2.2 El límite de una función

Definición intuitiva de un límite

Veamos primero cómo la función $f\left(x\right)=(x^2-4)\text{/}(x-2)$ se comporta alrededor de $x=2$ en la Figura 2.12. A medida que los valores de x se acercan a 2 desde cualquier lado de 2, los valores de $y=f\left(x\right)$ se acercan a 4. Matemáticamente, decimos que el límite de $f\left(x\right)$ a medida que x se acerca a 2 es 4. Simbólicamente, expresamos este límite como

A partir de esta brevísima mirada informal a un límite, empecemos a desarrollar una definición intuitiva del límite. Podemos pensar que el límite de una función en un número a es el único número real L al que se acercan los valores de la función a medida que los valores de x se acercan a a, siempre que dicho número real L exista. Tenemos la siguiente definición que se expresa con más detalle:

Podemos estimar los límites construyendo tablas de valores funcionales y observando sus gráficos. Este proceso se describe en la siguiente estrategia de resolución de problemas.

Aplicamos esta estrategia de resolución de problemas para calcular un límite en el Ejemplo 2.4.

Ejemplo 2.4

Evaluación de un límite mediante una tabla de valores funcionales 1

Evalúe $\underset{x\to 0}{\text{lím}}\frac{\text{sen}x}{x}$ utilizando una tabla de valores funcionales.

Solución

Hemos calculado los valores de $f\left(x\right)=(\text{sen}x)\text{/}x$ para los valores de x que figuran en la Tabla 2.2.

x	$\frac{\text{sen}x}{x}$		x	$\frac{\text{sen}x}{x}$
−0,1	0,998334166468		0,1	0,998334166468
−0,01	0,999983333417		0,01	0,999983333417
−0,001	0,999999833333		0,001	0,999999833333
−0,0001	0,999999998333		0,0001	0,999999998333

Tabla 2.2 Tabla de valores funcionales para $\underset{x\to 0}{\text{lím}}\frac{\text{sen}x}{x}$

Nota: Los valores de esta tabla se obtuvieron con una calculadora y se utilizaron todos los lugares indicados en la salida de la calculadora.

Al leer cada $\frac{\left(\text{sen}x\right)}{x}$, vemos que los valores de cada columna parecen acercarse a uno. Por lo tanto, es bastante razonable concluir que $\underset{x\to 0}{\text{lím}}\frac{\text{sen}x}{x}=1.$ Una calculadora o un gráfico generado por computadora de $f\left(x\right)=\frac{\left(\text{sen}x\right)}{x}$ sería similar a la mostrada en la Figura 2.13, y confirma nuestra estimación.

Figura 2.13 El gráfico de $f\left(x\right)=(\text{sen}x)\text{/}x$ confirma la estimación de la Tabla 2.2.

Ejemplo 2.5

Evaluación de un límite mediante una tabla de valores funcionales 2

Evalúe $\underset{x\to 4}{\text{lím}}\frac{\sqrt{x}-2}{x-4}$ utilizando una tabla de valores funcionales.

Solución

Como antes, utilizamos una tabla (en este caso, la Tabla 2.3) para enumerar los valores de la función para los valores dados de x.

x	$\frac{\sqrt{x}-2}{x-4}$		x	$\frac{\sqrt{x}-2}{x-4}$
3,9	0,251582341869		4,1	0,248456731317
3,99	0,25015644562		4,01	0,24984394501
3,999	0,250015627		4,001	0,249984377
3,9999	0,250001563		4,0001	0,249998438
3,99999	0,25000016		4,00001	0,24999984

Tabla 2.3 Tabla de valores funcionales para $\underset{x\to 4}{\text{lím}}\frac{\sqrt{x}-2}{x-4}$

Después de revisar esta tabla, vemos que los valores funcionales inferiores a 4 parecen disminuir hacia 0,25 mientras que los valores funcionales superiores a 4 parecen aumentar hacia 0,25. Concluimos que $\underset{x\to 4}{\text{lím}}\frac{\sqrt{x}-2}{x-4}=\mathrm{0,25}.$ Confirmamos esta estimación utilizando el gráfico de $f\left(x\right)=\frac{\sqrt{x}-2}{x-4}$ se muestra en la Figura 2.14.

Figura 2.14 El gráfico de $f\left(x\right)=\frac{\sqrt{x}-2}{x-4}$ confirma la estimación de la Tabla 2.3.

En este punto, vemos en el Ejemplo 2.4 y el Ejemplo 2.5 que puede ser tan fácil, si no más, estimar un límite de una función revisando su gráfico como estimarlo utilizando una tabla de valores funcionales. En el Ejemplo 2.6, evaluamos un límite únicamente observando un gráfico en vez de utilizar una tabla de valores funcionales.

