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Cálculo volumen 1

3.7 Derivadas de funciones inversas

Cálculo volumen 13.7 Derivadas de funciones inversas

Objetivos de aprendizaje

  • 3.7.1 Calcular la derivada de una función inversa.
  • 3.7.2 Reconocer las derivadas de las funciones trigonométricas inversas estándar.

En esta sección exploraremos la relación entre la derivada de una función y la derivada de su inversa. En las funciones cuyas derivadas ya conocemos, podemos utilizar esta relación para encontrar las derivadas de las inversas sin tener que utilizar la definición de límite de la derivada. En particular, aplicaremos la fórmula de las derivadas de las funciones inversas a las funciones trigonométricas. Esta fórmula también puede utilizarse para extender la regla de la potencia a los exponentes racionales.

La derivada de una función inversa

Comenzamos considerando una función y su inversa. Si los valores de f(x)f(x) es invertible y diferenciable, parece razonable que la inversa de f(x)f(x) también es diferenciable. La Figura 3.28 muestra la relación entre una función f(x)f(x) y su inversa f−1(x).f−1(x). Vea el punto (a,f−1(a))(a,f−1(a)) en el gráfico de f−1(x)f−1(x) que tiene una línea tangente con una pendiente de (f−1)′(a)=pq.(f−1)′(a)=pq. Este corresponde al punto (f−1(a),a)(f−1(a),a) en el gráfico de f(x)f(x) que tiene una línea tangente con una pendiente de f′(f−1(a))=qp.f′(f−1(a))=qp. Por lo tanto, si f−1(x)f−1(x) es diferenciable en a,a, entonces debe ser el caso que

(f−1)′(a)=1f′(f−1(a)).(f−1)′(a)=1f′(f−1(a)).
Este gráfico muestra una función f(x) y su inversa f-1(x). Estas funciones son simétricas respecto a la línea y = x. La línea tangente de la función f(x) en el punto (f-1(a), a) y la línea tangente de la función f-1(x) en (a, f-1(a)) son también simétricas respecto a la línea y = x. En concreto, si la pendiente de una fuera p/q, entonces la pendiente de la otra sería q/p. Por último, sus derivadas también son simétricas respecto a la línea y = x.
Figura 3.28 Las rectas tangentes de una función y su inversa están relacionadas, así que también lo están las derivadas de estas funciones.

También podemos derivar la fórmula de la derivada de la inversa recordando primero que x=f(f−1(x)).x=f(f−1(x)). Entonces, diferenciando ambos lados de esta ecuación (utilizando la regla de la cadena de la derecha), obtenemos

1=f′(f−1(x))(f−1)′(x)).1=f′(f−1(x))(f−1)′(x)).

Al resolver para (f−1)′(x),(f−1)′(x), obtenemos

(f−1)′(x)=1f′(f−1(x)).(f−1)′(x)=1f′(f−1(x)).
(3.19)

Resumimos este resultado en el siguiente teorema.

Teorema 3.11

Teorema de la función inversa

Supongamos que f(x)f(x) es una función invertible y diferenciable. Supongamos que y=f−1(x)y=f−1(x) es la inversa de f(x).f(x). Para todo xx que satisface f′(f−1(x))≠0,f′(f−1(x))≠0,

dydx=ddx(f−1(x))=(f−1)′(x)=1f′(f−1(x)).dydx=ddx(f−1(x))=(f−1)′(x)=1f′(f−1(x)).

Alternativamente, si y=g(x)y=g(x) es la inversa de f(x),f(x), entonces

g'(x)=1f′(g(x)).g'(x)=1f′(g(x)).

Ejemplo 3.60

Aplicación del teorema de la función inversa

Utilice el teorema de la función inversa para calcular la derivada de g(x)=x+2 x.g(x)=x+2 x. Compare la derivada resultante con la obtenida al diferenciar la función directamente.

Punto de control 3.42

Utilice el teorema de la función inversa para calcular la derivada de g(x)=1x+2 .g(x)=1x+2 . Compare el resultado obtenido al diferenciar g(x)g(x) directamente.

Ejemplo 3.61

Aplicación del teorema de la función inversa

Utilice el teorema de la función inversa para calcular la derivada de g(x)=x3.g(x)=x3.

