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Cálculo volumen 1

3.1 Definir la derivada

Cálculo volumen 13.1 Definir la derivada

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Índice
  1. Prefacio
  2. 1 Funciones y gráficos
    1. Introducción
    2. 1.1 Repaso de las funciones
    3. 1.2 Clases básicas de funciones
    4. 1.3 Funciones trigonométricas
    5. 1.4 Funciones inversas
    6. 1.5 Funciones exponenciales y logarítmicas
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  3. 2 Límites
    1. Introducción
    2. 2.1 Un repaso previo del cálculo
    3. 2.2 El límite de una función
    4. 2.3 Las leyes de los límites
    5. 2.4 Continuidad
    6. 2.5 La definición precisa de un límite
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  4. 3 Derivadas
    1. Introducción
    2. 3.1 Definir la derivada
    3. 3.2 La derivada como función
    4. 3.3 Reglas de diferenciación
    5. 3.4 Las derivadas como tasas de cambio
    6. 3.5 Derivadas de funciones trigonométricas
    7. 3.6 La regla de la cadena
    8. 3.7 Derivadas de funciones inversas
    9. 3.8 Diferenciación implícita
    10. 3.9 Derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas
    11. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  5. 4 Aplicaciones de las derivadas
    1. Introducción
    2. 4.1 Tasas relacionadas
    3. 4.2 Aproximaciones lineales y diferenciales
    4. 4.3 Máximos y mínimos
    5. 4.4 El teorema del valor medio
    6. 4.5 Las derivadas y la forma de un gráfico
    7. 4.6 Límites al infinito y asíntotas
    8. 4.7 Problemas de optimización aplicados
    9. 4.8 La regla de L'Hôpital
    10. 4.9 Método de Newton
    11. 4.10 Antiderivadas
    12. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  6. 5 Integración
    1. Introducción
    2. 5.1 Aproximación de áreas
    3. 5.2 La integral definida
    4. 5.3 El teorema fundamental del cálculo
    5. 5.4 Fórmulas de integración y el teorema del cambio neto
    6. 5.5 Sustitución
    7. 5.6 Integrales con funciones exponenciales y logarítmicas
    8. 5.7 Integrales que resultan en funciones trigonométricas inversas
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  7. 6 Aplicaciones de la integración
    1. Introducción
    2. 6.1 Áreas entre curvas
    3. 6.2 Determinar los volúmenes mediante el corte
    4. 6.3 Volúmenes de revolución: capas cilíndricas
    5. 6.4 Longitud del arco de una curva y superficie
    6. 6.5 Aplicaciones físicas
    7. 6.6 Momentos y centros de masa
    8. 6.7 Integrales, funciones exponenciales y logaritmos
    9. 6.8 Crecimiento y decaimiento exponencial
    10. 6.9 Cálculo de las funciones hiperbólicas
    11. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  8. A Tabla de integrales
  9. B Tabla de derivadas
  10. C Repaso de Precálculo
  11. Clave de respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
  12. Índice

Objetivos de aprendizaje

  • 3.1.1 Reconocer el significado de la tangente a una curva en un punto.
  • 3.1.2 Calcular la pendiente de una línea tangente.
  • 3.1.3 Identificar la derivada como el límite de un cociente de diferencias.
  • 3.1.4 Calcular la derivada de una función dada en un punto.
  • 3.1.5 Describir la velocidad como una tasa de cambio.
  • 3.1.6 Explicar la diferencia entre velocidad media y velocidad instantánea.
  • 3.1.7 Estimar la derivada a partir de una tabla de valores.

Ahora que tenemos tanto una comprensión conceptual de los límites como la capacidad práctica de calcularlos, establecimos la base para nuestro estudio del cálculo, la rama de las matemáticas en la que calculamos derivadas e integrales. La mayoría de los matemáticos e historiadores coinciden en que el cálculo fue desarrollado de forma independiente por el inglés Isaac Newton (1643–1727)(1643–1727) y el alemán Gottfried Leibniz (1646–1716),(1646–1716), cuyas imágenes aparecen en la Figura 3.2. Cuando atribuimos a Newton y Leibniz el desarrollo del cálculo, a lo que hacemos referencia es al hecho de que Newton y Leibniz fueron los primeros en comprender la relación entre la derivada y la integral. Ambos matemáticos se beneficiaron del trabajo de sus predecesores, como Barrow, Fermat y Cavalieri. La relación inicial entre los dos matemáticos parece haber sido amistosa; sin embargo, en años posteriores estalló una amarga controversia sobre la prioridad de los trabajos de ambos. Aunque parece probable que Newton fuera el primero en llegar a las ideas que sustentan el cálculo, estamos en deuda con Leibniz por la notación que utilizamos habitualmente en la actualidad.

