Omitir e ir al contenidoIr a la página de accesibilidadMenú de atajos de teclado
Logo de OpenStax
Cálculo volumen 1

2.2 El límite de una función

Cálculo volumen 12.2 El límite de una función

Menú
Índice
  1. Prefacio
  2. 1 Funciones y gráficos
    1. Introducción
    2. 1.1 Repaso de las funciones
    3. 1.2 Clases básicas de funciones
    4. 1.3 Funciones trigonométricas
    5. 1.4 Funciones inversas
    6. 1.5 Funciones exponenciales y logarítmicas
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  3. 2 Límites
    1. Introducción
    2. 2.1 Un repaso previo del cálculo
    3. 2.2 El límite de una función
    4. 2.3 Las leyes de los límites
    5. 2.4 Continuidad
    6. 2.5 La definición precisa de un límite
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  4. 3 Derivadas
    1. Introducción
    2. 3.1 Definir la derivada
    3. 3.2 La derivada como función
    4. 3.3 Reglas de diferenciación
    5. 3.4 Las derivadas como tasas de cambio
    6. 3.5 Derivadas de funciones trigonométricas
    7. 3.6 La regla de la cadena
    8. 3.7 Derivadas de funciones inversas
    9. 3.8 Diferenciación implícita
    10. 3.9 Derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas
    11. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  5. 4 Aplicaciones de las derivadas
    1. Introducción
    2. 4.1 Tasas relacionadas
    3. 4.2 Aproximaciones lineales y diferenciales
    4. 4.3 Máximos y mínimos
    5. 4.4 El teorema del valor medio
    6. 4.5 Las derivadas y la forma de un gráfico
    7. 4.6 Límites al infinito y asíntotas
    8. 4.7 Problemas de optimización aplicados
    9. 4.8 La regla de L'Hôpital
    10. 4.9 Método de Newton
    11. 4.10 Antiderivadas
    12. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  6. 5 Integración
    1. Introducción
    2. 5.1 Aproximación de áreas
    3. 5.2 La integral definida
    4. 5.3 El teorema fundamental del cálculo
    5. 5.4 Fórmulas de integración y el teorema del cambio neto
    6. 5.5 Sustitución
    7. 5.6 Integrales con funciones exponenciales y logarítmicas
    8. 5.7 Integrales que resultan en funciones trigonométricas inversas
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  7. 6 Aplicaciones de la integración
    1. Introducción
    2. 6.1 Áreas entre curvas
    3. 6.2 Determinar los volúmenes mediante el corte
    4. 6.3 Volúmenes de revolución: capas cilíndricas
    5. 6.4 Longitud del arco de una curva y superficie
    6. 6.5 Aplicaciones físicas
    7. 6.6 Momentos y centros de masa
    8. 6.7 Integrales, funciones exponenciales y logaritmos
    9. 6.8 Crecimiento y decaimiento exponencial
    10. 6.9 Cálculo de las funciones hiperbólicas
    11. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  8. A Tabla de integrales
  9. B Tabla de derivadas
  10. C Repaso de Precálculo
  11. Clave de respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
  12. Índice

Objetivos de aprendizaje

  • 2.2.1 Describir el límite de una función utilizando la notación correcta.
  • 2.2.2 Utilizar una tabla de valores para estimar el límite de una función o para identificar que el límite no existe.
  • 2.2.3 Utilizar un gráfico para estimar el límite de una función o para identificar que el límite no existe.
  • 2.2.4 Definir los límites unilaterales y proporcionar ejemplos.
  • 2.2.5 Explicar la relación entre los límites unilaterales y bilaterales.
  • 2.2.6 Describir un límite infinito utilizando la notación correcta.
  • 2.2.7 Definir una asíntota vertical.

El concepto de límite o proceso de límite, esencial para la comprensión del cálculo, existe desde hace miles de años. De hecho, los primeros matemáticos utilizaron un proceso de límite para obtener aproximaciones cada vez mejores de las áreas de los círculos. Sin embargo, la definición formal de límite, tal como la conocemos y entendemos hoy, no apareció sino hasta finales del siglo XIX. Por lo tanto, comenzamos nuestra búsqueda para entender los límites, como hicieron nuestros antepasados matemáticos, utilizando un enfoque intuitivo. Al final de este capítulo, dotados de una comprensión conceptual de los límites, examinaremos la definición formal de un límite.

Comenzaremos nuestra exploración de los límites echando un vistazo a los gráficos de las funciones

f(x)=x2 4x2 ,g(x)=|x2 |x2 ,yh(x)=1(x2 )2 ,f(x)=x2 4x2 ,g(x)=|x2 |x2 ,yh(x)=1(x2 )2 ,

que se muestran en la Figura 2.12. En particular, vamos a centrarnos en el comportamiento de cada gráfico en y alrededor de x=2 .x=2 .

Tres gráficos de funciones. El primero es f(s) = (x^2 – 4) / (x–2), que es una línea con pendiente, intersección x (–2,0) y círculo abierto en (2,4). El segundo es g(x) = |x – 2 | / (x-2), que contiene dos líneas: x = 1 para x>2 y x = –1 para x < 2. Hay círculos abiertos en ambos puntos extremos (2, 1) y (-2, 1). El tercero es h(x) = 1 / (x-2)^2, en la que la función se curva asintóticamente hacia y = 0 y x = 2 en los cuadrantes uno y dos.
Figura 2.12 Estos gráficos muestran el comportamiento de tres funciones diferentes en torno a x = 2 . x = 2 .

