Gilbert Strang; Edwin “Jed” Herman

Objetivos de aprendizaje

2.3.1 Reconocer las leyes básicas de los límites.
2.3.2 Utilizar las leyes de los límites para evaluar el límite de una función.
2.3.3 Evaluar el límite de una función mediante la factorización.
2.3.4 Utilizar las leyes de los límites para evaluar el límite de un polinomio o una función racional.
2.3.5 Evaluar el límite de una función mediante la factorización o el uso de conjugados.
2.3.6 Evaluar el límite de una función utilizando el teorema del emparedado.

En la sección anterior evaluamos los límites al observar los gráficos o construir una tabla de valores. En esta sección, estableceremos y aprendemos a aplicar las leyes para calcular los límites. En el proyecto estudiantil que se halla al final de esta sección tiene la oportunidad de aplicar estas leyes de los límites para derivar la fórmula del área de un círculo adaptando un método ideado por el matemático griego Arquímedes. Comenzaremos por reafirmar dos resultados útiles de los límites de la sección anterior. Estos dos resultados, junto con las leyes de los límites, sirven de base para calcular muchos límites.

Evaluación de los límites con las leyes de los límites

Las dos primeras leyes de los límites se expusieron en Dos límites importantes y las repetimos aquí. Estos resultados básicos, junto con las demás leyes de los límites, nos permiten evaluar los límites de muchas funciones algebraicas.

Teorema 2.4

Resultados del límite básico

Para cualquier número real a y cualquier constante c,

$\underset{x \to a}{lím} x = a$
(2.14)
$\underset{x \to a}{lím} c = c$
(2.15)

Ejemplo 2.13

Evaluación de un límite básico

Evalúe cada uno de los siguientes límites utilizando Resultados del límite básico.

$\underset{x \to 2}{lím} x$
$\underset{x \to 2}{lím} 5$

Solución

El límite de x a medida que x se acerca a a es a: $\underset{x \to 2}{lím} x = 2 .$
El límite de una constante es esa constante: $\underset{x \to 2}{lím} 5 = 5 .$

Ahora veremos las leyes de los límites, que son las propiedades individuales de los límites. Aquí se omiten las pruebas de que estas leyes son válidas.

Teorema 2.5

Leyes de los límites

Supongamos que $f (x)$ y $g (x)$ se define para todos los $x \neq a$ en algún intervalo abierto que contenga a. Supongamos que L y M son números reales tales que $\underset{x \to a}{lím} f (x) = L$ y $\underset{x \to a}{lím} g (x) = M .$ Sea c una constante. Entonces, cada una de las siguientes afirmaciones es válida:

Ley de suma para los límites: $\underset{x \to a}{lím} (f (x) + g (x)) = \underset{x \to a}{lím} f (x) + \underset{x \to a}{lím} g (x) = L + M$

Ley de la diferencia para los límites: $\underset{x \to a}{lím} (f (x) - g (x)) = \underset{x \to a}{lím} f (x) - \underset{x \to a}{lím} g (x) = L - M$

Ley del múltiplo constante para los límites $\underset{x \to a}{lím} c f (x) = c . \underset{x \to a}{lím} f (x) = c L$

Ley de productos para los límites $\underset{x \to a}{lím} (f (x) . g (x)) = \underset{x \to a}{lím} f (x) . \underset{x \to a}{lím} g (x) = L . M$

Ley del cociente para los límites $\underset{x \to a}{lím} \frac{f (x)}{g (x)} = \frac{\underset{x \to a}{lím} f (x)}{\underset{x \to a}{lím} g (x)} = \frac{L}{M}$ por $M \neq 0$

Ley de la potencia para los límites $\underset{x \to a}{lím} {(f (x))}^{n} = {(\underset{x \to a}{lím} f (x))}^{n} = L^{n}$ para cada número entero positivo n.

Ley de la raíz para los límites $\underset{x \to a}{lím} \sqrt[n]{f (x)} = \sqrt[n]{\underset{x \to a}{lím} f (x)} = \sqrt[n]{L}$ para todo L si n es impar y para $L \geq 0$ si n es par y $f (x) \geq 0$ .

Ahora practicaremos la aplicación de estas leyes de los límites para evaluar un límite.

Ejemplo 2.14

Evaluación de un límite mediante las leyes de los límites

Utilice las leyes de los límites para evaluar $\underset{x \to −3}{lím} (4 x + 2) .$

Solución

Apliquemos las leyes de los límites paso a paso para asegurarnos de que entendemos su funcionamiento. Debemos tener en cuenta el requisito de que, en cada aplicación de una ley límite, deben existir nuevos límites para que esa ley se aplique.

$\begin{matrix} \underset{x \to −3}{lím} (4 x + 2) & = \underset{x \to −3}{lím} 4 x + \underset{x \to −3}{lím} 2 & Aplique la ley de la suma. \\ = 4 . \underset{x \to −3}{lím} x + \underset{x \to −3}{lím} 2 & Aplique la ley del múltiplo constante. \\ = 4 . (−3) + 2 = −10 . & Aplique los resultados del límite básico y simplifique. \end{matrix}$

Ejemplo 2.15

Utilizar repetidamente las leyes de los límites

Utilice las leyes de los límites para evaluar $\underset{x \to 2}{lím} \frac{2 x^{2} - 3 x + 1}{x^{3} + 4} .$

Solución

Para hallar este límite, tenemos que aplicar las leyes de los límites varias veces. Una vez más, debemos tener en cuenta que al reescribir el límite en términos de otros límites, cada nuevo límite debe existir para que se aplique la ley de los límites.