Fotos de Newton y Leibniz.
Figura 3.2 Se atribuye a Newton y a Leibniz el desarrollo del cálculo de forma independiente.

Rectas tangentes

Comenzamos nuestro estudio del cálculo revisando la noción de rectas secantes y rectas tangentes. Recordemos que utilizamos la pendiente de una línea secante a una función en un punto (a,f(a))(a,f(a)) para estimar la tasa de cambio, o la tasa a la que cambia una variable en relación con otra. Podemos obtener la pendiente de la secante eligiendo un valor de xx cerca de aa y dibujar una línea a lo largo de los puntos (a,f(a))(a,f(a)) y (x,f(x)),(x,f(x)), como se muestra en la Figura 3.3. La pendiente de esta línea viene dada por una ecuación en forma de cociente de diferencias:

msec=f(x)f(a)xa.msec=f(x)f(a)xa.

También podemos calcular la pendiente de una línea secante a una función en un valor a utilizando esta ecuación y sustituyendo xx con la a+h,a+h, donde hh es un valor cercano a 0. Luego podemos calcular la pendiente de la línea que pasa por los puntos (a,f(a))(a,f(a)) y (a+h,f(a+h)).(a+h,f(a+h)). En este caso, encontramos que la línea secante tiene una pendiente dada por el siguiente cociente de diferencias con incremento h:h:

msec=f(a+h)f(a)a+ha=f(a+h)f(a)h.msec=f(a+h)f(a)a+ha=f(a+h)f(a)h.

Definición

Supongamos que ff es una función definida en un intervalo II que contiene a.a. Si xaxa está en I,I, entonces

Q=f(x)f(a)xaQ=f(x)f(a)xa
(3.1)

es un cociente de diferencias.

Además, si h0h0 se elige de manera que a+ha+h está en I,I, entonces

Q=f(a+h)f(a)hQ=f(a+h)f(a)h
(3.2)

es un cociente de diferencias con incremento h.h.

Medios

Vea el desarrollo de la derivada con esta miniaplicación.

Estas dos expresiones para calcular la pendiente de una línea secante se ilustran en la Figura 3.3. Veremos que cada uno de estos dos métodos para encontrar la pendiente de una línea secante es de gran utilidad. Dependiendo del entorno, podemos elegir uno u otro. La principal consideración en nuestra elección suele depender de la facilidad de cálculo.

Esta figura consta de dos gráficos denominados a y b. La figura a muestra el plano de coordenadas cartesianas con 0, a y x marcados en el eje x. Hay una curva marcada y = f(x) con puntos marcados (a, f(a)) y (x, f(x)). También existe una línea recta que cruza estos dos puntos (a, f(a)) y (x, f(x)). En la parte inferior del gráfico se da la ecuación msec = (f(x) - f(a))/(x - a). La figura b muestra un gráfico similar, pero esta vez a + h está marcado en el eje x en vez de x. En consecuencia, la curva denominada y = f(x) pasa por (a, f(a)) y (a + h, f(a + h)) al igual que la línea recta. En la parte inferior del gráfico se da la ecuación msec = (f(a + h) - f(a))/h.
Figura 3.3 Podemos calcular la pendiente de una línea secante de dos maneras.

En la Figura 3.4(a) vemos que, a medida que los valores de xx se acercan a a,a, las pendientes de las líneas secantes proporcionan mejores estimaciones de la tasa de cambio de la función en a.a. Además, las mismas rectas secantes se aproximan a la línea tangente a la función en a,a, que representa el límite de las líneas secantes. Del mismo modo, la Figura 3.4(b) muestra que a medida que los valores de hh se acercan a 0,0, las rectas secantes también se acercan a la línea tangente. La pendiente de la línea tangente en aa es la tasa de cambio de la función en a,a, como se muestra en la Figura 3.4(c).

