Gilbert Strang; Edwin “Jed” Herman

Objetivos de aprendizaje

3.1.1 Reconocer el significado de la tangente a una curva en un punto.
3.1.2 Calcular la pendiente de una línea tangente.
3.1.3 Identificar la derivada como el límite de un cociente de diferencias.
3.1.4 Calcular la derivada de una función dada en un punto.
3.1.5 Describir la velocidad como una tasa de cambio.
3.1.6 Explicar la diferencia entre velocidad media y velocidad instantánea.
3.1.7 Estimar la derivada a partir de una tabla de valores.

Ahora que tenemos tanto una comprensión conceptual de los límites como la capacidad práctica de calcularlos, establecimos la base para nuestro estudio del cálculo, la rama de las matemáticas en la que calculamos derivadas e integrales. La mayoría de los matemáticos e historiadores coinciden en que el cálculo fue desarrollado de forma independiente por el inglés Isaac Newton $(1643–1727)$ y el alemán Gottfried Leibniz $(1646–1716),$ cuyas imágenes aparecen en la Figura 3.2. Cuando atribuimos a Newton y Leibniz el desarrollo del cálculo, a lo que hacemos referencia es al hecho de que Newton y Leibniz fueron los primeros en comprender la relación entre la derivada y la integral. Ambos matemáticos se beneficiaron del trabajo de sus predecesores, como Barrow, Fermat y Cavalieri. La relación inicial entre los dos matemáticos parece haber sido amistosa; sin embargo, en años posteriores estalló una amarga controversia sobre la prioridad de los trabajos de ambos. Aunque parece probable que Newton fuera el primero en llegar a las ideas que sustentan el cálculo, estamos en deuda con Leibniz por la notación que utilizamos habitualmente en la actualidad.

Figura 3.2 Se atribuye a Newton y a Leibniz el desarrollo del cálculo de forma independiente.

Rectas tangentes

Comenzamos nuestro estudio del cálculo revisando la noción de rectas secantes y rectas tangentes. Recordemos que utilizamos la pendiente de una línea secante a una función en un punto $(a, f (a))$ para estimar la tasa de cambio, o la tasa a la que cambia una variable en relación con otra. Podemos obtener la pendiente de la secante eligiendo un valor de $x$ cerca de $a$ y dibujar una línea a lo largo de los puntos $(a, f (a))$ y $(x, f (x)),$ como se muestra en la Figura 3.3. La pendiente de esta línea viene dada por una ecuación en forma de cociente de diferencias:

m_{sec} = \frac{f (x) - f (a)}{x - a} .

También podemos calcular la pendiente de una línea secante a una función en un valor a utilizando esta ecuación y sustituyendo $x$ con la $a + h,$ donde $h$ es un valor cercano a 0. Luego podemos calcular la pendiente de la línea que pasa por los puntos $(a, f (a))$ y $(a + h, f (a + h)) .$ En este caso, encontramos que la línea secante tiene una pendiente dada por el siguiente cociente de diferencias con incremento $h :$

m_{sec} = \frac{f (a + h) - f (a)}{a + h - a} = \frac{f (a + h) - f (a)}{h} .

Definición

Supongamos que $f$ es una función definida en un intervalo $I$ que contiene $a .$ Si $x \neq a$ está en $I,$ entonces

Q = \frac{f (x) - f (a)}{x - a}

(3.1)

es un cociente de diferencias.

Además, si $h \neq 0$ se elige de manera que $a + h$ está en $I,$ entonces

Q = \frac{f (a + h) - f (a)}{h}

(3.2)

es un cociente de diferencias con incremento $h .$

Medios

Vea el desarrollo de la derivada con esta miniaplicación.

Estas dos expresiones para calcular la pendiente de una línea secante se ilustran en la Figura 3.3. Veremos que cada uno de estos dos métodos para encontrar la pendiente de una línea secante es de gran utilidad. Dependiendo del entorno, podemos elegir uno u otro. La principal consideración en nuestra elección suele depender de la facilidad de cálculo.

Esta figura consta de dos gráficos denominados a y b. La figura a muestra el plano de coordenadas cartesianas con 0, a y x marcados en el eje x. Hay una curva marcada y = f(x) con puntos marcados (a, f(a)) y (x, f(x)). También existe una línea recta que cruza estos dos puntos (a, f(a)) y (x, f(x)). En la parte inferior del gráfico se da la ecuación msec = (f(x) - f(a))/(x - a). La figura b muestra un gráfico similar, pero esta vez a + h está marcado en el eje x en vez de x. En consecuencia, la curva denominada y = f(x) pasa por (a, f(a)) y (a + h, f(a + h)) al igual que la línea recta. En la parte inferior del gráfico se da la ecuación msec = (f(a + h) - f(a))/h.

Figura 3.3 Podemos calcular la pendiente de una línea secante de dos maneras.

En la Figura 3.4(a) vemos que, a medida que los valores de $x$ se acercan a $a,$ las pendientes de las líneas secantes proporcionan mejores estimaciones de la tasa de cambio de la función en $a .$ Además, las mismas rectas secantes se aproximan a la línea tangente a la función en $a,$ que representa el límite de las líneas secantes. Del mismo modo, la Figura 3.4(b) muestra que a medida que los valores de $h$ se acercan a $0,$ las rectas secantes también se acercan a la línea tangente. La pendiente de la línea tangente en $a$ es la tasa de cambio de la función en $a,$ como se muestra en la Figura 3.4(c).

