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Cálculo volumen 1

3.6 La regla de la cadena

Cálculo volumen 13.6 La regla de la cadena

Objetivos de aprendizaje

  • 3.6.1 Indique la regla de la cadena para la composición de dos funciones.
  • 3.6.2 Aplique la regla de la cadena junto con la regla de la potencia.
  • 3.6.3 Aplique correctamente la regla de la cadena y las reglas del producto/cociente en combinación cuando ambas son necesarias.
  • 3.6.4 Reconozca la regla de la cadena para una composición de tres funciones o más.
  • 3.6.5 Describa la prueba de la regla de la cadena.

Hemos visto las técnicas de diferenciación de funciones básicas (xn,senx,cosx,etc.)(xn,senx,cosx,etc.) así como sumas, diferencias, productos, cocientes y múltiplos constantes de estas funciones. Sin embargo, estas técnicas no permiten diferenciar composiciones de funciones, como h(x)=sen(x3)h(x)=sen(x3) o k(x)=3x2 +1.k(x)=3x2 +1. En esta sección estudiamos la regla para calcular la derivada de la composición de dos o más funciones.

Derivar la regla de la cadena

Cuando tenemos una función que es una composición de dos o más funciones, podríamos utilizar todas las técnicas que ya hemos aprendido para diferenciarla. Sin embargo, utilizar todas esas técnicas para descomponer una función en partes más simples que podamos diferenciar puede resultar tedioso. En vez de eso, utilizamos la regla de la cadena, que establece que la derivada de una función compuesta es la derivada de la función exterior evaluada en la función interior por la derivada de la función interior.

Para poner esta regla en contexto, veamos un ejemplo: h(x)=sen(x3).h(x)=sen(x3). Podemos pensar en la derivada de esta función con respecto a x como la tasa de cambio de sen(x3)sen(x3) en relación con el cambio en x.x. En consecuencia, queremos saber cómo sen(x3)sen(x3) cambia, a medida que xx cambia. Podemos pensar en este evento como una reacción en cadena: Dado que xx cambia, x3x3 cambia, lo que lleva a un cambio en sen(x3).sen(x3). Esta reacción en cadena nos da pistas sobre lo que implica el cálculo de la derivada de sen(x3).sen(x3). Primero que nada, un cambio en xx, lo que fuerza un cambio en x3x3 sugiere que de alguna manera la derivada de x3x3 está involucrada. Además, el cambio en x3x3, lo que fuerza un cambio en sen(x3)sen(x3) sugiere que la derivada de sen(u)sen(u) con respecto a u,u, donde u=x3,u=x3, también forma parte de la derivada final.

Podemos echar un vistazo más formal a la derivada de h(x)=sen(x3)h(x)=sen(x3) fijando el límite que nos daría la derivada en un valor específico aa en el dominio de h(x)=sen(x3).h(x)=sen(x3).

h(a)=límxasen(x3)sen(a3)xa.h(a)=límxasen(x3)sen(a3)xa.

Esta expresión no parece especialmente útil; sin embargo, podemos modificarla al multiplicar por y dividir entre la expresión x3a3x3a3 para obtener

h(a)=límxasen(x3)sen(a3)x3a3.x3a3xa.h(a)=límxasen(x3)sen(a3)x3a3.x3a3xa.

A partir de la definición de la derivada, podemos ver que el segundo factor es la derivada de x3x3 en x=a.x=a. Eso es,

límxax3a3xa=ddx(x3)x=a=3a2 .límxax3a3xa=ddx(x3)x=a=3a2 .

Sin embargo, puede ser un poco más difícil reconocer que el primer término es también una derivada. Podemos ver esto suponiendo que u=x3u=x3 y observando que a medida que xa,ua3:xa,ua3:

límxasen(x3)sen(a3)x3a3=límua3senusen(a3)ua3=ddu(senu)u=a3=cos(a3)límxasen(x3)sen(a3)x3a3=límua3senusen(a3)ua3=ddu(senu)u=a3=cos(a3)

Así, h(a)=cos(a3).3a2 .h(a)=cos(a3).3a2 .

