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Cálculo volumen 1

2.3 Las leyes de los límites

Cálculo volumen 12.3 Las leyes de los límites

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Índice
  1. Prefacio
  2. 1 Funciones y gráficos
    1. Introducción
    2. 1.1 Repaso de las funciones
    3. 1.2 Clases básicas de funciones
    4. 1.3 Funciones trigonométricas
    5. 1.4 Funciones inversas
    6. 1.5 Funciones exponenciales y logarítmicas
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  3. 2 Límites
    1. Introducción
    2. 2.1 Un repaso previo del cálculo
    3. 2.2 El límite de una función
    4. 2.3 Las leyes de los límites
    5. 2.4 Continuidad
    6. 2.5 La definición precisa de un límite
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  4. 3 Derivadas
    1. Introducción
    2. 3.1 Definir la derivada
    3. 3.2 La derivada como función
    4. 3.3 Reglas de diferenciación
    5. 3.4 Las derivadas como tasas de cambio
    6. 3.5 Derivadas de funciones trigonométricas
    7. 3.6 La regla de la cadena
    8. 3.7 Derivadas de funciones inversas
    9. 3.8 Diferenciación implícita
    10. 3.9 Derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas
    11. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  5. 4 Aplicaciones de las derivadas
    1. Introducción
    2. 4.1 Tasas relacionadas
    3. 4.2 Aproximaciones lineales y diferenciales
    4. 4.3 Máximos y mínimos
    5. 4.4 El teorema del valor medio
    6. 4.5 Las derivadas y la forma de un gráfico
    7. 4.6 Límites al infinito y asíntotas
    8. 4.7 Problemas de optimización aplicados
    9. 4.8 La regla de L'Hôpital
    10. 4.9 Método de Newton
    11. 4.10 Antiderivadas
    12. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  6. 5 Integración
    1. Introducción
    2. 5.1 Aproximación de áreas
    3. 5.2 La integral definida
    4. 5.3 El teorema fundamental del cálculo
    5. 5.4 Fórmulas de integración y el teorema del cambio neto
    6. 5.5 Sustitución
    7. 5.6 Integrales con funciones exponenciales y logarítmicas
    8. 5.7 Integrales que resultan en funciones trigonométricas inversas
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  7. 6 Aplicaciones de la integración
    1. Introducción
    2. 6.1 Áreas entre curvas
    3. 6.2 Determinar los volúmenes mediante el corte
    4. 6.3 Volúmenes de revolución: capas cilíndricas
    5. 6.4 Longitud del arco de una curva y superficie
    6. 6.5 Aplicaciones físicas
    7. 6.6 Momentos y centros de masa
    8. 6.7 Integrales, funciones exponenciales y logaritmos
    9. 6.8 Crecimiento y decaimiento exponencial
    10. 6.9 Cálculo de las funciones hiperbólicas
    11. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  8. A Tabla de integrales
  9. B Tabla de derivadas
  10. C Repaso de Precálculo
  11. Clave de respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
  12. Índice

Objetivos de aprendizaje

  • 2.3.1 Reconocer las leyes básicas de los límites.
  • 2.3.2 Utilizar las leyes de los límites para evaluar el límite de una función.
  • 2.3.3 Evaluar el límite de una función mediante la factorización.
  • 2.3.4 Utilizar las leyes de los límites para evaluar el límite de un polinomio o una función racional.
  • 2.3.5 Evaluar el límite de una función mediante la factorización o el uso de conjugados.
  • 2.3.6 Evaluar el límite de una función utilizando el teorema del emparedado.

En la sección anterior evaluamos los límites al observar los gráficos o construir una tabla de valores. En esta sección, estableceremos y aprendemos a aplicar las leyes para calcular los límites. En el proyecto estudiantil que se halla al final de esta sección tiene la oportunidad de aplicar estas leyes de los límites para derivar la fórmula del área de un círculo adaptando un método ideado por el matemático griego Arquímedes. Comenzaremos por reafirmar dos resultados útiles de los límites de la sección anterior. Estos dos resultados, junto con las leyes de los límites, sirven de base para calcular muchos límites.

Evaluación de los límites con las leyes de los límites

Las dos primeras leyes de los límites se expusieron en Dos límites importantes y las repetimos aquí. Estos resultados básicos, junto con las demás leyes de los límites, nos permiten evaluar los límites de muchas funciones algebraicas.