Cada una de las tres funciones está indefinida en x=2 ,x=2 , pero si hacemos solo esta afirmación, damos una imagen muy incompleta de cómo se comporta cada función en las proximidades de x=2 .x=2 . Para expresar de forma más completa el comportamiento de cada gráfico en la vecindad de 2, necesitamos introducir el concepto de límite.

Definición intuitiva de un límite

Veamos primero cómo la función f(x)=(x2 4)/(x2 )f(x)=(x2 4)/(x2 ) se comporta alrededor de x=2 x=2 en la Figura 2.12. A medida que los valores de x se acercan a 2 desde cualquier lado de 2, los valores de y=f(x)y=f(x) se acercan a 4. Matemáticamente, decimos que el límite de f(x)f(x) a medida que x se acerca a 2 es 4. Simbólicamente, expresamos este límite como

límx2 f(x)=4.límx2 f(x)=4.

A partir de esta brevísima mirada informal a un límite, empecemos a desarrollar una definición intuitiva del límite. Podemos pensar que el límite de una función en un número a es el único número real L al que se acercan los valores de la función a medida que los valores de x se acercan a a, siempre que dicho número real L exista. Tenemos la siguiente definición que se expresa con más detalle:

Definición

Supongamos que f(x)f(x) es una función definida en todos los valores de un intervalo abierto que contiene a, con la posible excepción de la propia a y que L es un número real. Si todos los valores de la función f(x)f(x) se acercan al número real L a medida que los valores de x(a)x(a) se acercan al número a, entonces decimos que el límite de f(x)f(x) a medida que x se acerca a a es L (más conciso, a medida que x se acerca a a, f(x)f(x) se acerca y se mantiene cerca de L). Simbólicamente, expresamos esta idea como

límxaf(x)=L.límxaf(x)=L.
(2.3)

Podemos estimar los límites construyendo tablas de valores funcionales y observando sus gráficos. Este proceso se describe en la siguiente estrategia de resolución de problemas.

Estrategia de resolución de problemas

Estrategia para la resolución de problemas: Evaluación de un límite mediante una tabla de valores funcionales

  1. Para evaluar límxaf(x),límxaf(x), comenzamos completando una tabla de valores funcionales. Debemos elegir dos conjuntos de valores x: un conjunto de valores que se aproximan a a y son menores que a, y otro conjunto de valores que se aproximan a a y son mayores que a. La Tabla 2.1 demuestra cómo podrían ser sus tablas
    x f(x)f(x) x f(x)f(x) grandes.
    a0,1a0,1 f(a0,1)f(a0,1) grandes. a+0,1a+0,1 f(a+0,1)f(a+0,1) grandes.
    a0,01a0,01 f(a0,01)f(a0,01) grandes. a+0,01a+0,01 f(a+0,01)f(a+0,01) grandes.
    a0,001a0,001 f(a0,001)f(a0,001) grandes. a+0,001a+0,001 f(a+0,001)f(a+0,001) grandes.
    a0,0001a0,0001 f(a0,0001)f(a0,0001) grandes. a+0,0001a+0,0001 f(a+0,0001)f(a+0,0001)
    Utilice los valores adicionales que sean necesarios. Utilice los valores adicionales que sean necesarios.
    Tabla 2.1 Tabla de valores funcionales para lím x a f ( x ) lím x a f ( x )
  2. A continuación, veamos los valores de cada una de las columnasf(x)f(x) y determinemos si los valores parecen acercarse a un único valor a medida que bajamos por cada columna. En las columnas, observamos la secuencia f(a0,1),f(a0,01),f(a0,001).,f(a0,0001),f(a0,1),f(a0,01),f(a0,001).,f(a0,0001),, etc., y f(a+0,1),f(a+0,01),f(a+0,001),f(a+0,0001),f(a+0,1),f(a+0,01),f(a+0,001),f(a+0,0001), y así sucesivamente. (Nota: Aunque elegimos los valores x a±0,1,a±0,01,a±0,001,a±0,0001,a±0,1,a±0,01,a±0,001,a±0,0001, y así sucesivamente, y estos valores probablemente funcionarán casi siempre, en muy raras ocasiones necesitaremos modificar nuestras elecciones.
  3. Si ambas columnas se acercan a un valor común de yL, afirmamos que límxaf(x)=L.límxaf(x)=L. Podemos utilizar la siguiente estrategia para confirmar el resultado obtenido en la tabla o como método alternativo para estimar un límite.
  4. Utilizando una calculadora gráfica o un programa de computadora que nos permita graficar funciones, podemos trazar la función f(x),f(x), asegurándonos de que los valores funcionales de f(x)f(x) para los valores x cerca de a estén en nuestra ventana. Podemos utilizar la función de rastreo para movernos a lo largo del gráfico de la función y observar la lectura del valor y a medida que los valores x se acercan a a. Si los valores y se acercan a L a medida que nuestros valores x se acercan a a desde ambas direcciones, entonces límxaf(x)=L.límxaf(x)=L. Es posible que tengamos que ampliar nuestro gráfico y repetir este proceso varias veces.

Aplicamos esta estrategia de resolución de problemas para calcular un límite en el Ejemplo 2.4.

Ejemplo 2.4

Evaluación de un límite mediante una tabla de valores funcionales 1

Evalúe límx0senxxlímx0senxx utilizando una tabla de valores funcionales.

Ejemplo 2.5

Evaluación de un límite mediante una tabla de valores funcionales 2

Evalúe límx4x2 x4límx4x2 x4 utilizando una tabla de valores funcionales.