Esta figura consta de tres gráficos marcados como a, b y c. La figura a muestra el plano de coordenadas cartesianas con 0, a, x2 y x1 marcados en orden en el eje x. Existe una curva denominada y = f(x) con puntos marcados (a, f(a)), (x2, f(x2)) y (x1, f(x1)). Hay tres líneas rectas: la primera interseca (a, f(a)) y (x1, f(x1)); la segunda interseca (a, f(a)) y (x2, f(x2)); y la tercera solo interseca (a, f(a)), lo que la convierte en tangente. En la parte inferior del gráfico se da la ecuación mtan = limx → a (f(x) - f(a))/(x - a). La figura b muestra un gráfico similar, pero esta vez a + h2 y a + h1 están marcados en el eje x en vez de x2 y x1. En consecuencia, la curva marcada y = f(x) pasa por (a, f(a)), (a + h2, f(a + h2)) y (a + h1, f(a + h1)) y las líneas rectas intersecan el gráfico de forma similar como en la figura a. En la parte inferior del gráfico se da la ecuación mtan = limh → 0 (f(a + h) - f(a))/h. La figura c muestra solo la curva denominada y = f(x) y su tangente en el punto (a, f(a)).
Figura 3.4 Las líneas secantes se acercan a la línea tangente (mostrada en verde) cuando el segundo punto se acerca al primero.

Medios

Puede usar este sitio para explorar gráficos y ver si tienen una línea tangente en un punto.

En la Figura 3.5 mostramos el gráfico de f(x)=xf(x)=x y su línea tangente en (1,1)(1,1) en una serie de intervalos más estrechos sobre x=1.x=1. A medida que los intervalos se hacen más estrechos, el gráfico de la función y su línea tangente parecen coincidir, lo que hace que los valores de la línea tangente sean una buena aproximación a los valores de la función para las elecciones de xx cerca de 1.1. De hecho, el gráfico de f(x)f(x) parece ser localmente lineal en las inmediaciones de x=1.x=1.

Esta figura consta de cuatro gráficos denominados a, b, c y d. La figura a muestra los gráficos de la raíz cuadrada de x y de la ecuación y = (x + 1)/2 con el eje x que va de 0 a 4 y el eje y que va de 0 a 2,5. Los gráficos de estas dos funciones se ven muy próximos a 1; hay un recuadro alrededor de donde estos gráficos se ven cercanos. La figura b muestra un acercamiento de estas mismas dos funciones en el área de la caja de la figura a, concretamente x va de 0 a 2 y y va de 0 a 1,4. La figura c es el mismo gráfico que la figura b, pero este tiene una caja de 0 a 1,1 en la coordenada x y 0,8 y 1 en la coordenada y. Hay una flecha que indica que esto se ha ampliado en la figura d. La figura d muestra una imagen muy cercana de la caja de la figura c, y las dos funciones parecen tocarse en casi toda la longitud del gráfico.
Figura 3.5 Para valores de x x cerca de 1 , 1 , el gráfico de f ( x ) = x f ( x ) = x y su línea tangente parecen coincidir.

Formalmente podemos definir la línea tangente al gráfico de una función como sigue.

Definición

Supongamos que f(x)f(x) sea una función definida en un intervalo abierto que contenga a.a. La línea tangente a f(x)f(x) en aa es la línea que pasa por el punto (a,f(a))(a,f(a)) con pendiente

mtan=límxaf(x)f(a)xamtan=límxaf(x)f(a)xa
(3.3)

siempre que exista este límite.

De forma equivalente, podemos definir la línea tangente a f(x)f(x) en aa para que sea la línea que pasa por el punto (a,f(a))(a,f(a)) con pendiente

mtan=límh0f(a+h)f(a)hmtan=límh0f(a+h)f(a)h
(3.4)

siempre que exista este límite.

Al igual que utilizamos dos expresiones diferentes para definir la pendiente de una línea secante, utilizamos dos formas diferentes para definir la pendiente de la línea tangente. En este texto utilizamos ambas formas de la definición. Como antes, la elección de la definición dependerá del entorno. Ahora que ya definimos formalmente una línea tangente a una función en un punto, podemos utilizar esta definición para encontrar ecuaciones de rectas tangentes.

Ejemplo 3.1

Hallar una línea tangente

Halle la ecuación de la línea tangente al gráfico de f(x)=x2 f(x)=x2 en x=3.x=3.

Ejemplo 3.2

La pendiente de una línea tangente revisada

Use la Ecuación 3.4 para encontrar la pendiente de la línea tangente al gráfico de f(x)=x2 f(x)=x2 en x=3.x=3.