Ejemplo 2.6

Evaluación de un límite mediante un gráfico

Para $g\left(x\right)$ que se muestra en la Figura 2.15, evalúe $\underset{x\to \mathrm{-1}}{\text{lím}}g\left(x\right).$

Figura 2.15 El gráfico de $g\left(x\right)$ incluye un valor que no está en una curva suave.

Solución

A pesar de que $g\left(\mathrm{–1}\right)=4,$ a medida que los valores x se acercan a –1 desde cualquier lado, los valores $g\left(x\right)$ se acercan a 3. Por lo tanto, $\underset{x\to \mathrm{-1}}{\text{lím}}g\left(x\right)=3.$ Note que podemos determinar este límite sin conocer siquiera la expresión algebraica de la función.

Con base en el Ejemplo 2.6, hacemos la siguiente observación: Es posible que el límite de una función exista en un punto, y que la función esté definida en él, pero el límite de la función y el valor de la función en el punto pueden ser diferentes.

Punto de control 2.5

Utilice el gráfico de $h\left(x\right)$ en la Figura 2.16 para evaluar $\underset{x\to 2}{\text{lím}}h\left(x\right),$ si es posible.

Figura 2.16

Observar una tabla de valores funcionales o el gráfico de una función nos proporciona una visión útil del valor del límite de una función en un punto determinado. Sin embargo, estas técnicas se basan demasiado en conjeturas. En algún momento tendremos que desarrollar métodos alternativos de evaluación de los límites. Estos nuevos métodos son de naturaleza más algebraica y los exploramos en la siguiente sección; sin embargo, en este punto introduciremos dos límites especiales que son esenciales para las técnicas que vienen.

Podemos hacer las siguientes observaciones sobre estos dos límites.

1. En el primer límite, observe que a medida que x se acerca a a, también lo hace $f\left(x\right),$ porque $f\left(x\right)=x.$ En consecuencia, $\underset{x\to a}{\text{lím}}x=a.$
2. En el segundo límite, tome en cuenta la Tabla 2.4.

Observe que para todos los valores de x (independientemente de que se acerquen a a), los valores $f\left(x\right)$ permanecen constantes en c. No tenemos otra opción que concluir $\underset{x\to a}{\text{lím}}c=c.$

Existencia de un límite

Cuando consideremos el límite en el siguiente ejemplo, tenga en cuenta que para que exista el límite de una función en un punto, los valores de la función deben acercarse a un único valor de número real en ese punto. Si los valores funcionales no se aproximan a un único valor, entonces el límite no existe.

Ejemplo 2.7

Evaluación de un límite que no existe

Evalúe $\underset{x\to 0}{\text{lím}}\text{sen}\left(1\text{/}\mathit{\text{x}}\right)$ utilizando una tabla de valores.

Solución

La Tabla 2.5 enumera los valores de la función $\text{sen}(1\text{/}x)$ para los valores dados de x.

x	$\text{sen}\left(\frac{1}{x}\right)$		x	$\text{sen}\left(\frac{1}{x}\right)$
−0,1	0,544021110889		0,1	−0,544021110889
−0,01	0,50636564111		0,01	−0,50636564111
−0,001	−0,8268795405312		0,001	0,826879540532
−0,0001	0,305614388888		0,0001	−0,305614388888
–0,00001	−0,035748797987		0,00001	0,035748797987
–0,000001	0,349993504187		0,000001	−0,349993504187

Tabla 2.5 Tabla de valores funcionales para $\underset{x\to 0}{\text{lím}}\text{sen}\left(\frac{1}{x}\right)$

Tras examinar la tabla de valores funcionales, podemos ver que los valores y no parecen acercarse a un único valor. Parece que el límite no existe. Antes de sacar esta conclusión, adoptemos un enfoque más sistemático. Tomemos la siguiente secuencia de valores de x que se acercan a 0:

$$\frac{2}{\pi },\frac{2}{3\pi },\frac{2}{5\pi },\frac{2}{7\pi },\frac{2}{9\pi },\frac{2}{11\pi }\text{,….}$$

Los valores y correspondientes son

$$1,\mathrm{–1},1,\mathrm{–1},1,\mathrm{-1}\text{,….}$$

Llegados a este punto, realmente podemos concluir que $\underset{x\to 0}{\text{lím}}\text{sen}\left(1\text{/}\mathit{\text{x}}\right)$ no existe (los matemáticos suelen abreviar "no existe" como DNE (does not exist). Así, escribiríamos $\underset{x\to 0}{\text{lím}}\text{sen}\left(1\text{/}\mathit{\text{x}}\right)$ DNE). El gráfico de $f\left(x\right)=\text{sen}\left(1\text{/}x\right)$ se muestra en la Figura 2.17 y ofrece una imagen más clara del comportamiento de $\text{sen}(1\text{/}x)$ a medida que x se acerca a 0. Puede notar que $\text{sen}(1\text{/}\mathit{\text{x}})$ oscila cada vez más entre -1 y 1 a medida que x se acerca a 0.

