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Cálculo volumen 1

3.8 Diferenciación implícita

Cálculo volumen 13.8 Diferenciación implícita

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Índice
  1. Prefacio
  2. 1 Funciones y gráficos
    1. Introducción
    2. 1.1 Repaso de las funciones
    3. 1.2 Clases básicas de funciones
    4. 1.3 Funciones trigonométricas
    5. 1.4 Funciones inversas
    6. 1.5 Funciones exponenciales y logarítmicas
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  3. 2 Límites
    1. Introducción
    2. 2.1 Un repaso previo del cálculo
    3. 2.2 El límite de una función
    4. 2.3 Las leyes de los límites
    5. 2.4 Continuidad
    6. 2.5 La definición precisa de un límite
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  4. 3 Derivadas
    1. Introducción
    2. 3.1 Definir la derivada
    3. 3.2 La derivada como función
    4. 3.3 Reglas de diferenciación
    5. 3.4 Las derivadas como tasas de cambio
    6. 3.5 Derivadas de funciones trigonométricas
    7. 3.6 La regla de la cadena
    8. 3.7 Derivadas de funciones inversas
    9. 3.8 Diferenciación implícita
    10. 3.9 Derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas
    11. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  5. 4 Aplicaciones de las derivadas
    1. Introducción
    2. 4.1 Tasas relacionadas
    3. 4.2 Aproximaciones lineales y diferenciales
    4. 4.3 Máximos y mínimos
    5. 4.4 El teorema del valor medio
    6. 4.5 Las derivadas y la forma de un gráfico
    7. 4.6 Límites al infinito y asíntotas
    8. 4.7 Problemas de optimización aplicados
    9. 4.8 La regla de L'Hôpital
    10. 4.9 Método de Newton
    11. 4.10 Antiderivadas
    12. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  6. 5 Integración
    1. Introducción
    2. 5.1 Aproximación de áreas
    3. 5.2 La integral definida
    4. 5.3 El teorema fundamental del cálculo
    5. 5.4 Fórmulas de integración y el teorema del cambio neto
    6. 5.5 Sustitución
    7. 5.6 Integrales con funciones exponenciales y logarítmicas
    8. 5.7 Integrales que resultan en funciones trigonométricas inversas
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  7. 6 Aplicaciones de la integración
    1. Introducción
    2. 6.1 Áreas entre curvas
    3. 6.2 Determinar los volúmenes mediante el corte
    4. 6.3 Volúmenes de revolución: capas cilíndricas
    5. 6.4 Longitud del arco de una curva y superficie
    6. 6.5 Aplicaciones físicas
    7. 6.6 Momentos y centros de masa
    8. 6.7 Integrales, funciones exponenciales y logaritmos
    9. 6.8 Crecimiento y decaimiento exponencial
    10. 6.9 Cálculo de las funciones hiperbólicas
    11. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  8. A Tabla de integrales
  9. B Tabla de derivadas
  10. C Repaso de Precálculo
  11. Clave de respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
  12. Índice

Objetivos de aprendizaje

  • 3.8.1 Encontrar la derivada de una función complicada utilizando la diferenciación implícita.
  • 3.8.2 Usar la diferenciación implícita para determinar la ecuación de una línea tangente.

Ya estudiamos cómo encontrar las ecuaciones de las rectas tangentes a las funciones y la tasa de cambio de una función en un punto concreto. En todos estos casos tuvimos la ecuación explícita de la función y diferenciamos estas funciones explícitamente. Supongamos, en cambio, que queremos determinar la ecuación de una línea tangente a una curva arbitraria o la tasa de cambio de una curva arbitraria en un punto. En esta sección, resolveremos estos problemas encontrando las derivadas de las funciones que definen yy implícitamente en términos de x.x.

