Omitir e ir al contenidoIr a la página de accesibilidadMenú de atajos de teclado
Logo de OpenStax
Cálculo volumen 1

2.4 Continuidad

Cálculo volumen 12.4 Continuidad

Menú
Índice
  1. Prefacio
  2. 1 Funciones y gráficos
    1. Introducción
    2. 1.1 Repaso de las funciones
    3. 1.2 Clases básicas de funciones
    4. 1.3 Funciones trigonométricas
    5. 1.4 Funciones inversas
    6. 1.5 Funciones exponenciales y logarítmicas
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  3. 2 Límites
    1. Introducción
    2. 2.1 Un repaso previo del cálculo
    3. 2.2 El límite de una función
    4. 2.3 Las leyes de los límites
    5. 2.4 Continuidad
    6. 2.5 La definición precisa de un límite
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  4. 3 Derivadas
    1. Introducción
    2. 3.1 Definir la derivada
    3. 3.2 La derivada como función
    4. 3.3 Reglas de diferenciación
    5. 3.4 Las derivadas como tasas de cambio
    6. 3.5 Derivadas de funciones trigonométricas
    7. 3.6 La regla de la cadena
    8. 3.7 Derivadas de funciones inversas
    9. 3.8 Diferenciación implícita
    10. 3.9 Derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas
    11. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  5. 4 Aplicaciones de las derivadas
    1. Introducción
    2. 4.1 Tasas relacionadas
    3. 4.2 Aproximaciones lineales y diferenciales
    4. 4.3 Máximos y mínimos
    5. 4.4 El teorema del valor medio
    6. 4.5 Las derivadas y la forma de un gráfico
    7. 4.6 Límites al infinito y asíntotas
    8. 4.7 Problemas de optimización aplicados
    9. 4.8 La regla de L'Hôpital
    10. 4.9 Método de Newton
    11. 4.10 Antiderivadas
    12. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  6. 5 Integración
    1. Introducción
    2. 5.1 Aproximación de áreas
    3. 5.2 La integral definida
    4. 5.3 El teorema fundamental del cálculo
    5. 5.4 Fórmulas de integración y el teorema del cambio neto
    6. 5.5 Sustitución
    7. 5.6 Integrales con funciones exponenciales y logarítmicas
    8. 5.7 Integrales que resultan en funciones trigonométricas inversas
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  7. 6 Aplicaciones de la integración
    1. Introducción
    2. 6.1 Áreas entre curvas
    3. 6.2 Determinar los volúmenes mediante el corte
    4. 6.3 Volúmenes de revolución: capas cilíndricas
    5. 6.4 Longitud del arco de una curva y superficie
    6. 6.5 Aplicaciones físicas
    7. 6.6 Momentos y centros de masa
    8. 6.7 Integrales, funciones exponenciales y logaritmos
    9. 6.8 Crecimiento y decaimiento exponencial
    10. 6.9 Cálculo de las funciones hiperbólicas
    11. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  8. A Tabla de integrales
  9. B Tabla de derivadas
  10. C Repaso de Precálculo
  11. Clave de respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
  12. Índice

Objetivos de aprendizaje

  • 2.4.1 Explicar las tres condiciones de continuidad en un punto.
  • 2.4.2 Describir tres tipos de discontinuidades.
  • 2.4.3 Definir la continuidad en un intervalo.
  • 2.4.4 Enunciar el teorema de los límites de las funciones compuestas.
  • 2.4.5 Dar un ejemplo del teorema del valor intermedio.

Muchas funciones tienen la propiedad de que sus gráficos se pueden trazar con un lápiz sin levantar el lápiz de la página. Estas funciones se denominan continuas. Otras funciones tienen puntos en los que se produce una ruptura en el gráfico, pero satisfacen esta propiedad en los intervalos contenidos en sus dominios. Son continuas en estos intervalos y se dice que tienen una discontinuidad en un punto donde se produce una ruptura.

Comenzamos nuestra investigación sobre la continuidad explorando lo que significa que una función tenga continuidad en un punto. Intuitivamente, una función es continua en un punto determinado si no hay ruptura en su gráfico en ese punto.

Continuidad en un punto

Antes de ver una definición formal de lo que significa que una función sea continua en un punto, consideremos varias funciones que no cumplen nuestra noción intuitiva de lo que significa ser continua en un punto. A continuación, creamos una lista de condiciones que evitan estos fallos.