Esta figura consta de tres gráficos marcados como a, b y c. La figura a muestra el plano de coordenadas cartesianas con 0, a, x2 y x1 marcados en orden en el eje x. Existe una curva denominada y = f(x) con puntos marcados (a, f(a)), (x2, f(x2)) y (x1, f(x1)). Hay tres líneas rectas: la primera interseca (a, f(a)) y (x1, f(x1)); la segunda interseca (a, f(a)) y (x2, f(x2)); y la tercera solo interseca (a, f(a)), lo que la convierte en tangente. En la parte inferior del gráfico se da la ecuación mtan = limx → a (f(x) - f(a))/(x - a). La figura b muestra un gráfico similar, pero esta vez a + h2 y a + h1 están marcados en el eje x en vez de x2 y x1. En consecuencia, la curva marcada y = f(x) pasa por (a, f(a)), (a + h2, f(a + h2)) y (a + h1, f(a + h1)) y las líneas rectas intersecan el gráfico de forma similar como en la figura a. En la parte inferior del gráfico se da la ecuación mtan = limh → 0 (f(a + h) - f(a))/h. La figura c muestra solo la curva denominada y = f(x) y su tangente en el punto (a, f(a)).

Figura 3.4 Las líneas secantes se acercan a la línea tangente (mostrada en verde) cuando el segundo punto se acerca al primero.

Medios

Puede usar este sitio para explorar gráficos y ver si tienen una línea tangente en un punto.

En la Figura 3.5 mostramos el gráfico de $f (x) = \sqrt{x}$ y su línea tangente en $(1, 1)$ en una serie de intervalos más estrechos sobre $x = 1 .$ A medida que los intervalos se hacen más estrechos, el gráfico de la función y su línea tangente parecen coincidir, lo que hace que los valores de la línea tangente sean una buena aproximación a los valores de la función para las elecciones de $x$ cerca de $1 .$ De hecho, el gráfico de $f (x)$ parece ser localmente lineal en las inmediaciones de $x = 1 .$

Esta figura consta de cuatro gráficos denominados a, b, c y d. La figura a muestra los gráficos de la raíz cuadrada de x y de la ecuación y = (x + 1)/2 con el eje x que va de 0 a 4 y el eje y que va de 0 a 2,5. Los gráficos de estas dos funciones se ven muy próximos a 1; hay un recuadro alrededor de donde estos gráficos se ven cercanos. La figura b muestra un acercamiento de estas mismas dos funciones en el área de la caja de la figura a, concretamente x va de 0 a 2 y y va de 0 a 1,4. La figura c es el mismo gráfico que la figura b, pero este tiene una caja de 0 a 1,1 en la coordenada x y 0,8 y 1 en la coordenada y. Hay una flecha que indica que esto se ha ampliado en la figura d. La figura d muestra una imagen muy cercana de la caja de la figura c, y las dos funciones parecen tocarse en casi toda la longitud del gráfico.

Figura 3.5 Para valores de

x

cerca de

1,

el gráfico de

f (x) = \sqrt{x}

y su línea tangente parecen coincidir.

Formalmente podemos definir la línea tangente al gráfico de una función como sigue.

Definición

Supongamos que $f (x)$ sea una función definida en un intervalo abierto que contenga $a .$ La línea tangente a $f (x)$ en $a$ es la línea que pasa por el punto $(a, f (a))$ con pendiente

m_{tan} = \underset{x \to a}{lím} \frac{f (x) - f (a)}{x - a}

(3.3)

siempre que exista este límite.

De forma equivalente, podemos definir la línea tangente a $f (x)$ en $a$ para que sea la línea que pasa por el punto $(a, f (a))$ con pendiente

m_{tan} = \underset{h \to 0}{lím} \frac{f (a + h) - f (a)}{h}

(3.4)

siempre que exista este límite.

Al igual que utilizamos dos expresiones diferentes para definir la pendiente de una línea secante, utilizamos dos formas diferentes para definir la pendiente de la línea tangente. En este texto utilizamos ambas formas de la definición. Como antes, la elección de la definición dependerá del entorno. Ahora que ya definimos formalmente una línea tangente a una función en un punto, podemos utilizar esta definición para encontrar ecuaciones de rectas tangentes.