Ejemplo 3.3

Halle la ecuación de una línea tangente

Halle la ecuación de la línea tangente al gráfico de f(x)=1/xf(x)=1/x en x=2 .x=2 .

Punto de control 3.1

Calcule la pendiente de la línea tangente al gráfico de f(x)=xf(x)=x en x=4.x=4.

La derivada de una función en un punto

El tipo de límite que calculamos para hallar la pendiente de la línea tangente a una función en un punto se da en muchas aplicaciones de varias disciplinas. Estas aplicaciones incluyen la velocidad y la aceleración en física, las funciones de ganancia marginal en los negocios y las tasas de crecimiento en biología. Este límite se da con tanta frecuencia que damos a este valor un nombre especial: la derivada. El proceso para encontrar una derivada se denomina diferenciación.

Definición

Supongamos que f(x)f(x) sea una función definida en un intervalo abierto que contenga a.a. La derivada de la función f(x)f(x) en a,a, denotada por f(a),f(a), se define por

f(a)=límxaf(x)f(a)xaf(a)=límxaf(x)f(a)xa
(3.5)

siempre que exista este límite.

Como alternativa, también podemos definir la derivada de f(x)f(x) en aa cuando

f(a)=límh0f(a+h)f(a)h.f(a)=límh0f(a+h)f(a)h.
(3.6)

Ejemplo 3.4

Estimación de una derivada

Para f(x)=x2 ,f(x)=x2 , utilice una tabla para estimar f(3)f(3) utilizando la Ecuación 3.5.

Punto de control 3.2

Para f(x)=x2 ,f(x)=x2 , utilice una tabla para estimar f(3)f(3) utilizando la Ecuación 3.6.

Ejemplo 3.5

Encontrar una derivada

Para f(x)=3x2 4x+1,f(x)=3x2 4x+1, calcule f(2 )f(2 ) utilizando la Ecuación 3.5.

Ejemplo 3.6

Repaso de la derivada

Para f(x)=3x2 4x+1,f(x)=3x2 4x+1, calcule f(2 )f(2 ) utilizando la Ecuación 3.6.

Punto de control 3.3

Para f(x)=x2 +3x+2 ,f(x)=x2 +3x+2 , calcule f(1).f(1).

Velocidades y tasas de cambio

Ahora que podemos evaluar una derivada, podemos utilizarla en aplicaciones de velocidad. Recordemos que si s(t)s(t) es la posición de un objeto que se mueve a lo largo de un eje de coordenadas, la velocidad media del objeto en un intervalo de tiempo [a,t][a,t] si t>at>a o [t,a][t,a] si t<at<a viene dada por el cociente de diferencias

vave=s(t)s(a)ta.vave=s(t)s(a)ta.
(3.7)

Dado que los valores de tt se acercan a a,a, los valores de vavevave se acercan al valor que llamamos velocidad instantánea en a.a. Es decir, la velocidad instantánea en a,a, denotado v(a),v(a), está dada por

v(a)=s(a)=límtas(t)s(a)ta.v(a)=s(a)=límtas(t)s(a)ta.
(3.8)

Para entender mejor la relación entre la velocidad media y la velocidad instantánea, consulte la Figura 3.8. En esa figura, la pendiente de la línea tangente (mostrada en rojo) es la velocidad instantánea del objeto en el momento t=at=a cuya posición en el momento tt viene dada por la función s(t).s(t). La pendiente de la línea secante (mostrada en verde) es la velocidad media del objeto en el intervalo de tiempo [a,t].[a,t].

Esta figura consiste en un plano de coordenadas cartesianas con 0, a y t1 marcados en el eje t. La función y = s(t) se representa gráficamente en el primer cuadrante junto con dos rectas marcadas como tangente y secante. La línea tangente toca a y = s(t) en un solo punto, (a, s(a)). La línea secante toca a y = s(t) en dos puntos: (a, s(a)) y (t1, s(t1)).
Figura 3.8 La pendiente de la línea secante es la velocidad media en el intervalo [ a , t ] . [ a , t ] . La pendiente de la línea tangente es la velocidad instantánea.

Podemos utilizar la Ecuación 3.5 para calcular la velocidad instantánea, o podemos estimar la velocidad de un objeto en movimiento utilizando una tabla de valores. A continuación, podemos confirmar la estimación utilizando la Ecuación 3.7.