En otras palabras, si h(x)=sen(x3),h(x)=sen(x3), entonces h(x)=cos(x3).3x2 .h(x)=cos(x3).3x2 . Por lo tanto, si pensamos en h(x)=sen(x3)h(x)=sen(x3) como la composición (fg)(x)=f(g(x))(fg)(x)=f(g(x)) donde f(x)=f(x)= sen xx y g(x)=x3,g(x)=x3, entonces la derivada h(x)=sen(x3)h(x)=sen(x3) es el producto de la derivada de g(x)=x3g(x)=x3 y la derivada de la función f(x)=senxf(x)=senx evaluada en la función g(x)=x3.g(x)=x3. En este punto, prevemos que para h(x)=sen(g(x)),h(x)=sen(g(x)), es muy probable que h(x)=cos(g(x))g(x).h(x)=cos(g(x))g(x). Como determinamos anteriormente, este es el caso de h(x)=sen(x3).h(x)=sen(x3).

Ahora que hemos derivado un caso especial de la regla de la cadena, exponemos el caso general y lo aplicamos de forma general a otras funciones compuestas. Al final de la sección se ofrece una prueba informal.

Regla: la regla de la cadena

Supongamos que ff y gg son funciones. Para todo x en el dominio de gg para la cual gg es diferenciable en el punto x yff es diferenciable en g(x),g(x), la derivada de la función compuesta

h(x)=(fg)(x)=f(g(x))h(x)=(fg)(x)=f(g(x))

viene dada por

h(x)=f(g(x))g(x).h(x)=f(g(x))g(x).
(3.17)

Alternativamente, si yy es una función de u,u, y uu es una función de x,x, entonces

dydx=dydu.dudx.dydx=dydu.dudx.

Medios

Vea una animación de la regla de la cadena.

Estrategia de resolución de problemas

Estrategia para la resolución de problemas: Aplicar la regla de la cadena

  1. Para diferenciar h(x)=f(g(x)),h(x)=f(g(x)), empiece por identificar f(x)f(x) y g(x).g(x).
  2. Calcule f(x)f(x) y evalúela en g(x)g(x) para obtener f(g(x)).f(g(x)).
  3. Halle g(x).g(x).
  4. Escriba h(x)=f(g(x)).g(x).h(x)=f(g(x)).g(x).

Nota: Cuando se aplica la regla de la cadena a la composición de dos o más funciones, hay que tener en cuenta que se trabaja desde la función exterior hacia dentro. También es útil recordar que la derivada de la composición de dos funciones puede considerarse que tiene dos partes, la derivada de la composición de tres funciones tiene tres partes y así sucesivamente. Además, recuerde que nunca evaluamos una derivada en una derivada.

La regla de la cadena y la regla de la potencia combinadas

Ahora podemos aplicar la regla de la cadena a las funciones compuestas, pero tenga en cuenta que, a menudo, tenemos que utilizarla con otras reglas. Por ejemplo, para hallar las derivadas de funciones de la forma h(x)=(g(x))n,h(x)=(g(x))n, tenemos que utilizar la regla de la cadena combinada con la regla de la potencia. Para hacerlo, podemos pensar en h(x)=(g(x))nh(x)=(g(x))n como f(g(x))f(g(x)) donde f(x)=xn.f(x)=xn. Entonces f(x)=nxn1.f(x)=nxn1. Por lo tanto, f(g(x))=n(g(x))n1.f(g(x))=n(g(x))n1. Esto nos lleva a la derivada de una función de potencia utilizando la regla de la cadena,

h(x)=n(g(x))n1g(x)h(x)=n(g(x))n1g(x)

Regla: regla de la potencia para composición de funciones

Para todos los valores de x para los que está definida la derivada, si

h(x)=(g(x))n.h(x)=(g(x))n.

Entonces

h(x)=n(g(x))n1g(x)h(x)=n(g(x))n1g(x)
(3.18)

Ejemplo 3.48

Utilizar la regla de la cadena y la regla de la potencia

Calcule la derivada de h(x)=1(3x2 +1)2 .h(x)=1(3x2 +1)2 .

