Gilbert Strang; Edwin “Jed” Herman

3.8 Diferenciación implícita

Objetivos de aprendizaje

3.8.1 Encontrar la derivada de una función complicada utilizando la diferenciación implícita.
3.8.2 Usar la diferenciación implícita para determinar la ecuación de una línea tangente.

Ya estudiamos cómo encontrar las ecuaciones de las rectas tangentes a las funciones y la tasa de cambio de una función en un punto concreto. En todos estos casos tuvimos la ecuación explícita de la función y diferenciamos estas funciones explícitamente. Supongamos, en cambio, que queremos determinar la ecuación de una línea tangente a una curva arbitraria o la tasa de cambio de una curva arbitraria en un punto. En esta sección, resolveremos estos problemas encontrando las derivadas de las funciones que definen $y$ implícitamente en términos de $x .$

Diferenciación implícita

En la mayoría de las discusiones de matemáticas, si la variable dependiente $y$ es una función de la variable independiente $x,$ expresamos y en términos de $x .$ Si este es el caso, decimos que $y$ es una función explícita de $x .$ Por ejemplo, cuando escribimos la ecuación $y = x^{2} + 1,$ estamos definiendo y explícitamente en términos de $x .$ Por otro lado, si la relación entre la función $y$ y la variable $x$ se expresa mediante una ecuación en la que $y$ no se expresa completamente en términos de $x,$ decimos que la ecuación define y implícitamente en términos de $x .$ Por ejemplo, la ecuación $y - x^{2} = 1$ define la función $y = x^{2} + 1$ implícitamente.

La diferenciación implícita nos permite encontrar las pendientes de las tangentes a curvas que claramente no son funciones (ya que no pasan la prueba de la línea vertical). Estamos utilizando la idea de que partes de $y$ son funciones que satisfacen la ecuación dada, pero que $y$ no es en realidad una función de $x .$

En general, una ecuación define una función implícitamente si la función satisface esa ecuación. Una ecuación puede definir muchas funciones diferentes de forma implícita. Por ejemplo, las funciones

$y = \sqrt{25 - x^{2}}$ y $y = {\begin{matrix} \sqrt{25 - x^{2}} si - 5 < x < 0 \\ − \sqrt{25 - x^{2}} si 0 < x < 25 \end{matrix},$ que se ilustran en la Figura 3.30, son solo tres de las muchas funciones definidas implícitamente por la ecuación $x^{2} + y^{2} = 25 .$

El círculo con radio 5 y centro en el origen se grafica completamente en una imagen. Entonces, solo se grafican sus segmentos en los cuadrantes I y II. Luego, solo se grafican sus segmentos en los cuadrantes III y IV. Por último, solo se grafican sus segmentos en los cuadrantes II y IV. — Figura 3.30 La ecuación $x^{2} + y^{2} = 25$ define muchas funciones de forma implícita.

Si queremos encontrar la pendiente de la línea tangente al gráfico de $x^{2} + y^{2} = 25$ en el punto $(3, 4),$ podríamos evaluar la derivada de la función $y = \sqrt{25 - x^{2}}$ en $x = 3 .$ Por otro lado, si queremos la pendiente de la línea tangente en el punto $(3, –4),$ podríamos utilizar la derivada de $y = − \sqrt{25 - x^{2}} .$ Sin embargo, no siempre es fácil resolver una función definida implícitamente por una ecuación. Afortunadamente, la técnica de la diferenciación implícita nos permite encontrar la derivada de una función definida implícitamente sin tener que resolverla explícitamente. El proceso de encontrar $\frac{d y}{d x}$ utilizando la diferenciación implícita se describe en la siguiente estrategia de resolución de problemas.