Ejemplo 3.1

Hallar una línea tangente

Halle la ecuación de la línea tangente al gráfico de $f (x) = x^{2}$ en $x = 3 .$

Solución

Primero halle la pendiente de la línea tangente. En este ejemplo, utilice la Ecuación 3.3.

\begin{matrix} m_{tan} & = \underset{x \to 3}{lím} \frac{f (x) - f (3)}{x - 3} & Aplique la definición. \\ = \underset{x \to 3}{lím} \frac{x^{2} - 9}{x - 3} & Sustituya f (x) = x^{2} y f (3) = 9 . \\ = \underset{x \to 3}{lím} \frac{(x - 3) (x + 3)}{x - 3} = \underset{x \to 3}{lím} (x + 3) = 6 & Factorice el numerador para evaluar el límite. \end{matrix}

A continuación, halle un punto en la línea tangente. Como la línea es tangente al gráfico de $f (x)$ en $x = 3,$ pasa por el punto $(3, f (3)) .$ Tenemos $f (3) = 9,$ para que la línea tangente pase por el punto $(3, 9) .$

Usando la ecuación punto-pendiente de la línea con la pendiente $m = 6$ y el punto $(3, 9),$ obtenemos la línea $y - 9 = 6 (x - 3) .$ Simplificando, tenemos $y = 6 x - 9 .$ El gráfico de $f (x) = x^{2}$ y su línea tangente en $3$ se muestran en la Figura 3.6.

Esta figura está formada por los gráficos de f(x) = x al cuadrado y y = 6x – 9. Los gráficos de estas funciones parecen tocarse en x = 3.

Figura 3.6 La línea tangente a

f (x)

en

x = 3 .

Ejemplo 3.2

La pendiente de una línea tangente revisada

Use la Ecuación 3.4 para encontrar la pendiente de la línea tangente al gráfico de $f (x) = x^{2}$ en $x = 3 .$

Solución

Los pasos son muy similares a los del Ejemplo 3.1. Consulte la definición en la Ecuación 3.4.

\begin{matrix} m_{tan} & = \underset{h \to 0}{lím} \frac{f (3 + h) - f (3)}{h} & Aplique la definición. \\ = \underset{h \to 0}{lím} \frac{{(3 + h)}^{2} - 9}{h} & Sustituya f (3 + h) = {(3 + h)}^{2} y f (3) = 9 . \\ = \underset{h \to 0}{lím} \frac{9 + 6 h + h^{2} - 9}{h} & Expanda y simplifique para evaluar el límite. \\ = \underset{h \to 0}{lím} \frac{h (6 + h)}{h} = \underset{h \to 0}{lím} (6 + h) = 6 \end{matrix}

Obtuvimos el mismo valor para la pendiente de la línea tangente utilizando la otra definición, con lo que se demuestra que las fórmulas se pueden intercambiar.

Ejemplo 3.3

Halle la ecuación de una línea tangente

Halle la ecuación de la línea tangente al gráfico de $f (x) = 1 / x$ en $x = 2 .$

Solución

Podemos utilizar la Ecuación 3.3, pero como vimos, los resultados son los mismos si utilizamos la Ecuación 3.4.

\begin{matrix} m_{tan} & = \underset{x \to 2}{lím} \frac{f (x) - f (2)}{x - 2} & Aplique la definición. \\ = \underset{x \to 2}{lím} \frac{\frac{1}{x} - \frac{1}{2}}{x - 2} & Sustituya f (x) = \frac{1}{x} y f (2) = \frac{1}{2} . \\ = \underset{x \to 2}{lím} \frac{\frac{1}{x} - \frac{1}{2}}{x - 2} . \frac{2 x}{2 x} & \begin{matrix} Multiplique el numerador y el denominador por 2 x para \\ simplifique las fracciones. \end{matrix} \\ = \underset{x \to 2}{lím} \frac{(2 - x)}{(x - 2) (2 x)} & Simplifique. \\ = \underset{x \to 2}{lím} \frac{−1}{2 x} & Simplifique utilizando \frac{2 - x}{x - 2} = −1, para x \neq 2 . \\ = - \frac{1}{4} & Evalúe el límite. \end{matrix}

Ahora sabemos que la pendiente de la línea tangente es $- \frac{1}{4} .$ Para encontrar la ecuación de la línea tangente, necesitamos también un punto en la línea. Sabemos que $f (2) = \frac{1}{2} .$ Como la línea tangente pasa por el punto $(2, \frac{1}{2})$ podemos utilizar la ecuación punto-pendiente de una línea para encontrar la ecuación de la línea tangente. Por lo tanto, la línea tangente tiene la ecuación $y = - \frac{1}{4} x + 1 .$ Los gráficos de $f (x) = \frac{1}{x}$ como $y = - \frac{1}{4} x + 1$ se muestran en la Figura 3.7.

Esta figura consiste en los gráficos de f(x) = 1/x y y = -x/4 + 1. La parte del gráfico f(x) = 1/x en el primer cuadrante parece tocar el gráfico de la otra función en x = 2.

Figura 3.7 La línea es tangente a

f (x)

en

x = 2 .

Punto de control 3.1

Calcule la pendiente de la línea tangente al gráfico de $f (x) = \sqrt{x}$ en $x = 4 .$

La derivada de una función en un punto

El tipo de límite que calculamos para hallar la pendiente de la línea tangente a una función en un punto se da en muchas aplicaciones de varias disciplinas. Estas aplicaciones incluyen la velocidad y la aceleración en física, las funciones de ganancia marginal en los negocios y las tasas de crecimiento en biología. Este límite se da con tanta frecuencia que damos a este valor un nombre especial: la derivada. El proceso para encontrar una derivada se denomina diferenciación.

Definición

Supongamos que $f (x)$ sea una función definida en un intervalo abierto que contenga $a .$ La derivada de la función $f (x)$ en $a,$ denotada por $f^{'} (a),$ se define por

f^{'} (a) = \underset{x \to a}{lím} \frac{f (x) - f (a)}{x - a}

(3.5)

siempre que exista este límite.