Nuestra primera función de interés se muestra en la Figura 2.32. Vemos que el gráfico de f(x)f(x) tiene un agujero en a. De hecho, f(a)f(a) es indefinida. Como mínimo, para que f(x)f(x) sea continua en a, necesitamos la siguiente condición:

i.f(a)está definida.i.f(a)está definida.
Gráfico de una función lineal creciente f(x) que cruza el eje x del cuadrante tres al cuadrante dos y que interseca el eje y del cuadrante dos al cuadrante uno. Un punto a mayor que cero se marca en el eje x. El punto de la función f(x) sobre a es una circunferencia abierta; la función no está definida en a.
Figura 2.32 La función f ( x ) f ( x ) no es continua en a porque f ( a ) f ( a ) es indefinida.

Sin embargo, como vemos en la Figura 2.33, esta condición no es suficiente para garantizar la continuidad en el punto a. Aunque f(a)f(a) está definida, la función tiene una brecha en a. En este ejemplo, la brecha existe porque límxaf(x)límxaf(x) no existe. Debemos añadir otra condición para la continuidad en a,, a saber,

ii.límxaf(x)existe.ii.límxaf(x)existe.
Gráfico de una función a trozos f(x) con dos partes. La primera parte es una función lineal creciente que cruza del cuadrante tres al cuadrante uno en el origen. Un punto a mayor que cero se marca en el eje x. En fa. en este segmento, hay un círculo sólido. El otro segmento también es una función lineal creciente. Existe en el cuadrante uno para valores de x mayores que a. En x=a, este segmento tiene un círculo abierto.
Figura 2.33 La función f ( x ) f ( x ) no es continua en a porque lím x a f ( x ) lím x a f ( x ) no existe.

Sin embargo, como vemos en la Figura 2.34, estas dos condiciones por sí solas no garantizan la continuidad en un punto. La función de esta figura satisface las dos primeras condiciones, pero sigue sin ser continua en a. Debemos añadir una tercera condición a nuestra lista:

iii.límxaf(x)=f(a).iii.límxaf(x)=f(a).
El gráfico de una función a trozos con dos partes. La primera parte es una función lineal creciente que interseca el eje x del cuadrante tres al cuadrante dos e interseca el eje y del cuadrante dos al cuadrante uno. Un punto a mayor que cero se marca en el eje x. En este punto, hay un círculo abierto en la función lineal. La segunda parte es un punto en x=a sobre la línea.
Figura 2.34 La función f ( x ) f ( x ) no es continua en a porque lím x a f ( x ) f ( a ) . lím x a f ( x ) f ( a ) .

Ahora reunamos nuestra lista de condiciones y formemos una definición de continuidad en un punto.

Definición

Una función f(x)f(x) es continua en un punto a si y solo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

  1. f(a)f(a) está definida
  2. límxaf(x)límxaf(x) existe
  3. límxaf(x)=f(a)límxaf(x)=f(a)

Una función es discontinua en un punto a si no es continua en a.

El siguiente procedimiento se puede utilizar para analizar la continuidad de una función en un punto utilizando esta definición.

Estrategia de resolución de problemas

Estrategia para la resolución de problemas: Determinación de la continuidad en un punto

  1. Compruebe si f(a)f(a) está definida. Si los valores de f(a)f(a) es indefinida, no necesitamos ir más allá. La función no es continua en a. Si los valores de f(a)f(a) está definida, continúe con el paso 2.
  2. Calcule límxaf(x).límxaf(x). Es posible que en algunos casos tengamos que hacer esto calculando primero límxaf(x)límxaf(x) y límxa+f(x).límxa+f(x). Si límxaf(x)límxaf(x) no existe (es decir, no es un número real), entonces la función no es continua en a y el problema está resuelto. Si los valores de límxaf(x)límxaf(x) existe, entonces continúe con el paso 3.
  3. Compare f(a)f(a) y límxaf(x).límxaf(x). Si límxaf(x)f(a),límxaf(x)f(a), entonces la función no es continua en a. Si los valores de límxaf(x)=f(a),límxaf(x)=f(a), entonces la función es continua en a.

Los tres ejemplos siguientes muestran cómo aplicar esta definición para determinar si una función es continua en un punto dado. Ilustran situaciones en las que cada una de las condiciones de continuidad de la definición tiene éxito o falla.

Ejemplo 2.26

Determinación de la continuidad en un punto, condición 1

Utilizando la definición, determine si la función f(x)=(x2 4)/(x2 )f(x)=(x2 4)/(x2 ) es continua en x=2 .x=2 . Justifique la conclusión.