Ejemplo 3.7

Estimación de la velocidad

Un peso de plomo en un resorte oscila hacia arriba y hacia abajo. Su posición en el tiempo tt con respecto a una línea horizontal fija viene dada por s(t)=sents(t)=sent (Figura 3.9). Utilice una tabla de valores para estimar v(0).v(0). Compruebe la estimación utilizando la Ecuación 3.5.

Imagen de un resorte colgando con un peso en el extremo. Hay una línea horizontal discontinua marcada como 0 un poco por encima del peso.
Figura 3.9 Un peso de plomo suspendido de un resorte en movimiento oscilatorio vertical.

Punto de control 3.4

Se deja caer una roca desde una altura de 6464 pies. Su altura sobre el suelo en el momento tt segundos después viene dada por s(t)=–16t2 +64,0t2 .s(t)=–16t2 +64,0t2 . Calcule su velocidad instantánea 11 segundo después de su caída, utilizando la Ecuación 3.5.

Como hemos visto a lo largo de esta sección, la pendiente de una línea tangente a una función y la velocidad instantánea son conceptos relacionados. Cada una se estima calculando una derivada y cada una mide la tasa instantánea de cambio de una función, o la tasa de cambio de una función en cualquier punto a lo largo de la misma.

Definición

La tasa instantánea de cambio de una función f(x)f(x) en un valor aa es su derivada f(a).f(a).

Ejemplo 3.8

Inicio del capítulo: Estimación de la tasa de cambio de la velocidad

El mismo automóvil deportivo que circula a toda velocidad por una carretera sinuosa desde el principio del capítulo
Figura 3.10 (créditos: modificación del trabajo de Codex41, Flickr).

Alcanzando una velocidad máxima de 270,49270,49 mph, el Hennessey Venom GT es uno de los autos más rápidos del mundo. En las pruebas pasó de 00 al 6060 mph en 3,053,05 segundos, desde 0para1000para100 mph en 5,885,88 segundos, desde 0para2000para200 mph en 14,5114,51 segundos, y de 0para229,90para229,9 mph en 19,9619,96 segundos. Utilice estos datos para sacar una conclusión sobre la tasa de cambio de la velocidad (es decir, su aceleración) a medida que se acerca 229,9229,9 mph. ¿La velocidad de aceleración del automóvil parece aumentar, disminuir o ser constante?

Ejemplo 3.9

Tasa de cambio de temperatura

Un propietario ajusta el termostato para que la temperatura dentro de su casa empiece a bajar de 70 °F70 °F a las 99 p. m., alcance un mínimo de 60°60° durante la noche, y suba de nuevo a 70°70° a las 77 de la mañana siguiente. Supongamos que la temperatura de la casa viene dada por T(t)=0,4t2 4t+70T(t)=0,4t2 4t+70 por 0t10,0t10, donde tt es el número de horas pasadas las 99 p. m. Halle la tasa instantánea de cambio de la temperatura a medianoche.

Ejemplo 3.10

Tasa de cambio del beneficio

Una compañía de juguetes puede vender xx sistemas de juego electrónico a un precio de p=−0,01x+400p=−0,01x+400 dólares por sistema de juego. El costo de fabricación xx viene dado por C(x)=100x+10.000C(x)=100x+10.000 dólares. Halle la tasa de cambio del beneficio cuando se producen 10.00010.000 juegos. ¿Debe la compañía juguetera aumentar o disminuir la producción?

Punto de control 3.5

Una cafetería determina que el beneficio diario obtenido de los panecillos al cobrar ss dólares por panecillo es P(s)=−20s2 +150s10.P(s)=−20s2 +150s10. La cafetería cobra actualmente $3,25$3,25 por panecillo. Halle P(3,25),P(3,25), la tasa de cambio del beneficio cuando el precio es $3,25$3,25 y decida si la cafetería debería considerar la posibilidad de subir o bajar el precio de los panecillos

Sección 3.1 ejercicios

En los siguientes ejercicios, utilice la Ecuación 3.1 para encontrar la pendiente de la línea secante entre los valores x1x1 y x2 x2 para cada función y=f(x).y=f(x).