Como alternativa, también podemos definir la derivada de $f (x)$ en $a$ cuando

f^{'} (a) = \underset{h \to 0}{lím} \frac{f (a + h) - f (a)}{h} .

(3.6)

Ejemplo 3.4

Estimación de una derivada

Para $f (x) = x^{2},$ utilice una tabla para estimar $f^{'} (3)$ utilizando la Ecuación 3.5.

Solución

Cree una tabla con los valores de $x$ justo debajo de $3$ y justo encima de $3 .$

$x$	$\frac{x^{2} - 9}{x - 3}$
$2,9$	$5,9$
$2,99$	$5,99$
$2,999$	$5,999$
$3,001$	$6,001$
$3,01$	$6,01$
$3,1$	$6,1$

Tras examinar la tabla, vemos que un buen estimado es $f^{'} (3) = 6.$

Punto de control 3.2

Para $f (x) = x^{2},$ utilice una tabla para estimar $f^{'} (3)$ utilizando la Ecuación 3.6.

Ejemplo 3.5

Encontrar una derivada

Para $f (x) = 3 x^{2} - 4 x + 1,$ calcule $f^{'} (2)$ utilizando la Ecuación 3.5.

Solución

Sustituya la función y el valor dados directamente en la ecuación.

\begin{matrix} f^{'} (2) & = \underset{x \to 2}{lím} \frac{f (x) - f (2)}{x - 2} & Aplique la definición. \\ = \underset{x \to 2}{lím} \frac{(3 x^{2} - 4 x + 1) - 5}{x - 2} & Sustituya f (x) = 3 x^{2} - 4 x + 1 y f (2) = 5 . \\ = \underset{x \to 2}{lím} \frac{(x - 2) (3 x + 2)}{x - 2} & Simplifique y factorice el numerador. \\ = \underset{x \to 2}{lím} (3 x + 2) & Cancele el factor común. \\ = 8 & Evalúe el límite. \end{matrix}

Ejemplo 3.6

Repaso de la derivada

Para $f (x) = 3 x^{2} - 4 x + 1,$ calcule $f^{'} (2)$ utilizando la Ecuación 3.6.

Solución

Usando esta ecuación, podemos sustituir dos valores de la función en la ecuación, y deberíamos obtener el mismo valor que en el Ejemplo 3.5.

\begin{matrix} f^{'} (2) & = \underset{h \to 0}{lím} \frac{f (2 + h) - f (2)}{h} & Aplique la definición. \\ = \underset{h \to 0}{lím} \frac{(3 {(2 + h)}^{2} - 4 (2 + h) + 1) - 5}{h} & \begin{matrix} Sustituya f (2) = 5 y \\ f (2 + h) = 3 {(2 + h)}^{2} - 4 (2 + h) + 1 . \end{matrix} \\ = \underset{h \to 0}{lím} \frac{3 h^{2} + 8 h}{h} & Simplifique el numerador. \\ = \underset{h \to 0}{lím} \frac{h (3 h + 8)}{h} & Factorice el numerador. \\ = \underset{h \to 0}{lím} (3 h + 8) & Cancele el factor común. \\ = 8 & Evalúe el límite. \end{matrix}

Los resultados son los mismos si utilizamos la Ecuación 3.5 o la Ecuación 3.6.

Punto de control 3.3

Para $f (x) = x^{2} + 3 x + 2,$ calcule $f^{'} (1) .$

Velocidades y tasas de cambio

Ahora que podemos evaluar una derivada, podemos utilizarla en aplicaciones de velocidad. Recordemos que si $s (t)$ es la posición de un objeto que se mueve a lo largo de un eje de coordenadas, la velocidad media del objeto en un intervalo de tiempo $[a, t]$ si $t > a$ o $[t, a]$ si $t < a$ viene dada por el cociente de diferencias

v_{ave} = \frac{s (t) - s (a)}{t - a} .

(3.7)

Dado que los valores de $t$ se acercan a $a,$ los valores de $v_{ave}$ se acercan al valor que llamamos velocidad instantánea en $a .$ Es decir, la velocidad instantánea en $a,$ denotado $v (a),$ está dada por

v (a) = s^{'} (a) = \underset{t \to a}{lím} \frac{s (t) - s (a)}{t - a} .

(3.8)

Para entender mejor la relación entre la velocidad media y la velocidad instantánea, consulte la Figura 3.8. En esa figura, la pendiente de la línea tangente (mostrada en rojo) es la velocidad instantánea del objeto en el momento $t = a$ cuya posición en el momento $t$ viene dada por la función $s (t) .$ La pendiente de la línea secante (mostrada en verde) es la velocidad media del objeto en el intervalo de tiempo $[a, t] .$

Esta figura consiste en un plano de coordenadas cartesianas con 0, a y t1 marcados en el eje t. La función y = s(t) se representa gráficamente en el primer cuadrante junto con dos rectas marcadas como tangente y secante. La línea tangente toca a y = s(t) en un solo punto, (a, s(a)). La línea secante toca a y = s(t) en dos puntos: (a, s(a)) y (t1, s(t1)).

