Objetivos de aprendizaje
- 3.9.1 Calcular la derivada de las funciones exponenciales.
- 3.9.2 Calcular la derivada de las funciones logarítmicas.
- 3.9.3 Utilizar la diferenciación logarítmica para determinar la derivada de una función.
Hasta ahora, hemos aprendido a diferenciar una variedad de funciones, incluidas funciones trigonométricas, inversas e implícitas. En esta sección, exploramos las derivadas de las funciones exponenciales y logarítmicas. Como ya comentamos en Introducción a funciones y gráficos, las funciones exponenciales desempeñan un papel importante en el modelado del crecimiento de la población y el decaimiento de materiales radiactivos. Las funciones logarítmicas pueden ayudar a reescalar grandes cantidades y son especialmente útiles para reescribir expresiones complicadas.
Derivada de la función exponencial
Al igual que cuando encontramos las derivadas de otras funciones, podemos calcular las derivadas de las funciones exponenciales y logarítmicas utilizando fórmulas. A la hora de desarrollar estas fórmulas, tenemos que hacer ciertas suposiciones básicas. Las pruebas de que estos supuestos se mantienen están fuera del alcance de este curso.
En primer lugar, partimos de la base de que la función está definida para todo número real y es continua. En los cursos anteriores se definieron los valores de las funciones exponenciales para todos los números racionales, empezando por la definición de donde es un número entero positivo, como el producto de multiplicado por sí mismo veces. Más adelante, definimos para un número entero positivo y para números enteros positivos y Estas definiciones dejan abierta la cuestión del valor de donde es un número real arbitrario. Asumiendo la continuidad de podemos interpretar a medida que donde los valores de a medida que tomamos el límite son racionales. Por ejemplo, podemos ver como el número que satisface
Como vemos en la siguiente tabla,
64 | 77,8802710486 | ||
73,5166947198 | 77,8810268071 | ||
77,7084726013 | 77,9242251944 | ||
77,8162741237 | 78,7932424541 | ||
77,8702309526 | 84,4485062895 | ||
77,8799471543 | 256 |
También suponemos que para el valor de la derivada existe. En esta sección, mostramos que haciendo esta suposición adicional, es posible demostrar que la función es diferenciable en todas partes.
Hacemos una última suposición: que existe un valor único de para el cual Definimos para que sea este valor único, como hicimos en Introducción a funciones y gráficos. La Figura 3.33 proporciona gráficos de las funciones y Una estimación visual de las pendientes de las líneas tangentes a estas funciones en 0 proporciona evidencia de que el valor de e se encuentra entre 2,7 y 2,8. La función se denomina función exponencial natural. Su inversa, se denomina función de logaritmo natural.
Para una mejor estimación de podemos construir una tabla de estimaciones de para funciones de la forma Antes de hacer esto, recuerde que
para los valores de muy cerca de cero. Para nuestras estimaciones, elegimos y para obtener la estimación
Consulte la siguiente tabla.
Los datos de la tabla sugieren que
El gráfico de junto con la línea se muestran en la Figura 3.34. Esta línea es tangente al gráfico de en
Ahora que hemos expuesto nuestros supuestos básicos, comenzamos nuestra investigación explorando la derivada de Recordemos que hemos supuesto que existe. Aplicando la definición de límite a la derivada concluimos que
En cuanto a obtenemos lo siguiente.
Vemos que sobre la base de la suposición de que es diferenciable en no solo es diferenciable en todas partes, sino que su derivada es
Para Por lo tanto, tenemos (El valor de para una función arbitraria de la forma se derivará más adelante.
Teorema 3.14
Derivada de la función exponencial natural
Supongamos que es la función exponencial natural. Entonces
En general,
Ejemplo 3.74
Derivada de una función exponencial
Calcule la derivada de
Solución
Utilizando la fórmula de la derivada y la regla de la cadena,
Ejemplo 3.75
Combinación de reglas de diferenciación
Calcule la derivada de
Solución
Utilice la derivada de la función exponencial natural, la regla del cociente y la regla de la cadena.
Punto de control 3.50
Calcule la derivada de
Ejemplo 3.76
Aplicación de la función exponencial natural
Una colonia de mosquitos tiene una población inicial de 1.000. Después de días, la población está dada por Demuestre que la relación de la tasa de cambio de la población, a la población, es constante.
