Términos clave

Términos clave

asíntota vertical

una función tiene una asíntota vertical en $x=a$ si el límite a medida que x se acerca a a desde la derecha o la izquierda es infinito

cálculo diferencial

el campo del cálculo que se ocupa del estudio de las derivadas y sus aplicaciones

cálculo integral

el estudio de las integrales y sus aplicaciones

cálculo multivariable

el estudio del cálculo de funciones de dos o más variables

continuidad en un intervalo

función que puede ser trazada con un lápiz sin levantarlo del papel; es continua en un intervalo abierto si es continua en cada punto del intervalo; una función $f\left(x\right)$ es continua en un intervalo cerrado de la forma $\left[a,b\right]$ si es continua en cada punto de $\left(a,b\right),$ y es continua por la derecha en a y por la izquierda en b

continuidad en un punto

una función $f\left(x\right)$ es continua en un punto a si y solo si se cumplen las tres condiciones siguientes: (1) $f\left(a\right)$ está definida, (2) $\underset{x\to a}{\text{lím}}f\left(x\right)$ existe y (3) $\underset{x\to a}{\text{lím}}f\left(x\right)=f\left(a\right)$

continuidad por la derecha

una función es continua por la derecha en a si $\underset{x\to a^{+}}{\text{lím}}f(x)=f(a)$

continuidad por la izquierda

una función es continua por la izquierda en b si $\underset{x\to b^{-}}{\text{lím}}f\left(x\right)=f\left(b\right)$

definición epsilon-delta del límite

$\underset{x\to a}{\text{lím}}f\left(x\right)=L$ si para cada $\epsilon >0,$ existe un $\delta >0$ tal que si $0<\left|x–a\right|<\delta ,$ entonces $\left|f\left(x\right)-L\right|<\epsilon$

definición intuitiva del límite

si todos los valores de la función $f\left(x\right)$ se acercan al número real L a medida que los valores de $x\left(\ne a\right)$ se acercan a a, $f\left(x\right)$ se acerca a L

desigualdad triangular

si a y b son números reales cualesquiera, entonces $\left|a+b\right|\le \left|a\right|+\left|b\right|$

discontinuidad de salto

se produce una discontinuidad de salto en un punto a si $\underset{x\to a^{-}}{\text{lím}}f\left(x\right)$ y $\underset{x\to a^{+}}{\text{lím}}f\left(x\right)$ ambos existen, pero $\underset{x\to a^{-}}{\text{lím}}f\left(x\right)\ne \underset{x\to a^{+}}{\text{lím}}f\left(x\right)$

discontinuidad en un punto

una función es discontinua en un punto o tiene una discontinuidad en un punto si no es continua en el punto

discontinuidad infinita

se produce una discontinuidad infinita en un punto a si $\underset{x\to a^{-}}{\text{lím}}f\left(x\right)=\text{±}\infty$ o $\underset{x\to a^{+}}{\text{lím}}f\left(x\right)=\text{±}\infty$

discontinuidad removible

se produce una discontinuidad removible en un punto a si $f\left(x\right)$ es discontinua en a, pero $\underset{x\to a}{\text{lím}}f\left(x\right)$ existe

ley de la diferencia para los límites

la ley límite $\underset{x\to a}{\text{lím}}\left(f\left(x\right)-g\left(x\right)\right)=\underset{x\to a}{\text{lím}}f\left(x\right)-\underset{x\to a}{\text{lím}}g\left(x\right)=L-M$

ley de la potencia para los límites

la ley límite $\underset{x\to a}{\text{lím}}{\left(f\left(x\right)\right)}^n={\left(\underset{x\to a}{\text{lím}}f\left(x\right)\right)}^n=L^n$ para cada número entero positivo n

ley de la raíz para los límites

la ley límite $\underset{x\to a}{\text{lím}}\sqrt[n]{f\left(x\right)}=\sqrt[n]{\underset{x\to a}{\text{lím}}f\left(x\right)}=\sqrt[n]{L}$ para todo L si n es impar y para $L\ge 0$ si n es par