Ejemplo 2.27

Determinación de la continuidad en un punto, condición 2

Utilizando la definición, determine si la función f(x)={x2 +4six34x8six>3f(x)={x2 +4six34x8six>3 es continua en x=3.x=3. Justifique la conclusión.

Ejemplo 2.28

Determinación de la continuidad en un punto, condición 3

Utilizando la definición, determine si la función f(x)={senxxsix01six=0f(x)={senxxsix01six=0 es continua en x=0.x=0.

Punto de control 2.21

Utilizando la definición, determine si la función f(x)={2 x+1six<12 six=1x+4six>1f(x)={2 x+1six<12 six=1x+4six>1 es continua en x=1.x=1. Si la función no es continua en 1, indique la condición de continuidad en un punto que no se cumple.

Aplicando la definición de continuidad y los teoremas previamente establecidos sobre la evaluación de límites, podemos enunciar el siguiente teorema.

Teorema 2.8

Continuidad de polinomios y funciones racionales

Los polinomios y las funciones racionales son continuos en todos los puntos de sus dominios.

Prueba

Anteriormente, demostramos que si p(x)p(x) como q(x)q(x) son polinomios, límxap(x)=p(a)límxap(x)=p(a) para cada polinomio p(x)p(x) y límxap(x)q(x)=p(a)q(a)límxap(x)q(x)=p(a)q(a) siempre y cuando q(a)0.q(a)0. Por lo tanto, los polinomios y las funciones racionales son continuos en sus dominios.

Ahora aplicamos Continuidad de polinomios y funciones racionales para determinar los puntos en los que una función racional dada es continua.

Ejemplo 2.29

Continuidad de una función racional

¿Para qué valores de x es f(x)=x+1x5f(x)=x+1x5 es continua?

Punto de control 2.22

¿Para qué valores de x es f(x)=3x44x2 f(x)=3x44x2 es continua?

Tipos de discontinuidades

Como hemos visto en el Ejemplo 2.26 y el Ejemplo 2.27, las discontinuidades adquieren diferentes aspectos. Clasificamos los tipos de discontinuidades que hemos visto hasta ahora como discontinuidades removibles, discontinuidades infinitas o discontinuidades de salto. Intuitivamente, una discontinuidad removible es aquella para la cual hay un agujero en el gráfico, una discontinuidad de salto es aquella no infinita en la que las secciones de la función no se encuentran, y una discontinuidad infinita es la que se halla en una asíntota vertical. La Figura 2.37 ilustra las diferencias de estos tipos de discontinuidades. Aunque estos términos proporcionan una forma práctica de describir tres tipos comunes de discontinuidades, hay que tener en cuenta que no todas las discontinuidades encajan perfectamente en estas categorías.

Tres gráficos, cada uno de los cuales muestra una discontinuidad diferente. La primera es la discontinuidad removible. Aquí, la función dada es una línea con pendiente positiva. En el punto x=a, donde a>0, hay un círculo abierto en la línea y un círculo cerrado unas unidades por encima de la línea. La segunda es una discontinuidad de salto. Aquí hay dos líneas con pendiente positiva. La primera línea existe para x<=a, y la segunda para x>a, donde a>0. La primera línea termina en un círculo sólido donde x=a, y la segunda comienza unas unidades más arriba con un círculo abierto en x=a. El tercer tipo de discontinuidad es la discontinuidad infinita. Aquí, la función tiene dos partes separadas por una asíntota x=a. El primer segmento es una curva que se extiende a lo largo del eje x hasta 0 cuando x va al infinito negativo y a lo largo del eje y hasta el infinito cuando x llega a cero. El segundo segmento es una curva que se extiende a lo largo del eje y hasta el infinito negativo cuando x va a cero y a lo largo del eje x hasta 0 cuando x va a infinito.
Figura 2.37 Las discontinuidades se clasifican como (a) removibles, (b) de salto, o (c) infinitas.

Estas tres discontinuidades se definen formalmente como sigue:

Definición

Si f(x)f(x) es discontinua en a, entonces

  1. ff tiene una discontinuidad removible en un si límxaf(x)límxaf(x). (Nota: Cuando afirmamos que límxaf(x)límxaf(x) existe, queremos decir que límxaf(x)=L,límxaf(x)=L, donde L es un número real).
  2. ff tiene una discontinuidad de salto en a si límxaf(x)límxaf(x) y límxa+f(x)límxa+f(x) ambos existen, pero límxaf(x)límxa+f(x).límxaf(x)límxa+f(x). (Nota: Cuando afirmamos que límxaf(x)límxaf(x) y límxa+f(x)límxa+f(x) ambos existen, queremos decir que ambos son de valor real y que ninguno toma los valores ±∞).
  3. ff tiene una discontinuidad infinita en a si límxaf(x)=±límxaf(x)=± o límxa+f(x)=±.límxa+f(x)=±.