Punto de control 3.34

Calcule la derivada de h(x)=(2 x3+2 x1)4.h(x)=(2 x3+2 x1)4.

Ejemplo 3.49

Utilizar la regla de la cadena y la regla de la potencia con una función trigonométrica

Calcule la derivada de h(x)=sen3x.h(x)=sen3x.

Ejemplo 3.50

Halle la ecuación de una línea tangente

Halle la ecuación de una línea tangente al gráfico de h(x)=1(3x5)2 h(x)=1(3x5)2 en x=2 .x=2 .

Punto de control 3.35

Halle la ecuación de la línea tangente al gráfico de f(x)=(x2 2 )3f(x)=(x2 2 )3 en x=–2.x=–2.

Combinar la regla de la cadena con otras reglas

Ahora que podemos combinar la regla de la cadena y la regla de la potencia, examinamos cómo combinar la regla de la cadena con las otras reglas que aprendimos. En particular, podemos utilizarla con las fórmulas de las derivadas de las funciones trigonométricas o con la regla del producto.

Ejemplo 3.51

Usar la regla de la cadena en una función coseno general

Calcule la derivada de h(x)=cos(g(x)).h(x)=cos(g(x)).

En el siguiente ejemplo aplicamos la regla que acabamos de derivar.

Ejemplo 3.52

Usar la regla de la cadena en una función coseno

Calcule la derivada de h(x)=cos(5x2 ).h(x)=cos(5x2 ).

Ejemplo 3.53

Usar la regla de la cadena en otra función trigonométrica

Calcule la derivada de h(x)=sec(4x5+2 x).h(x)=sec(4x5+2 x).

Punto de control 3.36

Calcule la derivada de h(x)=sen(7x+2 ).h(x)=sen(7x+2 ).

En este punto proporcionamos una lista de fórmulas de derivadas que se pueden obtener aplicando la regla de la cadena junto con las fórmulas de derivadas de funciones trigonométricas. Sus derivaciones son similares a las utilizadas en el Ejemplo 3.51 y el Ejemplo 3.53. Para más facilidad, las fórmulas también se dan en la notación de Leibniz, que algunos estudiantes encuentran más fácil de recordar (analizamos la regla de la cadena utilizando la notación de Leibniz al final de esta sección). No es absolutamente necesario memorizarlas como fórmulas separadas, ya que todas son aplicaciones de la regla de la cadena a fórmulas previamente aprendidas.

Teorema 3.10

Usar la regla de la cadena en funciones trigonométricas

Para todos los valores de xx para los que se define la derivada,

d d x ( sen ( g ( x ) ) ) = cos ( g ( x ) ) g ( x ) ) d d x sen u = cos u d u d x d d x ( cos ( g ( x ) ) ) = sen ( g ( x ) ) g ( x ) ) d d x cos u = sen u d u d x d d x ( tan ( g ( x ) ) ) = sec 2 ( g ( x ) ) g ( x ) ) d d x tan u = sec 2 u d u d x d d x ( cot ( g ( x ) ) ) = csc 2 ( g ( x ) ) g ( x ) ) d d x cot u = csc 2 u d u d x d d x ( sec ( g ( x ) ) ) = sec ( g ( x ) tan ( g ( x ) ) g ( x ) ) d d x sec u = sec u tan u d u d x d d x ( csc ( g ( x ) ) ) = csc ( g ( x ) ) cot ( g ( x ) ) g ( x ) ) d d x csc u = csc u cot u d u d x . d d x ( sen ( g ( x ) ) ) = cos ( g ( x ) ) g ( x ) ) d d x sen u = cos u d u d x d d x ( cos ( g ( x ) ) ) = sen ( g ( x ) ) g ( x ) ) d d x cos u = sen u d u d x d d x ( tan ( g ( x ) ) ) = sec 2 ( g ( x ) ) g ( x ) ) d d x tan u = sec 2 u d u d x d d x ( cot ( g ( x ) ) ) = csc 2 ( g ( x ) ) g ( x ) ) d d x cot u = csc 2 u d u d x d d x ( sec ( g ( x ) ) ) = sec ( g ( x ) tan ( g ( x ) ) g ( x ) ) d d x sec u = sec u tan u d u d x d d x ( csc ( g ( x ) ) ) = csc ( g ( x ) ) cot ( g ( x ) ) g ( x ) ) d d x csc u = csc u cot u d u d x .