$\begin{matrix} \underset{x \to 2}{lím} \frac{2 x^{2} - 3 x + 1}{x^{3} + 4} & = \frac{\underset{x \to 2}{lím} (2 x^{2} - 3 x + 1)}{\underset{x \to 2}{lím} (x^{3} + 4)} & Aplique la ley del cociente, asegurándose de que {(2)}^{3} + 4 \neq 0 \\ = \frac{2 . \underset{x \to 2}{lím} x^{2} - 3 . \underset{x \to 2}{lím} x + \underset{x \to 2}{lím} 1}{\underset{x \to 2}{lím} x^{3} + \underset{x \to 2}{lím} 4} & Aplique la ley de la suma y la ley del múltiplo constante. \\ = \frac{2 . {(\underset{x \to 2}{lím} x)}^{2} - 3 . \underset{x \to 2}{lím} x + \underset{x \to 2}{lím} 1}{{(\underset{x \to 2}{lím} x)}^{3} + \underset{x \to 2}{lím} 4} & Aplique la ley de la potencia. \\ = \frac{2 (4) - 3 (2) + 1}{{(2)}^{3} + 4} = \frac{1}{4} . & Aplique las leyes básicas de los límites y simplifique. \end{matrix}$

Punto de control 2.11

Utilice las leyes de los límites para evaluar $\underset{x \to 6}{lím} (2 x - 1) \sqrt{x + 4} .$ En cada paso, indique la ley de los límites aplicada.

Límites de funciones polinómicas y racionales

A estas alturas ya se habrá dado cuenta de que en cada uno de los ejemplos anteriores, se dio este caso: $\underset{x \to a}{lím} f (x) = f (a) .$ Esto no siempre es así, pero lo es para todos los polinomios en cualquier elección de a y para todas las funciones racionales en todos los valores de a para los que está definida la función racional.

Teorema 2.6

Límites de funciones polinómicas y racionales

Supongamos que $p (x)$ como $q (x)$ son funciones polinómicas. Supongamos que a es un número real. Entonces,

\underset{x \to a}{lím} p (x) = p (a)

grandes.

\underset{x \to a}{lím} \frac{p (x)}{q (x)} = \frac{p (a)}{q (a)} cuando q (a) \neq 0 .

Para ver que este teorema se cumple, consideremos el polinomio $p (x) = c_{n} x^{n} + c_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + c_{1} x + c_{0} .$ Aplicando las leyes de la suma, del múltiplo constante y de la potencia, obtenemos

\begin{matrix} \underset{x \to a}{lím} p (x) & = \underset{x \to a}{lím} (c_{n} x^{n} + c_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + c_{1} x + c_{0}) \\ = c_{n} {(\underset{x \to a}{lím} x)}^{n} + c_{n - 1} {(\underset{x \to a}{lím} x)}^{n - 1} + \dots + c_{1} (\underset{x \to a}{lím} x) + \underset{x \to a}{lím} c_{0} \\ = c_{n} a^{n} + c_{n - 1} a^{n - 1} + \dots + c_{1} a + c_{0} \\ = p (a) . \end{matrix}

Ahora se deduce de la ley del cociente que si $p (x)$ como $q (x)$ son polinomios para los que $q (a) \neq 0,$ entonces

\underset{x \to a}{lím} \frac{p (x)}{q (x)} = \frac{p (a)}{q (a)} .

El Ejemplo 2.16 aplica este resultado.

Ejemplo 2.16

Evaluación de un límite de una función racional

Evalúe los términos $\underset{x \to 3}{lím} \frac{2 x^{2} - 3 x + 1}{5 x + 4} .$

Solución

Como 3 está en el dominio de la función racional $f (x) = \frac{2 x^{2} - 3 x + 1}{5 x + 4},$ podemos calcular el límite sustituyendo 3 por la x en la función. Por lo tanto,

\underset{x \to 3}{lím} \frac{2 x^{2} - 3 x + 1}{5 x + 4} = \frac{10}{19} .

Punto de control 2.12

Evalúe $\underset{x \to −2}{lím} (3 x^{3} - 2 x + 7) .$

Técnicas adicionales de evaluación de límites

Como vimos, podemos evaluar fácilmente los límites de los polinomios y los límites de algunas funciones racionales (pero no todas) por sustitución directa. Sin embargo, como vimos en la sección introductoria sobre los límites, es en efecto posible que $\underset{x \to a}{lím} f (x)$ exista cuando $f (a)$ es indefinida. La siguiente observación nos permite evaluar muchos límites de este tipo:

Si para toda $x \neq a, f (x) = g (x)$ en algún intervalo abierto que contenga a, entonces $\underset{x \to a}{lím} f (x) = \underset{x \to a}{lím} g (x) .$

Para entender mejor esta idea, considere el límite $\underset{x \to 1}{lím} \frac{x^{2} - 1}{x - 1} .$

La función

\begin{matrix} f (x) & = \frac{x^{2} - 1}{x - 1} \\ = \frac{(x - 1) (x + 1)}{x - 1} \end{matrix}

y la función $g (x) = x + 1$ son idénticas para todos los valores de $x \neq 1 .$ Los gráficos de estas dos funciones se muestran en la Figura 2.24.

Dos gráficos uno al lado del otro. El primero es un gráfico de g(x) = x + 1, una función lineal con intersección y en (0,1) e intersección x en (-1,0). La segunda es un gráfico de f(x) = (x^2 – 1) / (x – 1). Este gráfico es idéntico al primero para toda x que no sea igual a 1, ya que hay un círculo abierto en (1,2) en el segundo gráfico.

Figura 2.24 Los gráficos de

f (x)

y

g (x)

son idénticos para todas las

x \neq 1 .

Sus límites en 1 son iguales.

Vemos que

\begin{matrix} \underset{x \to 1}{lím} \frac{x^{2} - 1}{x - 1} & = \underset{x \to 1}{lím} \frac{(x - 1) (x + 1)}{x - 1} \\ = \underset{x \to 1}{lím} (x + 1) \\ = 2 . \end{matrix}

El límite tiene la forma $\underset{x \to a}{lím} \frac{f (x)}{g (x)},$ donde $\underset{x \to a}{lím} f (x) = 0$ y $\underset{x \to a}{lím} g (x) = 0 .$ (En este caso, decimos que $f (x) / g (x)$ tiene la forma indeterminada $0 / 0).$ La siguiente estrategia de resolución de problemas ofrece un esquema general para evaluar este tipo de límites.