Punto de control 2.4

Estime límx11x1x1límx11x1x1 utilizando una tabla de valores funcionales. Utilice un gráfico para confirmar su estimación.

En este punto, vemos en el Ejemplo 2.4 y el Ejemplo 2.5 que puede ser tan fácil, si no más, estimar un límite de una función revisando su gráfico como estimarlo utilizando una tabla de valores funcionales. En el Ejemplo 2.6, evaluamos un límite únicamente observando un gráfico en vez de utilizar una tabla de valores funcionales.

Ejemplo 2.6

Evaluación de un límite mediante un gráfico

Para g(x)g(x) que se muestra en la Figura 2.15, evalúe límx−1g(x).límx−1g(x).

Gráfico de una función curva genérica g(x). En el cuadrante dos, hay un círculo abierto en la función en (-1,3) y un círculo cerrado una unidad arriba en (-1, 4).
Figura 2.15 El gráfico de g ( x ) g ( x ) incluye un valor que no está en una curva suave.

Con base en el Ejemplo 2.6, hacemos la siguiente observación: Es posible que el límite de una función exista en un punto, y que la función esté definida en él, pero el límite de la función y el valor de la función en el punto pueden ser diferentes.

Punto de control 2.5

Utilice el gráfico de h(x)h(x) en la Figura 2.16 para evaluar límx2 h(x),límx2 h(x), si es posible.

Gráfico de la función h(x), que es una parábola graficada sobre [-2,5, 5]. Hay un círculo abierto donde el vértice debería estar en el punto (2,-1).
Figura 2.16

Observar una tabla de valores funcionales o el gráfico de una función nos proporciona una visión útil del valor del límite de una función en un punto determinado. Sin embargo, estas técnicas se basan demasiado en conjeturas. En algún momento tendremos que desarrollar métodos alternativos de evaluación de los límites. Estos nuevos métodos son de naturaleza más algebraica y los exploramos en la siguiente sección; sin embargo, en este punto introduciremos dos límites especiales que son esenciales para las técnicas que vienen.

Teorema 2.1

Dos límites importantes

Supongamos que a es un número real y c una constante.

  1. límxax=alímxax=a
    (2.4)
  2. límxac=clímxac=c
    (2.5)

Podemos hacer las siguientes observaciones sobre estos dos límites.

  1. En el primer límite, observe que a medida que x se acerca a a, también lo hace f(x),f(x), porque f(x)=x.f(x)=x. En consecuencia, límxax=a.límxax=a.
  2. En el segundo límite, tome en cuenta la Tabla 2.4.
x f(x)=cf(x)=c x f(x)=cf(x)=c
a0,1a0,1 c a+0,1a+0,1 c
a0,01a0,01 c a+0,01a+0,01 c
a0,001a0,001 c a+0,001a+0,001 c
a0,0001a0,0001 c a+0,0001a+0,0001 c
Tabla 2.4 Tabla de valores funcionales para lím x a c = c lím x a c = c

Observe que para todos los valores de x (independientemente de que se acerquen a a), los valores f(x)f(x) permanecen constantes en c. No tenemos otra opción que concluir límxac=c.límxac=c.

Existencia de un límite

Cuando consideremos el límite en el siguiente ejemplo, tenga en cuenta que para que exista el límite de una función en un punto, los valores de la función deben acercarse a un único valor de número real en ese punto. Si los valores funcionales no se aproximan a un único valor, entonces el límite no existe.

Ejemplo 2.7

Evaluación de un límite que no existe

Evalúe límx0sen(1/x)límx0sen(1/x) utilizando una tabla de valores.

Punto de control 2.6

Utilice una tabla de valores funcionales para evaluar límx2 |x2 4|x2 ,límx2 |x2 4|x2 , si es posible.

Límites unilaterales

A veces, indicar que el límite de una función no existe en un punto no nos proporciona suficiente información sobre el comportamiento de la función en ese punto concreto. Para ver esto, volvamos a revisar la función g(x)=|x2 |/(x2 )g(x)=|x2 |/(x2 ) introducido al principio de la sección (vea la Figura 2.12(b)). Como elegimos valores de x cercanos a 2, g(x)g(x) no se aproxima a un único valor, por lo que el límite a medida que x se aproxima a 2 no existe, es decir, límx2 g(x)límx2 g(x) DNE. Sin embargo, esta afirmación por sí sola no nos da una imagen completa del comportamiento de la función en torno al valor x de 2. Para proporcionar una descripción más precisa, introducimos la idea de un límite unilateral. Para todos los valores a la izquierda de 2 (o el lado negativo de 2), g(x)=−1.g(x)=−1. Por lo tanto, a medida que x se acerca a 2 por la izquierda, g(x)g(x) se acerca a -1. Matemáticamente, decimos que el límite es -1 a medida que x se acerca a 2 por la izquierda. Simbólicamente, expresamos esta idea como

límx2 g(x)=−1.límx2 g(x)=−1.

Del mismo modo, a medida que x se acerca a 2 por la derecha (o desde el lado positivo), g(x)g(x) se acerca a 1. Simbólicamente, expresamos esta idea como

límx2 +g(x)=1.límx2 +g(x)=1.

Ahora podemos presentar una definición informal de los límites unilaterales.

Definición

Definamos dos tipos de límites unilaterales.

