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Cálculo volumen 1

3.9 Derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas

Cálculo volumen 13.9 Derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas

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Índice
  1. Prefacio
  2. 1 Funciones y gráficos
    1. Introducción
    2. 1.1 Repaso de las funciones
    3. 1.2 Clases básicas de funciones
    4. 1.3 Funciones trigonométricas
    5. 1.4 Funciones inversas
    6. 1.5 Funciones exponenciales y logarítmicas
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  3. 2 Límites
    1. Introducción
    2. 2.1 Un repaso previo del cálculo
    3. 2.2 El límite de una función
    4. 2.3 Las leyes de los límites
    5. 2.4 Continuidad
    6. 2.5 La definición precisa de un límite
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  4. 3 Derivadas
    1. Introducción
    2. 3.1 Definir la derivada
    3. 3.2 La derivada como función
    4. 3.3 Reglas de diferenciación
    5. 3.4 Las derivadas como tasas de cambio
    6. 3.5 Derivadas de funciones trigonométricas
    7. 3.6 La regla de la cadena
    8. 3.7 Derivadas de funciones inversas
    9. 3.8 Diferenciación implícita
    10. 3.9 Derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas
    11. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  5. 4 Aplicaciones de las derivadas
    1. Introducción
    2. 4.1 Tasas relacionadas
    3. 4.2 Aproximaciones lineales y diferenciales
    4. 4.3 Máximos y mínimos
    5. 4.4 El teorema del valor medio
    6. 4.5 Las derivadas y la forma de un gráfico
    7. 4.6 Límites al infinito y asíntotas
    8. 4.7 Problemas de optimización aplicados
    9. 4.8 La regla de L'Hôpital
    10. 4.9 Método de Newton
    11. 4.10 Antiderivadas
    12. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  6. 5 Integración
    1. Introducción
    2. 5.1 Aproximación de áreas
    3. 5.2 La integral definida
    4. 5.3 El teorema fundamental del cálculo
    5. 5.4 Fórmulas de integración y el teorema del cambio neto
    6. 5.5 Sustitución
    7. 5.6 Integrales con funciones exponenciales y logarítmicas
    8. 5.7 Integrales que resultan en funciones trigonométricas inversas
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  7. 6 Aplicaciones de la integración
    1. Introducción
    2. 6.1 Áreas entre curvas
    3. 6.2 Determinar los volúmenes mediante el corte
    4. 6.3 Volúmenes de revolución: capas cilíndricas
    5. 6.4 Longitud del arco de una curva y superficie
    6. 6.5 Aplicaciones físicas
    7. 6.6 Momentos y centros de masa
    8. 6.7 Integrales, funciones exponenciales y logaritmos
    9. 6.8 Crecimiento y decaimiento exponencial
    10. 6.9 Cálculo de las funciones hiperbólicas
    11. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  8. A Tabla de integrales
  9. B Tabla de derivadas
  10. C Repaso de Precálculo
  11. Clave de respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
  12. Índice

Objetivos de aprendizaje

  • 3.9.1 Calcular la derivada de las funciones exponenciales.
  • 3.9.2 Calcular la derivada de las funciones logarítmicas.
  • 3.9.3 Utilizar la diferenciación logarítmica para determinar la derivada de una función.

Hasta ahora, hemos aprendido a diferenciar una variedad de funciones, incluidas funciones trigonométricas, inversas e implícitas. En esta sección, exploramos las derivadas de las funciones exponenciales y logarítmicas. Como ya comentamos en Introducción a funciones y gráficos, las funciones exponenciales desempeñan un papel importante en el modelado del crecimiento de la población y el decaimiento de materiales radiactivos. Las funciones logarítmicas pueden ayudar a reescalar grandes cantidades y son especialmente útiles para reescribir expresiones complicadas.