Punto de control 3.43

Calcule la derivada de g(x)=x5g(x)=x5 aplicando el teorema de la función inversa.

A partir del ejemplo anterior, vemos que podemos utilizar el teorema de la función inversa para extender la regla de la potencia a exponentes de la forma 1n,1n, donde nn es un número entero positivo. Esta ampliación nos permitirá, en última instancia, diferenciar xq,xq, donde qq es cualquier número racional.

Teorema 3.12

Extensión de la regla de la potencia a los exponentes racionales

La regla de la potencia puede extenderse a los exponentes racionales. Es decir, si nn es un número entero positivo, entonces

ddx(x1/n)=1nx(1/n)−1.ddx(x1/n)=1nx(1/n)−1.
(3.20)

Además, si nn es un número entero positivo y mm es un número entero arbitrario, entonces

ddx(xm/n)=mnx(m/n)−1.ddx(xm/n)=mnx(m/n)−1.
(3.21)

Prueba

La función g(x)=x1/ng(x)=x1/n es la inversa de la función f(x)=xn.f(x)=xn. Dado que g′(x)=1f′(g(x)),g′(x)=1f′(g(x)), comience por hallar f′(x).f′(x). Por lo tanto,

f′(x)=nxn–1yf′(g(x))=n(x1/n)n–1=nx(n–1)/n.f′(x)=nxn–1yf′(g(x))=n(x1/n)n–1=nx(n–1)/n.

Finalmente,

g′(x)=1nx(n–1)/n=1nx(1−n)/n=1nx(1/n)−1.g′(x)=1nx(n–1)/n=1nx(1−n)/n=1nx(1/n)−1.

Para diferenciar xm/nxm/n debemos reescribirlo como (x1/n)m(x1/n)m y aplicar la regla de la cadena. Por lo tanto,

ddx(xm/n)=ddx((x1/n)m)=m(x1/n)m−1.1nx(1/n)−1=mnx(m/n)−1.ddx(xm/n)=ddx((x1/n)m)=m(x1/n)m−1.1nx(1/n)−1=mnx(m/n)−1.

□

Ejemplo 3.62

Aplicación de la regla de la potencia a una potencia racional

Halle la ecuación de la línea tangente al gráfico de y=x2 /3y=x2 /3 en x=8.x=8.

Punto de control 3.44

Calcule la derivada de s(t)=2 t+1.s(t)=2 t+1.

Derivadas de funciones trigonométricas inversas

Ahora nos centraremos en la búsqueda de derivadas de funciones trigonométricas inversas. Estas derivadas resultarán muy valiosas en el estudio de la integración más adelante en este texto. Las derivadas de las funciones trigonométricas inversas son bastante sorprendentes, ya que sus derivadas son en realidad funciones algebraicas. Anteriormente, se demostró que las derivadas de funciones algebraicas son funciones algebraicas y que las derivadas de funciones trigonométricas son funciones trigonométricas. Aquí, por primera vez, vemos que la derivada de una función no tiene por qué ser del mismo tipo que la función original.

Ejemplo 3.63

Derivada de la función seno inversa

Utilice el teorema de la función inversa para calcular la derivada de g(x)=sen−1x.g(x)=sen−1x.

Análisis

Para ver que cos(sen−1x)=1−x2 ,cos(sen−1x)=1−x2 , considere el siguiente argumento. Establezca sen−1x=θ.sen−1x=θ. En este caso, senθ=xsenθ=x donde −π2 ≤θ≤π2 .−π2 ≤θ≤π2 . Comenzamos considerando el caso en el que 0<θ<π2 .0<θ<π2 . Dado que θθ es un ángulo agudo, podemos construir un triángulo rectángulo que tenga un ángulo agudo θ,θ, una hipotenusa de longitud 11 y el lado opuesto al ángulo θθ que tiene una longitud x.x. A partir del teorema de Pitágoras, el lado adyacente al ángulo θθ tiene longitud 1−x2 .1−x2 . Este triángulo se muestra en la Figura 3.29. Utilizando el triángulo, vemos que cos(sen−1x)=cosθ=1−x2 .cos(sen−1x)=cosθ=1−x2 .