Teorema 2.4

Resultados del límite básico

Para cualquier número real a y cualquier constante c,

  1. límxax=alímxax=a
    (2.14)
  2. límxac=clímxac=c
    (2.15)

Ejemplo 2.13

Evaluación de un límite básico

Evalúe cada uno de los siguientes límites utilizando Resultados del límite básico.

  1. límx2 xlímx2 x
  2. límx2 5límx2 5

Ahora veremos las leyes de los límites, que son las propiedades individuales de los límites. Aquí se omiten las pruebas de que estas leyes son válidas.

Teorema 2.5

Leyes de los límites

Supongamos que f(x)f(x) y g(x)g(x) se define para todos los xaxa en algún intervalo abierto que contenga a. Supongamos que L y M son números reales tales que límxaf(x)=Llímxaf(x)=L y límxag(x)=M.límxag(x)=M. Sea c una constante. Entonces, cada una de las siguientes afirmaciones es válida:

Ley de suma para los límites: límxa(f(x)+g(x))=límxaf(x)+límxag(x)=L+Mlímxa(f(x)+g(x))=límxaf(x)+límxag(x)=L+M

Ley de la diferencia para los límites: límxa(f(x)g(x))=límxaf(x)límxag(x)=LMlímxa(f(x)g(x))=límxaf(x)límxag(x)=LM

Ley del múltiplo constante para los límites límxacf(x)=c.límxaf(x)=cLlímxacf(x)=c.límxaf(x)=cL

Ley de productos para los límites límxa(f(x).g(x))=límxaf(x).límxag(x)=L.Mlímxa(f(x).g(x))=límxaf(x).límxag(x)=L.M

Ley del cociente para los límites límxaf(x)g(x)=límxaf(x)límxag(x)=LMlímxaf(x)g(x)=límxaf(x)límxag(x)=LM por M0M0

Ley de la potencia para los límites límxa(f(x))n=(límxaf(x))n=Lnlímxa(f(x))n=(límxaf(x))n=Ln para cada número entero positivo n.

Ley de la raíz para los límites límxaf(x)n=límxaf(x)n=Lnlímxaf(x)n=límxaf(x)n=Ln para todo L si n es impar y para L0L0 si n es par y f(x)0f(x)0.

Ahora practicaremos la aplicación de estas leyes de los límites para evaluar un límite.

Ejemplo 2.14

Evaluación de un límite mediante las leyes de los límites

Utilice las leyes de los límites para evaluar límx−3(4x+2 ).límx−3(4x+2 ).

Ejemplo 2.15

Utilizar repetidamente las leyes de los límites

Utilice las leyes de los límites para evaluar límx2 2 x2 3x+1x3+4.límx2 2 x2 3x+1x3+4.

Punto de control 2.11

Utilice las leyes de los límites para evaluar límx6(2 x1)x+4.límx6(2 x1)x+4. En cada paso, indique la ley de los límites aplicada.

Límites de funciones polinómicas y racionales

A estas alturas ya se habrá dado cuenta de que en cada uno de los ejemplos anteriores, se dio este caso: límxaf(x)=f(a).límxaf(x)=f(a). Esto no siempre es así, pero lo es para todos los polinomios en cualquier elección de a y para todas las funciones racionales en todos los valores de a para los que está definida la función racional.

Teorema 2.6

Límites de funciones polinómicas y racionales

Supongamos que p(x)p(x) como q(x)q(x) son funciones polinómicas. Supongamos que a es un número real. Entonces,

límxap(x)=p(a)límxap(x)=p(a) grandes.
límxap(x)q(x)=p(a)q(a)cuandoq(a)0.límxap(x)q(x)=p(a)q(a)cuandoq(a)0.

Para ver que este teorema se cumple, consideremos el polinomio p(x)=cnxn+cn1xn1++c1x+c0.p(x)=cnxn+cn1xn1++c1x+c0. Aplicando las leyes de la suma, del múltiplo constante y de la potencia, obtenemos

límxap(x)=límxa(cnxn+cn1xn1++c1x+c0)=cn(límxax)n+cn1(límxax)n1++c1(límxax)+límxac0=cnan+cn1an1++c1a+c0=p(a).límxap(x)=límxa(cnxn+cn1xn1++c1x+c0)=cn(límxax)n+cn1(límxax)n1++c1(límxax)+límxac0=cnan+cn1an1++c1a+c0=p(a).