Derivada de la función exponencial

Al igual que cuando encontramos las derivadas de otras funciones, podemos calcular las derivadas de las funciones exponenciales y logarítmicas utilizando fórmulas. A la hora de desarrollar estas fórmulas, tenemos que hacer ciertas suposiciones básicas. Las pruebas de que estos supuestos se mantienen están fuera del alcance de este curso.

En primer lugar, partimos de la base de que la función B(x)=bx,b>0,B(x)=bx,b>0, está definida para todo número real y es continua. En los cursos anteriores se definieron los valores de las funciones exponenciales para todos los números racionales, empezando por la definición de bn,bn, donde nn es un número entero positivo, como el producto de bb multiplicado por sí mismo nn veces. Más adelante, definimos b0=1,bn=1bn,b0=1,bn=1bn, para un número entero positivo n,n, y bs/t=(bt)sbs/t=(bt)s para números enteros positivos ss y t.t. Estas definiciones dejan abierta la cuestión del valor de brbr donde rr es un número real arbitrario. Asumiendo la continuidad de B(x)=bx,b>0,B(x)=bx,b>0, podemos interpretar brbr a medida que límxrbxlímxrbx donde los valores de xx a medida que tomamos el límite son racionales. Por ejemplo, podemos ver 4π4π como el número que satisface

43<4π<44,43,1<4π<43,2,43,14<4π<43,15,43,141<4π<43,142,43,1415<4π<43,1416,.43<4π<44,43,1<4π<43,2,43,14<4π<43,15,43,141<4π<43,142,43,1415<4π<43,1416,.

Como vemos en la siguiente tabla, 4π77,88.4π77,88.

xx 4x4x xx 4x4x
4343 64 43,14159343,141593 77,8802710486
43,143,1 73,5166947198 43,141643,1416 77,8810268071
43,1443,14 77,7084726013 43,14243,142 77,9242251944
43,14143,141 77,8162741237 43,1543,15 78,7932424541
43,141543,1415 77,8702309526 43,243,2 84,4485062895
43,1415943,14159 77,8799471543 4444 256
Tabla 3.6 Aproximación a un valor de 4 π 4 π

También suponemos que para B(x)=bx,b>0,B(x)=bx,b>0, el valor B(0)B(0) de la derivada existe. En esta sección, mostramos que haciendo esta suposición adicional, es posible demostrar que la función B(x)B(x) es diferenciable en todas partes.

Hacemos una última suposición: que existe un valor único de b>0b>0 para el cual B(0)=1.B(0)=1. Definimos ee para que sea este valor único, como hicimos en Introducción a funciones y gráficos. La Figura 3.33 proporciona gráficos de las funciones y=2 x,y=3x,y=2,7x,y=2 x,y=3x,y=2,7x, y y=2,8x.y=2,8x. Una estimación visual de las pendientes de las líneas tangentes a estas funciones en 0 proporciona evidencia de que el valor de e se encuentra entre 2,7 y 2,8. La función E(x)=exE(x)=ex se denomina función exponencial natural. Su inversa, L(x)=logex=lnxL(x)=logex=lnx se denomina función de logaritmo natural.

Se muestran los gráficos de 3x, 2,8x, 2,7x y 2x. En el cuadrante I, su orden de menor a mayor es 2x, 2,7x, 2,8x y 3x. En el cuadrante II, este orden se invierte. Todos cruzan el eje y en (0, 1).
Figura 3.33 El gráfico de E ( x ) = e x E ( x ) = e x está entre y = 2 x y = 2 x como y = 3 x . y = 3 x .

Para una mejor estimación de e,e, podemos construir una tabla de estimaciones de B(0)B(0) para funciones de la forma B(x)=bx.B(x)=bx. Antes de hacer esto, recuerde que

B(0)=límx0bxb0x0=límx0bx1xbx1xB(0)=límx0bxb0x0=límx0bx1xbx1x

para los valores de xx muy cerca de cero. Para nuestras estimaciones, elegimos x=0,00001x=0,00001 y x=−0,00001x=−0,00001 para obtener la estimación

b−0,000011−0,00001<B(0)<b0,0000110,00001.b−0,000011−0,00001<B(0)<b0,0000110,00001.