Estrategia de resolución de problemas

Estrategia para la resolución de problemas: Diferenciación implícita

Para realizar la diferenciación implícita en una ecuación que define una función $y$ implícitamente en términos de una variable $x,$ utilice los siguientes pasos:

Tome la derivada de ambos lados de la ecuación. Tenga en cuenta que y es una función de x. Por lo tanto, mientras que $\frac{d}{d x} (sen x) = cos x, \frac{d}{d x} (sen y) = cos y \frac{d y}{d x}$ porque debemos utilizar la regla de la cadena para diferenciar $sen y$ con respecto a $x .$
Reescriba la ecuación de manera que todos los términos que contengan $\frac{d y}{d x}$ estén a la izquierda y todos los términos que no contengan $\frac{d y}{d x}$ estén a la derecha.
Factorice $\frac{d y}{d x}$ a la izquierda.
Resuelva para $\frac{d y}{d x}$ dividiendo ambos lados de la ecuación por una expresión algebraica adecuada.

Ejemplo 3.68

Uso de la diferenciación implícita

Suponiendo que $y$ se define implícitamente por la ecuación $x^{2} + y^{2} = 25,$ calcule $\frac{d y}{d x} .$

Solución

Siga los pasos de la estrategia de resolución de problemas.

\begin{matrix} \frac{d}{d x} (x^{2} + y^{2}) & = & \frac{d}{d x} (25) & Paso 1. Diferencie ambos lados de la ecuación. \\ \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (y^{2}) & = & 0 & \begin{matrix} Paso 1.1. Utilice la regla de la suma a la izquierda. \\ A la derecha \frac{d}{d x} (25) = 0 . \end{matrix} \\ 2 x + 2 y \frac{d y}{d x} & = & 0 & \begin{matrix} Paso 1.2. Tome las derivadas, así que \frac{d}{d x} (x^{2}) = 2 x \\ y \frac{d}{d x} (y^{2}) = 2 y \frac{d y}{d x} . \end{matrix} \\ 2 y \frac{d y}{d x} & = & –2 x & \begin{matrix} Paso 2. Mantenga los términos con \frac{d y}{d x} a la izquierda. \\ Mueva los términos restantes a la derecha. \end{matrix} \\ \frac{d y}{d x} & = & - \frac{x}{y} & \begin{matrix} Paso 4. Divida ambos lados de la ecuación por \\ 2 y . (El paso 3 no se aplica en este caso). \end{matrix} \end{matrix}

Análisis

Note que la expresión resultante para $\frac{d y}{d x}$ está en términos tanto de la variable independiente $x$ como de la variable dependiente $y .$ Aunque en algunos casos es posible expresar $\frac{d y}{d x}$ en términos de $x$ solamente, generalmente no es posible hacerlo.

Ejemplo 3.69

Uso de la diferenciación implícita y la regla del producto

Suponiendo que $y$ se define implícitamente por la ecuación $x^{3} sen y + y = 4 x + 3,$ calcule $\frac{d y}{d x} .$

Solución

\begin{matrix} \frac{d}{d x} (x^{3} sen y + y) & = & \frac{d}{d x} (4 x + 3) & Paso 1: Diferencie ambos lados de la ecuación. \\ \frac{d}{d x} (x^{3} sen y) + \frac{d}{d x} (y) & = & 4 & \begin{matrix} Paso 1.1: Aplique la regla de la suma a la izquierda. \\ A la derecha, \frac{d}{d x} (4 x + 3) = 4 . \end{matrix} \\ (\frac{d}{d x} (x^{3}) . sen y + \frac{d}{d x} (sen y) . x^{3}) + \frac{d y}{d x} & = & 4 & \begin{matrix} Paso 1.2: Utilice la regla del producto para hallar \\ \frac{d}{d x} (x^{3} sen y) . Observe que \frac{d}{d x} (y) = \frac{d y}{d x} . \end{matrix} \\ 3 x^{2} sen y + (cos y \frac{d y}{d x}) . x^{3} + \frac{d y}{d x} & = & 4 & \begin{matrix} Paso 1.3: Sabemos que \frac{d}{d x} (x^{3}) = 3 x^{2} . Utilice la \\ regla de la cadena para obtener \frac{d}{d x} (sen y) = cos y \frac{d y}{d x} . \end{matrix} \\ x^{3} cos y \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} & = & 4 - 3 x^{2} sen y & \begin{matrix} Paso 2: Conserve todos los términos que contengan \frac{d y}{d x} en \\ la izquierda. Mueva todos los demás términos a la derecha. \end{matrix} \\ \frac{d y}{d x} (x^{3} cos y + 1) & = & 4 - 3 x^{2} sen y & Paso 3: Saque el factor común \frac{d y}{d x} a la izquierda. \\ \frac{d y}{d x} & = & \frac{4 - 3 x^{2} sen y}{x^{3} cos y + 1} & \begin{matrix} Paso 4: Resuelva para \frac{d y}{d x} dividiendo ambos lados de \\ la ecuación por x^{3} cos y + 1 . \end{matrix} \end{matrix}