Ahora se deduce de la ley del cociente que si p(x)p(x) como q(x)q(x) son polinomios para los que q(a)0,q(a)0, entonces

límxap(x)q(x)=p(a)q(a).límxap(x)q(x)=p(a)q(a).

El Ejemplo 2.16 aplica este resultado.

Ejemplo 2.16

Evaluación de un límite de una función racional

Evalúe los términos límx32 x2 3x+15x+4.límx32 x2 3x+15x+4.

Punto de control 2.12

Evalúe límx−2(3x32 x+7).límx−2(3x32 x+7).

Técnicas adicionales de evaluación de límites

Como vimos, podemos evaluar fácilmente los límites de los polinomios y los límites de algunas funciones racionales (pero no todas) por sustitución directa. Sin embargo, como vimos en la sección introductoria sobre los límites, es en efecto posible que límxaf(x)límxaf(x) exista cuando f(a)f(a) es indefinida. La siguiente observación nos permite evaluar muchos límites de este tipo:

Si para toda xa,f(x)=g(x)xa,f(x)=g(x) en algún intervalo abierto que contenga a, entonces límxaf(x)=límxag(x).límxaf(x)=límxag(x).

Para entender mejor esta idea, considere el límite límx1x2 1x1.límx1x2 1x1.

La función

f(x)=x2 1x1=(x1)(x+1)x1f(x)=x2 1x1=(x1)(x+1)x1

y la función g(x)=x+1g(x)=x+1 son idénticas para todos los valores de x1.x1. Los gráficos de estas dos funciones se muestran en la Figura 2.24.

Dos gráficos uno al lado del otro. El primero es un gráfico de g(x) = x + 1, una función lineal con intersección y en (0,1) e intersección x en (-1,0). La segunda es un gráfico de f(x) = (x^2 – 1) / (x – 1). Este gráfico es idéntico al primero para toda x que no sea igual a 1, ya que hay un círculo abierto en (1,2) en el segundo gráfico.
Figura 2.24 Los gráficos de f ( x ) f ( x ) y g ( x ) g ( x ) son idénticos para todas las x 1 . x 1 . Sus límites en 1 son iguales.

Vemos que

límx1x2 1x1=límx1(x1)(x+1)x1=límx1(x+1)=2 .límx1x2 1x1=límx1(x1)(x+1)x1=límx1(x+1)=2 .

El límite tiene la forma límxaf(x)g(x),límxaf(x)g(x), donde límxaf(x)=0límxaf(x)=0 y límxag(x)=0.límxag(x)=0. (En este caso, decimos que f(x)/g(x)f(x)/g(x) tiene la forma indeterminada 0/0).0/0). La siguiente estrategia de resolución de problemas ofrece un esquema general para evaluar este tipo de límites.

Estrategia de resolución de problemas

Estrategia para la resolución de problemas: Calcular un límite cuando f(x)/g(x)f(x)/g(x) tiene la forma indeterminada 0/0

  1. En primer lugar, nos aseguraremos de que nuestra función tiene la forma adecuada y no puede ser evaluada inmediatamente utilizando las leyes de los límites.
  2. Entonces tenemos que hallar una función que sea igual a h(x)=f(x)/g(x)h(x)=f(x)/g(x) para todo xaxa en algún intervalo que contenga a. Para ello, es posible que tengamos que probar uno o varios de los siguientes pasos
    1. Si los valores de f(x)f(x) y g(x)g(x) son polinomios, debemos factorizar cada función y cancelar los factores comunes.
    2. Si el numerador o el denominador tienen una diferencia que implica una raíz cuadrada, debemos intentar multiplicar el numerador y el denominador por el conjugado de la expresión que incluye a la raíz cuadrada.
    3. Si los valores de f(x)/g(x)f(x)/g(x) es una fracción compleja, empezamos por simplificarla.
  3. Por último, aplicamos las leyes de los límites.

Los siguientes ejemplos demuestran el uso de esta estrategia de resolución de problemas. El Ejemplo 2.17 ilustra la técnica de factor y cancelación; el Ejemplo 2.18 muestra la multiplicación por un conjugado. En el Ejemplo 2.19, vemos la simplificación de una fracción compleja.