Consulte la siguiente tabla.

bb b−0,000011−0,00001<B(0)<b0,0000110,00001b−0,000011−0,00001<B(0)<b0,0000110,00001 bb b−0,000011−0,00001<B(0)<b0,0000110,00001b−0,000011−0,00001<B(0)<b0,0000110,00001
2 2 0,693145<B(0)<0,693150,693145<B(0)<0,69315 2,71832,7183 1,000002<B(0)<1,0000121,000002<B(0)<1,000012
2,72,7 0,993247<B(0)<0,9932570,993247<B(0)<0,993257 2,7192,719 1,000259<B(0)<1,0002691,000259<B(0)<1,000269
2,712,71 0,996944<B(0)<0,9969540,996944<B(0)<0,996954 2,722,72 1,000627<B(0)<1,0006371,000627<B(0)<1,000637
2,7182,718 0,999891<B(0)<0,9999010,999891<B(0)<0,999901 2,82,8 1,029614<B(0)<1,0296251,029614<B(0)<1,029625
2,71822,7182 0,999965<B(0)<0,9999750,999965<B(0)<0,999975 33 1,098606<B(0)<1,0986181,098606<B(0)<1,098618
Tabla 3.7 Estimación de un valor de e e

Los datos de la tabla sugieren que 2,7182<e<2,7183.2,7182<e<2,7183.

El gráfico de E(x)=exE(x)=ex junto con la línea y=x+1y=x+1 se muestran en la Figura 3.34. Esta línea es tangente al gráfico de E(x)=exE(x)=ex en x=0.x=0.

Gráfico de la función ex junto con su tangente en (0, 1), x + 1.
Figura 3.34 La línea tangente a E ( x ) = e x E ( x ) = e x en x = 0 x = 0 tiene pendiente 1.

Ahora que hemos expuesto nuestros supuestos básicos, comenzamos nuestra investigación explorando la derivada de B(x)=bx,b>0.B(x)=bx,b>0. Recordemos que hemos supuesto que B(0)B(0) existe. Aplicando la definición de límite a la derivada concluimos que

B(0)=límh0b0+hb0h=límh0bh1h.B(0)=límh0b0+hb0h=límh0bh1h.
(3.28)

En cuanto a B(x),B(x), obtenemos lo siguiente.

B(x)=límh0bx+hbxhAplique la definición de límite de la derivada.=límh0bxbhbxhTenga en cuenta quebx+h=bxbh.=límh0bx(bh1)hFactoricebx.=bxlímh0bh1hAplique una propiedad de límites.=bxB(0)UsoB(0)=límh0b0+hb0h=límh0bh1h.B(x)=límh0bx+hbxhAplique la definición de límite de la derivada.=límh0bxbhbxhTenga en cuenta quebx+h=bxbh.=límh0bx(bh1)hFactoricebx.=bxlímh0bh1hAplique una propiedad de límites.=bxB(0)UsoB(0)=límh0b0+hb0h=límh0bh1h.

Vemos que sobre la base de la suposición de que B(x)=bxB(x)=bx es diferenciable en 0,B(x)0,B(x) no solo es diferenciable en todas partes, sino que su derivada es

B(x)=bxB(0).B(x)=bxB(0).
(3.29)

Para E(x)=ex,E(0)=1.E(x)=ex,E(0)=1. Por lo tanto, tenemos E(x)=ex.E(x)=ex. (El valor de B(0)B(0) para una función arbitraria de la forma B(x)=bx,b>0,B(x)=bx,b>0, se derivará más adelante.

Teorema 3.14

Derivada de la función exponencial natural

Supongamos que E(x)=exE(x)=ex es la función exponencial natural. Entonces

E(x)=ex.E(x)=ex.

En general,

ddx(eg(x))=eg(x)g(x).ddx(eg(x))=eg(x)g(x).