Ejemplo 2.30

Clasificar una discontinuidad

En el Ejemplo 2.26, demostramos que f(x)=x2 4x2 f(x)=x2 4x2 es discontinuo en x=2 .x=2 . Clasifique esta discontinuidad como evitable, de salto finito o de salto infinito.

Ejemplo 2.31

Clasificar una discontinuidad

En el Ejemplo 2.27, demostramos que f(x)={x2 +4six34x8six>3f(x)={x2 +4six34x8six>3 es discontinuo en x=3.x=3. Clasifique esta discontinuidad como evitable, de salto finito o de salto infinito.

Ejemplo 2.32

Clasificar una discontinuidad

Determine si f(x)=x+2 x+1f(x)=x+2 x+1 es continua en -1. Si la función es discontinua en -1, clasifique la discontinuidad como removible, de salto o infinita.

Punto de control 2.23

Para f(x)={x2 six13six=1,f(x)={x2 six13six=1, decida si f es continua en 1. Si f no es continua en 1, clasifique la discontinuidad como removible, de salto o infinita.

Continuidad en un intervalo

Ahora que hemos explorado el concepto de continuidad en un punto, extendamos esa idea a la continuidad en un intervalo. Mientras desarrollamos esta idea para diferentes tipos de intervalos, puede ser útil tener en mente la idea intuitiva de que una función es continua en un intervalo si podemos usar un lápiz para trazar la función entre dos puntos cualesquiera del intervalo sin levantar el lápiz del papel. Como preparación para definir la continuidad en un intervalo, empecemos por ver la definición de lo que significa que una función sea continua por la derecha o por la izquierda en un punto.

Continuidad por la derecha y por la izquierda

Una función f(x)f(x) se dice que es continua por la derecha en a si límxa+f(x)=f(a).límxa+f(x)=f(a).

Una función f(x)f(x) se dice que es continua por la izquierda en a si límxaf(x)=f(a).límxaf(x)=f(a).

Una función es continua en un intervalo abierto si es continua en cada punto del intervalo. Una función f(x)f(x) es continua en un intervalo cerrado de la forma [a,b][a,b] si es continua en cada punto de (a,b)(a,b) y es continua por la derecha en a y continua por la izquierda en b. De manera similar, una función f(x)f(x) es continua en un intervalo de la forma (a,b](a,b] si es continua en (a,b)(a,b) y es continua por la izquierda en b. La continuidad en otros tipos de intervalos se define de forma similar.

Exigir que límxa+f(x)=f(a)límxa+f(x)=f(a) y límxbf(x)=f(b)límxbf(x)=f(b) asegura que podemos trazar el gráfico de la función desde el punto (a,f(a))(a,f(a)) al punto (b,f(b))(b,f(b)) sin levantar el lápiz. Si, por ejemplo, límxa+f(x)f(a),límxa+f(x)f(a), tendríamos que levantar el lápiz para saltar desde f(a)f(a) al gráfico del resto de la función en (a,b].(a,b].

Ejemplo 2.33

Continuidad en un intervalo

Indique el intervalo o los intervalos en los que la función f(x)=x1x2 +2 xf(x)=x1x2 +2 x es continuo.

Ejemplo 2.34

Continuidad en un intervalo

Indique el intervalo o los intervalos en los que la función f(x)=4x2 f(x)=4x2 es continuo.

Punto de control 2.24

Indique el intervalo o los intervalos en los que la función f(x)=x+3f(x)=x+3 es continuo.

El Teorema de la función compuesta nos permite ampliar nuestra capacidad de calcular los límites. En particular, este teorema nos permite demostrar en definitiva que las funciones trigonométricas son continuas sobre sus dominios.

Teorema 2.9

Teorema de la función compuesta

Si los valores de f(x)f(x) es continua en L y límxag(x)=L,límxag(x)=L, entonces

límxaf(g(x))=f(límxag(x))=f(L).límxaf(g(x))=f(límxag(x))=f(L).

Antes de pasar al Ejemplo 2.35, recordemos que en la sección de leyes de los límites, mostramos límx0cosx=1=cos(0).límx0cosx=1=cos(0). En consecuencia, sabemos que f(x)=cosxf(x)=cosx es continua en 0. En el Ejemplo 2.35 vemos cómo combinar este resultado con el teorema de la función compuesta.

