Gilbert Strang; Edwin “Jed” Herman

Ejercicios de repaso

¿Verdadero o falso? Justifique su respuesta con una prueba o un contraejemplo. Supongamos que $f (x)$ es continua y diferenciable a menos que se indique lo contrario.

525.

Si los valores de $f (–1) = –6$ y $f (1) = 2,$ entonces existe al menos un punto $x \in [−1, 1]$ de manera que $f^{'} (x) = 4 .$

526.

Si los valores de $f^{'} (c) = 0,$ hay un máximo o un mínimo en $x = c .$

527.

Existe una función tal que $f (x) < 0, f^{'} (x) > 0,$ y $f ″ (x) < 0 .$ (Se acepta una "prueba" gráfica para esta respuesta).

528.

Existe una función tal que hay tanto un punto de inflexión como un punto crítico para algún valor $x = a .$

529.

Dado el gráfico de $f^{'},$ determine dónde $f$ es creciente o decreciente.

La función aumenta hasta intersecar el eje x en -2, alcanza un máximo y luego disminuye por el origen, alcanza un mínimo y luego aumenta hasta un máximo en 2, disminuye hasta un mínimo y luego aumenta hasta pasar por el eje x en 4 y continúa aumentando.

530.

El gráfico de $f$ se indica a continuación. Dibuje $f^{'} .$

La función disminuye rápidamente y alcanza un mínimo local en -2, luego aumenta hasta alcanzar un máximo local en 0, punto en el que disminuye lentamente al principio, luego deja de disminuir cerca de 1, luego continúa disminuyendo hasta alcanzar un mínimo en 3, y luego aumenta rápidamente.

531.

Halle la aproximación lineal $L (x)$ a $y = x^{2} + tan (π x)$ cerca de $x = \frac{1}{4} .$

532.

Halle la diferencial de $y = x^{2} - 5 x - 6$ y evalúe para $x = 2$ con la $d x = 0,1 .$

Halle los puntos críticos y los extremos locales y absolutos de las siguientes funciones en el intervalo dado.

533.

$f (x) = x + {sen}^{2} (x)$ en $[0, π]$

534.

$f (x) = 3 x^{4} - 4 x^{3} - 12 x^{2} + 6$ en $[−3, 3]$

Determine en qué intervalos las siguientes funciones son crecientes, decrecientes, cóncavas hacia arriba y cóncavas hacia abajo.

535.

$x (t) = 3 t^{4} - 8 t^{3} - 18 t^{2}$

536.

$y = x + sen (π x)$ grandes.

537.

$g (x) = x - \sqrt{x}$

538.

$f (θ) = sen (3 θ)$

Evalúe los siguientes límites.

539.

$\underset{x \to \infty}{lím} \frac{3 x \sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{x^{4} - 1}}$

540.

$\underset{x \to \infty}{lím} cos (\frac{1}{x})$ grandes.

541.

$\underset{x \to 1}{lím} \frac{x - 1}{sen (π x)}$ grandes.

542.

$\underset{x \to \infty}{lím} {(3 x)}^{1 / x}$

Utilice el método de Newton para encontrar las dos primeras iteraciones, dado el punto de partida.

543.

$y = x^{3} + 1, x_{0} = 0,5$

544.

$y = \frac{1}{x + 1} = \frac{1}{2}, x_{0} = 0$

Halle las antiderivadas $F (x)$ de las siguientes funciones.

545.

$g (x) = \sqrt{x} - \frac{1}{x^{2}}$

546.

$f (x) = 2 x + 6 cos x, F (π) = π^{2} + 2$

Grafique las siguientes funciones a mano. Asegúrese de marcar los puntos de inflexión, los puntos críticos, los ceros y las asíntotas.

547.

$y = \frac{1}{x {(x + 1)}^{2}}$

548.

$y = x - \sqrt{4 - x^{2}}$

549.

Se compacta un auto en un sólido rectangular. El volumen disminuye a una tasa de $2$ m³/s. La longitud y la anchura del compactador son cuadradas, pero la altura no tiene la misma longitud que la anchura. Si las paredes de longitud y anchura se mueven una hacia la otra a una velocidad de $0,25$ m/s, halle la velocidad a la que cambia la altura cuando la longitud y la anchura son $2$ m y la altura es $1,5$ m.

550.

Se lanza un cohete al espacio; su energía cinética viene dada por $K (t) = (\frac{1}{2}) m (t) v {(t)}^{2},$ donde $K$ es la energía cinética en julios, $m$ es la masa del cohete en kilogramos, y $v$ es la velocidad del cohete en metros/segundo. Supongamos que la velocidad aumenta a una tasa de $15$ m/s² y la masa disminuye a una tasa de $10$ kg/s porque el combustible se está consumiendo. ¿A qué velocidad cambia la energía cinética del cohete cuando la masa es $2000$ kg y la velocidad es $5.000$ m/s? Indique su respuesta en megajulios por segundo (MJ/s), lo que equivale a $10^{6}$ J/s.

551.

El famoso problema de Regiomontano para la maximización de ángulos fue propuesto durante el siglo XV. Un cuadro está colgado en una pared con la parte inferior del cuadro a una distancia de $a$ ft sobre el nivel de los ojos, y la parte superior $b$ ft sobre el nivel de los ojos. ¿Qué distancia $x$ (en pies) desde la pared debe situarse el espectador para maximizar el ángulo subtendido por el cuadro, $θ ?$

Se marca un punto a la altura de los ojos, y a partir de este punto se hace un triángulo rectángulo con lado adyacente de longitud x y lado opuesto de longitud a, que es la longitud desde la parte inferior del cuadro hasta el nivel de los ojos. A partir del punto marcado a la altura de los ojos se hace un segundo triángulo rectángulo, cuyo lado adyacente es x y el otro lado es la longitud b, que es la altura del cuadro. El ángulo entre las dos hipotenusas está marcado como θ.

552.

Una compañía aérea vende boletos de Tokio a Detroit por $$ 1200 .$ Hay $500$ asientos disponibles y un vuelo corriente reserva $350$ asientos. Por cada $$ 10$ de disminución del precio, la aerolínea nota que se venden cinco asientos adicionales. ¿Cuál debería ser el precio del boleto para maximizar el beneficio? ¿Cuántos pasajeros habría a bordo?