Ejemplo 2.17

Evaluación de un límite mediante factorización y cancelación

Evalúe límx3x2 3x2 x2 5x3.límx3x2 3x2 x2 5x3.

Punto de control 2.13

Evalúe límx−3x2 +4x+3x2 9.límx−3x2 +4x+3x2 9.

Ejemplo 2.18

Evaluar un límite multiplicando por un conjugado

Evalúe límx−1x+2 1x+1.límx−1x+2 1x+1.

Punto de control 2.14

Evalúe límx5x12 x5.límx5x12 x5.

Ejemplo 2.19

Evaluación de un límite mediante la simplificación de una fracción compleja

Evalúe límx11x+112 x1.límx11x+112 x1.

Punto de control 2.15

Evalúe límx−31x+2 +1x+3.límx−31x+2 +1x+3.

El Ejemplo 2.20 no se ajusta perfectamente a ninguno de los patrones establecidos en los ejemplos anteriores. Sin embargo, con un poco de creatividad, podemos seguir utilizando estas mismas técnicas.

Ejemplo 2.20

Evaluación de un límite cuando no se aplican las leyes de los límites

Evalúe límx0(1x+5x(x5)).límx0(1x+5x(x5)).

Punto de control 2.16

Evalúe límx3(1x34x2 2 x3).límx3(1x34x2 2 x3).

Volvamos ahora a los límites unilaterales. Unas sencillas modificaciones en las leyes de los límites nos permiten aplicarlas a los límites unilaterales. Por ejemplo, para aplicar las leyes de los límites a un límite de la forma límxah(x),límxah(x), necesitamos la función h(x)h(x) para ser definida sobre un intervalo abierto de la forma (b,a);(b,a); para un límite de la forma límxa+h(x),límxa+h(x), necesitamos la función h(x)h(x) para ser definida sobre un intervalo abierto de la forma (a,c).(a,c). El Ejemplo 2.21 ilustra este punto.

Ejemplo 2.21

Evaluación de un límite unilateral mediante las leyes de los límites

Evalúe cada uno de los siguientes límites, si es posible.

  1. límx3x3límx3x3
  2. límx3+x3límx3+x3

En el Ejemplo 2.22 observamos los límites unilaterales de una función definida a trozos y los utilizamos para sacar una conclusión sobre un límite bilateral de la misma función.

Ejemplo 2.22

Evaluación de un límite bilateral utilizando las leyes de los límites

Para f(x)={4x3six<2 (x3)2 six2 ,f(x)={4x3six<2 (x3)2 six2 , evalúe cada uno de los límites siguientes:

  1. límx2 f(x)límx2 f(x) grandes.
  2. límx2 +f(x)límx2 +f(x) grandes.
  3. límx2 f(x)límx2 f(x)

Punto de control 2.17

Grafique f(x)={x2 six<12 six=–1x3six>1f(x)={x2 six<12 six=–1x3six>1 y evalúe límx−1f(x).límx−1f(x).

Ahora nos centramos en la evaluación de un límite de la forma límxaf(x)g(x),límxaf(x)g(x), donde límxaf(x)=K,límxaf(x)=K, donde K0K0 y límxag(x)=0.límxag(x)=0. Es decir, f(x)/g(x)f(x)/g(x) tiene la forma K/0,K0K/0,K0 en a.

Ejemplo 2.23

Evaluación de un límite de la forma K/0,K0K/0,K0 Utilizar las leyes de los límites

Evalúe límx2 x3x2 2 x.límx2 x3x2 2 x.

Punto de control 2.18

Evalúe límx1x+2 (x1)2 .límx1x+2 (x1)2 .

El teorema del emparedado

Las técnicas que hemos desarrollado hasta ahora funcionan muy bien para las funciones algebraicas, pero aún no podemos evaluar los límites de funciones trigonométricas muy básicas. El siguiente teorema, llamado teorema del emparedado, resulta muy útil para establecer los límites trigonométricos básicos. Este teorema nos permite calcular los límites "comprimiendo" una función, con un límite en un punto desconocido a entre dos funciones que tienen un límite común conocido en a. La Figura 2.27 ilustra esta idea.