Figura 3.8 La pendiente de la línea secante es la velocidad media en el intervalo

[a, t] .

La pendiente de la línea tangente es la velocidad instantánea.

Podemos utilizar la Ecuación 3.5 para calcular la velocidad instantánea, o podemos estimar la velocidad de un objeto en movimiento utilizando una tabla de valores. A continuación, podemos confirmar la estimación utilizando la Ecuación 3.7.

Ejemplo 3.7

Estimación de la velocidad

Un peso de plomo en un resorte oscila hacia arriba y hacia abajo. Su posición en el tiempo $t$ con respecto a una línea horizontal fija viene dada por $s (t) = sen t$ (Figura 3.9). Utilice una tabla de valores para estimar $v (0) .$ Compruebe la estimación utilizando la Ecuación 3.5.

Imagen de un resorte colgando con un peso en el extremo. Hay una línea horizontal discontinua marcada como 0 un poco por encima del peso.

Figura 3.9 Un peso de plomo suspendido de un resorte en movimiento oscilatorio vertical.

Solución

Podemos estimar la velocidad instantánea en $t = 0$ calculando una tabla de velocidades promedio utilizando los valores de $t$ que se acercan a $0,$ como se muestra en el Tabla 3.1.

$t$	$\frac{sen t - sen 0}{t - 0} = \frac{sen t}{t}$
$−0,1$	$0,998334166$
$−0,01$	$0,9999833333$
$−0,001$	$0,999999833$
$0,001$	$0,999999833$
$0,01$	$0,9999833333$
$0,1$	$0,998334166$

Tabla 3.1 Velocidades promedio con valores de t cercanos a 0

En la tabla vemos que la velocidad media en el intervalo de tiempo $[−0,1, 0]$ ¿es $0,998334166,$ la velocidad media en el intervalo de tiempo $[−0,01, 0]$ ¿es $0,9999833333,$ , etc. Utilizando esta tabla de valores, parece que un es $v (0) = 1 .$

Utilizando la Ecuación 3.5, podemos ver que

v (0) = s^{'} (0) = \underset{t \to 0}{lím} \frac{sen t - sen 0}{t - 0} = \underset{t \to 0}{lím} \frac{sen t}{t} = 1 .

Así, de hecho, $v (0) = 1 .$

Punto de control 3.4

Se deja caer una roca desde una altura de $64$ pies. Su altura sobre el suelo en el momento $t$ segundos después viene dada por $s (t) = –16 t^{2} + 64, 0 \leq t \leq 2 .$ Calcule su velocidad instantánea $1$ segundo después de su caída, utilizando la Ecuación 3.5.

Como hemos visto a lo largo de esta sección, la pendiente de una línea tangente a una función y la velocidad instantánea son conceptos relacionados. Cada una se estima calculando una derivada y cada una mide la tasa instantánea de cambio de una función, o la tasa de cambio de una función en cualquier punto a lo largo de la misma.

Definición

La tasa instantánea de cambio de una función $f (x)$ en un valor $a$ es su derivada $f^{'} (a) .$

Ejemplo 3.8

Inicio del capítulo: Estimación de la tasa de cambio de la velocidad

El mismo automóvil deportivo que circula a toda velocidad por una carretera sinuosa desde el principio del capítulo

Figura 3.10 (créditos: modificación del trabajo de Codex41, Flickr).

Alcanzando una velocidad máxima de $270,49$ mph, el Hennessey Venom GT es uno de los autos más rápidos del mundo. En las pruebas pasó de $0$ al $60$ mph en $3,05$ segundos, desde $0 para 100$ mph en $5,88$ segundos, desde $0 para 200$ mph en $14,51$ segundos, y de $0 para 229,9$ mph en $19,96$ segundos. Utilice estos datos para sacar una conclusión sobre la tasa de cambio de la velocidad (es decir, su aceleración) a medida que se acerca $229,9$ mph. ¿La velocidad de aceleración del automóvil parece aumentar, disminuir o ser constante?

Solución

Primero observe que $60$ mph = $88$ ft/s, $100$ mph $\approx 146,67$ pies/s, $200$ mph $\approx 293,33$ ft/s, y $229,9$ mph $\approx 337,19$ ft/s. Podemos resumir la información en una tabla.

$t$	$v (t)$ grandes.
$0$	$0$
$3,05$	$88$
$5,88$	$147,67$
$14,51$	$293,33$
$19,96$	$337,19$

Tabla 3.2

v (t)

a diferentes valores de t

Ahora calcule la aceleración promedio del automóvil en pies por segundo en intervalos de la forma $[t, 19,96]$ cuando $t$ se acerca a $19,96,$ como se muestra en la siguiente tabla.

$t$	$\frac{v (t) - v (19,96)}{t - 19,96} = \frac{v (t) - 337,19}{t - 19,96}$
$0,0$	$16,89$
$3,05$	$14,74$
$5,88$	$13,46$
$14,51$	$8,05$

Tabla 3.3 Aceleración media

El ritmo de aceleración del automóvil disminuye a medida que su velocidad se aproxima a $229,9$ mph $(337,19$ ft/s).