Ejemplo 3.74

Derivada de una función exponencial

Calcule la derivada de f(x)=etan(2 x).f(x)=etan(2 x).

Ejemplo 3.75

Combinación de reglas de diferenciación

Calcule la derivada de y=ex2 x.y=ex2 x.

Punto de control 3.50

Calcule la derivada de h(x)=xe2 x.h(x)=xe2 x.

Ejemplo 3.76

Aplicación de la función exponencial natural

Una colonia de mosquitos tiene una población inicial de 1.000. Después de tt días, la población está dada por A(t)=1.000e0,3t.A(t)=1.000e0,3t. Demuestre que la relación de la tasa de cambio de la población, A(t),A(t), a la población, A(t)A(t) es constante.

Punto de control 3.51

Si los valores de A(t)=1.000e0,3tA(t)=1.000e0,3t describe la población de mosquitos después de tt días, como en el ejemplo anterior, ¿cuál es la tasa de cambio de A(t)A(t) después de 4 días?

Derivada de la función logarítmica

Ahora que tenemos la derivada de la función exponencial natural, podemos utilizar la diferenciación implícita para calcular la derivada de su inversa, la función de logaritmo natural.

Teorema 3.15

La derivada de la función de logaritmo natural

Si los valores de x>0x>0 y y=lnx,y=lnx, entonces

dydx=1x.dydx=1x.
(3.30)

De manera más general, supongamos que g(x)g(x) es una función diferenciable. Para todos los valores de xx para los cuales g(x)>0,g(x)>0, la derivada de h(x)=ln(g(x))h(x)=ln(g(x)) está dada por

h(x)=1g(x)g(x).h(x)=1g(x)g(x).
(3.31)

Prueba

Si los valores de x>0x>0 y y=lnx,y=lnx, entonces ey=x.ey=x. Diferenciando ambos lados de esta ecuación se obtiene la ecuación

eydydx=1.eydydx=1.

Al resolver dydxdydx se obtiene

dydx=1ey.dydx=1ey.

Por último, sustituimos x=eyx=ey para obtener

dydx=1x.dydx=1x.

También podemos derivar este resultado aplicando el teorema de la función inversa, como sigue. Dado que y=g(x)=lnxy=g(x)=lnx es la inversa de f(x)=ex,f(x)=ex, aplicando el teorema de la función inversa tenemos

dydx=1f(g(x))=1elnx=1x.dydx=1f(g(x))=1elnx=1x.

Utilizando este resultado y aplicando la regla de la cadena a h(x)=ln(g(x))h(x)=ln(g(x)) se obtiene

h(x)=1g(x)g(x).h(x)=1g(x)g(x).

El gráfico de y=lnxy=lnx y su derivada dydx=1xdydx=1x se muestran en la Figura 3.35.

Gráfico de la función ln x junto con su derivada 1/x. La función ln x es creciente en (0, + ∞). Su derivada es decreciente pero mayor que 0 en (0, + ∞).
Figura 3.35 La función y = ln x La función y = ln x es creciente en ( 0 , + ) . ( 0 , + ) . Su derivada y = 1 x y = 1 x es mayor que cero en ( 0 , + ) . ( 0 , + ) .

Ejemplo 3.77

Tomar la derivada de un logaritmo natural

Calcule la derivada de f(x)=ln(x3+3x4).f(x)=ln(x3+3x4).

Ejemplo 3.78

Uso de las propiedades de los logaritmos en una derivada

Calcule la derivada de f(x)=ln(x2 senx2 x+1).f(x)=ln(x2 senx2 x+1).

Punto de control 3.52

Diferencie: f(x)=ln(3x+2 )5.f(x)=ln(3x+2 )5.

Ahora que podemos diferenciar la función de logaritmo natural, podemos utilizar este resultado para calcular las derivadas de y=logbxy=logbx como y=bxy=bx para b>0,b1.b>0,b1.