Solución
Primero calcule Utilizando la regla de la cadena, tenemos Por lo tanto, la relación entre la tasa de cambio de la población y la población está dada por
La relación entre la tasa de cambio de la población y la población es la constante 0,3.
Punto de control 3.51
Si los valores de describe la población de mosquitos después de días, como en el ejemplo anterior, ¿cuál es la tasa de cambio de después de 4 días?
Derivada de la función logarítmica
Ahora que tenemos la derivada de la función exponencial natural, podemos utilizar la diferenciación implícita para calcular la derivada de su inversa, la función de logaritmo natural.
Teorema 3.15
La derivada de la función de logaritmo natural
Si los valores de y entonces
De manera más general, supongamos que es una función diferenciable. Para todos los valores de para los cuales la derivada de está dada por
Prueba
Si los valores de y entonces Diferenciando ambos lados de esta ecuación se obtiene la ecuación
Al resolver se obtiene
Por último, sustituimos para obtener
También podemos derivar este resultado aplicando el teorema de la función inversa, como sigue. Dado que es la inversa de aplicando el teorema de la función inversa tenemos
Utilizando este resultado y aplicando la regla de la cadena a se obtiene
□
El gráfico de y su derivada se muestran en la Figura 3.35.
Ejemplo 3.77
Tomar la derivada de un logaritmo natural
Calcule la derivada de
Solución
Utilice directamente la Ecuación 3.31.
Ejemplo 3.78
Uso de las propiedades de los logaritmos en una derivada
Calcule la derivada de
Solución
A primera vista, tomar esta derivada parece bastante complicado. Sin embargo, utilizando las propiedades de los logaritmos antes de calcular la derivada, podemos hacer el problema mucho más sencillo.
Punto de control 3.52
Diferencie:
Ahora que podemos diferenciar la función de logaritmo natural, podemos utilizar este resultado para calcular las derivadas de como para
Teorema 3.16
Derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas generales
Supongamos que y supongamos que es una función diferenciable.
- Si, entonces
(3.32)
De forma más general, si entonces para todos los valores de x para los que
(3.33) - Si entonces
(3.34)
De forma más general, si entonces
(3.35)
Prueba
Si los valores de entonces Se deduce que Así que Al resolver tenemos Diferenciando y teniendo en cuenta que es una constante, vemos que
La derivada en la Ecuación 3.33 se deduce ahora de la regla de la cadena.
Si los valores de entonces Utilizando la diferenciación implícita, de nuevo teniendo en cuenta que es constante, se deduce que Al resolver y sustituyendo vemos que
La derivada más general (Ecuación 3.35) se desprende de la regla de la cadena.
□
Ejemplo 3.79
Aplicación de fórmulas de derivación
Calcule la derivada de
Solución
Utilice la regla del cociente y Derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas generales.
Ejemplo 3.80
Cálculo de la pendiente de una línea tangente
Calcule la pendiente de la línea tangente al gráfico de en
Solución
Para calcular la pendiente, debemos evaluar en Utilizando la Ecuación 3.33, vemos que
Evaluando la derivada en vemos que la línea tangente tiene pendiente
Punto de control 3.53
Calcule la pendiente de la línea tangente a en
Diferenciación logarítmica
En este punto, podemos tomar derivadas de funciones de la forma para determinados valores de así como funciones de la forma donde y Desafortunadamente, todavía no conocemos las derivadas de funciones como o Estas funciones requieren una técnica llamada diferenciación logarítmica, que nos permite diferenciar cualquier función de la forma También se puede utilizar para convertir un problema de diferenciación muy complejo en uno más sencillo, como calcular la derivada de Esbozamos esta técnica en la siguiente estrategia de resolución de problemas.
Estrategia de resolución de problemas
Estrategia para la resolución de problemas: Uso de la diferenciación logarítmica
- Para diferenciar utilizando la diferenciación logarítmica, tome el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para obtener
- Utilice las propiedades de los logaritmos para expandir tanto como sea posible.
- Diferencie ambos lados de la ecuación. A la izquierda tendremos
- Multiplique ambos lados de la ecuación por para resolver
- Sustituya por
Ejemplo 3.81
Uso de la diferenciación logarítmica
Calcule la derivada de
Solución
Utilice la diferenciación logarítmica para calcular esta derivada.