Límite por la izquierda: Supongamos que f(x)f(x) es una función definida en todos los valores de un intervalo abierto de la forma (c, a), y que L es un número real. Si los valores de la función f(x)f(x) se acercan al número real L a medida que los valores de x (donde x<a).x<a). se acercan al número a, entonces decimos que L es el límite de f(x)f(x) a medida que x se acerca a a por la izquierda. Simbólicamente, expresamos esta idea como

límxaf(x)=L.límxaf(x)=L.
(2.6)

Límite por la derecha: Supongamos que f(x)f(x) sea una función definida en todos los valores de un intervalo abierto de la forma (a,c),(a,c), y que L es un número real. Si los valores de la función f(x)f(x) se acercan al número real L a medida que los valores de x (donde x>a).x>a). se acercan al número a, entonces decimos que L es el límite de f(x)f(x) a medida que x se acerca a a por la derecha. Simbólicamente, expresamos esta idea como

límxa+f(x)=L.límxa+f(x)=L.
(2.7)

Ejemplo 2.8

Evaluación de los límites unilaterales

Para que la función f(x)={x+1six<2 x2 4six2 ,f(x)={x+1six<2 x2 4six2 , evalúe cada uno de los siguientes límites.

  1. límx2 f(x)límx2 f(x) grandes.
  2. límx2 +f(x)límx2 +f(x)

Punto de control 2.7

Utilice una tabla de valores funcionales para estimar los siguientes límites, si es posible.

  1. límx2 |x2 4|x2 límx2 |x2 4|x2
  2. límx2 +|x2 4|x2 límx2 +|x2 4|x2

Consideremos ahora la relación entre el límite de una función en un punto y los límites por la derecha y por la izquierda en ese punto. Parece claro que si el límite por la derecha y el límite por la izquierda tienen un valor común, entonces ese valor común es el límite de la función en ese punto. Del mismo modo, si el límite por la izquierda y el límite por la derecha toman valores diferentes, el límite de la función no existe. Estas conclusiones se resumen en Relacionar los límites unilaterales y bilaterales.

Teorema 2.2

Relacionar los límites unilaterales y bilaterales

Supongamos que f(x)f(x) es una función definida en todos los valores de un intervalo abierto que contiene a, con la posible excepción de la propia a y que L es un número real. Entonces,

límxaf(x)=L.si y solo silímxaf(x)=Lylímxa+f(x)=L.límxaf(x)=L.si y solo silímxaf(x)=Lylímxa+f(x)=L.

Límites infinitos

Evaluar el límite de una función en un punto o evaluar el límite de una función por la derecha y por la izquierda en un punto nos ayuda a caracterizar el comportamiento de una función alrededor de un valor dado. Como veremos, también podemos describir el comportamiento de las funciones que no tienen límites finitos.

Ahora nos centramos en h(x)=1/(x2 )2 ,h(x)=1/(x2 )2 , la tercera y última función introducida al principio de esta sección (vea la Figura 2.12(c)). En su gráfico vemos que a medida que los valores de x se acercan a 2, los valores de h(x)=1/(x2 )2 h(x)=1/(x2 )2 se hacen cada vez más grandes y, de hecho, se vuelven infinitos. Matemáticamente, decimos que el límite de h(x)h(x) a medida que x se acerca a 2 es el infinito positivo. Simbólicamente, expresamos esta idea como

límx2 h(x)=+.límx2 h(x)=+.

De forma más general, definimos los límites infinitos como sigue:

Definición

Definamos tres tipos de límites infinitos.

Límites infinitos por la izquierda: Supongamos que f(x)f(x) sea una función definida en todos los valores de un intervalo abierto de la forma (b,a).(b,a).

  1. Si los valores de f(x)f(x) aumentan sin límite a medida que los valores de x (donde x<a).x<a). se acerca al número a, entonces decimos que el límite a medida que x se acerca a a por la izquierda es el infinito positivo y escribimos
    límxaf(x)=+.límxaf(x)=+.
    (2.8)
  2. Si los valores de f(x)f(x) disminuyen sin límite a medida que los valores de x (donde x<a).x<a). se acerca al número a, entonces decimos que el límite a medida que x se acerca a a por la izquierda es el infinito negativo y escribimos
    límxaf(x)=.límxaf(x)=.
    (2.9)

Límites infinitos por la derecha: Supongamos que f(x)f(x) sea una función definida en todos los valores de un intervalo abierto de la forma (a,c).(a,c).

  1. Si los valores de f(x)f(x) aumentan sin límite a medida que los valores de x (donde x>a).x>a). se acerca al número a, entonces decimos que el límite a medida que x se acerca a a por la derecha es el infinito positivo y escribimos
    límxa+f(x)=+.límxa+f(x)=+.
    (2.10)
  2. Si los valores de f(x)f(x) disminuyen sin límite a medida que los valores de x (donde x>a).x>a). se acerca al número a, entonces decimos que el límite a medida que x se acerca a a por la derecha es el infinito negativo y escribimos
    límxa+f(x)=.límxa+f(x)=.
    (2.11)

Límite infinito bilateral: Supongamos que f(x)f(x) se define para todos los xaxa en un intervalo abierto que contiene a.

  1. Si los valores de f(x)f(x) aumentan sin límite a medida que los valores de x (donde xa).xa). se acerca al número a, entonces decimos que el límite a medida que x se acerca a a es el infinito positivo y escribimos
    límxaf(x)=+.límxaf(x)=+.
    (2.12)
  2. Si los valores de f(x)f(x) disminuyen sin límite a medida que los valores de x (donde xa).xa). se acerca al número a, entonces decimos que el límite a medida que x se acerca a a es el infinito negativo y escribimos
    límxaf(x)=.límxaf(x)=.
    (2.13)

Es importante entender que cuando escribimos afirmaciones como límxaf(x)=+límxaf(x)=+ o límxaf(x)=límxaf(x)= estamos describiendo el comportamiento de la función, tal y como la acabamos de definir. No afirmamos que exista un límite. Para el límite de una función f(x)f(x) exista en a, debe acercarse a un número real L a medida que x se acerca a a. Dicho esto, si, por ejemplo, límxaf(x)=+,límxaf(x)=+, siempre escribimos límxaf(x)=+límxaf(x)=+ en vez de límxaf(x)límxaf(x) (does not exist, DNE).