Ejemplo 3.70

Uso de la diferenciación implícita para encontrar una segunda derivada

Halle $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ si $x^{2} + y^{2} = 25 .$

Solución

En el Ejemplo 3.68, demostramos que $\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{y} .$ Podemos tomar la derivada de ambos lados de esta ecuación para encontrar $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} .$

\begin{matrix} \frac{d^{2} y}{d x^{2}} & = \frac{d}{d x} (- \frac{x}{y}) & Diferencie ambos lados de \frac{d y}{d x} = - \frac{x}{y} . \\ = - \frac{(1 . y - x \frac{d y}{d x})}{y^{2}} & Utilice la regla del cociente para encontrar \frac{d}{d y} (- \frac{x}{y}) . \\ = \frac{− y + x \frac{d y}{d x}}{y^{2}} & Simplifique. \\ = \frac{− y + x (- \frac{x}{y})}{y^{2}} & Sustituya \frac{d y}{d x} = - \frac{x}{y} . \\ = \frac{− y^{2} - x^{2}}{y^{3}} & Simplifique. \end{matrix}

En este punto encontramos una expresión para $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} .$ Si lo deseamos, podemos simplificar aún más la expresión recordando que $x^{2} + y^{2} = 25$ y haciendo esta sustitución en el numerador para obtener $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = - \frac{25}{y^{3}} .$

Punto de control 3.48

Halle $\frac{d y}{d x}$ por $y$ definida implícitamente por la ecuación $4 x^{5} + tan y = y^{2} + 5 x .$

Encontrar líneas tangentes de forma implícita

Ya vimos la técnica de la diferenciación implícita y ahora podemos aplicarla al problema de encontrar ecuaciones de rectas tangentes a curvas descritas por ecuaciones.

Ejemplo 3.71

Encontrar una línea tangente a un círculo

Halle la ecuación de la línea tangente a la curva $x^{2} + y^{2} = 25$ en el punto $(3, –4) .$

Solución

Aunque podríamos encontrar esta ecuación sin utilizar la diferenciación implícita, el uso de ese método lo facilita mucho. En el Ejemplo 3.68, encontramos $\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{y} .$

La pendiente de la línea tangente se encuentra sustituyendo $(3, –4)$ en esta expresión. En consecuencia, la pendiente de la línea tangente es $\frac{d y}{d x} | \begin{array}{l} _{(3, –4)} \end{array} = - \frac{3}{−4} = \frac{3}{4} .$

Utilizando el punto $(3, –4)$ y la pendiente $\frac{3}{4}$ en la ecuación punto-pendiente de la línea, obtenemos la ecuación $y = \frac{3}{4} x - \frac{25}{4}$ (Figura 3.31).

Se grafica el círculo de radio 5 y centro en el origen. Se traza una línea tangente que pasa por el punto (3, –4). — Figura 3.31 La línea $y = \frac{3}{4} x - \frac{25}{4}$ es tangente a $x^{2} + y^{2} = 25$ en el punto (3, -4).

Ejemplo 3.72

Hallar la ecuación de la línea tangente a una curva

Halle la ecuación de la línea tangente al gráfico de $y^{3} + x^{3} - 3 x y = 0$ en el punto $(\frac{3}{2}, \frac{3}{2})$ (Figura 3.32). Esta curva se conoce como el folium (u hoja) de Descartes.