Ejemplo 2.35

Límite de una función coseno compuesta

Evalúe límxπ/2 cos(xπ2 ).límxπ/2 cos(xπ2 ).

Punto de control 2.25

Evalúe límxπsen(xπ).límxπsen(xπ).

La prueba del siguiente teorema utiliza el teorema de la función compuesta así como la continuidad de f(x)=senxf(x)=senx y g(x)=cosxg(x)=cosx en el punto 0 para demostrar que las funciones trigonométricas son continuas en todos sus dominios.

Teorema 2.10

Continuidad de las funciones trigonométricas

Las funciones trigonométricas son continuas en todos sus dominios.

Prueba

Comenzamos demostrando que cosxcosx es continua en todo número real. Para ello, debemos demostrar que límxacosx=cosalímxacosx=cosa para todos los valores de a.

límxacosx=límxacos((xa)+a)reescribax=xa+a=límxa(cos(xa)cosasen(xa)sena)aplique la identidad del coseno a través de la suma de dos ángulos=cos(límxa(xa))cosasen(límxa(xa))senalímxa(xa)=0,ysenxycosxson continuos en 0=cos(0)cosasen(0)senaevalúe cos(0) y sen(0) y simplifique=1.cosa0.sena=cosa.límxacosx=límxacos((xa)+a)reescribax=xa+a=límxa(cos(xa)cosasen(xa)sena)aplique la identidad del coseno a través de la suma de dos ángulos=cos(límxa(xa))cosasen(límxa(xa))senalímxa(xa)=0,ysenxycosxson continuos en 0=cos(0)cosasen(0)senaevalúe cos(0) y sen(0) y simplifique=1.cosa0.sena=cosa.

La prueba de que senxsenx es continua en todo número real es análoga. Puesto que el resto de las funciones trigonométricas pueden expresarse en términos de senxsenx y cosx,cosx, su continuidad se desprende de la ley del límite del cociente.

Como puede ver, el teorema de la función compuesta es muy valioso para demostrar la continuidad de las funciones trigonométricas. A medida que avanzamos en el estudio del cálculo, volveremos a ver este teorema muchas veces.

El teorema del valor intermedio

Funciones continuas sobre intervalos de la forma [a,b],[a,b], donde a y b son números reales y presentan muchas propiedades útiles. A lo largo de nuestro estudio del cálculo, nos encontraremos con muchos teoremas poderosos relativos a dichas funciones. El primero de estos teoremas es el teorema del valor intermedio.

Teorema 2.11

El teorema del valor intermedio

Supongamos que f es continua en un intervalo cerrado y limitado [a,b].[a,b]. Si z es cualquier número real entre f(a)f(a) y f(b),f(b), entonces hay un número c en [a,b][a,b] que satisface f(c)=zf(c)=z en la Figura 2.38.

Un diagrama que ilustra el teorema del valor intermedio. Se muestra una función curva continua genérica sobre el intervalo [a, b]. Se marcan los puntos fa. y fb. y se trazan líneas punteada desde a, b, fa. y fb. hasta los puntos (a, fa.) y (b, fb.). Un tercer punto, c, se sitúa entre a y b. Como la función es continua, hay un valor para fc. a lo largo de la curva, y se traza una línea desde c hasta (c, fc.) y desde (c, fc.) hasta fc., que se marca como z en el eje y.
Figura 2.38 Hay un número c [ a , b ] c [ a , b ] que satisface f ( c ) = z . f ( c ) = z .

Ejemplo 2.36

Aplicación del teorema del valor intermedio

Demuestre que f(x)=xcosxf(x)=xcosx tiene al menos un cero.

Ejemplo 2.37

¿Cuándo se puede aplicar el teorema del valor intermedio?

Si los valores de f(x)f(x) es continua en [0,2 ],f(0)>0[0,2 ],f(0)>0 y f(2 )>0,f(2 )>0, ¿podemos utilizar el teorema del valor intermedio para concluir que f(x)f(x) no tiene ceros en el intervalo [0,2 ]?[0,2 ]? Explique.

Ejemplo 2.38

¿Cuándo se puede aplicar el teorema del valor intermedio?

Para f(x)=1/x,f(–1)=−1<0f(x)=1/x,f(–1)=−1<0 y f(1)=1>0.f(1)=1>0. ¿Podemos concluir que f(x)f(x) tiene un cero en el intervalo [−1,1]?[−1,1]?