Estrategia de resolución de problemas

Estrategia para la resolución de problemas: Calcular un límite cuando $f (x) / g (x)$ tiene la forma indeterminada 0/0

En primer lugar, nos aseguraremos de que nuestra función tiene la forma adecuada y no puede ser evaluada inmediatamente utilizando las leyes de los límites.
Entonces tenemos que hallar una función que sea igual a h(x)=f(x)/g(x)h(x)=f(x)/g(x) para todo x≠ax≠a en algún intervalo que contenga a. Para ello, es posible que tengamos que probar uno o varios de los siguientes pasos
1. Si los valores de $f (x)$ y $g (x)$ son polinomios, debemos factorizar cada función y cancelar los factores comunes.
2. Si el numerador o el denominador tienen una diferencia que implica una raíz cuadrada, debemos intentar multiplicar el numerador y el denominador por el conjugado de la expresión que incluye a la raíz cuadrada.
3. Si los valores de $f (x) / g (x)$ es una fracción compleja, empezamos por simplificarla.
Por último, aplicamos las leyes de los límites.

Los siguientes ejemplos demuestran el uso de esta estrategia de resolución de problemas. El Ejemplo 2.17 ilustra la técnica de factor y cancelación; el Ejemplo 2.18 muestra la multiplicación por un conjugado. En el Ejemplo 2.19, vemos la simplificación de una fracción compleja.

Ejemplo 2.17

Evaluación de un límite mediante factorización y cancelación

Evalúe $\underset{x \to 3}{lím} \frac{x^{2} - 3 x}{2 x^{2} - 5 x - 3} .$

Solución

Paso 1. La función $f (x) = \frac{x^{2} - 3 x}{2 x^{2} - 5 x - 3}$ es indefinida para $x = 3 .$ De hecho, si sustituimos 3 en la función obtenemos $0 / 0,$ que es indefinida. Factorizar y cancelar es una buena estrategia:

\underset{x \to 3}{lím} \frac{x^{2} - 3 x}{2 x^{2} - 5 x - 3} = \underset{x \to 3}{lím} \frac{x (x - 3)}{(x - 3) (2 x + 1)}

Paso 2. Para todos $x \neq 3, \frac{x^{2} - 3 x}{2 x^{2} - 5 x - 3} = \frac{x}{2 x + 1} .$ Por lo tanto,

\underset{x \to 3}{lím} \frac{x (x - 3)}{(x - 3) (2 x + 1)} = \underset{x \to 3}{lím} \frac{x}{2 x + 1} .

Paso 3. Evalúe utilizando las leyes de los límites:

\underset{x \to 3}{lím} \frac{x}{2 x + 1} = \frac{3}{7} .

Punto de control 2.13

Evalúe $\underset{x \to −3}{lím} \frac{x^{2} + 4 x + 3}{x^{2} - 9} .$

Ejemplo 2.18

Evaluar un límite multiplicando por un conjugado

Evalúe $\underset{x \to −1}{lím} \frac{\sqrt{x + 2} - 1}{x + 1} .$

Solución

Paso 1. $\frac{\sqrt{x + 2} - 1}{x + 1}$ tiene la forma $0 / 0$ en -1. Empecemos por multiplicar por $\sqrt{x + 2} + 1,$ el conjugado de $\sqrt{x + 2} - 1,$ en el numerador y el denominador:

\underset{x \to −1}{lím} \frac{\sqrt{x + 2} - 1}{x + 1} = \underset{x \to −1}{lím} \frac{\sqrt{x + 2} - 1}{x + 1} . \frac{\sqrt{x + 2} + 1}{\sqrt{x + 2} + 1} .

Paso 2. A continuación, multiplicamos el numerador. No multiplicamos el denominador porque esperamos que $(x + 1)$ en el denominador se anule al final:

= \underset{x \to −1}{lím} \frac{x + 1}{(x + 1) (\sqrt{x + 2} + 1)} .

Paso 3. Entonces lo cancelamos:

= \underset{x \to −1}{lím} \frac{1}{\sqrt{x + 2} + 1} .

Paso 4. Por último, aplicamos las leyes de los límites:

\underset{x \to −1}{lím} \frac{1}{\sqrt{x + 2} + 1} = \frac{1}{2} .

Punto de control 2.14

Evalúe $\underset{x \to 5}{lím} \frac{\sqrt{x - 1} - 2}{x - 5} .$

Ejemplo 2.19

Evaluación de un límite mediante la simplificación de una fracción compleja

Evalúe $\underset{x \to 1}{lím} \frac{\frac{1}{x + 1} - \frac{1}{2}}{x - 1} .$

Solución

Paso 1. $\frac{\frac{1}{x + 1} - \frac{1}{2}}{x - 1}$ tiene la forma $0 / 0$ en 1. Simplificamos la fracción algebraica multiplicando por $2 (x + 1) / 2 (x + 1) :$

\underset{x \to 1}{lím} \frac{\frac{1}{x + 1} - \frac{1}{2}}{x - 1} = \underset{x \to 1}{lím} \frac{\frac{1}{x + 1} - \frac{1}{2}}{x - 1} . \frac{2 (x + 1)}{2 (x + 1)} .

Paso 2. A continuación, multiplicamos por los numeradores. No multiplique los denominadores porque necesitamos cancelar el factor $(x - 1) :$

= \underset{x \to 1}{lím} \frac{2 - (x + 1)}{2 (x - 1) (x + 1)} .

Paso 3. A continuación, simplificamos el numerador:

= \underset{x \to 1}{lím} \frac{- x + 1}{2 (x - 1) (x + 1)} .

Paso 4. Ahora factorizamos -1 en el numerador:

= \underset{x \to 1}{lím} \frac{- (x - 1)}{2 (x - 1) (x + 1)} .

Paso 5. Entonces, cancelamos los factores comunes de $(x - 1) :$

= \underset{x \to 1}{lím} \frac{−1}{2 (x + 1)} .