Ejemplo 3.9

Tasa de cambio de temperatura

Un propietario ajusta el termostato para que la temperatura dentro de su casa empiece a bajar de $70 ° F$ a las $9$ p. m., alcance un mínimo de $60 °$ durante la noche, y suba de nuevo a $70 °$ a las $7$ de la mañana siguiente. Supongamos que la temperatura de la casa viene dada por $T (t) = 0,4 t^{2} - 4 t + 70$ por $0 \leq t \leq 10,$ donde $t$ es el número de horas pasadas las $9$ p. m. Halle la tasa instantánea de cambio de la temperatura a medianoche.

Solución

Como la medianoche es $3$ horas pasadas las $9$ p. m., queremos calcular $T^{'} (3) .$ Consulte la Ecuación 3.5.

\begin{matrix} T^{'} (3) & = \underset{t \to 3}{lím} \frac{T (t) - T (3)}{t - 3} & Aplique la definición. \\ = \underset{t \to 3}{lím} \frac{0,4 t^{2} - 4 t + 70 - 61,6}{t - 3} & \begin{matrix} Sustituya T (t) = 0,4 t^{2} - 4 t + 70 y \\ T (3) = 61,6 . \end{matrix} \\ = \underset{t \to 3}{lím} \frac{0,4 t^{2} - 4 t + 8,4}{t - 3} & Simplifique. \\ = \underset{t \to 3}{lím} \frac{0,4 (t - 3) (t - 7)}{t - 3} & = \underset{t \to 3}{lím} \frac{0,4 (t - 3) (t - 7)}{t - 3} \\ = \underset{t \to 3}{lím} 0,4 (t - 7) & Cancele. \\ = −1,6 & Evalúe el límite. \end{matrix}

La tasa instantánea de cambio de la temperatura a medianoche es $−1,6 ° F$ por hora.

Ejemplo 3.10

Tasa de cambio del beneficio

Una compañía de juguetes puede vender $x$ sistemas de juego electrónico a un precio de $p = −0,01 x + 400$ dólares por sistema de juego. El costo de fabricación $x$ viene dado por $C (x) = 100 x + 10.000$ dólares. Halle la tasa de cambio del beneficio cuando se producen $10.000$ juegos. ¿Debe la compañía juguetera aumentar o disminuir la producción?

Solución

El beneficio $P (x)$ obtenido por la producción de $x$ sistemas de juego es $R (x) - C (x),$ donde $R (x)$ son los ingresos obtenidos por la venta de $x$ juegos. Dado que la compañía puede vender $x$ juegos en $p = −0,01 x + 400$ por juego,

R (x) = x p = x (−0,01 x + 400) = −0,01 x^{2} + 400 x .

En consecuencia,

P (x) = −0,01 x^{2} + 300 x - 10.000 .

Por lo tanto, la evaluación de la tasa de cambio del beneficio da

\begin{matrix} P^{'} (10.000) & = \underset{x \to 10.000}{lím} \frac{P (x) - P (10.000)}{x - 10.000} \\ = \underset{x \to 10.000}{lím} \frac{−0,01 x^{2} + 300 x - 10.000 - 1.990.000}{x - 10.000} \\ = \underset{x \to 10.000}{lím} \frac{−0,01 x^{2} + 300 x - 2.000.000}{x - 10.000} \\ = 100 . \end{matrix}

Dado que la tasa de cambio del beneficio $P^{'} (10.000) > 0$ y $P (10.000) > 0,$ la compañía debe aumentar la producción.

Punto de control 3.5

Una cafetería determina que el beneficio diario obtenido de los panecillos al cobrar $s$ dólares por panecillo es $P (s) = −20 s^{2} + 150 s - 10 .$ La cafetería cobra actualmente $$ 3,25$ por panecillo. Halle $P^{'} (3,25),$ la tasa de cambio del beneficio cuando el precio es $$ 3,25$ y decida si la cafetería debería considerar la posibilidad de subir o bajar el precio de los panecillos

Sección 3.1 ejercicios

En los siguientes ejercicios, utilice la Ecuación 3.1 para encontrar la pendiente de la línea secante entre los valores $x_{1}$ y $x_{2}$ para cada función $y = f (x) .$

1.

$f (x) = 4 x + 7; x_{1} = 2, x_{2} = 5$

2.

$f (x) = 8 x - 3; x_{1} = −1, x_{2} = 3$

3.

$f (x) = x^{2} + 2 x + 1; x_{1} = 3, x_{2} = 3,5$

4.

$f (x) = − x^{2} + x + 2; x_{1} = 0,5, x_{2} = 1,5$

5.

$f (x) = \frac{4}{3 x - 1}; x_{1} = 1, x_{2} = 3$

6.

$f (x) = \frac{x - 7}{2 x + 1}; x_{1} = 0, x_{2} = 2$

7.

$f (x) = \sqrt{x}; x_{1} = 1, x_{2} = 16$

8.

$f (x) = \sqrt{x - 9}; x_{1} = 10, x_{2} = 13$

9.

$f (x) = x^{1 / 3} + 1; x_{1} = 0, x_{2} = 8$

10.