Triángulo rectángulo con ángulo θ, lado opuesto x, hipotenusa 1 y lado adyacente igual a la raíz cuadrada de la cantidad (1 - x2).
Figura 3.29 Utilizando un triángulo rectángulo con ángulo agudo θ,θ, una hipotenusa de longitud 1,1, y el lado opuesto al ángulo θθ que tiene una longitud x,x, podemos ver que cos(sen−1x)=cosθ=1−x2 .cos(sen−1x)=cosθ=1−x2 .

En caso de que −π2 <θ<0,−π2 <θ<0, hacemos la observación de que 0<−θ<π2 0<−θ<π2 y por lo tanto

cos(sen−1x)=cosθ=cos(−θ)=1−x2 .cos(sen−1x)=cosθ=cos(−θ)=1−x2 .

Ahora bien, si θ=π2 θ=π2 o θ=−π2 ,x=1θ=−π2 ,x=1 o x=−1,x=−1, y como en cualquier caso cosθ=0cosθ=0 y 1−x2 =0,1−x2 =0, tenemos

cos(sen−1x)=cosθ=1−x2 .cos(sen−1x)=cosθ=1−x2 .

Por último, si θ=0θ=0, x=0x=0 y cosθ=1–0=1cosθ=1–0=1.

En consecuencia, en todos los casos, cos(sen−1x)=1−x2 .cos(sen−1x)=1−x2 .

Ejemplo 3.64

Aplicación de la regla de la cadena a la función seno inversa

Aplique la regla de la cadena a la fórmula derivada en el Ejemplo 3.61 para hallar la derivada de h(x)=sen−1(g(x))h(x)=sen−1(g(x)) y utilizar este resultado para hallar la derivada de h(x)=sen−1(2 x3).h(x)=sen−1(2 x3).

Punto de control 3.45

Utilice el teorema de la función inversa para calcular la derivada de g(x)=tan−1x.g(x)=tan−1x.

Las derivadas de las funciones trigonométricas inversas restantes también se pueden hallar utilizando el teorema de la función inversa. Estas fórmulas se proporcionan en el siguiente teorema.

Teorema 3.13

Derivadas de funciones trigonométricas inversas

ddxsen−1x=11−(x)2 ddxsen−1x=11−(x)2
(3.22)
ddxcos−1x=−11−(x)2 ddxcos−1x=−11−(x)2
(3.23)
ddxtan−1x=11+(x)2 ddxtan−1x=11+(x)2
(3.24)
ddxcot−1x=−11+(x)2 ddxcot−1x=−11+(x)2
(3.25)
ddxsec−1x=1|x|(x)2 –1ddxsec−1x=1|x|(x)2 –1
(3.26)
ddxcsc−1x=−1|x|(x)2 –1ddxcsc−1x=−1|x|(x)2 –1
(3.27)

Ejemplo 3.65

Aplicación de fórmulas de diferenciación a una función tangente inversa

Calcule la derivada de f(x)=tan–1(x2 ).f(x)=tan–1(x2 ).

Ejemplo 3.66

Aplicación de fórmulas de diferenciación a una función seno inversa

Calcule la derivada de h(x)=x2 sen−1x.h(x)=x2 sen−1x.

Punto de control 3.46

Calcule la derivada de h(x)=cos−1(3x–1).h(x)=cos−1(3x–1).

Ejemplo 3.67

Aplicación de la función tangente inversa

La posición de una partícula en el tiempo tt viene dada por s(t)=tan–1(1t)s(t)=tan–1(1t) por t≥12 .t≥12 . Halle la velocidad de la partícula en el tiempo t=1.t=1.

Punto de control 3.47

Halle la ecuación de la línea tangente al gráfico de f(x)=sen−1xf(x)=sen−1x en x=0.x=0.

Sección 3.7 ejercicios

En los siguientes ejercicios, utilice el gráfico de y=f(x)y=f(x) a

  1. dibuje el gráfico de y=f−1(x),y=f−1(x), y
  2. utilice la parte a. para estimar (f−1)′(1).(f−1)′(1).
260.
Línea recta que pasa por (0, –3) y (3, 3).
261.
Línea curva que comienza en (-2, 0) y pasa por (-1, 1) y (2, 2).
262.
Línea curva que comienza en (4, 0) y pasa por (0, 1) y (-1, 4).
263.
Un cuarto de círculo que empieza en (0, 4) y termina en (4, 0).