Ejemplo 3.54

Combinar la regla de la cadena con la regla del producto

Calcule la derivada de h(x)=(2 x+1)5(3x2 )7.h(x)=(2 x+1)5(3x2 )7.

Punto de control 3.37

Calcule la derivada de h(x)=x(2 x+3)3.h(x)=x(2 x+3)3.

Compuestos de tres o más funciones

Ahora podemos combinar la regla de la cadena con otras reglas para diferenciar funciones, pero cuando diferenciamos la composición de tres o más funciones, necesitamos aplicar la regla de la cadena más de una vez. Si consideramos esta situación en términos generales, podemos generar una fórmula que no necesitaremos recordar, ya que simplemente podemos aplicar la regla de la cadena varias veces.

En términos generales, primero dejamos que

k(x)=h(f(g(x))).k(x)=h(f(g(x))).

Entonces, aplicando la regla de la cadena una vez obtenemos

k(x)=ddx(h(f(g(x)))=h(f(g(x))).ddxf((g(x))).k(x)=ddx(h(f(g(x)))=h(f(g(x))).ddxf((g(x))).

Aplicando de nuevo la regla de la cadena, obtenemos

k(x)=h(f(g(x))f(g(x))g(x)).k(x)=h(f(g(x))f(g(x))g(x)).

Regla: regla de la cadena para una composición de tres funciones

Para todos los valores de x en los que la función es diferenciable, si

k(x)=h(f(g(x))),k(x)=h(f(g(x))),

entonces

k(x)=h(f(g(x)))f(g(x))g(x).k(x)=h(f(g(x)))f(g(x))g(x).

En otras palabras, estamos aplicando la regla de la cadena dos veces.

Observe que la derivada de la composición de tres funciones tiene tres partes (del mismo modo, la derivada de la composición de cuatro funciones tiene cuatro partes, y así sucesivamente). Además , recuerde que siempre podemos trabajar desde afuera hacia dentro tomando una derivada cada vez.

Ejemplo 3.55

Diferenciación de un compuesto de tres funciones

Calcule la derivada de k(x)=cos4(7x2 +1).k(x)=cos4(7x2 +1).

Punto de control 3.38

Calcule la derivada de h(x)=sen6(x3).h(x)=sen6(x3).

Ejemplo 3.56

Uso de la regla de la cadena en un problema de velocidad

Una partícula se mueve a lo largo de un eje de coordenadas. Su posición en el tiempo t viene dada por s(t)=sen(2 t)+cos(3t).s(t)=sen(2 t)+cos(3t). ¿Cuál es la velocidad de la partícula en el tiempo t=π6?t=π6?

Punto de control 3.39

Una partícula se mueve a lo largo de un eje de coordenadas. Su posición en el tiempo tt viene dada por s(t)=sen(4t).s(t)=sen(4t). Calcule su aceleración en el tiempo t.t.

Prueba

En este punto, presentamos una prueba muy informal de la regla de la cadena. En aras de la simplicidad, pasamos por alto algunas cuestiones: Por ejemplo, suponemos que g(x)g(a)g(x)g(a) para xaxa en algún intervalo abierto que contenga a.a. Comenzamos aplicando la definición de límite de la derivada a la función h(x)h(x) para obtener h(a):h(a):

h(a)=límxaf(g(x))f(g(a))xa.h(a)=límxaf(g(x))f(g(a))xa.

Reescribiendo, obtenemos

h(a)=límxaf(g(x))f(g(a))g(x)g(a).g(x)g(a)xa.h(a)=límxaf(g(x))f(g(a))g(x)g(a).g(x)g(a)xa.