Teorema 3.16

Derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas generales

Supongamos que b>0,b1,b>0,b1, y supongamos que g(x)g(x) es una función diferenciable.

  1. Si, y=logbx,y=logbx, entonces
    dydx=1xlnb.dydx=1xlnb.
    (3.32)

    De forma más general, si h(x)=logb(g(x)),h(x)=logb(g(x)), entonces para todos los valores de x para los que g(x)>0,g(x)>0,
    h(x)=g(x)g(x)lnb.h(x)=g(x)g(x)lnb.
    (3.33)
  2. Si y=bx,y=bx, entonces
    dydx=bxlnb.dydx=bxlnb.
    (3.34)

    De forma más general, si h(x)=bg(x),h(x)=bg(x), entonces
    h(x)=bg(x)g(x)lnb.h(x)=bg(x)g(x)lnb.
    (3.35)

Prueba

Si los valores de y=logbx,y=logbx, entonces by=x.by=x. Se deduce que ln(by)=lnx.ln(by)=lnx. Así que ylnb=lnx.ylnb=lnx. Al resolver y,y, tenemos y=lnxlnb.y=lnxlnb. Diferenciando y teniendo en cuenta que lnblnb es una constante, vemos que

dydx=1xlnb.dydx=1xlnb.

La derivada en la Ecuación 3.33 se deduce ahora de la regla de la cadena.

Si los valores de y=bx,y=bx, entonces lny=xlnb.lny=xlnb. Utilizando la diferenciación implícita, de nuevo teniendo en cuenta que lnblnb es constante, se deduce que 1ydydx=lnb.1ydydx=lnb. Al resolver dydxdydx y sustituyendo y=bx,y=bx, vemos que

dydx=ylnb=bxlnb.dydx=ylnb=bxlnb.

La derivada más general (Ecuación 3.35) se desprende de la regla de la cadena.

Ejemplo 3.79

Aplicación de fórmulas de derivación

Calcule la derivada de h(x)=3x3x+2 .h(x)=3x3x+2 .

Ejemplo 3.80

Cálculo de la pendiente de una línea tangente

Calcule la pendiente de la línea tangente al gráfico de y=log2 (3x+1)y=log2 (3x+1) en x=1.x=1.

Punto de control 3.53

Calcule la pendiente de la línea tangente a y=3xy=3x en x=2 .x=2 .

Diferenciación logarítmica

En este punto, podemos tomar derivadas de funciones de la forma y=(g(x))ny=(g(x))n para determinados valores de n,n, así como funciones de la forma y=bg(x),y=bg(x), donde b>0b>0 y b1.b1. Desafortunadamente, todavía no conocemos las derivadas de funciones como y=xxy=xx o y=xπ.y=xπ. Estas funciones requieren una técnica llamada diferenciación logarítmica, que nos permite diferenciar cualquier función de la forma h(x)=g(x)f(x).h(x)=g(x)f(x). También se puede utilizar para convertir un problema de diferenciación muy complejo en uno más sencillo, como calcular la derivada de y=x2 x+1exsen3x.y=x2 x+1exsen3x. Esbozamos esta técnica en la siguiente estrategia de resolución de problemas.

Estrategia de resolución de problemas

Estrategia para la resolución de problemas: Uso de la diferenciación logarítmica

  1. Para diferenciar y=h(x)y=h(x) utilizando la diferenciación logarítmica, tome el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para obtener lny=ln(h(x)).lny=ln(h(x)).
  2. Utilice las propiedades de los logaritmos para expandir ln(h(x))ln(h(x)) tanto como sea posible.
  3. Diferencie ambos lados de la ecuación. A la izquierda tendremos 1ydydx.1ydydx.
  4. Multiplique ambos lados de la ecuación por yy para resolver dydx.dydx.
  5. Sustituya yy por h(x).h(x).

Ejemplo 3.81

Uso de la diferenciación logarítmica

Calcule la derivada de y=(2 x4+1)tanx.y=(2 x4+1)tanx.