Ejemplo 2.9

Reconocer un límite infinito

Evalúe cada uno de los siguientes límites, si es posible. Utilice una tabla de valores funcionales y un gráfico f(x)=1/xf(x)=1/x para confirmar su conclusión.

  1. límx01xlímx01x
  2. límx0+1xlímx0+1x
  3. límx01xlímx01x

Punto de control 2.8

Evalúe cada uno de los siguientes límites, si es posible. Utilice una tabla de valores funcionales y un gráfico f(x)=1/x2 f(x)=1/x2 para confirmar su conclusión.

  1. límx01x2 límx01x2
  2. límx0+1x2 límx0+1x2
  3. límx01x2 límx01x2

Es útil señalar que las funciones de la forma f(x)=1/(xa)n,f(x)=1/(xa)n, donde n es un número entero positivo, tienen límites infinitos a medida que x se acerca a a por la izquierda o la derecha (Figura 2.20). Estos límites se resumen en Límites infinitos a partir de números enteros positivos.

Dos gráficos contiguos de f(x) = 1 / (x-a)^n. El primer gráfico muestra el caso en que n es un número entero positivo impar, y el segundo muestra el caso en que n es un número entero positivo par. En el primero, el gráfico tiene dos segmentos. Cada curva se dirige asintóticamente hacia el eje x, también conocido como y = 0, y x = a. El segmento a la izquierda de x = a está por debajo del eje x, y el segmento a la derecha de x = a está por encima del eje x. En el segundo gráfico, ambos segmentos están por encima del eje x.
Figura 2.20 La función f ( x ) = 1 / ( x a ) n f ( x ) = 1 / ( x a ) n tiene límites infinitos en a.

Teorema 2.3

Límites infinitos a partir de números enteros positivos

Si n es un número entero positivo par, entonces

límxa1(xa)n=+.límxa1(xa)n=+.

Si n es un número entero positivo impar, entonces

límxa+1(xa)n=+límxa+1(xa)n=+

y

límxa1(xa)n=.límxa1(xa)n=.

También debemos señalar que en los gráficos de f(x)=1/(xa)n,f(x)=1/(xa)n, los puntos del gráfico que tienen coordenadas x muy cercanas a a están muy cerca de la línea vertical x=a.x=a. Es decir, a medida que x se acerca a a, los puntos del gráfico de f(x)f(x) están más cerca de la línea x=a.x=a. La línea x=ax=a se denomina asíntota vertical del gráfico. Definimos formalmente una asíntota vertical como sigue:

Definición

Supongamos que f(x)f(x) es una función. Si se cumple alguna de las siguientes condiciones, la línea x=ax=a es una asíntota vertical de f(x).f(x).

límxaf(x)=+o−∞límxa+f(x)=+o−∞olímxaf(x)=+o−∞límxaf(x)=+o−∞límxa+f(x)=+o−∞olímxaf(x)=+o−∞

Ejemplo 2.10

Hallar una asíntota vertical

Evalúe cada uno de los siguientes límites utilizando Límites infinitos a partir de números enteros positivos. Identifique las asíntotas verticales de la función f(x)=1/(x+3)4.f(x)=1/(x+3)4.

  1. límx−31(x+3)4límx−31(x+3)4
  2. límx−3+1(x+3)4límx−3+1(x+3)4
  3. límx−31(x+3)4límx−31(x+3)4

Punto de control 2.9

Evalúe cada uno de los siguientes límites. Identifique las asíntotas verticales de la función f(x)=1(x2 )3.f(x)=1(x2 )3.

  1. límx2 1(x2 )3límx2 1(x2 )3
  2. límx2 +1(x2 )3límx2 +1(x2 )3
  3. límx2 1(x2 )3límx2 1(x2 )3

En el siguiente ejemplo ponemos en práctica nuestros conocimientos sobre los distintos tipos de límites para analizar el comportamiento de una función en diferentes puntos.

Ejemplo 2.11

Comportamiento de una función en diferentes puntos

Utilice el gráfico de f(x)f(x) en la Figura 2.21 para determinar cada uno de los siguientes valores:

  1. límx−4f(x);límx−4+f(x);límx−4f(x);f(–4)límx−4f(x);límx−4+f(x);límx−4f(x);f(–4) grandes.
  2. límx−2f(x);límx−2+f(x);límx−2f(x);f(−2)límx−2f(x);límx−2+f(x);límx−2f(x);f(−2) grandes.
  3. límx1f(x);límx1+f(x);límx1f(x);f(1)límx1f(x);límx1+f(x);límx1f(x);f(1) grandes.
  4. límx3f(x);límx3+f(x);límx3f(x);f(3)límx3f(x);límx3+f(x);límx3f(x);f(3)
Gráfico de una función f(x) descrita por los límites y valores anteriores. Hay una curva suave para los valores inferiores a x=-2; en (-2, 3), hay un círculo abierto. Hay una curva suave entre (-2, 1] con un círculo cerrado en (1,6). Hay un círculo abierto en (1,3), y una curva suave que se extiende desde allí hasta el infinito negativo a lo largo de x=3. La función también se curva asintóticamente a lo largo de x=3 en el otro lado, estirándose también hasta el infinito negativo. A continuación, la función cambia de concavidad en el primer cuadrante alrededor de y=4,5 y continúa hacia arriba.
Figura 2.21 El gráfico muestra f ( x ) . f ( x ) .