En los siguientes ejercicios, utilice las funciones y=f(x)y=f(x) para hallar

  1. dfdxdfdx en x=ax=a y
  2. x=f−1(y).x=f−1(y).
  3. A continuación, utilice la parte b. para hallar df−1dydf−1dy a las y=f(a).y=f(a).
264.

f ( x ) = 6 x – 1 , x = –2 f ( x ) = 6 x – 1 , x = –2

265.

f ( x ) = 2 x 3 − 3 , x = 1 f ( x ) = 2 x 3 − 3 , x = 1

266.

f ( x ) = 9 − x 2 , 0 ≤ x ≤ 3 , x = 2 f ( x ) = 9 − x 2 , 0 ≤ x ≤ 3 , x = 2

267.

f ( x ) = sen x , x = 0 f ( x ) = sen x , x = 0

En cada una de las siguientes funciones, halle (f−1)′(a).(f−1)′(a).

268.

f ( x ) = x 2 + 3 x + 2 , x ≥ – 3 2 , a = 2 f ( x ) = x 2 + 3 x + 2 , x ≥ – 3 2 , a = 2

269.

f ( x ) = x 3 + 2 x + 3 , a = 0 f ( x ) = x 3 + 2 x + 3 , a = 0

270.

f ( x ) = x + x , a = 2 f ( x ) = x + x , a = 2

271.

f ( x ) = x − 2 x , x < 0 , a = 1 f ( x ) = x − 2 x , x < 0 , a = 1

272.

f ( x ) = x + sen x , a = 0 f ( x ) = x + sen x , a = 0

273.

f ( x ) = tan x + 3 x 2 , a = 0 f ( x ) = tan x + 3 x 2 , a = 0

Para cada una de las funciones dadas y=f(x),y=f(x),

  1. Halle la pendiente de la línea tangente a su función inversa f−1f−1 en el punto indicado P,P, y
  2. halle la ecuación de la línea tangente al gráfico de f−1f−1 en el punto indicado.
274.

f(x)=41+x2 ,P(2 ,1)f(x)=41+x2 ,P(2 ,1) grandes.

275.

f ( x ) = x − 4 , P ( 2 , 8 ) f ( x ) = x − 4 , P ( 2 , 8 )

276.

f(x)=(x3+1)4,P(16,1)f(x)=(x3+1)4,P(16,1) grandes.

277.

f ( x ) = − x 3 − x + 2 , P ( –8 , 2 ) f ( x ) = − x 3 − x + 2 , P ( –8 , 2 )

278.

f ( x ) = x 5 + 3 x 3 − 4 x − 8 , P ( –8 , 1 ) f ( x ) = x 5 + 3 x 3 − 4 x − 8 , P ( –8 , 1 )

En los siguientes ejercicios, calcule dydxdydx para la función dada.

279.

y=sen−1(x2 )y=sen−1(x2 ) grandes.

280.

y=cos−1(x)y=cos−1(x) grandes.

281.

y=sec−1(1x)y=sec−1(1x) grandes.

282.

y = csc −1 x y = csc −1 x

283.

y = ( 1 + tan −1 x ) 3 y = ( 1 + tan −1 x ) 3

284.

y=cos−1(2 x).sen−1(2 x)y=cos−1(2 x).sen−1(2 x) grandes.

285.

y=1tan–1(x)y=1tan–1(x) grandes.

286.

y=sec−1(−x)y=sec−1(−x) grandes.

287.

y = cot −1 4 − x 2 y = cot −1 4 − x 2

288.

y = x . csc −1 x y = x . csc −1 x

En los siguientes ejercicios, utilice los valores dados para hallar (f−1)′(a).(f−1)′(a).