Un gráfico de tres funciones sobre un intervalo pequeño. Las tres funciones se curvan. En este intervalo, la función g(x) queda atrapada entre las funciones h(x), que dan valores mayores de y para los mismos valores de x, y f(x), que da valores menores de y para los mismos valores de x. Todas las funciones se acercan al mismo límite cuando x=a.
Figura 2.27 El teorema del emparedado se aplica cuando f ( x ) g ( x ) h ( x ) f ( x ) g ( x ) h ( x ) y lím x a f ( x ) = lím x a h ( x ) . lím x a f ( x ) = lím x a h ( x ) .

Teorema 2.7

El teorema del emparedado

Supongamos que f(x),g(x),f(x),g(x), y h(x)h(x) se define para todos los xaxa sobre un intervalo abierto que contiene a. Si

f(x)g(x)h(x)f(x)g(x)h(x)

para todos los xaxa en un intervalo abierto que contiene a y

límxaf(x)=L=límxah(x)límxaf(x)=L=límxah(x)

donde L es un número real, entonces límxag(x)=L.límxag(x)=L.

Ejemplo 2.24

Aplicación del teorema del emparedado

Aplique el teorema del emparedado para evaluar límx0xcosx.límx0xcosx.

Punto de control 2.19

Utilice el teorema del emparedado para evaluar límx0x2 sen1x.límx0x2 sen1x.

Ahora utilizamos el teorema del emparedado para abordar varios límites muy importantes. Aunque esta discusión es algo larga, estos límites resultan muy valiosos para el desarrollo del material tanto en la siguiente sección como en el siguiente capítulo. El primero de estos límites es límθ0senθ.límθ0senθ. Tenga en cuenta el círculo unitario que se muestra en la Figura 2.29. Allí vemos que senθsenθ es la coordenada y en el círculo unitario y corresponde al segmento de línea mostrado en azul. La medida del radián del ángulo θ es la longitud del arco que subtiende en el círculo unitario. Por lo tanto, vemos que para 0<θ<π2 ,0<senθ<θ.0<θ<π2 ,0<senθ<θ.

Un diagrama del círculo unitario en el plano x,y - es un círculo con radio 1 y centro en el origen. Un punto específico (cos(theta), sen(theta)) está marcado en el cuadrante 1 en el borde del círculo. Este punto es un vértice de un triángulo rectángulo dentro del círculo, con los otros vértices en el origen y (cos(theta), 0). Como tal, las longitudes de los lados son cos(theta) para la base y sen(theta) para la altura, donde theta es el ángulo creado por la hipotenusa y la base. La medida del radián del ángulo theta es la longitud del arco que subtiende en el círculo unitario. El diagrama muestra que para 0 < theta < pi/2, 0 < sen(theta) < theta.
Figura 2.29 La función seno se muestra como una línea en el círculo unitario.

Dado que límθ0+0=0límθ0+0=0 y límθ0+θ=0,límθ0+θ=0, utilizando el teorema del emparedado concluimos que

límθ0+senθ=0.límθ0+senθ=0.

Para ver que límθ0senθ=0límθ0senθ=0 igualmente, observe que para π2 <θ<0,0<θ<π2 π2 <θ<0,0<θ<π2 y por lo tanto, 0<sen(θ)<θ.0<sen(θ)<θ. En consecuencia, 0<senθ<θ.0<senθ<θ. Se deduce que 0>senθ>θ.0>senθ>θ. Una aplicación del teorema del emparedado produce el límite deseado. Por lo tanto, dado que límθ0+senθ=0límθ0+senθ=0 y límθ0senθ=0,límθ0senθ=0,

límθ0senθ=0.límθ0senθ=0.
(2.16)

A continuación, utilizando la identidad cosθ=1sen2 θcosθ=1sen2 θ para π2 <θ<π2 ,π2 <θ<π2 , vemos que

límθ0cosθ=límθ01sen2 θ=1.límθ0cosθ=límθ01sen2 θ=1.
(2.17)

A continuación veremos un límite que juega un papel importante en capítulos posteriores, a saber, límθ0senθθ.límθ0senθθ. Para evaluar este límite, utilizamos el círculo unitario en la Figura 2.30. Note que esta figura añade un triángulo más a la Figura 2.30. Vemos que la longitud del lado opuesto al ángulo θ en este nuevo triángulo es tanθ.tanθ. Así, vemos que para 0<θ<π2 ,senθ<θ<tanθ.0<θ<π2 ,senθ<θ<tanθ.