1.

f ( x ) = 4 x + 7 ; x 1 = 2 , x 2 = 5 f ( x ) = 4 x + 7 ; x 1 = 2 , x 2 = 5

2.

f ( x ) = 8 x 3 ; x 1 = −1 , x 2 = 3 f ( x ) = 8 x 3 ; x 1 = −1 , x 2 = 3

3.

f ( x ) = x 2 + 2 x + 1 ; x 1 = 3 , x 2 = 3,5 f ( x ) = x 2 + 2 x + 1 ; x 1 = 3 , x 2 = 3,5

4.

f ( x ) = x 2 + x + 2 ; x 1 = 0,5 , x 2 = 1,5 f ( x ) = x 2 + x + 2 ; x 1 = 0,5 , x 2 = 1,5

5.

f ( x ) = 4 3 x 1 ; x 1 = 1 , x 2 = 3 f ( x ) = 4 3 x 1 ; x 1 = 1 , x 2 = 3

6.

f ( x ) = x 7 2 x + 1 ; x 1 = 0 , x 2 = 2 f ( x ) = x 7 2 x + 1 ; x 1 = 0 , x 2 = 2

7.

f ( x ) = x ; x 1 = 1 , x 2 = 16 f ( x ) = x ; x 1 = 1 , x 2 = 16

8.

f ( x ) = x 9 ; x 1 = 10 , x 2 = 13 f ( x ) = x 9 ; x 1 = 10 , x 2 = 13

9.

f ( x ) = x 1 / 3 + 1 ; x 1 = 0 , x 2 = 8 f ( x ) = x 1 / 3 + 1 ; x 1 = 0 , x 2 = 8

10.

f ( x ) = 6 x 2 / 3 + 2 x 1 / 3 ; x 1 = 1 , x 2 = 27 f ( x ) = 6 x 2 / 3 + 2 x 1 / 3 ; x 1 = 1 , x 2 = 27

Para las siguientes funciones,

  1. utilice la Ecuación 3.4 para encontrar la pendiente de la línea tangente mtan=f(a),mtan=f(a), y
  2. halle la ecuación de la línea tangente a ff en x=a.x=a.
11.

f ( x ) = 3 4 x , a = 2 f ( x ) = 3 4 x , a = 2

12.

f ( x ) = x 5 + 6 , a = –1 f ( x ) = x 5 + 6 , a = –1

13.

f ( x ) = x 2 + x , a = 1 f ( x ) = x 2 + x , a = 1

14.

f ( x ) = 1 x x 2 , a = 0 f ( x ) = 1 x x 2 , a = 0

15.

f ( x ) = 7 x , a = 3 f ( x ) = 7 x , a = 3

16.

f ( x ) = x + 8 , a = 1 f ( x ) = x + 8 , a = 1

17.

f ( x ) = 2 3 x 2 , a = –2 f ( x ) = 2 3 x 2 , a = –2

18.

f ( x ) = −3 x 1 , a = 4 f ( x ) = −3 x 1 , a = 4

19.

f ( x ) = 2 x + 3 , a = –4 f ( x ) = 2 x + 3 , a = –4

20.

f ( x ) = 3 x 2 , a = 3 f ( x ) = 3 x 2 , a = 3

En las siguientes funciones y=f(x),y=f(x), calcule f(a)f(a) utilizando la Ecuación 3.5.

21.

f ( x ) = 5 x + 4 , a = –1 f ( x ) = 5 x + 4 , a = –1

22.

f ( x ) = −7 x + 1 , a = 3 f ( x ) = −7 x + 1 , a = 3

23.

f ( x ) = x 2 + 9 x , a = 2 f ( x ) = x 2 + 9 x , a = 2

24.

f ( x ) = 3 x 2 x + 2 , a = 1 f ( x ) = 3 x 2 x + 2 , a = 1

25.

f ( x ) = x , a = 4 f ( x ) = x , a = 4

26.

f ( x ) = x 2 , a = 6 f ( x ) = x 2 , a = 6

27.

f ( x ) = 1 x , a = 2 f ( x ) = 1 x , a = 2

28.

f ( x ) = 1 x 3 , a = –1 f ( x ) = 1 x 3 , a = –1

29.

f ( x ) = 1 x 3 , a = 1 f ( x ) = 1 x 3 , a = 1

30.

f ( x ) = 1 x , a = 4 f ( x ) = 1 x , a = 4

En los siguientes ejercicios, dada la función y=f(x),y=f(x),

  1. Calcule la pendiente de la línea secante PQPQ para cada punto Q(x,f(x))Q(x,f(x)) con el valor xx que se indica en la tabla.
  2. Utilice las respuestas de a. para estimar el valor de la pendiente de la línea tangente en P.P.
  3. Use la respuesta de b. para hallar la ecuación de la línea tangente a ff en el punto P.P.
31.