Paso 6. Por último, evaluamos mediante las leyes de los límites:

\underset{x \to 1}{lím} \frac{−1}{2 (x + 1)} = - \frac{1}{4} .

Punto de control 2.15

Evalúe $\underset{x \to −3}{lím} \frac{\frac{1}{x + 2} + 1}{x + 3} .$

El Ejemplo 2.20 no se ajusta perfectamente a ninguno de los patrones establecidos en los ejemplos anteriores. Sin embargo, con un poco de creatividad, podemos seguir utilizando estas mismas técnicas.

Ejemplo 2.20

Evaluación de un límite cuando no se aplican las leyes de los límites

Evalúe $\underset{x \to 0}{lím} (\frac{1}{x} + \frac{5}{x (x - 5)}) .$

Solución

Tanto $1 / x$ y $5 / x (x - 5)$ no tienen un límite en cero. Como ninguna de las dos funciones tiene un límite en cero, no podemos aplicar la ley de suma para los límites y debemos utilizar una estrategia diferente. En este caso, encontramos el límite realizando la suma y luego aplicando una de nuestras estrategias anteriores. Observe que

\begin{matrix} \frac{1}{x} + \frac{5}{x (x - 5)} & = \frac{x - 5 + 5}{x (x - 5)} \\ = \frac{x}{x (x - 5)} . \end{matrix}

Por lo tanto,

\begin{matrix} \underset{x \to 0}{lím} (\frac{1}{x} + \frac{5}{x (x - 5)}) & = \underset{x \to 0}{lím} \frac{x}{x (x - 5)} \\ = \underset{x \to 0}{lím} \frac{1}{x - 5} \\ = - \frac{1}{5} . \end{matrix}

Punto de control 2.16

Evalúe $\underset{x \to 3}{lím} (\frac{1}{x - 3} - \frac{4}{x^{2} - 2 x - 3}) .$

Volvamos ahora a los límites unilaterales. Unas sencillas modificaciones en las leyes de los límites nos permiten aplicarlas a los límites unilaterales. Por ejemplo, para aplicar las leyes de los límites a un límite de la forma $\underset{x \to a^{-}}{lím} h (x),$ necesitamos la función $h (x)$ para ser definida sobre un intervalo abierto de la forma $(b, a);$ para un límite de la forma $\underset{x \to a^{+}}{lím} h (x),$ necesitamos la función $h (x)$ para ser definida sobre un intervalo abierto de la forma $(a, c) .$ El Ejemplo 2.21 ilustra este punto.

Ejemplo 2.21

Evaluación de un límite unilateral mediante las leyes de los límites

Evalúe cada uno de los siguientes límites, si es posible.

$\underset{x \to 3^{-}}{lím} \sqrt{x - 3}$
$\underset{x \to 3^{+}}{lím} \sqrt{x - 3}$

Solución

La Figura 2.25 ilustra la función $f (x) = \sqrt{x - 3}$ y nos ayuda a comprender estos límites.

Gráfico de la función f(x) = sqrt(x-3). Visualmente, la función parece la mitad superior de una parábola que se abre hacia la derecha con vértice en (3,0).

Figura 2.25 El gráfico muestra la función

f (x) = \sqrt{x - 3} .

La función $f (x) = \sqrt{x - 3}$ se define en el intervalo $[3, + \infty) .$ Como esta función no está definida a la izquierda de 3, no podemos aplicar las leyes de los límites para calcular $\underset{x \to 3^{-}}{lím} \sqrt{x - 3} .$ De hecho, ya que $f (x) = \sqrt{x - 3}$ es indefinida a la izquierda de 3, $\underset{x \to 3^{-}}{lím} \sqrt{x - 3}$ no existe.
Dado que $f (x) = \sqrt{x - 3}$ se define a la derecha de 3, las leyes de los límites sí se aplican a $\underset{x \to 3^{+}}{lím} \sqrt{x - 3} .$ Aplicando estas leyes de los límites obtenemos $\underset{x \to 3^{+}}{lím} \sqrt{x - 3} = 0 .$

En el Ejemplo 2.22 observamos los límites unilaterales de una función definida a trozos y los utilizamos para sacar una conclusión sobre un límite bilateral de la misma función.

Ejemplo 2.22

Evaluación de un límite bilateral utilizando las leyes de los límites

Para $f (x) = {\begin{matrix} 4 x - 3 & si x < 2 \\ {(x - 3)}^{2} & si x \geq 2 \end{matrix},$ evalúe cada uno de los límites siguientes:

$\underset{x \to 2^{-}}{lím} f (x)$ grandes.
$\underset{x \to 2^{+}}{lím} f (x)$ grandes.
$\underset{x \to 2}{lím} f (x)$

Solución

La Figura 2.26 ilustra la función $f (x)$ y nos ayuda a comprender estos límites.

El gráfico de una función a trozos con dos segmentos. Para x<2, la función es lineal con la ecuación 4x-3. Hay un círculo abierto en (2,5). El segundo segmento es una parábola y existe para x>=2, con la ecuación (x-3)^2. Hay un círculo cerrado en (2,1). El vértice de la parábola está en (3,0).

Figura 2.26 Este gráfico muestra una función

f (x) .

Dado que $f (x) = 4 x - 3$ para todas las x en $(− \infty, 2),$ sustituya $f (x)$ en el límite con $4 x - 3$ y aplique las leyes de los límites:

$\underset{x \to 2^{-}}{lím} f (x) = \underset{x \to 2^{-}}{lím} (4 x - 3) = 5 .$
Dado que $f (x) = {(x - 3)}^{2}$ para todas las x en $(2, + \infty),$ sustituya $f (x)$ en el límite con ${(x - 3)}^{2}$ y aplique las leyes de los límites:

$\underset{x \to 2^{+}}{lím} f (x) = \underset{x \to 2^{+}}{lím} {(x - 3)}^{2} = 1 .$
Dado que $\underset{x \to 2^{-}}{lím} f (x) = 5$ y $\underset{x \to 2^{+}}{lím} f (x) = 1,$ concluimos que $\underset{x \to 2}{lím} f (x)$ no existe.