Se muestra un folio, que es una línea que crea un bucle que se cruza sobre sí mismo. En este gráfico, se cruza sobre sí mismo en (0, 0). Se muestra su línea tangente desde (3/2, 3/2). — Figura 3.32 Halle la línea tangente al folium de Descartes en $(\frac{3}{2}, \frac{3}{2}) .$

Solución

Comience por calcular $\frac{d y}{d x} .$

\begin{matrix} \frac{d}{d x} (y^{3} + x^{3} - 3 x y) & = & \frac{d}{d x} (0) \\ 3 y^{2} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} - (3 y + \frac{d y}{d x} 3 x) & = & 0 \\ \frac{d y}{d x} & = & \frac{3 y - 3 x^{2}}{3 y^{2} - 3 x} . \end{matrix}

A continuación, sustituya $(\frac{3}{2}, \frac{3}{2})$ en $\frac{d y}{d x} = \frac{3 y - 3 x^{2}}{3 y^{2} - 3 x}$ para encontrar la pendiente de la línea tangente:

\frac{d y}{d x} | \begin{array}{l} _{(\frac{3}{2}, \frac{3}{2})} \end{array} = −1 .

Finalmente, sustituya en la ecuación punto-pendiente de la línea para obtener

y = − x + 3 .

Ejemplo 3.73

Aplicación de la diferenciación implícita

En un videojuego sencillo, un cohete viaja en una órbita elíptica cuya trayectoria se describe a través de la ecuación $4 x^{2} + 25 y^{2} = 100 .$ El cohete puede disparar misiles a lo largo de líneas tangentes a su trayectoria. El objetivo del juego es destruir un asteroide que se desplaza por el eje x positivo hacia $(0, 0) .$ Si el cohete dispara un misil cuando se encuentra en $(3, \frac{8}{5}),$ ¿dónde intersecará el eje x?

Solución

Para resolver este problema, debemos determinar dónde está la línea tangente al gráfico de

$4 x^{2} + 25 y^{2} = 100$ a las $(3, \frac{8}{5})$ se interseca el eje x. Comience por calcular $\frac{d y}{d x}$ implícitamente.

Diferenciando, tenemos

8 x + 50 y \frac{d y}{d x} = 0 .

Al resolver $\frac{d y}{d x},$ tenemos

\frac{d y}{d x} = - \frac{4 x}{25 y} .

La pendiente de la línea tangente es $\frac{d y}{d x} |_{(3, \frac{8}{5})} = - \frac{3}{10} .$ La ecuación de la línea tangente es $y = - \frac{3}{10} x + \frac{5}{2} .$ Para determinar el punto de intersección de la línea con el eje x, resuelva $0 = - \frac{3}{10} x + \frac{5}{2} .$ La solución es $x = \frac{25}{3} .$ El misil interseca el eje x en el punto $(\frac{25}{3}, 0) .$

Punto de control 3.49

Halle la ecuación de la línea tangente a la hipérbola $x^{2} - y^{2} = 16$ en el punto $(5, 3) .$

Sección 3.8 ejercicios

En los siguientes ejercicios, utilice la diferenciación implícita para hallar $\frac{d y}{d x} .$

300.

$x^{2} - y^{2} = 4$

301.

$6 x^{2} + 3 y^{2} = 12$

302.

$x^{2} y = y - 7$

303.

$3 x^{3} + 9 x y^{2} = 5 x^{3}$

304.

$x y - cos (x y) = 1$

305.

$y \sqrt{x + 4} = x y + 8$

306.

$− x y - 2 = \frac{x}{7}$

307.

$y sen (x y) = y^{2} + 2$

308.

${(x y)}^{2} + 3 x = y^{2}$

309.

$x^{3} y + x y^{3} = −8$

En los siguientes ejercicios, halle la ecuación de la línea tangente al gráfico de la ecuación dada en el punto indicado. Utilice una calculadora o un programa de computadora para representar gráficamente la función y la línea tangente.