Ejemplo 3.82

Uso de la diferenciación logarítmica

Calcule la derivada de y=x2 x+1exsen3x.y=x2 x+1exsen3x.

Ejemplo 3.83

Ampliación de la regla de la potencia

Calcule la derivada de y=xry=xr donde rr es un número real arbitrario.

Punto de control 3.54

Utilice la diferenciación logarítmica para calcular la derivada de y=xx.y=xx.

Punto de control 3.55

Calcule la derivada de y=(tanx)π.y=(tanx)π.

Sección 3.9 ejercicios

En los siguientes ejercicios, calcule f(x)f(x) por cada función.

331.

f ( x ) = x 2 e x f ( x ) = x 2 e x

332.

f ( x ) = e x x f ( x ) = e x x

333.

f ( x ) = e x 3 ln x f ( x ) = e x 3 ln x

334.

f ( x ) = e 2 x + 2 x f ( x ) = e 2 x + 2 x

335.

f ( x ) = e x e x e x + e x f ( x ) = e x e x e x + e x

336.

f ( x ) = 10 x ln 10 f ( x ) = 10 x ln 10

337.

f ( x ) = 2 4 x + 4 x 2 f ( x ) = 2 4 x + 4 x 2

338.

f ( x ) = 3 sen 3 x f ( x ) = 3 sen 3 x

339.

f ( x ) = x π . π x f ( x ) = x π . π x

340.

f(x)=ln(4x3+x)f(x)=ln(4x3+x) grandes.

341.

f ( x ) = ln 5 x 7 f ( x ) = ln 5 x 7

342.

f ( x ) = x 2 ln 9 x f ( x ) = x 2 ln 9 x

343.

f(x)=log(secx)f(x)=log(secx) grandes.

344.

f ( x ) = log 7 ( 6 x 4 + 3 ) 5 f ( x ) = log 7 ( 6 x 4 + 3 ) 5

345.

f ( x ) = 2 x . log 3 7 x 2 4 f ( x ) = 2 x . log 3 7 x 2 4

En los siguientes ejercicios, utilice la diferenciación logarítmica para calcular dydx.dydx.

346.

y = x x y = x x

347.

y = ( sen 2 x ) 4 x y = ( sen 2 x ) 4 x

348.

y = ( ln x ) ln x y = ( ln x ) ln x

349.

y = x log 2 x y = x log 2 x

350.

y = ( x 2 1 ) ln x y = ( x 2 1 ) ln x

351.

y = x cot x y = x cot x

352.

y = x + 11 x 2 4 3 y = x + 11 x 2 4 3

353.

y = x −1 / 2 ( x 2 + 3 ) 2 / 3 ( 3 x 4 ) 4 y = x −1 / 2 ( x 2 + 3 ) 2 / 3 ( 3 x 4 ) 4

354.

[T] Halle una ecuación de la línea tangente al gráfico de f(x)=4xe(x2 1)f(x)=4xe(x2 1) en el punto donde

x=−1.x=−1. Grafique la función y la línea tangente.

355.

[T] Halle la ecuación de la línea que es normal al gráfico de f(x)=x.5xf(x)=x.5x en el punto donde x=1.x=1. Grafique tanto la función como la línea normal.

356.

[T] Halle la ecuación de la línea tangente al gráfico de x3xlny+y3=2 x+5x3xlny+y3=2 x+5 en el punto (2, 1). (Pista: Utilice la diferenciación implícita para calcular dydx.)dydx.) Grafique tanto la curva como la línea tangente.

357.

Considere la función y=x1/xy=x1/x para x>0.x>0.

  1. Determine los puntos del gráfico donde la línea tangente es horizontal.
  2. Determine los puntos del gráfico en los que y>0y>0 y aquellos en los que y<0.y<0.
358.

La fórmula I(t)=sentetI(t)=sentet es la fórmula de una corriente alterna decreciente.