Punto de control 2.26

Demuestre que f(x)=x3x2 3x+1f(x)=x3x2 3x+1 tiene un cero en el intervalo [0,1].[0,1].

Sección 2.4 ejercicios

En los siguientes ejercicios, determine el punto o puntos en los que cada función es discontinua, si los hay. Clasifique cualquier discontinuidad como de salto, removible, infinita u otra.

131.

f ( x ) = 1 x f ( x ) = 1 x

132.

f ( x ) = 2 x 2 + 1 f ( x ) = 2 x 2 + 1

133.

f ( x ) = x x 2 x f ( x ) = x x 2 x

134.

g ( t ) = t −1 + 1 g ( t ) = t −1 + 1

135.

f ( x ) = 5 e x 2 f ( x ) = 5 e x 2

136.

f ( x ) = | x 2 | x 2 f ( x ) = | x 2 | x 2

137.

H ( x ) = tan 2 x H ( x ) = tan 2 x

138.

f ( t ) = t + 3 t 2 + 5 t + 6 f ( t ) = t + 3 t 2 + 5 t + 6

En los siguientes ejercicios, decida si la función es continua en el punto dado. Si es discontinua, ¿de qué tipo de discontinuidad se trata?

139.

f(x)2 x2 5x+3x1f(x)2 x2 5x+3x1 en x=1x=1

140.

h(θ)=senθcosθtanθh(θ)=senθcosθtanθ en θ=πθ=π

141.

g(u)={6u2 +u2 2 u1siu12 72 siu=12 ,g(u)={6u2 +u2 2 u1siu12 72 siu=12 , a las u=12 u=12

142.

f(y)=sen(πy)tan(πy),f(y)=sen(πy)tan(πy), a las y=1y=1

143.

f(x)={x2 exsix<0x1six0,f(x)={x2 exsix<0x1six0, a las x=0x=0

144.

f(x)={xsen(x)sixπxtan(x)six>π,f(x)={xsen(x)sixπxtan(x)six>π, a las x=πx=π

En los siguientes ejercicios, halle el valor o valores de k que hacen que cada función sea continua en el intervalo dado.

145.

f ( x ) = { 3 x + 2 , x < k 2 x 3 , k x 8 f ( x ) = { 3 x + 2 , x < k 2 x 3 , k x 8

146.

f ( θ ) = { sen θ , 0 θ < π 2 cos ( θ + k ) , π 2 θ π f ( θ ) = { sen θ , 0 θ < π 2 cos ( θ + k ) , π 2 θ π

147.

f ( x ) = { x 2 + 3 x + 2 x + 2 , x 2 k , x = –2 f ( x ) = { x 2 + 3 x + 2 x + 2 , x 2 k , x = –2

148.

f ( x ) = { e k x , 0 x < 4 x + 3 , 4 x 8 f ( x ) = { e k x , 0 x < 4 x + 3 , 4 x 8

149.

f ( x ) = { k x , 0 x 3 x + 1 , 3 < x 10 f ( x ) = { k x , 0 x 3 x + 1 , 3 < x 10

En los siguientes ejercicios, utilice el teorema del valor intermedio (TVI).

150.

Supongamos que h(x)={3x2 4,x2 5+4x,x>2 h(x)={3x2 4,x2 5+4x,x>2 En el intervalo [0,4],[0,4], no hay ningún valor de x tal que h(x)=10,h(x)=10, aunque h(0)<10h(0)<10 y h(4)>10.h(4)>10. Explique por qué esto no contradice el TVI.

151.

Una partícula que se mueve a lo largo de una línea tiene en cada tiempo t una función de posición s(t),s(t), que es continua. Supongamos que s(2 )=5s(2 )=5 y s(5)=2 .s(5)=2 . Otra partícula se mueve de manera que su posición viene dada por h(t)=s(t)t.h(t)=s(t)t. Explique por qué debe haber un valor c para 2 <c<52 <c<5 de manera que h(c)=0.h(c)=0.

152.

[T] Utilice el enunciado “el coseno de t es igual a t al cubo”.

  1. Escriba una ecuación matemática del enunciado.
  2. Demuestre que la ecuación de la parte a. tiene al menos una solución real.
  3. Utilice una calculadora para encontrar un intervalo de longitud 0,01 que contenga una solución.
153.

Aplicar el TVI para determinar si 2 x=x32 x=x3 tiene una solución en uno de los intervalos [1,25,1,375][1,25,1,375] o [1,375,1,5].[1,375,1,5]. Explique brevemente su respuesta para cada intervalo.

154.