Aunque está claro que

límxag(x)g(a)xa=g(a),límxag(x)g(a)xa=g(a),

no es obvio que

límxaf(g(x))f(g(a))g(x)g(a)=f(g(a)).límxaf(g(x))f(g(a))g(x)g(a)=f(g(a)).

Para comprobar esto, primero hay que recordar que como g es diferenciable en a,ga,g también es continua en a.a. Por lo tanto,

límxag(x)=g(a).límxag(x)=g(a).

A continuación, sustituya y=g(x)y=g(x) y b=g(a)b=g(a) y utilice el cambio de variables en el límite para obtener

límxaf(g(x))f(g(a))g(x)g(a)=límybf(y)f(b)yb=f(b)=f(g(a)).límxaf(g(x))f(g(a))g(x)g(a)=límybf(y)f(b)yb=f(b)=f(g(a)).

Finalmente,

h(a)=límxaf(g(x))f(g(a))g(x)g(a).g(x)g(a)xa=f(g(a))g(a).h(a)=límxaf(g(x))f(g(a))g(x)g(a).g(x)g(a)xa=f(g(a))g(a).

Ejemplo 3.57

Uso de la regla de la cadena con los valores funcionales

Supongamos que h(x)=f(g(x)).h(x)=f(g(x)). Si g(1)=4,g(1)=3,g(1)=4,g(1)=3, y f(4)=7,f(4)=7, calcule h(1).h(1).

Punto de control 3.40

Dados h(x)=f(g(x)).h(x)=f(g(x)). Si g(2 )=−3,g(2 )=4,g(2 )=−3,g(2 )=4, y f(−3)=7,f(−3)=7, calcule h(2 ).h(2 ).

La regla de la cadena mediante la notación de Leibniz

Al igual que con otras derivadas que ya vimos, podemos expresar la regla de la cadena utilizando la notación de Leibniz. Esta notación para la regla de la cadena se utiliza mucho en aplicaciones de física.

Parah(x)=f(g(x)),Parah(x)=f(g(x)), supongamos que u=g(x)u=g(x) y de y=h(x)=f(u).y=h(x)=f(u). Por lo tanto,

h(x)=dydx,f(g(x))=f(u)=dyduyg(x)=dudx.h(x)=dydx,f(g(x))=f(u)=dyduyg(x)=dudx.

En consecuencia,

dydx=h(x)=f(g(x))g(x)=dydu.dudx.dydx=h(x)=f(g(x))g(x)=dydu.dudx.

Regla: regla de la cadena mediante la notación de Leibniz

Si los valores de yy es una función de u,u, y uu es una función de x,x, entonces

dydx=dydu.dudx.dydx=dydu.dudx.

Ejemplo 3.58

Tomar una derivada utilizando la notación de Leibniz, ejemplo 1

Calcule la derivada de y=(x3x+2 )5.y=(x3x+2 )5.

Ejemplo 3.59

Tomar una derivada utilizando la notación de Leibniz, ejemplo 2

Calcule la derivada de y=tan(4x2 3x+1).y=tan(4x2 3x+1).

Punto de control 3.41

Utilice la notación de Leibniz para encontrar la derivada de y=cos(x3).y=cos(x3). Asegúrese de que la respuesta final se exprese completamente en términos de la variable x.x.

Sección 3.6 ejercicios

En los siguientes ejercicios, dados y=f(u)y=f(u) y u=g(x),u=g(x), calcule dydxdydx utilizando la notación de Leibniz para la regla de la cadena: dydx=dydududx.dydx=dydududx.

214.

y = 3 u 6 , u = 2 x 2 y = 3 u 6 , u = 2 x 2

215.

y = 6 u 3 , u = 7 x 4 y = 6 u 3 , u = 7 x 4

216.

y = sen u , u = 5 x 1 y = sen u , u = 5 x 1

217.

y = cos u , u = x 8 y = cos u , u = x 8

218.

y = tan u , u = 9 x + 2 y = tan u , u = 9 x + 2

219.

y = 4 u + 3 , u = x 2 6 x y = 4 u + 3 , u = x 2 6 x

En cada uno de los siguientes ejercicios,

  1. descomponga cada función en la forma y=f(u)y=f(u) y u=g(x),u=g(x), y
  2. halle dydxdydx en función de x.x.
220.

y = ( 3 x 2 ) 6 y = ( 3 x 2 ) 6

221.

y = ( 3 x 2 + 1 ) 3 y = ( 3 x 2 + 1 ) 3

222.

y=sen5(x)y=sen5(x) grandes.