[T] f(x)=x2 +3x+4,P(1,8)f(x)=x2 +3x+4,P(1,8) (Redondee a 66 decimales)

x La pendiente mPQmPQ x La pendiente mPQmPQ
1,1 (i) 0,9 (vii)
1,01 (ii) 0,99 (viii)
1,001 (iii) 0,999 (ix)
1,0001 (iv) 0,9999 (x)
1,00001 (v) 0,99999 (xi)
1,000001 (vi) 0,999999 (xii)
32.

[T] f(x)=x+1x2 1,P(0,–1)f(x)=x+1x2 1,P(0,–1)

x La pendiente mPQmPQ x La pendiente mPQmPQ
0,1 (i) −0,1−0,1 (vii)
0,01 (ii) −0,01−0,01 (viii)
0,001 (iii) −0,001−0,001 (ix)
0,0001 (iv) −0,0001−0,0001 (x)
0,00001 (v) −0,00001−0,00001 (xi)
0,000001 (vi) −0,000001−0,000001 (xii)
33.

[T] f(x)=10e0,5x,P(0,10)f(x)=10e0,5x,P(0,10) (Redondee a 44 decimales)

x La pendiente mPQmPQ
−0,1−0,1 (i)
−0,01−0,01 (ii)
−0,001−0,001 (iii)
−0,0001−0,0001 (iv)
−0,00001−0,00001 (v)
−0,000001 (vi)
34.

[T] f(x)=tan(x),P(π,0)f(x)=tan(x),P(π,0)

x La pendiente mPQmPQ
3,1 (i)
3,14 (ii)
3,141 (iii)
3,1415 (iv)
3,14159 (v)
3,141592 (vi)

[T] Para las siguientes funciones de posición y=s(t),y=s(t), un objeto se mueve a lo largo de una línea recta, donde tt está en segundos y ss está en metros. Halle

  1. la expresión simplificada para la velocidad media de t=2 t=2 al t=2 +h;t=2 +h;
  2. la velocidad media entre t=2 t=2 y t=2 +h,t=2 +h, donde (i)h=0,1,(i)h=0,1, (ii)h=0,01,(ii)h=0,01, (iii)h=0,001,(iii)h=0,001, y (iv)h=0,0001;(iv)h=0,0001; y
  3. utilice la respuesta de a. para estimar la velocidad instantánea en t=2 t=2 segundos.
35.

s ( t ) = 1 3 t + 5 s ( t ) = 1 3 t + 5

36.

s ( t ) = t 2 2 t s ( t ) = t 2 2 t

37.

s ( t ) = 2 t 3 + 3 s ( t ) = 2 t 3 + 3

38.

s ( t ) = 16 t 2 4 t s ( t ) = 16 t 2 4 t

39.

Utilice el siguiente gráfico para evaluar a f(1)f(1) y b. f(6).f(6).

Este gráfico muestra dos segmentos de línea conectados: uno que va de (1, 0) a (4, 6) y otro que va de (4, 6) a (8, 8).
40.

Utilice el siguiente gráfico para evaluar a f(−3)f(−3) y b. f(1,5).f(1,5).

Este gráfico muestra dos segmentos de línea conectados: uno que va de (-4, 3) a (1, 3) y otro que va de (1, 3) a (1,5, 4).

En los siguientes ejercicios, utilice la definición de límite de la derivada para demostrar que la derivada no existe en x=ax=a para cada una de las funciones dadas.

41.

f ( x ) = x 1 / 3 , x = 0 f ( x ) = x 1 / 3 , x = 0

42.

f ( x ) = x 2 / 3 , x = 0 f ( x ) = x 2 / 3 , x = 0

43.

f ( x ) = { 1 , x < 1 x , x 1 , x = 1 f ( x ) = { 1 , x < 1 x , x 1 , x = 1

44.

f ( x ) = | x | x , x = 0 f ( x ) = | x | x , x = 0

45.

[T] La posición en ft de un auto de carreras a lo largo de una pista recta después de tt segundos está modelada por la función s(t)=8t2 116t3.s(t)=8t2 116t3.