Consideremos el gráfico de la función y=f(x)y=f(x) que se muestra en el siguiente gráfico.

Un diagrama que ilustra el teorema del valor intermedio. Se muestra una función curva continua genérica sobre el intervalo [a, b]. Se marcan los puntos fa. y fb. y se trazan líneas punteada desde a, b, fa. y fb. hasta los puntos (a, fa.) y (b, fb.). Un tercer punto, c, se sitúa entre a y b. Como la función es continua, hay un valor para fc. a lo largo de la curva, y se traza una línea desde c hasta (c, fc.) y desde (c, fc.) hasta fc., que se marca como z en el eje y.
  1. Halle todos los valores para los que la función es discontinua.
  2. Para cada valor de la parte a., indique por qué no se aplica la definición formal de continuidad.
  3. Clasifique cada discontinuidad como de salto, removible o infinita.
155.

Supongamos que f(x)={3x,x>1x3,x<1.f(x)={3x,x>1x3,x<1.

  1. Dibuje el gráfico de f.
  2. ¿Es posible encontrar un valor k tal que f(1)=k,f(1)=k, que hace que f(x)f(x) continua para todos los números reales? Explique brevemente.
156.

Supongamos que f(x)=x41x2 1f(x)=x41x2 1 para x1,1.x1,1.

  1. Dibuje el gráfico de f.
  2. ¿Es posible encontrar valores k1k1 y k2 k2 de manera que f(–1)=k1f(–1)=k1 y f(1)=k2 ,f(1)=k2 , y eso hace a f(x)f(x) continua para todos los números reales? Explique brevemente.
157.

Dibuje el gráfico de la función y=f(x)y=f(x) con las propiedades i. hasta la vi.

  1. El dominio de f es (,+).(,+).
  2. f tiene una discontinuidad infinita en x=−6.x=−6.
  3. f(−6)=3f(−6)=3
  4. límx−3f(x)=límx−3+f(x)=2 límx−3f(x)=límx−3+f(x)=2
  5. f(−3)=3f(−3)=3
  6. f es continua por la izquierda pero no por la derecha en x=3.x=3.
  7. límxf(x)=límxf(x)= y límx+f(x)=+límx+f(x)=+
158.

Dibuje el gráfico de la función y=f(x)y=f(x) con las propiedades i. hasta la iv.

  1. El dominio de f es [0,5].[0,5].
  2. límx1+f(x)límx1+f(x) y límx1f(x)límx1f(x) existen y son iguales.
  3. f(x)f(x) es continua por la izquierda pero no es continua en x=2 ,x=2 , y continua por la derecha pero no es continua en x=3.x=3.
  4. f(x)f(x) tiene una discontinuidad removible en x=1,x=1, una discontinuidad de salto en x=2 ,x=2 , y se mantienen los siguientes límites límx3f(x)=límx3f(x)= y límx3+f(x)=2 .límx3+f(x)=2 .

En los siguientes ejercicios, supongamos que y=f(x)y=f(x) está definida para toda x. En cada descripción, dibuje un gráfico con la propiedad indicada.

159.

Discontinua en x=1x=1 con la límx−1f(x)=–1límx−1f(x)=–1 y límx2 f(x)=4límx2 f(x)=4

160.

Discontinua en x=2 x=2 pero continua en otras partes con límx0f(x)=12 límx0f(x)=12

Determine si cada una de las afirmaciones dadas es verdadera. Justifique su respuesta con una explicación o un contraejemplo.

161.

f(t)=2 etetf(t)=2 etet es continua en todas partes.

162.

Si los límites izquierdo y derecho de f(x)f(x) cuando xaxa existen y son iguales, entonces f no puede ser discontinua en x=a.x=a.

163.

Si una función no es continua en un punto, entonces no está definida en ese punto.

164.

Según el TVI, cosxsenxx=2 cosxsenxx=2 tiene una solución en el intervalo [−1,1].[−1,1].

165.

Si f(x)f(x) es continua, de manera que f(a)f(a) y f(b)f(b) tienen signos opuestos, entonces f(x)=0f(x)=0 tiene exactamente una solución en [a,b].[a,b].

166.

La función f(x)=x2 4x+3x2 1f(x)=x2 4x+3x2 1 es continua en el intervalo [0,3].[0,3].

167.

Si f(x)f(x) es continua en todas partes y f(a),f(b)>0,f(a),f(b)>0, entonces no hay raíz de f(x)f(x) en el intervalo [a,b].[a,b].

