemplo 2
Calcule la derivada de
Solución
En primer lugar, supongamos que Entonces A continuación, calcule y
Finalmente, lo juntamos todo.
Punto de control 3.41
Utilice la notación de Leibniz para encontrar la derivada de Asegúrese de que la respuesta final se exprese completamente en términos de la variable
Sección 3.6 ejercicios
En los siguientes ejercicios, dados y calcule utilizando la notación de Leibniz para la regla de la cadena:
En cada uno de los siguientes ejercicios,
- descomponga cada función en la forma y y
- halle en función de
grandes.
grandes.
En los siguientes ejercicios, calcule por cada función.
grandes.
grandes.
Supongamos que y supongamos que y por Calcule
Supongamos que y Si y cuando calcule
[T] Halle la ecuación de la línea tangente para en el origen. Utilice una calculadora para graficar juntas la función y la línea tangente.
[T] Halle la ecuación de la línea tangente para en el punto Utilice una calculadora para graficar juntas la función y la línea tangente.
[T] Halle una ecuación de la línea que sea normal a en el punto Utilice una calculadora para graficar juntas la función y la línea normal.
En los siguientes ejercicios, utilice la información de la siguiente tabla para encontrar en el valor dado para
grandes. | grandes. | grandes. | ||
---|---|---|---|---|
0 | 2 | 5 | 0 | 2 |
1 | 1 | −2 | 3 | 0 |
2 | 4 | 4 | 1 | −1 |
3 | 3 | −3 | 2 | 3 |
[T] La función de posición de un tren de mercancías viene dada por con la en metros y en segundos. En el tiempo s, encontrar:
- la velocidad y
- aceleración del tren.
- Utilizando a. y b. ¿el tren acelera o frena?
[T] Una masa que cuelga de un resorte vertical está en movimiento armónico simple dado por la siguiente función de posición, donde se mide en segundos y está en pulgadas:
- Determine la posición del resorte en s.
- Calcule la velocidad del resorte en s.
[T] El costo total para producir cajas de galletas Thin Mint Girl Scout es de dólares, donde En semanas, se estima que la producción sea de cajas.
- Calcule el costo marginal
- Utilice la notación de Leibniz para la regla de la cadena, para encontrar la tasa con respecto al tiempo en el que el costo cambia.
- Utilice b. para determinar la velocidad de aumento de los costos cuando semanas. Incluya las unidades en la respuesta.
[T] La fórmula del área de un círculo es donde es el radio del círculo. Supongamos que un círculo se expande, lo que significa que tanto el área y el radio (en pulgadas) se expanden.
- Supongamos que donde es el tiempo en segundos. Utilice la regla de la cadena para encontrar la tasa de expansión del área.
- Utilice a. para hallar el ritmo de expansión del área en s.
[T] La fórmula del volumen de una esfera es donde (en pies) es el radio de la esfera. Supongamos que una bola de nieve esférica se derrite al sol.
- Supongamos que donde es el tiempo en minutos. Utilice la regla de la cadena para encontrar la tasa a la que se funde la bola de nieve.
- Utilice a. para hallar la tasa de variación del volumen en min.
[T] La temperatura diaria en verano de Phoenix en grados Fahrenheit puede modelarse mediante la función donde son horas después de la medianoche. Halle la velocidad a la que cambia la temperatura a las 4 p. m.
[T] La profundidad (en pies) del agua en un muelle cambia con la subida y bajada de las mareas. La profundidad se modela mediante la función donde es el número de horas después de la medianoche. Halle la velocidad a la que cambia la profundidad a las 6 a. m.