Figura 2.17 El gráfico de $f\left(x\right)=\text{sen}(1\text{/}x)$ oscila rápidamente entre -1 y 1 a medida que x se acerca a 0.

Límites unilaterales

A veces, indicar que el límite de una función no existe en un punto no nos proporciona suficiente información sobre el comportamiento de la función en ese punto concreto. Para ver esto, volvamos a revisar la función $g\left(x\right)=\left|x-2\right|\text{/}\left(x-2\right)$ introducido al principio de la sección (vea la Figura 2.12(b)). Como elegimos valores de x cercanos a 2, $g\left(x\right)$ no se aproxima a un único valor, por lo que el límite a medida que x se aproxima a 2 no existe, es decir, $\underset{x\to 2}{\text{lím}}g\left(x\right)$ DNE. Sin embargo, esta afirmación por sí sola no nos da una imagen completa del comportamiento de la función en torno al valor x de 2. Para proporcionar una descripción más precisa, introducimos la idea de un límite unilateral. Para todos los valores a la izquierda de 2 (o el lado negativo de 2), $g\left(x\right)=\mathrm{-1}.$ Por lo tanto, a medida que x se acerca a 2 por la izquierda, $g\left(x\right)$ se acerca a -1. Matemáticamente, decimos que el límite es -1 a medida que x se acerca a 2 por la izquierda. Simbólicamente, expresamos esta idea como

Del mismo modo, a medida que x se acerca a 2 por la derecha (o desde el lado positivo), $g\left(x\right)$ se acerca a 1. Simbólicamente, expresamos esta idea como

Ahora podemos presentar una definición informal de los límites unilaterales.

Ejemplo 2.8

Evaluación de los límites unilaterales

Para que la función $f\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}x+1& \text{si}x<2\hfill \\ x^2-4& \text{si}x\ge 2\hfill \end{array},$ evalúe cada uno de los siguientes límites.

1. $\underset{x\to 2^{–}}{\text{lím}}f\left(x\right)$ grandes.
2. $\underset{x\to 2^{+}}{\text{lím}}f\left(x\right)$

Solución

Podemos volver a utilizar las tablas de valores funcionales en la Tabla 2.6. Nótese que para los valores de x inferiores a 2, utilizamos $f\left(x\right)=x+1$ y para valores de x superiores a 2, utilizamos $f\left(x\right)=x^2-4.$

x	$f(x)=x+1$		x	$f(x)=x^2\mathrm{-4}$
1,9	2,9		2,1	0,41
1,99	2,99		2,01	0,0401
1,999	2,999		2,001	0,004001
1,9999	2,9999		2,0001	0,00040001
1,99999	2,99999		2,00001	0,0000400001

Tabla 2.6 Tabla de valores funcionales para $f\left(x\right)=\{\begin{array}{l}x+1\text{si}x<2\\ x^2-4\text{si}x\ge 2\end{array}$

Con base en esta tabla, podemos concluir que a $\underset{x\to 2^{–}}{\text{lím}}f\left(x\right)=3$ y b. $\underset{x\to 2^{+}}{\text{lím}}f\left(x\right)=0.$ Por lo tanto, el límite (bilateral) de $f\left(x\right)$ no existe en $x=2.$ La Figura 2.18 muestra un gráfico de $f\left(x\right)$ y refuerza nuestra conclusión sobre estos límites.

Figura 2.18 El gráfico de $f\left(x\right)=\{\begin{array}{c}x+1\text{si}x<2\\ x^2-4\text{si}x\ge 2\end{array}$ tiene una pausa en $x=2.$

Consideremos ahora la relación entre el límite de una función en un punto y los límites por la derecha y por la izquierda en ese punto. Parece claro que si el límite por la derecha y el límite por la izquierda tienen un valor común, entonces ese valor común es el límite de la función en ese punto. Del mismo modo, si el límite por la izquierda y el límite por la derecha toman valores diferentes, el límite de la función no existe. Estas conclusiones se resumen en Relacionar los límites unilaterales y bilaterales.

Límites infinitos

Evaluar el límite de una función en un punto o evaluar el límite de una función por la derecha y por la izquierda en un punto nos ayuda a caracterizar el comportamiento de una función alrededor de un valor dado. Como veremos, también podemos describir el comportamiento de las funciones que no tienen límites finitos.