$f (x) = 6 x^{2 / 3} + 2 x^{1 / 3}; x_{1} = 1, x_{2} = 27$

Para las siguientes funciones,

utilice la Ecuación 3.4 para encontrar la pendiente de la línea tangente $m_{tan} = f^{'} (a),$ y
halle la ecuación de la línea tangente a $f$ en $x = a .$

11.

$f (x) = 3 - 4 x, a = 2$

12.

$f (x) = \frac{x}{5} + 6, a = –1$

13.

$f (x) = x^{2} + x, a = 1$

14.

$f (x) = 1 - x - x^{2}, a = 0$

15.

$f (x) = \frac{7}{x}, a = 3$

16.

$f (x) = \sqrt{x + 8}, a = 1$

17.

$f (x) = 2 - 3 x^{2}, a = –2$

18.

$f (x) = \frac{−3}{x - 1}, a = 4$

19.

$f (x) = \frac{2}{x + 3}, a = –4$

20.

$f (x) = \frac{3}{x^{2}}, a = 3$

En las siguientes funciones $y = f (x),$ calcule $f^{'} (a)$ utilizando la Ecuación 3.5.

21.

$f (x) = 5 x + 4, a = –1$

22.

$f (x) = −7 x + 1, a = 3$

23.

$f (x) = x^{2} + 9 x, a = 2$

24.

$f (x) = 3 x^{2} - x + 2, a = 1$

25.

$f (x) = \sqrt{x}, a = 4$

26.

$f (x) = \sqrt{x - 2}, a = 6$

27.

$f (x) = \frac{1}{x}, a = 2$

28.

$f (x) = \frac{1}{x - 3}, a = –1$

29.

$f (x) = \frac{1}{x^{3}}, a = 1$

30.

$f (x) = \frac{1}{\sqrt{x}}, a = 4$

En los siguientes ejercicios, dada la función $y = f (x),$

Calcule la pendiente de la línea secante $P Q$ para cada punto $Q (x, f (x))$ con el valor $x$ que se indica en la tabla.
Utilice las respuestas de a. para estimar el valor de la pendiente de la línea tangente en $P .$
Use la respuesta de b. para hallar la ecuación de la línea tangente a $f$ en el punto $P .$

31.

[T] $f (x) = x^{2} + 3 x + 4, P (1, 8)$ (Redondee a $6$ decimales)

x	La pendiente $m_{P Q}$	x	La pendiente $m_{P Q}$
1,1	(i)	0,9	(vii)
1,01	(ii)	0,99	(viii)
1,001	(iii)	0,999	(ix)
1,0001	(iv)	0,9999	(x)
1,00001	(v)	0,99999	(xi)
1,000001	(vi)	0,999999	(xii)

32.

[T] $f (x) = \frac{x + 1}{x^{2} - 1}, P (0, –1)$

x	La pendiente $m_{P Q}$	x	La pendiente $m_{P Q}$
0,1	(i)	$−0,1$	(vii)
0,01	(ii)	$−0,01$	(viii)
0,001	(iii)	$−0,001$	(ix)
0,0001	(iv)	$−0,0001$	(x)
0,00001	(v)	$−0,00001$	(xi)
0,000001	(vi)	$−0,000001$	(xii)

33.

[T] $f (x) = 10 e^{0,5 x}, P (0, 10)$ (Redondee a $4$ decimales)

x	La pendiente $m_{P Q}$
$−0,1$	(i)
$−0,01$	(ii)
$−0,001$	(iii)
$−0,0001$	(iv)
$−0,00001$	(v)
−0,000001	(vi)

34.

[T] $f (x) = tan (x), P (π, 0)$

x	La pendiente $m_{P Q}$
3,1	(i)
3,14	(ii)
3,141	(iii)
3,1415	(iv)
3,14159	(v)
3,141592	(vi)

[T] Para las siguientes funciones de posición $y = s (t),$ un objeto se mueve a lo largo de una línea recta, donde $t$ está en segundos y $s$ está en metros. Halle

la expresión simplificada para la velocidad media de $t = 2$ al $t = 2 + h;$
la velocidad media entre $t = 2$ y $t = 2 + h,$ donde $(i) h = 0,1,$ $(ii) h = 0,01,$ $(iii) h = 0,001,$ y $(iv) h = 0,0001;$ y
utilice la respuesta de a. para estimar la velocidad instantánea en $t = 2$ segundos.

35.

$s (t) = \frac{1}{3} t + 5$

36.

$s (t) = t^{2} - 2 t$

37.

$s (t) = 2 t^{3} + 3$

38.

$s (t) = \frac{16}{t^{2}} - \frac{4}{t}$

39.

Utilice el siguiente gráfico para evaluar a $f^{'} (1)$ y b. $f^{'} (6) .$

Este gráfico muestra dos segmentos de línea conectados: uno que va de (1, 0) a (4, 6) y otro que va de (4, 6) a (8, 8).

40.

Utilice el siguiente gráfico para evaluar a $f^{'} (−3)$ y b. $f^{'} (1,5) .$

Este gráfico muestra dos segmentos de línea conectados: uno que va de (-4, 3) a (1, 3) y otro que va de (1, 3) a (1,5, 4).

En los siguientes ejercicios, utilice la definición de límite de la derivada para demostrar que la derivada no existe en $x = a$ para cada una de las funciones dadas.