Punto de control 2.17

Grafique $f (x) = {\begin{matrix} - x - 2 si x < − 1 \\ 2 si x = –1 \\ x^{3} si x > − 1 \end{matrix}$ y evalúe $\underset{x \to {−1}^{-}}{lím} f (x) .$

Ahora nos centramos en la evaluación de un límite de la forma $\underset{x \to a}{lím} \frac{f (x)}{g (x)},$ donde $\underset{x \to a}{lím} f (x) = K,$ donde $K \neq 0$ y $\underset{x \to a}{lím} g (x) = 0 .$ Es decir, $f (x) / g (x)$ tiene la forma $K / 0, K \neq 0$ en a.

Ejemplo 2.23

Evaluación de un límite de la forma $K / 0, K \neq 0$ Utilizar las leyes de los límites

Evalúe $\underset{x \to 2^{-}}{lím} \frac{x - 3}{x^{2} - 2 x} .$

Solución

Paso 1. Después de sustituir en $x = 2,$ vemos que este límite tiene la forma $−1 / 0 .$ Es decir, a medida que x se acerca a 2 por la izquierda, el numerador se acerca a -1; y el denominador se acerca a 0. En consecuencia, la magnitud de $\frac{x - 3}{x (x - 2)}$ se convierte en infinito. Para tener una mejor idea de cuál es el límite, tenemos que factorizar el denominador:

\underset{x \to 2^{-}}{lím} \frac{x - 3}{x^{2} - 2 x} = \underset{x \to 2^{-}}{lím} \frac{x - 3}{x (x - 2)} .

Paso 2. Dado que $x - 2$ es la única parte del denominador que es cero cuando se sustituye por 2, entonces separamos $1 / (x - 2)$ del resto de la función:

= \underset{x \to 2^{-}}{lím} \frac{x - 3}{x} . \frac{1}{x - 2} .

Paso 3. $\underset{x \to 2^{-}}{lím} \frac{x - 3}{x} = - \frac{1}{2}$ y $\underset{x \to 2^{-}}{lím} \frac{1}{x - 2} = − \infty .$ Por lo tanto, el producto de $(x - 3) / x$ y $1 / (x - 2)$ tiene un límite de $+∞:$

\underset{x \to 2^{-}}{lím} \frac{x - 3}{x^{2} - 2 x} = + \infty .

Punto de control 2.18

Evalúe $\underset{x \to 1}{lím} \frac{x + 2}{{(x - 1)}^{2}} .$

El teorema del emparedado

Las técnicas que hemos desarrollado hasta ahora funcionan muy bien para las funciones algebraicas, pero aún no podemos evaluar los límites de funciones trigonométricas muy básicas. El siguiente teorema, llamado teorema del emparedado, resulta muy útil para establecer los límites trigonométricos básicos. Este teorema nos permite calcular los límites "comprimiendo" una función, con un límite en un punto desconocido a entre dos funciones que tienen un límite común conocido en a. La Figura 2.27 ilustra esta idea.

Un gráfico de tres funciones sobre un intervalo pequeño. Las tres funciones se curvan. En este intervalo, la función g(x) queda atrapada entre las funciones h(x), que dan valores mayores de y para los mismos valores de x, y f(x), que da valores menores de y para los mismos valores de x. Todas las funciones se acercan al mismo límite cuando x=a.

Figura 2.27 El teorema del emparedado se aplica cuando

f (x) \leq g (x) \leq h (x)

y

\underset{x \to a}{lím} f (x) = \underset{x \to a}{lím} h (x) .

Teorema 2.7

El teorema del emparedado

Supongamos que $f (x), g (x),$ y $h (x)$ se define para todos los $x \neq a$ sobre un intervalo abierto que contiene a. Si

f (x) \leq g (x) \leq h (x)

para todos los $x \neq a$ en un intervalo abierto que contiene a y

\underset{x \to a}{lím} f (x) = L = \underset{x \to a}{lím} h (x)

donde L es un número real, entonces $\underset{x \to a}{lím} g (x) = L .$

Ejemplo 2.24

Aplicación del teorema del emparedado

Aplique el teorema del emparedado para evaluar $\underset{x \to 0}{lím} x cos x .$

Solución

Dado que $−1 \leq cos x \leq 1$ para toda x, tenemos $- | x | \leq x cos x \leq | x |$ . Dado que $\underset{x \to 0}{lím} (- | x |) = 0 = \underset{x \to 0}{lím} | x |,$ del teorema del emparedado, obtenemos $\underset{x \to 0}{lím} x cos x = 0 .$ Los gráficos de $f (x) = - | x |, g (x) = x cos x,$ y $h (x) = | x |$ se muestran en la Figura 2.28.

Gráfico de tres funciones: h(x) = x, f(x) = -x, y g(x) = xcos(x). La primera, h(x) = x, es una función lineal con pendiente 1 que pasa por el origen. La segunda, f(x), es también una función lineal con pendiente de -1; que pasa por el origen. La tercera, g(x) = xcos(x), se curva entre las dos y pasa por el origen. Se abre hacia arriba para x>0 y hacia abajo para x>0.

Figura 2.28 Los gráficos de

f (x), g (x),

y

h (x)

se muestran alrededor del punto

x = 0 .

