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Cálculo volumen 1

Conceptos clave

Cálculo volumen 1Conceptos clave

Índice
  1. Prefacio
  2. 1 Funciones y gráficos
    1. Introducción
    2. 1.1 Repaso de las funciones
    3. 1.2 Clases básicas de funciones
    4. 1.3 Funciones trigonométricas
    5. 1.4 Funciones inversas
    6. 1.5 Funciones exponenciales y logarítmicas
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  3. 2 Límites
    1. Introducción
    2. 2.1 Un repaso previo del cálculo
    3. 2.2 El límite de una función
    4. 2.3 Las leyes de los límites
    5. 2.4 Continuidad
    6. 2.5 La definición precisa de un límite
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  4. 3 Derivadas
    1. Introducción
    2. 3.1 Definir la derivada
    3. 3.2 La derivada como función
    4. 3.3 Reglas de diferenciación
    5. 3.4 Las derivadas como tasas de cambio
    6. 3.5 Derivadas de funciones trigonométricas
    7. 3.6 La regla de la cadena
    8. 3.7 Derivadas de funciones inversas
    9. 3.8 Diferenciación implícita
    10. 3.9 Derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas
    11. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  5. 4 Aplicaciones de las derivadas
    1. Introducción
    2. 4.1 Tasas relacionadas
    3. 4.2 Aproximaciones lineales y diferenciales
    4. 4.3 Máximos y mínimos
    5. 4.4 El teorema del valor medio
    6. 4.5 Las derivadas y la forma de un gráfico
    7. 4.6 Límites al infinito y asíntotas
    8. 4.7 Problemas de optimización aplicados
    9. 4.8 La regla de L'Hôpital
    10. 4.9 Método de Newton
    11. 4.10 Antiderivadas
    12. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  6. 5 Integración
    1. Introducción
    2. 5.1 Aproximación de áreas
    3. 5.2 La integral definida
    4. 5.3 El teorema fundamental del cálculo
    5. 5.4 Fórmulas de integración y el teorema del cambio neto
    6. 5.5 Sustitución
    7. 5.6 Integrales con funciones exponenciales y logarítmicas
    8. 5.7 Integrales que resultan en funciones trigonométricas inversas
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  7. 6 Aplicaciones de la integración
    1. Introducción
    2. 6.1 Áreas entre curvas
    3. 6.2 Determinar los volúmenes mediante el corte
    4. 6.3 Volúmenes de revolución: capas cilíndricas
    5. 6.4 Longitud del arco de una curva y superficie
    6. 6.5 Aplicaciones físicas
    7. 6.6 Momentos y centros de masa
    8. 6.7 Integrales, funciones exponenciales y logaritmos
    9. 6.8 Crecimiento y decaimiento exponencial
    10. 6.9 Cálculo de las funciones hiperbólicas
    11. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  8. A Tabla de integrales
  9. B Tabla de derivadas
  10. C Repaso de Precálculo
  11. Clave de respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
  12. Índice

Conceptos clave

2.1 Un repaso previo del cálculo

  • El cálculo diferencial surgió al tratar de resolver el problema de determinar la pendiente de una línea tangente a una curva en un punto. La pendiente de la línea tangente indica la tasa de cambio de la función, también llamada derivada. El cálculo de una derivada requiere calcular un límite.
  • El cálculo integral surgió al tratar de resolver el problema de calcular el área de una región entre el gráfico de una función y el eje x. Podemos aproximar el área dividiéndola en rectángulos finos y sumando las áreas de estos rectángulos. Esta suma conduce al valor de una función llamada integral. La integral también se calcula hallando un límite y, de hecho, está relacionada con la derivada de una función.
  • El cálculo multivariable nos permite resolver problemas en el espacio tridimensional, lo que incluye la determinación del movimiento en el espacio y la búsqueda de volúmenes de sólidos.

2.2 El límite de una función

  • Se puede utilizar una tabla de valores o un gráfico para estimar un límite.
  • Si el límite de una función en un punto no existe, todavía es posible que existan los límites por la izquierda y por la derecha en ese punto.
  • Si los límites de una función por la izquierda y por la derecha existen y son iguales, entonces el límite de la función es ese valor común.
  • Podemos utilizar los límites para describir el comportamiento infinito de una función en un punto.

2.3 Las leyes de los límites

  • Las leyes de los límites nos permiten evaluar los límites de las funciones sin tener que pasar cada vez por los procesos paso a paso.
  • Para polinomios y funciones racionales, límxaf(x)=f(a).límxaf(x)=f(a).
  • Se puede evaluar el límite de una función factorizando y cancelando, multiplicando por un conjugado o simplificando una fracción compleja.
  • El teorema del emparedado permite hallar el límite de una función si esta es siempre mayor que una función y menor que otra función con límites conocidos.

2.4 Continuidad

  • Para que una función sea continua en un punto, debe estar definida en ese punto, su límite debe existir en este y el valor de la función en ese punto debe ser igual al valor del límite en el mismo.
  • Las discontinuidades pueden clasificarse como removibles, de salto o infinitas.
  • Una función es continua en un intervalo abierto si es continua en cada punto del intervalo. Es continua en un intervalo cerrado si es continua en cada punto de su interior y es continua en sus puntos finales.
  • El teorema de la función compuesta dice: Si los valores de f(x)f(x) es continua en L y límxag(x)=L,límxag(x)=L, entonces límxaf(g(x))=f(límxag(x))=f(L).límxaf(g(x))=f(límxag(x))=f(L).
  • El teorema del valor intermedio garantiza que si una función es continua en un intervalo cerrado, entonces la función toma todos los valores entre los valores de sus extremos.

2.5 La definición precisa de un límite

  • La noción intuitiva de un límite puede convertirse en una definición matemática rigurosa conocida como la definición épsilon-delta del límite.
  • La definición épsilon-delta puede utilizarse para demostrar afirmaciones sobre los límites.
  • La definición épsilon-delta de un límite puede modificarse para definir límites unilaterales.
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