El mismo diagrama que el anterior. Sin embargo, el triángulo se amplía. Ahora la base es desde el origen hasta (1,0). La altura va de (1,0) a (1, tan(theta)). La hipotenusa va desde el origen hasta (1, tan(theta)). Así, la altura es ahora tan(theta). Muestra que para 0 < theta < pi/2, sen(theta) < theta < tan(theta).
Figura 2.30 Las funciones seno y tangente se muestran como líneas en el círculo unitario.

Al dividir entre senθsenθ en todas las partes de la inecuación obtenemos

1<θsenθ<1cosθ.1<θsenθ<1cosθ.

De manera equivalente, tenemos

1>senθθ>cosθ.1>senθθ>cosθ.

Dado que límθ0+1=1=límθ0+cosθ,límθ0+1=1=límθ0+cosθ, concluimos que límθ0+senθθ=1.límθ0+senθθ=1. Aplicando una manipulación similar a la utilizada para demostrar que límθ0senθ=0,límθ0senθ=0, podemos demostrar que límθ0senθθ=1.límθ0senθθ=1. Por lo tanto,

límθ0senθθ=1.límθ0senθθ=1.
(2.18)

En el Ejemplo 2.25 utilizamos este límite para establecer límθ01cosθθ=0.límθ01cosθθ=0. Este límite también resulta útil en capítulos posteriores.

Ejemplo 2.25

Evaluación de un límite trigonométrico importante

Evalúe límθ01cosθθ.límθ01cosθθ.

Punto de control 2.20

Evalúe límθ01cosθsenθ.límθ01cosθsenθ.

Proyecto de estudiante

Derivación de la fórmula del área de un círculo

Algunas de las fórmulas geométricas que hoy damos por sentadas se obtuvieron por primera vez mediante métodos que anticiparon algunos de los métodos del cálculo. El matemático griego Arquímedes (ca. 287-212; a.C.) fue especialmente ingenioso, ya que utilizó polígonos inscritos en círculos para aproximar el área del círculo a medida que aumentaba el número de lados del polígono. Nunca se le ocurrió la idea de un límite, pero podemos utilizar esta idea para ver lo que sus construcciones geométricas podrían haber predicho sobre el límite.

Podemos estimar el área de un círculo calculando el área de un polígono regular inscrito. Piense que el polígono regular está formado por n triángulos. Tomando el límite a medida que el ángulo del vértice de estos triángulos llega a cero, se puede obtener el área del círculo. Para comprobarlo, realice los siguientes pasos:

  1. Exprese la altura h y la base b del triángulo isósceles en la Figura 2.31 en términos de θθ y r.
    Diagrama de un círculo con un polígono inscrito, es decir, un octógono. Se dibuja un triángulo isósceles con uno de los lados del octógono como base y el centro del círculo/octógono como vértice superior. La altura h va desde el centro de la base b hasta el centro, y cada uno de los catetos es también radio r del círculo. El ángulo creado por la altura h y uno de los catetos r se denomina theta.
    Figura 2.31
  2. Utilizando las expresiones obtenidas en el paso 1, exprese el área del triángulo isósceles en términos de θ y r.
    (Sustituya (1/2 )senθ(1/2 )senθ por sen(θ/2 )cos(θ/2 )sen(θ/2 )cos(θ/2 ) en su expresión)
  3. Si un polígono regular de n lados está inscrito en una circunferencia de radio r, halle una relación entre θ y n. Resuelva esto para n. Tenga en cuenta que hay 2 radianes π en un círculo (utilice radianes, no grados).
  4. Halle una expresión para el área del polígono de n lados en términos de r y θ.
  5. Para hallar una fórmula para el área del círculo, halle el límite de la expresión en el paso 4 a medida que θ llega a cero. (Pista: límθ0(senθ)θ=1).límθ0(senθ)θ=1).

La técnica de estimación de áreas de regiones mediante el uso de polígonos se revisa en Introducción a la integración.

Sección 2.3 ejercicios

En los siguientes ejercicios, utilice las leyes de los límites para evaluar cada uno. Justifique cada paso indicando la(s) ley(es) de los límites correspondiente(s).

