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Cálculo volumen 1

Ejercicios de repaso

Cálculo volumen 1Ejercicios de repaso

Índice
  1. Prefacio
  2. 1 Funciones y gráficos
    1. Introducción
    2. 1.1 Repaso de las funciones
    3. 1.2 Clases básicas de funciones
    4. 1.3 Funciones trigonométricas
    5. 1.4 Funciones inversas
    6. 1.5 Funciones exponenciales y logarítmicas
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  3. 2 Límites
    1. Introducción
    2. 2.1 Un repaso previo del cálculo
    3. 2.2 El límite de una función
    4. 2.3 Las leyes de los límites
    5. 2.4 Continuidad
    6. 2.5 La definición precisa de un límite
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  4. 3 Derivadas
    1. Introducción
    2. 3.1 Definir la derivada
    3. 3.2 La derivada como función
    4. 3.3 Reglas de diferenciación
    5. 3.4 Las derivadas como tasas de cambio
    6. 3.5 Derivadas de funciones trigonométricas
    7. 3.6 La regla de la cadena
    8. 3.7 Derivadas de funciones inversas
    9. 3.8 Diferenciación implícita
    10. 3.9 Derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas
    11. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  5. 4 Aplicaciones de las derivadas
    1. Introducción
    2. 4.1 Tasas relacionadas
    3. 4.2 Aproximaciones lineales y diferenciales
    4. 4.3 Máximos y mínimos
    5. 4.4 El teorema del valor medio
    6. 4.5 Las derivadas y la forma de un gráfico
    7. 4.6 Límites al infinito y asíntotas
    8. 4.7 Problemas de optimización aplicados
    9. 4.8 La regla de L'Hôpital
    10. 4.9 Método de Newton
    11. 4.10 Antiderivadas
    12. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  6. 5 Integración
    1. Introducción
    2. 5.1 Aproximación de áreas
    3. 5.2 La integral definida
    4. 5.3 El teorema fundamental del cálculo
    5. 5.4 Fórmulas de integración y el teorema del cambio neto
    6. 5.5 Sustitución
    7. 5.6 Integrales con funciones exponenciales y logarítmicas
    8. 5.7 Integrales que resultan en funciones trigonométricas inversas
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  7. 6 Aplicaciones de la integración
    1. Introducción
    2. 6.1 Áreas entre curvas
    3. 6.2 Determinar los volúmenes mediante el corte
    4. 6.3 Volúmenes de revolución: capas cilíndricas
    5. 6.4 Longitud del arco de una curva y superficie
    6. 6.5 Aplicaciones físicas
    7. 6.6 Momentos y centros de masa
    8. 6.7 Integrales, funciones exponenciales y logaritmos
    9. 6.8 Crecimiento y decaimiento exponencial
    10. 6.9 Cálculo de las funciones hiperbólicas
    11. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  8. A Tabla de integrales
  9. B Tabla de derivadas
  10. C Repaso de Precálculo
  11. Clave de respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
  12. Índice

Ejercicios de repaso

Verdadero o falso. En los siguientes ejercicios, justifique su respuesta con una prueba o un contraejemplo.

208.

Una función tiene que ser continua en x=ax=a si el límxaf(x)límxaf(x).

209.

Puede utilizar la regla de cociente para evaluar límx0senxx.límx0senxx.

210.

Si hay una asíntota vertical en x=ax=a para la función f(x),f(x), entonces f es indefinida en el punto x=a.x=a.

211.

Si límxaf(x)límxaf(x) no existe, entonces f es indefinida en el punto x=a.x=a.

212.

Utilizando el gráfico, halle cada límite o explique por qué no existe el límite.

  1. límx−1f(x)límx−1f(x) grandes.
  2. límx1f(x)límx1f(x) grandes.
  3. límx0+f(x)límx0+f(x) grandes.
  4. límx2 f(x)límx2 f(x)
Un gráfico de una función a trozos con varios segmentos. El primer segmento es una curva cóncava decreciente hacia arriba que existe para x < -1. Termina en un círculo abierto en (-1, 1). El segundo es una función lineal creciente que comienza en (-1, -2) y termina en (0,-1). El tercero es una curva cóncava creciente hacia abajo que existe desde un círculo abierto en (0,0) hasta un círculo abierto en (1,1). El cuarto es un círculo cerrado en (1,-1). El quinto es una línea sin pendiente que existe para x > 1, que parte del círculo abierto en (1,1).

En los siguientes ejercicios, evalúe el límite algebraicamente o explique por qué el límite no existe.

213.

lím x 2 2 x 2 3 x 2 x 2 lím x 2 2 x 2 3 x 2 x 2

214.

lím x 0 3 x 2 2 x + 4 lím x 0 3 x 2 2 x + 4

215.

lím x 3 x 3 2 x 2 1 3 x 2 lím x 3 x 3 2 x 2 1 3 x 2

216.

lím x π / 2 cot x cos x lím x π / 2 cot x cos x

217.

lím x −5 x 2 + 25 x + 5 lím x −5 x 2 + 25 x + 5

218.

lím x 2 3 x 2 2 x 8 x 2 4 lím x 2 3 x 2 2 x 8 x 2 4

219.

lím x 1 x 2 1 x 3 1 lím x 1 x 2 1 x 3 1

220.

lím x 1 x 2 1 x 1 lím x 1 x 2 1 x 1

221.

lím x 4 4 x x 2 lím x 4 4 x x 2

222.

lím x 4 1 x 2 lím x 4 1 x 2

Utilice el teorema del emparedado en los siguientes ejercicios para demostrar el límite.

223.

lím x 0 x 2 cos ( 2 π x ) = 0 lím x 0 x 2 cos ( 2 π x ) = 0

224.

lím x 0 x 3 sen ( π x ) = 0 lím x 0 x 3 sen ( π x ) = 0

225.

Determine el dominio tal que la función f(x)=x2 +xexf(x)=x2 +xex sea continua en su dominio.

En los siguientes ejercicios, determine el valor de c tal que la función siga siendo continua. Dibuje la función resultante para asegurarse de que es continua.

226.

f ( x ) = { x 2 + 1 , x > c 2 x , x c f ( x ) = { x 2 + 1 , x > c 2 x , x c

227.

f ( x ) = { x + 1 , x > 1 x 2 + c , x 1 f ( x ) = { x + 1 , x > 1 x 2 + c , x 1

En los siguientes ejercicios, utilice la definición precisa de límite para demostrar el límite.

228.

lím x 1 ( 8 x + 16 ) = 24 lím x 1 ( 8 x + 16 ) = 24

229.

lím x 0 x 3 = 0 lím x 0 x 3 = 0

230.

Se lanza una pelota al aire y su posición vertical viene dada por x(t)=−4,9t2 +25t+5.x(t)=−4,9t2 +25t+5. Utilice el teorema del valor intermedio para demostrar que la pelota debe aterrizar en el suelo en algún momento entre 5 s y 6 s después del lanzamiento.

231.

Una partícula que se mueve a lo largo de una línea tiene un desplazamiento según la función x(t)=t2 2 t+4,x(t)=t2 2 t+4, donde x se mide en metros y t se mide en segundos. Halle la velocidad media durante el periodo t=[0,2 ].t=[0,2 ].

232.

A partir de los ejercicios anteriores, estime la velocidad instantánea en t=2 t=2 comprobando la velocidad media dentro de t=0,01sec.t=0,01sec.

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