Diferenciación implícita

En la mayoría de las discusiones de matemáticas, si la variable dependiente yy es una función de la variable independiente x,x, expresamos y en términos de x.x. Si este es el caso, decimos que yy es una función explícita de x.x. Por ejemplo, cuando escribimos la ecuación y=x2 +1,y=x2 +1, estamos definiendo y explícitamente en términos de x.x. Por otro lado, si la relación entre la función yy y la variable xx se expresa mediante una ecuación en la que yy no se expresa completamente en términos de x,x, decimos que la ecuación define y implícitamente en términos de x.x. Por ejemplo, la ecuación yx2 =1yx2 =1 define la función y=x2 +1y=x2 +1 implícitamente.

La diferenciación implícita nos permite encontrar las pendientes de las tangentes a curvas que claramente no son funciones (ya que no pasan la prueba de la línea vertical). Estamos utilizando la idea de que partes de yy son funciones que satisfacen la ecuación dada, pero que yy no es en realidad una función de x.x.

En general, una ecuación define una función implícitamente si la función satisface esa ecuación. Una ecuación puede definir muchas funciones diferentes de forma implícita. Por ejemplo, las funciones

y=25x2 y=25x2 y y={25x2 si5<x<025x2 si0<x<25,y={25x2 si5<x<025x2 si0<x<25, que se ilustran en la Figura 3.30, son solo tres de las muchas funciones definidas implícitamente por la ecuación x2 +y2 =25.x2 +y2 =25.

El círculo con radio 5 y centro en el origen se grafica completamente en una imagen. Entonces, solo se grafican sus segmentos en los cuadrantes I y II. Luego, solo se grafican sus segmentos en los cuadrantes III y IV. Por último, solo se grafican sus segmentos en los cuadrantes II y IV.
Figura 3.30 La ecuación x 2 + y 2 = 25 x 2 + y 2 = 25 define muchas funciones de forma implícita.

Si queremos encontrar la pendiente de la línea tangente al gráfico de x2 +y2 =25x2 +y2 =25 en el punto (3,4),(3,4), podríamos evaluar la derivada de la función y=25x2 y=25x2 en x=3.x=3. Por otro lado, si queremos la pendiente de la línea tangente en el punto (3,–4),(3,–4), podríamos utilizar la derivada de y=25x2 .y=25x2 . Sin embargo, no siempre es fácil resolver una función definida implícitamente por una ecuación. Afortunadamente, la técnica de la diferenciación implícita nos permite encontrar la derivada de una función definida implícitamente sin tener que resolverla explícitamente. El proceso de encontrar dydxdydx utilizando la diferenciación implícita se describe en la siguiente estrategia de resolución de problemas.

Estrategia de resolución de problemas

Estrategia para la resolución de problemas: Diferenciación implícita

Para realizar la diferenciación implícita en una ecuación que define una función yy implícitamente en términos de una variable x,x, utilice los siguientes pasos:

  1. Tome la derivada de ambos lados de la ecuación. Tenga en cuenta que y es una función de x. Por lo tanto, mientras que ddx(senx)=cosx,ddx(seny)=cosydydxddx(senx)=cosx,ddx(seny)=cosydydx porque debemos utilizar la regla de la cadena para diferenciar senyseny con respecto a x.x.
  2. Reescriba la ecuación de manera que todos los términos que contengan dydxdydx estén a la izquierda y todos los términos que no contengan dydxdydx estén a la derecha.
  3. Factorice dydxdydx a la izquierda.
  4. Resuelva para dydxdydx dividiendo ambos lados de la ecuación por una expresión algebraica adecuada.

Ejemplo 3.68

Uso de la diferenciación implícita

Suponiendo que yy se define implícitamente por la ecuación x2 +y2 =25,x2 +y2 =25, calcule dydx.dydx.

Análisis

Note que la expresión resultante para dydxdydx está en términos tanto de la variable independiente xx como de la variable dependiente y.y. Aunque en algunos casos es posible expresar dydxdydx en términos de xx solamente, generalmente no es posible hacerlo.