Punto de control 2.19

Utilice el teorema del emparedado para evaluar $\underset{x \to 0}{lím} x^{2} sen \frac{1}{x} .$

Ahora utilizamos el teorema del emparedado para abordar varios límites muy importantes. Aunque esta discusión es algo larga, estos límites resultan muy valiosos para el desarrollo del material tanto en la siguiente sección como en el siguiente capítulo. El primero de estos límites es $\underset{θ \to 0}{lím} sen θ .$ Tenga en cuenta el círculo unitario que se muestra en la Figura 2.29. Allí vemos que $sen θ$ es la coordenada y en el círculo unitario y corresponde al segmento de línea mostrado en azul. La medida del radián del ángulo θ es la longitud del arco que subtiende en el círculo unitario. Por lo tanto, vemos que para $0 < θ < \frac{π}{2}, 0 < sen θ < θ .$

Un diagrama del círculo unitario en el plano x,y - es un círculo con radio 1 y centro en el origen. Un punto específico (cos(theta), sen(theta)) está marcado en el cuadrante 1 en el borde del círculo. Este punto es un vértice de un triángulo rectángulo dentro del círculo, con los otros vértices en el origen y (cos(theta), 0). Como tal, las longitudes de los lados son cos(theta) para la base y sen(theta) para la altura, donde theta es el ángulo creado por la hipotenusa y la base. La medida del radián del ángulo theta es la longitud del arco que subtiende en el círculo unitario. El diagrama muestra que para 0 < theta < pi/2, 0 < sen(theta) < theta.

Figura 2.29 La función seno se muestra como una línea en el círculo unitario.

Dado que $\underset{θ \to 0^{+}}{lím} 0 = 0$ y $\underset{θ \to 0^{+}}{lím} θ = 0,$ utilizando el teorema del emparedado concluimos que

\underset{θ \to 0^{+}}{lím} sen θ = 0 .

Para ver que $\underset{θ \to 0^{-}}{lím} sen θ = 0$ igualmente, observe que para $- \frac{π}{2} < θ < 0, 0 < − θ < \frac{π}{2}$ y por lo tanto, $0 < sen (- θ) < − θ .$ En consecuencia, $0 < - sen θ < − θ .$ Se deduce que $0 > sen θ > θ .$ Una aplicación del teorema del emparedado produce el límite deseado. Por lo tanto, dado que $\underset{θ \to 0^{+}}{lím} sen θ = 0$ y $\underset{θ \to 0^{-}}{lím} sen θ = 0,$

\underset{θ \to 0}{lím} sen θ = 0 .

(2.16)

A continuación, utilizando la identidad $cos θ = \sqrt{1 - {sen}^{2} θ}$ para $- \frac{π}{2} < θ < \frac{π}{2},$ vemos que

\underset{θ \to 0}{lím} cos θ = \underset{θ \to 0}{lím} \sqrt{1 - {sen}^{2} θ} = 1 .

(2.17)

A continuación veremos un límite que juega un papel importante en capítulos posteriores, a saber, $\underset{θ \to 0}{lím} \frac{sen θ}{θ} .$ Para evaluar este límite, utilizamos el círculo unitario en la Figura 2.30. Note que esta figura añade un triángulo más a la Figura 2.30. Vemos que la longitud del lado opuesto al ángulo θ en este nuevo triángulo es $tan θ .$ Así, vemos que para $0 < θ < \frac{π}{2}, sen θ < θ < tan θ .$

El mismo diagrama que el anterior. Sin embargo, el triángulo se amplía. Ahora la base es desde el origen hasta (1,0). La altura va de (1,0) a (1, tan(theta)). La hipotenusa va desde el origen hasta (1, tan(theta)). Así, la altura es ahora tan(theta). Muestra que para 0 < theta < pi/2, sen(theta) < theta < tan(theta).

Figura 2.30 Las funciones seno y tangente se muestran como líneas en el círculo unitario.

Al dividir entre $sen θ$ en todas las partes de la inecuación obtenemos

1 < \frac{θ}{sen θ} < \frac{1}{cos θ} .

De manera equivalente, tenemos

1 > \frac{sen θ}{θ} > cos θ .

Dado que $\underset{θ \to 0^{+}}{lím} 1 = 1 = \underset{θ \to 0^{+}}{lím} cos θ,$ concluimos que $\underset{θ \to 0^{+}}{lím} \frac{sen θ}{θ} = 1 .$ Aplicando una manipulación similar a la utilizada para demostrar que $\underset{θ \to 0^{-}}{lím} sen θ = 0,$ podemos demostrar que $\underset{θ \to 0^{-}}{lím} \frac{sen θ}{θ} = 1 .$ Por lo tanto,

\underset{θ \to 0}{lím} \frac{sen θ}{θ} = 1 .

(2.18)

En el Ejemplo 2.25 utilizamos este límite para establecer $\underset{θ \to 0}{lím} \frac{1 - cos θ}{θ} = 0 .$ Este límite también resulta útil en capítulos posteriores.

Ejemplo 2.25

Evaluación de un límite trigonométrico importante

Evalúe $\underset{θ \to 0}{lím} \frac{1 - cos θ}{θ} .$

Solución

En el primer paso, multiplicamos por el conjugado para poder utilizar una identidad trigonométrica a fin de convertir el coseno del numerador en un seno:

\begin{matrix} \underset{θ \to 0}{lím} \frac{1 - cos θ}{θ} & = \underset{θ \to 0}{lím} \frac{1 - cos θ}{θ} . \frac{1 + cos θ}{1 + cos θ} \\ = \underset{θ \to 0}{lím} \frac{1 - {cos}^{2} θ}{θ (1 + cos θ)} \\ = \underset{θ \to 0}{lím} \frac{{sen}^{2} θ}{θ (1 + cos θ)} \\ = \underset{θ \to 0}{lím} \frac{sen θ}{θ} . \frac{sen θ}{1 + cos θ} \\ = 1 . \frac{0}{2} = 0 . \end{matrix}

Por lo tanto,

\underset{θ \to 0}{lím} \frac{1 - cos θ}{θ} = 0 .

(2.19)

Punto de control 2.20

Evalúe $\underset{θ \to 0}{lím} \frac{1 - cos θ}{sen θ} .$

Proyecto de estudiante

Derivación de la fórmula del área de un círculo

Algunas de las fórmulas geométricas que hoy damos por sentadas se obtuvieron por primera vez mediante métodos que anticiparon algunos de los métodos del cálculo. El matemático griego Arquímedes (ca. 287-212; a.C.) fue especialmente ingenioso, ya que utilizó polígonos inscritos en círculos para aproximar el área del círculo a medida que aumentaba el número de lados del polígono. Nunca se le ocurrió la idea de un límite, pero podemos utilizar esta idea para ver lo que sus construcciones geométricas podrían haber predicho sobre el límite.