  1. Complete la siguiente tabla con los valores adecuados.
    tt sentetsentet
    0 (i)
    π2 π2 (ii)
    ππ (iii)
    3π2 3π2 (iv)
    2 π2 π (v)
    5π2 5π2 (vi)
    3π3π (vii)
    7π2 7π2 (viii)
    4π4π (ix)
  2. Utilizando solo los valores de la tabla, determine dónde la línea tangente al gráfico de I(t)I(t) es horizontal.
359.

[T] La población de Toledo, Ohio, en el año 2000 era de aproximadamente 500.000 habitantes. Supongamos que la población aumenta a un ritmo del 5 % anual.

  1. Escriba la función exponencial que relaciona la población total en función de t.t.
  2. Utilice a. para determinar la tasa de aumento de la población en tt años.
  3. Utilice b. para determinar la tasa de aumento de la población en 10 años.
360.

[T] Un isótopo del elemento erbio tiene una semivida de aproximadamente 12 horas. Inicialmente hay 9 gramos del isótopo presente.

  1. Escriba la función exponencial que relaciona la cantidad de sustancia restante en función de t,t, medido en horas.
  2. Utilice a. para determinar la tasa de decaimiento de la sustancia en tt horas.
  3. Utilice b. para determinar la tasa de decaimiento en t=4t=4 horas.
361.

[T] El número de casos de gripe en la ciudad de Nueva York desde principios de 1960 hasta principios de 1961 se modela mediante la función

N(t)=5,3e0,093t2 0,87t,(0t4),N(t)=5,3e0,093t2 0,87t,(0t4), donde N(t)N(t) indica el número de casos (en miles) y t se mide en años, con t=0t=0 correspondiente a principios de 1960.

  1. Muestre el trabajo que evalúa N(0)N(0) y N(4).N(4). Describa brevemente lo que indican estos valores sobre la enfermedad en la ciudad de Nueva York.
  2. Muestre el trabajo que evalúa N(0)N(0) y N(3).N(3). Describa brevemente lo que indican estos valores sobre la enfermedad en la ciudad de Nueva York.
362.

[T] La tasa de cambio relativa de una función diferenciable y=f(x)y=f(x) está dada por 100.f(x)f(x) %.100.f(x)f(x) %. Un modelo de crecimiento de la población es una función de crecimiento de Gompertz, dada por P(x)=aeb.ecxP(x)=aeb.ecx donde a,b,a,b, y cc son constantes.

  1. Halle la fórmula de la tasa de cambio relativa para la función genérica de Gompertz.
  2. Utilice a. para calcular la tasa de cambio relativa de una población en x=20x=20 meses cuando a=204,b=0,0198,a=204,b=0,0198, y c=0,15.c=0,15.
  3. Interprete brevemente lo que significa el resultado de b.

En los siguientes ejercicios, utilice la población de la ciudad de Nueva York de 1790 a 1860, que se da en la siguiente tabla.

Años desde 1790 Población
0 33.131
10 60.515
20 96.373
30 123.706
40 202.300
50 312.710
60 515.547
70 813.669
Tabla 3.8 La población de Nueva York a lo largo del tiempo Fuente: http://en.wikipedia.org/wiki/Largest_cities_in_the_United_States
_by_population_by_decade.
363.

[T] Utilizando un programa de computadora o una calculadora, ajuste una curva de crecimiento a los datos de la forma p=abt.p=abt.

364.

[T] Utilizando el mejor ajuste exponencial para los datos, escriba una tabla que contenga las derivadas evaluadas en cada año.

365.

[T] Utilizando el mejor ajuste exponencial para los datos, escriba una tabla que contenga las segundas derivadas evaluadas en cada año.

366.

[T] Utilizando las tablas de primeras y segundas derivadas y el mejor ajuste, responda a las siguientes preguntas:

  1. ¿Será exacto el modelo para predecir la población futura de la ciudad de Nueva York? ¿Por qué sí o por qué no?
  2. Estime la población en 2010. ¿Fue correcta la predicción de a.?
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