Ejemplo 3.69

Uso de la diferenciación implícita y la regla del producto

Suponiendo que yy se define implícitamente por la ecuación x3seny+y=4x+3,x3seny+y=4x+3, calcule dydx.dydx.

Ejemplo 3.70

Uso de la diferenciación implícita para encontrar una segunda derivada

Halle d2 ydx2 d2 ydx2 si x2 +y2 =25.x2 +y2 =25.

Punto de control 3.48

Halle dydxdydx por yy definida implícitamente por la ecuación 4x5+tany=y2 +5x.4x5+tany=y2 +5x.

Encontrar líneas tangentes de forma implícita

Ya vimos la técnica de la diferenciación implícita y ahora podemos aplicarla al problema de encontrar ecuaciones de rectas tangentes a curvas descritas por ecuaciones.

Ejemplo 3.71

Encontrar una línea tangente a un círculo

Halle la ecuación de la línea tangente a la curva x2 +y2 =25x2 +y2 =25 en el punto (3,–4).(3,–4).

Ejemplo 3.72

Hallar la ecuación de la línea tangente a una curva

Halle la ecuación de la línea tangente al gráfico de y3+x33xy=0y3+x33xy=0 en el punto (32 ,32 )(32 ,32 ) (Figura 3.32). Esta curva se conoce como el folium (u hoja) de Descartes.

Se muestra un folio, que es una línea que crea un bucle que se cruza sobre sí mismo. En este gráfico, se cruza sobre sí mismo en (0, 0). Se muestra su línea tangente desde (3/2, 3/2).
Figura 3.32 Halle la línea tangente al folium de Descartes en ( 3 2 , 3 2 ) . ( 3 2 , 3 2 ) .

Ejemplo 3.73

Aplicación de la diferenciación implícita

En un videojuego sencillo, un cohete viaja en una órbita elíptica cuya trayectoria se describe a través de la ecuación 4x2 +25y2 =100.4x2 +25y2 =100. El cohete puede disparar misiles a lo largo de líneas tangentes a su trayectoria. El objetivo del juego es destruir un asteroide que se desplaza por el eje x positivo hacia (0,0).(0,0). Si el cohete dispara un misil cuando se encuentra en (3,85),(3,85), ¿dónde intersecará el eje x?

Punto de control 3.49

Halle la ecuación de la línea tangente a la hipérbola x2 y2 =16x2 y2 =16 en el punto (5,3).(5,3).

Sección 3.8 ejercicios

En los siguientes ejercicios, utilice la diferenciación implícita para hallar dydx.dydx.

300.

x 2 y 2 = 4 x 2 y 2 = 4

301.

6 x 2 + 3 y 2 = 12 6 x 2 + 3 y 2 = 12

302.

x 2 y = y 7 x 2 y = y 7

303.

3 x 3 + 9 x y 2 = 5 x 3 3 x 3 + 9 x y 2 = 5 x 3

304.

x y cos ( x y ) = 1 x y cos ( x y ) = 1

305.

y x + 4 = x y + 8 y x + 4 = x y + 8

306.

x y 2 = x 7 x y 2 = x 7

307.

y sen ( x y ) = y 2 + 2 y sen ( x y ) = y 2 + 2

308.

( x y ) 2 + 3 x = y 2 ( x y ) 2 + 3 x = y 2

309.

x 3 y + x y 3 = −8 x 3 y + x y 3 = −8

En los siguientes ejercicios, halle la ecuación de la línea tangente al gráfico de la ecuación dada en el punto indicado. Utilice una calculadora o un programa de computadora para representar gráficamente la función y la línea tangente.

310.

[T] x4yxy3=–2,(–1,–1)x4yxy3=–2,(–1,–1)

311.

[T] x2 y2 +5xy=14,(2 ,1)x2 y2 +5xy=14,(2 ,1)

312.