Punto de control 2.10

Evalúe límx1f(x)límx1f(x) por f(x)f(x) se muestra aquí:

Un gráfico de una función a trozos. El primer segmento se curva desde el tercer cuadrante hasta el primero, atravesando el segundo cuadrante. El punto final en el primer cuadrante es un círculo abierto. El segundo segmento comienza en un círculo cerrado unas unidades por debajo del círculo abierto. Se curva hacia abajo desde el cuadrante uno hasta el cuadrante cuatro.

Ejemplo 2.12

Inicio del capítulo: La ecuación de Einstein

Una imagen de una nave espacial futurista atravesando el espacio sideral a toda velocidad
Figura 2.22 (créditos: NASA).

En la introducción del capítulo mencionamos brevemente cómo Albert Einstein demostró que existe un límite a la velocidad que puede viajar cualquier objeto. Dada la ecuación de Einstein para la masa de un objeto en movimiento, ¿cuál es el valor de este límite?

Sección 2.2 ejercicios

En los siguientes ejercicios, considere la función f(x)=x2 1|x1|.f(x)=x2 1|x1|.

30.

[T] Complete la siguiente tabla para la función. Redondee sus soluciones a cuatro decimales.

x f(x)f(x) x f(x)f(x)
0,9 a. 1,1 e.
0,99 b. 1,01 f.
0,999 c. 1,001 g.
0,9999 d. 1,0001 h.
31.

¿Qué indican sus resultados en el ejercicio anterior sobre el límite bilateral límx1f(x)?límx1f(x)? Razone su respuesta.

En los siguientes ejercicios, considere la función f(x)=(1+x)1/x.f(x)=(1+x)1/x.

32.

[T] Haga una tabla con los valores de f para x=−0,01,−0,001,−0,0001,−0,00001x=−0,01,−0,001,−0,0001,−0,00001 y para x=0,01,0,001,0,0001,0,00001.x=0,01,0,001,0,0001,0,00001. Redondee sus soluciones a cinco decimales.

x f(x)f(x) x f(x)f(x)
−0,01 a. 0,01 e.
−0,001 b. 0,001 f.
−0,0001 c. 0,0001 g.
−0,00001 d. 0,00001 h.
33.

¿Qué indica la tabla de valores del ejercicio anterior sobre la función f(x)=(1+x)1/x?f(x)=(1+x)1/x?

34.

¿A qué constante matemática parece acercarse el límite del ejercicio anterior?

En los siguientes ejercicios, utilice los valores dados a fin de establecer una tabla para evaluar los límites. Redondee sus soluciones a ocho decimales.

35.

[T] límx0sen2 xx;±0,1,±0,01,±0,001,±0,0001límx0sen2 xx;±0,1,±0,01,±0,001,±0,0001

x sen2 x xsen2 x x x sen2 xxsen2 xx
−0,1 a. 0,1 e.
−0,01 b. 0,01 f.
−0,001 c. 0,001 g.
−0,0001 d. 0,0001 h.
36.

[T] límx0sen3xxlímx0sen3xx ±0,1, ±0,01, ±0,001, ±0,0001

X sen3xxsen3xx x sen3xxsen3xx
−0,1 a. 0,1 e.
−0,01 b. 0,01 f.
−0,001 c. 0,001 g.
−0,0001 d. 0,0001 h.
37.

Utilice los dos ejercicios anteriores para conjeturar (suponer) el valor del siguiente límite límx0senaxxlímx0senaxx para a, un valor real positivo.

[T] En los siguientes ejercicios, establezca una tabla de valores para hallar el límite indicado. Redondee a ocho dígitos.

38.

lím x 2 x 2 4 x 2 + x 6 lím x 2 x 2 4 x 2 + x 6

x x2 4x2 +x6x2 4x2 +x6 x x2 4x2 +x6x2 4x2 +x6
1,9 a. 2,1 e.
1,99 b. 2,01 f.
1,999 c. 2,001 g.
1,9999 d. 2,0001 h.
39.

lím x 1 ( 1 2 x ) lím x 1 ( 1 2 x )

x 12 x12 x x 12 x12 x
0,9 a. 1,1 e.
0,99 b. 1,01 f.
0,999 c. 1,001 g.
0,9999 d. 1,0001 h.
40.

lím x 0 5 1 e 1 / x lím x 0 5 1 e 1 / x

x 51e1/x51e1/x x 51e1/x51e1/x
−0,1 a. 0,1 e.
−0,01 b. 0,01 f.
−0,001 c. 0,001 g.
−0,0001 d. 0,0001 h.
41.

lím z 0 z 1 z 2 ( z + 3 ) lím z 0 z 1 z 2 ( z + 3 )

z z1z2 (z+3)z1z2 (z+3) z z1z2 (z+3)z1z2 (z+3)
−0,1 a. 0,1 e.
−0,01 b. 0,01 f.
−0,001 c. 0,001 g.
−0,0001 d. 0,0001 h.
42.

lím t 0 + cos t t lím t 0 + cos t t

t costtcostt
0,1 a.
0,01 b.
0,001 c.
0,0001 d.
43.

lím x 2 1 2 x x 2 4 lím x 2 1 2 x x 2 4

x 12 xx2 412 xx2 4 x 12 xx2 412 xx2 4
1,9 a. 2,1 e.
1,99 b. 2,01 f.
1,999 c. 2,001 g.
1,9999 d. 2,0001 h.