41.

$f (x) = x^{1 / 3}, x = 0$

42.

$f (x) = x^{2 / 3}, x = 0$

43.

$f (x) = {\begin{matrix} 1, x < 1 \\ x, x \geq 1 \end{matrix}, x = 1$

44.

$f (x) = \frac{| x |}{x}, x = 0$

45.

[T] La posición en ft de un auto de carreras a lo largo de una pista recta después de $t$ segundos está modelada por la función $s (t) = 8 t^{2} - \frac{1}{16} t^{3} .$

Halle la velocidad media del vehículo en los siguientes intervalos de tiempo con cuatro decimales
1. [4, 4,1]
2. [4, 4,01]
3. [4, 4,001]
4. [4, 4,0001]
Utilice a. para sacar una conclusión sobre la velocidad instantánea del vehículo en $t = 4$ segundos.

46.

[T] La distancia en ft que una pelota rueda por una pendiente se modela mediante la función $s (t) = 14 t^{2},$ donde t son los segundos después de que la pelota empieza a rodar.

Halle la velocidad media de la pelota en los siguientes intervalos de tiempo
1. [5, 5,1]
2. [5, 5,01]
3. [5, 5,001]
4. [5, 5,0001]
Utilice las respuestas de a. para sacar una conclusión sobre la velocidad instantánea de la pelota en $t = 5$ segundos.

47.

Dos vehículos comienzan a viajar uno al lado del otro por una carretera recta. Sus funciones de posición, que se muestran en el siguiente gráfico, vienen dadas por $s = f (t)$ y $s = g (t),$ donde $s$ se mide en pies y $t$ se mide en segundos.

Se grafican dos funciones s = g(t) y s = f(t). La primera función s = g(t) comienza en (0, 0) y se arquea hacia arriba pasando aproximadamente por (2, 1) hasta (4, 4). La segunda función s = f(t) es una línea recta que pasa por (0, 0) y (4, 4).

¿Qué vehículo viajó más lejos en $t = 2$ segundos?
¿Cuál es la velocidad aproximada de cada vehículo en $t = 3$ segundos?
¿Qué vehículo va más rápido a los $t = 4$ segundos?
¿Qué hay de cierto en las posiciones de los vehículos en $t = 4$ segundos?

48.

[T] El costo total $C (x),$ en cientos de dólares, para producir $x$ tarros de mayonesa viene dado por $C (x) = 0,000003 x^{3} + 4 x + 300 .$

Calcule el costo promedio por tarro en los siguientes intervalos:
1. [100, 100,1]
2. [100, 100,01]
3. [100, 100,001]
4. [100, 100,0001]
Utilice las respuestas de a. para estimar el costo promedio de producción de $100$ tarros de mayonesa.

49.

[T] Para la función $f (x) = x^{3} - 2 x^{2} - 11 x + 12,$ haga lo siguiente.

Utilice una calculadora gráfica para graficar f en una ventana de visualización adecuada.
Use la función ZOOM de la calculadora para aproximar los dos valores de $x = a$ para la cual $m_{tan} = f^{'} (a) = 0 .$

50.

[T] Para la función $f (x) = \frac{x}{1 + x^{2}},$ haga lo siguiente.

Utilice una calculadora gráfica para graficar $f$ en una ventana de visualización adecuada.
Utilice la función ZOOM de la calculadora para aproximar los valores de $x = a$ para la cual $m_{tan} = f^{'} (a) = 0 .$

51.

Supongamos que $N (x)$ calcula el número de galones de gasolina utilizados por un vehículo que recorre $x$ millas. Supongamos que el vehículo alcanza $30$ mpg (millas por galón)

Halle una expresión matemática para $N (x) .$
¿Cuál es el valor de $N (100)?$ Explique el significado físico.
¿Cuál es el valor de $N^{'} (100) ?$ Explique el significado físico.

52.

[T] Para la función $f (x) = x^{4} - 5 x^{2} + 4,$ haga lo siguiente.

Utilice una calculadora gráfica para graficar $f$ en una ventana de visualización adecuada.
Utilice la función $nDeriv$ función, que halla numéricamente la derivada, en una calculadora gráfica para estimar $f^{'} (−2), f^{'} (−0,5), f^{'} (1,7),$ y $f^{'} (2,718) .$

53.

[T] Para la función $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 1},$ haga lo siguiente.

Utilice una calculadora gráfica para representar $f$ en una ventana de visualización adecuada.
Utilice la función $nDeriv$ en una calculadora gráfica para hallar $f^{'} (–4), f^{'} (−2), f^{'} (2),$ y $f^{'} (4) .$

3.1 Definir la derivada

Rectas tangentes

Hallar una línea tangente

Solución

La pendiente de una línea tangente revisada

Solución

Halle la ecuación de una línea tangente

Solución

La derivada de una función en un punto

Estimación de una derivada

Solución

Encontrar una derivada

Solución

Repaso de la derivada

Solución

Velocidades y tasas de cambio

Estimación de la velocidad

Solución

Inicio del capítulo: Estimación de la tasa de cambio de la velocidad

Solución

Tasa de cambio de temperatura

Solución

Tasa de cambio del beneficio

Solución

Sección 3.1 ejercicios