[T] Los siguientes problemas toman en cuenta la forma escalar de la ley de Coulomb, que describe la fuerza electrostática entre dos cargas puntuales, como los electrones. Viene dada por la ecuación F(r)=ke|q1q2 |r2 ,F(r)=ke|q1q2 |r2 , donde keke es la constante de Coulomb, qiqi son las magnitudes de las cargas de las dos partículas, y r es la distancia entre las dos partículas.

168.

Para simplificar el cálculo de un modelo con muchas partículas que interactúan, después de cierto valor umbral r=R,r=R, aproximamos F a cero.

  1. Explique el razonamiento físico de esta suposición.
  2. ¿Cuál es la ecuación de fuerza?
  3. Evalúe la fuerza F utilizando tanto la ley de Coulomb como nuestra aproximación, suponiendo que dos protones con una magnitud de carga de 1,6022×10−19culombios (C),1,6022×10−19culombios (C), y la constante de Coulomb ke=8,988×109Nm2 /C2 ke=8,988×109Nm2 /C2 están a 1 m de distancia. Además, suponga que R<1m.R<1m. ¿Cuánta inexactitud genera nuestra aproximación? ¿Es razonable nuestra aproximación?
  4. ¿Existe algún valor finito de R para el que este sistema siga siendo continuo en R?
169.

En vez de hacer que la fuerza sea 0 en R, dejamos que la fuerza sea 10−20 para rR.rR. Supongamos dos protones, que tienen una magnitud de carga 1,6022×10−19C,1,6022×10−19C, y la constante de Coulomb ke=8,988×109Nm2 /C2 .ke=8,988×109Nm2 /C2 . ¿Existe un valor R que pueda hacer que este sistema sea continuo? Si es así, hállelo.

Recuerde la discusión sobre las naves espaciales del inicio del capítulo. Los siguientes problemas analizan el lanzamiento de un cohete desde la superficie de la Tierra. La fuerza de gravedad sobre el cohete viene dada por F(d)=mk/d2 ,F(d)=mk/d2 , donde m es la masa del cohete, d es la distancia del cohete al centro de la Tierra y k es una constante.

170.

[T] Determine el valor y las unidades de k dado que la masa del cohete es de 3 millones de kg. (Pista: La distancia del centro de la Tierra a su superficie es de 6378 km).

171.

[T] A partir de cierta distancia D, el efecto gravitatorio de la Tierra se hace bastante despreciable, por lo que podemos aproximar la función de fuerza mediante F(d)={mkd2 sid<D10.000sidD.F(d)={mkd2 sid<D10.000sidD. Usando el valor de k del ejercicio anterior, calcule la condición necesaria D tal que la función de fuerza permanezca continua.

172.

A medida que el cohete se aleja de la superficie de la Tierra, hay una distancia D en la que el cohete pierde parte de su masa, puesto que ya no necesita el exceso de combustible almacenado. Podemos escribir esta función como F(d)={m1kd2 sid<Dm2 kd2 sidD.F(d)={m1kd2 sid<Dm2 kd2 sidD. ¿Existe un valor D tal que esta función sea continua, suponiendo m1m2 ?m1m2 ?

Demuestre que las siguientes funciones son continuas en todas partes

173.

f ( θ ) = sen θ f ( θ ) = sen θ

174.

g ( x ) = | x | g ( x ) = | x |

175.

¿Dónde es f(x)={0sixes irracional1sixes racionalf(x)={0sixes irracional1sixes racional es continua?

Solicitar una copia impresa

As an Amazon Associate we earn from qualifying purchases.

Cita/Atribución

¿Desea citar, compartir o modificar este libro? Este libro utiliza la Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike License y debe atribuir a OpenStax.

Información de atribución
  • Si redistribuye todo o parte de este libro en formato impreso, debe incluir en cada página física la siguiente atribución:
    Acceso gratis en https://openstax.org/books/c%C3%A1lculo-volumen-1/pages/1-introduccion
  • Si redistribuye todo o parte de este libro en formato digital, debe incluir en cada vista de la página digital la siguiente atribución:
    Acceso gratuito en https://openstax.org/books/c%C3%A1lculo-volumen-1/pages/1-introduccion
Información sobre citas

© 2 mar. 2022 OpenStax. El contenido de los libros de texto que produce OpenStax tiene una licencia de Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike License . El nombre de OpenStax, el logotipo de OpenStax, las portadas de libros de OpenStax, el nombre de OpenStax CNX y el logotipo de OpenStax CNX no están sujetos a la licencia de Creative Commons y no se pueden reproducir sin el previo y expreso consentimiento por escrito de Rice University.