[T] En los siguientes ejercicios, establezca una tabla de valores y redondee a ocho dígitos significativos. Con base en la tabla de valores, haga una conjetura sobre cuál es el límite. A continuación, utilice una calculadora para representar gráficamente la función y determinar el límite. ¿Su conjetura fue correcta? Si no, ¿por qué falla el método de las tablas?

44.

lím θ 0 sen ( π θ ) lím θ 0 sen ( π θ )

θ sen(πθ)sen(πθ) θ sen(πθ)sen(πθ)
−0,1 a. 0,1 e.
−0,01 b. 0,01 f.
−0,001 c. 0,001 g.
−0,0001 d. 0,0001 h.
45.

lím α 0 + 1 α cos ( π α ) lím α 0 + 1 α cos ( π α )

a 1αcos(πα)1αcos(πα)
0,1 a.
0,01 b.
0,001 c.
0,0001 d.

En los siguientes ejercicios, considere el gráfico de la función y=f(x)y=f(x) que se muestra aquí. ¿Cuáles afirmaciones sobre y=f(x)y=f(x) son verdaderas y cuáles son falsas? Explique por qué una afirmación es falsa.

Gráfico de una función a trozos con tres segmentos y un punto. El primer segmento es una curva que se abre hacia arriba con vértice en (-8, -6). Este vértice es una circunferencia abierta, y en su lugar hay una circunferencia cerrada en (-8, -3). El segmento termina en (-2,3), donde hay un círculo cerrado. El segundo segmento se extiende asintóticamente hasta el infinito a lo largo de x = –2, cambia de dirección a creciente aproximadamente en (0, 1,25), aumenta hasta aproximadamente (2,25, 3), y disminuye hasta (6, 2), donde hay un círculo abierto. El último segmento comienza en (6,5), aumenta ligeramente y luego disminuye en el cuadrante cuatro, cruzando el eje x en (10,0). Todos los cambios de dirección son curvas suaves.
46.

lím x 10 f ( x ) = 0 lím x 10 f ( x ) = 0

47.

lím x −2 + f ( x ) = 3 lím x −2 + f ( x ) = 3

48.

límx−8f(x)=f(−8)límx−8f(x)=f(−8) grandes.

49.

lím x 6 f ( x ) = 5 lím x 6 f ( x ) = 5

En los siguientes ejercicios, utiliza el siguiente gráfico de la función y=f(x)y=f(x) para hallar los valores, si es posible. Estime cuando sea necesario.

Un gráfico de una función a trozos con dos segmentos. El primer segmento existe para x <=1, y el segundo segmento existe para x > 1. El primer segmento es lineal con pendiente 1 y pasa por el origen. Su punto extremo es un círculo cerrado en (1, 1). El segundo segmento también es lineal con una pendiente de -1. Comienza con el círculo abierto en (1, 2).
50.

límx1f(x)límx1f(x) grandes.

51.

lím x 1 + f ( x ) lím x 1 + f ( x )

52.

límx1f(x)límx1f(x) grandes.

53.

lím x 2 f ( x ) lím x 2 f ( x )

54.

f ( 1 ) f ( 1 )

En los siguientes ejercicios, utilice el gráfico de la función y=f(x)y=f(x) que se muestra aquí para hallar los valores de ser posible. Estime cuando sea necesario.

Un gráfico de una función por partes con dos segmentos. La primera es una función lineal para x < 0. Hay un círculo abierto en (0, 1), y su pendiente es -1. El segundo segmento es la mitad derecha de una parábola que se abre hacia arriba. Su vértice es una circunferencia cerrada en (0, -4), y pasa por el punto (2, 0).
55.

lím x 0 f ( x ) lím x 0 f ( x )

56.

límx0+f(x)límx0+f(x) grandes.

57.

lím x 0 f ( x ) lím x 0 f ( x )

58.

lím x 2 f ( x ) lím x 2 f ( x )

En los siguientes ejercicios, utilice el gráfico de la función y=f(x)y=f(x) que se muestra aquí para hallar los valores de ser posible. Estime cuando sea necesario.

Gráfico de una función a trozos con tres segmentos, todos lineales. La primera existe para x < -2, tiene una pendiente de 1 y termina en el círculo abierto en (-2, 0). La segunda existe sobre el intervalo [-2, 2], tiene una pendiente de -1, pasa por el origen y tiene círculos cerrados en sus puntos extremos (-2, 2) y (2, -2). La tercera existe para x>2, tiene una pendiente de 1, y comienza en el círculo abierto (2, 2).
59.

lím x −2 f ( x ) lím x −2 f ( x )

60.

límx−2+f(x)límx−2+f(x) grandes.

61.

lím x −2 f ( x ) lím x −2 f ( x )

62.

límx2 f(x)límx2 f(x) grandes.

63.

lím x 2 + f ( x ) lím x 2 + f ( x )

64.

lím x 2 f ( x ) lím x 2 f ( x )

En los siguientes ejercicios, utilice el gráfico de la función y=g(x)y=g(x) que se muestra aquí para hallar los valores de ser posible. Estime cuando sea necesario.

Un gráfico de una función por partes con dos segmentos. La primera existe para x>=0 y es la mitad izquierda de una parábola de apertura ascendente con vértice en la circunferencia cerrada (0, 3). La segunda existe para x>0 y es la mitad derecha de una parábola de apertura descendente con vértice en el círculo abierto (0, 0).
65.

lím x 0 g ( x ) lím x 0 g ( x )

66.

límx0+g(x)límx0+g(x) grandes.