83.

lím x 0 ( 4 x 2 2 x + 3 ) lím x 0 ( 4 x 2 2 x + 3 )

84.

lím x 1 x 3 + 3 x 2 + 5 4 7 x lím x 1 x 3 + 3 x 2 + 5 4 7 x

85.

lím x −2 x 2 6 x + 3 lím x −2 x 2 6 x + 3

86.

lím x −1 ( 9 x + 1 ) 2 lím x −1 ( 9 x + 1 ) 2

En los siguientes ejercicios, utilice la sustitución directa para evaluar cada límite.

87.

lím x 7 x 2 lím x 7 x 2

88.

límx−2(4x2 1)límx−2(4x2 1) grandes.

89.

lím x 0 1 1 + sen x lím x 0 1 1 + sen x

90.

lím x 2 e 2 x x 2 lím x 2 e 2 x x 2

91.

lím x 1 2 7 x x + 6 lím x 1 2 7 x x + 6

92.

lím x 3 ln e 3 x lím x 3 ln e 3 x

En los siguientes ejercicios, utilice la sustitución directa para demostrar que cada límite conduce a la forma indeterminada 0/0.0/0. Luego evalúe el límite.

93.

lím x 4 x 2 16 x 4 lím x 4 x 2 16 x 4

94.

lím x 2 x 2 x 2 2 x lím x 2 x 2 x 2 2 x

95.

lím x 6 3 x 18 2 x 12 lím x 6 3 x 18 2 x 12

96.

lím h 0 ( 1 + h ) 2 1 h lím h 0 ( 1 + h ) 2 1 h

97.

lím t 9 t 9 t 3 lím t 9 t 9 t 3

98.

límh01a+h1ah,límh01a+h1ah, donde a es una constante de valor real diferente a cero.

99.

lím θ π sen θ tan θ lím θ π sen θ tan θ

100.

lím x 1 x 3 1 x 2 1 lím x 1 x 3 1 x 2 1

101.

lím x 1 / 2 2 x 2 + 3 x 2 2 x 1 lím x 1 / 2 2 x 2 + 3 x 2 2 x 1

102.

lím x −3 x + 4 1 x + 3 lím x −3 x + 4 1 x + 3

En los siguientes ejercicios, utilice la sustitución directa para obtener una expresión indefinida. A continuación, utilice el método del Ejemplo 2.23 para simplificar la función y ayudar a determinar el límite.

103.

lím x −2 2 x 2 + 7 x 4 x 2 + x 2 lím x −2 2 x 2 + 7 x 4 x 2 + x 2

104.

lím x −2 + 2 x 2 + 7 x 4 x 2 + x 2 lím x −2 + 2 x 2 + 7 x 4 x 2 + x 2

105.

lím x 1 2 x 2 + 7 x 4 x 2 + x 2 lím x 1 2 x 2 + 7 x 4 x 2 + x 2

106.

lím x 1 + 2 x 2 + 7 x 4 x 2 + x 2 lím x 1 + 2 x 2 + 7 x 4 x 2 + x 2

En los siguientes ejercicios, suponga que límx6f(x)=4,límx6g(x)=9,límx6f(x)=4,límx6g(x)=9, y límx6h(x)=6.límx6h(x)=6. Utilice estos tres hechos y las leyes de los límites para evaluar cada uno.

107.

límx62 f(x)g(x)límx62 f(x)g(x) grandes.

108.

límx6g(x)1f(x)límx6g(x)1f(x) grandes.

109.

límx6(f(x)+13g(x))límx6(f(x)+13g(x)) grandes.

110.

lím x 6 ( h ( x ) ) 3 2 lím x 6 ( h ( x ) ) 3 2

111.

límx6g(x)f(x)límx6g(x)f(x) grandes.

112.

límx6x.h(x)límx6x.h(x) grandes.

113.

lím x 6 [ ( x + 1 ) . f ( x ) ] lím x 6 [ ( x + 1 ) . f ( x ) ]

114.

lím x 6 ( f ( x ) . g ( x ) h ( x ) ) lím x 6 ( f ( x ) . g ( x ) h ( x ) )

[T] En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora para dibujar el gráfico de cada función definida a trozos y estudie el gráfico para evaluar los límites dados.