223.

y = ( x 7 + 7 x ) 7 y = ( x 7 + 7 x ) 7

224.

y=tan(secx)y=tan(secx) grandes.

225.

y = csc ( π x + 1 ) y = csc ( π x + 1 )

226.

y = cot 2 x y = cot 2 x

227.

y = −6 ( sen ) −3 x y = −6 ( sen ) −3 x

En los siguientes ejercicios, calcule dydxdydx por cada función.

228.

y = ( 3 x 2 + 3 x 1 ) 4 y = ( 3 x 2 + 3 x 1 ) 4

229.

y = ( 5 2 x ) −2 y = ( 5 2 x ) −2

230.

y=cos3(πx)y=cos3(πx) grandes.

231.

y = ( 2 x 3 x 2 + 6 x + 1 ) 3 y = ( 2 x 3 x 2 + 6 x + 1 ) 3

232.

y=1sen2 (x)y=1sen2 (x) grandes.

233.

y = ( tan x + sen x ) −3 y = ( tan x + sen x ) −3

234.

y = x 2 cos 4 x y = x 2 cos 4 x

235.

y=sen(cos7x)y=sen(cos7x) grandes.

236.

y = 6 + sec π x 2 y = 6 + sec π x 2

237.

y=cot3(4x+1)y=cot3(4x+1) grandes.

238.

Supongamos que y=[f(x)]2 y=[f(x)]2 y supongamos que f(1)=4f(1)=4 y dydx=10dydx=10 por x=1.x=1. Calcule f(1).f(1).

239.

Supongamos que y=(f(x)+5x2 )4y=(f(x)+5x2 )4 y supongamos que f(–1)=−4f(–1)=−4 y dydx=3dydx=3 cuando x=−1.x=−1. Calcule f(–1)f(–1) grandes.

240.

Supongamos que y=(f(u)+3x)2 y=(f(u)+3x)2 y u=x32 x.u=x32 x. Si f(4)=6f(4)=6 y dydx=18dydx=18 cuando x=2 ,x=2 , calcule f(4).f(4).

241.

[T] Halle la ecuación de la línea tangente para y=sen(x2 )y=sen(x2 ) en el origen. Utilice una calculadora para graficar juntas la función y la línea tangente.

242.

[T] Halle la ecuación de la línea tangente para y=(3x+1x)2 y=(3x+1x)2 en el punto (1,16).(1,16). Utilice una calculadora para graficar juntas la función y la línea tangente.

243.

Calcule las coordenadas xx en las que la línea tangente a y=(x6x)8y=(x6x)8 es horizontal.

244.

[T] Halle una ecuación de la línea que sea normal a g(θ)=sen2 (πθ)g(θ)=sen2 (πθ) en el punto (14,12 ).(14,12 ). Utilice una calculadora para graficar juntas la función y la línea normal.

En los siguientes ejercicios, utilice la información de la siguiente tabla para encontrar h(a)h(a) en el valor dado para a.a.

xx f(x)f(x) grandes. f(x)f(x) grandes. g(x)g(x) grandes. g(x)g(x)
0 2 5 0 2
1 1 −2 3 0
2 4 4 1 −1
3 3 −3 2 3
245.

h ( x ) = f ( g ( x ) ) ; a = 0 h ( x ) = f ( g ( x ) ) ; a = 0

246.

h ( x ) = g ( f ( x ) ) ; a = 0 h ( x ) = g ( f ( x ) ) ; a = 0

247.

h ( x ) = ( x 4 + g ( x ) ) −2 ; a = 1 h ( x ) = ( x 4 + g ( x ) ) −2 ; a = 1

248.