[T] tan(xy)=y,(π4,1)tan(xy)=y,(π4,1)

313.

[T] xy2 +sen(πy)2 x2 =10,(2 ,−3)xy2 +sen(πy)2 x2 =10,(2 ,−3)

314.

[T] xy+5x7=34y,(1,2 )xy+5x7=34y,(1,2 )

315.

[T] xy+sen(x)=1,(π2 ,0)xy+sen(x)=1,(π2 ,0)

316.

[T] El gráfico de un folium de Descartes con ecuación 2 x3+2 y39xy=02 x3+2 y39xy=0 se muestra en el siguiente gráfico.

Se grafica un folio que tiene la ecuación 2x3 + 2y3 - 9xy = 0. Se interseca a sí mismo en (0, 0).
  1. Halle la ecuación de la línea tangente en el punto (2 ,1).(2 ,1). Grafique la línea tangente junto con el folio.
  2. Halle la ecuación de la línea normal a la línea tangente en a. en el punto (2 ,1).(2 ,1).
317.

Para la ecuación x2 +2 xy3y2 =0,x2 +2 xy3y2 =0,

  1. Halle la ecuación de la línea normal a la línea tangente en el punto (1,1).(1,1).
  2. ¿En qué otro punto la línea normal en a. interseca el gráfico de la ecuación?
318.

Halle todos los puntos del gráfico de y327y=x2 90y327y=x2 90 en la que la línea tangente es vertical.

319.

Para la ecuación x2 +xy+y2 =7,x2 +xy+y2 =7,

  1. Calcule la(s) intersección(es) en xx.
  2. Halle la pendiente de la(s) línea(s) tangente(s) en la(s) intersección(es) x.
  3. ¿Qué indican los valores de b. sobre la(s) línea(s) tangente(s)?
320.

Halle la ecuación de la línea tangente al gráfico de la ecuación sen−1x+sen−1y=π6sen−1x+sen−1y=π6 en el punto (0,12 ).(0,12 ).

321.

Halle la ecuación de la línea tangente al gráfico de la ecuación tan–1(x+y)=x2 +π4tan–1(x+y)=x2 +π4 en el punto (0,1).(0,1).

322.

Halle el valor yy y yy por x2 +6xy2 y2 =3.x2 +6xy2 y2 =3.

323.

[T] El número de teléfonos móviles producidos cuando xx dólares en mano de obra y se invierten yy dólares en capital por un fabricante se puede modelar mediante la ecuación 60x3/4y1/4=3.240.60x3/4y1/4=3.240.

  1. Halle dydxdydx y evalúe en el punto (81,16).(81,16).
  2. Interprete el resultado de un
324.

[T] El número de automóviles producidos cuando xx dólares en mano de obra y se invierten yy dólares en capital por un fabricante se puede modelar mediante la ecuación 30x1/3y2 /3=360.30x1/3y2 /3=360.

(Ambas xx como yy se miden en miles de dólares).

  1. Halle dydxdydx y evalúe en el punto (27,8).(27,8).
  2. Interprete el resultado de un
325.

El volumen de un cono circular recto de radio xx y altura yy viene dado por V=13πx2 y.V=13πx2 y. Supongamos que el volumen del cono es una constante. Halle dydxdydx cuando x=4x=4 en tanto que y=16.y=16.

En los siguientes ejercicios, considere una caja rectangular cerrada con una base cuadrada de lado xx y altura y.y.

326.

Halle una ecuación para el área superficial de la caja rectangular, S(x,y).S(x,y).

327.

Si el área superficial de la caja rectangular es de 78 pies cuadrados, halle dydxdydx cuando x=3x=3 ft y y=5y=5 pies.

En los siguientes ejercicios, utilice la diferenciación implícita para determinar y.y. ¿Coincide la respuesta con las fórmulas que determinamos previamente?

328.

x = sen y x = sen y

329.

x = cos y x = cos y

330.

x = tan y x = tan y

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