310.

[T] $x^{4} y - x y^{3} = –2, (–1, –1)$

311.

[T] $x^{2} y^{2} + 5 x y = 14, (2, 1)$

312.

[T] $tan (x y) = y, (\frac{π}{4}, 1)$

313.

[T] $x y^{2} + sen (π y) - 2 x^{2} = 10, (2, −3)$

314.

[T] $\frac{x}{y} + 5 x - 7 = - \frac{3}{4} y, (1, 2)$

315.

[T] $x y + sen (x) = 1, (\frac{π}{2}, 0)$

316.

[T] El gráfico de un folium de Descartes con ecuación $2 x^{3} + 2 y^{3} - 9 x y = 0$ se muestra en el siguiente gráfico.

Halle la ecuación de la línea tangente en el punto $(2, 1) .$ Grafique la línea tangente junto con el folio.
Halle la ecuación de la línea normal a la línea tangente en a. en el punto $(2, 1) .$

317.

Para la ecuación $x^{2} + 2 x y - 3 y^{2} = 0,$

Halle la ecuación de la línea normal a la línea tangente en el punto $(1, 1) .$
¿En qué otro punto la línea normal en a. interseca el gráfico de la ecuación?

318.

Halle todos los puntos del gráfico de $y^{3} - 27 y = x^{2} - 90$ en la que la línea tangente es vertical.

319.

Para la ecuación $x^{2} + x y + y^{2} = 7,$

Calcule la(s) intersección(es) en $x$ .
Halle la pendiente de la(s) línea(s) tangente(s) en la(s) intersección(es) x.
¿Qué indican los valores de b. sobre la(s) línea(s) tangente(s)?

320.

Halle la ecuación de la línea tangente al gráfico de la ecuación ${sen}^{−1} x + {sen}^{−1} y = \frac{π}{6}$ en el punto $(0, \frac{1}{2}) .$

321.

Halle la ecuación de la línea tangente al gráfico de la ecuación ${tan}^{–1} (x + y) = x^{2} + \frac{π}{4}$ en el punto $(0, 1) .$

322.

Halle el valor $y^{'}$ y $y ″$ por $x^{2} + 6 x y - 2 y^{2} = 3 .$

323.

[T] El número de teléfonos móviles producidos cuando $x$ dólares en mano de obra y se invierten $y$ dólares en capital por un fabricante se puede modelar mediante la ecuación $60 x^{3 / 4} y^{1 / 4} = 3.240 .$

Halle $\frac{d y}{d x}$ y evalúe en el punto $(81, 16) .$
Interprete el resultado de un

324.

[T] El número de automóviles producidos cuando $x$ dólares en mano de obra y se invierten $y$ dólares en capital por un fabricante se puede modelar mediante la ecuación $30 x^{1 / 3} y^{2 / 3} = 360 .$

(Ambas $x$ como $y$ se miden en miles de dólares).

Halle $\frac{d y}{d x}$ y evalúe en el punto $(27, 8) .$
Interprete el resultado de un

325.

El volumen de un cono circular recto de radio $x$ y altura $y$ viene dado por $V = \frac{1}{3} π x^{2} y .$ Supongamos que el volumen del cono es una constante. Halle $\frac{d y}{d x}$ cuando $x = 4$ en tanto que $y = 16 .$

En los siguientes ejercicios, considere una caja rectangular cerrada con una base cuadrada de lado $x$ y altura $y .$

326.

Halle una ecuación para el área superficial de la caja rectangular, $S (x, y) .$

327.

Si el área superficial de la caja rectangular es de 78 pies cuadrados, halle $\frac{d y}{d x}$ cuando $x = 3$ ft y $y = 5$ pies.

En los siguientes ejercicios, utilice la diferenciación implícita para determinar $y^{'} .$ ¿Coincide la respuesta con las fórmulas que determinamos previamente?

328.

$x = sen y$

329.

$x = cos y$

330.

$x = tan y$