  1. Halle la velocidad media del vehículo en los siguientes intervalos de tiempo con cuatro decimales
    1. [4, 4,1]
    2. [4, 4,01]
    3. [4, 4,001]
    4. [4, 4,0001]
  2. Utilice a. para sacar una conclusión sobre la velocidad instantánea del vehículo en t=4t=4 segundos.
46.

[T] La distancia en ft que una pelota rueda por una pendiente se modela mediante la función s(t)=14t2 ,s(t)=14t2 , donde t son los segundos después de que la pelota empieza a rodar.

  1. Halle la velocidad media de la pelota en los siguientes intervalos de tiempo
    1. [5, 5,1]
    2. [5, 5,01]
    3. [5, 5,001]
    4. [5, 5,0001]
  2. Utilice las respuestas de a. para sacar una conclusión sobre la velocidad instantánea de la pelota en t=5t=5 segundos.
47.

Dos vehículos comienzan a viajar uno al lado del otro por una carretera recta. Sus funciones de posición, que se muestran en el siguiente gráfico, vienen dadas por s=f(t)s=f(t) y s=g(t),s=g(t), donde ss se mide en pies y tt se mide en segundos.

Se grafican dos funciones s = g(t) y s = f(t). La primera función s = g(t) comienza en (0, 0) y se arquea hacia arriba pasando aproximadamente por (2, 1) hasta (4, 4). La segunda función s = f(t) es una línea recta que pasa por (0, 0) y (4, 4).
  1. ¿Qué vehículo viajó más lejos en t=2 t=2 segundos?
  2. ¿Cuál es la velocidad aproximada de cada vehículo en t=3t=3 segundos?
  3. ¿Qué vehículo va más rápido a los t=4t=4 segundos?
  4. ¿Qué hay de cierto en las posiciones de los vehículos en t=4t=4 segundos?
48.

[T] El costo total C(x),C(x), en cientos de dólares, para producir xx tarros de mayonesa viene dado por C(x)=0,000003x3+4x+300.C(x)=0,000003x3+4x+300.

  1. Calcule el costo promedio por tarro en los siguientes intervalos:
    1. [100, 100,1]
    2. [100, 100,01]
    3. [100, 100,001]
    4. [100, 100,0001]
  2. Utilice las respuestas de a. para estimar el costo promedio de producción de 100100 tarros de mayonesa.
49.

[T] Para la función f(x)=x32 x2 11x+12,f(x)=x32 x2 11x+12, haga lo siguiente.

  1. Utilice una calculadora gráfica para graficar f en una ventana de visualización adecuada.
  2. Use la función ZOOM de la calculadora para aproximar los dos valores de x=ax=a para la cual mtan=f(a)=0.mtan=f(a)=0.
50.

[T] Para la función f(x)=x1+x2 ,f(x)=x1+x2 , haga lo siguiente.

  1. Utilice una calculadora gráfica para graficar ff en una ventana de visualización adecuada.
  2. Utilice la función ZOOM de la calculadora para aproximar los valores de x=ax=a para la cual mtan=f(a)=0.mtan=f(a)=0.
51.

Supongamos que N(x)N(x) calcula el número de galones de gasolina utilizados por un vehículo que recorre xx millas. Supongamos que el vehículo alcanza 3030 mpg (millas por galón)

  1. Halle una expresión matemática para N(x).N(x).
  2. ¿Cuál es el valor de N(100)?N(100)? Explique el significado físico.
  3. ¿Cuál es el valor de N(100)?N(100)? Explique el significado físico.
52.

[T] Para la función f(x)=x45x2 +4,f(x)=x45x2 +4, haga lo siguiente.

  1. Utilice una calculadora gráfica para graficar ff en una ventana de visualización adecuada.
  2. Utilice la función nDerivnDeriv función, que halla numéricamente la derivada, en una calculadora gráfica para estimar f(−2),f(−0,5),f(1,7),f(−2),f(−0,5),f(1,7), y f(2,718).f(2,718).
53.

[T] Para la función f(x)=x2 x2 +1,f(x)=x2 x2 +1, haga lo siguiente.

  1. Utilice una calculadora gráfica para representar ff en una ventana de visualización adecuada.
  2. Utilice la función nDerivnDeriv en una calculadora gráfica para hallar f(–4),f(−2),f(2 ),f(–4),f(−2),f(2 ), y f(4).f(4).
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