67.

lím x 0 g ( x ) lím x 0 g ( x )

En los siguientes ejercicios, utilice el gráfico de la función y=h(x)y=h(x) que se muestra aquí para hallar los valores de ser posible. Estime cuando sea necesario.

Gráfico de una función con dos curvas que se acercan a 0 desde el cuadrante 1 y el cuadrante 3. La curva del cuadrante uno parece ser la mitad superior de una parábola que se abre a la derecha del eje y a lo largo del eje x con vértice en el origen. La curva del cuadrante tres parece ser la mitad izquierda de una parábola que se abre hacia abajo con vértice en el origen.
68.

límx0h(x)límx0h(x) grandes.

69.

lím x 0 + h ( x ) lím x 0 + h ( x )

70.

lím x 0 h ( x ) lím x 0 h ( x )

En los siguientes ejercicios, utilice el gráfico de la función y=f(x)y=f(x) que se muestra aquí para hallar los valores de ser posible. Estime cuando sea necesario.

Gráfico con una curva y un punto. El punto es un círculo cerrado en (0, -2). La curva forma parte de una parábola de apertura ascendente con vértice en (1, -1). Existe para x > 0, y hay un círculo cerrado en el origen.
71.

lím x 0 f ( x ) lím x 0 f ( x )

72.

límx0+f(x)límx0+f(x) grandes.

73.

lím x 0 f ( x ) lím x 0 f ( x )

74.

límx1f(x)límx1f(x) grandes.

75.

lím x 2 f ( x ) lím x 2 f ( x )

En los siguientes ejercicios, dibuje el gráfico de una función con las propiedades dadas.

76.

límx2 f(x)=1,límx4f(x)=3,límx4+f(x)=6,f(4)límx2 f(x)=1,límx4f(x)=3,límx4+f(x)=6,f(4) no está definido.

77.

As x , f(x)0,límx−1f(x)=,As x , f(x)0,límx−1f(x)=, límx−1+f(x)=,límx0f(x)=f(0),f(0)=1, As x, f(x)límx−1+f(x)=,límx0f(x)=f(0),f(0)=1, As x, f(x)

78.

As x, f(x)2 ,límx3f(x)=,As x, f(x)2 ,límx3f(x)=, límx3+f(x)=, As x, f(x)2 ,f(0)=−13límx3+f(x)=, As x, f(x)2 ,f(0)=−13

79.

As x, f(x)2 ,límx−2f(x)=,As x, f(x)2 ,límx−2f(x)=, As x, f(x)2 ,f(0)=0As x, f(x)2 ,f(0)=0

80.

As x, f(x)0,límx−1f(x)=,límx−1+f(x)=,As x, f(x)0,límx−1f(x)=,límx−1+f(x)=, f(0)=−1,límx1f(x)=,límx1+f(x)=, As x, f(x)0f(0)=−1,límx1f(x)=,límx1+f(x)=, As x, f(x)0

81.

Las ondas expansivas aparecen en muchas aplicaciones físicas, desde las supernovas hasta las ondas generadas por una detonación. Se muestra un gráfico de la densidad de una onda expansiva con respecto a la distancia, x. Nos interesa principalmente la ubicación de la parte delantera del amortiguador, marcada xSFxSF en el diagrama.

Un gráfico en el cuadrante uno de la densidad de una onda expansiva con tres puntos marcados: p1 y p2 en el eje y, con p1 > p2, y xsf en el eje x. Consiste en y= p1 de 0 a xsf, x = xsf de y= p1 a y=p2, e y=p2 para valores mayores o iguales a xsf.
  1. Evalúe límxxSF+ρ(x).límxxSF+ρ(x).
  2. Evalúe límxxSFρ(x).límxxSFρ(x).
  3. Evalúe límxxSFρ(x).límxxSFρ(x). Explique el significado físico de sus respuestas.
82.

Un entrenador de pista utiliza una cámara con un obturador rápido para estimar la posición de un corredor con respecto al tiempo. Aquí se ofrece una tabla de los valores de posición del atleta en función del tiempo, donde x es la posición en metros del corredor y t es el tiempo en segundos. ¿Cuál es el valor de límt2 x(t)?límt2 x(t)? ¿Qué significa en términos físicos?

t (s) x (m)
1,75 4,5
1,95 6,1
1,99 6,42
2,01 6,58
2,05 6,9
2,25 8,5
Solicitar una copia impresa

As an Amazon Associate we earn from qualifying purchases.

Cita/Atribución

¿Desea citar, compartir o modificar este libro? Este libro utiliza la Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike License y debe atribuir a OpenStax.

Información de atribución
  • Si redistribuye todo o parte de este libro en formato impreso, debe incluir en cada página física la siguiente atribución:
    Acceso gratis en https://openstax.org/books/c%C3%A1lculo-volumen-1/pages/1-introduccion
  • Si redistribuye todo o parte de este libro en formato digital, debe incluir en cada vista de la página digital la siguiente atribución:
    Acceso gratuito en https://openstax.org/books/c%C3%A1lculo-volumen-1/pages/1-introduccion
Información sobre citas

© 2 mar. 2022 OpenStax. El contenido de los libros de texto que produce OpenStax tiene una licencia de Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike License . El nombre de OpenStax, el logotipo de OpenStax, las portadas de libros de OpenStax, el nombre de OpenStax CNX y el logotipo de OpenStax CNX no están sujetos a la licencia de Creative Commons y no se pueden reproducir sin el previo y expreso consentimiento por escrito de Rice University.