Ahora nos centramos en $h\left(x\right)=1\text{/}{(x-2)}^2,$ la tercera y última función introducida al principio de esta sección (vea la Figura 2.12(c)). En su gráfico vemos que a medida que los valores de x se acercan a 2, los valores de $h\left(x\right)=1\text{/}{(x-2)}^2$ se hacen cada vez más grandes y, de hecho, se vuelven infinitos. Matemáticamente, decimos que el límite de $h\left(x\right)$ a medida que x se acerca a 2 es el infinito positivo. Simbólicamente, expresamos esta idea como

De forma más general, definimos los límites infinitos como sigue:

Es importante entender que cuando escribimos afirmaciones como $\underset{x\to a}{\text{lím}}f\left(x\right)=\text{+}\infty$ o $\underset{x\to a}{\text{lím}}f\left(x\right)=\text{−}\infty$ estamos describiendo el comportamiento de la función, tal y como la acabamos de definir. No afirmamos que exista un límite. Para el límite de una función $f\left(x\right)$ exista en a, debe acercarse a un número real L a medida que x se acerca a a. Dicho esto, si, por ejemplo, $\underset{x\to a}{\text{lím}}f\left(x\right)=\text{+}\infty ,$ siempre escribimos $\underset{x\to a}{\text{lím}}f\left(x\right)=\text{+}\infty$ en vez de $\underset{x\to a}{\text{lím}}f\left(x\right)$ (does not exist, DNE).

Ejemplo 2.9

Reconocer un límite infinito

Evalúe cada uno de los siguientes límites, si es posible. Utilice una tabla de valores funcionales y un gráfico $f\left(x\right)=1\text{/}x$ para confirmar su conclusión.

1. $\underset{x\to 0^{-}}{\text{lím}}\frac{1}{x}$
2. $\underset{x\to 0^{+}}{\text{lím}}\frac{1}{x}$
3. $\underset{x\to 0}{\text{lím}}\frac{1}{x}$

Solución

Empiece por construir una tabla de valores funcionales.

x	$\frac{1}{x}$		x	$\frac{1}{x}$
−0,1	−10		0,1	10
−0,01	−100		0,01	100
−0,001	–1.000		0,001	1.000
−0,0001	–10.000		0,0001	10.000
−0,00001	–100.000		0,00001	100.000
−0,000001	–1.000.000		0,000001	1.000.000

Tabla 2.7 Tabla de valores funcionales para $f\left(x\right)=\frac{1}{x}$

1. Los valores de $1\text{/}x$ disminuyen sin límite a medida que x se acerca a 0 por la izquierda. Concluimos que
   
   $$\underset{x\to 0^{-}}{\text{lím}}\frac{1}{x}=\text{−}\infty .$$
2. Los valores de $1\text{/}x$ aumentan sin límite a medida que x se acerca a 0 por la derecha. Concluimos que
   
   $$\underset{x\to 0^{+}}{\text{lím}}\frac{1}{x}=\text{+}\infty .$$
3. Dado que $\underset{x\to 0^{-}}{\text{lím}}\frac{1}{x}=\text{−}\infty$ y $\underset{x\to 0^{+}}{\text{lím}}\frac{1}{x}=\text{+}\infty$ tienen valores diferentes, concluimos que
   
   $$\underset{x\to 0}{\text{lím}}\frac{1}{x}\text{No existe (DNE).}$$

El gráfico de $f\left(x\right)=1\text{/}x$ en la Figura 2.19 confirma estas conclusiones.

Figura 2.19 El gráfico de $f\left(x\right)=1\text{/}x$ confirma que el límite a medida que x se acerca a 0 no existe.

Es útil señalar que las funciones de la forma $f\left(x\right)=1\text{/}{\left(x–a\right)}^n,$ donde n es un número entero positivo, tienen límites infinitos a medida que x se acerca a a por la izquierda o la derecha (Figura 2.20). Estos límites se resumen en Límites infinitos a partir de números enteros positivos.

Figura 2.20 La función $f\left(x\right)=1\text{/}{\left(x–a\right)}^n$ tiene límites infinitos en a.

También debemos señalar que en los gráficos de $f\left(x\right)=1\text{/}{(x–a)}^n,$ los puntos del gráfico que tienen coordenadas x muy cercanas a a están muy cerca de la línea vertical $x=a.$ Es decir, a medida que x se acerca a a, los puntos del gráfico de $f\left(x\right)$ están más cerca de la línea $x=a.$ La línea $x=a$ se denomina asíntota vertical del gráfico. Definimos formalmente una asíntota vertical como sigue:

En el siguiente ejemplo ponemos en práctica nuestros conocimientos sobre los distintos tipos de límites para analizar el comportamiento de una función en diferentes puntos.