ley de productos para los límites

la ley límite $\underset{x\to a}{\text{lím}}\left(f\left(x\right).g\left(x\right)\right)=\underset{x\to a}{\text{lím}}f\left(x\right).\underset{x\to a}{\text{lím}}g\left(x\right)=L.M$

ley de suma para los límites

la ley de los límites $\underset{x\to a}{\text{lím}}\left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right)=\underset{x\to a}{\text{lím}}f\left(x\right)+\underset{x\to a}{\text{lím}}g\left(x\right)=L+M$

ley del cociente para los límites

la ley límite $\underset{x\to a}{\text{lím}}\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\frac{\underset{x\to a}{\text{lím}}f\left(x\right)}{\underset{x\to a}{\text{lím}}g\left(x\right)}=\frac{L}{M}$ por $M\ne 0$

ley del múltiplo constante para los límites

la ley límite $\underset{x\to a}{\text{lím}}cf\left(x\right)=c.\underset{x\to a}{\text{lím}}f\left(x\right)=cL$

leyes de los límites

las propiedades individuales de los límites; para cada una de las leyes individuales, supongamos que $f\left(x\right)$ y $g\left(x\right)$ se define para todos los $x\ne a$ en algún intervalo abierto que contenga a; supongamos que L y M son números reales de modo que $\underset{x\to a}{\text{lím}}f\left(x\right)=L$ y $\underset{x\to a}{\text{lím}}g\left(x\right)=M;$ supongamos que c es una constante

límite

el proceso de dejar que x o t se acerquen a a en una expresión; el límite de una función $f\left(x\right)$ a medida que x se acerca a a es el valor al que se acerca $f\left(x\right)$ a medida que x se acerca a a

límite infinito

una función tiene un límite infinito en un punto a si aumenta o disminuye sin límite al acercarse a a

límite unilateral

un límite unilateral de una función es un límite tomado por la izquierda o por la derecha

secante

una línea secante a una función $f\left(x\right)$ en a es una línea que pasa por el punto $\left(a,f\left(a\right)\right)$ y otro punto de la función; la pendiente de la línea secante está dada por $m_{\text{sec}}=\frac{f\left(x\right)-f\left(a\right)}{x–a}$

tangente

una línea tangente al gráfico de una función en un punto $\left(a,f\left(a\right)\right)$ es la línea a la que se aproximan las líneas secantes a través de $\left(a,f\left(a\right)\right)$ a medida que pasan por puntos de la función con valores de x que se aproximan a a; la pendiente de la línea tangente a un gráfico en a mide la tasa de cambio de la función en a

teorema del emparedado

establece que si $f\left(x\right)\le g\left(x\right)\le h\left(x\right)$ para todo $x\ne a$ en un intervalo abierto que contiene a y $\underset{x\to a}{\text{lím}}f\left(x\right)=L=\underset{x\to a}{\text{lím}}h\left(x\right)$ donde L es un número real, entonces $\underset{x\to a}{\text{lím}}g\left(x\right)=L$

Teorema del valor intermedio

supongamos que f es continua en un intervalo cerrado y limitado $\left[\text{a},\text{b}\right];$ si z es un número real cualquiera entre $f\left(a\right)$ y $f\left(b\right),$ entonces hay un número c en $\left[a,b\right]$ que satisface $f\left(c\right)=z$

velocidad instantánea

la velocidad instantánea de un objeto con una función de posición que viene dada por $s\left(t\right)$ es el valor que tienen las velocidades medias en intervalos de la forma $\left[t,a\right]$ y $\left[a,t\right]$ se acercan a medida que los valores de t se acercan a $a,$ siempre que exista tal valor

velocidad media

el cambio en la posición de un objeto dividido entre la duración de un periodo; la velocidad media de un objeto en un intervalo de tiempo $\left[t,a\right]$ (si $t<a$ o $\left[a,t\right]$ si $t>a)$, con una posición dada por $s\left(t\right),$ que es $v_{\text{ave}}=\frac{s\left(t\right)-s\left(a\right)}{t-a}$