h ( x ) = ( f ( x ) g ( x ) ) 2 ; a = 3 h ( x ) = ( f ( x ) g ( x ) ) 2 ; a = 3

249.

h ( x ) = f ( x + f ( x ) ) ; a = 1 h ( x ) = f ( x + f ( x ) ) ; a = 1

250.

h ( x ) = ( 1 + g ( x ) ) 3 ; a = 2 h ( x ) = ( 1 + g ( x ) ) 3 ; a = 2

251.

h ( x ) = g ( 2 + f ( x 2 ) ) ; a = 1 h ( x ) = g ( 2 + f ( x 2 ) ) ; a = 1

252.

h ( x ) = f ( g ( sen x ) ) ; a = 0 h ( x ) = f ( g ( sen x ) ) ; a = 0

253.

[T] La función de posición de un tren de mercancías viene dada por s(t)=100(t+1)−2,s(t)=100(t+1)−2, con la ss en metros y tt en segundos. En el tiempo t=6t=6 s, encontrar:

  1. la velocidad y
  2. aceleración del tren.
  3. Utilizando a. y b. ¿el tren acelera o frena?
254.

[T] Una masa que cuelga de un resorte vertical está en movimiento armónico simple dado por la siguiente función de posición, donde tt se mide en segundos y ss está en pulgadas:

s ( t ) = −3 cos ( π t + π 4 ) . s ( t ) = −3 cos ( π t + π 4 ) .

  1. Determine la posición del resorte en t=1,5t=1,5 s.
  2. Calcule la velocidad del resorte en t=1,5t=1,5 s.
255.

[T] El costo total para producir xx cajas de galletas Thin Mint Girl Scout es de CC dólares, donde C=0,0001x30,02x2 +3x+300.C=0,0001x30,02x2 +3x+300. En tt semanas, se estima que la producción sea de x=1.600+100tx=1.600+100t cajas.

  1. Calcule el costo marginal C(x).C(x).
  2. Utilice la notación de Leibniz para la regla de la cadena, dCdt=dCdx.dxdt,dCdt=dCdx.dxdt, para encontrar la tasa con respecto al tiempo tt en el que el costo cambia.
  3. Utilice b. para determinar la velocidad de aumento de los costos cuando t=2 t=2 semanas. Incluya las unidades en la respuesta.
256.

[T] La fórmula del área de un círculo es A=πr2 ,A=πr2 , donde rr es el radio del círculo. Supongamos que un círculo se expande, lo que significa que tanto el área AA y el radio rr (en pulgadas) se expanden.

  1. Supongamos que r=2 100(t+7)2 r=2 100(t+7)2 donde tt es el tiempo en segundos. Utilice la regla de la cadena dAdt=dAdr.drdtdAdt=dAdr.drdt para encontrar la tasa de expansión del área.
  2. Utilice a. para hallar el ritmo de expansión del área en t=4t=4 s.
257.

[T] La fórmula del volumen de una esfera es S=43πr3,S=43πr3, donde rr (en pies) es el radio de la esfera. Supongamos que una bola de nieve esférica se derrite al sol.

  1. Supongamos que r=1(t+1)2 112r=1(t+1)2 112 donde tt es el tiempo en minutos. Utilice la regla de la cadena dSdt=dSdr.drdtdSdt=dSdr.drdt para encontrar la tasa a la que se funde la bola de nieve.
  2. Utilice a. para hallar la tasa de variación del volumen en t=1t=1 min.
258.

[T] La temperatura diaria en verano de Phoenix en grados Fahrenheit puede modelarse mediante la función T(x)=9410cos[π12(x2 )],T(x)=9410cos[π12(x2 )], donde xx son horas después de la medianoche. Halle la velocidad a la que cambia la temperatura a las 4 p. m.

259.

[T] La profundidad (en pies) del agua en un muelle cambia con la subida y bajada de las mareas. La profundidad se modela mediante la función D(t)=5sen(π6t7π6)+8,D(t)=5sen(π6t7π6)+8, donde tt es el número de horas después de la medianoche. Halle la velocidad a la que cambia la profundidad a las 6 a. m.

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