Podemos estimar el área de un círculo calculando el área de un polígono regular inscrito. Piense que el polígono regular está formado por n triángulos. Tomando el límite a medida que el ángulo del vértice de estos triángulos llega a cero, se puede obtener el área del círculo. Para comprobarlo, realice los siguientes pasos:

Exprese la altura h y la base b del triángulo isósceles en la Figura 2.31 en términos de $θ$ y r.

Figura 2.31
Utilizando las expresiones obtenidas en el paso 1, exprese el área del triángulo isósceles en términos de θ y r.
(Sustituya $(1 / 2) sen θ$ por $sen (θ / 2) cos (θ / 2)$ en su expresión)
Si un polígono regular de n lados está inscrito en una circunferencia de radio r, halle una relación entre θ y n. Resuelva esto para n. Tenga en cuenta que hay 2 radianes π en un círculo (utilice radianes, no grados).
Halle una expresión para el área del polígono de n lados en términos de r y θ.
Para hallar una fórmula para el área del círculo, halle el límite de la expresión en el paso 4 a medida que θ llega a cero. (Pista: $\underset{θ \to 0}{lím} \frac{(sen θ)}{θ} = 1).$

La técnica de estimación de áreas de regiones mediante el uso de polígonos se revisa en Introducción a la integración.

Sección 2.3 ejercicios

En los siguientes ejercicios, utilice las leyes de los límites para evaluar cada uno. Justifique cada paso indicando la(s) ley(es) de los límites correspondiente(s).

83.

$\underset{x \to 0}{lím} (4 x^{2} - 2 x + 3)$

84.

$\underset{x \to 1}{lím} \frac{x^{3} + 3 x^{2} + 5}{4 - 7 x}$

85.

$\underset{x \to −2}{lím} \sqrt{x^{2} - 6 x + 3}$

86.

$\underset{x \to −1}{lím} {(9 x + 1)}^{2}$

En los siguientes ejercicios, utilice la sustitución directa para evaluar cada límite.

87.

$\underset{x \to 7}{lím} x^{2}$

88.

$\underset{x \to −2}{lím} (4 x^{2} - 1)$ grandes.

89.

$\underset{x \to 0}{lím} \frac{1}{1 + sen x}$

90.

$\underset{x \to 2}{lím} e^{2 x - x^{2}}$

91.

$\underset{x \to 1}{lím} \frac{2 - 7 x}{x + 6}$

92.

$\underset{x \to 3}{lím} ln e^{3 x}$

En los siguientes ejercicios, utilice la sustitución directa para demostrar que cada límite conduce a la forma indeterminada $0 / 0 .$ Luego evalúe el límite.

93.

$\underset{x \to 4}{lím} \frac{x^{2} - 16}{x - 4}$

94.

$\underset{x \to 2}{lím} \frac{x - 2}{x^{2} - 2 x}$

95.

$\underset{x \to 6}{lím} \frac{3 x - 18}{2 x - 12}$

96.

$\underset{h \to 0}{lím} \frac{{(1 + h)}^{2} - 1}{h}$

97.

$\underset{t \to 9}{lím} \frac{t - 9}{\sqrt{t} - 3}$

98.

$\underset{h \to 0}{lím} \frac{\frac{1}{a + h} - \frac{1}{a}}{h},$ donde a es una constante de valor real diferente a cero.

99.

$\underset{θ \to π}{lím} \frac{sen θ}{tan θ}$

100.

$\underset{x \to 1}{lím} \frac{x^{3} - 1}{x^{2} - 1}$

101.

$\underset{x \to 1 / 2}{lím} \frac{2 x^{2} + 3 x - 2}{2 x - 1}$

102.

$\underset{x \to −3}{lím} \frac{\sqrt{x + 4} - 1}{x + 3}$

En los siguientes ejercicios, utilice la sustitución directa para obtener una expresión indefinida. A continuación, utilice el método del Ejemplo 2.23 para simplificar la función y ayudar a determinar el límite.

103.

$\underset{x \to {−2}^{-}}{lím} \frac{2 x^{2} + 7 x - 4}{x^{2} + x - 2}$

104.

$\underset{x \to {−2}^{+}}{lím} \frac{2 x^{2} + 7 x - 4}{x^{2} + x - 2}$

105.

$\underset{x \to 1^{-}}{lím} \frac{2 x^{2} + 7 x - 4}{x^{2} + x - 2}$

106.

$\underset{x \to 1^{+}}{lím} \frac{2 x^{2} + 7 x - 4}{x^{2} + x - 2}$

En los siguientes ejercicios, suponga que $\underset{x \to 6}{lím} f (x) = 4, \underset{x \to 6}{lím} g (x) = 9,$ y $\underset{x \to 6}{lím} h (x) = 6 .$ Utilice estos tres hechos y las leyes de los límites para evaluar cada uno.

107.

$\underset{x \to 6}{lím} 2 f (x) g (x)$ grandes.

108.

$\underset{x \to 6}{lím} \frac{g (x) - 1}{f (x)}$ grandes.

109.

$\underset{x \to 6}{lím} (f (x) + \frac{1}{3} g (x))$ grandes.

110.

$\underset{x \to 6}{lím} \frac{{(h (x))}^{3}}{2}$

111.

$\underset{x \to 6}{lím} \sqrt{g (x) - f (x)}$ grandes.

112.

$\underset{x \to 6}{lím} x . h (x)$ grandes.

113.

$\underset{x \to 6}{lím} [(x + 1) . f (x)]$

114.

$\underset{x \to 6}{lím} (f (x) . g (x) - h (x))$

[T] En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora para dibujar el gráfico de cada función definida a trozos y estudie el gráfico para evaluar los límites dados.

115.