289.

f ( π ) = 0 , f ′ ( π ) = −1 , a = 0 f ( π ) = 0 , f ′ ( π ) = −1 , a = 0

290.

f ( 6 ) = 2 , f ′ ( 6 ) = 1 3 , a = 2 f ( 6 ) = 2 , f ′ ( 6 ) = 1 3 , a = 2

291.

f ( 1 3 ) = –8 , f ′ ( 1 3 ) = 2 , a = −8 f ( 1 3 ) = –8 , f ′ ( 1 3 ) = 2 , a = −8

292.

f ( 3 ) = 1 2 , f ′ ( 3 ) = 2 3 , a = 1 2 f ( 3 ) = 1 2 , f ′ ( 3 ) = 2 3 , a = 1 2

293.

f ( 1 ) = −3 , f ′ ( 1 ) = 10 , a = −3 f ( 1 ) = −3 , f ′ ( 1 ) = 10 , a = −3

294.

f ( 1 ) = 0 , f ′ ( 1 ) = –2 , a = 0 f ( 1 ) = 0 , f ′ ( 1 ) = –2 , a = 0

295.

[T] La posición de un disco de hockey en movimiento después de tt segundos es s(t)=tan−1ts(t)=tan−1t donde ss está en metros.

  1. Halle la velocidad del disco de hockey en cualquier tiempo t.t.
  2. Halle la aceleración del disco en cualquier tiempo t.t.
  3. Evaluar a. y b. para t=2 ,4,t=2 ,4, y 66 segundos.
  4. ¿Qué conclusión se obtiene de los resultados de c.?
296.

[T] Un edificio de 225 ft de altura proyecta una sombra de varias longitudes xx a medida que pasa el día. El ángulo de elevación θθ está formado por líneas que van desde la parte superior e inferior del edificio hasta la punta de la sombra, como se ve en la siguiente figura. Halle la tasa de cambio del ángulo de elevación dθdxdθdx cuando x=272x=272 pies.

Se muestra un edificio con una altura de 225 ft. Se forma un triángulo con la altura del edificio como lado opuesto al ángulo θ. El lado adyacente tiene una longitud x.
297.

[T] Un poste tiene 75 ft de altura. Un ángulo θθ se forma cuando los cables de varias longitudes de xx ft se fijan desde el suelo hasta la parte superior del poste, como se muestra en la siguiente figura. Halle la tasa de cambio del ángulo dθdxdθdx cuando se conecta un cable de 90 ft de longitud.

Se muestra un asta de bandera con una altura de 75 ft. Se hace un triángulo con la altura del asta como lado opuesto al ángulo θ. La hipotenusa tiene una longitud x.
298.

[T] Una cámara de televisión a nivel del suelo se halla a 2.000 ft de distancia de la plataforma de lanzamiento de un cohete espacial preparado para despegar verticalmente, como se ve en la siguiente figura. El ángulo de elevación de la cámara se halla mediante θ=tan–1(x2000),θ=tan–1(x2000), donde xx es la altura del cohete. Halle la tasa de cambio del ángulo de elevación después del lanzamiento cuando la cámara y el cohete están a 5.000 pies de distancia.

Se muestra un cohete en el aire siendo x la distancia de su nariz al suelo. Se forma un triángulo con la altura del cohete como lado opuesto al ángulo θ. El lado adyacente tiene una longitud de 2.000.
299.

[T] Un cine local con una pantalla de 30 ft de altura que está a 10 ft por encima del nivel de los ojos de una persona sentada tiene un ángulo de visión θθ (en radianes) dado por θ=cot−1x40−cot−1x10,θ=cot−1x40−cot−1x10,

donde xx es la distancia en ft de la pantalla de cine a la que está sentada la persona, como se muestra en la siguiente figura.

Se muestra una persona con un triángulo rectángulo que sale de su ojo (el ángulo recto está en el lado opuesto al ojo), con altura de 10 y base x. Hay una línea trazada desde el ojo hasta la parte superior de la pantalla, que forma un ángulo θ con la hipotenusa del triángulo. La pantalla tiene una altura de 30.
  1. Halle dθdx.dθdx.
  2. Evalúe dθdxdθdx para x=5,10,15,x=5,10,15, y 20.
  3. Interprete los resultados en b.
  4. Evalúe dθdxdθdx para x=25,30,35,x=25,30,35, y 40
  5. Interprete los resultados en d. ¿A qué distancia xx debe sentarse la persona para maximizar su ángulo de visión?
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