Ejemplo 3.82
Uso de la diferenciación logarítmica
Calcule la derivada de
Solución
Este problema realmente hace uso de las propiedades de los logaritmos y de las reglas de diferenciación indicadas en este capítulo.
Ejemplo 3.83
Ampliación de la regla de la potencia
Calcule la derivada de donde es un número real arbitrario.
Solución
El proceso es el mismo que en el Ejemplo 3.82, aunque con menos complicaciones.
Punto de control 3.54
Utilice la diferenciación logarítmica para calcular la derivada de
Punto de control 3.55
Calcule la derivada de
Sección 3.9 ejercicios
En los siguientes ejercicios, calcule por cada función.
grandes.
En los siguientes ejercicios, utilice la diferenciación logarítmica para calcular
[T] Halle una ecuación de la línea tangente al gráfico de en el punto donde
Grafique la función y la línea tangente.
[T] Halle la ecuación de la línea que es normal al gráfico de en el punto donde Grafique tanto la función como la línea normal.
[T] Halle la ecuación de la línea tangente al gráfico de en el punto (2, 1). (Pista: Utilice la diferenciación implícita para calcular Grafique tanto la curva como la línea tangente.
Considere la función para
- Determine los puntos del gráfico donde la línea tangente es horizontal.
- Determine los puntos del gráfico en los que y aquellos en los que
La fórmula es la fórmula de una corriente alterna decreciente.
- Complete la siguiente tabla con los valores adecuados.
0 (i) (ii) (iii) (iv) (v) (vi) (vii) (viii) (ix) - Utilizando solo los valores de la tabla, determine dónde la línea tangente al gráfico de es horizontal.
[T] La población de Toledo, Ohio, en el año 2000 era de aproximadamente 500.000 habitantes. Supongamos que la población aumenta a un ritmo del 5 % anual.
- Escriba la función exponencial que relaciona la población total en función de
- Utilice a. para determinar la tasa de aumento de la población en años.
- Utilice b. para determinar la tasa de aumento de la población en 10 años.
[T] Un isótopo del elemento erbio tiene una semivida de aproximadamente 12 horas. Inicialmente hay 9 gramos del isótopo presente.
- Escriba la función exponencial que relaciona la cantidad de sustancia restante en función de medido en horas.
- Utilice a. para determinar la tasa de decaimiento de la sustancia en horas.
- Utilice b. para determinar la tasa de decaimiento en horas.
[T] El número de casos de gripe en la ciudad de Nueva York desde principios de 1960 hasta principios de 1961 se modela mediante la función
donde indica el número de casos (en miles) y t se mide en años, con correspondiente a principios de 1960.
- Muestre el trabajo que evalúa y Describa brevemente lo que indican estos valores sobre la enfermedad en la ciudad de Nueva York.
- Muestre el trabajo que evalúa y Describa brevemente lo que indican estos valores sobre la enfermedad en la ciudad de Nueva York.
[T] La tasa de cambio relativa de una función diferenciable está dada por Un modelo de crecimiento de la población es una función de crecimiento de Gompertz, dada por donde y son constantes.
- Halle la fórmula de la tasa de cambio relativa para la función genérica de Gompertz.
- Utilice a. para calcular la tasa de cambio relativa de una población en meses cuando y
- Interprete brevemente lo que significa el resultado de b.
En los siguientes ejercicios, utilice la población de la ciudad de Nueva York de 1790 a 1860, que se da en la siguiente tabla.
Años desde 1790 | Población |
---|---|
0 | 33.131 |
10 | 60.515 |
20 | 96.373 |
30 | 123.706 |
40 | 202.300 |
50 | 312.710 |
60 | 515.547 |
70 | 813.669 |
[T] Utilizando un programa de computadora o una calculadora, ajuste una curva de crecimiento a los datos de la forma
[T] Utilizando el mejor ajuste exponencial para los datos, escriba una tabla que contenga las derivadas evaluadas en cada año.
[T] Utilizando el mejor ajuste exponencial para los datos, escriba una tabla que contenga las segundas derivadas evaluadas en cada año.
[T] Utilizando las tablas de primeras y segundas derivadas y el mejor ajuste, responda a las siguientes preguntas:
- ¿Será exacto el modelo para predecir la población futura de la ciudad de Nueva York? ¿Por qué sí o por qué no?
- Estime la población en 2010. ¿Fue correcta la predicción de a.?