$f (x) = {\begin{cases} x^{2}, & x \leq 3 \\ x + 4, & x > 3 \end{cases}$

$\underset{x \to 3^{-}}{lím} f (x)$ grandes.
$\underset{x \to 3^{+}}{lím} f (x)$

116.

$g (x) = {\begin{cases} x^{3} - 1, & x \leq 0 \\ 1, & x > 0 \end{cases}$

$\underset{x \to 0^{-}}{lím} g (x)$ grandes.
$\underset{x \to 0^{+}}{lím} g (x)$

117.

$h (x) = {\begin{cases} x^{2} - 2 x + 1, & x < 2 \\ 3 - x, & x \geq 2 \end{cases}$

$\underset{x \to 2^{-}}{lím} h (x)$ grandes.
$\underset{x \to 2^{+}}{lím} h (x)$

En los siguientes ejercicios, utilice los gráficos y las leyes de los límites para evaluar cada límite.

Dos gráficos de funciones a trozos. El superior es f(x), que tiene dos segmentos lineales. El primero es una línea con pendiente negativa que existe para x < -3. Va hacia el punto (-3,0) en x= -3. El siguiente tiene pendiente creciente y va al punto (-3,-2) en x=-3. Existe para x > -3. Otros puntos clave son (0, 1), (-5,2), (1,2), (-7, 4) y (-9,6). La función a trozos inferior tiene un segmento lineal y un segmento curvo. El segmento lineal existe para x < -3 y tiene una pendiente decreciente. Llega a (-3,-2) en x=-3. El segmento curvo parece ser la mitad derecha de una parábola que se abre hacia abajo. Llega al punto de vértice (-3,2) en x=-3. Interseca el eje y un poco por debajo de y=-2. Otros puntos clave son (0, -7/3), (-5,0), (1,-5), (-7, 2) y (-9, 4).

118.

$\underset{x \to {−3}^{+}}{lím} (f (x) + g (x))$ grandes.

119.

$\underset{x \to {−3}^{-}}{lím} (f (x) - 3 g (x))$ grandes.

120.

$\underset{x \to 0}{lím} \frac{f (x) g (x)}{3}$

121.

$\underset{x \to −5}{lím} \frac{2 + g (x)}{f (x)}$ grandes.

122.

$\underset{x \to 1}{lím} {(f (x))}^{2}$

123.

$\underset{x \to 1}{lím} \sqrt[3]{f (x) - g (x)}$

124.

$\underset{x \to −7}{lím} (x . g (x))$ grandes.

125.

$\underset{x \to −9}{lím} [x . f (x) + 2 . g (x)]$

En los siguientes problemas, evalúe el límite utilizando el teorema del emparedado. Utilice una calculadora para representar gráficamente las funciones $f (x), g (x),$ y $h (x)$ si es posible.

126.

[T] ¿Verdadero o falso? Si los valores de $2 x - 1 \leq g (x) \leq x^{2} - 2 x + 3,$ entonces $\underset{x \to 2}{lím} g (x) = 0 .$

127.

[T] $\underset{θ \to 0}{lím} θ^{2} cos (\frac{1}{θ})$

128.

$\underset{x \to 0}{lím} f (x),$ donde $f (x) = {\begin{cases} 0, & x racional \\ x^{2}, & x irracional \end{cases}$

129.

[T] En física, la magnitud de un campo eléctrico generado por una carga puntual a una distancia r en el vacío se rige por la ley de Coulomb: $E (r) = \frac{q}{4 π ε_{0} r^{2}},$ donde E representa la magnitud del campo eléctrico, q es la carga de la partícula, r es la distancia entre la partícula y donde se mide la intensidad del campo, y $\frac{1}{4 π ε_{0}}$ es la constante de Coulomb: $8,988 \times 10^{9} N . m^{2} / C^{2} .$

Utilice una calculadora gráfica para graficar $E (r)$ dado que la carga de la partícula es $q = 10^{−10} .$
Evalúe $\underset{r \to 0^{+}}{lím} E (r) .$ ¿Cuál es el significado físico de esta cantidad? ¿Es físicamente relevante? ¿Por qué se evalúa por la derecha?

130.

[T] La densidad de un objeto viene dada por su masa dividida por su volumen: $ρ = m / V .$

Utilice una calculadora para representar el volumen en función de la densidad $(V = m / ρ),$ suponiendo que está examinando algo con una masa de 8 kg ( $m = 8).$
Evalúe $\underset{ρ \to 0^{+}}{lím} V (ρ)$ y explique el significado físico.

2.3 Las leyes de los límites

Evaluación de los límites con las leyes de los límites

Resultados del límite básico

Evaluación de un límite básico

Solución

Leyes de los límites

Evaluación de un límite mediante las leyes de los límites

Solución

Utilizar repetidamente las leyes de los límites

Solución

Límites de funciones polinómicas y racionales

Límites de funciones polinómicas y racionales

Evaluación de un límite de una función racional

Solución

Técnicas adicionales de evaluación de límites

Estrategia para la resolución de problemas: Calcular un límite cuando f(x)/g(x)f(x)/g(x) tiene la forma indeterminada 0/0

Evaluación de un límite mediante factorización y cancelación

Solución

Evaluar un límite multiplicando por un conjugado

Solución

Evaluación de un límite mediante la simplificación de una fracción compleja

Solución

Evaluación de un límite cuando no se aplican las leyes de los límites

Solución

Evaluación de un límite unilateral mediante las leyes de los límites

Solución

Evaluación de un límite bilateral utilizando las leyes de los límites

Solución

Evaluación de un límite de la forma K/0,K≠0K/0,K≠0 Utilizar las leyes de los límites

Solución

El teorema del emparedado

El teorema del emparedado

Aplicación del teorema del emparedado

Solución

Evaluación de un límite trigonométrico importante

Solución

Derivación de la fórmula del área de un círculo

Sección 2.3 ejercicios

Estrategia para la resolución de problemas: Calcular un límite cuando $f (x) / g (x)$ tiene la forma indeterminada 0/0

Evaluación de un límite de la forma $K / 0, K \neq 0$ Utilizar las leyes de los límites