115.

f ( x ) = { x 2 , x 3 x + 4 , x > 3 f ( x ) = { x 2 , x 3 x + 4 , x > 3

  1. límx3f(x)límx3f(x) grandes.
  2. límx3+f(x)límx3+f(x)
116.

g ( x ) = { x 3 1 , x 0 1 , x > 0 g ( x ) = { x 3 1 , x 0 1 , x > 0

  1. límx0g(x)límx0g(x) grandes.
  2. límx0+g(x)límx0+g(x)
117.

h ( x ) = { x 2 2 x + 1 , x < 2 3 x , x 2 h ( x ) = { x 2 2 x + 1 , x < 2 3 x , x 2

  1. límx2 h(x)límx2 h(x) grandes.
  2. límx2 +h(x)límx2 +h(x)

En los siguientes ejercicios, utilice los gráficos y las leyes de los límites para evaluar cada límite.

Dos gráficos de funciones a trozos. El superior es f(x), que tiene dos segmentos lineales. El primero es una línea con pendiente negativa que existe para x < -3. Va hacia el punto (-3,0) en x= -3. El siguiente tiene pendiente creciente y va al punto (-3,-2) en x=-3. Existe para x > -3. Otros puntos clave son (0, 1), (-5,2), (1,2), (-7, 4) y (-9,6). La función a trozos inferior tiene un segmento lineal y un segmento curvo. El segmento lineal existe para x < -3 y tiene una pendiente decreciente. Llega a (-3,-2) en x=-3. El segmento curvo parece ser la mitad derecha de una parábola que se abre hacia abajo. Llega al punto de vértice (-3,2) en x=-3. Interseca el eje y un poco por debajo de y=-2. Otros puntos clave son (0, -7/3), (-5,0), (1,-5), (-7, 2) y (-9, 4).
118.

límx−3+(f(x)+g(x))límx−3+(f(x)+g(x)) grandes.

119.

límx−3(f(x)3g(x))límx−3(f(x)3g(x)) grandes.

120.

lím x 0 f ( x ) g ( x ) 3 lím x 0 f ( x ) g ( x ) 3

121.

límx−52 +g(x)f(x)límx−52 +g(x)f(x) grandes.

122.

lím x 1 ( f ( x ) ) 2 lím x 1 ( f ( x ) ) 2

123.

lím x 1 f ( x ) g ( x ) 3 lím x 1 f ( x ) g ( x ) 3

124.

límx−7(x.g(x))límx−7(x.g(x)) grandes.

125.

lím x −9 [ x . f ( x ) + 2 . g ( x ) ] lím x −9 [ x . f ( x ) + 2 . g ( x ) ]

En los siguientes problemas, evalúe el límite utilizando el teorema del emparedado. Utilice una calculadora para representar gráficamente las funciones f(x),g(x),f(x),g(x), y h(x)h(x) si es posible.

126.

[T] ¿Verdadero o falso? Si los valores de 2 x1g(x)x2 2 x+3,2 x1g(x)x2 2 x+3, entonces límx2 g(x)=0.límx2 g(x)=0.

127.

[T] límθ0θ2 cos(1θ)límθ0θ2 cos(1θ)

128.

límx0f(x),límx0f(x), donde f(x)={0,xracionalx2 ,xirracionalf(x)={0,xracionalx2 ,xirracional

129.

[T] En física, la magnitud de un campo eléctrico generado por una carga puntual a una distancia r en el vacío se rige por la ley de Coulomb: E(r)=q4πε0r2 ,E(r)=q4πε0r2 , donde E representa la magnitud del campo eléctrico, q es la carga de la partícula, r es la distancia entre la partícula y donde se mide la intensidad del campo, y 14πε014πε0 es la constante de Coulomb: 8,988×109N.m2 /C2 .8,988×109N.m2 /C2 .

  1. Utilice una calculadora gráfica para graficar E(r)E(r) dado que la carga de la partícula es q=10−10.q=10−10.
  2. Evalúe límr0+E(r).límr0+E(r). ¿Cuál es el significado físico de esta cantidad? ¿Es físicamente relevante? ¿Por qué se evalúa por la derecha?
130.

[T] La densidad de un objeto viene dada por su masa dividida por su volumen: ρ=m/V.ρ=m/V.

  1. Utilice una calculadora para representar el volumen en función de la densidad (V=m/ρ),(V=m/ρ), suponiendo que está examinando algo con una masa de 8 kg (m=8).m=8).
  2. Evalúe límρ0+V(ρ)límρ0+V(ρ) y explique el significado físico.
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